Estocastica en Las Finanzas

TRABAJO: “CÁLCULO ESTOCÁSTICO APLICADO A LAS

FINANZAS”

CURSO:

Análisis Económico en Ingeniería.

PROFESOR:

Ing. EYZAGUIRRE-TEJADA-ROBERTO ERASMO

ALUMNOS:

Angelino Valenzuela, Leydi

Carreño Bautista, Javier

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

2013 - II

Contenido

1. Introducción...........................................................................................................................3

2. Planteamiento del problema..................................................................................................3

3. Objetivos................................................................................................................................5

4. Marco Teórico........................................................................................................................5

1.1. Bolsa de valores............................................................................................................5

1.2. Las acciones..................................................................................................................6

1.3. Cálculo estocástico.......................................................................................................8

5. Aplicación del Modelo............................................................................................................9

6. Simulación del Modelo en Excel...........................................................................................12

7. Conclusiones........................................................................................................................15

8. Bibliografía...........................................................................................................................16

Análisis Económico en Ingeniería Página 2

CÁLCULO ESTOCÁSTICO APLICADO A LAS FINANZAS

1. Introducción

Se trata de considerar los modelos estocásticos para ilustrar cómo la Teoría de la Probabilidad y otras Teorías Matemáticas se pueden aplicar al campo financiero. Los procesos estocásticos son de gran utilidad no solamente porque conducen a Matemáticas más avanzadas, sino también porque constituyen el lenguaje actual de los especialistas en estas materias que coinciden con la ciencia financiero-actuarial.

Precisamente, porque la mayor parte de los riesgos financiero implican situaciones que se desarrollan a lo largo del tiempo es por lo que los modelos basados en los procesos estocásticos resultan ser los más adecuados.

No tratamos de dar definiciones o deducciones rigurosas sino que nuestro objetivo es el de introducir un vocabulario y un breve resumen de algunas aplicaciones de los modelos estocásticos al campo financiero.

En la actualidad, la rapidez y la variabilidad en las finanzas, obligan a buscar mecanismos que permitan predecir los resultados y se facilite la toma de decisiones. Este trabajo tiene como propósito explicar un modelo basado en el proceso estocástico, sin caer en excesivos formalismos matemáticos, utilizaremos el modelo de “Movimiento browniano con deriva”, como uno de los modelos más utilizados en la toma de decisiones financiera a nivel mundial.

2. Planteamiento del problema

La historia pasada del valor de un activo puede decirnos algunas cosas acerca de él; por ejemplo, cuáles son los saltos probables en el precio del activo, cuáles son sus medias y varianzas y generalmente cuál es la distribución posible del precio futuro del activo. Lo antes mencionado puede ser determinado haciendo un análisis estadístico de la historia del precio del activo.


Usualmente se asume que el precio de los activos se mueve aleatoriamente de acuerdo a la hipótesis del mercado eficiente. Existen distintas formas de esta hipótesis, pero básicamente dicen dos cosas:

• La historia pasada está completamente reflejada en el precio presente del activo, el cuál no contiene más información.

• Los mercados responden inmediatamente a cualquier información nueva acerca del activo.

Así que, modelar el precio de un activo es en realidad modelar el arribo de nueva información que afecta el precio del activo.

Notemos primero que el cambio absoluto en el precio de un activo no es una cantidad muy útil, por ejemplo, un cambio de $1 es más significativo cuando el precio del activo es $20 que cuando es $200. Con cada cambio en el precio del activo asociamos una respuesta, definida como el cambio en el precio dividido por el precio original (esto es, el cambio relativo en el precio del activo).

Supongamos que en el tiempo t el precio de un activo es S. Consideremos un pequeño intervalo subsiguiente dt , durante el cuál S cambia a S+dS como se muestra en la figura.

¿Cómo podemos modelar la respuesta correspondiente (cambio relativo SdS

) en el

activo?

En este trabajo usaremos el modelo “Movimiento browniano con deriva” basado en los procesos estocásticos para obtener el precio de un activo S en un determinado tiempo t . Ya que el cálculo normal no funciona bien cuando se describe el precio de un activo ya que dependen de la actuación de diversas fuerzas económicas.


El modelo se descompone la respuesta en dos partes. Una de ellas es una respuesta predecible, determinística y del mismo tipo que la respuesta de dinero invertido en un

banco libre de riesgo. Esta respuesta nos da una contribucióndt a la respuesta SdS

,

dónde μ es una medida de la razón promedio de crecimiento del precio del activo, en modelos simples μ es una constante, pero en modelos más complicados μ puede ser una función de S y t .

La segunda contribución a Sd S

modela el cambio aleatorio en el precio del activo

debido a factores externos, tales como noticias inesperadas. Esta contribución a SdS

se

representa por σdX , en dónde σ es un número llamado la volatilidad y mide la desviación estándar de la respuesta. La cantidad dX es una observación de una población normal con media igual a cero.

Al poner juntas estas contribuciones, obtenemos la ecuación diferencial estocástica:

dSS

=μdt+σdX

3. Objetivos

Nuestro objetivo será deducir un proceso estocástico de variable continua y en tiempo continuo adecuado para describir el comportamiento del precio de un activo.

4. Marco Teórico

1.1. Bolsa de valores

Una bolsa de valores es una organización privada que brinda las facilidades necesarias para que sus miembros, atendiendo los mandatos de sus clientes, introduzcan órdenes y realicen negociaciones de compra y venta de valores, tales como acciones de sociedades o compañías anónimas, bonos públicos y privados, certificados, títulos de participación y una amplia variedad de instrumentos de inversión.


La negociación de los valores en los mercados bursátiles se hace tomando como base unos precios conocidos y fijados en tiempo real, en un entorno seguro para la actividad de los inversionistas, donde el mecanismo de las transacciones está totalmente regulado, lo que garantiza la legalidad, la seguridad y la transparencia.

La institución bolsa de valores, de manera complementaria en la economía de los países, intenta satisfacer tres grandes intereses:

El de la empresa, porque al colocar sus acciones en el mercado y ser adquiridas por el público, obtiene de ésta el financiamiento necesario para cumplir sus fines y generar riqueza.

El de los ahorristas, porque se convierten en inversionistas y en la medida de su participación pueden obtener beneficios por la vía de los dividendos que le reportan sus acciones.

El del Estado porque, también en la Bolsa, dispone de un medio para financiarse y hacer frente al gasto público, así como adelantar nuevas obras y programas de alcance social.

Los participantes en la operación de las bolsas son básicamente los demandantes de capital (empresas, organismos públicos o privados y otras entidades), los oferentes de capital (ahorradores, inversionistas) y los intermediarios.

Los sistemas de bolsas de valores, al día de hoy, funcionan mediante métodos de pronóstico los cuales permiten a las corporaciones o a los inversionistas tener un marco de cómo se comportará el mercado en el futuro y por ende tomar buenas decisiones de cartera. Estos sistemas funcionan a base de datos históricos y matemáticos.

Para cotizar sus valores en la Bolsa, las empresas primero deben hacer públicos sus estados financieros, puesto que a través de ellos se pueden determinar los indicadores que permiten saber la situación financiera de las compañías. Las bolsas de valores son reguladas, supervisadas y controladas por los Estados nacionales.

1.2. Las acciones

Las acciones son inversiones de capital social, lo cual significa que al comprar acciones de una corporación usted se convierte en accionista y realmente es propietario de una parte de dicha corporación. Por supuesto, su participación en el valor líquido, o


propiedad, en una corporación que puede emitir millones de acciones es mucho más pequeña que el valor líquido, o valor real, que posee en un bien raíz que compró. Lo que es parecido es que usted es propietario de algo que puede vender o retener, según lo que desee.

Hay dos razones principales para comprar acciones:

Usted espera que el precio por acción aumente de manera que al vender sus acciones en el futuro logre obtener una ganancia

Usted espera que las acciones generen ingresos en la forma de dividendos

Algunas acciones tienden a hacer uno o lo otro, mientras que otras hacen ambas cosas. La razón por la cual las acciones son inversiones populares a pesar del hecho de que pueden ser volátiles, es decir, cambiar de valor rápidamente en el corto plazo, es debido a que históricamente las acciones en general han proporcionado un mayor rendimiento que otros valores.

Determinación del valor de las acciones

Las acciones no tienen un valor fijo. El precio de una acción se determina finalmente por lo que los inversionistas están dispuestos a pagar por comprarlas. Entre los factores que afectan el precio de una acción están los siguientes:

El crecimiento de las ventas o ingresos de la compañía, algunas veces denominado crecimiento bruto

El crecimiento de las ganancias de la compañía, algunas veces denominado crecimiento neto La manera en que se administra la empresa

La calidad o ventaja de los productos o servicios que ofrece La situación de la economía y de los mercados financieros La industria en

particular en que opera la compañía

Las acciones han sido un tema de estudio de interés para los financieros, pues son el ejemplo más importante del título con riesgo, donde se conjugan las características de rendimiento y riesgo. Por su carácter fluctuante, son objetos de los primeros modelos estocásticos de valoración.

Los modelos a obtener se clasifican en:


1.3. Cálculo estocástico

Cálculo estocástico es una rama de las matemáticas que se utilizan para hacer modelos de tiempo continuo basado en las distribuciones de probabilidad.

Características del cálculo estocástico:

"Cálculo estocástico es una rama de las matemáticas"

Cálculo Estocástico no utiliza la regla de la cadena, que es un principio fundamental del cálculo. En su lugar utiliza el lema de Ito para calcular derivadas. Si bien este aspecto no será pertinente para este trabajo, es importante reconocer. Además, el cálculo estocástico realiza variación cuadrática sumando los cuadrados de la variación, mientras que el cálculo simplemente resume la variación.

"Se utiliza para hacer los modelos de tiempo continuo"

Un modelo que puede cambiar constantemente con el tiempo. Por ejemplo, si quiero para determinar el precio de las acciones que se espera en 30 días, el modelo utiliza las entradas basadas en el día cero para calcular el precio de la acción en el día 1. A continuación, use día 1 entradas para calcular el precio en el día 2 y el día 29 entradas para el cálculo de los precios en el día 30. Más técnicamente, los modelos de uso de la derivada (se puede pensar en esto como la pendiente) para caracterizar la salida en continuo cambio.


"Sobre la base de las distribuciones de probabilidad"

El cálculo estocástico utiliza medios y las desviaciones estándar para calcular los cambios esperados en la salida.

5. Aplicación del Modelo

En las finanzas, el movimiento browniano es un proceso estocástico utilizado para describir el comportamiento aleatorio de acciones, tipos de interés, o derivados. La deriva es un sinónimo de rendimiento esperado. Usando cálculo estocástico podemos hacer transformaciones para producir la siguiente ecuación.

La fórmula para modelar el precio de una acción no pagan dividendos es:

dS=μSdt+σSdX

Dónde:

d = delta o un cambio de variables

S = precio de los activos

t= tiempo

μ = Desvío (rendimiento esperado)

σ = volatilidad del activo (actúa como la desviación estándar)

X = una variable aleatoria de una distribución normal con una media de cero y una varianza de tiempo delta.

Si usamos nuestra álgebra en la secundaria y dividimos ambos lados de la ecuación por S, se obtiene:

dSS

=μdt+σdX


Ahora, vamos a transformar la variable X en partes componentes. Si X una variable aleatoria de una distribución normal con una media de cero y una varianza de dt (esto sólo significa el cambio en el tiempo), podemos transformar X=ε √dt

Dónde:

ε = muestra aleatoria de una distribución normal estandarizada

dt = el cambio en el tiempo

Porqué se considera la raíz cuadrada de la variación en el tiempo √dt , esto es una de esas normas especiales de cálculo estocástico. La volatilidad puede ser pensada como la desviación estándar. Matemáticamente, la desviación estándar se determina por la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Varianza se asume para mover linealmente con el tiempo, por lo tanto los movimientos de desviación estándar con la raíz cuadrada del tiempo. Es importante entender la regla de la raíz cuadrada.

Raíz cuadrada regla tiempo Volatilidad

Volatilidad semanal=Volatilidad Diaria∗√5

Volatilidad mensual=Volatilidad Diaria∗√21

Volatilidad anual=Volatilidad Diaria∗√251

Así que ahora nuestra fórmula es así:

dSS

=udt+σε √dt

Ahora, supongamos que nuestra acción en cuestión es un valor de $ 100, tiene la volatilidad anual del 30% y un esperado retorno anual del 15%. ¿Cuál es el precio esperado en una semana? Ya que estamos usando rendimientos anuales y la volatilidad, tenemos que convertir semana en años (1/52) = 0,0192


dS$100

=0.15∗0.0192+0.30∗ε √0.0192

Ahora hacemos nuestras multiplicaciones para obtener:

dS=100 (0.00288+0.04160 ε )

dS=0.288+4.16 ε

Por lo tanto, el cambio en el precio (dS) se extrae aleatoriamente de una distribución normal con una media de $ 0,288 y una desviación estándar de $ 4,16 (esos son también los porcentajes).

La obtención de un valor para la muestra aleatoria de una distribución normal estándar

ε es muestra aleatoria de una distribución normal estándar. Usted puede pensar en ε como la puntuación z (la desviación estándar) de un número aleatorio de una distribución normal estándar, 4.16, la volatilidad de esta función, se multiplica por ε para proporcionar un shock aleatorio para simular los saltos erráticos y descensos de precios de las acciones en el mundo real. Por lo tanto, (refiera a la imagen más abajo) hay una posibilidad de 19,1% que la volatilidad se multiplicará por un factor de entre 0 a 0,5. Hay una probabilidad igual la volatilidad se multiplicará por un factor entre 0 y -0,5. Del mismo modo, existe la posibilidad de 1,7% la volatilidad se multiplicará por un factor de entre -2 y -2,5.


6. Simulación del Modelo en Excel

Objetivo: Obtener el valor de la acción al final del periodo

valor de la acción 100 Svolatilidad 30% σRetorno Esperado 15% µtiempo tVariable aleatoria de una distribución normal con una media de cero y una varianza delta del tiempo

X

valor aleatorio de una destribución normal estándar

ε

X=ε√dtprecio en 1 semana

????

1 semana= 1/52 años

0.01886792

dt

tiempo(t) semanas 1 2 3 4 5 ..……. 52dt 0.018868µdt 0.002830σ√dt 0.041208ε -1.689 -1.20 -0.69 -1.27 -0.04 ..…….. -2.7278µdt+σ*ε*√dt -6.679% -4.656% -2.579% -4.950% 0.112% ………. -0.1096Valor*exp(ds/S) 93.54 89.28 87.01 82.81 82.90 ..…….. 104.439

No olvidar que usamos la fórmula

dSS

=udt+σε √dt

El valor de 104.439 representa el valor final de la acción luego de 52 semanas en la bolsa. 104.439 no es el valor real que tomará la acción al final del período, es sólo una estimación del valor real, por lo que habrá que hace el ejercicio muchas veces más para poder obtener datos que pueden ser usados por las estadísticas para ser analizados y a partir de allí tomar una decisión.


100 valores finales de la acción para cada simulación al finalizar la semana 52

119.0666 170.8705 95.9742 110.7847 69.2235 109.9280 93.0919 81.0473 163.298889.1635 108.9397 84.1472 150.6718 106.3077 158.6999 86.2909 135.4874 86.5265

142.0425 189.0795 106.8799 170.0009 127.6713 85.2178 95.0760 137.9233 170.7052124.9975 187.2249 106.7048 111.6737 79.5990 96.0882 129.5564 116.9012 116.5340134.0877 114.0183 113.1421 102.8342 184.9323 214.1017 326.0023 165.0579 182.1400258.3997 163.5180 173.3298 143.2443 70.5603 123.9537 130.9052 150.1894 86.7091102.8305 216.7454 166.6352 154.8673 92.2303 130.3215 161.8294 109.5422 115.6345

86.5790 128.5509 107.1722 98.6641 153.7292 108.7083 113.2440 88.3736 95.559695.4633 123.0097 57.1553 107.3710 89.2172 112.6933 172.7528 118.9275 119.8089

149.7190 243.0146 134.9437 54.4244 158.1563 120.7023 149.3534 104.6023 81.8603127.4582 81.3219 109.0233 89.9453 186.7780 138.6401 109.4988 96.0383 114.8228

80.7649

Estadística Descriptiva de losq100 datos

Media 127.092064Error típico 4.34067614Mediana 116.084245Moda #N/ADesviación estándar 43.4067614Varianza de la muestra 1884.14693Curtosis 4.14148742Coeficiente de asimetría 1.54930191Rango 271.577912Mínimo 54.4244193Máximo 326.002331Suma 12709.2064Cuenta 100Nivel de confianza(95.0%) 8.61284317


Si nos basamos en el intervalo de confianza, entonces es prácticamente seguro que ganemos dinero al comprar la acción.


20 60100

140180

220260

3006600tán28a5660

6600tán4a5660

6600tán9a5660

6600tán14a5660

6600tán19a5660

6600tán24a5660

6600tán29a5660

Histograma

Frecuencia

Clase

Frec

uenc

ia

7. Conclusiones

El modelo de “Movimiento browniano con deriva” permite determinar el valor de un activo en tiempo real que tiene como finalidad otorgar la información necesaria para la toma de decisiones dentro de la bolsa de valores.

El proceso estocástico es de gran importancia para las finanzas, ya que nos pueden servir para pronosticar el precio de una acción, los cuales varían diariamente, así como para poder pronosticar el rendimiento que ésta tendrá, ya que no tienen un rendimiento fijo. También podemos utilizarlos para poder ver otras variables como la evolución que tienen los tipos de interés, lo cual altera el rendimiento de una obligación, aunque el riesgo de éstas es muy pequeño comparado con otros títulos de crédito como las acciones.

También podemos ocuparlos para evaluar proyectos próximos a realizarse, para poder verificar que en verdad los proyectos sean rentables, eficaces, y que no se generen pérdidas en lugar de ganancias, ya que en los métodos de evaluación de proyectos hay mucha incertidumbre y es necesario pronosticar bastantes cosas.


8. Bibliografía

http://www.matem.unam.mx/geronimo/2012CNSF/CNSF.pdf

http://www.slideshare.net/EmmanuelRuizG/introduccin-a-los-procesos-estocsticos-y-sus-aplicaciones-en-la-actuara-15470537

http://www.calgarybusinessblog.com/articles/an-introduction-to-stochast.html

al final “otro modelo”, es una exponencial (hacia abajo)

historia del calculo estocástico, aplicaciones en la bolsa…

Bolsa de valores

Graficos reales de la bolsa de valores de empresa (google) accione. para mostrar aleatoriedad

[email protected]


mailto:[email protected]

http://www.calgarybusinessblog.com/articles/an-introduction-to-stochast.html



http://www.matem.unam.mx/geronimo/2012CNSF/CNSF.pdf

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