Estimacion y Prueba de Hipotesis

7/21/2019 Estimacion y Prueba de Hipotesis

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1

Estimación



2

Estimación puntual Es la estimación del valor del parámetro por

medio de un único valor obtenido mediante el

cálculo o evaluación de un estimador para unamuestra específica.

El estimador se expresa mediante una fórmula.

Por ejemplo, la media de la muestra:

∑=

=n

1i

iX

n

1X



3

Estimación por intervalos a estimación por intervalo establece un

intervalo dentro del cual es mu! probable"ue se encuentre el parámetro poblacional.El coeficiente de confian#a se usa paraindicar la probabilidad de "ue una

estimación por intervalo conten$a al parámetro poblacional. El nivel deconfian#a es el coeficiente de confian#aexpresado como un porcentaje.



4

Intervalo de confianza para la

media (con varianza conocida) %i es la media de una muestra aleatoria de

tama&o n de una población con varian#a σ',

conocida, un intervalo de confian#a de(1)α*x1++ para está dado por:

X

n#X

n#X '-1'-1 σ+<µ<σ− α−α−



5

%i el muestreo es sin reemplazo ! la fracción

de muestreo ma!or o i$ual a +.+, los límites

de confian#a se calculan con la si$uientefórmula.

11 '-1'-1 −−+<<−−− −−

N

n N

n z X

N

n N

n z X

σ µ

σ α α



6

Ejemplo 1

Una muestra aleatoria de los archivos de unacompañía que contienen información detallada,indican las órdenes de compras para cierta pieafueron complementadas en 1!, 12, 1",14, 15, 1#,11 $ 13 días% &uponiendo que el tiempo decumplimiento de la orden de compra 'medido endías( es una v%a% )ormal con desviación est*ndar3 días,

a( +ten-a un intervalo con un nivel de con.anadel ""/ para el tiempo medio de cumplimientode una orden de compra para la pieaconsiderada%



Ejemplo 2 /na empresa el0ctrica fabrica focos "ue

tienen una duración aproximadamente normal

con desviación estándar de + 2oras. %i unamuestra de + focos tiene una duración promedio de 34 2oras, encuentre un intervalode confian#a de 5 para la media de la población de todos los focos "ue produce estaempresa, si la muestra de focos fue ele$ida delotes "ue contienen '++ focos.


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Intervalo de confianza para la media con

varianza poblacional desconocida

(muestra pequeña )

nS t X

nS t X '-'- α α µ +<<−

11 '-'- −

−+<<

−−

− N

n N

n

S t X

N

n N

n

S t X

α α µ


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Ejemplo 3En un estudio de costos del se-uro dechoques automovilísticos, una muestra

aleatoria de #! costos de reparación decarrocerías para una clase particular dedaños tiene una media de 402 $ unadesviación est*ndar de 62% +ten-a un

intervalo con un "!/ de nivel decon.ana para el costo medio dereparación del tipo de daño considerado


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Eercicio4 /na má"uina produce pie#as metálicas de

forma cilíndrica. %e toma una muestra de las

pie#as ! los diámetros son 1.+1, +.53, 1.+6,1.+, +.55, +.54, +.55, 1.+1 ! 1.+6

centímetros. Encuentre un intervalo de

confian#a de 55 para el diámetro medio delas pie#as de esta má"uina, supon$a una

distribución aproximadamente normal.



Intervalo de confianza para la media con

varianza poblacional desconocida

(muestra grande )

n

%

#Xn

%

#X '-1'-1 α−α− +<µ<−

1 7n 7

n%#X

1 7n 7

n%#X '-1'-1 −

−+<µ<−−− α−α−



Eercicio3 Para estimar el $asto promedio de los

clientes en el 8c9onalds local, los

estudiantes de una clase de estadísticatoman una muestra de '++ clientes !encuentran un $asto promedio de /%; .<3,con una desviación estándar de /%; 1.1+.

=>uál es el intervalo de confian#a del 5 para los $astos promedio de todos losclientes? @nterprete sus resultados.



Eercicio4 /na muestra aleatoria de <++ propietarios

de automóviles muestra "ue, en el estado de

Air$inia, un automóvil se maneja, en promedio, '6++ Bilómetros por a&o conuna desviación estándar de 65++Bilómetros. >onstru!a un intervalo deconfian#a de 55 para el número promediode Bilómetros "ue se maneja un automóvilanualmente en Air$inia.



14

amaño de muestra %i se usa como estimación de µ , podemos tener

(1)α*x1++ de confian#a de "ue el error no exceda

una cantidad específiva e cuando el tama&o de lamuestra es:

%i el cálculo del tama&o de muestra resulta un valorcon decimales, se debe redondear al si$uientenúmero entero.

X

'

'-1

e

#n

σ= α−



15

Nota: %i el muestreo es sin reempla#o, el

tama&o de muestra se calcula con la

si$uiente fórmula:

donde:

N

n

nn

+

+

1+=

'

'-1

+e

#n

σ= α−



16

Tamaño de muestra cuando la

varianza poblacional es desconocida

El valor de s puede ser obtenido a partir de una muestra preliminar de por lo menos 6+ elementos. Nota: Si el valor del tamaño de muestra es decimal se debe redondear al siguiente número entero.

'

'-1

= −

e

s z n

α



10

Eercicio1 /n estudio "ue usted está reali#ando re"uiere

un intervalo del 5 para la tasa de

rendimiento promedio "ue su empresa $anasobre los pro!ectos para presupuestar capital.

=>uántos pro!ectos debe tener su muestra si su

supervisor especifica un error máximo de sóloel ! s C '.6?



1#

Eercicio2 Un eperto en e.ciencia desea determinar

el tiempo promedio que toma el hacer tres

perforaciones en una cierta piea met*lica%u7 tan -rande se requiere que sea lamuestra si se necesita una con.ana de"5/ de que su media muestral estar*

dentro de 15 se-undos del promedio real89suma, por estudios anteriores quese-undos%

+=σ



1"

Eercicio 3 /na má"uina de refrescos está ajustada de

tal manera "ue la cantidad de lí"uido

despac2ada se distribu!e aproximadamenteen forma normal. =Du0 tan $rande sere"uiere "ue sea la muestra si se desea teneruna confian#a de 54 de "ue su mediamuestral estará dentro de +.+5 decilitros del promedio real?. %e cuenta con informaciónde una muestra piloto de tama&o '.



2!

1.99 2.59 2.04 1.86 2.58 2.04

2.73 2.51 2.65 2.72 2.44 2.29

2.52 2.48 2.14 1.98 2.29 2.02

1.94 1.82 2.53 2.38 2.38 2.43



21

Intervalo de conan!a

para la varian!a %i s' es la varian#a de una muestra aleatoria

de tama&o n de una población normal, un

intervalo de confian#a de (1)α*x1++ paraσ' es:

'

'-1

''

'

'-

' *1(*1(

α α

σ

−

−<<− X

S n

X

S n



22

Ejemplo. /n fabricante de baterías paraautomóviles afirma "ue sus baterías durarán, en

promedio, tres a&os con una varian#a de un a&o.

%i cinco de estas baterías tienen duraciones de

1.5, '., 6.+, 6. ! .' a&os, constru!a un

intervalo de confian#a del 5 para la varian#a

real ! decida si la afirmación del fabricante de es

válida. %upon$a "ue la población de duracionesde las baterías es de forma aproximadamente

normal.



23

"ro#lema% :ara estimar el tiempo promedio

que lleva ensamlar cierto componente deuna computadora, el supervisor de unaempresa electrónica tomó el tiempo que 2!t7cnicos tardaan en eecutar esta tarea,

oteni7ndose una media de 12%03 minutos $una desviación est*ndar de 2%!6 minutos%9suma que los tiempos tienen distriuciónnormal%

;onstru$a e interprete un intervalo decon.ana de "#/ para la variana real quelleva ensamlar el componente de lacomputadora%



24

Intervalo de confianza para la

proporción poblacional %i es la proporción de 0xitos en una muestra

aleatoria de tama&o n ! , un intervalo

de confian#a aproximado de (1)α*x1++ parael parámetro binomial p está dado por:

n

"E pE

# pE pn

"E pE

# pE '-1'-1 α−α− +<<−

pE

pE1"E −=



25

"ro#lema. Una empresa desea estimarla proporción de traaadores de la líneade producción que est*n a favor de quese corria el pro-rama de ase-uramiento

de la calidad% &e toma una muestra de1!! traaadores $ resulta que #! est*na favor% Estime con ""/ de con.ana laproporción de traaadores de la líneade producción que est*n a favor de quese corria el pro-rama de ase-uramientode la calidad



26

$ama%o de muestra %i se utili#a como una estimación de p,

podemos tener una confian#a del (1)α*x1++

de "ue el error será menor de una cantidad

específica e cuando el tama&o de la muestra es

aproximadamente:

pE

'

'

'-

e

"E pE#n α=



20

Nota: %i el muestreo es sin reempla#o, el

tama&o de muestra se calcula con la

si$uiente fórmula:

71n1

nn

+

+

−+=

donde

! 7 es el tama&o de la

población.

'

'

'-1

+

e

"E pE#n α−=



2#

roblema. %e reali#a un estudio para estimar

la proporción de residentes en una ciudad "ue

están a favor de la construcción de unafábrica. =Du0 tan $rande deber ser una

muestra si se "uiere una confian#a de al

menos 54 de "ue la estimación estará dentrode +.+ de la proporción real de residentes de

la ciudad, "ue est0n a favor de la construcción

de la nueva fábrica?



2"

Intervalos de confianza para la

diferencia entre dos medias! &aso1' varian!as po#lacionales conocidas

( )

'

'

'

1

'

1'-1'1'1 *(

nn z X X IC

σ σ µ µ

α +±−=− −



3!

Ejemplo! Para comparar dos m0todos de la ense&an#a

de las matemáticas, se aplicaron a '++ alumnos ele$idosal a#ar el m0todo tradicional ! a otra muestra de '+

alumnos el m0todo nuevo resultando las calificaciones

promedio respectivos de 16 ! 1. %upon$a "ue las

varian#as poblacionales respectivas son 5 ! 1<./tili#ando un intervalo de confian#a del 5 para la

diferencia de las medias, =podemos afirmar "ue no 2a!

diferencias si$nificativas entre los dos m0todos?, si 2a!

diferencias, =podemos afirmar "ue el m0todo nuevo esmejor "ue el m0todo tradicional?



31

Intervalos de confianza para la

diferencia entre dos medias! &aso2' (arian!as po#lacionales desconocidas pero

i)uales

( )

+±−=−

'1

'

'-'1'1

11*(

nnS t X X IC pα

µ µ

'

*1(*1(

'1

'

''

'

11'

−+−+−

=nn

S nS nS

p



32

roblema. %e comparan el rendimiento de la$asolina de dos automóviles, F ! G, probando

cada uno de ellos con cinco marcas de $asolina.>ada uno de los ve2ículos $asta un tan"ue decada marca, ! el resultado, en millas por $alón,es el si$uiente

"arca #utomóvil

#

#utomóvil

$

1 '4.6 '5.'

' '3. '4.

6 '5.1 '4.'

'4.3 '4

'5. '5.<



33

>alcule un intervalo de confian#a de 55

para la diferencia de promedios.=Ha!

evidencia "ue su$iera "ue existe unadiferencia entre las cifras promedio

verdadero para el rendimiento de los dos

automóviles? Fsuma poblaciones normalescon varian#as i$uales.



34

&aso3' (arian!as po#lacionales desconocidas *di+erentes

( )'

'

'

1

'

1

*'-,('1'1

*(n

S

n

S t X X IC

v

++−=−α

µ µ

( ) ( )1n1n

n

%

n

%

v

'

'

n

%

1

'

n

%

'

'

'

'

1

'

1

'

''

1

'1

−

+

−

+

=



35

Ejemplo. /na compa&ía de taxis trata de

decidir si comprar neumáticos de la marca F o

de la G para su flotilla de taxis. %e lleva a caboun experimento utili#ando 1' de cada marca.

os neumáticos se utili#aron 2asta "ue se

$astan. os resultados son:

Bilom0tros+++s

Bilómetros6++6<x

'

1

1

=

=

Bilom0tros1++<s

Bilómetros1++64x

'

'

'

=

=

"arca # "arca $

>alcule un @> de 5+ para la diferencia de rendimiento

promedio de ambas marcas de neumáticos. %upon$a

poblaciones normales con varian#as distintas.



36

"rue#a de

,ipótesis



30

%onceptos generales

a prueba de 2ipótesis involucra una suposición

elaborada sobre al$ún parámetro de la población. F

partir de la información proporcionada por la muestra se

verificará la suposición sobre el parámetro estudiado. a2ipótesis "ue se contrasta se llama 2ipótesis nula (Ho*.

artiendo de los resultados obtenidos de la muestra&

o bien rec'azamos la 'ipótesis nula a favor de la

alternativa& o bien no rec'azamos la 'ipótesis nula

suponemos que nuestra estimación inicial del

parmetro poblacional podr*a ser correcto.



3#

Tipos de errores

=nformación muestral

9ceptar >!

?echaar>

!

@arealida

d

>! es

cierta

-o ,a*

error Error I

>! es

falsa Error II-o ,a*error



3"

asos a seguir en una rueba

de +ipótesis

aso ,: lanteo de 'ipótesis! aso -: Nivel de significación!

aso .: rueba estad*stica! aso /: 0uposiciones!

Paso : Ie$iones críticas. >riterios de

decisión. aso 1: 2ealización de la prueba!

aso 3: 2esultados conclusiones!



4!

rueba de 'ipótesis para una media

poblacional varian!a conocida/

Una empresa el7ctrica farica focoscu$a duración se distriu$e de forma

aproimadamente normal con mediade #!! horas $ desviación est*ndar de4! horas% :ruee la hipótesis de quehoras contra la alternativa horas siuna muestra aleatoria de 2# focostiene una duración promedio de 0#4horas% Utilice un nivel de si-ni.canciade !%!5%



41

1. Planteo de 2ipótesis.

'. 7ivel de si$nificación: α C +.+

3% :ruea estadística

4% &upuestos% a. :olación normal% b. Auestra tomada al aar%

≠µ

=µ

4++:H

4++:H

1

+

*1.+( 7Jn-

xK

L

c σµ−

=



42

5% I e-iones críticas% ;riterios de decisión%a ,ipótesis alternante dene las/ !onas/ derec,a!o.

1! %lculos

>onclusiones! %on 45 de nivel de significación apartir de la información muestral& el tiempopromedio de duración de los focos es diferente de 677'oras!

1'.''4-+4++34Kc −=−=



43

rueba de 'ipótesis para una media

poblacional varian!a desconocida/

roblema,: Fntes de publicar un nuevo libro

de cocina, Gantam GooBs desea probar la

2ipótesis, con un nivel de si$nificancia del 'de "ue el precio promedio de tales libros es de

/%; 6.++. =Esta afirmación se sustenta si una

muestra de + libros de cocina tiene una

media de /%; 6'.53 ! una desviación

estándar de /%; 1'.43?



44

roblema-: /n "uímico 2a desarrollado un

material plástico "ue, se$ún 0l, tiene una

resistencia media a la ruptura de '5 on#as por pul$ada cuadrada. Para comprobar la bondad

del m0todo se tomaron '+ láminas de plástico

en mención 2allándose "ue en cada una de

0stas la resistencia a la ruptura es,

respectivamente,



45

9l nivel de si-ni.cación !%!5 $suponiendo normalidad, se admite lahipótesis del químico8

.7!, --!4 -6!8 -8!6 .,!/

.-!3 -3!4 -3!3 -6!8 .7!/

-3!7 -/!. --!6 --!. ..!/.,!- -1!/ -8!/ -8!, -.!4

ó



46

"rue#a de ,ipótesis para lavarian!a

"ro#lemaB &e reporta que la desviaciónest*ndar de la resistencia al rompimiento deciertos cales producidos por una compañía

es 24! l% Cespu7s de que se introduo uncamio en el proceso de producción de estoscales, la resistencia al rompimiento de unamuestra de # cales mostró una desviaciónest*ndar de 3!! l% =nvesti-ue lasi-ni.cancia del aumento aparente en lavariación usando un nivel de si-ni.cancia de!%!5



40

ruebas de 'ipótesis para una

proporción poblacional roblema. En cierta universidad se estima

"ue el ' de los estudiantes van a

bicicleta a la universidad. =Esta parece seruna estimación válida si, en una muestra

aleatoria de 5+ estudiantes universitarios, se

encuentra "ue '4 van en bicicleta a launiversidad? /tilice un nivel de

si$nificancia de +.+



4#

ruebas de 'ipótesis para dos

varianzas poblacionales Ejemplo1' &upon-a que el director de capacitación de unacompañía manufacturera desea comparar dos enfoques detraao en equipo% ;ada miemro de un -rupo de 16empleados nuevos se asi-na al aar a uno de los tresm7todos% Una ve terminada la capacitación de los

participantes, se evalDa el tiempo que tardan 'en minutos( enensamlar el producto% @os resultados se resumen comosi-ueB



4"

a( Eiste homo-eneidad de

varianas8 9nalice los datosconsiderando un nivel desi-ni.cación del 5/%

# 4.4' 5.'< 4.3 4.53 4.< 4.'5 5. 5.'

$ 4.'1 <.< 3. 3.5 4.' 3.3 4.4 4.

ruebas de 'ipótesis para la



5!

ruebas de 'ipótesis para la

diferencia de medias (varianzas

desconocidas e iguales) Ejemplo2B ;lean 9ll es un nuevo limpiador de

uso mDltiple cu$a demanda se prueaehii7ndolo en dos lu-ares diferentes dentro

de varios supermercados% 9 continuación semuestra el nDmero de otellas de 12 onas quese vendieron en cada uicación%

>erca de lascerve#as

1' 14 1+ 1

>on otros

limpiadores

' '4 6+ 6'



51

a* Fnalice los datos, formule las 2ipótesis adecuadas !contrástelas considerando un nivel de si$nificación del .

b*9etermine si es posible, =>uál es el lu$ar dentro delsupermercado más efectivo para la venta del limpiador>lean Fll?



52

ruebas de 'ipótesis para la diferencia

de medias (varianzas desconocidas

diferentes)

EjemploB :ara investi-ar lainuencia de la especialiación enel salario inicial de los -raduadosen =n-eniería, se entrevistó a dos-rupos de estudiantes reci7n

-raduados especialiados enin-eniería $ en otras profesiones%@os resultados fueron como si-ueB



&i se asume

polacionesnormales,se puedeconcluir que

el salariopromedio deotrasprofesiones

es ma$orque enin-eniería8Use α F

Ingenier*a 9tras

profesiones3++++ 1+5+++

5+++ 53+++

1+++++ 5+++11++++ 55+++

4+++ 1++++

3+++ 11++++3++++ 1+<+++

54+++

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