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Estimando la curva de diferenciales de rentabilidad en un
mercado poco líquido
Antonio Díaz
Departamento de Análisis Económico y Finanzas Universidad de Castilla-La Mancha Facultad de CC Económicas y Empresariales de Albacete, Plaza de la Universidad, 1, 02071 – Albacete [email protected] Tel: 967 59 92 00 (ext. 2351) Fax: 967 59 92 20 JEL Classification: E43, G12, G13, G15 Se desea agradecer la información aportada por el mercado AIAF de renta fija, así como los valiosos
comentarios de Gonzalo Gómez, Eliseo Navarro y Susan Orbe. Este trabajo también se ha beneficiado de
la ayuda económica procedente del BBVA (1/BBVA 00038.16421/2004) y de la Junta de Comunidades
de Castilla-La Mancha (FEDER PAI-05-074). En cualquier caso todo error es imputable únicamente al
autor.
2
Estimando la curva de diferenciales de rentabilidad en un
mercado poco líquido
Abstract
La curva de diferenciales de rentabilidad de los bonos corporativos permite, entre
otras aplicaciones, valorar bonos privados, calcular el VaR de cartera de renta fija
corporativa, además de ser un input de muchos modelos de valoración. Al tratarse de
emisiones poco líquidas y con negociación muy infrecuente, la estimación de esta curva
es compleja. Además del problema para ajustar una curva con las pocas observaciones
disponibles hay que añadir el de la inestabilidad temporal de estas estimaciones dado
que los bonos negociados en una sesión suelen ser totalmente diferentes a los de las
sesiones contiguas. Este trabajo presenta un nuevo método para estimar esta curva
asegurando una razonable estabilidad temporal. El procedimiento consiste en una
estimación parsimoniosa de la estructura temporal de los tipos de interés libre de riesgo
conjuntamente con la arriesgada a partir de una muestra de datos completada con
observaciones teóricas procedentes de sesiones anteriores.
Palabras clave: Bonos corporativos; Diferencial de rentabilidad; Estructura temporal de
los tipos de interés; Liquidez
JEL Classification: C61, E43, G11, G12
3
1. Introducción
El principal objetivo de este trabajo consiste en proponer una metodología
sencilla y fácil de implementar que proporcione estimaciones fiables de la curva cupón
cero arriesgada y, por tanto, también de la curva del diferencial de rentabilidad, en un
mercado poco líquido como el español. Por un lado, se trata de un input necesario en los
modelos teóricos de valoración y de gestión del riesgo de crédito más utilizados por los
profesionales. Por otro lado, es una medida del diferencial de rentabilidad típico o
medio del mercado español para cada plazo. De esta forma, incorpora una prima por
riesgo de insolvencia y otra por riesgo de liquidez medias del mercado, por lo que puede
ser adecuada para valorar activos poco líquidos de los que no se dispone de cotización.
La literatura sobre el riesgo de crédito propone modelos de valoración que se
agrupan en modelos estructurales, basados en el trabajo de Merton (1974), y en modelos
de forma reducida, dentro de los que destaca el de Jarrow y Turnbull (1995).1 Este
último grupo se ha desarrollado al amparo de las carencias de los estructurales,
principalmente la de generar diferenciales de rentabilidad inferiores a los reales
especialmente en el corto plazo.2
Los modelos de forma reducida se suelen utilizar para valorar derivados de
crédito. Al igual que los modelos de tipos de interés puros, por ejemplo Ho y Lee
(1986) y Black, Derman y Toy (1990), los modelos de riesgo de crédito de forma
reducida se deben calibrar frente a la estructura temporal de los tipos de interés (ETTI)
libre de riesgo o curva cupón cero derivada de los activos del Tesoro. Sin embargo, los
modelos de riesgo de crédito requieren una calibración adicional frente a una estimación
de una curva de tipos cupón cero corporativa. Esta doble calibración asegura que los
precios Arrow-Debreu arriesgados implícitos repliquen los precios de los bonos cupón
cero corporativos derivados de las curvas estimadas. Estos precios Arrow-Debreu son
los que se utilizan para valorar derivados.
La doble calibración fundamenta el uso de los modelos de forma reducida:
genera precios creíbles de derivados de crédito que son no observables dado que el
1 Otros de los más citados modelos estructurales son los de Longstaff y Schwartz (1995) y Leland y Toft (1996). Entre los modelos de forma reducida también destacan los de Jarrow, Lando y Turnbull (1997), Madan y Unal (1998) y Duffie y Singleton (1999). 2 Véase por ejemplo a Jones, Mason y Rosenfeld (1984), Lyden y Saraniti (2000), o Covitz y Downing (2002).
4
modelo replica precios de bonos observables implícitos en las ETTI del Tesoro y de la
renta fija privada. A su vez, esto implica que para obtener precios adecuados, estos
modelos requieren estimaciones fiables de las estructuras temporales libres de riesgo de
insolvencia y arriesgada. La dificultad para obtener una curva cupón cero arriesgada
fiable conduce a que el input de estos modelos se suela sustituir por cotizaciones de
otros derivados de crédito.
Por otro lado, la valoración de bonos ilíquidos es un tema de permanente
actualidad pero de difícil solución. Trabajos teóricos recientes incorporan la liquidez a
los modelos de valoración del riesgo de crédito. En su modelo de forma reducida,
Duffie y Singleton (1999) contemplan la posibilidad de añadir los efectos de la liquidez
añadiendo un término lineal a la prima por riesgo. En cualquier caso, los modelos de
forma reducida asumen que factores como el riesgo de liquidez o la fiscalidad están
incluidos en las estimaciones del hazard rate. Por lo que respecta a los modelos
estructurales, Cherubbini y Della Lunga (2001), Ericsson y Renault (2006) y Zheng
(2006) consideran explícitamente la liquidez. Sin embargo, la complejidad de estos
modelos y las dificultades de su aplicación a datos de mercado, dado que requieren de
algunos parámetros no observables, hacen difícil su aplicación.
A su vez, la curva del diferencial de rentabilidad se hace necesaria en el cálculo
del Valor en Riesgo (VaR) de carteras de renta fija privada por métodos de simulación
histórica. Los escenarios futuros se generan al añadir a las curvas actuales los
movimientos diarios de los tipos de interés y de los diferenciales de rentabilidad
observados en el pasado. De nuevo se requiere disponer de estimaciones precisas de
estas curvas que proporcionen fiabilidad a las estimaciones del VaR.
A pesar de todo lo anterior, la literatura se centra en la estimación de la ETTI
libre de riesgo a partir de títulos emitidos por el Tesoro. Existen múltiples
aproximaciones, como la de McCulloch (1971, 1975) que modeliza la función de
descuento como una combinación lineal de funciones splines cúbicas. Otras
aproximaciones destacadas se basan en funciones splines exponenciales (Vasicek y
Fong, 1982), en B-splines (Shea, 1985), en combinación de funciones exponenciales (Li
et al., 2001), en formas exponenciales parsimoniosas (Nelson y Siegel, 1987; Svenson,
1994), en funciones splines no paramétricas (Fischer, Nychka y Zervos, 1995;
5
Waggoner, 1997), o incluso en el sencillo procedimiento del bootstrapping utilizado por
los sistemas de información electrónica Bloomberg y Reuters.
Los trabajos empíricos que estiman curvas de diferenciales de rentabilidad son
muy escasos, a nuestro entender por las múltiples dificultades que encierra la estimación
de las curvas de diferenciales de rentabilidad. En primer lugar, se trata de ajustar una
curva con las pocas observaciones disponibles. Aún cuando existe un número
relativamente elevado de emisiones en circulación, éstas son poco líquidas y presentan
una negociación muy infrecuente. Este problema afecta incluso a mercados con un
número de emisiones decenas de veces superior al español. En el caso del mercado
español de renta fija privada, éste disfruta actualmente de un periodo de esplendor,3
pero no hay que olvidar que hace tan sólo ocho años las cifras de negociación no
alcanzaban el 5% de las actuales.4 Sin embargo, un análisis pormenorizado de los
activos negociados en cualquier sesión reciente muestra que son muy pocas las
observaciones válidas utilizables como input en la estimación de la curva.5
Otro problema de la estimación de las curvas de diferenciales de rentabilidad
reside en que los bonos privados, tras los primeros días después de su emisión, se
empiezan a negociar de forma errática y muy infrecuente, lo que conduce a una
inestabilidad temporal de estas estimaciones. Así los bonos negociados en una sesión
suelen ser totalmente diferentes a los de las sesiones contiguas. Finalmente cabe
considerar el problema añadido de la enorme heterogeneidad de las emisiones de renta
fija privada. Mientras que la representación de los TIR de los activos de deuda del
Estado con respecto a su plazo permite observar como se alinean claramente en torno a
una curva imaginaria que sirve de base a la estimación de la ETTI, en el caso de los
bonos privados se observa en muchas ocasiones una nube de puntos difícil de
interpretar.6
3 Valga mencionar algunos datos acerca del año 2006: más de 1.600 emisiones en circulación, segundo mercado europeo en emisión de bonos de titulización hipotecaria y primero si se tienen en cuenta las cédulas hipotecarias, contratación media diaria de 4.519 millones de euros. 4 El saldo en circulación en el mercado AIAF en 1998 era de 40,3 miles de millones de euros frente a los 588,9 con el que finalizó el año 2006. En cuanto al volumen de contratación, pasa de 43,1 miles de millones de euros en 1998 a 900,2 en 2006. 5 Tras depurar los datos siguiendo el procedimiento descrito en este artículo, para cada estimación de la curva del diferencial de rentabilidad en AIAF disponemos de 4,2 observaciones diarias por término medio durante 1998. 6 A los problemas mencionados habría que añadir el de la dificultad para obtener datos y elaborar y depurar la muestra.
6
Entre la literatura reciente, podemos destacar el trabajo de Díaz y Skinner
(2001), que a partir de una muestra de datos suficientemente grande para el mercado
norteamericano, obtienen resultados aceptables sin encontrar diferencias significativas
para los modelos de McCulloch (1975), Vasicek y Fong (1982) y Nelson y Siegel
(1987), aunque detectan una menor precisión en las ETTI arriesgadas que en las libres
de riesgo. Sin embargo, Houweling, Hoek y Kleibergen (2001) muestran que estas
estimaciones para una muestra de bonos denominados en marcos alemanes tienden a
proporcionar curvas de los diferenciales retorcidas que alternan tramos con pendientes
positivas y negativas. Los problemas observados por estos autores podrían aumentar si
aplicamos esta técnica a un mercado aún más estrecho como es el español.
Para salvar las dificultades de estimación de la ETTI arriesgada proponemos dos
soluciones que utilizadas conjuntamente proporcionan unos resultados que, desde
nuestro punto de vista, se pueden considerar satisfactorios. Por un lado, proporcionan
formas de la estructura temporal de los diferenciales de rentabilidad acordes a las
observadas en la literatura. Por otro lado, observamos una razonable estabilidad
temporal sin variaciones sustanciales entre días contiguos.
Nuestra primera propuesta consiste en aplicar la metodología planteada por
Houweling, Hoek y Kleibergen (2001) de realizar una estimación conjunta de la ETTI
libre de riesgo y de la arriesgada. A diferencia de estos autores que utilizan B-splines,
optamos por utilizar como modelo base el propuesto por Nelson y Siegel (1987), que
proporciona una estimación parsimoniosa, al que introducimos ligeras modificaciones
en la parte que afecta a los bonos privados y en las ponderaciones de los errores. Varios
motivos nos decantan por este modelo. Primero, se trata de un modelo sencillo. Como
mencionan Skinner y Ioannides (2005), la simplicidad es importante cuando se trata de
resaltar que la estimación de estas curvas no es una tarea complicada. Segundo, es un
modelo de éxito probado dada su popularidad en la literatura empírica y en el mundo
profesional. Tercero, esta aproximación parsimoniosa impone una forma funcional a la
ETTI, proporcionando estimaciones más estables a partir de menos observaciones que
los modelos basados en splines. Además no depende de la localización que asignemos a
los nudos donde se unen las splines.
En otros trabajos también se utiliza la metodología de Houweling, Hoek y
Kleibergen (2001). Así, Skinner y Ioannides (2005) aplican la estimación conjunta
7
partiendo de los modelos Nelson y Siegel (1987) y el de Svensson (1994) aplicada a
bonos privados británicos. Por su parte, Jankowitsch y Pichler (2004, 2005) la utilizan
para estimar diferenciales de rentabilidad, en el primer caso, entre la deuda
gubernamental de diferentes países de la UME, y en el segundo, para bonos del mismo
emisor en diferentes monedas. Para ello utilizan el modelo de McCulloch (1975) con
nudos equidistantes y el de Svensson (1994).
Nuestra segunda propuesta consiste en completar la muestra diaria de datos con
observaciones teóricas procedentes de sesiones anteriores. La técnica de completar la
muestra con bonos teóricos aparece en otros trabajos, como los de Anderson y Sleath
(2001) y Houweling, Hoek y Kleibergen (2001), pero para completar los plazos cortos
en los que no disponen de observaciones y a partir de datos contemporáneos del
mercado interbancario o de operaciones dobles. Con estas observaciones teóricas
pretendemos, por un lado, garantizar un mínimo número de observaciones que cubran
todo el espectro de plazos, y por otro lado, mejorar la suavidad del ajuste. Todo esto
asumiendo supuestos razonables y con sentido económico.
En el siguiente apartado de este trabajo se detallan los modelos propuestos y su
forma de estimación. En el segundo apartado se describe la muestra de datos y el
proceso de homogeneización y depuración de observaciones. El tercer apartado explica
el procedimiento de cálculo de las distintas versiones de los bonos teóricos utilizados
para completar la muestra. En las dos secciones del apartado cuarto se analizan los
resultados. En primer lugar se comparan los resultados de utilizar siete muestras en
función de las distintas alternativas planteadas de bonos teóricos. En la segunda sección
del apartado se examinan los resultados para los distintos modelos de estimación.
Finalmente se resumen las principales conclusiones.
1. Modelo propuesto
El método que sirve de base a nuestra propuesta es el de Nelson y Siegel (1987)
(NS en lo sucesivo), el cual es ampliamente utilizado en la literatura empírica, en la
industria, e incluso, junto con su versión extendida propuesta por Svensson (1994), por
un buen número de bancos centrales.7 Por tanto, se puede considerar como un
“estándar”. Es un modelo funcional paramétrico sencillo y a la vez suficientemente
7 Véase BIS (2005).
8
flexible como para capturar los perfiles que típicamente presenta la curva. Además,
impone una forma funcional a la ETTI, proporcionando estimaciones más estables a
partir de un menor número de observaciones que otros métodos basados en splines y sin
la necesidad de fijar la localización de los nudos donde se unen las splines.
NS proponen esta expresión para describir el comportamiento de los tipos de
interés forward instantáneos:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
ττβ
τββ tttf t expexp 210 (1)
donde t es el plazo y b = (β0 , β1 , β2 , τ) es el vector de parámetros a estimar.
El parámetro β0 representa el tipo de interés a largo plazo y β0 + β1 es el tipo de
interés al contado instantáneo, es decir, el tipo de partida de la curva para t=0. En la
práctica se considera que β1 está relacionado con el diferencial corto-largo. El parámetro
β2 determina la joroba. Su valor absoluto condiciona la magnitud de la joroba y su signo
la forma. Un signo negativo proporciona formas de U mientras que un signo positivo
formas de joroba. Finalmente τ determina la posición de la joroba. Otra interpretación
habitual es relacionar β0 con el nivel, β1 con la pendiente, β2 con la curvatura y τ con la
velocidad que los tipos a corto y a medio plazo decaen hasta cero.
Integrando la curva de los tipos forward se llega a la expresión de los tipos de
interés al contado:
( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−++=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+=
τβ
ττβββ
τττβ
ττββ
ttt
tt
tt
tRt
expexp1
expexp1exp1
2210
2100
(2)
donde 0Rt es el tipo de interés cupón cero compuesto continuamente en el momento 0
con vencimiento en t.
Con todo lo anterior, el precio de un bono del Tesoro (P) se obtiene como sigue:
( )∑=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+−−=
nt
ttt
ttttCP1
expexp1exp 2210 τβ
ττβββ (3)
donde Ct es el flujo de caja con vencimiento en t, n es el número de flujos que genera el
bono, y t1 y tn son, respectivamente, el plazo hasta el vencimiento del primer y último
flujo.
9
El siguiente paso consiste en aplicar la metodología planteada por Houweling,
Hoek y Kleibergen (2001) para realizar una estimación conjunta de la ETTI libre de
riesgo y de la arriesgada. Así adaptamos esta técnica al modelo de NS con alguna
modificación en la parte que afecta a los bonos privados y en las ponderaciones de los
errores.
El modelo general que planteamos es el siguiente:
( )
( )Corp
t
ttt
tttt
ttttCPn
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−−⋅
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−−= ∑
=
25
22543
12
11210
expexp1exp
expexp1exp1
τβ
ττβββ
τβ
ττβββ
(4)
donde Corp es una variable artificial que toma valor uno si el bono es privado y cero en
caso contrario. b = (β0 , β1 , β2 , τ1, β3 , β4 , β5 , τ2) es el vector de parámetros a estimar,
afectando tan sólo los cuatro primeros a la ETTI libre de riesgo.
No obstante, la experiencia nos dice que el parámetro τ del modelo de NS
original es bastante volátil siendo los resultados relativamente insensibles a sus
cambios. Trabajos como los de Barrett, Gosnell y Heuson (1995), Willner (1996),
Dolan (1999), Fabozzi, Martinelli y Priaulet (2005) o Diebold y Li (2006) también
observan este problema. Así es práctica habitual eludir su estimación fijando su valor
más o menos arbitrariamente. Nosotros optamos por su estimación pero suponemos que
τ = τ1 = τ2.
Planteamos tres versiones del modelo (4) haciendo extensivo al resto de
parámetros el supuesto anterior de igualdad entre el parámetro τ que afecta a ambas
ETTIs. El modelo 3 supone τ = τ1 = τ2 y el modelo 2 además asume el mismo parámetro
que recoge la curvatura β2 = β5. Siguiendo esta regla el modelo 1 debería suponer el
mismo parámetro para la pendiente β1 = β4 y se reduciría a estimar el parámetro β3 que
muestra el nivel. Para darle más consistencia optamos por estimar una recta.
Modelo 1 (recta):
( )
( )[ ]Corp
t
ttt
tt
ttttCPn
43
2210
exp
expexp1exp1
ββ
τβ
ττβββ
+−⋅
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+−−= ∑
= (5)
10
Modelo 2 (misma curvatura, β2 = β5):
( )
Corp
t
ttt
tt
ttttCPn
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−−⋅
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+−−= ∑
=
ττββ
τβ
ττβββ
exp1exp
expexp1exp
43
22101 (6)
Modelo 3:
( )
( )Corp
t
ttt
tttt
ttttCPn
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+−−⋅
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+−−= ∑
=
τβ
ττβββ
τβ
ττβββ
expexp1exp
expexp1exp
5543
22101 (7)
El procedimiento elegido mayoritariamente en la literatura para optimizar
cualquier modelo de ETTI consiste en minimizar los errores en precios. No obstante,
esta técnica tiende a reducir la naturaleza heterocedástica de los errores mediante un
exceso de ajuste en los precios de los bonos a largo plazo a costa de olvidar el ajuste de
los precios de los bonos a corto plazo. Esto conduce a un sobre ajuste de los tipos a
largo en relación con los tipos a corto. Para corregir este problema se suele ponderar
cada error en precios por la inversa de la duración de Macaulay del bono.8
En nuestro caso, la ponderación tiene un componente adicional que trata de
recoger la enorme dispersión en los volúmenes efectivos negociados, especialmente en
el caso de las transacciones realizadas en AIAF. Como observan Díaz y Navarro (1997,
2002a y 2002b), el tamaño de la transacción es una variable clave para determinar la
prima de liquidez que incorpora el precio al que finalmente se cruza la operación. El
peso en la negociación de operaciones realizadas por minoristas es elevado en AIAF.
Estas transacciones representan el 55% del número total de operaciones a vencimiento
contratadas en AIAF, aunque su porcentaje sobre el volumen total es de apenas un 1%
sobre el total de mercado y un 2% sobre lo contratado a vencimiento.9
En nuestra muestra de deuda del Estado eliminamos las operaciones de pequeña
y mediana cuantía, pero no ponemos ninguna restricción para las operaciones en AIAF
de cara a no reducir aún más el tamaño muestral. No obstante, no sería conveniente que
8 Véase, por ejemplo, Contreras et al. (1994) en el caso español, Bolder y Stréliski (1999) en el canadiense o Anderson y Sleath (2001) para el británico. Esta corrección es habitual en las estimaciones oficiales de los bancos centrales (BIS, 2005). 9 Fuente: “El mercado AIAF en 2005” informe anual.
11
el precio de una operación de muy pequeña cuantía, y que presumiblemente incorpora
una elevada prima por liquidez, pondere igual en el ajuste que una operación mayorista.
Por tanto, la ponderación de los errores en precios en la estimación de los
modelos propuestos es:
( )jj
j VolDur
ln1=ω (8)
donde ωj es la ponderación del bono j, Durj es su duración de Macaulay y Volj es el
volumen efectivo negociado por dicho bono durante la sesión.
Considerando estas ponderaciones aplicamos mínimos cuadrados generalizados
no lineales minimizando la suma de los cuadrados de los errores en precios. Un
problema en este tipo de estimación es el de determinar la combinación de valores de
los parámetros iniciales. La expresión de NS es una función con múltiples mínimos
locales, con lo que pueden ser necesarios muchos conjuntos de parámetros iniciales para
alcanzar el mínimo global. Así, autores como Bolder y Stréliski (1999) utilizan una
parrilla o grid de distintos valores iniciales.10 Estas parrillas simples pueden hacerse
mucho más sofisticadas como la basada en algoritmos genéticos propuesta por Gimeno
y Nave (2006).11
La práctica generalizada consiste en hacer coincidir la combinación inicial de
parámetros con la estimada en la sesión anterior. Tiene sentido suponer que la forma de
la ETTI de una sesión no divergirá en exceso de la del día anterior y, por tanto, la
combinación de parámetros resultante de la optimización estará próxima a la de la
sesión precedente. El inconveniente de esta propuesta aparece cuando para algún día se
llega a un óptimo anómalo y sin sentido económico. Esa combinación de parámetros
condicionará la del resto de días posteriores. Nosotros optamos por hacer una primera
estimación partiendo siempre del mismo conjunto de parámetros con sentido económico
y tomar la mediana de los valores estimados como un segundo conjunto inicial de
parámetros con los que volver a estimar todas las fechas en una segunda etapa.
10 En concreto, estos autores utilizan tres posibles valores iniciales para los parámetros β0 , β1 y β2 y fijan τ. Para una determinada fecha observan que sólo 29 de las 91 combinaciones utilizadas alcanzan el óptimo global. 11 En cualquier caso, en nuestra experiencia en la estimación de NS a partir de una muestra de deuda del Estado española muy similar a la utilizada por Gimeno y Nave (2006) apenas observamos saltos y valores anómalos, y cuando estos aparecen, un análisis detallado de los datos muestra que suele ser originados por algún error en el precio de uno de los activos considerados. La simple depuración de esa observación es suficiente para solucionar el problema.
12
2. Muestra de datos
Nuestra base de datos de partida consta de datos diarios de las operaciones de
compraventa simple al contado procedentes de la Central de Anotaciones del Banco de
España y del mercado AIAF de renta fija privada.12 En ambos casos se trata de la
agregación diaria de la negociación por emisión, donde los precios y TIR son medias
ponderadas por volumen de todas las transacciones realizadas con dicha emisión. De
entre los años disponibles, restringimos nuestra base de datos a un periodo con escasa
negociación en AIAF, el año 1998. De esta forma, la estimación de una curva de
diferenciales de rentabilidad reviste la suficiente complejidad para mostrar la utilidad de
la metodología que proponemos.
En la depuración de los datos de deuda del Estado seguimos los siguientes pasos.
Primero, seleccionamos todas las operaciones simples al contado con letras del Tesoro y
con bonos y obligaciones del Estado no segregados. Segundo, eliminamos las
observaciones que no alcanzan un volumen diario de al menos 3 millones de euros para
garantizar un mínimo de liquidez en el mercado de deuda pública anotada. Tercero, no
consideramos las letras del Tesoro con plazo hasta el vencimiento inferior a 15 días ni
los bonos y obligaciones del Tesoro con plazo inferior a 3 meses o superior a 15 años.
La negociación de activos de plazo reducido puede introducir ruido en el análisis ya que
con mucha frecuencia proceden de operaciones especulativas o responden a intereses
fiscales, mientras que los activos a más largo plazo distorsionan la estimación de la
ETTI forzando el ajuste en los plazos largos y descuidando el de los plazos cortos.
De cara a mejorar el ajuste en el corto plazo, la existencia de una observación
con plazo muy reducido facilita un punto de partida estable a la curva a estimar. En la
literatura internacional no se suele disponer de datos de letras del Tesoro, por lo que los
plazos cortos se rellenan a partir de bonos cupón cero teóricos obtenidos a partir de los
tipos de interés del mercado interbancario, como Houweling, Hoek y Kleibergen (2001)
que cubren los plazos de 1, 3, 6 y 12 meses, o de repos, como Anderson y Sleath (2001)
que utilizan los plazos de 1 y 2 semanas, y 1, 2, 3 y 6 meses. Esta aproximación no tiene
12 Los datos sobre la deuda del Estado proceden de las series temporales de negociación que proporciona el Banco de España (http://www.bde.es/banota/series.htm). Estos datos se corresponden con los que diariamente se difunden en el Boletín de la Central de Anotaciones. En el caso de los datos de AIAF, estos han sido proporcionados directamente por el propio mercado.
13
en cuenta la verdadera prima de liquidez que incorporan las letras y bonos
gubernamentales para esos plazos.
En nuestro trabajo seguimos la propuesta de Díaz y Navarro (1997), en la que se
consideran las letras del Tesoro y los bonos y obligaciones del Estado realmente
negociados para los plazos inferiores al año a las que añadimos una observación
correspondiente a las operaciones simultáneas a una semana. De esta forma fijamos un
punto en el muy corto plazo. Obtenemos este dato a partir del tipo de interés medio
ponderado por el efectivo negociado de todas las operaciones simultáneas con plazo a
una semana realizadas con bonos y obligaciones del Estado durante la sesión.
En cuanto a la muestra de datos de bonos corporativos utilizamos
exclusivamente los bonos y obligaciones con flujos de caja constantes y conocidos,
cuyo rendimiento no depende de opciones, de la fiscalidad, o de la política de
colocación que siguen ciertas instituciones financieras. Con todo esto, eliminamos de
nuestro análisis los siguientes tipos de bonos. Primero, los activos con plazo hasta el
vencimiento inferior a 15 días o superior a 15 años. Segundo, los títulos que incluyen
cláusulas de amortización anticipada a favor del emisor y/o del obligacionista, dado que
su fecha de amortización depende de la evolución futura de los tipos de interés. Tercero,
los títulos que se amortizan por reducción del nominal o por sorteo. Cuarto, los títulos
que pagan cupones con interés variable o con interés referenciado. Quinto, para evitar
distorsiones fiscales, las emisiones bonificadas de los cabildos canarios y de ciertas
eléctricas y concesionarias de autopistas. Sexto, las cédulas hipotecarias y bonos de
titulización hipotecaria y de activos, dado que el cálculo de su TIR intervienen modelos
de prepago.13
Por último, no consideramos ciertas emisiones de instituciones financieras,
especialmente las procedentes de las mayores cajas de ahorro, que se negocian
sistemáticamente a TIR constantes para todos los activos del mismo emisor con
independencia de sus características (cupón y plazo) y durante prolongados periodos de
tiempo. Esta práctica facilita la colocación de estos productos entre los clientes de su
red de oficinas aunque a precios que guardan poca relación con los de mercado.
13 El TIR de los bonos de titulización suele ser superior a los de activos similares sin esta característica dado que los inversores exigen una compensación por el riesgo de prepago que consiste en que la cartera de préstamos subyacentes, que constituyen la garantía y fuente de flujos de caja con la que el emisor del bono hace frente a sus compromisos, puede liquidarse antes de lo previsto.
14
Lógicamente, su inclusión en cualquier análisis provocaría fuertes distorsiones. De esta
forma, nuestra muestra de datos se reduce considerablemente, ya que aunque estas
emisiones tienen poca incidencia en el volumen total negociado en AIAF, estas
transacciones constituyen una proporción muy importante del número total de
operaciones cruzadas en el mercado.
De las 11.716 observaciones disponibles en total para el mercado AIAF en 1998,
eliminamos inicialmente los pagarés, bonos matador y participaciones preferentes que
representan 9.938 observaciones. Tras la depuración inicial resultante de las reglas de
filtrado comentadas arriba, la muestra se reduce a tan sólo 1.056 observaciones, lo que
representa un promedio de 4,2 observaciones diarias.
El siguiente paso consiste en la homogeneización de precios y TIR. A la hora de
utilizar los datos se deben considerar varios aspectos. Por un lado, son datos agregados
de todas las operaciones realizadas durante la sesión, sea cual sea su fecha de
liquidación. La fecha de liquidación o fecha valor de cada operación puede variar desde
D+0 hasta D+5, aunque en AIAF se suele utilizar D+0 y D+1. Por otro lado, la
normativa de valoración de letras y bonos depende del mercado, del tipo de activo y del
plazo hasta el vencimiento de la operación calculado a fecha valor y, en el caso de la
deuda del Estado, se modifica en mayo de 1999.14
Ante esta casuística se opta por homogeneizar todos los datos siguiendo los
pasos descritos a continuación. Primero, el precio (incluyendo cupón corrido) de cada
activo se obtiene como cociente entre el volumen efectivo y el volumen nominal.
Segundo, la fecha valor se obtiene en el caso de la deuda pública restando de la fecha de
amortización del título el dato del “plazo medio” de las operaciones, con lo que
obtenemos la fecha de liquidación media. En el caso de AIAF, la fecha valor es la que
minimiza las diferencias entre el precio calculado como cociente de volúmenes y el que
resulta de añadir al precio ex-cupón proporcionado por el mercado el cupón corrido
calculado a partir de diferentes fechas valores. Tercero, para cada operación calculamos
en su fecha valor el TIR con capitalización compuesta y año de 365 días según el
convenio Actual/365 con independencia del plazo y del tipo de activo.15 Cuarto, a partir
14 Los criterios actuales utilizados por la Central de Anotaciones pueden encontrarse en: http://www.bde.es/banota/actuesp.pdf 15 A partir del 11/05/99 se utiliza el convenio Actual/Actual para valorar la deuda del Estado.
15
de ese TIR obtenemos el precio al que se habría realizado la operación en la fecha de la
operación (D+0).
De esta forma tenemos precios homogéneos para todos los activos en ambos
mercados, calculados en la fecha de la operación (D+0) utilizando siempre
capitalización compuesta y año de 365 días.
3. Elaboración de los bonos teóricos
Como se ha comentado previamente, nuestra muestra de datos para 1998 se
reduce a un promedio de 4,2 observaciones diarias de bonos corporativos. La estimación
directa de una ETTI arriesgada a partir de esas observaciones se podría calificar de
inviable. El procedimiento de estimación conjunta de la ETTI libre de riesgo y de la
arriesgada puede permitir disponer de estimaciones en cierta medida razonables de la
segunda, dado que la forma de dicha curva queda condicionada por la forma de la
primera. En cualquier caso, dichas estimaciones no serían estables en el tiempo y
perderían fiabilidad. Dada la poca liquidez de los bonos privados, los activos
negociados en una sesión no se suelen repetir en las sesiones colindantes.
Con objeto de asegurar cierta estabilidad temporal en las estimaciones,
proponemos un procedimiento que estima bonos teóricos para el espectro de plazos.
Aunque se trata de un procedimiento que se puede considerar ad hoc, tiene una clara
lógica económica y la forma de obtener el precio de cada bono teórico guarda muchas
similitudes a la que utiliza el propio mercado AIAF para obtener rentabilidades diarias
de todos los activos que forman parte de su índice de rendimiento “AIAF 2000”.16 A
diferencia de éste, nuestro planteamiento no considera los bonos no negociados sino
simplemente bonos teóricos que resumen las características promedio de los negociados
en un determinado número de sesiones precedentes.17
16 Véase del documento “Metodología para la elaboración de un índice de deuda de los valores negociados en el mercado AIAF” publicado por AIAF en enero de 2000. Básicamente se puede resumir en que estiman una ETTI de referencia a partir de los swaps que utilizan para obtener el TIR de bonos teóricos con los flujos del instrumento. Denominan prima a la diferencia entre el TIR real y el teórico. Para cada instrumento que no se negocia durante el día, le calculan un TIR teórico a partir de la ETTI del día más una prima obtenida como media ponderada por volumen de negociación de las primas observadas en los últimos n días. Donde n es el número de retardos óptimo para cada instrumento. 17 Hay que destacar que en la elaboración de nuestra muestra de datos somos mucho más exigentes en la depuración de los datos que lo es AIAF en la elaboración de su índice, ya que eliminamos el ruido que originan buen número de los activos considerados en dicho índice.
16
A grandes rasgos, nuestros bonos teóricos se obtienen a partir del diferencial de
rentabilidad medio ponderado de las observaciones comprendidas en un determinado
rango de plazos para un determinado número de sesiones precedentes. Al igual que en el
caso del diferencial, se calcula un plazo, cupón y volumen de negociación medios
ponderados que configuran el resto de características de cada bono teórico. Con esos
datos se calcula el precio al que debería negociarse en la sesión analizada descontando
los flujos ficticios del bono a partir de los tipos de interés al contado que nos
proporciona la ETTI libre de riesgo del día a los que se añade el correspondiente
diferencial de rentabilidad.
La utilización de bonos teóricos no es algo nuevo en la literatura. Se suelen
utilizar para completar los plazos cortos, como se describe en el trabajo de Anderson y
Sleath (2001) que comenta la técnica utilizada en la estimación de la ETTI por parte del
Bank of England. Con otras finalidades Díaz y Navarro (1997) lo aplican en su análisis
del mercado de deuda privada español, mientras que Fleming (2001), Jacoby y Roberts
(2003), Babbel et al. (2004), Cherian, Jacquier y Jarrow (2004) y Díaz, Merrick y
Navarro (2006) analizan temas de liquidez comparando el TIR o el precio de títulos
reales con otros sintéticos. Los títulos sintéticos se obtienen descontando los flujos de
los títulos reales a partir de los tipos al contado observados en el mercado.
En nuestro caso calculamos bonos teóricos para rangos de plazos hasta el
vencimiento de distinta amplitud. Así, consideramos dos posibilidades: rangos anuales y
rangos bienales. En ambos casos consideramos plazos hasta 12 años puesto que bonos
con plazos superiores fuerzan en exceso el ajuste. En el caso de rangos bienales,
calculamos un bono teórico para cada rango de plazos de entre 0 y 2 años, de entre 2 y 4
años, y así sucesivamente hasta el rango de entre 10 y 12 años. El plazo y el cupón
exacto de cada bono varían diariamente dado que se obtienen como media ponderada
del plazo y del cupón de los bonos negociados en un determinado número de sesiones
anteriores dentro de su rango de plazo.
El procedimiento exacto se describe a continuación. Primero, se estima
diariamente la ETTI a partir de nuestra muestra de datos de deuda del Estado. El método
de estimación es el de NS ponderando los errores por la inversa de la duración. Esta
corrección es habitual en la literatura puesto que al minimizar errores en precios, el
ajuste es demasiado fino para los plazos largos y muy poco exigente en los plazos cortos
17
ya que se presta más atención a los activos más sensibles a estos errores, es decir, a los
de mayor duración y plazo. Sin la corrección se descuida el precio de los activos a muy
corto plazo.
Segundo, se obtienen los diferenciales de rentabilidad de los bonos corporativos
negociados durante el día como diferencia entre el TIR observado en el mercado y su
TIR teórico. Este TIR teórico es el correspondiente al precio de un título de deuda del
Estado que prometiera los mismos flujos netos de caja. El procedimiento de cálculo de
este precio teórico consiste en actualizar los flujos de caja del título a partir de los tipos
de interés al contado que proporciona la ETTI para cada plazo.
Tercero, una vez aplicado este procedimiento para todos los bonos privados
negociados durante el año, se construye un intervalo formado por la media anual del
diferencial de rentabilidad más/menos dos veces su desviación típica y se eliminan las
observaciones que quedan fuera de dicho intervalo.18
Cuarto, cada día se obtiene para cada uno de los 12 rangos anuales o 6 rangos
bienales de plazos considerados el diferencial de rentabilidad, plazo, cupón y volumen
efectivo negociado medios para un determinado número n de sesiones precedentes,
tomando n valor de 10, 20 y 40. Las tres primeras variables se obtienen como media
ponderada por el volumen de cada observación. En cambio, el volumen efectivo
negociado se obtiene como media simple multiplicada por un factor corrector que se
describe en el punto siguiente. En estos cálculos no se consideran los bonos cupón cero.
Quinto, un problema observado en la obtención de estos datos medios es el
desigual número de observaciones para cada rango de plazos que se utilizan en su
cálculo. Así por ejemplo, mientras que el 39% de las observaciones totales pertenecen al
rango de entre 8 y 10 años, sólo el 3% tienen un plazo comprendido entre 6 y 8 años.
Esto implica que los datos que originan el bono teórico para el intervalo 6-8 años
proceden de una o muy pocas observaciones con lo que puede incorporar aspectos
idiosincrásicos no deseables que nos alejarían de nuestro objetivo de suavidad y
estabilidad en la estimación.
Para tratar de minimizar este problema y dado que la estimación conjunta de las
ETTI libre de riesgo y arriesgada se realiza utilizando errores ponderados por la inversa
de la duración multiplicada por el logaritmo del volumen efectivo negociado,
18 Para el año 1998 quedan fuera 34 observaciones de las 1.056 iniciales.
18
introducimos una corrección en el volumen medio de cada bono teórico. De esta forma,
si para un determinado rango de plazos se consideran pocas observaciones en el cálculo
del bono teórico, una vez aplicada esta corrección este bono tendrá un volumen muy
inferior al del resto de observaciones y su impacto en el ajuste de la curva será muy
reducido. En cada fecha y para cada uno de los m rangos de plazos considerados, doce
en el caso anual y seis en el bienal, el volumen efectivo asignado al bono teórico se
calcula multiplicando la media simple de los volúmenes efectivos correspondientes a las
observaciones incluidas en su rango de plazos durante las sesiones precedentes
consideradas, por un factor corrector fr. A su vez, este factor fr es el cociente entre el
volumen total negociado en esas sesiones para dicho rango de plazos y el volumen total
medio para cada uno de los m rangos de plazos, es decir, la doceava o sexta parte del
volumen total negociado en dichos doce o seis rangos respectivamente. Este factor toma
valor superior (inferior) a la unidad cuando para su rango de plazos se negocia un
volumen superior (inferior) al promedio de los m rangos de plazos considerados.
mVTVTf m
j r
rr
∑ =
=1
(9)
donde VTr es la suma de los volúmenes efectivos negociados por todos los bonos con
cupón periódico con plazo comprendido en el rango r durante las sesiones precedentes
consideradas, m es el número de rangos considerados, siendo doce si la amplitud es
anual y seis si es bienal, y r es uno de los m rangos de plazos entre cero y doce años.
Sexto, los datos del plazo y cupón medios sirven para confeccionar los flujos de
cada uno de los m bonos teóricos suponiendo siempre que el cupón es anual. Dichos
flujos se descuentan a partir de la ETTI y se obtienen el precio y el TIR de un bono libre
de riesgo equivalente. A este TIR se le añade el dato del diferencial de rentabilidad
medio y se utiliza para obtener el precio del bono teórico para esa sesión.
4. Análisis de los resultados
4.1. Análisis de los bonos teóricos
En esta sección consideramos seis posibilidades alternativas para la construcción
de los bonos teóricos, ya que analizamos los casos de rangos anuales o bienales y
utilizamos en el cálculo del bono correspondiente a cada rango de plazos las 10, 20 o 40
19
sesiones precedentes. A partir de estos bonos teóricos configuramos siete muestras de
datos, la primera sólo considera los bonos reales mientras que en las seis siguientes
incorporamos cada uno de los distintos conjuntos de bonos ficticios. A continuación
realizamos un sencillo análisis estadístico del resultado de las estimaciones para las
distintas muestras con objeto de seleccionar la mejor opción que contribuya al logro de
nuestro objetivo, es decir, proponer un modelo sencillo que proporcione estructuras
temporales de los diferenciales de rentabilidad estables y fiables.
Para no dilatar este análisis nos centramos en el modelo 2, que simplemente
considera el parámetro correspondiente al nivel y a la pendiente en la ETTI arriesgada.
Estimamos el modelo para cada una de las siete muestras de datos durante las 233
sesiones comprendidas en el periodo desde el 19 de enero de 1998 al 22 de diciembre
del mismo año.19
Un resumen estadístico de los resultados aparece en la Tabla 1. Analizando el
número promedio de observaciones consideradas en las estimaciones se observa como
en muchas sesiones no se dispone de bonos teóricos para algunos plazos. Es decir, el
número de observaciones adicionales incluidas en las muestras con teóricos no alcanza
las doce posibles en el caso de rangos anuales, o las seis posibles en el caso de rangos
bienales. Esta situación aparece cuando durante las 10, 20 o 40 sesiones anteriores no se
negocia ningún bono en su rango de plazos, circunstancia que se da con mucha menor
frecuencia cuando se utilizan rangos bienales.
< Insertar Tabla 1>
Tanto la suma de residuos al cuadrado promedio para cada estimación como el
valor medio por observación de dichos residuos al cuadrado indican que el ajuste más
fino se logra en las muestras con menor número de observaciones. Así entre las
muestras con teóricos para la misma amplitud del rango de plazos, anual o bienal, las
que consideran un menor número de sesiones previas, diez, tienen mejores estadísticos.
Si se compara entre rangos anuales y bienales, se prefiere a las bienales que también
consideran un menor número de observaciones, en concreto la muestra R2_10, es decir
con rangos bienales y teóricos calculados a partir de las 10 sesiones precedentes.
19 Las diez sesiones de 1998 anteriores al inicio del periodo considerado sirven para construir los primeros bonos teóricos y las comprendidas desde el 23 de diciembre hasta el final del año se eliminan al observarse fuertes tensiones en los mercados al tratarse de los días previos a la entrada oficial del euro.
20
Finalmente, los mejores resultados según este criterio se observan en la muestra sin
teóricos.
Los residuos al cuadrado promedio por activo son aproximadamente diez veces
superiores para los bonos privados reales que para los activos equivalentes de deuda del
Estado, letras y bonos. Por su parte, los correspondientes a los bonos privados teóricos
son inferiores a los de los bonos privados reales, puesto que los primeros reducen la
incidencia del riesgo idiosincrásico.
A pesar de todo lo anterior, nuestro objetivo no es lograr el mejor ajuste posible,
sino obtener diferenciales de rentabilidad creíbles y estables en el tiempo. Por tanto, a
partir de los parámetros estimados en cada sesión, calculamos los diferenciales de
rentabilidad para distintos plazos como el tipo de interés al contado arriesgado y el
correspondiente sin riesgo que proporcionan el modelo estimado. Además de analizar
esta variable en niveles nos interesa observar su evolución temporal, por lo que
realizamos también el análisis en primeras diferencias. Los resultados aparecen en las
Tablas 2 y 3.
<Insertar Tabla 2>
La Tabla 2 muestra algunos estadísticos descriptivos de los diferenciales de
rentabilidad para plazos anuales según el modelo 2 para distintas muestras. Destacan los
valores extremadamente volátiles de las estimaciones en la muestra que no considera
bonos teóricos y los valores sumamente estables en el resto de muestras. Este simple
análisis muestra la necesidad de considerar los bonos teóricos en la estimación de la
ETTI arriesgada.
En lo referente a la credibilidad de las estimaciones, los resultados parecen
plenamente consistentes con el diferencial de rentabilidad decreciente con el plazo
observado en trabajos sobre el mercado de renta fija privada español (Díaz y Navarro
1997 y 2002b).
En cuanto a la estabilidad en las estimaciones, las cifras de las desviaciones
típicas se reducen al considerar muestras con teóricos calculados a partir de un mayor
número de sesiones y al considerar rangos anuales en lugar de bienales. Estos resultados
se corroboran claramente en la Tabla 3 que muestra los resultados en primeras
diferencias. En la muestra R1_40, es decir con rangos anuales para los teóricos
calculados a partir de las 40 sesiones precedentes, los cambios entre una sesión y la
21
precedente del diferencial de rentabilidad para cada plazo tienen una mediana de 2
puntos básicos. Esta cifra denota la gran estabilidad de estas estimaciones lo que
posibilita que sean consideradas como fiables y útiles en la valoración. Por otro lado, se
observa en todas las muestras una mayor estabilidad en el diferencial de rentabilidad de
los plazos medios frente a los plazos cortos y largos.
<Insertar Tabla 3>
4.2. Análisis de los modelos planteados
El análisis realizado en la sección anterior sitúa como mejor opción, en el caso
del modelo 2, la de considerar bonos teóricos para rangos anuales calculados a partir de
promedios de las 40 sesiones precedentes. En esta sección comparamos los resultados
para los distintos modelos planteados. La curva del diferencial de rentabilidad tiene
forma de recta para el modelo 1, forma de NS permitiendo un nivel y pendiente distinto
al Tesoro en el modelo 2 y forma de NS permitiendo nivel, pendiente y curvatura
distinta al Tesoro en el modelo 3.
La Tabla 4 muestra una comparativa de los tres modelos en base a los residuos al
cuadrado además del valor medio y la desviación típica de los parámetros estimados.
Los valores de la suma de residuos al cuadrado promedio por sesión y de los errores
cuadráticos por activo apuntan claramente al modelo 2 como mejor opción.
En la parte inferior de la Tabla 4 aparece el valor medio y desviación típica de
los parámetros estimados de cada modelo. Mientras los del modelo 1 se pueden calificar
de erráticos, los del modelo 2 y 3 son estables y con sentido económico. Así, por
ejemplo, sitúan el tipo de interés a largo plazo en torno a 5.5% (β0). La estimación de
los cuatro primeros parámetros que afectan a la ETTI sin riesgo son muy similares en
ambos modelos. En cambio, mientras el modelo 2 obtiene un nivel medio de la ETTI
arriesgada de 21 p.b. (β3) por encima de la ETTI sin riesgo con una desviación típica
muy reducida, el modelo 3 lo sitúa en -7 p.b.. Ambos obtiene una pendiente
predominantemente negativa para la curva del diferencial de rentabilidad (β4 positivo).
Resulta curioso que las desviaciones típicas de los parámetros estimados del
modelo 2 en lo referente a la ETTI libre de riesgo (β0 = 0.0026, β1 = 0.0047, β2 = 0.0072)
son muy inferiores a los que obtienen otros autores en su estimación exclusiva de bonos
gubernamentales. Es el caso de Fabozzi, Martellini y Priaulet (2005) para una muestra
22
de bonos alemanes (β0 = 0.0115, β1 = 0.0202, β2 = 0.0245), Czaja, Scholz y Wilkens
(2006) también para bonos gubernamentales alemanes (β0 = 0.0115, β1 = 0.0202, β2 =
0.0245), y Diebold y Li (2006) para bonos norteamericanos (β0 = 0.0152, β1 = 0.0161, β2
= 0.0169). Aún considerando que trabajan con muestras diferentes y mucho más
extensas, quizá la estrategia de fijar un valor constante del parámetro τ no es la más
acertada.
El análisis de los diferenciales de rentabilidad por plazos que se desprenden de
cada modelo (Tabla 5) muestra la mayor estabilidad del modelo 2. Las variaciones
respecto de la media de los diferenciales en niveles (panel A) y la media y desviación
típica de las primeras diferencias (panel B) son siempre inferiores en el caso del modelo
2. Otro resultado interesante es que los tres modelos obtienen diferenciales de
rentabilidad decrecientes.
La Figura 1 muestra la evolución temporal de los parámetros estimados del
modelo 2. Se observa la elevada estabilidad de estas estimaciones aún cuando la
estimación se realiza a partir del mismo conjunto de parámetros iniciales para toda la
muestra. Así, sin necesidad de formar parrillas de parámetros iniciales, costosas en
tiempo de computación, obtenemos resultados satisfactorios. También se puede
observar como el parámetro que afectan al nivel del diferencial de rentabilidad (β3) es
muy estable y el que condiciona la pendiente (β4) oscila ligeramente en torno a cero.
La evolución temporal de los tipos de interés estimados a 3 y 10 años aparece
respectivamente en las Figuras 2 y 3. Destaca que el diferencial de rentabilidad a 3 años
se mantiene aproximadamente constante a lo largo del año. El caso del diferencial a 10
años es diferente, puesto que sufre bastantes oscilaciones. En varios momentos se acerca
a cero, aunque este hecho se debe al efecto de subidas bruscas de los tipos al contado
libres de riesgo.
La Figura 4 representa la evolución temporal de los diferenciales de rentabilidad
a 1, 3, 5 y 10 años. La forma predominante de la relación entre diferencial y plazo es
decreciente aunque la parte central del año 1998 aparecen formas ligeramente
crecientes. El diferencial más volátil es claramente el correspondiente a un año y, en el
tramo final del periodo muestral, también el de diez años.
Finalmente, la Figura 5 muestra las estimaciones para cuatro fechas distintas
junto con los TIR de los activos utilizados en su estimación. Se puede observar la
23
suavidad tanto de la ETTI libre de riesgo como de la curva arriesgada que impone la
forma funcional parsimoniosa de NS.
5. Conclusiones
En este trabajo proponemos un procedimiento sencillo para la estimación de
curvas del diferencial de rentabilidad creíbles y estables incluso en mercados con escasa
negociación y, por tanto, con un número muy reducido de observaciones. El
procedimiento conjuga una adaptación de la estimación conjunta de las ETTI libre de
riesgo y arriesgada, propuesta por Houweling, Hoek y Kleibergen (2001), en el caso del
modelo exponencial paramétrico de Nelson y Siegel (1987), además de una técnica de
elaboración de bonos privados teóricos que completa la muestra original de bonos
privados.
Tras un exigente proceso de depuración de los datos, se estima el modelo de
ETTI que incluye a los bonos privados por mínimos cuadrados generalizados no
lineales corrigiendo el error en precios de cada activo por su duración y volumen de
negociación. La primera corrección trata de evitar un sobre ajuste en los plazos largos y
la segunda trata de dar un menor peso a las operaciones minoristas.
El método de elaboración de los bonos teóricos que proporciona mejores
resultados de acuerdo con nuestro objetivo consiste en considerar rangos de plazos
anuales para las cuarenta sesiones precedentes. Las características de estos bonos
teóricos se obtienen a partir de promediar el diferencial de rentabilidad, plazo, cupón y
volumen de cada bono negociado comprendido en el correspondiente rango de plazos.
El volumen de negociación asignado al bono se normaliza en sección cruzada entre
todos los plazos.
Consideramos tres modelos: el modelo 1 supone que la relación entre diferencial
de rentabilidad y plazo es lineal, el modelo 2 tiene la forma propuesta por NS con nivel
y pendiente distinta a la de la ETTI sin riesgo y el modelo 3 asume también una distinta
curvatura. Nuestro análisis muestra que el modelo 2 proporciona los mejores resultados
en cuanto a bondad en el ajuste y a estabilidad temporal. En relación con nuestro
objetivo de estabilidad, los diferenciales de rentabilidad de todos los plazos apenas
varían como promedio 2 p.b. entre sesiones. Todo esto sin necesidad de utilizar
complicadas parrillas de parámetros iniciales.
24
Además de estables, los resultados son plenamente creíbles puesto que
corroboran la relación decreciente entre diferencial de rentabilidad y plazo observada en
la literatura para el caso español (Díaz y Navarro, 1997 y 2002b). Los diferenciales
medios se sitúan en 27 p.b. para el plazo de un año y descienden lentamente hasta
situarse en torno a 23 p.b. para el plazo de diez años.
Esta propuesta de metodología puede ser, a nuestro entender, de suma utilidad
para los gestores de carteras de renta fija privada puesto que permite valorar cualquier
bono privado utilizando el diferencial de rentabilidad medio del mercado, posibilita el
cálculo del VaR de cartera de renta fija corporativa, siendo además un input necesario
de muchos modelos de valoración.
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27
Tabla 1. Estadísticos descriptivos de estimación del modelo 2
Las columnas se corresponden con cada muestra de observaciones considerada en función del criterio de elaboración de los bonos teóricos. Con R1 o R2 se denota rangos anuales o rangos bienales utilizados en el cálculo de los bonos teóricos. Con 10, 20 o 40 se denota el número de sesiones previas utilizadas en el cálculo del bono teórico correspondiente a cada rango de plazos. Las cifras de errores hacen referencia a errores en precios. Sin
teóricos R1_10 R1_20 R1_40 R2_10 R2_20 R2_40
Medias diarias: - Nº total observac. 26.8 34.8 36.4 37.5 32.0 32.6 32.8 - Nº bonos privados 4.1 12.1 13.7 14.8 9.3 9.9 10.1 - Suma Cuadrados de los Residuos
0.0204 0.0637 0.0731 0.0881 0.0443 0.0506 0.0498
Error cuadrático medio por activo: - del Tesoro 0.0451 0.0506 0.0531 0.0563 0.0489 0.0661 0.0533 - privados reales 0.3343 0.5083 0.5275 0.5474 0.4778 0.4845 0.4989 - privados teóricos - 0.4279 0.4817 0.5584 0.2633 0.3296 0.3988 - todos los activos 0.0893 0.1915 0.2198 0.2530 0.1389 0.1657 0.1722
28
Tabla 2. Diferenciales de rentabilidad en niveles por plazos anuales según el modelo 2 Distintas muestras de observaciones en función de los bonos teóricos considerados. Con R1 o R2 se denota rangos anuales o rangos bienales utilizados en el cálculo de los bonos teóricos. Con 10, 20 o 40 se denota el número de sesiones previas utilizadas en el cálculo del bono teórico correspondiente a cada rango de plazos. Cifras en puntos básicos (p.b.) Plazo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sin teóricos Media -22.1 -3.3 9.2 17.8 23.9 28.5 32.0 34.7 36.9 38.6Desv.Típ 734.6 485.0 323.5 216.2 143.9 96.7 70.4 62.9 68.1 78.3Min -5796 -3706 -2363 -1467 -845 -399 -67.2 -17.9 -78.2 -312Mediana 25.9 24.5 24.4 23.0 22.8 22.6 22.1 22.1 23.4 23.4Max 8574 5725 3859 2594 1706 1063 582 552 557 561R1_10 Media 27.7 26.2 25.1 24.4 23.8 23.4 23.1 22.9 22.7 22.5Desv.Típ 12.5 8.6 6.6 6.0 6.0 6.4 6.7 7.1 7.5 7.8Min -22.1 -4.9 5.6 8.4 5.9 4.1 2.8 1.8 -0.1 -1.7Mediana 25.9 24.3 23.8 23.9 23.2 23.1 22.7 22.7 22.1 21.9Max 67.0 54.5 46.0 40.2 38.1 38.2 39.3 40.2 41.6 43.1R1_20 Media 28.6 26.7 25.5 24.6 24.0 23.6 23.2 22.9 22.7 22.5Desv.Típ 9.2 6.5 5.3 5.0 5.2 5.4 5.7 6.0 6.2 6.4Min 2.8 13.3 13.9 13.9 12.4 10.2 8.6 7.0 5.7 4.7Mediana 28.2 26.0 24.3 24.2 23.4 23.3 23.2 23.1 23.0 23.1Max 56.0 48.3 43.0 39.4 38.2 39.0 39.8 40.4 41.0 41.5R1_40 Media 27.6 26.0 25.0 24.3 23.8 23.4 23.1 22.9 22.7 22.5Desv.Típ 7.8 5.5 4.6 4.3 4.5 4.7 4.9 5.2 5.4 5.6Min 10.3 14.1 14.9 14.1 12.9 10.7 8.6 7.0 5.7 4.6Mediana 26.7 24.9 24.0 24.0 23.6 23.4 23.3 23.0 22.8 22.8Max 53.0 44.8 39.3 37.1 35.6 35.9 36.4 37.2 37.9 38.4R2_10 Media 27.8 25.8 24.5 23.6 22.9 22.4 22.0 21.7 21.4 21.2Desv.Típ 12.5 8.6 6.8 6.3 6.5 6.9 7.3 7.7 8.1 8.4Min -10.3 -1.6 4.0 7.4 4.8 2.9 1.5 -0.6 -2.6 -4.3Mediana 25.8 23.9 23.1 22.5 22.1 21.8 21.0 21.1 21.0 20.9Max 70.1 55.3 45.9 40.8 39.0 39.5 40.0 41.0 43.1 44.8R2_20 Media 28.6 26.3 24.7 23.7 22.9 22.3 21.9 21.6 21.3 21.1Desv.Típ 9.3 6.6 5.7 5.7 6.1 6.4 6.8 7.1 7.4 7.7Min 2.5 10.0 11.2 11.9 8.4 5.8 3.3 1.2 -0.5 -1.9Mediana 27.8 25.3 23.5 22.7 22.5 22.4 22.0 21.8 21.6 21.5Max 55.8 47.8 43.8 40.8 39.8 40.1 40.8 42.4 43.9 45.4R2_40 Media 28.0 25.7 24.1 23.0 22.2 21.6 21.2 20.8 20.6 20.3Desv.Típ 8.2 6.0 5.2 5.1 5.4 5.7 6.0 6.2 6.5 6.7Min 6.9 9.4 11.0 10.4 9.0 5.8 3.1 1.1 -0.6 -2.0Mediana 27.4 24.5 23.0 22.7 22.2 21.9 21.6 21.4 21.2 21.1Max 54.0 46.2 41.5 39.8 38.3 38.4 39.8 41.3 42.7 44.2
29
Tabla 3. Diferenciales de rentabilidad en primeras diferencias por plazos anuales según el modelo 2 (en valor absoluto) Distintas muestras de observaciones en función de los bonos teóricos considerados. Con R1 o R2 se denota rangos anuales o rangos bienales utilizados en el cálculo de los bonos teóricos. Con 10, 20 o 40 se denota el número de sesiones previas utilizadas en el cálculo del bono teórico correspondiente a cada rango de plazos. Cifras en puntos básicos (p.b.) Plazo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sin teóricos Media 323.3 212.7 141.6 95.7 66.5 48.7 36.1 28.9 36.3 45.2Desv.Típ 1187.0 781.9 519.2 343.1 221.9 138.2 86.8 70.1 77.7 96.0Min 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0Mediana 39.8 23.6 14.8 11.2 9.1 9.2 9.0 7.2 10.6 11.6Max 14371 9433 6223 4061 2552 1463 650 511 483 860R1_10 Media 6.5 4.1 2.9 2.3 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.6Desv.Típ 9.5 5.8 3.5 2.2 1.9 2.1 2.4 2.8 3.1 3.3Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 3.4 2.0 1.9 1.9 1.8 1.9 2.0 2.3 2.5 2.6Max 68.7 43.8 26.3 13.7 10.8 12.2 13.3 14.0 15.6 18.3R1_20 Media 4.3 2.8 2.1 1.9 2.0 2.2 2.4 2.6 2.7 2.9Desv.Típ 4.8 3.0 1.9 1.6 1.6 1.8 1.9 2.1 2.3 2.4Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 2.8 1.7 1.6 1.5 1.7 1.7 2.0 2.2 2.3 2.4Max 28.4 16.7 10.0 7.0 8.4 9.8 10.9 11.7 12.3 12.8R1_40 Media 3.9 2.5 1.9 1.7 1.8 2.0 2.2 2.4 2.5 2.6Desv.Típ 4.2 2.6 1.7 1.5 1.6 1.7 1.9 2.0 2.2 2.3Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 2.5 1.7 1.4 1.4 1.5 1.6 1.8 2.0 2.1 2.1Max 23.5 13.1 8.2 6.9 8.3 9.7 10.8 11.6 12.2 12.9R2_10 Media 7.4 4.8 3.5 2.9 2.7 2.9 3.2 3.6 3.9 4.1Desv.Típ 9.9 6.1 3.7 2.5 2.3 2.6 2.9 3.3 3.5 3.8Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 3.8 2.7 2.6 2.3 2.0 2.1 2.4 2.6 2.9 3.0Max 75.2 48.0 28.8 15.0 11.6 13.2 14.9 17.1 19.1 21.0R2_20 Media 5.2 3.6 2.9 2.8 2.9 3.0 3.2 3.5 3.7 3.8Desv.Típ 5.3 3.6 2.9 2.9 3.1 3.4 3.6 3.8 4.0 4.1Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 3.7 2.3 2.0 1.9 2.1 2.1 2.3 2.5 2.8 2.9Max 28.8 18.0 19.2 24.5 28.1 30.6 32.4 33.8 34.8 35.7R2_40 Media 5.2 3.5 2.7 2.5 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5Desv.Típ 5.3 3.4 2.4 2.1 2.1 2.3 2.5 2.7 2.8 3.0Min 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 3.6 2.3 2.0 2.0 2.0 2.0 2.3 2.5 2.7 2.8Max 27.0 16.8 11.9 10.1 9.3 11.5 13.2 14.5 15.6 17.0
30
Tabla 4. Estadísticos descriptivos de estimación
Muestra incluyendo de bonos teóricos para rangos anuales estimados a partir de 40 sesiones previas. En cuanto a la estructura temporal del diferencial de rentabilidad, el modelo 1 supone que es una recta, el modelo 2 estima el nivel y la pendiente según Nelson y Siegel y el modelo 3 estima nivel, pendiente y curvatura según N&S. Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Medias diarias: • Nº total observac. 37.5 37.5 37.5 • Nº bonos privados 14.8 14.8 14.8 • Suma Cuadrados de los Residuos 0.6961 0.0881 0.2305 Error cuadrático medio por activo: • del Tesoro 0.1239 0.0563 0.0514 • privados reales 11.0293 0.5474 9.6405 • privados teóricos 3.0673 0.5584 0.7647 • todos los activos 2.1551 0.2530 1.3034 Parámetros estimados: • β0 (nivel) -2.6026 0.0557 0.0546 (10.4269) (0.0026) (0.0199) • β1 (pendiente) 2.6589 -0.0142 -0.0130 (10.4251) (0.0047) (0.0193) • β2 (curvatura) 5.5509 -0.0319 -0.0303 (26.8642) (0.0072) (0.0312) • τ 1548.7010 1.5586 1.6991 (13695.9744) (0.5390) (2.0693) • β3 (nivel) 0.0034 0.0021 -0.0007 (0.0057) (0.0008) (0.0074) • β4 (pendiente) -0.0002 0.0009 0.0021 (0.0008) (0.0018) (0.0075) • β5 (curvatura) - - 0.0084 - - (0.0110) Las cifras en paréntesis representan la desviación típica.
31
Tabla 5. Diferenciales de rentabilidad por plazos anuales Muestra incluyendo de bonos teóricos para rangos anuales estimados a partir de 40 sesiones previas. En cuanto a la estructura temporal del diferencial de rentabilidad, el modelo 1 supone que es una recta, el modelo 2 estima el nivel y la pendiente según Nelson y Siegel y el modelo 3 estima nivel, pendiente y curvatura según N&S. Cifras en puntos básicos (p.b.) Plazo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PANEL A. En niveles: Modelo 1 Media 32.1 30.0 27.8 25.7 23.5 21.4 19.2 17.0 14.9 12.7Desv.Típ 48.6 40.4 32.3 24.3 16.6 10.0 7.9 12.9 20.2 28.1Min -14.4 -3.8 6.7 12.0 9.7 6.7 0.3 -112 -237 -361Mediana 29.3 27.9 25.7 23.8 22.3 21.2 19.3 17.9 16.7 14.3Max 759.9 635.3 510.6 386.0 261.4 136.8 48.8 59.4 69.9 80.4Modelo 2 Media 27.6 26.0 25.0 24.3 23.8 23.4 23.1 22.9 22.7 22.5Desv.Típ 7.8 5.5 4.6 4.3 4.5 4.7 4.9 5.2 5.4 5.6Min 10.3 14.1 14.9 14.1 12.9 10.7 8.6 7.0 5.7 4.6Mediana 26.7 24.9 24.0 24.0 23.6 23.4 23.3 23.0 22.8 22.8Max 53.0 44.8 39.3 37.1 35.6 35.9 36.4 37.2 37.9 38.4Modelo 3 Media 27.5 29.9 28.4 25.7 22.9 20.3 18.0 16.1 14.4 13.0Desv.Típ 7.9 6.0 5.7 5.5 5.9 6.9 8.0 9.2 10.2 11.2Min 13.5 9.2 8.3 8.5 8.7 4.1 -1.5 -6.2 -10.1 -15.2Mediana 27.0 29.7 28.5 25.7 23.4 21.1 18.8 16.5 14.9 13.4Max 52.9 46.6 43.2 37.7 37.2 35.2 35.5 36.7 38.3 39.8 PANEL B. En primeras diferencias: Modelo 1 Media 11.7 9.4 7.5 6.0 5.2 5.1 5.3 7.7 10.1 12.5Desv.Típ 68.7 57.1 45.5 33.9 22.3 11.0 4.7 13.4 24.6 36.1Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 3.8 3.0 2.4 2.4 2.8 3.3 4.1 5.1 6.0 7.1Max 745.9 620.8 495.6 370.5 245.3 120.2 33.6 139 265 391Modelo 2 Media 3.9 2.5 1.9 1.7 1.8 2.0 2.2 2.4 2.5 2.6Desv.Típ 4.2 2.6 1.7 1.5 1.6 1.7 1.9 2.0 2.2 2.3Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 2.5 1.7 1.4 1.4 1.5 1.6 1.8 2.0 2.1 2.1Max 23.5 13.1 8.2 6.9 8.3 9.7 10.8 11.6 12.2 12.9Modelo 3 Media 4.1 4.3 4.0 3.1 3.1 3.9 5.0 6.2 7.3 8.3Desv.Típ 4.2 3.7 3.8 3.1 2.7 3.2 4.2 5.3 6.2 7.1Min 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Mediana 2.7 3.4 3.0 2.3 2.4 3.2 4.1 4.8 5.4 6.1Max 20.3 20.4 21.3 21.8 18.5 14.4 20.8 26.8 31.9 36.2
32
Figura 1. Evolución temporal de los parámetros estimados del modelo 2
-0.05
-0.03
-0.01
0.01
0.03
0.05
0.07
19/01
/98
11/02
/98
06/03
/98
01/04
/98
28/04
/98
25/05
/98
17/06
/98
10/07
/98
04/08
/98
27/08
/98
21/09
/98
15/10
/98
11/11
/98
04/12
/98
beta0beta1beta2beta3beta4
beta0
beta1
beta2
beta3beta4
Nota: en la figura no aparece la evolución del parámetro τ por tomar valores muy superiores al resto.
33
Figura 2. Evolución temporal de los tipos a 3 años (modelo 2)
TIPOS AL CONTADO A 3 AÑOS
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
19/01/98 11/02/98 06/03/98 01/04/98 28/04/98 25/05/98 17/06/98 10/07/98 04/08/98 27/08/98 21/09/98 15/10/98 11/11/98 04/12/98
ETTI arriesgada (estim. conjunta)
ETTI sin riesgo (estim. conjunta)
ETTI sin riesgo (estim. por separado)
Figura 3. Evolución temporal de los tipos a 10 años (modelo 2)
TIPOS AL CONTADO A 10 AÑOS
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
19/01
/98
11/02
/98
06/03
/98
01/04
/98
28/04
/98
25/05
/98
17/06
/98
10/07
/98
04/08
/98
27/08
/98
21/09
/98
15/10
/98
11/11
/98
04/12
/98
ETTI arriesgada (estim. conjunta)
ETTI sin riesgo (estim. conjunta)
ETTI sin riesgo (estim. por separado)
34
Figura 4. Evolución temporal del diferencial de rentabilidad a distintos plazos (mod. 2)
0
10
20
30
40
50
60
19/01
/98
11/02
/98
06/03
/98
01/04
/98
28/04
/98
25/05
/98
17/06
/98
10/07
/98
04/08
/98
27/08
/98
21/09
/98
15/10
/98
11/11
/98
04/12
/98
en p
unto
s bá
sico
s
DR a 1 año
DR a 3 años
DR a 5 años
DR a 10 años
Figura 5. Estimaciones de la ETTI libre de riesgo y arriesgada y los datos utilizados como input 27 Febrero 1998
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
0 2 4 6 8 10 12 14
Plazo en años
ETTI sin riesgo (estim. por separado)
ETTI sin riesgo (estim. conjunta)
ETTI arriesgada (estim. conjunta)
TIR (Bono del Tesoro)
TIR (Bono privado)
TIR (Bono teórico)
29 Mayo 1998
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
0 2 4 6 8 10 12 14
Plazo en años
ETTI sin riesgo (estim. por separado)
ETTI sin riesgo (estim. conjunta)
ETTI arriesgada (estim. conjunta)
TIR (Bono del Tesoro)
TIR (Bono privado)
TIR (Bono teórico)
31 Agosto 1998
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
0 2 4 6 8 10 12 14
Plazo en años
ETTI sin riesgo (estim. por separado)
ETTI sin riesgo (estim. conjunta)
ETTI arriesgada (estim. conjunta)
TIR (Bono del Tesoro)
TIR (Bono privado)
TIR (Bono teórico)
27 Noviembre 1998
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
0 2 4 6 8 10 12 14
Plazo en años
ETTI sin riesgo (estim. por separado)
ETTI sin riesgo (estim. conjunta)
ETTI arriesgada (estim. conjunta)
TIR (Bono del Tesoro)
TIR (Bono privado)
TIR (Bono teórico)
