1

ESTIMACIÓN

TEMA 5: Estimación puntual I. Propiedades de los estimadores

TEMA 6: Estimación puntual II. Métodos de estimación puntual

TEMA 7: Estimación por intervalos

CONTRASTES DE HIPÓTESIS

TEMA 8: Contrastes paramétricos

TEMA 9: Contrastes no paramétricos

MODELOS DE REGRESIÓN

TEMA 10: Introducción a la Econometría

2

TEMA 7: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

7.1. Concepto de intervalo de confianza

7.2. Métodos de construcción de intervalos ⇒ 7.2.1. Método del pivote 7.2.2. Intervalos aproximados para E(X)

7.3. I.C. en una población normal ⇒ 7.3.1. I.C. para µ con varianza conocida 7.3.2. I.C. para µ con varianza desconocida 7.3.3. I.C. para la varianza

7.4. I.C. en dos poblaciones normales

MUESTRAS INDEPENDIENTES: 7.4.1. I.C. para µ1-µ2 (σ1,σ2 conocidas) 7.4.2. I.C. para µ1-µ2 (σ1=σ2 desconocidas) 7.4.3. I.C. para µ1-µ2 (σ1≠σ2 desconocidas) 7.4.4. I.C. para cociente de varianzas

MUESTRAS PAREADAS : I.C. para µ1-µ2

7.5. Intervalos de confianza para proporciones

3

POBLACIÓN/MODELO XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX MUESTRA

ANTECEDENTES Inferencia Estadística: Tenemos una muestra (x1,...,xn). A partir de ella

¿qué conclusiones podemos sacar del modelo que los genera?.

Ejemplo: Urna con bolas rojas/negras ⇒ ¿Inferencias sobre p=p(Roja)?

xxxx

Modelo: Xi=⎩⎨⎧

−→→

pp1Negraocurresi0

Rojaocurresi1 → v.a. i=1,…,n

Realización de la muestra: (x1,...,xn)=(1,1,0,1,0,…,0,1)⇒ ¿ p̂ ? ¿p<0.5?

Estimación puntual: proponer un valor plausible para el parámetro

desconocido, p, calculado como una función de la muestra,

p̂ = p̂ (X1,...,Xn).

4

7.1. CONCEPTO DE INTERVALO DE CONFIANZA

Objetivo: no proporcionar sólo una estimación puntual del parámetro p,

sino un rango de posibles valores para p, entre los cuales “confiamos” se hallará el verdadero valor del parámetro.

⇓ “más vale acertar aproximadamente que equivocarse completamente”

⇓ límite inferior: estimador “por defecto”

límite superior: estimador “por exceso”

⇓ ENCUESTAS

5

0.95

Definición:

Sea (X1,...,Xn) m.a.s. de una distribución F(x;θ)

p( )X,...,X(ˆ)X,...,X(ˆ n12n11 ϑ≤θ≤ϑ )=1-α

¡¡ [ 1ϑ̂ , 2ϑ̂ ] es aleatorio: depende de la muestra !!

Ejemplo: (X1,...,X50) m.a.s. de una distribución N(µ,σ) ⇒

n/

_Xσ

µ− → N(0,1)

-1.96 -1.96

Caso particular: σ=10 ⇒ 0.95=p(-1.96≤50/10

X µ− ≤1.96)=p(X -2.77≤µ≤X +2.77)

6

Interpretación:

El intervalo [X -2.77,X +2.77] es ALEATORIO: depende de la muestra

(X1,...,X50). Al cambiar la muestra (otro valor X ) cambiaría el intervalo.

Con una muestra concreta, (x1,...,x50), con su media muestral,

p.e. x =70 ⇒ intervalo numérico. 70±2.77= [67.23, 72.77] ¡contendrá o no a µ!

p.e. x =68 ⇒ intervalo numérico. 68±2.77= [65.23, 70.77] ¡contendrá o no a µ!

Esto nunca lo sabremos, pero tenemos un nivel de confianza grande, 95%,

en que lo contendrá.

¿Qué significa un nivel de confianza 0.95?

⇒ Si tomáramos todas las muestras de tamaño n=50 posibles y

construyéramos con cada una de ellas el intervalo [ x -2.77, x +2.77], el 95%

de estos intervalos contendría el verdadero valor de µ.

7

8

Confianza y precisión (poca longitud):

Aumentar el nivel de confianza ⇒ ampliar el intervalo (más probable

acertar apostando por un rango amplio de valores) ⇒ información

irrelevante pero certera ⇒ poca precisión.

mayor nivel confianza ⇔ menor precisión

menor nivel confianza ⇔ mayor precisión

Solución:

Fijar (1-α) y buscar I.C. longitud mínima

9

7.2. MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS

7.2.1. Método del pivote ⇒ PIVOTE: T(X1,...,Xn;θ)

Función de la muestra y del parámetro θ

Continua y estrictamente monótona en θ

Distribución muestral conocida que no depende del parámetro

Fijado 1-α, encontrar a,b tales que: p( a≤ T(X1,...,Xn;θ) ≤ b ) = 1-α

y luego despejar θ ⇒ p( 1ϑ̂ (X1,...,Xn;a) ≤ θ ≤ 2ϑ̂ (X1,...,Xn;b) )= 1-α

¿Cómo elegir a y b? Para que el intervalo sea de longitud mínima

Si distribución de T simétrica, dejando α/2 a ambos lados

10

1-α α/2α/2

Ejemplo: (X1,...,Xn) m.a.s. de una N(µ,σ), con σ conocido ⇒ PIVOTE:

n/Xσ

µ− → N(0,1)

-zα/2 0 zα/2

1-α = p(-zα/2≤ n/Xσ

µ− ≤zα/2)=p(X -zα/2 nσ ≤µ≤X +zα/2 n

σ )

⇒ Intervalo de Confianza 100(1-α)%: X± zα/2 nσ ⇒ Simétrico, longitud =2 zα/2 n

σ

L depende de: (1) α ⇒ (1-α)↑ ⇒ zα/2↑ ⇒ más longitud ⇒ menos precisión

(2) n : si n aumenta ⇒ disminuye L ⇒mayor precisión

(3) σ : si σ aumenta ⇒ aumenta L

11

1-α

7.2.2. Intervalos aproximados para la media

Sea (X1,...,Xn) m.a.s. de X con E(Xi)=µ y Var(Xi)=σ2

Teorema central del límite: ⇒ )1,0(N~n/

Xn ∞→σ

µ−

1-α ≅ p(-zα/2≤ n/Xσ

µ−≤zα/2)=p(X -zα/2 n

σ≤µ≤X +zα/2 n

σ )

-zα/2 0 zα/2

I.C. aproximado para E(X) = [X - zα/2 nσ , X + zα/2 n

σ ]

Mejor cuanto mayor n y más simétrica la distribución de X

NOTA: si σ desconocida ⇒ sustituir por σ̂ consistente ⇒otra fuente de “error”

I.C. aproximado = [X - zα/2 nσ̂ , X + zα/2 n

σ̂ ] ¡ más impreciso que el anterior!

12

7.3. INT. CONFIANZA EN UNA POBLACIÓN NORMAL

(X1,...,Xn) m.a.s. de una distribución N(µ,σ)

7.3.1. Intervalo de confianza para µ con σ conocida

PIVOTE (I.b): n/

Xσ

µ− → N(0,1)

[X - zα/2 nσ

, X + zα/2 nσ

] = (X ± zα/2 nσ )

Simétrico respecto a X con margen de error E=zα/2 nσ

Determinación del tamaño de la muestra ⇒ n = 2E

2α/2z 2σ

13

1-α α/2α/2

7.3.2. Intervalo de confianza para µ con σ desconocida

PIVOTE (I.c): n/

X

cSµ− → tn-1, con Sc = ∑

=−

−n 2

i1i

)( XX1n1

-tα/2 0 tα/2

1-α = p(-t α/2≤ n/XcS

µ−≤t α/2)=p(X -t α/2 n

cS≤µ≤X +t α/2 n

cS ) ⇒ X ± tα/2 ncS

Simétrico respecto a X con margen de error E= tα/2 ncS

Determinación del tamaño de la muestra n = 2

2α/2

E2cSt

14

Ejemplo: Peña (2001, p. 326)

El director de una empresa ha anunciado que el

año pasado los salarios crecieron un promedio del

3.5%. Un grupo de trabajadoras toma una muestra

de los incrementos salariales que han recibido 11

mujeres obteniendo los siguientes datos:

3%,3%,5%,1%,1%,2%,1%,1%,5%,2%,2%.

Intervalo de confianza para el aumento salarial

medio de las mujeres de esta empresa.

Datos: n=11; X =2,36; Sc = ∑ −=−

n2

i1i

)( XX1n

1 =1,5

(1-α)x100=90% ⇒ t α/2 = t10,0.95 =1,812

µ ∈ [2,36 ± 1,1211

1,5 ] = [2,36 ± 0.51] ⇒ [1.85; 2.87]

No incluye el valor 3,5% entre los “más” probables

(1-α)x100=95% ⇒ t α/2 = t10,0.975 =2,228

µ ∈ [2,36 ± 2,22811

1,5 ] = [2,36 ± 1.01] ⇒ [1.35; 3.37]

No incluye el valor 3,5% entre los “más” probables

15

1-α α/2α/2

7.3.4. Intervalo de confianza para la varianza σ2

PIVOTE (I.d): 2XS2

nσ → 2

1-nχ , con 2XS =

n

XXn

2i

1i)(∑ −

=

a b

p(a ≤ 2XS2

nσ ≤ b)= p( 2

XSbn ≤ σ2 ≤ 2

XSan

)= 1-α

16

1-α α/2α/2

7.4. INT. CONFIANZA DOS POBLACIONES NORMALES

MUESTRAS INDEPENDIENTES

X11,...,X1n1 m.a.s. de una X1 ~N(µ1,σ1) independientes X21,...,X2n2 m.a.s. de una X2 ~N(µ2,σ2) 7.4.1. Intervalo de confianza para µ1-µ2 (σ1,σ2 conocidas)

-zα/2 0 zα/2

)z

nn

)()XX(z(p122

2

22

1

21

2121αα ≤

σ+

σµ−µ−−

≤−=α− ⇒ (µ1-µ2)∈ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σ+

σ±− α

2

22

1

2121

nnz)X 2X(

PIVOTE (II.a): )1,0(N

nn

)()XX(

2

22

1

21

2121 →σ

+σ

µ−µ−−

17

7.4.2. Intervalo de confianza para µ1-µ2 (σ1=σ2)

PIVOTE (II.b): 2nnt

nn2nn

SnSn)()XX(

21

21

222

211

2121

2111XX

−+→

+−+

+

µ−µ−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++

±−∈µ−µ +α21 nn

112nn

SnSnt)XX()(

21

2X2

2X1

2/212121

7.4.3. Intervalo de confianza para µ1-µ2 (σ1≠σ2)

PIVOTE (II.c): υ→

+

µ−µ−−t

n

S

n

S)()XX(

2

22C

1

21C

2121 ~ N(0,1) si n1,n2 grandes

(µ1-µ2)∈ ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+±− α21221 n

Sn

St)XX(

2C

2C 21

18

RESUMEN: Intervalo de confianza para µ1-µ2 (MUESTRAS INDEPENDIENTES)

7.4.1. Con σ1,σ2 conocidas)

(µ1 - µ2) ∈⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ σ+

σ±− α

2

22

1

21

nnz)XX 2/21(

7.4.2. Con σ1=σ2 desconocidas

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++

±−∈µ−µ +α21 nn

112nn

SnSnt)XX()(

21

2X2

2X1

2/212121

7.4.3. Con σ1≠σ2 desconocidas

(µ1 - µ2) ∈ ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+±− α21221 n

Sn

St)XX(

2C

2C 21

19

Ejemplo: (Newbold, 1998, pp. 263-264)

Para una muestra de 96 fumadores, el nº medio

de horas mensuales de absentismo laboral fue

de 2,15 con una desviación típica de 2,09 horas

al mes. En una muestra independiente de 206 no

fumadores resultó una media de 1,69 horas con

una desviación típica de 1,91 horas al mes.

I.C. al 99% para la diferencia de medias

Datos:

Fumadores: 1X =2.15, n1=96, S1=2.09, Sc1=2.101

No fumadores: 2X =1.69, n2=206, S2=1.91, Sc2=1.915

n1,n2 grandes ⇒ tυ~ N(0,1) ⇒ tα/2≅z0.005=2.575

VARIANZAS DISTINTAS:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+±−20696

2,5751,69)(2,1522 1,9152,101 ⇒ [-0.19, 1.11]

VARIANZAS IGUALES:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

+±− + 20696

11220696

206x1.9196x2.092,5751.69)(2.1522

⇒ [-0.27, 0.99] ⇒ El valor µ1-µ2=0 ∈ intervalos

20

1-αα/2α/2

7.4.4. Intervalo de confianza para 22

21 σσ /

PIVOTE (II.d):

1n,1nFS

S212

1

22

22C

21C

−−→σ

σ

a b

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤

σσ

≤=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤

σσ

≤=α− 2C

2C

22

21

2C

2C

21

22

2C

2C

2

1

2

1

2

1

SS

a1

SS

b1pb

SS

ap1

21

DATOS PAREADOS

(X1,Y1)...(Xn,Yn) m.a.s. de Normal bidimensional ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ii

YX →N2 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σσρσσρσσ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛µµ

2221

2121

2

1

donde E(Xi)=µ1, E(Yi)=µ2, Var(Xi)= 21σ , Var(Yi)= 2

2σ

7.3.2.5. Intervalo de confianza para µ1-µ2

Diferencias ⇒ Di=Xi-Yi → N(µD,σD), con µD=µ1-µ2

Una sóla muestra D1,D2,...,Dn de una N(µD,σD)

⇒ Intervalo de Confianza para µD ⇒ PIVOTE (I.c): n/

D

D

D

Sµ− → tn-1

1-α = p(-t α/2≤n/

D

D

D

Sµ− ≤t α/2)=p(D∈D±t α/2 n

DS ), donde n

n

i1iD

D∑

= = y SD = 1n

n2

i1i

)DD(

−

∑ −=

22

Ejemplo: (Casas, 1996, pp. 248-249) Datos del consumo de gasolina por 1000 km de una muestra aleatoria de 9 cohes con dos carburantes X e Y. Suponiendo normalidad para los consumos, hallar intervalo de confianza al 99% para la diferencia de medias.

Coche Xi Yi Di= Xi-Yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

132 139 126 114 122 132 142 119 126

124 141 118 116 114 132 145 123 121

8 -2 8 -2 8 0 -3 -4 5

∑==

n

i1iDD

n1 =2; SD = ∑ −

=−

n2

i1i

)DD(1n

1 =5.17

(1-α)x100=99% ⇒ t n-1, α/2 = t8,0.005 =3.355

[2 - 3.355x9

5,17 , 2 + 3.355x9

5,17 ]=[-3.781, 7.781]

Al 95% ⇒ t α/2 = t8,0.075 =2.306

[2 – 2.306x9

5,17 , 2 + 2.306x9

5,17 ]=[-1.974, 5.974]

23

7.4. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES 7.4.1. Intervalo de confianza (aproximado) para la proporción p

Sea X1,..., Xn m.a.s de una Bernoulli b(p) ⇒ Xi=⎩⎨⎧

−→→

pp1)fracaso(Aocurresi0

)éxito(Aocurresi1

p̂ =_X =

n

Xn

1i i∑= = proporción “muestral” de éxitos

Teorema Central límite: )1,0(N)1(

ˆn ~∞→−

−

npp

pp

Difícil despejar p: ⇒ Sustituimos por estimador p̂ =_X consistente

)1,0(~)ˆ1(ˆ

ˆN

npp

ppn ∞→−

−

1-α=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤−−

≤ α/2zα/2z-

npp

ppp)ˆ1(ˆ

ˆ = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+≤≤

−n

ppppn

pppp )ˆ1(ˆˆ)ˆ1(ˆˆ α/2α/2 zz- ⇒ n

ppp )ˆ1(ˆˆ −± α/2z

24

Determinación del tamaño de la muestra Determinar el tamaño muestral n para tener una precisión determinada

nppp )ˆ1(ˆˆ −

± α/2z

Es un intervalo de la forma p̂ ±E ⇒ centrado en p̂ y simétrico con un margen de error ±E:

E = npp )ˆ1(ˆ −

α/2z ⇒ n= 2

2α/2

Ez )X1(X −

El máximo de X (1-X ) es 1/4 que corresponde a p̂=1- p̂=0.5 (hipótesis más desfavorable de máxima indeterminación p=q=0.5)

⇒ n= 2

2α/2

Ez4

25

Ejemplo:

En un determinado país se celebrarán próximamente elecciones

generales y sólo se presentarán dos candidaturas A y B. Un mes antes

de las elecciones se ha realizado una encuesta de intención de voto a

100 individuos y se han obtenido los siguientes resultados: el 42%

prefiere al candidato A, el 50% prefiere a B y el 8% no contesta.

(a) Hallar un I.C: para la proporción de individuos que votarán A (95%).

(b) Si se hubieran hecho 4000 entrevistas y los % de resultados

hubieran sido los mismos, ¿cuál habría sido el I.C.?

(c) ¿Cuál debería ser el tamaño muestral necesario para poder estimar

con una precisión de ±1% y una fiabilidad del 95%?

26

7.4.2. Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

(X1,...,Xn1) m.a.s de b(p1)

(X1,...,Xn2) m.a.s de b(p2)

Teorema Central límite: 1p̂ ))1(,(N1

111~n n

ppp −∞→ ; 2p̂ ))1(,(N

2

222~n n

ppp −∞→

Independientes ⇓

21 ˆˆ pp − ))1()1(,(N~ 22

1

1121n 2n

ppn

ppp-p −+

−∞→

Difícil despejar p1-p2: ⇒ Sustituimos p1, p2 por estimadores consistentes

PIVOTE: )1,0(N

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)()ˆˆ(

2

22

1

11

2121 →−

+−

−−−

npp

npp

pppp

⇒ (p1–p2)∈ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−±−

21 npp

npppp )ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ

)2ˆ1̂( 2211α/2z

independientes