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XIV CONGRESO NACIONAL DE INGENIERIA CIVIL - IQUITOS 2003 Capítulo de Ingeniería Civil del Consejo Departamental de Loreto del Colegio de Ingenieros del Perú

ESTIMACION DE LA RESPUESTA SISMICA DE ESTRUCTURAS

EN BASE A SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD PARA EL

CALCULO DE LA VULNERBILIDAD SISMICA

Ricardo PROAÑO T. (1) Carlos ZAVALA T. (2)

Centro Peruano Japonés de Investigaciones Sísmicas y Mitigación de Desastres (CISMID) Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI)

Lima-Perú

(1) Jefe del Centro de Computo del CISMID .- Colaborador en investigación CISMID (2) Jefe Investigaciones de la sección Post Grado FIC- UNI – Asesor CISMID

1. RESUMEN

La vulnerabilidad estructural para edificaciones civiles han tomado en los últimos años un especial

interés por parte de autoridades gubernamentales y la empresa privada con la finalidad de obtener la

máxima perdida probable o un índice de daño ante la ocurrencia de eventos sísmicos esperados.

En el presente articulo se muestra una de las tantas alternativas para el cálculo de la respuesta de la

estructura real en base a la respuesta de sistemas equivalentes de 1 grado de libertad. La

metodología que aquí presentamos ha sido desarrollada en base otros estudios realizados en otros

países considerando el hecho de que para este caso en particular los modelos matemáticos

desarrollados para el calculo de algunos factores representen la realidad de la infraestructura

nacional. Se han desarrollado una serie modelos estructurales correspondientes a distintos tipos de

estructuras (albañilería, pórticos de concreto armado, pórticos con placas, estructuras de acero y

otros) de distinto número niveles. Los análisis realizados han sido dinámicos, tales como el modal

espectral y tiempo historia en los cuales se ha considerado el comportamiento elástico e inelástico.

2. INTRODUCCIÓN

En los últimos años la vulnerabilidad estructural ha tomado un gran interés en el Perú dada la gran

ausencia de grandes sismos en la capital y con esto la probabilidad de ocurrencia de sismos de gran

magnitud es mayor. Nuevos métodos para la respuesta estructural y el daño esperado han sido

propuestos, así como, estudios de atenuación han sido llevados a cabo en la cuidad de Lima.

Gerencia XIV CONIC: ICG Instituto de la Construcción y Gerencia Calle Nueve 1056 Urb. Corpac San Isidro, LIMA – PERU / (51 – 1) 225-9066 / www.construccion.org.pe / [email protected] 1


El estudio de la vulnerabilidad sísmica de una ciudad, provincia o distrito podría ser usado tanto

para calcular el índice de dañó, establecer curvas de fragilidad o para el calculo de perdida máxima

probable. El estudio de vulnerabilidad sísmica de las estructuras de una determinada ciudad o

edificaciones aseguradas presenta los siguientes retos: 1) determinar el tamaño de la muestra a

analizar, 2) establecer tipologías de las estructuras, 3) establecer los usos de las edificaciones 4)

cuantificar de las irregularidades, tales como irregularidad en planta, torsión en planta, piso blando,

separación insuficiente, columna corta, extra pesados en el ultimo nivel etc. 5) establecer el estado

de conservación de las estructuras.

Este método esta orientado a determinar: El Indice de Daño y la Máxima Perdida Probable,

cantidades de interés para las Compañías de Seguros, A continuación se describen los aspectos mas

relevantes del estudio.

3. METODOLOGÍA

La categorización de la estructura es de suma importancia para el estudio ya que aquí se anota todos

los datos tales como 1) Identificación del inmueble 2) Ubicación 3) Tipo de estructura 4) Altura

5) Croquis o plano en planta 6) Estado de conservación 7) Configuración estructural y otros.

Para la predecir de la respuesta estructural de las edificaciones se han a analizado varios modelos

reales tridimensionales y se les ha compararado con sus respuestas de modelos equivalentes de 1

grado de libertad (1Gdl) tanto en el rango elástico como inelástico. Se han considerado para el

análisis 3 grandes grupos de estructuras de varios tipos de materiales: el primero de los cuales son

las estructuras con comportamientos de muros de corte básicamente para resistir el 100% de la

fuerza sísmica; un segundo grupo con un porcentaje de la fuerza sísmica resistida por muros de

corte y otro porcentaje resistido por pórticos estructurales y un 3er grupo compuesto por estructuras

que toman el 100% de la fuerza sísmica en pórticos estructurales.

3.1 Corrección en el rango elástico :

Se define el factor β1 como la relación que hay entre el desplazamiento del ultimo nivel de la

estructura y el desplazamiento espectral obtenido del espectro de Pseudo aceleraciones.



Fig. Nº1. Corrección elástica del desplazamiento en el ultimo nivel.

Se define el factor β2 como la relación que hay entre la máxima distorsión de entrepiso en el nivel i

y la distorsión del modelo de 1 grado de libertad.

Fig. Nº2. Corrección elástica de la distorsión máxima de la estructura.

Como ejemplo practico mostramos a continuación estructuras de albañilería las cuales son

analizadas como estructuras de muros de corte. Se han modelado estructuras de albañilería de forma

simétrica y regulares en planta cuyos dimensiones están en la relación de 1:1, 1:2, 1:3, y 1:4 con

alturas variables que van de 1 a 5 pisos. En cada uno de estos casos se ha realizado un análisis

elástico sísmico modal espectral y se han realizado una serie de comparaciones en lo que se refiere

a desplazamientos, en el ultimo nivel para le calculo del factor de corrección β1, y las distorsiones

de entrepiso, para el calculo del factor de corrección β2.

H H

URoof

K

MSd

T

Sa

S =

ω = T

Saω

π2

d 2

β1URoof

Sd....... 1( )

β2Ψ i max( )

Ψ m

Ψ i max( )

URoof

H

........ 2( )

ψm

RoofU

H

A continuación se muestran los cuadros Nº1 y Nº2 que muestran los resultados obtenidos de los

análisis y su respectiva comparación con los modelos equivalentes de 1 grado de libertad.



Fig. Nº3. Estructuras de Albañilería de 2 pisos regulares y simétricas analizadas.

Cuadro. Nº1. Factores de corrección β1 y β2 para estructuras de 2 pisos.

PERIODO Pseudo Acel. Desplazamiento Desplazamiento β1 Distorsión Distorsión β2

(Seg) Espectral (m/seg2) Espectral (cm) Ultimo Nivel (cm) (Sd*β1/H) Máxima Modelo 1a 0.1117 1.64 0.311 0.40896 1.315 0.0008 0.0008 1.0619 Modelo 1b 0.1227 1.64 0.375 0.49446 1.318 0.0010 0.0010 1.0724 Modelo 1c 0.1558 1.64 0.605 0.804 1.329 0.0015 0.0018 1.143 Modelo 2a 0.1547 1.64 0.597 0.786 1.318 0.0015 0.0017 1.1076

Modelo 2b 0.2608 1.64 1.695 2.268 1.338 0.0044 0.0054 1.2328 Modelo 2c 0.2882 1.64 2.070 2.76 1.333 0.0053 0.0064 1.213Modelo 3a 0.0585 1.64 0.085 0.11304 1.325 0.0002 0.0002 1.1461 Modelo 3b 0.0644 1.64 0.103 0.13614 1.317 0.0003 0.0003 1.1293 Modelo 3c 0.0681 1.64 0.116 0.15138 1.310 0.0003 0.0003 1.1138

Modelo 4a 0.222 1.64 1.228 1.638 1.333 0.0032 0.0037 1.1795 Modelo 4b 0.2695 1.64 1.810 2.42 1.336 0.0047 0.0057 1.2258 Modelo 4c 0.3117 1.64 2.422 3.23 1.335 0.0062 0.0076 1.2208

Como se puede apreciar, en el Cuadro Nº1, para la obtención de el factor β1 se ha dividido el

desplazamiento en el ultimo nivel del modelo tridimensional entre el desplazamiento espectral

correspondiente del espectro de pseudo aceleraciones y se han obtenido valores para β1 que varían

entre 1.31 y 1.34 en promedio con una muy pequeña variación en todos los casos. Debe de

observarse de que para cada modelo con periodos diferentes y desplazamientos en el ultimo nivel

diferentes el cociente (β1) es constante.

Sin embargo para el calculo del factor de corrección β2 se ha calculado la máxima de todas las

distorsiones de todos los entrepisos del modelo tridimensional y se ha dividido entre la distorsión

global (cociente entre el desplazamiento del ultimo nivel y la altura total de la edificación)

obteniéndose valores que varían entre 1.06 y 1.22.

Estos resultados debe de entenderse como que el desplazamiento en el ultimo nivel de una

estructura de 2 pisos de albañilería es 1.32 veces el desplazamiento espectral y que la distorsión

máxima es 1.14(en promedio) la distorsión global. Debe de indicarse en cada caso de que el

periodo de la estructura es de suma importancia y debe de haber sido determinado con anterioridad.



Fig. Nº4. Estructuras de Albañilería de 4 pisos regulares y simétricas analizadas.

Cuadro. Nº2. Factores de corrección β1 y β2 para estructuras de 4 pisos.

PERIODO Pseudo Acel. Desplazamiento Desplazamiento β1 Distorsión Distorsión β2

(Seg) Espectral (m/seg2) Espectral (cm) Ultimo Nivel (cm) (Sd*β1/H) Máxima Modelo 1a 0.3131 1.64 2.443 3.53 1.446 0.0034 0.0041 1.202Modelo 1b 0.3435 1.64 2.941 4.248 1.444 0.0041 0.0049 1.2034 Modelo 1c 0.462 1.365 4.428 6.474 1.462 0.0062 0.0077 1.2382 Modelo 2a 0.4187 1.544 4.114 5.964 1.450 0.0057 0.0069 1.2032

Modelo 2b 0.8091 0.678 6.746 9.924 1.471 0.0095 0.0123 1.2914 Modelo 2c 0.8387 0.648 6.928 10.134 1.463 0.0097 0.0120 1.2315 Modelo 3a 0.1714 1.64 0.732 1.068 1.459 0.0010 0.0013 1.236 Modelo 3b 0.1836 1.64 0.840 1.218 1.450 0.0012 0.0014 1.2185 Modelo 3c 0.1906 1.64 0.905 1.308 1.445 0.0013 0.0015 1.2191

Modelo 4a 0.6456 0.899 5.695 8.28 1.454 0.0080 0.0098 1.2319 Modelo 4b 0.8192 0.667 6.803 10.008 1.471 0.0096 0.0123 1.2758 Modelo 4c 0.9268 0.572 7.467 10.836 1.451 0.0104 0.0131 1.2558

Como se puede apreciar en el Cuadro Nº2 los valores para β1 son de 1.45 en promedio mientras que

los valores para β2 varían entre 1.20 y 1.29.

En general, los valores de β1 debe de entenderse como un factor de corrección que depende

únicamente de la altura y el tipo de configuración estructural. Las alturas de las edificación han

tenido una altura de entrepiso promedio de 2.65m.

Los factores de corrección para el calculo de la máxima distorsión elástica de entrepiso no tienen

tan buena convergencia como ocurre en el caso del calculo del desplazamiento del último nivel, sin

embargo, estos valores no difieren en mas del 12% al 20% con respecto al promedio.



β 1Estructuras de albañilería

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

# de Pisos

1


1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

# de Pisos

2

Fig. Nº5. Factores de corrección β1 y β2 vs. altura de la edificación.

β 1Modelos de albanileria

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

Periodo (seg)

1


1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

Periodo (seg)

2

Fig. Nº6. Factores de corrección β1 y β2 vs. Periodo de la edificación.

Las Fig.Nº5 y Nº6 muestran los valores de β1 y β2 , para todos los modelos propuestos, con respecto

a la altura y al periodo de la edificación respectivamente. Los valores de β1 convergen mas con la

altura mientras que los de distorsión convergen mas con el periodo de la estructura.

Las Ecuaciones 1 y 2 dan una buena aproximación para la respuesta elástica de las estructuras. Esto

estaría bien si es que el comportamiento de la estructura fuera completamente o parcialmente

elástico lo cual no es la realidad de cualquier estructura ante cualquier evento sísmico. Luego el

desplazamiento elástico del ultimo nivel (∆Roof) y la distorsión máxima elástica de entrepiso (ψMax)

en la estructura podrían ser estimadas a través de las Ecuaciones (3) y (4)

∆Roof β1 Sd⋅ ........ 3( )

ψMaxβ1 Sd⋅

H

β2⋅ ........ 4( )



También se puede obtener alguna información sobre las distorsiones de entre piso y se han

realizado estudios sobre la relacion que hay para distintos tipos de estructuras en lo que se refiere a

la relacion que hay entre la distorsión máxima Ψmáx. y la distorsión de entrepiso Ψi en cualquier

nivel.

DISTORSIONES Vs. Nº de PISOS

Albañileria - 5 Pisos

0

1

2

3

4

5

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016

Distorsion

Nº

de P

isos

Fig. Nº7. Distorsión Vs. Nº de pisos en estructuras de albañilería de 5 pisos

En la Fig. Nº7 se muestras las graficas de distorsiones Vs. Nº de pisos de la edificación para

estructuras de albañilería de 5 pisos en la que se muestra la forma de las distorsiones en las

estructuras de muros de corte en la cual se puede observar que la distorsión máxima de entrepiso

esta en el ultimo nivel.

En el Cuadro Nº3 se muestra el cociente entre la distorsión de un piso genérico i y la distorsión

máxima del edificio de un grupo 12 de todos los modelos analizados para estructuras de albañilería.

Se puede observar que en el 1er piso este cociente tiene valores que van de 0.34 a 0.42, en el 2do

piso estos valores van de 0.68 a 0.80, en el 3er piso van de 0.87 a 0.97, en el 4to y 5to piso son en

general 1.0.

Cuadro. Nº3. Relación entre la distorsión de piso y la distorsión máxima de la estructura.

# de Pisos Base Piso Piso Piso Piso Piso 5 0 1 2 3 4 5

Modelo 1a 0.000 0.39015 0.742 0.932 1.000 0.973Modelo 1b 0.000 0.39223 0.746 0.933 1.000 0.972Modelo 1c 0.000 0.34795 0.712 0.915 1.000 1.000Modelo 2a 0.000 0.42903 0.803 0.971 1.000 0.945Modelo 2b 0.000 0.32635 0.686 0.874 0.972 1.000Modelo 2c 0.000 0.39033 0.768 0.933 0.998 1.000Modelo 3a 0.000 0.34375 0.719 0.917 1.000 0.990Modelo 3b 0.000 0.35944 0.734 0.935 1.000 0.981Modelo 3c 0.000 0.37202 0.742 0.939 1.000 0.974Modelo 4a 0.000 0.37416 0.746 0.931 1.000 0.996Modelo 4b 0.000 0.34581 0.711 0.895 0.980 1.000Modelo 4c 0.000 0.37438 0.735 0.899 0.978 1.000

Promedio 0.37 0.74 0.92 0.99 0.99



De estas relaciones se pueden en algunos caso establecer reglas practicas para obtener la distorsión

de un piso cualquiera en función del número de pisos de una estructura y la distorsión máxima de la

estructura (en este caso para estructuras de albañilería) tal y como se muestra en la ecuación (5).

Ψ i Ψmax n 1if

Ψmax 1n i− 0.5−

n 0.5−

2−

⋅ otherwise........ 5( )

Donde n es el numero de pisos de la edificación, Ψmax es la distorsión máxima de entrepiso en la

estructura y i es el piso en estudio

3.2 corrección en el rango inelástico

Dado a que las estructuras son diseñadas con la finalidad de que muestren un comportamiento

inelástico, tal y como es el caso de edificaciones, será de vital importancia el estimar el valor del

desplazamiento y distorsiones en el rango inelástico los cuales son función de las ductilidades de

demanda a las que están sometidas estas estructuras ante la ocurrencia de eventos sísmicos.

Se define un factor de Reducción (Rµ) el cual es la relación entre la fuerza sísmica esperada para un

nivel de aceleración sísmica esperada (Z) y la fuerza sísmica de diseño de la estructura el cual

deberá de incluir el factor de sobrerresistencia (Ω) esperado para cada tipo de estructura y la

aceleración sísmica de diseño(Zdiseño) tal y como se muestra en la Ecuación (6). Se entenderá de que

si Rµ es menor que 1.0 indicara de que la estructura no entrará al rango inelástico y si es mayor que

1.0 se entenderá de que la estructura estará sometida a deformaciones en el rango inelástico.

RµZ

ZDiseno

R

Ω⋅......... 6( )

La ductilidad de demanda de estimará usando la expresión deducida por Newmark (Fundamentals

of Earthquake Enginnering. Newmark & Rosenblueth. 1971). A través de la Ecuación (7).



µ

1 Rµ 1−( ) tot

⋅+ t 1≤if

Rµ otherwise

Rµ 1>if

1 Rµ 1≤if

......... 7( )

Donde: “Rµ”es la relación de demanda versus resistencia y “to” es 0.1 para suelos firmes.

Para explorar la demanda del desplazamiento en el rango inelástico se analizan distintos tipos de

estructuras a través de modelos de 1 grado de libertad, los cuales, son sometidos a análisis

dinámicos tiempo historia utilizando distintos registros sismos de la región sobre suelo firme.

Se define el factor β3 como la relación entre el máximo desplazamiento elástico e inelástico

para en modelos de 1 grado de libertad sometido a una registro de aceleraciones, ver Ecuación (8).

Fig. Nº8. Comportamiento elástico e Inelástico de una estructura de 1grado de libertad para el cálculo del factor de corrección β3

β3∆ i max( )

∆e max( )......... 8( )

∆∆∆∆ (max)y e (max)i

H

Comportamiento

InelasticoComportamiento

Elastico

(max)i=µ

∆y

∆

El factor de corrección β3 es función del periodo de vibración de la estructura, ductilidad de

demanda del sismo y las condiciones del suelo. Se han realizado análisis tiempo historia de

estructuras de 1 grado de libertad sometidas a 20 registros de aceleraciones tomadas en el suelo de

lima y se ha procedido a calcular estos factores de corrección inelástica del desplazamiento para

distintos factores de reducción R y se muestra en la Fig.Nº9.



Factor de correccion β3(R=6)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Periodo

β3

L074EOLO74NSL274EOL274NSLI51EOLI51NSLI66EOLI66NSLI70EOLI70NSLI71EOLI71NSLI71EOLI74NSLG74EOLG74NSM274EOM274NSZ074EOZ074NS

Fig. Nº9. Factor de Corrección β3 Vs. Periodo de la estructura

E. Miranda (Journal of structural Engineering /April 1997 p.417) muestra a través de la Ecuación

(9) una formulación para la estimación de este Factor β3.

β3 11

µ1−

e 12− T⋅ µ 0.8−⋅⋅+

1−

......... 9( )

Donde: T es el periodo de vibración de la estructura y µ es la ductilidad de demanda.

Se define el factor β4 como la relación entre las distorsiones elásticas e inelásticas en la estructura.

Este factor se calcula a través de análisis tiempo historia elásticos e inelásticos en modelos planos

sometidos a excitaciones en la base.

E. Miranda (Journal of structural Engineering /April 1997 p.417) muestra a través de la Ecuación

(10) una formulación para la estimación de este Factor β4. El cual es función de la ductilidad de

demanda y el numero de pisos de la edificación en estudio.

β 4 1 µ

30 + n 20+ µ 1 > if

1 otherwis........ 10 ( )

Donde: µ es la ductilidad de demanda y n es el numero de pisos



Finalmente, de todo lo descrito anteriormente se podría estimar la respuesta inelástica máxima para

el desplazamiento en el ultimo nivel (∆i) y la distorsión máxima de entrepiso ( de la estructura a

partir del desplazamiento espectral Sd para un modelo equivalente de 1 grado de libertad a través de

las ecuaciones (11) y (12)

∆ i Sd β1⋅ β3⋅ ........ 11( )

ψ iSd β1⋅ β3⋅( )

Hβ2⋅ β4⋅ β1 β2⋅ β3⋅ β4⋅

Sa T⋅

4 π2⋅ H⋅⋅ ........ 12( )

Donde: β1, β2, β3,β4 son los factores de corrección, Sd es el desplazamiento espectral, Sa es la

Aceleración espectral, T es el periodo de la estructura y H es la altura total de la edificación.

Ahora ya que las estructuras analizadas han sido todas regulares y simétricas, las irregularidades

tales como piso blando, columna corta, irregularidades en planta y altura, extrapesados etc. Se

pueden aplicar a las estructuras como castigo a las distorsiones amplificando estas a través de

criterios validos que los ingenieros convengan dada la realidad del lugar en estudio ya que las

distorsiones son directamente proporcionales al daño en la estructura. Una ves determinadas las

distorsiones se podría intentar estimar el daño en la estructura debido a un evento sísmico esperado

y dar sentido al estudio de la vulnerabilidad estructural.

Debe de entenderse de que este es solo una metodología usada para estimar la respuesta de una

estructura a través de modelos de 1 grado de libertad el cual es utilizado en ocasiones cuando el

tamaño de la muestra a analizar es grande y representa una alternativa ya que el análisis estructural

detallado de cada estructura de la muestra seria imposible de analizar.

El estudio de las irregularidades para corregir las distorsiones máximas ya ha sido iniciada y será

motivo de otra publicación.

4. Conclusiones

• Los factores de corrección β1 tienen buena convergencia y demuestra de que la

corrección del desplazamiento espectral para obtener el desplazamiento del ultimo

nivel de una estructura es solo función de la altura. También se observa de que se



vuelve asintótico para estructuras altas en todos los casos ya sea este albañilería,

pórticos de concreto armado o estructuras mixtas.

• El factor de corrección β2 tiene mejor convergencia con el periodo de la estructura

que con la altura de la edificación en todos los sistemas estructurales estudiados.

• Es posible estimar la distorsión de entrepiso de cualquier nivel en función de la

distorsión máxima de entrepiso en la estructura.

• El factor de corrección β3 alcanza valores altos para estructuras de periodos

pequeños y tiene valores iguales a para estructuras de periodos largos.

• El factor de conversión β4 es función de la altura y de la ductilidad de demanda.

• Un criterio valido para la cuantificación de las irregularidades es aplicar un castigo a

las distorsiones inelásticas máximas ya que estas son directamente proporcionales al

daño de la estructura.

• Debe de entenderse de que este es solo una metodología usada para estimar la

respuesta de una estructura a través de modelos de 1 grado de libertad el cual es

utilizado en ocasiones cuando el tamaño de la muestra a analizar es grande y

representa una alternativa ya que el análisis estructural detallado de cada estructura

de la muestra seria imposible de llevar a cabo.

REFERENCIAS

• Miranda E. Proceedings of the Tenth World Conference on Earthquake Engineering. 1992.

• Miranda E. Aproximate Seismic Lateral Deformation Demands in Multistory Buildings

• Ordaz M., Miranda E. Seismic Loss Estimation Model for México City.

• Newmark & Rosenblueth. Fundamentals of Earthquake engineering. 1971.


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