Estimados Alumnos - DME-UFROdme.ufro.cl/propedeutico/images/documents/Material_de_Apoyo... · 1 Estimados Alumnos: Pongo en sus manos esta recopilación de ejercicios que he usado

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Estimados Alumnos:

Pongo en sus manos esta recopilación de ejercicios que he usado y otros nuevos para que

ejerciten el eje temático de “GEOMETRÍA”, que corresponde al 30% de la PSU, eje que para

muchos resulta complejo, por tanto tendrán una batería de 401 ejercicios de nivel PSU y algo

más. Creo no haber dejado materia alguna fuera de este material, por tanto imagino nada les

resultará novedoso en la PSU al respecto de geometría.

Debo dejar constancia que la motivación principal de este es ayudar de mejor forma a los

alumnos del Liceo Nacional, que por la realidad del año no han tenido una formación regular y

por tanto me nació esta manera de ayudarles a competir de mejor forma con todos aquellos que

han tenido un año normal. Obviamente este material me nace compartirlo con todos aquellos que

se están preparando para el ingreso a la universidad, y para mí el hecho de que alguno lo utilice

es el mejor pago a este trabajo.

A mis alumnos particulares las gracias por haberme indicado su falencias, las cuales son las

de la gran mayoría por tanto orientaron la confección de este, agradezco la ayuda de ellos en la

confección de las respuestas y las correcciones en los ejercicios que ahora ustedes disponen.

Como ellos también lo usarán, es que incluí ejercicios nuevos, entretenidos y desafiantes, por

tanto no me cabe duda que será un material de apoyo importante en la preparación de ellos y

ustedes.

Debo agradecer de manera especial a David Painequeo, con quien disfrute mucho tiempo

hablando y ejercitando geometría, que en la actualidad no hemos podido encontrarnos para seguir

gozando de esta parte de las matemáticas que nos gusta en demasía. Para ti en parte es parte de

este trabajo David.

Finalmente agradezco a mi pequeña, SAVANE, quien me acompaña siempre indicándome

que no puedo olvidar a muchos niños que pretenden llegar lejos y entrar a estudiar las carreras

que anhelan. Ella es la que me empuja a hacer distintas cosas por el mejor entendimiento de las

matemáticas, por tanto es a quien debo agradecer todo lo que hago por mejorar el nivel de la

ciencia, mi querida matemática.

Bueno, dejo en sus manos este material que me tuvo un buen tiempo entretenido en esta

parte de las matemáticas que me encanta, sin más dejo en sus manos 401 ejercicios para que lo

disfruten resolviéndolos como yo me entretuve haciéndolos.

Sixto Maulén y Savane Emegu

2011

2

L1

L2

134º

xº

L1

L2

134º

xº

O A

B

C

R

T

J K

L

45º

Guía Ejercicios Nº 3

Geometría

1. En la figura Nº 1, L1 // L2, ¿Cuánto mide x?

A) 46º

B) 66º

C) 56º

D) 134º fig. 1

E) 67º

2. En un triángulo isósceles el ángulo interior distinto mide 40º, entonces uno de los ángulos

de igual medida, mide

A) 40º

B) 50º

C) 60º

D) 70º

E) 140º

3. En la figura 2, OR y OT son bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente, si el

ángulo TOC mide 10º y el ángulo ROB mide 25º, entonces el ángulo AOT mide

A) 35º

B) 45º

C) 50º

D) 60º fig. 2

E) 70º

4. En la figura 3, el triángulo JKL es isósceles de base LJ, ¿cuánto mide el ángulo KLJ?

A) 22,5º

B) 25º

C) 35º

D) 45º fig. 3

E) 135º

3

r

s

30º

80º

x

50º

x

4m

3mm

A B

C D

3x - 10

2x

L1

L2

5. En la figura 4, r // s, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 160º

B) 130º

C) 110º

D) 100º fig. 4

E) 80º

6. ¿Cuál es la medida del ángulo x en términos de m, en la figura 5?

A) m

B) 2m

C) 3m

D) 8m fig. 5

E) No se puede determinar

7. En la figura 6, AB // CD, si el ángulo CDB = 150º y el ángulo ABC = 25º, entonces ¿cuánto

mide el ángulo DBC?

A) 30º

B) 25º

C) 15º

D) 5º fig. 6

E) 0º

8. Si L1 // L2, entonces ¿cuánto mide x en la figura 7?

A) 16º

B) 20º

C) 30º

D) 45º fig. 7

E) 100º

4

A B

C

p 2p

A B

C

m

2m

A B

D

C

CB

A

E

D

30º

80º

9. El triángulo ADC de la figura 8 es isósceles de base AD. La medida del ángulo BAD es 12º y

el ángulo ABC mide 20º, ¿cuánto mide el ángulo BCA?

A) 32º

B) 36º

C) 106º

D) 116º fig. 8

E) 132º

10. En la figura 9, ED // BC, ¿Cuánto mide el ángulo AED?

A) 45º

B) 65º

C) 70º

D) 100º fig. 9

E) 110º

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto del triángulo ABC

de la figura 10?

I) El triángulo ABC es isósceles.

II) Si p = 60º, entonces es equilátero.

III) Si 2p = 90º, entonces el área del triángulo es 2CB

2.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo II y III

D) Todas fig. 10

E) Ninguna

12. El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB (BC = CA), luego m =

A) 18º

B) 30º

C) 36º

D) 72º fig. 11

E) 108º

5

P A

TO

M

EL

N

A B

C

D

E

F

13. ¿Cuántos triángulo hay en la figura 12?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) más de 6 fig. 12

14. En la figura 13, PATO es un cuadrado de área 20 cm2. Los puntos L, E y N son puntos

medios de OM, MT y TO, luego el área achurada mide

A) 0,125 cm2

B) 1,25 cm2

C) 2 cm2

D) 4 cm2 fig. 13

E) 8 cm2

15. ¿Con cuál(es) de las siguientes informaciones se puede construir un triángulo?

I) Si se conocen sus tres ángulos interiores.

II) Si se conocen sus tres lados.

III) si se conocen dos de sus lados y el ángulo que forman dichos lados.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo II y III

D) Sólo I y II

D) I, II y III

16. En la figura 14, los ángulo CAB y ABC miden 70º y 40º, si AD es altura y CE bisectriz,

entonces la medida del ángulo DFE es

A) 125º

B) 115º

C) 55º

D) 35º fig. 14

E) 20º

6

2yº

yº-10º

xº+30º

AO

B

P

L1 L2

L3

L4

110º

xº

17. En la figura 15, un paralelepípedo recto de base cuadrada (sombreadas) se ha extendido

en el plano, si el lado del cuadrado es 4 cm. y los largos de los rectángulos miden el doble

del lado del cuadrado, entonces el volumen del paralelepípedo es

A) 160 cm3

B) 128 cm3

C) 120 cm3

D) 64 cm3 fig. 15

E) 32 cm3

18. En un heptágono (polígono de 7 lados), ¿cuántas diagonales se puede trazar desde un

vértice?

A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

E) 3

19. Si OP es bisectriz de AOB (figura 16), entonces xº =

A) 40º

B) 30º

C) 20º

D) 10º fig. 16

E) 5º

20. En la figura 17, L1 // L2 y L3 // L4, luego la medida de x es

A) 10º

B) 50º

C) 70º

D) 110º fig. 17

E) 170º

7

120º

B C

A

E

F

21. Las medidas de dos lados de un triángulo son 12 cm y 13 cm, si el tercer lado tiene como

medida un número entero, ¿cuántos triángulos se pueden construir?

A) ninguno

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

22. En el triángulo de la figura 18, AF y CE son bisectrices de los ángulos respectivos, ¿Cuánto

mide el ángulo ABC?

A) 45º

B) 50º

C) 60º

D) 80º fig. 18

E) 100º

23. ¿Cuánto mide el ángulo que excede a su suplemento en 66º?

A) 66º

B) 123º

C) 133º

D) 132º

E) 144º

24. En la figura 19, ¿cuánto mide el ángulo ADC?

A) 163º

B) 153º

C) 88º

D) 75º fig. 19

E) 60º

25. Si los radios de los círculos son 10 cm. y 5 cm., entonces ¿cuál es el área de la figura

sombreada (figura 20)?

A) 25 cm2

B) 75 cm2

C) 100 cm2

D) 125 cm2 fig. 20

E) 175 cm2

10 cm

5 cm

20º

85º72º

20ºA

D

C

B

8

A M P B

O

P

A

B

x+30º

y-10º

2y

A B C D

EF

x

r

s

70º

4x3x

y

26. En la figura 21, M es el punto medio del segmento AB y P es un punto cualquiera entre M y

B, ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?

A) MP = PB

B) AM = 2·PB

C) PM = PA PB

2

fig. 21

D) MP = AB

2

E) BP = 2·MP

27. OP es bisectriz del ángulo AOB de la figura 22, ¿cuánto mide y?

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 50º fig. 22

E) 60º

28. En la figura 23; AB = BF = FA y CD = DE, ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 45º

B) 60º

C) 75º

D) 105º fig.23

E) 115º

29. Las rectas r y s son paralelas, figura 24, luego y =

A) 150º

B) 120º

C) 30º

D) 10º fig. 24

E) 7º

9

A B

C D

E

A L

TOI

40º

A B

C

D

x

30. El triángulo ABC de la figura 25 es isósceles de base AB, CD es paralelo a AB y AD es

bisectriz del ángulo CAB, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) AC = CD

II) CE = EB

III) AD BC

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Todas fig. 25

31. En el rectángulo ALTI de la figura 26 se ha inscrito el trapecio ALTO, si el largo del

rectángulo es el triple de su ancho y AI = IO, entonces, ¿qué parte del área del rectángulo

es el área del trapecio?

A) la mitad

B) los dos tercios

C) los tres cuartos

D) los cinco sextos fig. 26

E) los cinco octavos

32. En el triángulo ABC de la figura 27, las líneas punteadas son bisectrices de los ángulos

respectivos, ¿cuánto mide x?

A) 40º

B) 30º

C) 20º

D) 10º

E) No se puede determinar fig. 27

33. Un tablón de 3,2 metros se divide en tres trozas que están en razón 1 : 3 : 4. ¿Cuánto

mide cada trozo?

A) 40 cm. 100 cm. 100 cm.

B) 40 cm. 120 cm. 160 cm.

C) 60 cm. 120 cm. 140 cm.

D) 80 cm. 100 cm. 140 cm.

E) 10 cm. 30 cm. 40 cm.

10

U P

A

M

L

30º

15º

P Q

R

MN

34. Al trazar la altura en un triángulo equilátero el menor ángulo que se forma mide

A) 20º

B) 30º

C) 60º

D) 90º

E) 120º

35. En el triángulo UPA se han trazado las alturas AM y AL, figura 28, ¿cuánto mide el ángulo

APL?

A) 10º

B) 15º

C) 30º

D) 45º fig. 28

E) 75º

36. En la figura anterior (figura 1), ¿cuánto mide el mayor ángulo formado por las alturas AM y

PL?

A) 30º

B) 60º

C) 120º

D) 145º

E) 150º

37. En el triángulo PQR de la figura 29, se han dibujado las bisectrices PM y QN si los ángulos

PQR y QRP miden 50º y 60º respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo QPM?

A) 35º

B) 40º

C) 45º

D) 50º fig. 29

E) 55º

38. En la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo PMR?

A) 75º

B) 85º

C) 95º

D) 105º

E) 135º

11

L1

L2

L1

L2

x

20º

39. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide 1

5 del ángulo recto, luego

¿cuánto mide el otro ángulo agudo?

A) 18º

B) 36º

C) 60º

D) 72º

E) 82º

40. ¿En qué triángulo al trazar una altura no se forman dos triángulos congruentes?

A) Triángulo equilátero

B) Triángulo isósceles

C) Triángulo escaleno

D) Triángulo rectángulo isósceles

E) Triángulo isósceles obtusángulo

41. En la figura 30, L1 // L2, si las líneas punteados son bisectrices de los ángulos respectivos,

entonces el ángulo formado por las líneas punteadas mide

A) 90º

B) 75º

C) 60º

D) 45º fig. 30


42. Si dos ángulos son suplementarios y uno es cinco veces el otro, entonces el menor de ellos

mide

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 150º

E)

43. En la figura 31, L1 // L2, si la línea segmentada es bisectriz, entonces el ángulo x mide

A) 140º

B) 120º

C) 100º

D) 90º fig. 31

E) 40º

12

A B

C E

D

44. Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden cada uno 135º, entonces el triángulo es

A) Isósceles

B) Rectángulo isósceles

C) Escaleno

D) Obtusángulo

E) Acutángulo isósceles

45. El triángulo ABC de la figura 32 es isósceles de base CA, AE y BE son bisectrices de los

ángulos BAC y DBC respectivamente, si el ángulo ABC mide 80º, entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) AB = BE

II) BEA 25º

III) DBE 50º

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) Todas fig. 32

46. En un triángulo rectángulo es falso que

A) La hipotenusa se opone al ángulo recto

B) Un cateto mide menos que la hipotenusa

C) La suma de las medidas de los catetos es mayor que la hipotenusa

D) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la resta de los cuadrados de los catetos

E) La mitad de la hipotenusa es igual a uno de los catetos

47. El paralelogramo que no es rectángulo ni rombo es

A) cuadrado

B) romboide

C) trapecio

D) trapezoide

E) deltoide

48. Si en un triángulo las medidas de dos sus lados son; 3 cm y 5 cm, entonces el tercer lado

no puede medir

A) 4 cm.

B) 5 cm.

C) 6 cm.

D) 7 cm.

E) 9 cm.

13

49. Al efectuar una rotación de 180º al cuadrado se obtiene

A) B) C) D) E)

50. El triángulo ABC de la figura 33, es equilátero. Si ABC = 2 ABE, entonces el x =

A) 60º

B) 70º

B) 80º

C) 90º

D) 110º fig. 33

51. La figura 34 muestra la planta de una casa (vista de arriba) si a esta se le desea poner una

huincha adhesiva por todo el borde para que las hormigas no entren a la casa, ¿cuántos

metros de huincha se necesitan?

A) 29 m

B) 32 m

C) 42 m

D) 62 m fig. 34

E) 72 m

52. Si el perímetro de un triángulo equilátero aumenta de 100 a 169 cm, ¿en cuánto aumenta

cada lado?

A) 3 cm

B) 13 cm

C) 23 cm

D) 33 cm

E) 69 cm

x

A B

C

E

16 m

10 m

8 m

5 m

14

L1

L2

20º

120º

xº

A B

C

D

E

T

50º

70º

A L

TO

R

E

53. ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a una traslación de la figura original?

A) B) C) D) D)

54. En la figura 35. L1 // L2, luego xº =

A) 80º

B) 90º

C) 100º

D) 110º fig. 35

E) 120º

55. Los triángulos ABC y ADE son congruentes, si el ángulo BAE mide 90º, entonces el ángulo

TAB mide

A) 20º

B) 30º

C) 45º

D) 60º fig. 36

E) 80º

56. ALTO es rectángulo y los triángulo ARE y TER son equiláteros congruentes, luego ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (figura 37)

I) ARTE es rombo

II) LRT 60º

III) OAE LTR

A) Sólo I

B) Sólo I y II fig. 37

C) Sólo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna

15

A B

C

D

E

F

L U

NAZ

T

L1

L2

L3

49º

xº

57. El triángulo ABC es equilátero y se a rotado respecto del vértice C como lo muestra la

figura 38 de manera que CE es perpendicular a AB, luego es falso que:

A) DE es perpendicular a AC

B) El ángulo ACD mide 30º

C) CD = AB

D) DF = FE fig. 38

E) Todas son falsas

58. En la figura 39, LUNA es cuadrado y LUZ es un triángulo equilátero, ¿cuánto mide el ángulo

TZU?

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 75º


59. En la figura 41. L3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L1 y L2, ¿cuánto

mide el ángulo x?

A) 96º

B) 98º

C) 84º

D) 82º

E) 49º fig. 41

60. En la figura 42, AOC + BOD = 230º, luego el COB mide:

A) 30º

B) 50º

C) 70º

D) 90º

E) Falta información fig. 42

C B

O A D

16

A B

C

D35º

22º

60º

A B

C

D

E

F

A B

CE

F

61. El triángulo ABD es rectángulo en B. En la hipotenusa AD esta el punto C tal que AC = CD y

AB = BC, ¿cuánto mide el ángulo DAB

A) 67,5º

B) 60º

C) 45º

D) 30º

E) 22,5º

62. En el triángulo ABC se ha trazado la altura CD, figura 43, luego la suma de las medidas de

los ángulos CAD y BCD es

A) 55º

B) 68º

C) 90º

D) 113º

E) 123º fig. 43

63. En la figura 45, BD, DF, EF y AE son bisectrices, luego DFE

A) 80º

B) 100º

C) 120º

D) 140º


64. En la figura 46, AE y CE son bisectrices de los ángulos BAC y BCF respectivamente, si el

ángulo ABC mide 50º, entonces el ángulo AEC mide

A) 25º

B) 30º

C) 40º

D) 50º

E) no se puede determinar fig. 46

17

Y U

T

IN

G

65. En la figura 47, YUIN es cuadrado, los triángulo UTI y NGY son rectángulos isósceles, si los

ángulos en T y G son rectos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)

falsa(s)?

I) GY // UN // TI

II) UNGY y NUTI son trapecios rectángulos

III) GT = 2·YU

A) Sólo I

B) Sólo II y III

C) Sólo III

D) I, II y III fig. 47

E) ninguna

66. En un triángulo ABC, A = 40º, B = 80º y C = 60º, luego es verdadero

A) CA > AB > BC

B) CA > BC > AB

C) BA > CA > BC

D) BA > BC > CA

E) BC > CA > AB

67. En un triángulo los ángulos exteriores están en razón 2 : 3 : 4, entonces ¿qué tipo de

triángulo es?

A) equilátero

B) isósceles

C) acutángulo

D) rectángulo

E) obtusángulo

68. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros tiene sus diagonales distintas perpendiculares y se

dimidian (dividirse en dos partes iguales)?

A) cuadrado

B) rectángulo

C) rombo

D) romboide

E) deltoide (trapezoide simétrico)

18

L

N

A

BC

D

69. En el cuadrado de la figura Nº 48, L y N son los puntos medios de los lados, ¿qué parte del

cuadrado es el área achurada?

A) 1

4

B) 3

8

C) 3

16

D) 5

32 fig. 48

E) 5

8

70. Si dos triángulos son congruentes, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) Tienen la misma forma.

B) Sus ángulos correspondientes son iguales.

C) Tienen el mismo perímetro

D) Tienen los mismos ejes de simetría

E) Ninguna

71. Si las medidas de dos ángulos consecutivos suman 72º, entonces ¿cuánto mide el

complemento del ángulo formado por las bisectrices de dichos ángulos?

A) 54º

B) 36º

C) 18º

D) 72º

E) 108º

72. En el triángulo de la figura 49, DA = AB, si ABC - ACB = 30º, entonces DBC =

A) 10º

B) 15º

C) 30º

D) 45º

E) 60º fig. 49

19

1

2

3

4

x

73. Al respecto del triángulo equilátero se afirma que:

I) Tiene 3 ejes de simetría.

II) No tiene simetría central.

III) Al rotarlo 120º con respecto al ortocentro, coincide con la figura original.

De estas afirmaciones es(son) verdadera(s)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

74. En un mismo triángulo se han trazado las transversales de gravedad y las medianas, si el

área del triángulo formado por las tres medianas es a, luego el área de uno de los 6

triángulos que se forman al trazar las transversales es

A) a

B) 2

a3

C) 3

a4

D) a

2

E) 3a

75. Al unir los puntos medios de un rombo se forma un cuadrilátero, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones es la más precisa al respecto de dicho cuadrilátero?

A) es un rombo

B) es un rectángulo

C) es un paralelogramo

D) es un cuadrado

E) es un romboide

76. La figura 50 representa una sucesión de triángulos rectángulos, luego x =

A) 30

B) 5

C) 2 6

D) 20

E) 10 fig. 50

20

100º

40º

x

A B

C

D

3

4

1

C D

E

A B

L1

L2

105º

130º

A B

C

77. ¿Cuánto mide el ángulo x (figura 51), si las rectas horizontales son paralelas?

A) 120º

B) 130º

C) 140º

D) 150º

E) 160º fig. 51

78. El cuadrilátero de la figura 52, tiene dos ángulos rectos, en los vértices B y D, ¿cuál es el

área de ABCD?

A) 8

B) 6 6

C) 8,5

D) 17

E) 12 2 6 fig. 52

79. En la figura 53, L1 // L2, si CD = AB, entonces es siempre verdadero que

A) AD BC

B) AC BD

C) AE EC

D) BC ED

E) AD BC fig. 53

80. Desde las 14:30 a las 14:50, el ángulo descrito por el horario de un reloj análogo es (no

considerando el sentido de rotación)

A) 5º

B) 10º

C) 15º

D) 20º

E) 25º

81. ¿Cuánto mide el ángulo CAB de la figura 54?

A) 45º

B) 55º

C) 135º

D) 125º

E) 235º fig. 54

21

60º20º

A B

C

D

E

A B

C

M N

P

B C

A

D

E

82. En el triángulo ABC de la figura 55, se han dibujado la altura CD y la bisectriz AE, luego el

ACB

A) 30º

B) 40º

C) 70º

D) 80º

E) 100º fig. 55

83. Los triángulos ABC y MNP de la figura 56 son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) AC = MP II) ABC NPM

III) CAB PMN

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III fig. 56

84. Los triángulos de la figura 57, son isósceles con AB = AC = BD, si BD AC entonces los

ángulos ACB y ADB suman

A) 115º

B) 120º

C) 130º

D) 135º

E) no tiene solución única fig. 57

22

x

A B

C

D

80º

85. Los cinco ángulos interiores de un pentágono están en una progresión aritmética (la

diferencia entre dos consecutivos, siempre es constante), si el menor mide 100º, entonces

el mayor de ellos mide

A) 104º

B) 108º

C) 116º

D) 120º

E) 124º

86. Tres lados de un cuadrilátero son iguales, si los dos ángulos interiores formado por dichos

lados miden 60º y 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo interior mayor del cuadrilátero?

A) 145º

B) 150º

C) 155º

D) 160º

E) 165º

87. En la figura 58, aparecen un hexágono regular y un cuadrado, luego el ángulo x mide

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º


88. En el triángulo ABC de la figura 59, se han dibujado las bisectrices AC y BD, luego el

ángulo ADB mide

A) 160º

B) 150º

C) 130º

D) 120º

E) 100º fig. 59

23

m3m

2m

m 7m

A C

B

D

A B C

D

x

y

A B

C

E

D

F

GH

70º

50º

x

A B

C

D25º

x

89. En la figura 60, AB = CD, luego m =

A) 10º

B) 15º

C) 18º

D) 20º

E) 9º fig. 60

90. En la figura 61, AB = BD = CD, luego la relación correcta es

A) y = 3x

B) y = 2x

C) x + y = 180º

D) x = y fig. 61

E) x + y = 90º

91. El triángulo ABC de la figura 62 es equilátero, si los ángulos EDF y FHG son iguales,

entonces la medida del ángulo GED es

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º

E) Falta información fig. 62

92. ¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 63?

A) 20º

B) 40º

C) 50º

D) 70º

E) 120º fig. 63

93. En el triángulo ABC de la figura 2 se verifica que; AC = CD = DB, luego la medida del

ángulo x es

A) 25º

B) 50º

C) 60º

D) 80º


24

110º

xO

A B

E

C D

136º

122º

94. En la circunferencia de la figura 65, O es centro, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 125º

B) 110º

C) 70º

D) 65º

E) 55º fig. 65

95. ¿En qué razón están las áreas de dos círculos, si sus radios son 5 cm y 10 cm?

A) 1 : 2

B) 1 : 4

C) 2 : 3

D) 1 : 25

E) 5 : 15

96. La altura de un cono es igual al radio de la base, luego el ángulo del sector circular que

corresponde al manto del cono es

A) 45º

B) 90º

C) Obtuso

D) Extendido

E) Cóncavo

97. En la figura Nº 66, AB // CD, luego mide

A) 122º

B) 112º

C) 102º

D) 78º fig. 66

E) 58º

98. Tres rectas concurrentes (las tres se intersectan en el mismo punto) forman 6 ángulos

consecutivos, si dos de ellos miden 18º y 52º, ¿qué medida no corresponde a uno de los

ángulos que genera la figura?

A) 110º

B) 128º

C) 144º

D) 162º

E) 70º

25

B Z Y C

X

A

W

L1L2

99. El rectángulo ZYXW de la figura 67, esta inscrito en el triángulo ABC. Si BWZ = 22º y

CXY = 65º, entonces BAC =

A) 87º

B) 82º

C) 90º

D) 93º fig. 67

E) 97º

100. En la figura 68, las rectas L1 y L2 son paralelas, separadas d unidades, si la flecha se reflejó

primero con respecto a L1 y luego se reflejó con respecto a L2, entonces las dos reflexiones

sucesivas corresponde a

A) Una traslación de d unidades

B) Una rotación de -180º

C) Una traslación de 2d unidades

D) Una traslación de 3d unidades

E) Una rotación de 180º

fig. 68

101. En la figura 69, se muestra un adminículo mecánico en cual aparecen tres discos tangentes

exteriores unidos por sus centros mediante una barra fija, la rotación de uno de ellos se

transmite totalmente al otro (no resbalan), los diámetros de los discos son; 6 cm, 8 cm y

10 cm, si el disco menor se gira en el sentido de la flecha 120º, considerando el sentido de

rotación, el disco mayor gira

A) -120º

B) -90º

C) -72º

D) 72º fig. 69

E) 90º

26

A E B

CD

64ºxº

I J

KL

O A

B

CD

102. En la figura 70, ABCD es un trapecio de bases AB y CD, si E es punto medio de AB,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de AECD y EBCD son iguales.

II) El área del triángulo DEC es la cuarta parte del trapecio ABCD

III) Las áreas de los triángulos AED y EBC son iguales

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III fig. 70

103. El cuadrilátero IJKL de la figura 7 es rectángulo, IK y JL son diagonales, entonces xº =

A) 26º

B) 36º

C) 44º

D) 64º fig. 71

E) 52º

104. En la figura 72, BO OD , OB bisectriz del ángulo COA, si AOD 140º , entonces COD

A) 40º

B) 50º

C) 80º

D) 90º

E) 100º fig. 72

105. ¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 73?

A) 20º

B) 35º

C) 70º

C) 110º

D) 140º fig. 73

70º

x

27

E D C

BA

F

x

y

a

b

c

d

L1 L2 L3

106. En la figura 74, la medida del a es:

A) 6,25

B) 1,666…

C) 6

D) 16,666…

E) 3,25 fig. 74

107. Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar un espejo en el suelo y

después situarse de manera que la parte más alta del objeto pueda verse en el espejo.

¿Qué altura tiene una torre si una persona de 150 cm de altura observa la parte superior

de la torre cuando el espejo esta a 6 m de la torre y la persona esta a 120 cm del espejo?

A) 75 m

B) 7,5 m

C) 4,8 m

D) 3 m

E) 2 m.

108. En la figura 75, ABCD es paralelogramo, si E esta en la prolongación de CD, entonces,

es(son) falsa(s) las siguientes afirmaciones,

I) ABF es semejante al DEF

II) EFD es semejante al EBC

III) ABF es semejante al EBC

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II fig. 75

D) Solo II y III

E) Sólo III

109. En la figura 76, L1 // L2 // L3, luego x + y =

A) bd

ac

B) db

ca

C) d

c fig. 76

D) d

c

E) cd

adbc 22

45º 45º

5 3

10

a

28

A

B

A A

B

B

110. ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión (simetría axial) del triángulo A al

triángulo B, con respecto a uno de los ejes coordenados?

I) II) III)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

111. El número de segmentos distintos necesarios para representar las alturas, transversales de

gravedad y bisectrices de un triángulo isósceles no equilátero es

A) 9

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

112. ¿Cuánto mide el ángulo x en el ABC de la figura77?

A) 20º 2 x

B) 30º

C) 50º

D) 60º

E) 70º 3 100º fig. 77

113. El volumen de un cubo es igual al de un paralelepípedo recto, si el ancho del paralelepípedo

es igual a la arista del cubo y el largo es igual al doble de la arista del cubo, entonces la

altura del paralelepípedo recto es

A) la mitad de la arista del cubo

B) el doble de la arista del cubo

C) el cuádruplo de la arista del cubo

D) igual a la arista del cubo

E) igual a la diagonal del cubo

29

L1

L2

70º 60º

m n

p

30º

40º

A L

O T

E

114. Los puntos de la figura 78 son los vértices de cuadrados de lado 1 cm., ¿cuál es el área de

la figura sombreada?

A) 30,0 cm2

B) 30,5 cm2

C) 31,0 cm2

D) 34,0 cm2

E) 36,0 cm2 fig. 78

115. En la figura 79, L1 // L2, luego al ordenar los ángulos; m, n y p de manera decreciente de

acuerdo a sus medidas, se obtiene

A) p, n, m

B) p, m, n

C) m, p, n

D) m, n, p

E) n, m, p fig. 79

116. En la figura 80, AT es la bisectriz del ángulo LAO del triángulo ALO, si OT es paralelo a AL,

entonces al ángulo ATO mide

A) 95º

B) 85º

C) 55º

D) 45º

E) 70º fig. 81

117. La reflexión del punto (-5, 4) respecto del punto (2, -4) da como resultado el punto

A) (9, -12)

B) (4, -5)

C) (-3, 0)

D) (-7, 8)

E) (-12, 12)

118. Si un paralelepípedo recto tiene por altura 5 cm. y un volumen de 100 cm3, entonces al

suma de las áreas basales es

A) 10 cm2

B) 20 cm2

C) 30 cm2

D) 40 cm2

E) falta información

30

I) II) III)

Patio

A B

C

D

aº

x

119. En la figura 82, CD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores, luego x =

A) 1

(90º aº)2

B) 90º - aº

C) 180º - aº

D) 180º - 2aº

E) 1

(180º aº)2

fig. 82

120. ¿Con cuál(es) de las siguientes baldosas se puede cubrir completamente el patio, si todas

las figuras están formadas por cuadrados iguales?

A) Sólo con I

B) Sólo con II

C) Sólo con I ó II

D) Con I ó II ó III

E) Con ninguna

121. Si se quiere llegar del punto (1,2) al punto (-2,1) se debe hacer:

I) Una traslación de vector (-3,-1)

II) Una rotación de 90º respecto de (0,0)

III) Un simetría respecto del punto (0, 3

2)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I o II

E) I o II o IIII

31

a+10º

180º -2aL1

L2

A C

TO

I

M

E

L

OA B

C

D

O

A) B) C) D) E)

122. En la figura 83, L1 // L2, ¿cuál es la medida de a?

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 40º


123. ACTO es rectángulo, MIEL es cuadrado TIC es triángulo isósceles de base CT, si el área

achurada mide 24 cm2, entonces el área de ACTO es (figura 84)

A) 30 cm2

B) 36 cm2

C) 40 cm2

D) 48 cm2


124. En la figura 85, CA // BD, si 3

2

C D

O C , entonces CA : BD como

A) 3

2

B) 3

1

C) 5

3

D) 5

1

E) 5

2 fig. 85

125. Al hacer una reflexión respecto de O de la figura se obtiene

32

A B

C

D

E

A B

C

D

E

50º

H

126. Si el punto (-4,1) se rota 180º con respecto al punto (0,1) y después se refleja respecto

del origen (0,0), entonces el punto final resulta lo mismo que

A) reflejar el punto original respecto el eje y

B) rotar 45º el punto original respecto del punto (0,0)

C) reflejar el punto original respecto de la recta y = x

D) reflejar el punto original respecto de la recta y = -x

E) reflejar el punto original respecto de la recta y = 0

127. Si queremos determinar si el triángulo ABD inscrito en el pentágono de la figura 86, es

isósceles, necesitamos saber que:

(1) que el ángulo BCD mide 108º

(2) que el pentágono es regular

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional fig. 86

128. Cuatro rayos de origen común forman 4 ángulo que están en razón 2 : 3 : 5 : 8, ¿cuánto

mide el mayor de los ángulo?

A) 40º

B) 60º

C) 100º

D) 120º

E) 160º

129. Dos ángulos son tales que; ambos son suplementarios y el complemento de uno de ellos es

igual al suplemento del otro, luego el menor de ellos mide

A) 135º

B) 120º

C) 90º

D) 60º

E) 45º

130. En el triángulo ABC de la figura 88, H es ortocentro y D es punto medio de AB, luego el

ángulo CAE mide

A) 50º

B) 40º

C) 30º

D) 20º

E) 10º fig. 88

33

S A

V

I

N

E

131. El triángulo de la figura 89 es equilátero, SI es altura, VA es simetral, luego el ángulo SEA

mide

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 90º

E) 120º fig. 89

132. Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde

el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que

I) La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.

II) La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.

III) Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz

trazada.

¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo III

D) I, II y III

E) ninguna

133. En la figura 89, ABCDE es un pentágono regular, entonces, ¿cuál de las afirmaciones es la

más completa respecto del cuadrilátero ABCF?

A) Es un cuadrilátero

B) Sus lados opuestos son iguales

C) Sus ángulos opuestos son iguales

D) Es un paralelogramo

E) Es un rombo fig. 89

A B

C

D

E F

34

A) B) C)

D) E)

O

O

O

O

O O

A B

CD E

F

L1

L2

A

B

C

70º

xº

A M N

R

Q

P

55º

125º

aº

bº

134. ¿Qué figura muestra una rotación de 45º respecto al punto O?

135. En la figura 90, ABCD es rectángulo y FBE es triángulo equilátero, para encontrar el área

del rectángulo es necesario conocer:

(1) AF

(2) EC

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




136. En la figura 1, L1 // L2, si AB = BC, entonces x =

A) 30º

B) 35º

C) 37,5º

D) 40º

E) 45º fig. 91

137. En la figura 92, aº + bº =

A) 55º

B) 70º

C) 75º

D) 80º

E) 90º fig. 92

35

A C

D

B EL1

L2

x

100º

40º

x

A

B

C

D

P

B

Q

A

O O’

O

B C

A

138. En la figura 93, L1 // L2, el ángulo CAE mide 18º, si DE = 2·AB, entonces ¿cuánto mide el

ángulo x?

A) 18º

B) 36º

C) 42º

D) 54º

E) 72º fig. 93

139. El cuadrilátero de la figura 94 es un deltoide (DA = AB y BC = CD), luego el ángulo x =

A) 140º

B) 110º

C) 100º

D) 80º

E) 70º fig. 94

140. Las circunferencias de centros O y O’ son tangentes exteriores en Q, PB es tangente en B y

PA tangente en A, si PQ es tangente común y el ángulo APB mide 80º, entonces el ángulo

AQB mide

A) no se puede determinar

B) 140º

C) 120º

D) 100º

E) 90º fig. 95

141. En la circunferencia de la figura 96 de centro O, si el BAC 15º , entonces OBC

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 75º

E) 80º fig. 96

36

A

B

C

D

12

45º

x

A L

PE

K

U

T

142. Los segmentos dibujados dentro del cuadrado van desde un vértice al punto medio del lado

opuesto, como lo muestra la figura 97, si el lado del cuadrado es 1, entonces el área del

cuadrilátero ABCD es

A) 2

9

B) 1

4

C) 3

9

D) 1

8

E) 1

5 fig. 97

143. ¿Cuánto mide el ángulo x de la figura 98?

A) 45º

B) 30º

C) 60º 12 2

D) 75º

E) 105º fig. 98

144. En el cuadrilátero ALPE de la figura 99, AL // PE, EA es bisectriz del ángulo TAK y LE es

bisectriz del ángulo PLA, si AU = 9 cm y PE = 12 cm, entonces UP mide

A) 1 cm

B) 2 cm

C) 3 cm

D) 4 cm

E) falta información para determinarlo fig. 99

145. Para conocer el área de un triángulo rectángulo isósceles, es necesario saber:

(1) la medida de uno de sus catetos

(2) la medida de la altura que intersecta a la hipotenusa

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional

37

A B

CD

E

22

3y+5

2x-6

35

M N

P

O

10

15

13

146. ¿Cuánto mide el ángulo que sumado con el triple de su complemento da como resultado

210º?

A) 60º

B) 40º

C) 30º

D) 20º

E) 10º

147. En la figura 100, los triángulos AED y CEB son congruentes, luego es falso que

A) AD // BC

B) y = 10

C) x = 14

D) DE = 15

E) BE = 12 fig. 100

148. ¿Cuánto suman los ángulos de la figura 101, marcados con arcos?

A) 180º

B) 270º

C) 360º

D) 720º

E) 900º fig. 101

149. El triángulo MNP de la figura 102 es isósceles de base NP, si MO = OP = PN, entonces la

medida del ángulo PMN es

A) 18º

B) 30º

C) 36º

D) 72º


150. La circunferencia de la figura 103 está inscrita en el trapecio isósceles, luego el perímetro

del trapecio es

A) 12

B) 38

C) 50

D) 62

E) 150 fig. 103

38

M N

PQ

T

A B

C

DE

F

R A

TO

I

N

151. El complemento de un ángulo es 30º, luego su suplemento es

A) 60º

B) 90º

C) 100º

D) 150º

E) 120º

152. El triángulo MNQ de la figura 104 es equilátero, el triángulo MNP es rectángulo en N, si

3

3MNNP , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) MP es perpendicular a NQ

II) El ángulo QMP mide 30º

III) T es punto medio de NQ

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


153. El hexágono ABCDEF de la figura 105 es regular, ¿qué parte del área de él esta achurada?

A) 6

1

B) 5

1

C) 4

1

D) 3

1

E) 2

1 fig. 105

154. En el rectángulo RATO de la figura 106, AN y OI son perpendiculares a la diagonal RT,

luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsa(s)?

I) TAN es semejante al RTO

II) TIRIAN2

III) RTRITA2

A) Sólo II

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) ninguna fig. 106

39

A

B

C

155. El poliedro de la figura 107 es un prisma cuyas bases son rombos de diagonales 12 y 6

cm., si la altura del prisma es el doble de la diagonal mayor, entonces su volumen es

A) 1.728 cm3

B) 864 cm3

C) 648 cm3

D) 432 cm3

E) Ninguna de la anteriores fig. 107

156. En la figura 108, se ha dibujado un cubo, luego el seno del ángulo ABC es

A) 3

B) 3

3

C) 2

3

D) 3

2

E) depende de la arista del cubo fig. 108

157. El perímetro de un triángulo es 11 cm, si sus lados son todos números naturales , ¿cuál

es el mayor valor que puede tomar uno de sus lados?

A) 7 cm

B) 6 cm

C) 5 cm

D) 4 cm

E) 3 cm

158. Un cuadrado y un rectángulo tienen igual área. Si el ancho del rectángulo es la mitad

del lado del cuadrado, entonces el largo del rectángulo es:

A) El doble del lado del cuadrado

B) El triple del lado del cuadrado

C) Igual al lado del cuadrado

D) La mitad del lado del cuadrado

E) El cuádruplo del lado del cuadrado

40

A B

C

D

EF

40º

G

60º

M N

P

R

159. La razón de las áreas de dos círculos concéntricos es 1 : 3, si el radio del menor es r,

entonces la diferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es

A) 2r

B) 2 r

C) 4r

D) 8r

E) ( 3 1) r

160. Los triángulo ABC y DEF de la figura 109 no son congruentes, D y G son puntos medios de

los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE =

A) 80º

B) 70º

C) 60º

D) 65º


161. El triángulo MNP de la figura 110 es rectángulo en P, si MR = RN, entonces ¿cuál(es de las


I) NR = RP

II) PR es bisectriz de NPM .

III) Si NRP 50º , entonces MPR 25º .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III


162. El triángulo achurado de la figura 111, está inscrito en un octógono regular, ¿qué tipo de

triángulo lo representa mejor?

A) equilátero

B) isósceles

C) isósceles acutángulo

D) isósceles rectángulo

E) rectángulo fig. 111

41

R

S

P

T

O

163. En la circunferencia de centro O de la figura 112, TP es tangente en P, SPR 30º , ¿cuánto

mide el ángulo PRS?

A) 150º

B) 120º

C) 90º

D) 60º

E) 30º fig. 112

164. En un triángulo de lados 20, 21 y 29, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita?

A) 4

B) 7 3

C) 5

D) 5 3

E) 6

165. Las tres circunferencias de la figura 113, son tangentes entre si y tangentes a la recta, las

dos mayores tienen igual radio y la menor tiene radio 3, entonces el radio de las mayores

es

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) ninguno de las anteriores fig. 113

166. Los lados de un triángulo están en la razón 4 : 6 : 11, ¿qué tipo de triángulo es?

A) rectángulo

B) obtusángulo

C) isósceles

D) acutángulo

E) no existe tal triángulo

42

D C

B

A

10

9

19

5

50ºx

A B

C

I

30º

30ºV A

N

E

S

167. En el cuadrilátero de la figura 114, una medida posible de la diagonal AC es

A) 9

B) 10

C) 13

D) 15

E) 20 fig. 114

168. En la figura115, I es el incentro del triángulo ABC, ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º


169. El triángulo VAN de la figura 116 es equilátero, si el ángulo ENS mide 15º, entonces el

ángulo EAS mide

A) 15º

B) 25º

C) 30º

D) 45º

E) 50º fig.116

170. Al aumentar la longitud de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un A %. ¿Cuál es

la medida del lado del cuadrado original?

(1) A = 25

(2) el área final es 125 2cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




43

P

QR

4

6

C A

D

B

171. En la figura 117, todos los lados interiores al ángulo PQR son iguales, si dicho ángulo mide

18º, ¿cuántos triángulos isósceles se pueden formar?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) infinitos fig. 117

172. De un polígono regular de vértices A, B, C, D, … se sabe que el ángulo ACB mide 10º,

luego ¿cuántas diagonales diferentes pasan por el centro de el?

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 18

173. En la circunferencia de la figura 118, las cuerdas miden 6 cm. y 8 cm., si ellas están a una

distancia de 1 cm., entonces el radio de la circunferencia mide

A) 2 cm.

B) 3 cm.

C) 4 cm.

D) 5 cm.


174. El triángulo ABC es rectángulo en A, si AD es altura (figura 119), entonces BC =

A) 26

3

B) 52

C) 10 3

3

D) 8 13

3

E) 13

3 fig. 119

44

b2

b

O

A

B

C

A B

C

M

PTQ

175. El área del triángulo isósceles de la figura 120 es b. Si uno de sus lados iguales es b,

entonces su perímetro es

A) b + 4

B) 2b – 4

C) 3b

D) 2b + 4

E) 4 fig. 120

176. El complemento de un ángulo es 36º, ¿cuánto mide el suplemento de dicho ángulo?

A) 54º

B) 116º

C) 126º

D) 136º

E) 154º

177. El triángulo de la figura 121 es escaleno, AT es bisectriz, MP es simetral y AT = TB, si el

ángulo AQM mide 65º, entonces el ángulo BCA mide

A) 115º

B) 105º

C) 95º

D) 75º

E) 25º fig.121

178. En la circunferencia de centro O de la figura 122, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones

es(son) falsa(s)?

I) ACO CAO

II) BOA 2 BCA

III) BOC 2 BOA

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo III

E) Ninguna fig. 122

45

A B

CD

A B

CD

M

N

P

Q

3

2

3

1 2

A

B

C

A’

B’

C’

x

y

179. El rectángulo de la figura 123, tiene por ancho 5 cm. y por largo 7 cm., si los cuadrados

achurados tienen área de 1 cm2, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El perímetro de la figura sombreada es 8 cm. mayor que el perímetro del

rectángulo.

II) El área achurada es 8

35 del área del rectángulo.

III) Al sacar 2 cuadrados achurados, el perímetro de lo achurado sería igual al del

rectángulo.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Todas fig. 123

180. En el cuadrado ABCD de la figura 124 se ha inscrito el rectángulo MNPQ. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) AMQ CPN

II) NPC MNB

III) MNB PQD

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


181. El triángulo ABC de la figura 125, se ha reflejado respecto del eje y obteniéndose el

triángulo A’B’C’, si los vértices A y C del triángulo ABC están en los ejes, entonces ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) C = C’

II) Ambos triángulos son congruentes. III) ABC A'B'C'

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III


46

A B

CD

E

A

B

C

M

N

P

L

-1

2

3 x

y

182. Si dos triángulos son congruentes, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) Tienen la misma forma.

B) Sus ángulos correspondientes son iguales.

C) Sus lados homólogos son iguales.

D) Tienen el mismo perímetro

E) Sus áreas están en razón 1 es a 2.

183. En la figura 126, ABCD es trapecio isósceles, AC y BD son sus diagonales, ¿cuál(es) de los

siguientes pares de triángulos son congruentes?

I) ABC y BAD

II) AED y BEC

III) ABE y DCE

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III


184. En la figura 127, el ABC es simétrico (reflejo) con el MNP respecto de la recta L,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) MA L

II) MN // AB

III) MB = NA

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III


185. La flecha sombreada achurada se traslada como lo muestra la figura 128, luego el vector

de la traslación mostrada es

A) (-2,0)

B) (4,-2)

C) (-4,2)

D) (0,-2)

E) (-4,-2) fig. 128

47

A B C D

I) II) III)

L1L2 L3

1

2

3

12 x y

186. Las figuras; A, B, C y D son; cuadrado, rombo, triángulo equilátero y trapecio isósceles

respectivamente. Luego si las ordenamos en orden creciente de acuerdo al número de ejes

de simetría tenemos

A) D, C, B, A

B) A, C, B, D

C) D, B, C, A

D) D, C, A, B

E) A, B, C, D

187. La figura I) está formada por 5 cuadrados congruentes, la figura II) es un cuadrado y la

figura III) es un triángulo equilátero. ¿En cuál(es) de ella(s) al rotarlas 90º respecto de su

centro, la figura resultante coincide con la inicial?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo III

E) Ninguna

188. En la figura 129, L1 // L2 // L3, luego x + y =

A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

E) 20 fig. 129

48

A B

C

O

A

B

C

O60º

2

A B

CD E

F

189. ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto del perímetro y el área de un círculo cuando su

radio se duplica?

A) El perímetro y el área se duplican.

B) El perímetro se cuadriplica y el área se duplica

C) El perímetro y el área aumentan.

D) El área aumenta en mayor proporción que el perímetro.

E) El perímetro se duplica y el área se cuadriplica.

190. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 130, el CAB 5 ABC , luego

CAB

A) 75º

B) 60º

C) 45º

D) 30º

E) 15º fig. 130

191. En la figura 131, ¿cuál es la medida del radio de la circunferencia de centro O?

A) 4

B) 4

33

C) 2

33

D) 1

33

E) 2 fig. 131

192. En el paralelogramo ABCD de la figura 132, si AB = 15, CE = 5 y EF = 3 entonces el área

del paralelogramo ABCD es

A) 144

B) 120

C) 80

D) 60

E) Ninguna de las anteriores fig. 132

49

L

193. En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos es y 5

cos13

, entonces

tg sen =

A) 96

65

B) 13

65

C) 131

65

D) 12

5

E) 5

13

194. En una circunferencia de diámetro 8 10 cm., una cuerda esta a una distancia de 4 cm. del

centro, ¿cuál es la medida de la cuerda?

A) 12 cm.

B) 16 cm.

C) 20 cm.

D) 24 cm.

E) 30 cm.

195. Al rotar el triángulo equilátero de lado 6 (figura 133) en torno a la recta L, se genera un

volumen de

A) 27

B) 54

C) 81

D) 162

E) Otro valor fig. 133

196. Se desea embaldosar un patio cuadrado de 2m de lado, luego ¿con cuál de las siguientes

baldosas no podrá cubrirse completamente el patio si no se puede transformar ninguna de

las baldosas?

A) baldosas cuadradas de lado 50 cm.

B) baldosas rectangulares de 20cm. por 25 cm.

C) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm y 10 cm.

D) baldosas de forma de triángulo equilátero de lado 20 cm.

E) baldosas rectangulares de 40 cm. por 8 cm.

50

A B

CD F

E

A C

P

Q

R

T

O

197. En el cuadrilátero ABCD de la figura 134, AC es diagonal que intersecta a BF en E, luego el

ABE es semejante al CFE si:

(1) ABCD es paralelogramo.

(2) AE BE

EC EF

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




198. En la circunferencia de centro O de la figura 135, PQRT es rombo, el área achurada se

puede determinar si:

(1) AC = 20

(2) AT = TO = OQ = QC = 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




199. El complemento del complemento de un ángulo de 5º es

A) 5º

B) 10º

C) 15º

D) 45º

E) 85º

200. ¿En qué triángulo el ortocentro está en la circunferencia circunscrita a él?

A) equilátero

B) isósceles acutángulo

C) obtusángulo

D) rectángulo

E) en ningún triángulo

51

O

B

CD

AL

A B

C D

E

F

201. En la figura 136, FCD FAB y CAE BAE , luego ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) AC = CD

II) CE = EB III) CBA BCD

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III


202. En un triángulo escaleno al trazar del mismo vértice; la altura, la bisectriz, la transversal

de gravedad y la simetral, ¿cuántos triángulos se forman en total?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 12

E) no se puede determinar

203. En la figura 137, L es tangente en B a la circunferencia de centro O. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones hace(n) que DC sea paralelo a L?

I) BC DB

II) BC CD DB

III) CBA DCB

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


204. ¿Cuántos triángulos se forman al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice en un

dodecágono (12 lados) regular?

A) 12

B) 10

C) 8

D) 6

E) más de 12

52

L

A) B) C) D) E)

I) II) III)

205. ¿Cuál es el cuadrilátero que tiene 4 ejes de simetría?

A) el rombo

B) el rectángulo

C) el deltoide (trapezoide simétrico)

D) el trapecio isósceles

E) el cudrado

206. ¿Cuál es la mejor figura que representa una reflexión respecto a L de la figura original?

207. Dos triángulos equiláteros iguales se unen por un lado. Después todas las esquinas de la

figura obtenida se juntan en el centro. ¿Qué figura se obtiene?

A) un triángulo

B) un cuadrado

C) un rectángulo

D) un hexágono

E) un rombo

208. ¿Con cuál o cuáles de los triángulos se puede cubrir completamente el pentágono de la

figura?

A) Sólo con I

B) Sólo con II

C) Sólo con III

D) Con I y con III

E) Con I y II

53

A D B

F

C

E

209. Los triángulos ADE y ACB son congruentes (figura 138), ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) CF = FD II) DFB CFE

III) F es punto medio de ED y BC

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) todas fig. 138

210. En la figura 139, la circunferencia mayor está inscrita al cuadrado mayor y pasa por los 4

vértices del cuadrado menor, la circunferencia menor está inscrita al cuadrado menor,

luego ¿en qué razón están los radios de las circunferencias?

A) 1 : 2

B) 2 : 3

C) 1 : 2

D) 2 : 2


211. En la figura 140, ABCD es rombo, E es un punto de BC tal que t

r

EC

BE , entonces las área

del triángulo ABE y el rombo ABCD están en una razón de

A) )tr(2

r

B) )tr(2

t

C)

2

tr

t

D)

2

tr

r

fig. 140

E)

2

t

r

A B

CD

E

54

A B

C

D

E

FG

212. Si F es el punto medio de AC (figura 141), entonces ¿cuál(es) de las siguientes


I) FDG es isósceles.

II) ABC es semejante con BED.

III) G es punto medio de ED.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Ninguna fig. 141

213. Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC, se han dibujado triángulos equiláteros, como lo

muestra la figura 142. Si F y G son los puntos medios de AC y AE respectivamente,

entonces BD

FG =

A) 2

1

B) 1

C) 2

3

D) 4

1


214. Si en la figura 143, los lados de los cuadrados están en razón 4 : 3 : 2, entonces si el área

no achurada es 17 cm2, entonces el lado del cuadrado mayor es

A) 1 cm.

B) 2 cm.

C) 3 cm.

D) 4 cm.

E) 8 cm. fig. 143

215. En la circunferencia de centro O y radio r (fig. 144), se ha inscrito el PQR. Entonces la

longitud del segmento PQ esta representada por

A) r·sen

B) r·cos

C) 2r· sen

D) 2r· cos

E) 2

sen·r fig. 144

B C

D

A

E

F

G

P Q

R

.O

55

L

216. Al rotar la figura sombreada en torno a la recta L, el cuerpo engendrado es similar a:

A) D)

B)

C) E)

217. Para teselar un cuadrado con una pieza esta puede tener la forma de un:

I) triángulo equilátero

II) rectángulo

III) pentágono regular

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

218. Si se quiere saber el seno de un ángulo, se requiere

(1) conocer los lados del triángulo rectángulo donde está el ángulo en cuestión.

(2) conocer el coseno del mismo ángulo.

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola


D) Cada una por si sola, (1) ó (2)


219. En la circunferencia de la figura 145, las cuerdas AB y CD son perpendiculares, para

encontrar el diámetro de la circunferencia es necesario conocer

(1) m

(2) n

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 145

E) Se requiere información adicional.

A B

D

C

E2 6

m

n

56

a

a

a

a

45º

25º

x

p

q

r

s

A

D

BC

2

16

220. En la figura Nº 146, se muestran un rectángulo y un romboide traslapados, el área

achurada en términos de a es

A) 2a

B) 2a

2

C) 22a

D) 23a fig. 146


221. En la figura 147, p q y r s , luego el ángulo x mide

A) 25º

B) 90º

C) 115º

D) 155º

E) 165º fig. 147

222. El suplemento de un ángulo es 130º y el complemento del otro es 40º, entonces la

diferencia entra las medidas de ellos es

A) 0º

B) 10º

C) 20º

D) 50º

E) 90º

223. En el triángulo rectángulo en C de la figura 148, se ha trazado la altura CD, que divide a la

hipotenusa en dos segmentos; AD = 2 y DB = 16, luego el perímetro del triángulo ABC

mide

A) 24 4 14

B) 18 2 7 12 2

C) 36

D) 24 12 2

E) 16 2 14 fig. 148

224. La suma de las medidas de las tres transversales de gravedad es

A) Igual al perímetro del triángulo

B) Igual a la mitad del perímetro del triángulo

C) Mayor que el perímetro del triángulo

D) Menor que el perímetro del triángulo

E) Igual a un tercio del perímetro del triángulo

57

225. Para ubicar el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo se deben trazar

A) dos medianas

B) dos bisectrices

C) dos alturas

D) dos simetrales

E) dos transversales de gravedad

226. En la figura 149, ABCD es paralelogramo y ADE = EDC = BCD. Sabiendo que

AD = 5 y DC = 6, ¿cuánto, mide el perímetro del trapecio EBCD?

A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

E) 21 fig. 149

227. En la circunferencia de la figura 150, CD es altura. Para que D divida aureamente al

diámetro AB, AD es igual a

A) a

B) b – a

C) a · b

D) a

b fig. 150

E) a 5

228. El trapecio de la figura 151 es isósceles, luego, es(son) verdadera(s) la(s) siguientes

afirmación(es)

I) AE : ED = AB : CD

II) BEC AED

III) ABE CDE

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III fig. 151

D) Sólo I y III

E) I, II y III

229. Tres cuadrados de lados; 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente (fig. 151), si se colocan

uno al lado del otro, entonces ¿cuál es el área sombreada?

A) 100 cm2

B) 90 cm2

C) 120 cm2

D) 80 cm2

E) 240 cm2 fig. 151

A E B

CD

A B

C

D

ab

O

A B

CD

E

58

AB

CD

E F

GH

230. Si con un triángulo isósceles de área 5 se forma un rombo, entonces el producto de las

diagonales es

A) 5

B) 10

C) 12

D) 20

E) 40 `

231. En la figura 152, ABCD es paralelogramo, F esta en la prolongación de AD. Si EF = 32 y GF

= 24, entonces BE es igual a

A) 4

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16 fig. 152

232. En la figura 153, DBC isósceles de base DB, AD · AB =

A) 2

1

B) 1

C) 2

D) 3

E) 5 fig. 153

233. En el cuadrado ABCD de la figura 154, se han prolongado las diagonales de manera tal que

EA = AC = CG y FB = BD = DH, si el lado del cuadrado es a, entonces el área del octógono

AFBGCHDE es

A) 2a

B) 22a

C) 23a

D) 23a

2


A B

CGD

F

E

A D B

C

21 1

40º

59

L1 L2

A) B) C) D) E)

234. La figura que mejor representa la reflexión de la flecha con respecto a L1 y luego respecto

de L2 es

235. Si el punto 2,2 3 se rota 30º con respecto al origen (0,0), el punto resultante es

A) (0,2)

B) (0,4)

C) (4,0)

D) (2,0)

E) 2, 2 3

236. Un patio cuadrado se desea embaldosar, si este mide 5 metros de lado, ¿con cuál de las

siguientes baldosas no se podrá embaldosar completamente, sin cortar ninguna baldosa?

A) baldosas cuadradas de 50 cm. de lado.

B) baldosas rectangulares de 50 cm. por 25 cm..

C) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm. y 25 cm..

D) baldosas cuadradas de 40 cm. de lado.

E) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 25 cm. y 12,5 cm..

237. Si 3

tan4

, entonces el perímetro del triángulo rectángulo que tiene el ángulo y cuya

hipotenusa mide 50 cm. mide

A) 100 cm.

B) 110 cm.

C) 120 cm.

D) 70 cm.

E) no se puede determinar

60

238. La figura 155 muestra parte de un cubo, el corte sombreado es un triángulo formado por

las diagonales de las caras, si el cubo original tiene arista 1 cm, entonces el volumen del

cuerpo resultante es

A) 1

2 cm3

B) 1

3 cm3

C) 2

3 cm3

D) 5

6 cm3 fig. 155

E) 1

6 cm3

239. Si el volumen de un cilindro es V y el área del manto (superficie curva que lo envuelve) es

S, entonces el volumen expresado en términos del radio y la superficie del manto es

A) V S r

B) 2S

Vr

C) S

V2r

D) r

V2S

E) Sr

V2

240. Para saber el número de lados de un polígono convexo se necesita saber

(1) El número de diagonales que se pueden dibujar en él.

(2) La suma de los ángulos exteriores.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




61

a

a

b

B

C

A

D

E24º

36º

L1

L3

L2

24º

xº

M N

P

T Q

40º 30º

x

241. En la figura 156, aparecen tres cuadrados dentro de un rectángulo, dos de ellos de lado a y

el otro de lado b, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área achurada es 2 22a 2ab b

II) El perímetro de la zona sombreada es 12a

III) El perímetro del rectángulo es 8a + 2b

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III


242. En la figura 157, CDB 6º y BEC 12º , luego ¿cuánto mide el ángulo CAB?

A) 3º

B) 9º

C) 39º

D) 18º + 2

E) 2 18º fig. 157

243. ¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 158, si L1 // L2 y 1 3L L ?

A) 24º

B) 64º

C) 66º

D) 76º

E) 114º fig. 158

244. En el triángulo MNP de la figura 159, PT es altura y PQ es bisectriz, ¿cuánto mide el ángulo

x?

A) 0º

B) 5º

C) 15º

D) 35º


62

10

6x

2 6

A B

CD

E

F

245. Sea un triángulo ABC de lados a, b, c y alturas ha, hb y hc, luego

I) aha = bhb = chc

II) Si a > b > c ha < hb < hc

III) ha : hb : hc = a : b : c

Es(son) verdadera(s)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

246. ¿Cuál es el valor de x en la figura 160?

A) 10

B) 1,5

C) 7,5

D) 4,5

E) 6,5 fig. 160

247. En al rectángulo ABCD de la figura 161, el ángulo en C es trisectado por CE y CF, luego el

área de dicho rectángulo es

A) 108 3 36

B) 6 3

C) 18 3 2

D) 151

E) 120 fig. 161

63

A

B

C

F G HO

5

15

13A B

C

D

E

A B C

DEFG

C D B

A

FE

248. En la figura 7, AF // BG // CH, si OA : AB : BC = 2 : 4 : 1, entonces ¿cuál(es) de las


I) 2 · GH = FG – OF

II) Los triángulos OFA y OHC son semejantes.

III) AF : BG = 2 : 4

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I. II y III fig. 162

249. En la figura 163, ¿cuál es el seno del ángulo ACB?

A) no se puede determinar

B) 5

13

C) 12

13

D) 13

15

E) 15

26 fig. 163

250. Los triángulos ABF y BCE de la figura 164 son congruentes, ACDG es rectángulo. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) EFB BCE

II) El área del AFG más el área de EDC es igual al área del ABF .

III) ABEF es paralelogramo.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


251. En el triángulo ABC e la figura 165, se han trazado las alturas AD y BF, si AD = 8, BD = 6 y

CD = 4, entonces ED =

A) 1

2

B) 5

2

C) 2

D) 5

2

E) 3 fig. 165

64

x

y

z

A

B

S E

L

I

M

F

8

24

252. La figura 166, presenta un cono recto invertido, de diámetro 8 cm y altura 24 cm y dentro

de él una esfera de radio 1 cm, si la esfera es no puede descender más por el interior del

cono, entonces ¿a qué distancia del vértice del cono queda el centro de la esfera?

A) 2,3 cm

B) 6,0 cm

C) 8,0 cm

D) 37 cm

E) 2 37 cm fig. 166

253. El cubo de la figura 167 tiene el punto de intersección de las diagonales en el origen del

sistema coordenado, si las caras del cubo son paralelas a los planos xy, yz y zx, además

las coordenadas del vértice A(1,1,1), entonces las coordenadas del vértice B son

A) (-1,-1,-1)

B) (-1,-1,0)

C) (-1,1,-1)

D) (1,-1,-1)

E) (-1,-1,1) fig. 167

254. El pentágono SELIM de la figura 168, está formado por un cuadrado y un triángulo

equilátero de igual lado, el triángulo ELF es equilátero de igual lado que el pentágono

SELIM, si el perímetro del pentágono es 40 cm., entonces el área del triángulo achurado es

A) 32 cm2

B) 24 cm2

C) 20 cm2

D) 18 cm2


65

50º

A

B

CD

E

A

B

C

D

255. En la circunferencia de la figura 169, los arcos AB y BD son iguales, ¿cuánto mide el ángulo

BCD?

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º

E) 80º fig. 169

256. El pentágono SELIM de la figura 168, ¿cuántos ejes de simetría tiene?

A) 5

B) 4

C) 3

D) 1

E) 0

257. Para embaldosar un patio de forma de rombo, las baldosas de forma de rombo a usar de

manera de no cortar ninguna deben cumplir con:

I) la medida de su lado debe ser divisor de la medida del lado del patio.

II) sus diagonales deben ser perpendiculares.

III) deben tener los mismos ángulos interiores que el patio a embaldosar.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y III

D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

258. Un cubo se a cortado como lo muestra la figura 170, si A, B, C y D son los puntos medios

de las aristas del cubo original, si lo cortado tiene un volumen de 8 cm3, entonces la arista

del cubo mide

A) 4 cm.

B) 6 cm.

C) 8 cm.

D) 2 2 cm.

E) 4 2 cm. fig. 170

66

L

A) B) C) D) E)

1 cm

259. Si se disponen de varios rectángulos cuyo largo mide el cuádruplo del ancho, entonces el

menor número de rectángulos que permiten formar un cuadrado es

A) 3

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

260. ¿Cuál de las siguientes figuras representan mejor a la reflexión de la figura achurada

respecto de la recta L?

261. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero de la figura 171?

A) 2 cm2

B) 3 cm2

C) 4 cm2

D) 5 cm2

E) (1 5) cm2 fig. 171

262. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene menor número de ejes de simetría?

A) triángulo equilátero

B) rectángulo

C) triángulo isósceles

D) hexágono regular

E) trapecio rectángulo

67

O

M

N

L

A

B

P R

EU

A

T

P S

U

I

40º

263. Si se tiene un octógono regular (8 lados) y se quiere teselar el plano con otro polígono

regular, este puede ser un


B) cuadrado

C) pentágono regular

D) hexágono regular

E) heptágono regular

264. La circunferencia de centro O es tangente interior a la mayor, LB y LA son tangentes en M

y N respectivamente a la circunferencia de centro O, figura 172. Para encontrar la longitud

del arco AB, se requiere

(1) La longitud del arco MN y el radio de la

circunferencia mayor.

(2) El radio de la menor, la medida del ángulo MON el

radio de la mayor.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola


D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 172


265. El cuadrilátero ARTU (figura 173) esta inscrito en el cuadrado PREU, ¿en qué razón están

las áreas de ARTU y PREU?

(1) PA : AR = UT : TE = 4 : 1

(2) el lado del cuadrado mide 5 cm.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




266. Para obtener la medida del ángulo ISU en la figura 174, se requiere conocer que:

(1) el triángulo PSU es rectángulo en S

(2) SI es altura

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




68

4x

3x

5x

6x

2x

A

B

C

D

E

F

G

T

SR

P

x

x

26º

40º110º

aº2aº

267. ¿Cuánto mide el ángulo CAB, en la figura 175?

A) 54º

B) 108º

C) 120º

D) 144º

E) 162º fig. 175

268. En un triángulo isósceles el ángulo interior menor es la cuarta parte del mayor, el mayor

de los ángulos interiores puede medir

A) 145º

B) 120º

C) 100º

D) 30º

E) 20º

269. Un rayo de luz nace del punto S (figura 176), se refleja en un espejo en el punto P, y llega

al punto T, para que PT sea perpendicular a RS, x debe medir

A) 32º

B) 37º

C) 45º

D) 26º

E) 38º fig. 176

270. En el diagrama de la figura 177, ¿cuánto mide a?

A) 50º

B) 65º

C) 70º

D) 105º

E) 110º fig. 178

69

A

CB

X

D

Y

20º

xº

xº

20º

70º

B C

A

GE

F

aº

bº

cºdº

A B

C

D

E

F

271. El triángulo ABC de la figura 178 es rectángulo en B, AX = AD y CY = CD, la medida del

ángulo XDY es

A) 35º

B) 40

C) 45º

D) 50º

E) 60º fig. 178

272. Los triángulos ABC y AED son equiláteros (figura 179), si el ángulo DAC mide 15º,

entonces el ángulo DFB mide

A) 120º

B) 105º

C) 95º

D) 85º

E) 45º fig. 179

273. En el triángulo de la figura 180, xº =

A) 15º

B) 20º

C) 30º

D) 35º

E) 50º fig. 180

274. ¿Cuánto miden la suma de las medidas de los ángulos; aº, bº, cº y dº?

A) 360º

B) 440º

C) 540º

D) 720º

E) 900º fig. 181

70

40º

100º130º 150º

xº yo

A B

C

D

275. En un triángulo, uno de los ángulos interiores es tres veces otro y el tercero mide 20º más

que la suma de los dos anteriores, ¿cuáles son las medidas de los ángulos?

A) 5º, 15º, 160º

B) 10º, 30º, 140º

C) 20º, 60º, 100º

D) 25º, 75º, 80º

E) 30º, 60º, 90º

276. Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde

el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que

I) La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.

II) La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.

III) Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz

trazada.

¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo III

D) I, II y III

E) ninguna

277. En la figura 182, el triángulo ABC es rectángulo en C y el triángulo ABD es isósceles de

base AD, luego cuál de las afirmaciones es falsa.

A) ADB DAB

B) BD > AC

C) BD > BC

D) DA BA

E) AC + CB < AB + BD fig. 182

278. Las medidas de los ángulos x e y en la figura 183 miden respectivamente

A) 40º y 20º

B) 20º y 40º

C) 30º y 60º

D) 30º y 40º

E) los dos miden 30º fig. 183

71

128º

xº 2xº

Q R

TP

A

B

m

3m

2mx

C B

D

E

F

A

279. En la figura 184, PT es paralela a QR, la medida del PQR es

A) 116º

B) 122º

C) 138º

D) 144º

E) 168º fig. 184

280. El triángulo ABC de la figura 185 es isósceles de base CB, si BC = CD = DE = EF = FA,

entonces la medida del ángulo BAC

A) 10º

B) 20º

C) 25º

D) 36º

E) 18º fig. 185

281. La medida del ángulo x en la figura 186 se puede conocer si:

(1) se conoce el ángulo en A

(2) se conoce el ángulo en B

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




fig. 186

72

bº

aº

xº

A

B

C

D

E

282. Los ángulos exteriores de un cuadrilátero están en razón 2 : 3 : 5 : 8, luego el menor

ángulo interior mide

A) 20º

B) 40º

C) 60º

D) 100º

E) 160º

283. ¿Qué cuadrilátero no tiene ningún ángulo interior igual a otro ángulo interior?

A) cuadrado

B) rectángulo

C) trapecio isósceles

D) deltoide

E) trapezoide no simétrico

284. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) No existe cuadrilátero de diagonales distintas y perpendiculares.

II) Sólo los rectángulos tienen sus diagonales iguales.

III) En todos los paralelogramos las diagonales son iguales.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) ninguna

285. En el cuadrilátero de la figura 187, AE y CE son bisectrices, si aº > bº entonces xº =

A) aº - bº

B) aº bº

2

C) aº

bº2

D) bº

aº2

E) aº bº

2

fig. 187

73

M N

PQ R

T E

LA

M

ab

K

E

R

Y

L U

PA

286. En la figura 188, TELA es rectángulo, si el ángulo a es el doble del ángulo b, entonces

es(son) verdadera(s) las siguientes proposiciones

I) AT = ML

II) El triángulo TAM es equilátero.

III) LAM isósceles de base AL.

IV) TE = 2·AT

A) Sólo I y II

B) Sólo I y III

C) Sólo IV

D) Sólo I, II y III fig. 188

E) todas

287. MNPQ es paralelogramo cualquiera (figura 189), R es punto medio de PQ, luego si MN

= 2 · NP ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) MNR es isósceles

II) NPR es equilátero

III) MNR es rectángulo

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


288. En la figura 190, KERY es rombo, LUPA es rectángulo y los puntos E e Y son puntos medios

de LU y PA respectivamente, si el ángulo ERY mide 50º entonces el ángulo KEL mide

A) 130º

B) 60º

C) 45º

D) 30º

E) 25º fig. 190

74

A B

CD

E

F

G

A B

CD

P

Q xº

A B

CD

289. En el rectángulo de la figura 191, AE es bisectriz del BAD , EF es perpendicular a la

diagonal BD, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Si EAC 15º , entonces BCG es equilátero

II) CAB BCF

III) ACE es isósceles

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


290. En la figura 192, ABCD es cuadrado, DAPQ es rombo, si P esta en la prolongación de la

diagonal CA, entonces xº =

A) 17,5º

B) 22,5º

C) 45º

D) 90º

E) 135º fig. 192

291. En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la figura 193, AD = BD, si DCB 110º y

CBD 30º , entonces ADB

A) 80º

B) 90º

C) 100º

D) 110º

E) 120º fig. 193

75

70º

xº

15º

V A

NE M

O

T

292. El cuadrilátero de la figura 194 es cóncavo, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

respecto a él es(son) falsa(s)?

I) Sus ángulos interiores suman 360º.

II) Sus ángulos exteriores suman 360º.

III) Se pueden trazar dos diagonales en el.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III


293. La diferencia entre los ángulos interiores distintos de un deltoide es 20º y la suma de ellos

es 140º, luego la medida de los ángulos que son iguales es

A) 60º

B) 80º

C) 110º

D) 220º

E) otra medida

294. En rectángulo VANE de la figura 195, se ha inscrito el triángulo equilátero AMO, si el ángulo

VAE mide 15º, entonces el ángulo OTE mide

A) 75º

B) 85º

C) 95º

D) 120º

E) 125º fig. 195

295. Sobre los lados del triángulo de la figura 196, se han dibujado dos cuadrados congruentes,

entonces la medida del ángulo x es

A) 110º

B) 120º

C) 130º

D) 140º

E) 160º fig. 196

76

L

E S

T

O

A

N

G

A

B C

D

E

FG

H

A

B

C

D

296. El polígono ABCDEFGH de la figura 197 es un octógono regular, ¿cuál(es) de las siguientes


I) ACE es rectángulo isósceles.

II) Desde H se pueden trazar 5 diagonales.

III) AF es perpendicular a EF.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) ninguna fig. 197

297. En la figura 1198, ANGLE es pentágono regular, SEAT es cuadrado y OAT es triángulo

equilátero, la medida del ángulo TON es

A) 39º

B) 99º

C) 117º

D) 139º

E) 151º fig. 198

298. En el cuadrilátero de la figura 199, AD = DC y CB = BA, si el ángulo ADC es el doble del

ángulo DAB y el cuádruplo del ángulo ABC, entonces el ángulo DCB mide

A) 40º

B) 60º

C) 80º

D) 100º

E) 160º fig. 199

77

D

C

B

A

EP

120º

80º

x

G

E F

A B

CD

299. En el polígono de la figura 200, AB // PC, AP // BC, si AP y CP son bisectrices de los

ángulos interiores respectivos, entonces el ángulo x mide

A) 60º

B) 100º

C) 120º

D) 140º

E) 160º fig. 200

300. Para conocer ¿cuántos lados tiene un polígono convexo?, es necesario:

(1) Saber la suma de los ángulos interiores.

(2) la medida de un ángulo exterior.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




301. En la figura 201, el triángulo DBG es equilátero si

(1) ABCD es rectángulo y BFGE es cuadrado.

(2) DC es bisectriz del ángulo BDG.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




fig. 201

78

O

A

B

C

D

A

B

C

E

F

30º

15º

OA B

C

D

302. En la circunferencia de centro O de la figura 1, CA AB y D es punto medio, luego el

CBD mide

A) 15º

B) 30º

C) 40º

D) 45º

E) 60º

fig. 202

303. El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro O (fig. 203), si CD es bisectriz

del ángulo BCA, luego el ángulo BAD mide

A) 15º

B) 22,5º

C) 25º

D) 45º

E) 60º fig. 203

304. En la figura 204, ¿cuánto mide el arco BC?

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 90º

E) 15º fig.204

79

C

AB

D

E

A

B

O

O’

O”

O O’M N

P

305. En la figura 205, BE y CE son bisectrices de los ángulos ABD y ACD respectivamente, si

ABE 25º , entonces ACD

A) 25º

B) 35º

C) 40º

D) 50º


306. Las dos circunferencias de la figura 206 son congruentes, si MN contiene a los centros O y

O’, entonces el ángulo NPM es igual a

A) 90º

B) 110º

C) 120º

D) 135º

E) 140º fig. 206

307. En la figura 207, las tres circunferencias son secantes entre si, cada una de ellas contienen

a los centros de las otras dos, luego AOB =

A) Falta información para determinarlo

B) 60º

C) 90º

D) 120º

E) 150º fig. 207

80

V

A

S

I

M

25º

T

R

OP

TR

O

P

U

308. El triángulo TRO tiene uno de sus vértices en el centro O de la circunferencia de la figura

208, si TP = OR y TR es tangente a circunferencia en R, entonces el arco menor RP mide

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 75º


309. En el cuadrilátero VASI de la figura 209, el ángulo exterior SIM mide lo mismo que el

ángulo VAS, luego VSI=

A) 25º

B) 45º

C) 50º

D) 55º


310. Sean; P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 y P8 los vértices de un octógono regular, luego el ángulo

formado por los vértices P2P4P8 mide

A) 45º

B) 90º

C) 135º

D) 180º

E) 215º

311. El cuadrilátero PTRU de la figura 210 está inscrito en la circunferencia de centro O. Si

UPT 2 TRU y PUR 3 PTR , entonces el cuadrilátero es

A) trapecio

B) romboide

C) trapezoide

D) trapezoide simétrico (deltoide)

E) trapecio escaleno fig. 210

81

O

F E

G

M

NP

A

BC

D

EF

30º

HI

J

K

312. En la figura Nº 211, la circunferencia de centro O esta inscrita al triángulo FEG, si M, N y P

son los puntos de tangencia, FM = 5 cm. y NG = 9 cm., entonces FG =

A) 14 cm.

B) 10 cm.

C) 7,5 cm.

D) 4 cm.


313. Las cuerdas AB, FC y ED de la figura 212 son paralelas, ¿Cuál(es) de las siguientes


I) EF FA

II) DFC CAB

III) DEB EBA

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo III

D) I, II y III

E) ninguna fig. 212

314. El triángulo HJK de la figura 213 es isósceles de base HK, si KI = IJ, entonces el arco IK

mide

A) 30º

B) 45º

C) 75º

D) 120º

E) 150º fig. 213

82

A

B

C

D

315. En la figura 214 la circunferencia menor es tangente a la mayor en A, si AB es diámetro de

la mayor y contiene al diámetro de la menor, entonces para que AD sea igual a DC, debe

suceder que

(1) El radio de la mayor sea igual al diámetro de la menor.

(2) El ángulo BAC mida 30º.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




316. Para que un cuadrilátero este inscrito en una circunferencia debe cumplir con que

(1) tenga dos lados paralelos

(2) tenga dos ángulos interiores opuestos suplementarios.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




317. Los puntos A, B, C y D son colineales tales que AB = 6 cm, BC = 2 cm, AC = 8 cm y BD =

1 cm. Dadas estas condiciones, una posible disposición de esos puntos es

A) ADBC

B) ABCD

C) ACBD

D) BACD

E) BCDA

318. En un triángulo ABC, los ángulos en los vértices B y C miden 50º y 70º respectivamente.

La bisectriz trazada desde el vértice A, forma con el lado BC dos ángulos que están en la

razón

A) 1 es a 2

B) 2 es a 3

C) 3 es a 4

D) 4 es a 5

E) 5 es a 6

83

A B

C

M N

30

1210

x

A B

C

Q

R

P

20

x8

10

A B

C

A’ B’

C’

D

D’

319. En la figura 215, MN es paralelo a AB, entonces x =

A) 25

B) 28

C) 30

D) 18

E) 12 fig. 215

320. En la figura 216 los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, AD y A’D’ son bisectrices,

luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) ACB A'C'B' fig. 216

II) AC AD

A'C' A 'D'

III) ADC A'D'C'

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) I, II y III

E) ninguna

321. En la figura 217, ABC es semejante con QPR , luego x =

A) 20

7

B) 14

C) 16

D) 22

E) 25 fig. 217

322. ¿En qué razón están las áreas de los triángulos de la figura 217?

A) 25 : 2

B) 25 : 7

C) 22 : 1

D) 22 : 4

E) 25 : 4

84

10

6x

A B

O

2

x

C

D

16

4

C O

NI

T

323. ¿Cuál es el valor de x en la figura 218?

A) 10

B) 1,5

C) 7,5

D) 4,5

E) 6,5 fig. 218

324. En la figura 219, CONI es un rectángulo, si OT es perpendicular a CN, entonces es falso

A) CT : TO = 4 : 1

B) CN = 4 17

C) ICN TOC

D) NT : TO = 4 : 1

E) OT2 = NT · TC fig. 218

325. El diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB, figura 219, si CD = 10, entonces x =

A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10 fig. 219

326. Si un segmento de 24 cm. es dividido interior y exteriormente en la razón 5 es a 1,

entonces la distancia entre los puntos de división interior y exterior es

A) 6 cm.

B) 10 cm.

C) 12 cm.

D) 20 cm.

E) 24 cm.

327. En un triángulo de lados 5, 12 y 13, la bisectriz del mayor ángulo interior agudo divide al

triángulo en dos triángulos de áreas P y Q, si P < Q, entonces P

Q

A) 1

3

B) 5

13

C) 6

13

D) 1

2

E) 7

13

85

63

A

B

A B

C

L

O

E

328. Dos circunferencias tienen sus radios en razón 3 es a 2, si la mayor tiene un perímetro de

12 , luego el área de la menor es

A) 36

B) 24

C) 18

D) 16

E) 81

329. Las dos circunferencias de la figura 220 son tangentes a la recta, si A y B son los puntos de

tangencia y la distancia entre los centros es 15, entonces AB =

A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

E) 18 fig. 220

330. En la figura 221, los triángulos ABC y LOC son rectángulos y semejantes, si sus

hipotenusas son AB y LO, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

falsa(s)?

I) E es punto medio de CB y LO.

II) (LO + CO)(LO – CO) = AL · LB

III) El triángulo LEC es equilátero.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo III

E) ninguna fig. 221

331. Si los lados de dos octógonos semejantes están en razón 3 : 5 y el área del menor es 18

cm2, entonces el área del mayor es

A) 5 cm2

B) 15 cm2

C) 30 cm2

D) 50 cm2

E) 75 cm2

86

A B

CD M

16

N

P E

LO

CU

A

332. En la figura 222, L 1 //L 2 //L 3 luego x mide

A) 10

B) 16

C) 18

D) 15,5

E) 20 fig. 222

333. Si la sombra generada por un árbol es 12 m. y por un poste cercano a el es 8 m., entonces

sus alturas pueden ser

árbol poste

A) 36 m. 16 m.

B) 24 m. 8 m.

C) 48 m. 24 m.

D) 15 m. 10 m.

E) 10 m. 6 m.

334. En la figura 223, PELO y CUAL son cuadrados, las medidas de sus lados son 4 cm. y 3 cm.

respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) PL es perpendicular a LU

II) Los perímetros de los triángulos PEL y LUA están en razón 4 : 3

III) El área del triángulo LOP es al área cuadrado CUAL como 16 es a 9

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo III

D) I, II y III

E) ninguna

fig. 223

335. ABCD es paralelogramo, N es el punto de intersección de los segmentos AM y DB, si M es

punto medio de DC y AN = 16 (figura 224), entonces MN =

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) Falta información para determinarlo fig. 224

8

12

x

2

3

L 1

L 2

L 3

87

A B

C

T

408

6

24C

D

A

B

A R

TE

M

A B

CD

GE

F

336. En la figura 225 AT es bisectriz del ángulo BAC, luego AB =

A) 30

B) 28

C) 26

D) 24

E) 22 fig. 225

337. En el rectángulo ARTE de la figura 226, RM es perpendicular a la diagonal AT, si RT =

1,3 m. y TM = 0,5 m., entonces la menor distancia que hay entre el vértice E y la diagonal

AT es

A) 12 m.

B) 1,2 m.

C) 0,12 m.

D) 1 m.

E) 0,8 m. fig. 226

338. Los cuadriláteros ABCD y BEFG son rectángulos, el triángulo ABF es isósceles de base AF,

GD es perpendicular a AF, si AD : DC = 1 : 4, entonces ¿en qué razón están las áreas de

los rectángulos ABCD y BEFG? (figura 227)

A) 1 : 16

B) 15 : 16

C) 17 : 16

D) 5 : 4

E) ninguna de las anteriores fig. 227

339. En la figura 228 CD es diámetro de medida 26, entonces el coseno del ABC es

A) 5

13

B) 12

13

C) 1

2 fig. 228

D) 3

2

E) no se puede obtener pues ABC no es rectángulo

88

T E

R

A

240. ¿En qué triángulo el coseno de un ángulo y el seno del mismo ángulo son iguales?

A) en un triángulo de 30º, 60º y 90º

B) en un triángulo rectángulo escaleno

C) en un triángulo equilátero

D) en un triángulo rectángulo isósceles

E) en ningún triángulo

341. En la figura 229, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces

ER =

A) 5

B) 5

3

C) 3

5

D) 5

4

E) ninguna fig. 229

342. Un segmento está dividido en razón áurea si:

(1) su medida se expresa con una raíz cuadrada de cinco.

(2) si el mayor trozo es media proporcional.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




343. Si en un triángulo rectángulo se traza la altura desde el ángulo recto y esta divide a la

hipotenusa en dos segmentos en razón 1 : 3, entonces para determinar la hipotenusa si

(1) El cateto mayor mide 12

(2) La altura es múltiplo de 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




89

A B

CD

E F

GH M

N

344. ¿Cuál es el volumen de un prisma de base cuadrada de área 25 cm2 y sus caras laterales

son rectángulos de perímetro 40 cm?

A) 1.000 cm3

B) 500 cm3

C) 400 cm3

D) 375 cm3

E) 200 cm3

345. Una esfera está inscrita en un cubo. ¿Cuál es la razón entre el área de la esfera y el área

del cubo?

A) 2

3

B) 6

C) 4

3

D) 12

E) 8

3

346. En la figura 230, ABCDEFGH es paralelepípedo recto, ¿cuál(es) de las siguientes


I) MN // FB

II) MN // BE

III) AH // BG

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III


347. La figura 231 muestra un paralelepípedo recto de base cuadrada inscrito en un cilindro, ¿en

qué razón está el volumen del paralelepípedo y el cilindro?

A) 2

B) 4

C) 8

D) 2

E) 8

fig. 231

90

L

A) B) C)

D) E)

L

M

N

O

P

348. ¿Cuál es el área total de una pirámide de base cuadrada de arista 4 cm. y cuyas caras

laterales son triángulos equiláteros?

A) 64 cm2

B) 16 4 3 cm2

C) 16 12 3 cm2

D) 16 16 3 cm2

E) 32

23

cm2

349. Al rotar el trapecio ABCD respecto a la recta L, ¿qué cuerpo representa mejor el volumen

engendrado?

350. ¿Cuál de las rectas en la figura 232, no sería eje de simetría?

A) L

B) M

C) N

D) O

E) P fig.232

91

L

LL L

L L

A) B) C)

D) E)

351. Al respecto de polígonos regulares se hacen las siguientes afirmaciones:

I) Los polígonos de una cantidad par de lados tienen por ejes de simetría las

diagonales que son bisectrices y las rectas que pasan por los puntos medios de los

lados opuestos.

II) En los pentágonos no hay eje de simetría que contenga a los puntos medios de los

lados.

III) El hexágono tiene igual cantidad de ejes de simetría que lados.

Es(son) falsa(s):

A) Solo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) I. II y II

E) ninguna

352. ¿Cuál de las alternativas representa mejor la reflexión de la figura principal respecto a L?

353. El punto de coordenadas (1,2) se traslada 5 unidades a la derecha horizontalmente y luego

se le refleja con respecto al origen (0,0), resultando el punto

A) (-6,-2)

B) (-2,-6)

C) (-6,2)

D) (2,-6)

E) (6,2)

92

AB

CDE

1

2

M

N

12

3

x

y

2

2

-2

-2

354. La figura 233 muestra una mesa de billar, B es el punto medio entre la bola 2 y M, C es el

punto medio entre la bola 1 y N, si queremos que la bola 1 choque a la bola 2 y no existe

ningún efecto, en que puntos del borde puede rebotar para lograr el impacto

A) Sólo en A

B) Sólo en B

C) Sólo en E

D) Sólo en C

E) Sólo en A y en D

fig. 233

355. El paralelogramo 1 de la figura 234 se ha transformado, ¿cuál(es) de las siguientes


I) El paralelogramo 2 es una reflexión de 1 respecto al eje y.

II) El paralelogramo 3 es una reflexión del 2 respecto al eje y.

III) El paralelogramo 3 es una rotación de 180º respecto al punto (0,0) del

paralelogramo 1

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

fig. 234

356. ¿Con cuál de las siguientes figuras no se puede teselar el plano?


B) triángulo escaleno

C) cuadrado

D) trapecio isósceles

E) dodecágono regular

93

I) II) III)

357. Un patio rectangular se desea embaldosar, si dicho patio tiene medida de 2 m. por 3 m.,

entonces se podrá embaldosar con

I) Baldosas cuadradas de 50 cm. de lado.

II) Baldosas de rectangulares de 1 m. por 1,5 m.

III) Baldosas cuadradas de 75 cm. de lado.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo III

E) I, II y III

358. Las tres figuras siguientes se generan de polígonos regulares (líneas punteadas), en las

cuales se ha modificado cada lado con la misma figura. ¿En cuál(es) de ellas se genera(n)

una baldosa que tesela el plano?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

359. Un hexágono regular se puede teselar con un triángulo equilátero si

I) El lado del triángulo es igual al del hexágono.

II) La medida del lado del triángulo es un divisor de la medida del lado del hexágono.

III) La medida del lado del hexágono es 3

4de la medida del lado del triángulo.

¿Con cuál(es) de las condiciones es posible la teselación?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I o II

E) I o II o III

94

360. Una muralla rectangular se la quiere cubrir con azulejos triangulares, estos azulejos son

triángulos rectángulos. El maestro no puede cortar los azulejos, entonces para poder cubrir

la muralla estos deben cumplir con

I) Ser triángulos rectángulos isósceles de lado igual al máximo común divisor del largo

y ancho de la muralla.

II) Un cateto debe ser divisor del ancho y el otro cateto divisor del largo.

III) Un cateto debe ser el doble del otro.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I o II

E) I o II o III

361. Si un cuadrado cuyos vértices son; (1,1), (1,3), (3,1) y (3,3), se rota 90º respecto al

origen (0,0), entonces las coordenadas de la intersección de las diagonales del cuadrado

transformado son

A) (-2,2)

B) (2,-2)

C) (-3,3)

D) (3,-3)

E) ninguna de las anteriores

362. Si una esfera está inscrita en un cilindro, entonces podemos conocer el volumen de la

esfera si

(1) conocemos el volumen del cilindro

(2) conocemos el radio del cilindro

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




363. Se desea embaldosar un piso cuadrado de un baño, si disponemos de varios tipos de

baldosas cuadradas, ¿cuál debemos escoger para no cortar ninguna de ellas?

(1) aquella que su lado sea divisor del lado del baño

(2) aquella cuyo lado es el más grande

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




95

A MN

12 cm. 8 cm.

M N

P

T

R

x

y

z

A

C

B

A B

C

DE

O

364. El segmento AM se ha dividido interiormente como lo muestra la figura 235, ¿cómo se debe

desplazar N para que la razón entre AN y NM se invierta?

A) 4 cm. hacia la derecha

B) 4 cm. hacia la izquierda

C) 2 cm. hacia la derecha

D) 2 cm. hacia la derecha

E) 8 cm. hacia la izquierda fig. 235

365. En el triángulo MNP de la figura 236, RTP MNP , NP = 10, TR = 2, MN = 5, MT = 7 y

PT = 4, si RN = x, entonces la proporción que permite encontrar RN es

A) 2 x

5 10

B) 5 x

2 10

C) 10 x 11

10 4

D) 10 x 2

11 5

E) 10 x 10

11 4

fig. 236

366. Las caras del cubo de la figura 237, están sobre los planos xy, yz y zx, las coordenadas del

punto A son (0,2,0), luego la distancia entre los vértices B y C son

A) 3

B) 2 2

C) 3 2

D) 2 3

E) 4 fig. 237

367. En la circunferencia de centro O de la figura 238, AE // CD, AB y CD son diámetros, si

AEC 20º , entonces BOD

A) 20º

B) 40º

C) 60º

D) 70º

E) 90º fig. 238

96

A B

C

D

E

O F

D G C

F

BA

E

A

B

368. En la circunferencia de centro O de la figura 15, AE = EO = OF = FB, si CF = 2, ¿cuál es el

área del círculo?

A) 16

3

B) 4

3

C) 4

D) 3

E) falta información para determinar el área fig. 239

369. Una caja de zapatos se desea forrar completamente, si las medidas de las aristas son; 20

cm., 30 cm. y 40 cm., entonces ¿cuál es área a forrar?

A) 5.200 cm2

B) 2.400 cm2

C) 3.000 cm2

D) 2.800 cm2

E) Ninguna de las anteriores

370. El cuadrado de la figura 240 tiene un área de 121 cm2, E es el centro del cuadrado, GEF

= 90º y FC = 3. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero GEFC?

A) 18 cm2

B) 25,5 cm2

C) 81 cm2

D) 1

628

cm2

E) 1

304

cm2 fig. 240

371. En la figura todos los puntos están separados horizontal y verticalmente 1 cm., si los

puntos A y B son los vértices de un triángulo isósceles, entonces ¿cuántos de los puntos

dibujados pueden ser el tercer vértice del triángulo?

A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

E) 3 fig. 241

97

P A

TO

E F

M

N

A B

CD

OM N

P

Q

372. Si definimos como ejes de simetrías principales a aquellos que unen dos vértices opuestos

y los denominamos con la letra “a” y a los ejes de simetrías que unen los puntos medios de

lados opuestos los nombramos como ejes secundarios y los denominamos por “b”. Si

aparecen tantas letras como ejes de simetría, entonces a que figura corresponde (a,a,b,b)

A) un rectángulo

B) un rombo

C) un trapecio isósceles

D) un cuadrado

E) un deltoide

373. En la figura 242, PATO es cuadrado, EF y NM son paralelas a los lados del cuadrado, si los

cuadriláteros achurados son cuadrados, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) Los perímetros de los cuadriláteros achurados y no achurados son iguales.

II) El área achurada corresponde a la mitad del cuadrado PATO.

III) El perímetro de los cuadriláteros achurados es igual al del cuadrado PATO.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III


374. En el rectángulo de la figura 243, AC = 2·BC, si AC = 4 cm., entonces el área del

rectángulo es

A) 4 cm2

B) 2 3 cm2

C) 8 cm2

D) 16 cm2

E) 4 3 cm2 fig. 243

375. En la circunferencia de centro O de la figura 244, MN PQ, luego ¿cuál(es) de las


I) Los arcos QN y NP son iguales.

II) M dimidia al arco PQ.

III) OQ = QN

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II


98

K A

S

PE

R

U

L

TI

M

O

O

B L

I

G

E

60º

A B

C

D

E

376. El hexágono KASPER de la figura 245 es regular, luego ¿cuál(es) de las siguientes


I) ULTIMO es hexágono regular.

II) El triángulo TIP es equilátero.

III) Los triángulos KER y PIE son semejantes.

IV) El área del RIE es 2

3 del área del KAS .

A) Sólo I y II

B) Sólo II y III

C) Sólo I, II y III

D) Sólo I, II y IV

E) todas fig. 245

377. Si un segmento se divide en una razón 3 : 8 y tiene por medida un número entero de cm.,

entonces ¿cuál de las alternativas siguientes es siempre verdadera?

A) la medida de todo el segmento es múltiplo de 11

B) la medida del segmento termina en cifra par

C) el trazo mayor es múltiplo de 5

D) el segmento queda dividido aéreamente

E) la menor medida de todo el segmento es 8 cm.

378. El pentágono BLIGE es inscrito en la circunferencia de centro O, figura 246, luego la suma

de las medidas de los ángulos LIG y GEB es

A) 150º

B) 185º

C) 190º

D) 210º

E) 250º fig. 246

379. En la figura 247, los triángulos ABC y ADE son rectángulo en B y D respectivamente, si BE

es perpendicular a AC, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se verifican?

I) sen DAE sen BED

II) cos EBD sen CBE

III) tg AED tg EBA

A) todas

B) Sólo I

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) ninguna fig. 247

99

I) II) III)

20º

A

B

CD

E

F

50º

G

380. Los vértices de un rectángulo son A(0,0), B(3,0), C(3,2) y D(0,2), si el rectángulo se rota -

90º respecto del vértice C, entonces las coordenadas del nuevo vértice D son

A) (3,5)

B) (1,5)

C) (3,-1)

D) (-2,0)

E) (1,2)

381. ¿Con cuál(es) de las siguientes piezas se puede teselar el rectángulo grande?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

382. En la circunferencia de la figura 248, F es el punto medio del arco DA, ¿cuánto mide el

ángulo FGA?

A) 30º

B) 35º

C) 40º

D) 50º

E) 10º fig. 248

100

3

4

5

V

A

N

E

L O

383. La figura 249 es un paralelepípedo recto de aristas 3 cm., 4 cm. y 5 cm., luego su diagonal

mide

A) 5 2 cm.

B) 5 cm.

C) 41 cm.

D) 25 cm.

E) 34 cm. fig. 249

384. La pirámide de la figura 250 tiene base cuadrada y una de las caras en el plano xz, si las

coordenadas de A es (2,2,0) y las del vértice B son (1,0,2), entonces el volumen de la

pirámide es

A) 3

8

B) 4

C) 8 fig. 250

D) 6

E) 3

385. En el triángulo LON está inscrito el rombo VANE, figura 251, si LN = 12 m, LO = 8 m y

ON = 6 m, entonces el lado del rombo mide

A) 2 m

B) 3 m

C) 4 m

D) 5 m

E) 8 m fig, 251

x

y

z

A

B

101

A BE E’

A) B) C)

D) E)

O

386. El triángulo ABC está formado por los puntos A(8,3), B(4,1) y C(-5,4). ¿Cuál es la medida

de la altura que llega al lado AB?

A) 3 5

B) 5 5

C) 7 5

D) 4 5

E) 2 5

387. El segmento AB de la figura 252 se ha dividido interiormente y exteriormente en la razón 3

: 2,los puntos de división interior y exterior son E y E’, si AB = 5, entonces EE’ =

A) 8

B) 12

C) 20

D) 48

E) 60 fig. 252

388. Una pirámide tiene su base cuadrada de lado 12 cm. y su altura de 8 cm. llega al punto de

intersección de las diagonales del cuadrado. ¿Cuál es la suma de las áreas de todas sus

caras laterales?

A) 30 cm2

B) 40 cm2

C) 60 cm2

D) 120 cm2

E) 240 cm2

389. Al reflejar el cuadrilátero sombreado respecto del punto O, se obtiene

102

A B

CD

C A

TO

I

N

A

B C D

EM

390. En una circunferencia se a inscrito un cuadrado, los arcos AB, BC, CD y DA se han reflejado

respecto de los lados respectivos del cuadrado, generando la figura 253, si el área de la

circunferencia es x y la del cuadrado es y, entonces el área achurada es

A) x – y

B) 2x – y

C) 2x – 2y

D) 2y – x

E) 3x – y fig. 253

391. El rectángulo CATO de la figura 254, tiene por medidas de lados 4 cm. y 2 cm., los

triángulos TIA y TON son equiláteros, luego NI mide

A) 2 cm.

B) 32 cm.

C) 2 5 2 3 cm.

D) 4 32 cm.

E) otro valor fig. 254

392. El triángulo ABC de la figura 255 es equilátero, si AM = MB = 5 y CD = 6, entonces AE =

A) 76

11

B) 77

11

C) 78

11

D) 79

11

E) 80

11 fig. 255

103

A B

O

PQ

S E

T

U

R

A

B

P

393. En un trapecio sus bases miden 4 y 6 cm., sus diagonales se intersectan de manera los

menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3 cm. La medida de la

diagonal mayor es

A) 3 cm.

B) 4 cm.

C) 4,5 cm.

D) 5 cm.

E) 7,5 cm.

394. El triángulo ABO es rectángulo en O, OA = a y OB = b, si AP = PQ = QB = x (figura 256),

entonces x =

A) ab a b

B) a b 2ab

C) 2 2a b

D) a b 2ab

E) ab a b fig. 256

395. En la figura 257, el triángulo SET es equilátero de lado 8, TU es altura, si R es punto medio

de TU, entonces ER =

A) 1

2

B) 3

2

C) 7

D) 2 7

E) 2

2 fig. 257

396. La figura 258, muestra una barra rígida AB apoyada sobre un triángulo equilátero de lado 1

m, si AP = 1,2 m. y PB = 1,8 m., entonces cuando el extremo B toca el piso, ¿a qué altura

del piso queda el extremo A?

A) 3 m.

B) 3

3 m.

C) 6 3

5 m.

D) 5 3

6 m. fig. 258

E) 2 2 m.

104

5

3

A

B

397. El ángulo interior distinto de un triángulo isósceles mide 120º, si el lado mayor mide 12

cm., entonces el perímetro del triángulo en centímetros es

A) 36

B) 18

C) 4(2 3 3)

D) 4( 3 12)

E) 2( 3 6)

398. El trapecio de la figura 259 tiene una altura 4, ¿cuál es la diferencia de las áreas de los

triángulos achurados?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5 fig. 259

399. Con 4 palitos de fósforos se forma un cuadrado de a cm2 y p cm. de perímetro. Si a + p =

21, entonces la medida de cada palito es

A) 1 cm.

B) 2 cm.

C) 3 cm.

D) 4 cm.

E) 5 cm.

400. Las tres circunferencias de la figura 260 son tangentes entre sí, la cuerda AB es tangente a

las dos circunferencias menores y mide t, si r es el radio de la mayor, entonces el área

achurada es igual a

A) 2r

8

B) rt

8

C) 2t

8

D) 2(t r)

8

E) ninguna de las anteriores fig. 260

105

401. Un trapecio isósceles tiene su base mayor igual a 6 cm. y altura 2 cm. Una circunferencia

tiene por radio la base menor del trapecio. Si el área del trapecio es igual al 62,5· 1 % del

área de la circunferencia, luego el perímetro del trapecio en cm es

A) 6 6

B) 6 5

C) 5 5

D) 2(6 6)

E) 2(5 5)

Sixto Maulén y Savane Emegu

2011

106

RESPUESTAS

Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave

1 A 41 A 81 B 121 D

2 D 42 A 82 D 122 A

3 D 43 A 83 E 123 D

4 A 44 B 84 D 124 E

5 D 45 E 85 C 125 E

6 B 46 D 86 A 126 E

7 D 47 B 87 B 127 B

8 B 48 E 88 C 128 E

9 D 49 A 89 A 129 E

10 E 50 C 90 A 130 E

11 D 51 D 91 A 131 C

12 C 52 C 92 E 132 B

13 C 53 D 93 D 133 E

14 B 54 C 94 A 134 C

15 C 55 B 95 B 135 C

16 A 56 D 96 C 136 B

17 B 57 E 97 C 137 B

18 D 58 C 98 C 138 B

19 D 59 D 99 A 139 E

20 C 60 B 100 C 140 B

21 B 61 B 101 D 141 D

22 C 62 E 102 D 142 E

23 B 63 C 103 A 143 E

24 A 64 A 104 A 144 C

25 B 65 E 105 C 145 D

26 C 66 A 106 A 146 C

27 D 67 E 107 B 147 E

28 D 68 C 108 E 148 E

29 A 69 C 109 E 149 C

30 A 70 D 110 B 150 C

31 D 71 A 111 B 151 E

32 C 72 B 112 D 152 E

33 B 73 E 113 A 153 D

34 B 74 B 114 B 154 E

35 B 75 B 115 D 155 B

36 E 76 A 116 C 156 B

37 A 77 A 117 A 157 C

38 B 78 B 118 D 158 A

39 D 79 E 119 E 159 E

40 C 80 B 120 A 160 A

107

Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave

161 D 201 D 241 E 281 D

162 D 202 D 242 C 282 A

163 E 203 E 243 C 283 E

164 E 204 B 244 B 284 E

165 D 205 E 245 D 285 E

166 E 206 D 246 C 286 D

167 D 207 C 247 A 287 C

168 C 208 D 248 C 288 E

169 A 209 C 249 C 289 E

170 C 210 C 250 E 290 C

171 C 211 A 251 E 291 C

172 B 212 C 252 D 292 D

173 D 213 A 253 C 293 C

174 A 214 D 254 A 294 A

175 D 215 C 255 B 295 D

176 C 216 C 256 D 296 E

177 B 217 B 257 C 297 B

178 D 218 D 258 A 298 C

179 E 219 D 259 B 299 B

180 E 220 A 260 E 300 A

181 E 221 D 261 E 301 E

182 E 222 A 262 E 302 B

183 C 223 D 263 B 303 D

184 D 224 D 264 C 304 D

185 B 225 D 265 A 305 D

186 C 226 A 266 C 306 C

187 C 227 A 267 B 307 C

188 D 228 E 268 B 308 C

189 E 229 D 269 A 309 A

190 A 230 D 270 C 310 A

191 C 231 E 271 C 311 C

192 A 232 D 272 B 312 A

193 A 233 C 273 A 313 B

194 D 234 B 274 C 314 E

195 B 235 B 275 C 315 A

196 D 236 D 276 B 316 B

197 D 237 C 277 D 317 A

198 C 238 D 278 E 318 D

199 A 239 E 279 A 319 A

200 D 240 A 280 B 320 D

108

Nº Ejerc. Clave Nº Ejerc. Clave

321 E 361 A

322 E 362 D

323 C 363 A

324 D 364 B

325 A 365 D

326 B 366 D

327 B 367 B

328 D 368 A

329 C 369 A

330 D 370 E

331 D 371 A

332 C 372 D

333 D 373 D

334 C 374 E

335 C 375 D

336 A 376 E

337 A 377 A

338 C 378 A

339 B 379 A

340 D 380 C

341 B 381 D

342 E 382 A

343 A 383 A

344 D 384 A

345 B 385 C

346 D 386 A

347 D 387 B

348 D 388 D

349 A 389 A

350 B 390 D

351 B 391 C

352 C 392 E

353 A 393 E

354 E 394 B

355 D 395 D

356 E 396 D

357 C 397 C

358 D 398 D

359 D 399 C

360 D 400 C

401 E

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Estimados Alumnos - DME-UFROdme.ufro.cl/propedeutico/images/documents/Material_de_Apoyo... · 1 Estimados Alumnos: Pongo en sus manos esta recopilación de ejercicios que he usado