Estimación en campos desconocidos

GEOSTADSTICA

CAPTULO 6

Estimacin en Campo Desconocido

Ing. Luis E. Vargas R.

2014

ESTIMACIN EN CAMPO DESCONOCIDO

CAPTULO 6

Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas

6.1 Error geomtrico 6.1.1. Estimacin de una superficie

Sea un yacimiento de forma desconocida, de manera sistemtica, en un sector se han realizado sondajes bajo cierta malla.

Los sondajes positivos estn representados por una x (los que reportan mineral) y los estriles por o (sondajes negativos). Si s es el rea elemental y n el nmero de sondajes positivos, la estimacin de la superficie mineralizada S, est dada por:


S* = n.s

s


S

Estimando la superficie mineralizada de la forma descrita anteriormente cometemos un error geomtrico (S*-S).

Demostraremos que esta estimacin es insesgada. La varianza del error geomtrico se define como:

6.1.2. Varianza del error geomtrico


2E S*2

1 n2

( n2 + 0.06 ) 1 6

n21 n2

= n1 n2

Donde:

n = nmero de sondajes positivos.

2n1 = nmero de segmentos paralelos en la direccin 1 en la traza del contorno del yacimiento.

2n2 = nmero de segmentos paralelos en la direccin 2.

Las direcciones 1 y 2 se seleccionan bajo la condicin que n1 n2


Ejemplo: la disposicin de sondajes, pertenece a un yacimiento de cobre-nquel, donde: x representa a los sondajes positivos. Las dimensiones de la malla es de 60*60 m. Calcular con un nivel de confianza del 95%, los lmites del rea mineralizada, as como la varianza de extensin.


n = 35 (nmero de sondajes positivos). 2n1 = 34 segn la direccin horizontal. 2n2 = 20 segn la direccin vertical.

Solucin


2E S*2

1 n2

( n2 + 0.06 ) 1 6

n21 n2

=

1 352

( 10 + 0.06 ) 1 6

172 10

= = 27.76 (%)2 2

E

S*2 5.3 % = E

S*

E = (S*)(5.3%) = (12.6 ha)(5.3%) = 66.78% = 0.6678 ha

El intervalo solicitado, con un error del 5%, es:

S = S* 2E

= 12.6 2(0.6678) = 12.6 1.3

11.3 ha < S < 13.9 ha


I. Sean: El volumen elemental Vi = Si.Pi

La estimacin Vi* de Vi, es igual a:

Vi* = Si*. Pi*

El error cometido ser (Vi* - Vi)

El volumen del yacimiento V es: V = PiSi, estimado por V* = Pi*Si*, siendo Pi el espesor asociado a la seccin Si estimada por S* con una varianza de estimacin igual a:

6.1.3 Estimacin de un volumen


2Si = E(Si -Si*)2

S

V

P

Como las estimaciones elementales Si* son independientes entre ellas, la varianza de estimacin del volumen V es:


2V = E(Vi-Vi*)2 = Pi

22Si i

Entonces la varianza relativa ser:

2V V2

1 V2

Vi2 2Si

Si2

= i

II. Sea el volumen V reconocido por n sondajes verticales positivos de Iongitudes mineralizadas li.

Los n sondajes siguen una malla horizontal regular de lados (a1 , a2).


li

S* = n.a1.a2

a1

a2

Sondajes positivos

La superficie horizontal proyectada S del volumen mineralizado V, de las n zonas de influencia positiva se estima por:


S* = n.a1.a2

El espesor mineralizado vertical promedio se estima por:

El estimador del volumen V es entonces: V* = L x S*.

L = 1/n li i=1

n

La varianza relativa de estimacin de V por V* es:

2V V2

S* L2

= 1 n2 0.06+

90

1 2

a1 a2

= 1 con

Hasta este momento hemos analizado el error geomtrico ligado a la determinacin de los lmites de la mineralizacin y al error de calidad ligada a la estimacin de una caracterstica media (ley, por ejemplo).

En la prctica estos dos errores afectan simultneamente a las estimaciones globales realizadas.

6.2 Influencia del error geomtrico en las estimaciones globales


La figura representa a un yacimiento sedimentario reconocido por sondajes verticales, a partir de estos sondajes positivos se ha definido un contorno de superficie estimada S*, siendo S la superficie mineralizada real desconocida.


p(x)

a(x) = p(x).z(x) = espesor.ley

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x

S

En la zona estimada S* de lmites conocidos, se estima sin sesgo:

El espesor mineralizado promedio:


S* pS* = p(x)dx

1 S*

para p*S*

El contenido metlico promedio:

AS* = a(x)dx 1

S* S* para A*S*

La ley media:

zS* = AS* pS* para

z*S* = A*S* p*S*

La varianza de estimacin global del volumen promedio Vs se ve afectado por el trmino denominado "de borde" relacionado con el impacto de error de superficie.

Si vi es pequeo, se puede considerar que todas las unidades v centradas en un punto estn completamente ubicadas en el interior de V , esto implica anular el efecto de borde de los bloques vi prximos al lmite mineralizado.

6.3 Error de borde


El trmino de borde est dado por:


E(d )2 = V

S

2V V2

O V

D 2

a

Siendo:

2V V2

la varianza relativa de estimacin de volumen.

O V

D 2

a

la varianza de dispersin de los volmenes del contenido metlico a(x).

efecto de borde

V

Esta hiptesis de independencia interna no siempre es verificable (fenmeno de decrecimiento de los valores en el borde del yacimiento).

6.4 Hiptesis de independencia interna


T2 = E

2 + B2

Estimacin Borde

s2

S2 B

2 = (S,S)

(S,S) = varianza de las leyes puntuales s2.

Sean: Z el producto de X e Y y Z* la estimacin de Z e igual al producto de X* (estimacin de X ) e Y* (estimacin de Y).

Es decir:

Z = XY ; Z* = X*Y*

Z*-Z = (X*Y*)-(XY) (1)

6.5 Error de estimacin de un producto


Se tiene:

(X* - X) = x, con E(x) = 0 (Y* - Y) = y, con E(y) = 0

Desarrollando (1) se obtiene :

Z* - Z = (X+x)(Y+y) - XY

Z* - Z = Xy +Yx + xy


Trmino de 2do orden

La esperanza matemtica de Z* - Z es igual a:

E(Z*-Z) = E(Xy) +E(Yx) + E(xy) = E(xy)

XE(y) YE(x)

La estimacin de Z ser insesgada si existe independencia interna, es decir: E(xy) = 0

Var (Z* - Z) = E(Z* - Z)2 - (E(Z* - Z))2


0

= E(Xy +Yx)2 = E(X2(y)2 +Y2(x)2+2XYxy)

= X22y+Y22x+2XYE(xy)

0 independencia interna

Var (Z* - Z) = X2Y2 1

X2 2x

1 Y2

2y +

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