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Estimación de la(s) LGD de unacartera de préstamos hipotecarios.
Gregorio Moral ([email protected])
Raúl García ([email protected])
Banco de España (D.G. de Supervisión )
Seminario Instituto MEFF-UAM de Matemática Financiera
Torre Picasso planta 35 (Madrid)
27 de febrero2002
El contenido de esta presentación y los comentarios efectuados durante la misma son responsabilidad única desus autores, sin que necesariamente reflejen criterios del Banco de España, ni de la D.G. de Supervisión.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 2
Pérdida media en un horizonte
• Modelo sencillo de cálculo de las pérdidasmedias de las operaciones en un horizontetemporal dado (un año):– PD=probabilidad de incumplimiento en algún t*
– LGD independiente de t* dentro del horizonte.– Condicionado a incumplimiento, t*~ U(0,1).
( ) ( )
ire
ExpLGDEPD
tExpeELGDEPDLEir
itt
−−
==−
−
1*)0(*)(*
)(**)(*
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 3
Definición de incumplimiento (I)• Incumplimiento (default) no es lo mismo
que mora contable.• Definiciones de incumplimiento (I,N), I
importe mínimo impagado, N número dedías. Se propone N=90 como referenciaestándar, I depende del producto.
• Facilita: la comparación entre carteras,entre diferentes momentos del tiempo, condatos contables, compatibilidad con ladefinición BIS II.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 4
Definición de incumplimiento (II)• Otras definiciones basadas en: paso a
judicial, paso a categoría interna de laentidad, reinstrumentación o impago deoperaciones del titular, declaración dequiebra…
• La definición más natural de incumplimientodepende del producto.
• Se tiende a utilizar definiciones que eliminenlos casos en los que finalmente no haypérdidas.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 5
Pérdida asociada a una operación (I)
• No se utiliza una definición contable. Seconsidera el efecto financiero y los costesdirectamente imputables a las operacionesque incumplen. En tanto por uno:
• Con esta definición L>=0, nótese que aefectos de gestión puede interesar quitar esarestricción.
−−= ∑ ∑ 0,1 k
kj
kik
D
PRMaxL
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 6
Pérdida asociada a una operación (II)• Tipo de actualización.• Gastos reales: gastos judiciales y de
adjudicación. Imputación de gastos (g1,g2).• Modelos de imputación de gastos:
– Incorporar gastos cuando no se conocen.– Homogeneizar la información sobre gastos.– Modificar los datos históricos de gastos para
incorporar la información actual sobre laestructura de costes (internos y/o externos).
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 7
Pérdida asociada a una operación (III)
• Tratamiento de las adjudicaciones de bienes:– ¿Cuándo termina el proceso de recuperación?– Políticas de adjudicaciones y su evolución.
Ejemplo: a t*Min(Valor tasación, Deudareclamada).
– Experiencia previa con las operaciones yarealizadas frente a terceros.
– Coeficiente reductor d, por adjudicación.
365)(
)1(kk FdFa
ki
ki rAdR
−−+=
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 8
Pérdida asociada a una operación (IV)
• En función de los parámetros, la pérdidaasociada a la operación k:
• La pérdida, fijado r, es localmente lineal enlos parámetros, excepto en los puntos delhiperplano Hk.
( ) [ ]0,0,1,2,1, ),,( 21 ggdp kMaxkD
kjPk
iRMaxrggdkL =
∑ ∑−−=
0),,( 21 =≡ ggdpH kk
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 9
Definición de LGD
• LGD=Pérdida porcentual asociada a unaoperación normal (ex-ante) supuesto suincumplimiento.
• Es una variable aleatoria. Se pueden obtenerobservaciones a partir de operaciones quehan incumplido y de las que ya conocemossu pérdida.
• Las distribuciones empíricas no son niunimodales ni simétricas.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 10
LGD y definición de incumplimiento (I)
• Consideremos dos definiciones deincumplimiento DF1 y DF2, y supongamos quela primera es mas amplia que la segunda.
• Por ejemplo: DF1=(I,N=90 días), DF2=(DF1que no se hayan regularizado con pago enefectivo), DF2`=(operaciones que han dadolugar a un procedimiento judicial),DF2``(I,N=180 días).
• Suponemos además, que sólo hay pérdidas víaDF2.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 11
LGD y definición de incumplimiento (II)
• Para cualquier operación k ya terminada enel instante t, clasificada inicialmente como(DF1,t1 )y finalmente (DF2,t2), ? k=t2-t1:
• En t2:
• Utilizando que L(k,t1) debe ser igual a L(k,t2)descontada al instante t1:
)(*)(*)()( 2)*)((
21 kfkLGDekLGDkLGD kikr == ∆−
),(*)(),( 111 tkExpkLGDtkL =
kkretkExpkLGD
tkExpkLGDtkL∆
==)*(
12
222
*),(*)(
),(*)(),(
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 12
LGD y definición de incumplimiento (III)• Para cualquier operación ya terminada en el
instante t, clasificada inicialmente como (DF1,t1)y nunca como DF2, sabemos que LGD1(k)=0 yno hay observación LGD2(k).
• Tenemos una muestra de n+m observaciones deLGD1 y n de LGD2. Si estimamos las E(LGD1) yE(LGD2*f) mediante las medias simplesmuestrales y suponemos que E(LGD2*f) =E(LGD2)*E(f):
)(*)(*)(*)*()(1
2221 fEDFPLGDEmn
nfLGDELGDE
DF≅
+≅
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 13
Población ejemplo• Préstamos hipotecarios a personas físicas
con antigüedad máxima de 5 años.• Heterogeneidad de garantías. Codificación
de garantías que no permite segmentardirectamente por tipos (primera vivienda,segunda residencia, local comercial,...).
• El 60% de las operaciones se concedieroncon importe entre 5 y 15 millones depesetas.
• La mayor parte con LTV inferior al 80%.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 14
Obtención de la muestra base(I)• Relación entre la población y la muestra:
ExpedientesnoregularizadosODF2
ExpedientesregularizadosONDF2
Operacionescanceladas18.18%
Operaciones enproceso judicial81.82%
Operacionesadjudicadas a terceros5.45%
Operacionesadjudicadas a la entidad 49.09%
Expedientes con90 días deimpago >IODF1(t)
Muestra<10% deODF2
Operaciones que no haterminado el proceso18.18%
Faltainformacion9.09%
Tiempo medio de los que se calculó la pérdida 1,6 años.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 15
Obtención de la muestra base(II)• Se parte de que las operaciones NDF2 no
tienen pérdida.• Se ha extraído una muestra aleatoria de 55
operaciones marcadas como DF2:– En 5 casos falta información.– En 10 casos no había concluido el proceso de
recuperación.– En 30 casos la recuperación había terminado con
la adjudicación del bien hipotecado (27 por elpropio grupo).
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 16
Cálculo de la LGD muestral(I)• Las LGD observadas se calculan en el
momento de incumplimiento DF1 con ladeuda en dicho momento (t1=t2 y D1=D2).
• Hay que decidir el tratamiento de loselementos con información incompleta:– Ignorarlos.– Tratarlos como una función del resto de
valores.– Tratarlos como una variable aleatoria.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 17
Cálculo de la LGD muestral(II)• En general, no es conveniente prescindir de
los elementos con información incompleta.• Analizando la información disponible se
puede asignar como LGD una variablealeatoria a cada elemento sin informacióncompleta:– I. General: Obtenida del resto de elementos.– I. Específica: a partir del análisis del
expediente.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 18
Cálculo de la LGD muestral(III)• Sin analizar la parte específica se puede
asignar a cada uno de los elementos unafunción del resto de valores:– Media muestral=m.– Media ponderada muestral=mp.– Mediana muestral=med.
• Analizando el expediente se puedeincorporar un sesgo e incertidumbre(varianza), LGD≈N(β*m, v2).
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 19
Estimación de la LGD poblacional.(I)• Se utiliza LGDm≈E(LGD2) y se estima la
E(LGD1) mediante:
• Como estimador de la probabilidadcondicionada se utiliza:
• nd1(0,t)=nº de op.DF1 hasta t, nd2(0,t)=nº deop.DF2 hasta t, en nuestro caso P*(t)=0,4484.
)(*)()(1
221 DFDFPLGDELGDE ≅
)(),0(),0(
)( *
1
22
1tP
tndtnd
DFPDF
=≅
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 20
Estimación de la LGD poblacional.(II)• Evolución de P*(t)
• t instante en el que se hizo la estimación delfactor de conversión.
tt−0.5t−1t−1.5t−2
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5t−0.5t−1t−1.5t−2
44.8 %
P∗HtL
P∗HtL∗1.05
P∗HtL∗0.95
tt−0.5t−1t−1.5t−2
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5t−0.5t−1t−1.5t−2
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 21
Estimación puntual de la E(LGD1). (I)
• Gastos judiciales= (g1=10%)*D1.– Estimado a partir del detalle de gastos
disponibles.
• Gastos de adjudicación= (g2=8%)*D1.– Básicamente ITP.
• Coeficiente reductor por adjudicacionespropias, d=90%.
• Tratamiento de los sin información con(β=1)*(m(x), mp(x), med(x))
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 22
Función de distribución empírica•Utilizando las 40 observaciones con informacióncompleta y para valores de g1=10%, g2=8% yd=90%, se obtiene G*(xbase, L):
LGDm=28,20% ; LGDmp=32,21% ; LGDmed=25,75% ; S=26,12%
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
L=Pérdida
G∗HLL
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 23
Sensibilidad frente a (g1, g2, d)• En la región situada en el cubo unidad por
debajo de las caras sombreadas:
0 0.050.1
0.150.2
g1
00.05 0.1 0.15 0.2
g2
0.8
0.85
0.9
0.95
1
d Vi
0 0.050.1
0.150.2
g1
00.05 0.1 0.15 0.2
g2
dggLGD m 1256.04848.05185.0%31.69 21 −++=
dggLGD pm 2516.02174.02475.0%08.31 21 −++=
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 24
Estabilidad del estimador (I)• Percentiles al eliminar 1, 2, 3, 4, 5 elementos
de la muestra (“Jacknife”):
5 10 15 20 25 30α %
C−5,5 %=11.58
C−5,95 %=13.51C−3,95 %=13.31C−2,95 %=13.18C−1,95 %=12.97
C−3,5 %=11.79C−2,5 %=12.00
Media =12.65
C−1,5 %=12.13
Md %
C−1,1−α
C−1,α
C−2,1−α
C−2,α C−5,α
C−5,1−α
α=5%
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 25
Estabilidad del estimador (II)• Percentiles al añadir 1, 2, 3 elementos de la
muestra:
5 10 15 20 25 30α %
C+3,95 %=13.41
C+2,95 %=13.23C+1,95 %=13.14
C+3,5 %=12.04C+2,5 %=12.16
Media =12.65
C+1,5 %=12.34
Md %
C+1,1−α
C+1,α
C+2,1−α
C+2,α C+3,α
C+3,1−α
α=5%
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 26
Intervalos de confianza para E(LGD1)• Generación de 100.000 muestras de tamaño
55 a partir de la muestra original, (40,15).• La diferencia con el Bootstrap estándar es el
tratamiento de los elementos coninformación incompleta. En cadasimulación a estos elementos se les asocia:– C1:Una función (media, media ponderada,
mediana,...) del resto elementos en la muestra.– C2:Una v.a. con parámetros función del resto
de la muestra (N(m(x), σ2 )).
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 27
Distribución del estimador Media, C1
0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2Md
5
10
15
20
C95−C5%=6.03 %
C5%=9.7% C95%=15.7 %Media =12.65 %
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 28
Distribución del estimador Media, C1 (II)
• La función de densidad es:
• Con momentos, para n*p “grande”:
• En este caso el resultado es casi idéntico aignorar los elementos sin información.
−−
= −
=∑ *
*
1
)1(),()(S
Lxr
Sr
pprn
pnkxh rnrn
r
φ
[ ] [ ]npS
rpp
rn
pnkSBVLBE rnrn
r
2
1
2* 1)1(),(; ≅−
== −
=∑
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 29
Distribución del estimador MediaP, C1
0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225MdP
5
10
15
20
C95−C5%=6.74 %
C5%=11.7% C95%=18.5 %Media =15.23 %
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 30
Distribución del estimador Mediana, C1
0.05 0.1 0.15 0.2Mdn
25
50
75
100
125
150
175
C95−C5%=5.36 %
C5%=7.95 % C95%=13.31 %
Mediana =11.55 %
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 31
Distribución del estimador MedianaG1, C1
0.05 0.1 0.15 0.2MdnG1
20
40
60
80
100
C95−C5%=6.47%
C5%=7.4% C95%=13.9%
Mediana =11.14 %
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 32
Distribución del estimador MedianaG2, C1
0.05 0.1 0.15 0.2MdnG2
5
10
15
20
25
C95−C5%=7.05 %
C5%=7.2% C95%=14.2 %
Mediana =10.95 %
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 33
Comparación entre estimadores, C1
Mdn Md MdG1 MdP MdnG2
8
10
12
14
16
18
Mdn Md MdG1 MdP MdnG2
12.65 %
15.23 %
11.55 %11.14 % 10.95 %
9.7 %−
15.7 %−
7.95%−
13.31 %−
7.4 %−
13.9%−
11.7 %−
18.5 %−
7.2 %−
14.2 %−
Mdn Md MdG1 MdP MdnG2
8
10
12
14
16
18
Mdn Md MdG1 MdP MdnG2
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 34
Comparación entre casos, C1 y C2
0.05 0.075 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225
5
10
15
20
25
30mHxbaseL
β=1.5
NHmHxL,σ=.20L
mHxL
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 35
Comparación con LGD Benchmarks.• En España las entidades, en general, no tienen
estimaciones de LGD basadas análisis detalladode su experiencia histórica, (está cambiando).
• Se utilizan benchmarks proporcionados porconsultores y/o estimaciones de expertos.
• Cifras frecuentemente utilizadas paraoperaciones hipotecarias con particulares seencuentran en [20%, 40%] que supuestobasadas en ≈DF2 transformadas a DF1 caen en[9%, 18%].
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 36
Conclusiones (I)• Comparaciones homogéneas entre LGD:
(definiciones de incumplimiento y de pérdida).• Pérdida económica basada en la experiencia
previa y la información actual.• Imputación de gastos y tratamiento de las
adjudicaciones (sensibilidad).• Tratamiento de los elementos sin información
completa: (ignorarlos, función, v.a.).• Estimación mediante procedimientos
Bootstrap.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 37
Conclusiones (II)• Para la cartera analizada, DF1=(I, 90):
– LGD media 12.65%.– estable, eliminando el 10% de la muestra
combinatoriamente [11.6%, 13.5%]90%.– intervalo de confianza para la LGD media al 90%
[9.7%, 15.7%].• Es fundamental segmentar adecuadamente la cartera
para obtener estimaciones estables de LGD en eltiempo. Las cifras anteriores no deben ser tomadascomo representativas de las carteras hipotecarias deoperaciones con particulares en España.
27 de febrero 2002 Gregorio Moral, Raúl García 38
Bibliografía• Basel Committee on Banking Supervision (2001), The New Basel Capital
Accord. Consultative Document.• Carty, L.V., Lieberman, D. (1996). Defaulted Bank Loans Recoveries.
Moody´s Investors Service. November 1996.• Circulares Banco de España 4/91, 9/99 y 4/00.• Efron, B., Tibshirani, R.J. (1993). An introduction to the bootstrap. New York:
Chapman & Hall.• Gupton, G.M., Gates, D., Carty, L.V. (2000). Bank-Loan Loss Given Default.
Moody´s Inverstors Service. November 2000.• Hurt, L., Felsovalyi, A. (1998). Measuring Loss on Latin American Defaulted
Bank Loans: A 27-year study of 27 countries. Citibank, New York. August1998.
• Moral, G., García, R.(2002). Estimación de la LGD de una cartera depréstamos hipotecarios. Estabilidad Financiera Número 2. Banco de España(próxima publicación).