Estrategia didáctica para trabajar el concepto de … · Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación Parte-Todo en grado quinto, teniendo en cuenta

$Page 1: Estrategia didáctica para trabajar el concepto de … · Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación Parte-Todo en grado quinto, teniendo en cuenta$
Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación

Parte-Todo en grado quinto, teniendo en cuenta su origen histórico.

Germán Alfonso Gaviria Uribe

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Bogotá D.C., Colombia 2016


Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación


Germán Alfonso Gaviria Uribe Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora: Dra. Clara Helena Sánchez Botero

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Bogotá D.C., Colombia 2016


Dedicatoria

A Dios, por regalarme la oportunidad de

vivir esta extraordinaria experiencia. A mi

amada esposa, por su inagotable

paciencia y constante apoyo para el

logro de esta meta. A Verónica, Mariana

y Juan David, mis fuentes de infalible

felicidad. A mis padres y hermanas,

quienes fraguaron parte de lo que hoy

soy…

“Un hombre es como una fracción cuyo

numerador corresponde a lo que él es,

en tanto que el denominador es lo que

cree ser. Cuanto más grande es el

denominador, más pequeña es la

fracción”.

León Tolstói


Agradecimientos

A mi querida profesora y directora,

Clara Helena Sánchez Botero, por

sus incondicionales y valiosos aportes

a este trabajo.

A todos los actores de la Institución Educativa San Isidro Labrador de

Atánquez, encabezada por el

Especialista Oscar Carrillo Daza;

gracias por su tiempo y por sus

desinteresados favores logísticos.

Al docente Nefer Arias Maestre, por

permitirme trabajar con sus magníficos

estudiantes.

A mis compañeros de clases, por

todo el apoyo moral y académico en

estos cuatro últimos semestres.


Resumen IX

Resumen En el último informe de las Pruebas SABER que arrojó el ICFES sobre el desempeño de

los estudiantes de grado quinto de la IE San Isidro Labrador de Atánquez (Cesar), se

visibilizó que algunos aprendizajes necesitan ser priorizados para el diseño de acciones

de mejora. Uno de estos aprendizajes hace referencia a que el 61% de los estudiantes

no usa fracciones comunes para describir situaciones, ni reconocen e interpretan

fracciones en diferentes contextos. Apoyándonos en escritos previos de algunos autores

que describen esta problemática, se hizo un análisis histórico-epistemológico, disciplinar

y didáctico del concepto de fracción. Posteriormente, con la certeza de que hay que

empezar por trabajar con los estudiantes las interpretaciones primarias de la fracción

dadas a través de la historia (por ejemplo, la de parte-todo), se hizo un diagnóstico de

aula concienzudo sobre esta interpretación que nos permitió detectar algunos puntos

críticos y así, al final, ofrecer una estrategia didáctica apoyada en el uso de material

concreto que permita desarrollar este aprendizaje en los estudiantes. Los resultados de

su aplicación se describen también en este trabajo.

Palabras clave: fracción, historia, parte-todo, estrategia didáctica, diagnóstico,

material concreto, aprendizaje.

X Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación parte-todo en grado quinto, teniendo en cuenta su origen histórico.

Abstract In the latest report of ICFES-SABER tests about of the performance of fifth graders’

students of IE San Isidro Labrador Atánquez (Cesar), we are made visible that some

lessons need to be prioritized for design improvement actions. One of these refers to

learning that 61% of students do not use common fractions to describe situations, nor

recognize and interpret fractions in different contexts. Based on previous findings of some

authors that describe this problem, it became a historical-epistemological, disciplinary and

didactic analysis of the concept of fractions. Later on, with the certainty that we have to

start working with student’s primary interpretations of fraction given through history (for

instance, part-whole), we diagnosed in the classroom this interpretation that we allowed

to detect some critical points and, in the end, we provided a teaching strategy based on

the use of concrete materials to develop the students’ learning process. The results of its

application are also described in this paper.

Keywords: raction, history, part-whole, teaching strategy, diagnosis, concrete material, learning.

Contenido XI

Contenido Dedicatoria........................................................................................................................... V Agradecimientos ............................................................................................................... VII Resumen ............................................................................................................................. IX Abstract ................................................................................................................................ X Contenido............................................................................................................................ XI Lista de figuras................................................................................................................. XIII Lista de tablas ................................................................................................................... XV

Introducción....................................................................................................................... 17

1. Marco referencial y teórico ........................................................................................... 20

1.1. Marco histórico-epistemológico ................................................................................ 20

1.1.1. Contar y medir ................................................................................................ 20

1.1.2. Las culturas egipcia y babilónica ................................................................... 21

1.1.3. La cultura griega ............................................................................................. 24

1.1.4. El legado hindú-árabe .................................................................................... 27

1.1.5. Los chinos y las fracciones decimales ........................................................... 28

1.1.6. Las fracciones actuales y los racionales ........................................................ 29

1.2. Marco disciplinar....................................................................................................... 33

1.2.1. Construcción formal de los números racionales ............................................ 34

1.2.2. Operaciones en ℚ ......................................................................................... 36

1.3. Marco didáctico ........................................................................................................ 42

1.3.1. El uso de materiales educativos en el aula.................................................... 43

1.3.2. El conocimiento didáctico del contenido ........................................................ 46

1.3.3. Las dudas conceptuales de los maestros ...................................................... 50

2. Diseño Metodológico .................................................................................................. 52

2.1. Tipo de Investigación .............................................................................................. 52

XII Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación parte-todo en grado quinto, teniendo en cuenta su origen histórico.

2.2. Enfoque ................................................................................................................. 54

2.3. Instrumentos de recolección de información ......................................................... 54

2.4. Cronograma............................................................................................................ 55 3. Estrategia didáctica .................................................................................................... 56

3.1. Diagnóstico ............................................................................................................. 56

3.2. Diseño de materiales didácticos ............................................................................ 75

3.2.1. Dominós de fracciones ................................................................................. 75

3.2.2. Regletas de Cuisenaire ................................................................................ 76

3.2.3. Tangram ........................................................................................................ 78

3.2.4. Círculo de fracciones .................................................................................... 79

3.2.5. Videos ........................................................................................................... 80

3.3. Implementación de la estrategia didáctica ............................................................ 81

3.4. Evaluación .............................................................................................................. 99

3.5. Análisis de resultados .......................................................................................... 100

4. Conclusiones y recomendaciones .......................................................................... 107

4.1. Conclusiones ........................................................................................................ 107

4.2. Recomendaciones ................................................................................................ 108

Bibliografía...................................................................................................................... 109 Anexos ............................................................................................................................ 114

A. Antiguo escrito chino ............................................................................................ 115

B. Cronograma de Actividades ................................................................................. 116

C. Actividad diagnóstica ............................................................................................ 117

D. Ficha técnica (pretest y postest) .......................................................................... 119

E. Taller No. 1 ........................................................................................................... 121

F. Taller No. 2 ........................................................................................................... 123

G. Taller No. 3 ........................................................................................................... 126

H. Taller No. 4 ........................................................................................................... 127

I. Taller No. 5 ........................................................................................................... 128

J. Taller No. 6 ........................................................................................................... 129

K. Taller No. 7 ........................................................................................................... 132

L. Taller No. 8 ........................................................................................................... 133

M. Evaluación final .................................................................................................... 134

XIII Lista de figuras

Lista de figuras Pág. Figura 1-1: suma de fracciones unitarias ...................................................................... …22

Figura 1-2: uso de ‘ro’ en numerales egipcios ............................................................. …22

Figura 1-3: fracciones egipcias con escritura especial ................................................ …23

Figura 1-4: tablilla de barro babilónica YBC 7289 ........................................................ …23

Figura 1-5: las definiciones V.4 y V.5 del libro V de los Elementos de Euclides ........... …26

Figura 1-6: escritura del número 125 78� (sistema de numeración griego) ................ …27

Figura 1-7: método de Stevin para cálculos con fracciones decimales ...................... …29

Figura 1-8: división entre dos segmentos .................................................................... …31

Figura 1-9: diagrama de Venn: los números racionales ................................................ …32

Figura 1-10: modelo integrador del Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) .... …48

Figura 2-1: diseño de investigación cuasi experimental ............................................... …53

Figura 3-1: resultados de las preguntas No. 1 y No. 2 ................................................. …57

Figura 3-2: respuesta de estudiante E1 ......................................................................... …58

Figura 3-3: respuesta de estudiante E2 ........................................................................ …58


Figura 3-5: respuesta de estudiante E4 ....................................................................... …59


Figura 3-7: resultados de la pregunta No. 3 ................................................................. …60


Figura 3-9: resultados de la pregunta No. 4 ................................................................. …62

Figura 3-10: respuesta de estudiante E7 ...................................................................... …62


Figura 3-12: resultados de la pregunta No. 5 ............................................................... …63

Figura 3-13: resultados de la pregunta No. 6 ............................................................... …64


Figura 3-15: respuesta de estudiante E10 .................................................................... …66

XIV Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación parte-todo en grado quinto, teniendo en cuenta su origen histórico.


Figura 3-17: resultados de la Pregunta No. 7 ............................................................... …67

Figura 3-18: respuesta correcta de estudiante E12 ...................................................... …68

Figura 3-19: respuesta correcta de estudiante E13 ...................................................... …68

Figura 3-20: respuesta de estudiante E14 ..................................................................... …69

Figura 3-21: respuesta de estudiante E15 ................................................................... …69




Figura 3-25: resultados de la Pregunta No. 8 ............................................................... …72

Figura 3-26: magnitudes continuas versus magnitudes discretas ................................ …72

Figura 3-27: dominó de fracciones usado en la estrategia didáctica ........................... …76

Figura 3-28: regletas de Cuisenaire .............................................................................. …76

Figura 3-29: plantilla para la elaboración de regletas en papel cuadriculado .............. …77

Figura 3-30: uso de las regletas para la enseñanza de fracciones .............................. …77

Figura 3-31: el tangram chino clásico de 7 piezas ....................................................... …78

Figura 3-32: fotocopia y esquema para la construcción del tangram ........................... …78

Figura 3-33: construcción del círculo de fracciones ..................................................... …79

Figura 3-34: montaje de material didáctico ‘círculo de fracciones’ ............................... …80

Figura 3-35: división de la unidad en partes iguales usando papel .............................. …83

Figura 3-36: uso de material concreto para representar la fracción 1/2 ...................... …89

Figura 3-37: equivalencia de fracciones con material concreto (1 ⁄ 4 ≠ 1 ⁄ 2) ........... …89

Figura 3-38: equivalencia de fracciones con material concreto (2 ⁄ 4 = 1 ⁄ 2) ........... …90

Figura 3-39: sala de informática IE San Isidro Labrador (sede principal) .................... …97

Figura 3-40: resultados de la Pregunta No. 1 ………………………………………………100








XV Lista de tablas

Lista de tablas Pág.

Tabla 3-1: resultados cuantitativos de la prueba diagnóstica ........................................... 74

Tabla 3-2: resultados cuantitativos de la prueba final ..................................................... 106


Introducción 17

Introducción La propuesta que presento a continuación se desarrolló en la institución oficial San Isidro

Labrador del corregimiento de Atánquez, ubicada en el resguardo indígena kankuamo, al

suroriente de la Sierra Nevada de Santa Marta, comunidad que trabaja bajo el

ordenamiento educativo propio Makú-Jogúki, proyecto que promueve el proceso de

recuperación y preservación del conocimiento y de las prácticas culturales kankuamas.

El Makú-Jogúki acoge el principio de la Ley de Origen que rige la concepción de vida en

la comunidad del pueblo indígena Kankuamo; es el producto de la racionalización de una

búsqueda coherente y colectiva para articular la educación propia con la escolarización

convencional y formar integralmente a la población en aspectos espirituales, culturales y

políticos, a partir de los principios de la naturaleza y del conocimiento y reapropiación de

los valores serranos. Para el pueblo indígena kankuamo la educación propia es aquella

en la que se acude a la tradición oral, a la memoria, a la familia, a la comunidad y al

trabajo colectivo. Implica todo aquello que se aprende cuando se está atento a la

naturaleza misma, unido a los conocimientos y dones de las personas; así, consolida una

formación integral soportada en valores como el respeto por la naturaleza, por la

comunidad, por la tradición y por la propia persona. (Makú Jogúki-OEK, 2008). Sin

embargo, hay que subrayar que a pesar que existe un resguardo indígena kankuamo

asentado, muchos de los saberes, prácticas y costumbres han sido perdidas y tienen

pocas posibilidades de ser recuperadas (por ejemplo, no emplean un sistema de

numeración especial ni tienen una lengua propia). Por tal motivo, el siguiente trabajo no

apuntó esfuerzos en lo etnoeducativo.

Por otro lado, en mi práctica educativa he podido observar que el concepto de fracción

es, tal vez, uno de los más complejos para un gran número de estudiantes de la educación

básica. Diversas investigaciones (nacionales e internacionales) reportan multiplicidad de

18 Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación


obstáculos para la comprensión de este concepto. En nuestro país los recientes informes

de los resultados de las Pruebas Saber, aplicadas en los grados tercero y quinto, dan

muestra de las grandes falencias que tienen nuestros niños en el desarrollo de las

diferentes interpretaciones de los números racionales, una de ellas como fracción (parte-

todo, cociente, razón, operador). Estas interpretaciones se fueron desarrollando en el

proceso histórico de construcción del sistema de los números racionales. La

consolidación del concepto formal tomó muchos siglos de contextualizaciones diferentes

y compatibles con las necesidades del hombre para cada época en particular; de aciertos

y desaciertos en su interpretación y desarrollo, de superación de obstáculos y de

discusiones académicas respecto a su naturaleza. Evidentemente, nuestros niños no son

ajenos a estos obstáculos y dificultades y por ello, como se comentó inicialmente, les es

muy difícil comprender y dar significado al concepto de fracción.

Según los estándares básicos de competencias en matemáticas, al terminar el grado

quinto, cualquier estudiante de nuestro país debería “interpretar las fracciones en diferentes

contextos (situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razones y

proporciones)”; sin embargo, serias investigaciones, como la de Obando (2003), han

detectado que la manera actual como se orientan los procesos de enseñanza-aprendizaje

en las aulas referente a las fracciones “es fuente de conceptualizaciones erróneas por parte

de los estudiantes”. Analizando estos planteamientos y la situación descrita inicialmente

surgió el siguiente interrogante: ¿Qué tipo de estrategia didáctica puede aportar a la comprensión e interpretación del concepto de fracción por parte de los estudiantes de quinto grado de la Institución Educativa San Isidro Labrador? Para responder esta

pregunta se construyó una estrategia didáctica que partió del análisis de las dificultades

evidenciadas en una prueba diagnóstica realizada a los niños y niñas de quinto grado de

la institución mencionada respecto al concepto de fracción y sus diferentes significados.

La interpretación inicial y básica de la fracción como Parte-Todo es caracterizada por

Obando (2003) de la siguiente manera: “la fracción como Parte-Todo puede ser definida

como una nueva cantidad que expresa la relación cuantitativa entre cierta cantidad de

magnitud tomada como unidad (todo) y otra cantidad de magnitud tomada como parte…”.

De acuerdo con exploraciones previas (Pruzzo, 2012; Pujadas y Eguiluz, 2000; Llinares

y Sánchez, 1997) se ha evidenciado que los estudiantes no manejan esta interpretación,

por lo cual nuestra propuesta se centró en ella. Se analizó el origen y desarrollo del

Introducción 19

concepto de fracción, con el objetivo de identificar algunas dificultades que presentó el

hombre en cada momento histórico dado para la comprensión de su(s) significado(s) y

por ende discernir de una mejor forma las dificultades que presentan nuestros niños, en

nuestras aulas de clases, al momento de apropiarse de este importante concepto para su

diario vivir. A parte de involucrar estos elementos históricos esta estrategia se apoyó en

la utilización de materiales didácticos de fácil elaboración y consecución que permiten

una aproximación a la interpretación del concepto de fracción mencionada.

Siguiendo la recomendación de Obando (2003) el cual afirma que “se debe hacer de la

escuela un gran laboratorio de investigación” que promueva la reflexión constante de las

prácticas docentes, la estrategia didáctica propuesta en este trabajo fue validada con

estudiantes de grado quinto (con un rango de edad entre los 9 y 11 años) de la institución

educativa mencionada inicialmente.

El siguiente trabajo de grado se ha organizado de la siguiente manera: primero, se

presenta un marco referencial y teórico que describe algunos aspectos históricos,

disciplinares y didácticos del concepto de fracción; segundo, se puntualiza sobre la

metodología empleada en el desarrollo de este trabajo; en tercer lugar, se expone la

estrategia didáctica propuesta y los resultados de su aplicación basados en un

diagnóstico previo. En el cuarto capítulo se ofrecen algunas conclusiones y

recomendaciones que se desprenden del estudio realizado; por último, se presentan la

respectiva bibliografía y los anexos del trabajo desarrollado.

20 Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación Parte-Todo en grado quinto, teniendo en cuenta su origen histórico.

1. Marco referencial y teórico

1.1. Marco histórico-epistemológico El concepto de fracción y sus distintos significados se han ido fraguando a través del curso

de la historia, remontándose a los orígenes de la civilización humana. Podremos notar

como el desarrollo de los actuales conceptos matemáticos, como el de fracción, han

tomado muchos siglos de contextualizaciones y debates para construir las bases de la

matemática tal y como la conocemos en nuestros días.

Por lo anterior, haremos una descripción histórica del concepto de fracción y su desarrollo

en orden cronológico, desde las antiguas civilizaciones hasta nuestros días.

1.1.1. Contar y medir

Diversos estudios afirman que la escritura numérica apareció antes que la escritura de

palabras concretas; es conocido, también, que los números naturales aparecen justo

cuando surge la necesidad humana de contar personas, animales o cosas de su entorno.

De esta manera, se puede deducir que el hombre pudo, de manera inicial, representar

conjuntos de 5 o 10 elementos usando los dedos de sus manos y hasta de 15 o 20 usando

los dedos de sus pies; sin embargo, este método resultó precario pues restringía el proceso

de conteo a una limitada cantidad de objetos. Fue así como el hombre ideó un primitivo

sistema donde pudiera ‘guardar’ mayor cantidad de información sobre cuántos elementos

contaba; para ello usaron huesos o pedazos de madera en los que tallaban diversas

marcas que les representaban determinada cantidad1. De esta manera, la invención de la

1 “La referencia más antigua que se tiene de un sistema que permita guardar información sobre ‘cuántos hay’ se encuentra en el hueso de Ishango, descubierto por el belga Jean

1. Marco referencial y teórico 21

escritura numérica ayudó al hombre a perpetuar el concepto abstracto de número a través

del uso de un conjunto de signos o reglas que fueron diferentes en cada cultura (como

veremos más adelante).

Teniendo en cuenta lo anterior, se hace evidente la diferencia entre lo que es un número y

lo que es un numeral2. De la misma manera, hay que ser claro al determinar el origen de

los números (naturales) y el posterior origen de las fracciones. El vocablo ‘fracción’ tiene

su origen etimológico en la locución latina fractio, que traduce división, fractura o rotura.

Juan de Luna (1575 - 1645) fue el primero en usarla, cuando al compilar algunos históricos

escritos de Al’Khwarizmi tradujo del árabe el término al-Kasr que significa quebrar o

romper3.

Sin embargo, la noción de fracción surge mucho antes de este momento: “Así como el

hombre empezó a contar a partir de los números naturales, empezó a medir con los

números racionales cuya idea fundamental, históricamente hablando, son las fracciones”4.

Se cree que los hombres de la edad de piedra nunca representaron las fracciones puesto

que no tenían necesidad de ellas; sin embargo, con el pasar del tiempo algunas

comunidades fueron adquiriendo un alto nivel de desarrollo cultural y científico (a veces

mezclado con algunas prácticas mágicas), surgiendo así, la necesidad de usar fracciones.

Esto ocurre hacia la Edad del Bronce, época en la que las culturas egipcia y babilónica5

dominaron gran parte del conocimiento humano de la época.

1.1.2. Las culturas egipcia y babilónica

Se calcula que aproximadamente hacia el año 3000 a.C. los egipcios empezaron a usar

un sencillo sistema pictográfico (jeroglífico) para la escritura de los números, pero muy

complicado para operarlos entre sí. En este sistema numérico de base diez, no posicional,

de Heinzelin de Braucourt, en 1960, mientras hacía una exploración en Ishango, África”. Sánchez, Clara. El origen de los números y de los sistemas de numeración. 2 “Llamamos número a una entidad abstracta y numeral a su representación en algún sistema”. Sánchez, Clara. El origen de los números y de los sistemas de numeración. 3 Corbalán, Fernando. (2007). Matemáticas de la vida misma. Las palabras y los símbolos, su origen y su significado. 4 (Flores y Morcote, 2001). 5 Heredera de la cultura sumeria.


se encontraron evidencias del uso de fracciones unitarias, aquellas cuyo numerador es 1

y su denominador es un número entero positivo.

Uno de los textos matemáticos más antiguos es el Papiro Rhind, compuesto por Ahmés

hacia el año 1650 a.C. Ahmés fue un escriba que se apoyó de algunos escritos antiguos

que datan de la Dinastía XII de Egipto. Este documento fue considerado como un manual

práctico de matemáticas egipcias, el cual presenta en su contenido algunos problemas de

la vida cotidiana en los que se trabajan fracciones, ecuaciones, progresiones, cálculo de

áreas y volúmenes de algunas figuras geométricas, pero con algunos errores en sus

planteamientos y soluciones.

Los egipcios representaban una fracción como suma de fracciones unitarias, sin repetición,

puesto que afirmaban que cada fracción era ‘única’, por lo tanto, no era permitido iterar

sumandos; por ejemplo, para representar la fracción 2 3� lo hacían de la siguiente manera

traducido a nuestro actual sistema de numeración:

Figura 1-1: suma de fracciones unitarias.

2

3 � = 13� + 1

6 � + 19 � + 1

18 �

Muchos años después, un reconocido matemático italiano llamado Leonardo de Pisa, más

conocido como Fibonacci (s. XIII), se ocupó exhaustivamente de este problema sobre la

descomposición de un racional como suma de fracciones unitarias; años después, hacia

1880, este mismo problema fue redescubierto e investigado con mayor profundidad por el

matemático inglés J.J. Sylvester (1814 - 1897).

Los egipcios, en su escritura de fracciones, colocaban encima del número que servía como

denominador un símbolo de forma ovalada que se pronunciaba como ro:

Figura 1-2: uso de ‘ro’ en numerales egipcios.


1 + 24/601 + 51/602 + 10/603

Algunas fracciones específicas, como 1 2� , 1 4� o 1 8� contaban con una escritura especial:

Figura 1-3: fracciones egipcias con escritura especial.

Por otro lado, la cultura babilónica empleaba un sistema de numeración posicional de

base 60 el cual contaba con una representación para el cero; éste lo indicaban con una

posición vacía mediante un símbolo de dos cuñas inclinadas que se prestaba para

confusiones puesto que se usaba solo en cifras intermedias. No tenemos información

precisa sobre las razones por las que el pueblo babilonio prefirió usar un sistema

sexagesimal de numeración, pero podemos suponer que el número 60 era un número

‘comparativamente pequeño’ que tenía muchos divisores6; de hecho, 60 es el número más

pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Lo que no podemos dudar es que, gracias a

la gran ventaja que ofrecía esta notación posicional, los babilonios lograron calcular

aproximaciones extraordinariamente cercanas a las ofrecidas por nuestras actuales

calculadoras. Por ejemplo, la tablilla de barro babilónica ‘YBC 7289’ muestra claramente

el trazo de la diagonal de un cuadrado y su valor (√2):

Figura 1-4: tablilla de barro babilónica YBC 7289.

Fuente: Wikipedia

La secuencia 1 24 51 10 mostrada en la figura sobre la diagonal marcada representa la

siguiente suma de fracciones sexagesimales:

6 12 divisores en total: 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 y 1.


De manera sorprendente el resultado de esta diagonal es 1,414212963 que al compararlo

con √2 ≈ 1.414213562, nos arroja un insignificante error valorado en 0,000000599.

Otras tablillas que datan del año 2.400 a. C. registran el uso de fracciones concretas como 1

2� y 1 3� que, se suponen, fueron escritas en la Dinastía III de Ur.

1.1.3. La cultura griega

No hay que desconocer que las culturas egipcia y babilónica hicieron un gran aporte al

conocimiento matemático de la época; sin embargo, gracias a los viajes de Tales de Mileto

(624 a. C. - 546 a. C.) y del mismo Pitágoras (ca. 569 a. C. – ca. 475 a. C.) la matemática

griega evolucionó hacia una matemática más teórica y más compleja amparada en una

disciplina concreta: la geometría.

La escuela pitagórica manejaba el ideal de que “todo es número” (de manera específica,

un número natural). Para Jiménez (2006), la visión pitagórica del número como la sustancia

constitutiva del universo condujo a otra creencia muy importante: la absoluta

conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia de una medida común para

dos segmentos distintos cualesquiera. Inicialmente, la escuela pitagórica estaba

completamente segura de que este procedimiento aplicaba a cualquier par de segmentos

lo que permitió establecer con ellos proporciones expresables como razones de números

naturales. Sin embargo, el descubrimiento del teorema de Pitágoras reveló una importante

proporción que influyó radicalmente en la evolución histórica de la geometría griega: el

cuadrado construido sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es

a 1. Esta proporción tocó las bases de la filosofía griega acerca del número como ‘esencia

del universo’ puesto que este procedimiento resultó imperfecto, ya que solo era aplicable

a cantidades conmensurables.

Como afirma González (2008), el descubrimiento de esta proporción especial eliminó de

la geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud y fue lo que imprimió a la

matemática griega una orientación geométrico-deductiva plasmada en la compilación

enciclopédica de los Elementos de Euclides. A estos “nuevos” números Euclides, en su


Libro X de los Elementos, los llamó inconmensurables7. El descubrimiento de la

inconmensurabilidad es uno de los más asombrosos y trascendentales logros de la

primitiva matemática griega [...]. El hallazgo debió provocar una enorme impresión en los

círculos pitagóricos porque de golpe destruía la creencia de que todo podía ser expresado

en términos de números enteros, lo que constituía la base de toda la Filosofía pitagórica.

Esta impresión es claramente reflejada en algunas leyendas que aseguran que Hipasos

fue castigado por los dioses por haber hecho público el terrible descubrimiento8.

Por su parte, Euclides en sus libros V, VII y VIII de los Elementos hace alusión al concepto

de fracción y sus propiedades, pero asociando siempre este concepto a la ‘razón’ entre

dos números que representaba la relación existente entre el tamaño de dos magnitudes

del mismo tipo. Según González (2003) es Eudoxo de Cnido (ca. 390 a. C. – ca.337 a. C.),

de la Escuela platónica, quien emprende la magnífica tarea de colmar el abismo lógico y

proporcionar una base firme a la matemática griega al introducir de forma brillante una

teoría satisfactoria de la proporción que, al tratarse de forma geométrica, tiene la inmensa

ventaja de ser aplicable indistintamente a magnitudes conmensurables e

inconmensurables. Esta dádiva de Eudoxo conocida como la ‘teoría de las proporciones’,

traducida al lenguaje de las fracciones, nos lleva a lo que entendemos por fracciones

equivalentes9. En este punto, jugaron un papel importante las definiciones V.4 (Axioma de

continuidad) y V.5 (Igualdad de razones):

La definición V.4 en el fondo es un enunciado algo impreciso del llamado Axioma de

Eudoxo-Arquímedes o Axioma de continuidad que viene a decir que «dadas dos

magnitudes siempre se puede superar a la mayor considerando a la menor un número

determinado de veces», lo que supone en el fondo la existencia de magnitudes «tan

grandes como se quiera» o «tan pequeñas como se quiera» que excluye las

cantidades infinitamente pequeñas (llamadas después infinitésimos), es decir, no cabe

razón entre dos magnitudes, si una de ellas es tan pequeña, que no hay ningún

múltiplo entero de ella que exceda a la otra. También excluye las magnitudes

7 Esta situación hace referencia al surgimiento de los números Irracionales. Sin embargo, este tipo de números no son objeto de estudio en este trabajo. 8 K. Von Fritz (1945). The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum. Annals of Mathematics 9 Dos fracciones

𝑎𝑎𝑏𝑏 y

𝑐𝑐𝑑𝑑 son equivalentes, y se escribe

𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑐𝑐𝑑𝑑

, si al multiplicar sus términos en cruz se obtiene el mismo resultado; es decir, 𝑎𝑎 ∙ 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐.

https://es.wikipedia.org/wiki/390_a._C.

https://es.wikipedia.org/wiki/337_a._C.


infinitamente grandes, que no serían superadas por ningún múltiplo entero de la

cantidad menor. Así pues, la definición V.4 permite conjurar la presencia del infinito,

desterrado de la matemática griega cuando aparecen los inconmensurables. La

definición V.4 es una advertencia que exige que siempre que se hable de igualdad o

desigualdad de razones (según la definición V.5) el par de magnitudes que se

comparan debe cumplir a fortiori la condición de V.4 (González, 2003).

Figura 1-5: las definiciones V.4 y V.5 del libro V de los Elementos de Euclides.

Fuente: E. Ratdolt (Venecia, 1482). (En esta edición las definiciones 4 y 5 ocupan los lugares 5 y 6, respectivamente).

Sin embargo, los griegos no fueron tan avanzados en el campo de los sistemas de

numeración y de las operaciones numéricas (nunca desarrollaron un sistema posicional).

Como ya lo habíamos dicho, el estudio de la geometría abarcó el interés de la gran

mayoría; de hecho, los griegos hacían sus cálculos de manera geométrica. La cultura


griega empleó el uso de letras del alfabeto como numerales, asignando un símbolo

diferente para cada potencia de 10 (nótese su similitud con el sistema egipcio). Esta

tortuosa situación los llevó a la excesiva utilización de símbolos para representar los

números.

A pesar de esto, los griegos también utilizaron fracciones. Al igual que los egipcios, los

griegos comenzaron usando fracciones unitarias y posteriormente usaron fracciones de

otro tipo. Para la escritura de estas fracciones usaban un signo diacrítico en la parte

superior derecha (comilla) que distinguía al numerador de la fracción. Por ejemplo, para la

escritura del número mixto 125 78� , procedían de la siguiente manera:

Figura 1-6: escritura del número 125 78� (sistema de numeración griego)10.

Fuente: diseño propio.

1.1.4. El legado hindú-árabe

Se conoce que en el siglo VI los hindúes notaban a las fracciones con numerador encima

del denominador, pero sin raya de fracción y dieron continuidad a la descomposición de

unidades fraccionarias. Posteriormente son los árabes quienes introducen las líneas

vertical y horizontal para notar fracciones (Flores y Morcote, 2001):

Según Cajori (1993), el árabe Al’Hassar (siglo XII) usa por primera vez la línea

horizontal en los fraccionarios separando numerador y denominador. Leonardo de

Pisa (siglo XIII), en su Libber Abacci, también muestra el uso de una línea fraccional,

pero con una notación inversa a la que se emplea actualmente: la razón, la dirección

de la escritura árabe procede de derecha a izquierda. Fue el mismo Leonardo de Pisa

quien introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, descubriendo además que una división indicada y una fracción tenían una relación cercana.

10 Magaña (2006). Origen de los números. Universidad Santo Tomás, Santiago de Cali.


Por otro lado, el uso de la línea fraccionaria fue de uso general en Europa sólo hasta el

siglo XVI, aunque incluso existen casos de omisión de la línea hasta el siglo XVII. Esta

omisión está bien justificada porque el símbolo necesita tres niveles tipográficos. Un

esfuerzo por evitar este inconveniente fue el uso de una “barra”, como en 𝒂𝒂/𝒃𝒃, donde las

tres partes fraccionarias están en la línea normal de la tipografía. Por lo anterior se nota

que la escritura estuvo consolidada solo hasta el siglo XVII, aunque su uso se remonta por

primera vez al siglo XII11.

1.1.5. Los chinos y las fracciones decimales

Los chinos conocían muy bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto

de hallar el mínimo común denominador de varias fracciones (ver Anexo A). Como era su

costumbre asignaban un rol femenino y otro masculino a los elementos que componen la

fracción. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. El

énfasis generalizado en toda la cultura china sobre los principios del ying y el yang hacía

fácil seguir las reglas para manipular fracciones. Más importante que estas curiosidades

era, no obstante, la tendencia a la decimalización de las fracciones en China. La adopción

de un sistema decimal en pesos y medidas dio como resultado que se impusiera el ámbito decimal en el manejo de las fracciones12. Sin embargo, las fracciones decimales no

fueron admitidas de inmediato a pesar de que el sistema árabe-hindú ofrecía ventajas

incuestionables para su utilización en las fracciones. Pasaron más de 1000 años hasta

incorporar las fracciones decimales para sustituir a las fracciones unitarias o a las

fracciones sexagesimales (Gairín, 1998).

En la historia de la matemática, el neerlandés Simon Stevin (1548 - 1620) es conocido por

ser uno de los primeros expositores de la teoría de las fracciones decimales. Para el año

1585 publicó un libro al que tituló De Thiende (El decimal), en el que se introduce el uso

sistemático de las fracciones decimales y se propone el sistema métrico decimal para la

unificación de pesos y medidas; de esta manera, se le atribuye a Stevin la invención de la

11 Ruiz, C. (2013). La fracción como relación parte-todo y como cociente. Universidad Nacional de Colombia. 12 Cano, F. (2014). Unidad didáctica para la enseñanza de los fraccionarios en el grado cuarto de básica primaria. Universidad Nacional de Colombia. Sede Manizales.


Exponente de la potencia de 10 que lleva el correspondiente divisor.

Numeradores de cada fracción.

Parte entera del resultado.

Parte decimal del resultado. (en el orden indicado)

Suma de fracciones decimales.

Punto agregado para mejor visualización del resultado (Napier, 1619)

notación decimal, aunque no tan exitosa por su complejidad13. El engorroso método de

Stevin consistía en hacer cálculos con fracciones decimales sin usar los denominadores,

como lo muestra la siguiente figura:

Figura 1-7: método de Stevin para cálculos con fracciones decimales.

3100

+ 25

10.000 +

74810

2 3 4 1

𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝟕𝟕 𝟒𝟒 𝟖𝟖

1 2 3 4

𝟕𝟕 𝟒𝟒 . 𝟖𝟖 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝟓𝟓

Fuente: diseño propio. (http://salonhogar.net/matem/decimales/decimales2.html)

1.1.6. Las fracciones actuales y los racionales

Sin lugar a dudas, puede afirmarse que muy pocos aspectos o ramas de las matemáticas

pueden asignarse al trabajo de un único individuo. La ‘Geometría Analítica’ de René

Descartes (1596 – 1650) no fue la excepción a esto, es decir, no fue un producto exclusivo

de sus investigaciones sino más bien la síntesis de varias tendencias matemáticas

convergentes en los siglos XVI y XVII. Entre los autores que contribuyeron a las tendencias

13 Sin ser realmente el inventor de la teoría de las fracciones decimales, ni el primero en utilizarla. Más adelante, hacia los años 1600, John Napier (1550 - 1617) ofreció una notación decimal más compacta y clara que incluye el uso de un punto decimal, punto que se mantuvo en Inglaterra, pero que en otros muchos países se sustituyó por una coma.

http://salonhogar.net/matem/decimales/decimales2.html


citadas pueden contarse Apolonio (3 a. C. – ca. 97), Oresme (1323 – 1382), Vieta (1540 –

1603) y muchos otros matemáticos (Hernández, 2002).

El álgebra geométrica, denominación acuñada por el historiador matemático H.G. Zeuthen

hacia 1886, viene a ser una geometrización de los métodos algebraicos practicados por

los babilónicos, una especie de geometría algebraica en la que los números son sustituidos

por segmentos de recta y las operaciones entre ellos se llevan a cabo mediante

construcciones geométricas, respetando escrupulosamente la homogeneidad de los

términos (González, 2003). Siguiendo esta metodología, Descartes inicia su obra La

Geometría14 con una auténtica declaración de principios:

«Todos los problemas de Geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales,

que no es necesario conocer de antemano más que la longitud de algunas líneas

rectas para construirlos.» (G.AT,VI, 369).

Teniendo claro este principio, el siguiente paso de Descartes consistió en advertir que las

operaciones aritméticas elementales entre segmentos producen siempre un nuevo

segmento:

«Y así como la aritmética no comprende más que cuatro o cinco operaciones, que

son la adición, la sustracción, la multiplicación, la división y la extracción de raíces,

que pueden tomarse como una especie de división, así también no hay otra cosa que

hacer en geometría, respecto a las líneas que se buscan, para prepararlas a ser

conocidas, que agregarles o quitarles otras, o bien, teniendo una, que llamaré la

unidad para relacionarla lo más posible con los números, y que ordinariamente puede

ser tomada a discreción, y teniendo luego otras dos, encontrar una cuarta que sea a

una de esas dos, como la otra es a la unidad, que es lo mismo que la multiplicación;

o bien encontrar una cuarta que sea a una de esas dos como la unidad es a la otra,

lo que es lo mismo que la división; o, en fin, encontrar una, dos, o varias medias

proporcionales entre la unidad y alguna otra línea, lo que es lo mismo que extraer la

raíz cuadrada, o cúbica, etc. Y yo no temeré introducir estos términos de aritmética

en la geometría, a fin de hacerme más inteligible.» (G.AT,VI, 369-371).

14 La Geometría (1637) está formada por tres libros apéndices al Discurso del Método. La edición original tiene 120 páginas y 30 figuras; Descartes repite algunas de estas figuras en el desarrollo de la obra cuando vuelve a referirse a una de ellas.


Por esta razón, Descartes expone en los primeros capítulos de su obra los procedimientos

conocidos para la construcción geométrica de operaciones básicas como la multiplicación,

la división y la extracción de raíces cuadradas, con la intención de introducir el concepto

de ‘segmento unidad’.

Analicemos ahora la construcción que realiza Descartes del cociente de dos segmentos

llamados por él, 𝑩𝑩𝑩𝑩 y 𝑩𝑩𝑩𝑩:

La división

O bien, si deben dividirse 𝑩𝑩𝑩𝑩 por 𝑩𝑩𝑩𝑩, habiendo unido los puntos 𝑩𝑩 y 𝑩𝑩, se traza 𝑨𝑨𝑨𝑨

paralela a 𝑩𝑩𝑩𝑩 y 𝑩𝑩𝑨𝑨 es el resultado de esa división.

Figura 1-8: división entre dos segmentos.

Aplicando el Teorema de Tales a la semejanza de triángulos (Euclides, VI.4) podemos

analizar como la semejanza de los triángulos ∆𝑩𝑩𝑨𝑨𝑨𝑨 y ∆𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 determinan claramente la

proporción 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑩𝑩⁄ = 𝑩𝑩𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑨𝑨⁄ . Después de realizar las construcciones geométricas de

las operaciones aritméticas elementales, Descartes aclara cómo pueden emplearse las

letras en geometría: “a menudo no hay necesidad de trazar esas líneas sobre el papel y

basta con designarlas por ciertas letras, una sola para cada línea…”15. De esta manera,

para dividir la línea 𝑩𝑩𝑩𝑩 por la 𝑩𝑩𝑩𝑩, se designa a la una 𝒂𝒂 y a la otra 𝒃𝒃 y se escribe 𝒂𝒂𝒃𝒃 para

15 Descartes. La Geometría. Transcripción parcial de Pedro Rossell (1947).


dividir 𝒂𝒂 por 𝒃𝒃. Esta es la mayor evidencia de que Descartes trabajó en su Geometría

fracciones como un cociente. Para este caso en particular, el cociente de dos números

sería la razón de los segmentos que los representan (según los principios del libro V de

los Elementos de Euclides).

Concluyendo, el origen de los números racionales se fundamentó en la razón existente

entre números naturales que se debían asignar a magnitudes conmensurables. Un número

racional es, por tanto, un número real que se puede expresar como la razón de dos

números enteros. Todos los números racionales son números reales, indicado

matemáticamente como ℚ ⊂ ℝ (McAdams, 2007). Véase la siguiente figura, en la que el

símbolo ℚ, hace referencia a Quotient (cociente) en varios idiomas europeos:

Figura 1-9: diagrama de Venn: los números racionales.

Fuente: Pinterest – Arancha Revuelta El primero en trabajar sobre la definición de número racional y el estudio de sus

propiedades fue Martin Ohm (1792 – 1872) en 1822, siendo continuados hacia 1860,

cuando Karl Weierstrass (1815 – 1897) definió los racionales como parejas de naturales y

los negativos como otro tipo de parejas de naturales. Pero Weierstrass no consideró

necesario aclarar la naturaleza de los naturales; fueron esencialmente Peano (1858 –

1932), Frege (1848 - 1925) y Russell (1872 – 1970) quienes se dieron a la tarea de aclarar

este concepto. En otras palabras, la idea de Weierstrass era:

«…obtener un “modelo” de los números racionales positivos y de los enteros

negativos considerando clases de pares de números naturales o enteros positivos.

https://es.wikipedia.org/wiki/1848

https://es.wikipedia.org/wiki/1925


Pero faltaba realizar, sin duda, la tarea más importante: la de obtener un modelo de

los números irracionales o inconmensurables dentro de la teoría de los números

racionales; hacia el año 1870, la solución de este problema era realmente urgente a

la vista de la perentoriedad de prescindir del uso de cualquier intuición geométrica

vaga de “magnitud” para definir el cuerpo o campo de los números reales. Como

sabemos, este problema fue resuelto en esta época, y casi simultáneamente, por

Cantor, Dedekind, Méray y el propio Weierstrass, siguiendo, por cierto, métodos

bastantes diferentes.» (Franquet, 2003).

En la actualidad, la herencia cultural y científica de otras culturas ha culminado con una

práctica que permite simbolizar las fracciones de formas diferentes. Las notaciones más

populares y usadas son 𝒂𝒂/𝒃𝒃 (introducida por De Morgan en 1845) o la común 𝒂𝒂𝒃𝒃; sin embargo, también se utiliza el signo de porcentaje (%), o los dos puntos (:) para las

escalas de mapas o planos.16

En la siguiente sección de este trabajo, se analiza de manera formal la construcción de los

números racionales y sus operaciones.

1.2. Marco disciplinar Originariamente un número fraccionario representa la cantidad que corresponde a la parte de un todo por lo que actualmente se define así:

En una fracción el denominador 𝒃𝒃 indica la cantidad de partes iguales en las que se divide

la unidad y el numerador 𝒂𝒂 indica la cantidad de esas partes iguales de la unidad que

contiene dicha fracción. Thomas Kieren (1980; 1993) afirma que la expresión simbólica

𝒂𝒂/𝒃𝒃 puede modelar cuatro significados o ideas matemáticas: medida, cociente, operador

multiplicativo y razón; sin embargo, éste agrega un quinto significado, la relación Parte- 16 (López, 2012)


Todo, que se puede encontrar presente en los otros cuatro significados al identificar en

cada contexto la unidad y sus partes correspondientes (De León y Fuenlabrada, 1996).

Así, se deduce que este quinto objeto conceptual intuitivo es la base para la construcción

de los otros cuatro citados anteriormente. Kieren considera la relación Parte-Todo como

un ‘todo’ (continuo o discreto) subdividido en partes iguales y señala como fundamental la

relación que existe entre el todo y un número designado de partes. (Perera y Valdemoros,

2009).

1.2.1. Construcción formal de los números racionales

Como se dijo anteriormente, el concepto básico de número racional está representado

como una razón entre dos números enteros, donde razón significa división. Aquí

definiremos razón y división a partir de las propiedades demostradas de los números

enteros.17

Sea la relación ℤ X ℤ* = {(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) | 𝑎𝑎 ∈ ℤ y 𝑏𝑏 ∈ ℤ*} ; (ℤ* = ℤ - {0})

Definición 1. Sean 𝑎𝑎 ∈ ℤ y 𝑏𝑏 ∈ ℤ*. 𝐴𝐴 es una relación ~ definida por (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑐𝑐, 𝑑𝑑)

cuando 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑐𝑐.

Teorema 1. Sea 𝐴𝐴 la relación definida anteriormente, entonces 𝐴𝐴 es de equivalencia.

Demostración.

(1) Reflexiva: Sea 𝑎𝑎 ∈ ℤ y 𝑏𝑏 ∈ ℤ*,

𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 (Propiedad reflexiva de la multiplicación en ℤ) (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) (Por definición de la relación)

(2) Simétrica: Sean 𝑎𝑎, 𝑐𝑐 ∈ ℤ y 𝑏𝑏, 𝑑𝑑 ∈ ℤ* y (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑐𝑐, 𝑑𝑑), entonces:

𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑐𝑐 (Por hipótesis) 𝑐𝑐𝑏𝑏 = 𝑑𝑑𝑎𝑎 (Por propiedad conmutativa) (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) ~ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) (Por definición)

17 Basados en el trabajo de Machado, G. (2014). A construção dos números. Universidade Federal de São Carlos.


(3) Transitiva: Sean 𝑎𝑎, 𝑐𝑐, 𝑒𝑒 ∈ ℤ y 𝑏𝑏, 𝑑𝑑, 𝑓𝑓 ∈ ℤ* y (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) 𝑦𝑦 (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) ~ (𝑒𝑒, 𝑓𝑓)

𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑓𝑓 = 𝑑𝑑𝑒𝑒 ⇒ 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑓𝑓 = 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑒𝑒

De esta forma, 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑒𝑒.

Como 𝑑𝑑 ≠ 0, entonces 𝑎𝑎𝑓𝑓 = 𝑏𝑏𝑒𝑒. Esto significa que (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑒𝑒, 𝑓𝑓). Consideremos por un momento nuestras nociones intuitivas de números racionales. Tenemos que:

𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑐𝑐 ⇔ 𝑎𝑎𝑏𝑏 =

𝑐𝑐𝑑𝑑

O sea, si las divisiones de 𝑎𝑎 por 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 por 𝑑𝑑 coinciden, podemos decir que (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑐𝑐, 𝑑𝑑).

Definición 2. Dada (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ∈ ℤ X ℤ*, denotemos 𝑎𝑎𝑏𝑏

(𝑎𝑎 sobre 𝑏𝑏) a la clase de equivalencia

de la pareja (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) por la relación de equivalencia ~ definida anteriormente. Así:

𝑎𝑎𝑏𝑏 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℤ X ℤ∗ | (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ~ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏)}

Teorema 2 (Propiedad fundamental de las fracciones).

Si (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) y (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) son elementos ℤ X ℤ*, entonces, 𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑐𝑐𝑑𝑑 si y solo si 𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑐𝑐.

Demostración. Por una propiedad ya vista entre las equivalencias estudiadas desde el

punto de vista de los números enteros, tenemos:

𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑐𝑐𝑑𝑑

(Por hipótesis)

(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ~ (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) (Por la propiedad mencionada)

𝑎𝑎𝑑𝑑 = 𝑏𝑏𝑐𝑐 (Por definición de la relación)


Definición 3. Denotamos por ℚ y denominamos por conjunto de números racionales de

ℤ X ℤ* a la relación de equivalencia ~:

ℚ = (ℤ X ℤ∗)/~ = �𝑎𝑎𝑏𝑏 | 𝑎𝑎 ∈ ℤ y 𝑏𝑏 ∈ ℤ∗ �

1.2.2. Operaciones en ℚ

Definición 4. Sean 𝑎𝑎𝑏𝑏

, 𝑐𝑐𝑑𝑑

∈ ℚ. Definimos operaciones llamadas suma y multiplicación,

respectivamente por:

𝑎𝑎𝑏𝑏 +

𝑐𝑐𝑑𝑑 =

𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑦𝑦

𝑎𝑎𝑏𝑏 ∙

𝑐𝑐𝑑𝑑 =

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑

Denotaremos 𝑎𝑎𝑏𝑏

∙ 𝑐𝑐𝑑𝑑

por 𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑐𝑐𝑑𝑑

Teorema 3. Las operaciones en ℚ están bien definidas, esto es, sea 𝑎𝑎𝑏𝑏

= 𝑎𝑎′

𝑏𝑏′ y 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑐𝑐′

𝑑𝑑′,

entonces, 𝑎𝑎𝑏𝑏

+ 𝑐𝑐𝑑𝑑

= 𝑎𝑎′

𝑏𝑏′ + 𝑐𝑐′

𝑑𝑑′ y 𝑎𝑎𝑏𝑏


= 𝑎𝑎′

𝑏𝑏′ ∙ 𝑐𝑐′

𝑑𝑑′ .

Demostración.

𝑎𝑎𝑏𝑏′ = 𝑏𝑏𝑎𝑎′ 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑑𝑑′ = 𝑑𝑑𝑐𝑐′ (Por hipótesis)

Tenemos,

𝑎𝑎𝑏𝑏 +

𝑐𝑐𝑑𝑑 =

𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑦𝑦

𝑎𝑎′𝑏𝑏′ +

𝑐𝑐′𝑑𝑑′ =

𝑎𝑎′𝑑𝑑′ + 𝑏𝑏′𝑐𝑐′𝑏𝑏′𝑑𝑑′

Queremos probar que las dos sumas son iguales, o sea que:

𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 =

𝑎𝑎′𝑑𝑑′ + 𝑏𝑏′𝑐𝑐′𝑏𝑏′𝑑𝑑′


(𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐)𝑏𝑏′𝑑𝑑′ = (𝑎𝑎′𝑑𝑑′ + 𝑏𝑏′𝑐𝑐′)𝑏𝑏𝑑𝑑

𝑎𝑎𝑑𝑑𝑏𝑏′𝑑𝑑′ + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑏𝑏′𝑑𝑑′ = 𝑎𝑎′𝑑𝑑′𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑏𝑏′𝑐𝑐′𝑏𝑏𝑑𝑑

(𝑎𝑎𝑏𝑏′)(𝑑𝑑𝑑𝑑′) + (𝑐𝑐𝑑𝑑′)(𝑏𝑏𝑏𝑏′) = (𝑎𝑎′𝑏𝑏)(𝑑𝑑𝑑𝑑′) + (𝑐𝑐′𝑑𝑑)(𝑏𝑏𝑏𝑏′)

(𝑎𝑎𝑏𝑏′)(𝑑𝑑𝑑𝑑′) + (𝑐𝑐𝑑𝑑′)(𝑏𝑏𝑏𝑏′) = (𝑎𝑎′𝑏𝑏)(𝑑𝑑𝑑𝑑′) + (𝑐𝑐′𝑑𝑑)(𝑏𝑏𝑏𝑏′)

(𝑎𝑎′𝑏𝑏)(𝑑𝑑𝑑𝑑′) + (𝑐𝑐′𝑑𝑑)(𝑏𝑏𝑏𝑏′) = (𝑎𝑎′𝑏𝑏)(𝑑𝑑𝑑𝑑′) + (𝑐𝑐′𝑑𝑑)(𝑏𝑏𝑏𝑏′)

Que era lo que queríamos demostrar.

Tenemos también:

𝑎𝑎𝑏𝑏 ∙

𝑐𝑐𝑑𝑑 =

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑦𝑦

𝑎𝑎′𝑏𝑏′ ∙

𝑐𝑐′𝑑𝑑′ =

𝑎𝑎′𝑐𝑐′𝑏𝑏′𝑑𝑑′

De la misma forma queremos probar que:

𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 =

𝑎𝑎′𝑐𝑐′𝑏𝑏′𝑑𝑑′

Esto es, 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏′𝑑𝑑′ = 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑎𝑎′𝑐𝑐′ o (𝑎𝑎𝑏𝑏′)(𝑐𝑐𝑑𝑑′) = (𝑑𝑑𝑐𝑐′)(𝑎𝑎′𝑏𝑏) que es verdadero (por la hipótesis

anterior).

Teorema 4. El conjunto ℚ, dadas las operaciones anteriores, suma y multiplicación,

tenemos las propiedades algebraicas de ℤ donde el elemento neutro aditivo es 01 y el

neutro multiplicativo es 11 . Además, dado un racional

𝑎𝑎𝑏𝑏

≠ 01, existe

𝑐𝑐𝑑𝑑

∈ ℚ tal que

𝑎𝑎𝑏𝑏


= 11 , esto es, todo elemento no nulo de ℚ posee un inverso multiplicativo.

Demostración.

Sean 𝑟𝑟, 𝑠𝑠, 𝑡𝑡 ∈ ℚ con 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

, 𝑠𝑠 = 𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒𝑓𝑓

.


(Por hipótesis)

(Definición de suma)

(Propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación)


(Por hipótesis)

(Por hipótesis)



(Por propiedad asociativa en ℤ)



(Por hipótesis)

(1) Conmutativa de la suma:

𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 =𝑎𝑎𝑏𝑏 +

𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 =𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐

𝑏𝑏𝑑𝑑

𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 =𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑏𝑏

𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 =𝑐𝑐𝑑𝑑 +

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑟𝑟 + 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 + 𝑟𝑟

(2) Asociativa de la suma:

(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 = �𝑎𝑎𝑏𝑏 +

𝑐𝑐𝑑𝑑� +

𝑒𝑒𝑓𝑓

(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 = �𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐

𝑏𝑏𝑑𝑑 � +𝑒𝑒𝑓𝑓

(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 =(𝑎𝑎𝑑𝑑𝑓𝑓 + 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑓𝑓) + 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑏𝑏𝑑𝑑𝑓𝑓

(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 =𝑎𝑎𝑑𝑑𝑓𝑓 + (𝑏𝑏𝑐𝑐𝑓𝑓 + 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑒𝑒)


(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 =𝑎𝑎𝑏𝑏 +

𝑐𝑐𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑓𝑓

(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 =𝑎𝑎𝑏𝑏 + �

𝑐𝑐𝑑𝑑 +

𝑒𝑒𝑓𝑓�

(𝑟𝑟 + 𝑠𝑠) + 𝑡𝑡 = 𝑟𝑟 + (𝑠𝑠 + 𝑡𝑡)


(Por hipótesis)

(Por propiedades en ℤ)

(Por hipótesis)


(Por hipótesis)

(Por propiedades en ℤ)


(Por hipótesis)

(Por propiedad conmutativa en ℤ)

(Definición de multiplicación)


(Por hipótesis)

(3) Elemento neutro de la suma:

𝑟𝑟 +01 =

𝑎𝑎𝑏𝑏 +

01

𝑟𝑟 +01 =

𝑎𝑎 ∙ 1 + 0 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏 ∙ 1

𝑟𝑟 +01 =

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑟𝑟 +01 = 𝑟𝑟

(4) Elemento opuesto:

Existe 𝑟𝑟′ tal que 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟′ = 01 . Sea 𝑟𝑟′ = −𝑎𝑎

𝑏𝑏

𝑟𝑟 + 𝑟𝑟′ =𝑎𝑎𝑏𝑏 +

−𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑟𝑟 + 𝑟𝑟′ =𝑎𝑎𝑏𝑏 + (−𝑎𝑎𝑏𝑏)

𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑟𝑟 + 𝑟𝑟′ =0

𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0 =01

(5) Conmutativa de la multiplicación:

𝑟𝑟𝑠𝑠 =𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑟𝑟𝑠𝑠 =𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑

𝑟𝑟𝑠𝑠 =𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏𝑑𝑑

𝑟𝑟𝑠𝑠 =𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑟𝑟𝑠𝑠 = 𝑠𝑠𝑟𝑟


(Por hipótesis)

(Por propiedad asociativa en ℤ)



(Por hipótesis)


(Por hipótesis)

(Elemento neutro de la multiplicación en ℤ)


(Por hipótesis)

(6) Asociativa de la multiplicación:

(𝑟𝑟𝑠𝑠)𝑡𝑡 = �𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑐𝑐𝑑𝑑�

𝑒𝑒𝑓𝑓

(𝑟𝑟𝑠𝑠)𝑡𝑡 = �𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑�

𝑒𝑒𝑓𝑓

(𝑟𝑟𝑠𝑠)𝑡𝑡 =𝑎𝑎𝑐𝑐𝑒𝑒𝑏𝑏𝑑𝑑𝑓𝑓

(𝑟𝑟𝑠𝑠)𝑡𝑡 =𝑎𝑎𝑏𝑏 �

𝑐𝑐𝑒𝑒𝑑𝑑𝑓𝑓�

(𝑟𝑟𝑠𝑠)𝑡𝑡 =𝑎𝑎𝑏𝑏 �

𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑒𝑒𝑓𝑓�

(𝑟𝑟𝑠𝑠)𝑡𝑡 = 𝑟𝑟(𝑠𝑠𝑡𝑡)

(7) Elemento neutro de la multiplicación:

𝑟𝑟 ∙11 =

𝑎𝑎𝑏𝑏

11

𝑟𝑟 ∙11 =

𝑎𝑎 ∙ 1𝑏𝑏 ∙ 1

𝑟𝑟 ∙11 =

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑟𝑟 ∙11 = 𝑟𝑟

(8) Elemento inverso de la multiplicación:

Sea 𝑟𝑟 ≠ 01 , existe 𝑟𝑟′′ tal que 𝑟𝑟𝑟𝑟′′ = 1

1 . Sea 𝑟𝑟′′ = 𝑏𝑏

𝑎𝑎


(Por hipótesis)



(Por propiedad demostrada en ℤ)

(Por hipótesis)



(Por propiedad distributiva en ℤ)


(Propiedad uniforme de la multiplicación)


(Por propiedad distributiva en ℤ)


𝑟𝑟𝑟𝑟′′ =𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑟𝑟𝑟𝑟′ =𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑟𝑟𝑟𝑟′ =𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑟𝑟𝑟𝑟′ =11

(9) Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑎𝑎𝑏𝑏 �

𝑐𝑐𝑑𝑑 +

𝑒𝑒𝑓𝑓�

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑎𝑎𝑏𝑏 �

𝑐𝑐𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑓𝑓 �

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑎𝑎(𝑐𝑐𝑓𝑓 + 𝑑𝑑𝑒𝑒)

𝑏𝑏(𝑑𝑑𝑓𝑓)

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑎𝑎𝑐𝑐𝑓𝑓 + 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒


𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑏𝑏𝑓𝑓

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑏𝑏𝑏𝑏

𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑒𝑒𝑑𝑑𝑏𝑏𝑓𝑓

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑏𝑏(𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑒𝑒)

𝑏𝑏(𝑑𝑑𝑏𝑏𝑓𝑓)

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑏𝑏𝑓𝑓𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑎𝑎𝑒𝑒

𝑏𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏𝑓𝑓

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 +

𝑎𝑎𝑒𝑒𝑏𝑏𝑓𝑓



(Por hipótesis)

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) =𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑐𝑐𝑑𝑑 +

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑒𝑒𝑓𝑓

𝑟𝑟(𝑠𝑠 + 𝑡𝑡) = 𝑟𝑟𝑠𝑠 + 𝑟𝑟𝑡𝑡

Teniendo en cuenta las propiedades anteriormente demostradas podemos afirmar que el

conjunto ℚ conforma un cuerpo conmutativo; además, el conjunto de los números

racionales cumple la propiedad de ser numerable18. Topológicamente, el conjunto ℚ forma

un subconjunto denso de los números reales ℝ y con la topología del orden forman un

anillo topológico. Por último, este conjunto también forma un espacio métrico19 con la

métrica 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = |𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|.

1.3. Marco Didáctico

No se puede desconocer la importancia de las fracciones no sólo por el estudio de las

matemáticas en sí, sino por la aplicabilidad que tienen éstas en la vida diaria. Obando

(2003) destaca que es indudable la relevancia de los números racionales en nuestra

cultura: “cada día los medios de comunicación nos entregan grandes volúmenes de

información, que es cuantificada en términos de porcentajes, probabilidades, razones,

fracciones, etc., y una buena comprensión de los números racionales es fundamental para

18 Escribamos cada elemento de ℚ como 𝑟𝑟/𝑠𝑠, con 𝑠𝑠 ∈ ℕ, 𝑟𝑟 ∈ ℤ, 𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑟𝑟 coprimos (es decir, la fracción está reducida a sus más pequeños términos). Luego podemos corresponder ℚ con un subconjunto del arreglo del producto cartesiano 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵, mediante la identificación 𝑟𝑟/𝑠𝑠 → (𝑟𝑟, 𝑠𝑠). La imagen de esta aplicación es un subconjunto de un arreglo del que sabemos que es numerable y por lo tanto el subconjunto es numerable, y la aplicación es una biyección (Notas de Luis O. Manuel, 2011). 19 Un espacio métrico es un par (𝑋𝑋, 𝑑𝑑), formado por un conjunto no vacío 𝑋𝑋 y una función 𝑑𝑑: 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → 𝑅𝑅 ≥ 0, llamada función distancia o métrica de 𝑋𝑋, tal que: (1) 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 si y sólo si 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦, (2) 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑑𝑑(𝑦𝑦, 𝑥𝑥) para todo 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 (simetría) y (3) 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≤ 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) + 𝑑𝑑(𝑧𝑧, 𝑦𝑦) para todo 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 (desigualdad triangular) (Guccione y Guccione, 2015).


analizarla e interpretarla… También son importantes en los procesos escolares dado que

los números racionales constituyen una base fundamental, no sólo para el estudio de la

matemática, sino también para la formación en otras disciplinas como la física, la química,

la biología, etcétera”.

Los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas (MEN, 2006) proponen que el

estudiante de la básica primaria debe aproximarse intuitivamente al concepto de número

racional y, para lograrlo, se requiere que “interprete las fracciones en diferentes contextos:

situaciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones”.

Partiendo de este referente de calidad, se hace innegable la necesidad de promover

acciones que les permita a nuestros estudiantes de la básica primaria alcanzar estos

estándares básicos, resaltando que si la interpretación Parte-Todo es comprendida por

los estudiantes podría facilitarse la comprensión de las demás interpretaciones; sin

embargo, se hace necesario apoyarse de algunos medios y recursos didácticos que

respalden y consoliden este arduo proceso.

1.3.1. El uso de materiales educativos en el aula

El origen del material didáctico lo podemos situar en la tradición filosófica empirista de los

siglos XVII y XVIII. Para los empiristas el conocimiento tiene su origen en los sentidos. Así, Comenius (1592 – 1670) publica en 1592 una bula de la escuela maternal y dice entre

otras cosas: "No hay que describir los objetos, sino mostrarlos. Es preciso presentar todas

las cosas, en la medida en que sea factible, a los sentidos correspondientes; que el alumno

aprenda a conocer las cosas visibles por la vista, los sonidos por el oído, los olores por el

olfato...". Pero fue Rousseau (1712-1778) el que puso en el Emilio las bases de lo que

llama “aprendizaje por experimentación” y “educación sensorial”: "Que el niño conozca

todas las experiencias, que haga todas aquellas que están a su alcance, y que descubra

las demás por inducción. Pero, en caso de que sea preciso decírselas, prefiero mil veces

que las ignore." (Emilio, libro 1) (González Marí, 2010).

Al reflexionar sobre la relación existente entre los recursos y los materiales didácticos,

Coriat (1997) en González Marí (2010) opta por hacer explícita la diferencia entre ambos

términos. Para este autor los materiales didácticos se crean con fines exclusivamente

educativos, mientras que los recursos los considera utensilios no diseñados


específicamente para el aprendizaje de un concepto o procedimiento matemático que el

profesor decide integrar en su práctica educativa. Según esta caracterización, serían

recursos la pizarra y la tiza, el papel, la calculadora y el ordenador, entre otros. En cambio,

el libro de texto, las fichas de trabajo elaboradas por el profesor, los pentominós, el geoplano y programas como Cabri o Derive son ejemplos de material didáctico. No

obstante, debemos señalar que los buenos materiales didácticos se suelen utilizar también

en situaciones para las que no fueron diseñados inicialmente, de modo que en la práctica

no existe una delimitación tan clara entre ambas nociones. Coriat (1997) en González Marí

(2010) señala que “un buen material didáctico trasciende la intención de uso original y

admite varias aplicaciones; por ello, no hay una raya que delimite claramente qué es un

material didáctico y qué es un recurso” (p. 4). (Velasco, 2012).

Los Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas también destacan la

importancia del uso de material didáctico en el aula:

«Teniendo en cuenta que los conocimientos matemáticos se dejan aprehender por

medio de sus representaciones, la selección de los materiales didácticos es

determinante en la calidad y pertinencia de las representaciones y por ende de la

comunicación. Por ejemplo, para que los niños logren entender el significado de los

números, además del uso cotidiano, hay que darles la oportunidad de realizar

experiencias en las que utilicen materiales físicos y permitirles que expresen sus

reflexiones sobre sus acciones y vayan construyendo sus propios significados»

(Lineamiento Curriculares Matemáticas, 1998).

Como vemos, la enseñanza de las matemáticas parte del uso del material concreto

porque permite que el mismo estudiante experimente el concepto desde la estimulación de

sus sentidos, logrando llegar a interiorizar los conceptos que se quieren enseñar a partir de la manipulación de los objetos de su entorno. Como bien lo dice Piaget los niños y niñas

necesitan aprender a través de experiencias concretas, en concordancia a su estadio de

desarrollo cognitivo. La transición hacia estadios formales del pensamiento resulta de la

modificación de estructuras mentales que se generan en las interacciones con el mundo

físico y social. Es así como la enseñanza de las matemáticas se inicia con una etapa

exploratoria, la que requiere de la manipulación de material concreto, y sigue con

actividades que facilitan el desarrollo conceptual a partir de las experiencias recogidas por


los alumnos durante la exploración. A partir de la experiencia concreta, la cual comienza

con la observación y el análisis, se continúa con la conceptualización y luego con la

generalización (Álvarez, 2009). La incidencia del uso del material concreto está en directa

relación con el éxito en el aprendizaje, ya que el aprender haciendo facilita y da más

oportunidades de obtener aprendizajes significativos mediante la exploración como un

primer paso o acercamiento para lograr que los estudiantes pasen de los objetos a los

símbolos y de las acciones motoras a las acciones mentales (Aguilera y Ponce, 2002).

De esta manera, podemos distinguir tres fases o etapas en el proceso de aprendizaje de

la matemática: la fase concreta que le da al estudiante la oportunidad de manipular

objetos para establecer relaciones entre ellos y así formar otros esquemas válidos; luego

se pasa a la fase gráfica o semiconcreta, en la cual el estudiante buscará representar lo

sucedido usando el lenguaje pictórico. Por último, se pasa a la fase simbólica que implica

por parte de los estudiantes la abstracción de los conceptos analizados con el objeto de

resolver problemas de su entorno. Así, la realización de una serie de actividades

específicas con materiales concretos es, pues, el punto de partida para la adquisición de

determinados conceptos matemáticos. Los Lineamientos Curriculares también puntualizan

y sugieren seguir el proceso descrito anteriormente:

«El enfoque del programa de matemáticas también propuso al docente distinguir

cuidadosamente entre el sistema simbólico (que se escribe, se pinta o se habla), el

sistema conceptual (que se piensa, se construye, se elabora mentalmente) y los

sistemas concretos (de donde los niños pueden sacar los conceptos esperados). La

sugerencia pedagógica del programa es la de explorar los sistemas concretos que

ya utilizan los niños, para partir de ellos hacia la construcción de los sistemas conceptuales respectivos; cuando ya se ha iniciado la construcción de éste, el

mismo alumno puede desarrollar sistemas simbólicos apropiados, aprender los

usuales y aún traducir de unos sistemas simbólicos a otros».

Concluyendo, podemos decir que la metodología COPISI20 o enfoque CPA21 permite

20 La metodología COPISI (concreto, pictórico, simbólico) se propone en el documento Bases Curriculares de Matemáticas (2011) del Ministerio de Educación del Gobierno de Chile. 21 El enfoque CPA (concreto, pictórico, abstracto) que se trabaja actualmente en Singapur hace énfasis en la resolución de problemas y el desarrollo del pensamiento


desarrollar en muchos estudiantes imágenes mentales que más adelante los ayudará a ‘ir

dejando’ los materiales y representaciones pictóricas para operar usando solo símbolos,

potenciándose el proceso de ejercitación. Para ello, es indispensable partir del diseño y

utilización de material concreto, preferiblemente, de fácil consecución y elaboración que le permita a los estudiantes: “(1) aprender de manera más significativa a través de la vivencia

de situaciones, (2) promover el trabajo ordenado, participativo y reflexivo, (3) estimular los

sentidos y la creatividad, (4) aprender a partir de las experiencias de otros estudiantes, (5) desarrollar nociones lógicas y (6) desarrollar situaciones de tolerancia y respeto entre

individuos”22.

Otros estudios como el de Pernilla Andersson demuestran que es importante que el

material educativo se enfoque en aspectos como el interés personal, la utilidad práctica

para el futuro y la realidad fuera del aula. Cuando el material trata sobre temas de interés

personal, facilita la comprensión puesto que el proceso de aprendizaje depende de cada

persona. Consecuentemente, los estudiantes prestan más atención, y la dedicación y la

motivación aumentan (Andersson, 2011).

De igual manera, la literatura reciente indica que el éxito es posible con cualquier

metodología si el profesor es capaz de desarrollar situaciones de aprendizaje que generen

un diálogo, una discusión matemática en relación con un contenido y en las cuales se

estimule la curiosidad y la capacidad de todos los alumnos23.

1.3.2. El conocimiento didáctico del contenido

Para nadie es desconocido que muchas clases de matemáticas en el país se imparten de

manera magistral. El proceso ordinario se asemeja a lo siguiente: el docente usa un tablero

para explicar de manera secuencial determinados algoritmos de acuerdo con el ‘tema del

día’; luego, plantea una serie de ejercicios propuestos en un libro de texto (regularmente,

el mismo) para que a través de la repetición o la mecánica sus estudiantes memoricen

abstracto, no en seguir procedimientos ni ejecutar fórmulas. 22 Salas, Carrillo, Solórzano, Paredes & Mogollón. (2011). Materiales educativos. Guía de uso del material didáctico. Quito, Ecuador: Dirección Nacional de Servicios Educativos. 23 Gobierno de Chile, Ministerio de Educación. (2012). Ficha Bases Curriculares para Matemática. Santiago de Chile: Unidad de Currículo y Evaluación.


procedimientos que serán evaluados la próxima clase por medio de una prueba escrita.

Por otro lado, también es conocido que los docentes plantean a los niños, de manera

prematura, el uso del lenguaje convencional y los algoritmos sin reconocer que se

necesitan ciertos esquemas (de partición, de equivalencia, conservación del área, etcétera)

para darle sentido al lenguaje simbólico y las reglas de cálculo. Los saberes así aprendidos

sólo sirven en el contexto escolar y no funcionan como herramientas para resolver

problemas (De león y Fuenlabrada, 1996).

Ahora, el objetivo final de nuestra enseñanza tiene que ser que el alumnado se interese

por aquello que está aprendiendo, que disfrute con ello. Para conseguir este propósito se

hace necesario despertar un factor que ha sido ignorado en muchas aulas de clases: la motivación. Como se propuso en la sección anterior, la utilización de diferentes materiales

didácticos puede ser un camino muy interesante para suplir la falta de motivación en los

estudiantes; sin embargo, para que esto sea posible, Shulman (1986) afirma que el docente

debe contar con un conocimiento base que él agrupa en tres grandes categorías24:

conocimiento del contenido de la materia específica, conocimiento didáctico del contenido

(CDC) y conocimiento curricular.

La manera como se mezcla el saber específico de la matemática con la didáctica es la

verdadera base del Conocimiento Didáctico de Contenido; sin embargo, cuando se

incorpora (1) el saber académico, histórico y filosófico de la matemática, (2) los aspectos

normativos del sistema educativo colombiano (por ejemplo, las directrices del MEN, leyes,

decretos y normas que rigen la educación en nuestro país), (3) el conocimiento pedagógico

de la disciplina y por último, (4) el contexto en el cual se desenvuelve el docente, se

potencializa la sinergia de conocimiento que debe tener y desarrollar un profesor en su

práctica docente para que sus estudiantes perciban un ambiente de aula más dinámico y

motivador.

24 Posteriormente, Shulman (1987, p. 8) reconoce otras categorías de conocimientos y las organiza como saberes o conocimientos indispensables. Propone siete categorías (incorporando las citadas en 1986): conocimiento de la materia impartida, conocimientos pedagógicos generales, conocimiento del currículo, conocimiento didáctico del contenido, conocimiento de los educandos y de sus características, conocimiento de los contextos educacionales, que abarcan desde el funcionamiento del grupo o de la clase hasta la gestión y el financiamiento, y conocimiento de los objetivos, las finalidades y los valores educacionales (Pinto y González, 2008).


Conocimiento

Disciplinar

Conocimiento Normativo

Conocimiento del

Contexto

Conocimiento Pedagógico

En este orden de ideas se ha rediseñado el siguiente esquema basado en el modelo

integrador del Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) según Gess-Newsome (1999)

en el cual se incluye un cuarto conocimiento que se refiere a la normatividad vigente del

sistema educativo colombiano. El conocimiento del contexto se refiere, exclusivamente, a

la serie de elementos y factores particulares que puedan favorecer u obstaculizar el

proceso de enseñanza - aprendizaje en el aula de clases.

Figura 1-10: modelo integrador del Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC).

.

Fuente: diseño propio

Flores y Morcote (2001) sugieren incorporar en los programas de formación de profesores

de matemáticas asignaturas como: Historia de la Matemática, Teorías del Aprendizaje de

las Matemáticas, Filosofía de la Matemática, Fenomenología Didáctica de las Estructuras

Matemáticas, Bases Teóricas para el Currículo de Matemáticas y Análisis Didáctico del

Currículo de Matemáticas. Sin lugar a dudas estas disciplinas proporcionan elementos


sustanciales para el óptimo desempeño profesional de los docentes25 porque aportan a la

formación teórica necesaria para el conocimiento disciplinar, pedagógico y normativo

de las matemáticas.

Ahora, desde el conocimiento didáctico ¿cuál sería la manera más adecuada para abordar

con los niños, por primera vez, el concepto de fracción? Aunque las fracciones tienen varias

interpretaciones es común que en la escuela se inicie este concepto desde las fracciones

unitarias, es decir, las que utilizaron los egipcios. Según estudiosos de la didáctica de las

matemáticas la interpretación de la fracción como Parte-Todo constituye la base sobre la

que se van a desarrollar las restantes interpretaciones. Veamos algunos argumentos:

Para Ellerbruch & Payne (1978) al introducir el concepto de fracción es conveniente usar

una interpretación simple, resaltando que la interpretación Parte-Todo es la más natural

para los niños. Por su parte, Vasco (1994) afirma que la interpretación Parte-Todo es un

sistema concreto pre-matemático desde el cual se puede construir el concepto de partidor

de unidad de cada magnitud. Fandiño (2009) asegura que la introducción del concepto de

fracción parece ser igual en todo el mundo; una determinada unidad concreta es dividida

en partes iguales, luego, de dichas unidades se toman algunas. Fandiño asegura además

que esta acepción intuitiva de la fracción de la unidad tiene la ventaja de ser clara, fácil de

adquirir y fácilmente moldeable en la vida cotidiana.

De esta manera vemos como la interpretación Parte-Todo resulta ser un camino ‘natural’

para la: (1) conceptualización de algunas propiedades de las fracciones como la

diferenciación entre fracciones propias e impropias, (2) la definición de algunas relaciones

como la de equivalencia y (3) la introducción a algunas operaciones básicas como la

adición y la sustracción; sin embargo, Smith & Rivera (1991) consideran que las

operaciones con fracciones no deberían formar parte del currículum de los niños por su

25 Se busca diferenciar entre un matemático y un profesor de matemática. El primero es una persona que conoce la disciplina; el segundo es un maestro de la disciplina. Está claro que cuanto mayor sea el conocimiento de la disciplina (en este caso la matemática) mayor será la capacidad del profesor para realizar actividades diferentes en el aula y para coordinar las intervenciones de sus estudiantes; como diría Shulman, la capacidad del profesor para “gestionar” el aula sería altamente calificada. Es por ello, que el conocimiento de la didáctica complementa el trabajo del matemático para convertirse en un verdadero profesor de matemática. En otras palabras, un verdadero docente debe conocer cómo enseñar el contenido de su disciplina de la manera más efectiva posible.


escasa presencia en las situaciones de vida cotidiana y, en último caso, pueden realizarse

con la calculadora.

1.3.3. Las dudas conceptuales de los maestros

Se quiso dedicar una sección exclusiva para tratar la importancia del conocimiento

disciplinar de la matemática puesto que el grado de apropiación de los conceptos que

tienen los maestros son decisivos al momento de planear, desarrollar y evaluar las

actividades trabajadas en el aula clase. Llinares (2005) confirma que la gestión del proceso

de enseñanza-aprendizaje del profesor viene articulada a través de la realización de unas

“tareas profesionales”: (1) diseñar, modificar o elegir tareas, actividades, problemas; (2) organizar y secuenciar el contenido matemático en las lecciones; (3) interactuar con sus

alumnos y gestionar el contenido matemático durante las interacciones; (4) analizar y dotar

de sentido a las producciones matemáticas de los alumnos; entre otras.

Ahora, llevar a cabo estas “tareas profesionales” que se mencionan en el anterior párrafo

sería imposible si no se cuenta con una sólida formación disciplinar. Volviendo al tema que

nos concierne en este trabajo, tenemos un serio problema latente: el asunto de las

fracciones no sólo es un problema para los niños; también es un problema para los

maestros que tratan de enseñarlas como a ellos les parece.

El 3 de marzo de 2016 la Agencia de Noticias de la Universidad Nacional de Colombia

publicó en su página web un pequeño pero interesante artículo al que llamaron “Los

profesores tampoco dominan la clase de fraccionarios”. El solo título pone en evidencia

que muchos profesores de la básica primaria incurren en errores interpretativos con

respecto a este tipo de números. Este artículo está basado en el trabajo experimental que

realizó el profesor de matemáticas Dany Carreño con docentes de un colegio ubicado al

suroriente de Bogotá D.C. dados a emplear procedimientos mecánicos y fórmulas para la

enseñanza de las matemáticas. La intención de este trabajo fue la de proporcionales a

estos docentes herramientas conceptuales que les permitieran realizar interpretaciones

distintas a las convencionales. Dos fragmentos de este artículo rezan lo siguiente:

(1) «A los maestros les costaba pensar en fracciones mayores a la unidad. De hecho,

desde la idea de la torta, se trabaja con una figura que se divide en trozos más


pequeños y se consideraba que la parte tomada es más pequeña que la unidad. Y

es que desde la interpretación Parte-Todo, pensar en un número más grande a la

unidad es poco natural, y por ello se evaden otras interpretaciones que pueden servir

para la enseñanza. Por ejemplo, la claridad de tomar una pieza, dividirla en cinco

partes y discriminar tres de ellas para interpretar la fracción 3/5, era totalmente

contraria para interpretar la fracción de 5/3».

(2) «A los maestros se les dio un conjunto de 14 esferas, algunas de las cuales estaban

coloreadas (8), y se les pidió que identificaran el todo, que son las 14 esferas. Los

maestros, sin embargo, identificaron que tan sólo una esfera era el todo. Allí no se

implementa el concepto de los números fraccionarios si sólo se concibe una sola

esfera como el todo. Surge entonces una de las trabas para no acercarse al concepto

de medida porque, para poder hacerlo, se debe tener en cuenta el patrón, la unidad

de medida. Esa fue una de las intencionalidades del trabajo».

Al final, el profesor Carreño concluye acertadamente que “si no somos capaces de dotar a

los maestros de herramientas para resolver las dudas que tienen a nivel conceptual, se

repetirán modelos, ejemplos y explicaciones de mala praxis educativa en un área clave

para el país como las matemáticas”.



2. Diseño metodológico 2.1. Tipo de investigación

Al momento de definir el tipo de investigación a desarrollar se procura no escoger la

modalidad que más nos interese sino aquella que resulte más apropiada para cumplir con

el objetivo general propuesto en el trabajo. Inicialmente se pensó en adoptar un diseño

experimental que, como afirma Murillo (2008), controla lo más posible el efecto de las

variables extrañas asociadas a la variable independiente para que así el investigador

pueda interpretar que los resultados se deben exclusivamente a cambios en la variable

independiente. Sin embargo, el control tiene la función de eliminar las variables extrañas,

pero sin embargo limita la investigación, ya que no puede aplicarse en el estudio de

muchos fenómenos educativos.

La mayor parte de las variables implicadas en los fenómenos educativos no son

susceptibles de un acercamiento experimental, por lo que carece de sentido aferrarse a

una posición experimentalista a ultranza (Murillo, 2008). Por ello, surge como alternativa

el enfoque cuasi experimental (Cook & Campbell, 1979) en el que, aunque no pueda

contarse con la equivalencia inicial de los grupos, se pueden seguir planteando hipótesis

causales. Como en la investigación educativa es casi imposible asignar sujetos a grupos

experimentales de manera aleatoria, normalmente se utilizan grupos naturales, teniendo

en cuenta que la muestra sea representativa de la población, condición imprescindible para

la generalización de resultados. A su vez, es importante destacar que este tipo de investigación impulsa el diseño de un pretest y un postest. (ver Figura 2-1).

Hablando de este trabajo en particular, con el pretest se buscó hacer un diagnóstico a

través de una prueba escrita (con preguntas abiertas y cerradas) que nos permitió

2. Diseño metodológico 53

identificar los saberes previos de un grupo de estudiantes de grado quinto relativos a la

interpretación de la fracción como Parte-Todo. Con el postest se buscó evaluar y validar la

estrategia didáctica desarrollada. Para seleccionar los aspectos matemáticos, históricos y

didácticos que se tuvieron en cuenta en el diseño de la estrategia, se tomaron algunos

textos de matemática de los grados tercero a quinto, con la intención de analizar las

unidades que allí se describen y de examinar la manera como abordan el concepto de

fracción como relación Parte-Todo; además, haciendo énfasis en los aspectos didáctico e

histórico, se revisaron los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas

propuestos por el MEN y algunos artículos de investigación propuestos en la Bibliografía

de este trabajo para priorizar temáticas y algunos enfoques que promovieron el

cumplimiento de los objetivos propuestos. Por último, aplicados ambos tests sobre la

muestra escogida, se realizó un análisis estadístico de los datos (resultados) usando un

método de corte cuantitativo que ayudó a explicar, predecir y controlar con visión objetiva

y positivista la realidad educativa estudiada.

Figura 2-1: diseño investigación cuasi experimental26.

Fuente: Elaboración propia.

Asimismo, el paradigma cualitativo para el análisis de los resultados de la investigación se

definió en este trabajo teniendo en cuenta lo siguiente: el análisis de datos supone

ciertamente un problema, puesto que todos los investigadores desarrollan sus propios

modos de analizar los datos cualitativos (Taylor & Bogdan, 1986). Como señala Gil (1994)

hay diversos factores que hacen compleja la tarea de análisis de datos cualitativos, como

son la indefinición de los métodos de análisis, el componente artístico del análisis de datos,

la pluralidad de enfoques dentro de esta perspectiva, el escaso tratamiento de este tema

en la literatura y la falta de un lenguaje común al hablar del análisis de datos. En este

sentido, se puede decir que el análisis de datos cualitativo se basa con frecuencia en la

intuición y experiencia del investigador (Murillo, 2008).

26 Imagen engranaje tomada de http://hacermicv.org/Images/Imagenes/Engranaje.png

Estrategia Didáctica

http://hacermicv.org/Images/Imagenes/Engranaje.png



2.2. Enfoque

La estrategia didáctica propuesta incluyó la utilización de material didáctico concreto de

fácil elaboración y consecución. Para ello se asignó un tiempo prudente en la ejecución de

este trabajo de grado para la selección y elaboración de dicho material didáctico (ver

Anexo B: Cronograma de Actividades).

Por otro lado, para el desarrollo de este trabajo, el nivel de conocimiento que se pretendió

obtener es prácticamente explicativo ya que se quiso buscar el porqué de los hechos

estableciendo con claridad relaciones de causa y efecto entre la variable independiente y

la variable dependiente.

El diseño de la estrategia didáctica propuesta en este trabajo está estrechamente ligado al

enfoque de “Resolución de Problemas” que propone Pólya, que consta de cuatro fases:

comprensión del problema, concepción de un plan, ejecución de dicho plan y análisis de

resultados (visión retrospectiva). Vale aclarar que un problema es “una tarea que plantea

al individuo la necesidad de resolverla y ante la cual no tiene un procedimiento fácilmente

accesible para hallar la solución” (Lester, 1983, cit. en Pérez, 1987); de esta manera, se

hace necesario distinguir entre lo que es un problema y un ejercicio de aplicación. Las

aulas de clase se encuentran atiborradas de ejercicios de aplicación; a través de esta

estrategia didáctica se buscó darles solución a verdaderos problemas, situación que va

más allá de realizar cálculos o aplicar procedimientos o fórmulas.

2.3. Instrumentos de recolección de información

Como técnica de recolección de datos se contó con la observación directa, el cuestionario

y algunas entrevistas. Como evidencias de este trabajo, se tienen algunos formatos de

cuestionarios, diarios de clases de los estudiantes, fotografías y videos que fueron

empleados para un análisis posterior de los resultados (ver anexos al final de este trabajo).

Inicialmente, se aplicó la mencionada prueba diagnóstica sobre la interpretación de la

fracción como Parte-Todo a través de un test escrito (ver diagnóstico en la sección 3.1. de

2. Diseño metodológico 55

este trabajo) que permitió el reconocimiento de las principales dificultades que tienen los

estudiantes de quinto grado de la IE San Isidro Labrador con respecto a este aprendizaje

en concreto; la intención era proponer estrategias medibles y verificables que sirvieran de

apoyo para el desarrollo de este concepto en particular. Para cumplir con este objetivo se

usó un formato diseñado en Microsoft Excel que nos permitió clasificar y registrar de

manera cuantitativa y cualitativa los resultados de cada prueba aplicada.

Para la prueba final se usó prácticamente el mismo contenido de la prueba diagnóstica

(con algunos cambios de forma). La metodología para el análisis de los resultados fue

similar a la de la prueba de entrada solo que esta vez se pudieron comparar los resultados

de ambas pruebas y se pudo corroborar la efectividad del proceso de intervención de la

estrategia didáctica propuesta.

2.4. Cronograma En el diagrama de Gantt que se detalla en el Anexo B (Cronograma de Actividades) se

establecen los tiempos que se siguieron para la construcción y ejecución del presente

Trabajo Final. Dicho cronograma se ha dividido en dos grandes actividades: (1) Diseño o

proyecto del trabajo final y (2) Ejecución del trabajo final. La primera actividad contó con

siete tareas mientras que la segunda actividad desarrolló 10 tareas específicas; todas las tareas apuntaron a un claro objetivo general: diseñar una estrategia didáctica para

trabajar con los estudiantes de grado quinto la interpretación de la fracción como Parte-Todo, que tenga en cuenta elementos históricos relativos a esta interpretación y se

apoye en el uso de materiales didácticos de fácil elaboración y consecución.

3. Estrategia didáctica 56

3. Estrategia didáctica La estrategia didáctica que se presenta a continuación se planeó y se desarrolló en cinco

etapas o fases: una primera etapa de diagnóstico, otra de diseño de materiales didácticos,

otra de implementación, otra de evaluación y una última de análisis de resultados. Ésta se

llevó a cabo en 6 sesiones de trabajo de 120 minutos cada una (para un total de 720

minutos). Como aporte a la gestión de aula y a la optimización del tiempo se propusieron

ocho talleres orientadores en los que se determinó una ruta de trabajo para los estudiantes

con tiempos específicos. Del total del tiempo planeado para el desarrollo de la estrategia

didáctica se emplearon 120 minutos para la aplicación del test de entrada y el test final (60

minutos en cada uno de ellos). En algunas de las sesiones propuestas se usaron videos,

softwares gratuitos y algunos artículos que fueron tomados de la internet (ver Bibliografía).

En el Anexo B se detalla el plan de trabajo que se llevó a cabo para el progreso de la

estrategia didáctica diseñada con momentos y tiempos previamente establecidos. 3.1. Diagnóstico En esta primera etapa se aplicó una prueba de entrada o test exploratorio teniendo en

cuenta las situaciones de enseñanza-aprendizaje relacionadas con el significado de

fracción como Parte-Todo. Para la realización de esta actividad diagnóstica se usaron 60

minutos de la estrategia didáctica propuesta. La prueba aplicada y la ficha técnica de la

misma se pueden visualizar en los Anexos C y D, respectivamente. Las preguntas y el

análisis de algunas respuestas dadas por los estudiantes se detallan a continuación:

I Preguntas No. 1 y No. 2: ¿Qué fracción de mural corresponde lo que han dibujado? /

¿Qué fracción de mural falta por dibujar?

12 de los 25 estudiantes consultados respondieron correctamente al primer interrogante;

de esta manera, podríamos decir que un 48% de los estudiantes de la muestra reconocen

Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación Parte-Todo en grado quinto, teniendo en cuenta su origen histórico. 57

la presencia de las fracciones en la vida real como indicador de partes de un total. De

manera curiosa, solo 8 del total de los estudiantes (32%) respondieron de manera acertada

el segundo interrogante.

Figura 3-1: resultados de las preguntas No. 1 y No. 2.

Se supondría que, si la primera pregunta era bien resuelta por los estudiantes, la segunda

debería ser igualmente acertada; sin embargo, las razones de esta discrepancia podrían

ofrecerse analizando cualitativamente algunas respuestas dadas por los estudiantes como

se muestra en las siguientes figuras:


Figura 3-2: respuesta de estudiante E1.

En la figura 3-2 se observa cómo el estudiante determina correctamente la fracción del

mural que han dibujado. Sin embargo, al momento de establecer la fracción de mural que

falta por dibujar compara, como si fuera una razón, la parte dibujada con la parte no

dibujada (6 19⁄ ); es decir, este estudiante parece que olvida las partes totales en que se

encuentra dividida la unidad.

Ahora, también podemos observar los errores conceptuales que más presentaron los

estudiantes en estas dos preguntas:



En la figura 3-3 se observa como un estudiante compara las partes ‘tomadas’ con las

partes ‘no tomadas’ del mural (como una razón). Podría decirse que este niño no distingue

el total de partes en las que se divide la unidad ni reconoce las funciones del numerador y

del denominador en una fracción (ni dónde se ubican).


Con la respuesta que se observa en la Figura 3-4 podríamos decir que este niño o niña

reconoce la unidad, pero no las partes en que se encuentra dividida esa unidad. Pareciera

que la función del numerador la tiene clara.



Con la respuesta que se observa en la Figura 3-5 podríamos decir que este niño o niña

tampoco reconoce las partes en que se divide la unidad; obviamente este niño no reconoce

qué es un denominador (para él, el numerador es igual al denominador).

Pregunta No. 3: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?


12 de los 25 estudiantes consultados respondieron correctamente a esta pregunta sobre

economía; es decir que un 48% de los estudiantes asocia una fracción a una parte de un

todo (partes isométricas o partes equivalentes) o a un grupo de objetos y viceversa.

Figura 3-7: resultados de la pregunta No. 3.


Por su parte, valdría la pena analizar la siguiente respuesta de una estudiante a esta

pregunta en concreto:


Es evidente que esta estudiante hace un esfuerzo inicial válido por contestar correctamente

esta pregunta (nótese las divisiones adicionales con lápiz que hace a la unidad). Sin

embargo, esta niña lo que claramente estableció fue una razón entre los productos

importados (1) y los productos nacionales (3); de esta manera, responde a su pregunta

con la razón 1 3⁄ y no con la fracción 1 4⁄ que corresponde a la interpretación Parte-Todo

que se está consultando.

Pregunta No. 4: Escribe Falso F o Verdadero V al frente de cada enunciado. Sobre esta pregunta en particular (ver Anexo C, página 1) podemos decir que sólo un (1)

estudiante contestó correctamente los 4 enunciados propuestos (4% de la muestra

escogida); 7 estudiantes respondieron correctamente 3 enunciados de la pregunta (28%

de la muestra); 3 estudiantes respondieron bien la mitad de los enunciados (12% del total);

9 estudiantes respondieron de manera correcta un (1) solo enunciado de los propuestos

(36% de la muestra escogida); por último, 5 estudiantes no acertaron al menos uno de los

enunciados planteados (20% de la muestra).

En conclusión, podemos decir que un preocupante 68% de los estudiantes no superó esta

pregunta de manera satisfactoria; esto quiere decir que la mayoría de los niños no


diferencia las funciones del numerador y del denominador de una fracción, por lo que se

les dificulta reconocer cuándo una fracción es propia o impropia.


Por su parte, valdría nuevamente la pena analizar la siguiente respuesta de un estudiante

a esta pregunta en concreto:


Frente a la evidencia que muestra la Figura 3-10 es innegable que algunos niños no leen

detenidamente las instrucciones que se presentan en las pruebas escritas. Sobre la

respuesta dada por el estudiante se podría conjeturar que este niño lo que está realizando

son sustracciones de los números que se muestran en cada enunciado. A continuación,

se comparte otra evidencia de que, algunas veces, los niños no responden bien sus


pruebas o evaluaciones escritas simplemente por no leer bien los enunciados que se les

propone27:


Pregunta No. 5: Completa las frases (imagen chupetas). Más que establecer razones entre los objetos mostrados en la figura, lo que se pretendía

con esta pregunta era desarrollar el sentido de la fracción (seleccionar cierta parte de un

todo), representando ‘la parte’ de un total. De todas las preguntas, esta fue la que mayores

aciertos tuvo por parte de los estudiantes evaluados:


27 Frente a este caso en particular se hizo al final de la prueba una breve entrevista al niño para consultar las razones por las que había respondido de esta manera; su respuesta fue puntual: “pensé que había que completar el dibujo como nos lo enseñaron en Artística…” (Estudiante E9, 22 de enero de 2016)


Podríamos decir que, aproximadamente, el 76% de los estudiantes de la muestra

respondió a este interrogante satisfactoriamente.

Pregunta No. 6: Observa el tablero de ajedrez y responde las preguntas.


En ajedrez existen situaciones que se dan durante el juego que coinciden con algunos

teoremas de las matemáticas; por ejemplo, la definición geométrica de distancia o la

famosa regla del cuadrado no es más que una aplicación práctica del teorema de

Pitágoras. El ajedrez no es matemática, ni la matemática ajedrez, pero, así como hasta el

momento no se ha descubierto quién ha inventado este noble juego tampoco sabremos si

la relación evidente entre estas dos áreas ha sido producida de manera intencional por su

creador (Ibáñez, 2013).

La introducción a esta pregunta pretende reconocer la importancia que podría tener este

juego como material didáctico para la enseñanza de las matemáticas; de hecho, grandes

matemáticos como Euler (1707 – 1783), Gauss (1777 – 1855), Lindelöf (1870 – 1946),

Pólya (1887 – 1985) o Landáu (1908 – 1968) se interesaron por trabajar problemas

matemáticos en el ajedrez.


Ahora, volviendo al análisis de resultados de la prueba diagnóstica aplicada, como esta

pregunta recoge íntegramente la interpretación ‘parte-todo’ de la fracción y basados en el

análisis cuantitativo consignado en la Tabla 3-1 (al final de esta sección), podemos deducir

que solo el 28% de los estudiantes evaluados la respondió de manera correcta, es decir,

que pocos alumnos pueden representar una fracción de diferentes formas a partir de un

todo o de un conjunto de objetos.

Teniendo en cuenta la Figura 3-14 que se muestra a continuación podemos conjeturar que

la respuesta dada por este estudiante obedece a muestras de reconocimiento de

fracciones equivalentes. Para ello, este estudiante pudo haber usado la superposición de

áreas como forma de comprobación de que dos fracciones son equivalentes o haber

mostrado un procedimiento para obtener fracciones equivalentes mediante la

multiplicación o división; sin embargo, no existen evidencia de estos métodos en la

respuesta dada por él.


A continuación, se ofrecen otras conjeturas a las respuestas dadas por otros estudiantes

de la muestra tomada, con respecto a la misma pregunta:



En la figura 3-15 se observa como el estudiante sólo tiene en cuenta las cuadrículas donde

se encuentran las fichas ubicadas; sin embargo, es evidente que no tiene claro el total de

las partes en las que se ha dividido la unidad. De la respuesta a la pregunta ¿Qué fracción

del tablero está ocupado por fichas negras? es imposible emitir un criterio pues no se

muestra un proceso lógico para llegar al resultado 8 16⁄ .


En la figura 3-16 nuevamente se observa como un estudiante no reconoce las partes en

las que se divide la unidad; es evidente que este niño no reconoce la definición de

denominador ya que su respuesta apunta a que el numerador y el denominador cumplen

la misma función (partes que ‘se cuentan’ de un todo).


Pregunta No. 7: Diseña una bandera teniendo en cuenta que cumpla con las

instrucciones dadas.

Figura 3-17: resultados de la Pregunta No. 7.

Solamente 2 de los 25 estudiantes que aplicaron la prueba (8% del total) resolvieron

correctamente esta pregunta y sólo 3 estudiantes (12% de la muestra) se acercaron un

poco a la idea de bandera que se estaba pidiendo. En conclusión, el 80% de los estudiantes

que hicieron la actividad exploratoria presenta dificultades con las actividades que

promueven el ‘saber hacer’ (situaciones problema); además, no comparan fracciones lo

que conlleva a que se les dificulte establecer relaciones de equivalencia entre ellas.

A continuación, se ofrecen un par de respuestas a esta pregunta que se consideraron como

correctas teniendo en cuenta que se cumplieran a cabalidad las condiciones pedidas en el

ejercicio. Se reservan los nombres de los estudiantes.

(Ver Figura 3-18 y Figura 3-19)


Figura 3-18: respuesta correcta de estudiante E12.

Figura 3-19: respuesta correcta de estudiante E13.

A pesar que en la respuesta dada por el niño de la Figura 3-19 las partes de la unidad no

son del mismo tamaño (congruentes o equivalentes) pues fue trazada a pulso, la noción

de fracción como Parte-Todo parece tenerla clara. Ahora se compartirán otras respuestas

dadas por los niños analizadas de manera cualitativa:



En la Figura 3-20 podemos notar como este estudiante divide correctamente toda la

unidad en 8 partes iguales; sin embargo, como no tiene claro el concepto de fracciones

equivalentes, solamente tiene en cuenta los numeradores de las fracciones dadas en el

ejercicio (1 para la parte azul y 2 para la parte roja).


En la Figura 3-21 se percibe que este estudiante, a diferencia del anterior, no divide

correctamente la unidad en las partes que se requiere; sin embargo, coincide con el

anterior en que reconoce los numeradores de las fracciones dadas (partes que se colorean

con azul y con rojo).


A continuación, dos casos particulares pero similares:



En las Figuras 3-22 y 3-23 se percibe la misma situación: dos estudiantes que no dividen

la unidad en partes iguales pero que claramente reconocen fracciones equivalentes. Con

estos niños en particular se deben trabajar actividades adicionales de pensamiento métrico

utilizando instrumentos geométricos como la regla o la cinta de medir.


Por último, en la Figura 3-24 se observa como el estudiante divide la bandera en tres

zonas: la zona inferior la divide en 8 partes y toma 2 de ellas (color rojo); la zona media la

divide en 4 partes y toma 1 de ellas (color azul); y la zona superior que la divide en 8 partes,

pero no sabría cómo identificar las 4 partes que se le piden (porque las partes totales y las

partes tomadas serían del mismo tono, blanco). Es decir, este estudiante está tomando

una unidad diferente para representar cada parte indicada según las condiciones

planteadas. Claramente, este estudiante no reconoce fracciones equivalentes en este

ejercicio.


Pregunta No. 8: Usa la siguiente plantilla para encontrar los 3 4⁄ de 36.

Esta fue la pregunta que menos aciertos tuvo entre los estudiantes diagnosticados. Ningún

estudiante respondió al interrogante de la manera como se les solicitaba (usando la

plantilla propuesta); una sola estudiante dio con la respuesta correcta, pero aplicando un

procedimiento distinto al pedido (multiplicación de una fracción por un número natural, es

decir, usando fórmulas preconcebidas). Otro estudiante dio con la respuesta correcta, pero

sin evidencias de un procedimiento lógico para llegar al resultado (27 unidades).

Los resultados a esta pregunta se resumen en el siguiente gráfico:



Para este nefasto resultado (92% de los estudiantes no respondieron correctamente la

pregunta), Obando y otros autores (2006) tienen su explicación:

«En los procesos de enseñanza desarrollados en la escuela, muchas veces no se

da un tratamiento cuidadoso del tipo de unidad ni del tipo de magnitud, lo que lleva

a que se propongan de manera indiscriminada actividades en contextos de

colecciones o de magnitudes continuas, desconociendo que los procesos de

conceptualización de los alumnos son distintos en uno u otro contexto. Por ejemplo,

en la figura adjunta, se presentan dos actividades que se le proponen a los alumnos

de manera simultánea:

Figura 3-26: magnitudes continuas versus magnitudes discretas.

Sombrear las tres cuartas partes del rectángulo

Encerrar las tres cuartas partes de la cantidad de

mochilas


En este caso no se asume que hallar las tres cuartas partes de una magnitud

continua o de una discreta implica procesos diferentes, ni se advierte que el proceso

para el caso de las magnitudes discretas es más complejo. Hallar las tres cuartas

partes de doce mochilas conlleva: (1) comprender que el “doce” es una unidad; (2) hacer la repartición de dicha unidad, en cuatro partes iguales; (3) conceptualizar cada

parte obtenida, como la cuarta parte de la unidad (i.e., de doce); y, (4) juntar tres de

esas cuatro partes obtenidas para obtener las tres cuartas partes de la unidad. En el

caso del rectángulo, éste es asumido como una unidad simple y por tanto las tres

cuartas partes del mismo se obtienen de manera directa partiendo la unidad en

cuatro partes (congruentes o de igual cantidad de superficie) y juntando tres de éstas.

En la complejidad del proceso implicado para el contexto de la colección de mochilas

subyace el hecho de que conceptualizar una unidad compuesta es, desde el punto

de vista psicológico, más complejo. Primero se conceptualizan las unidades simples,

esto es, la unidad como uno a partir de objetos individuales, y posteriormente, a las

unidades compuestas: comprender que una multitud también puede ser una unidad».

Por ende, Obando y otros autores (2006) proponen lo siguiente:

«Dos elementos fundamentales que se deben considerar en las distintas situaciones

problema que se pueden proponer desde la relación Parte-Todo, corresponden a la

naturaleza de la unidad y al tipo de magnitud sobre el cual se establece la

comparación. En este sentido, la unidad puede ser simple o compuesta, y las

magnitudes continuas o discretas. Con respecto al tipo de unidad, inicialmente se

trabaja con unidades simples, lo cual implica tareas en el contexto de las magnitudes

continuas. Esta elección se sustenta en que una tarea que implique la conformación

de unidades simples es de menor complejidad psicológica que cuando ésta implica

la conformación de unidades compuestas. El paso a las unidades compuestas,

implica por su parte, el trabajo con las magnitudes discretas, en tanto que las

situaciones implican conteos de colecciones, su división, y respectiva comparación

cuantitativa entre las partes y el todo».

Para cerrar esta sección, se muestra la Tabla 3-1 en la cual se muestran los resultados

cuantitativos del diagnóstico realizado:


Tabla 3-1: resultados cuantitativos de la prueba diagnóstica.

Sobre esta tabla hay que hacer dos aclaraciones: la estudiante No. 20 (María Ignacia)

pertenece al grupo indígena Wiwa28. El estudiante No. 21 (Jhonis Carlos) presenta algunos

problemas de lectura y escritura.

28 Los wiwa son un pueblo amerindio de Colombia, que habla la lengua damana de la familia lingüística chibcha. El territorio wiwa comprende la zona del departamento del Cesar al norte del municipio de Valledupar y la zona colindante del departamento de La Guajira, en Colombia (Sierra Nevada de Santa Marta) (Tomado de Wikipedia).

No. Nombre Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 ∑ VAL.

1 María José 0 0 1 1/4 1/3 0 1 0 2,58 32%

2 Yorjenis 1 0 1 1/4 1 0 0 0 3,25 41%

3 Maira Alejandra 1 1 0 1/2 1 1 1 0 5,50 69%

4 Estevan 1 1 0 0 1 1/3 0 0 3,33 42%

5 Yaleidis 0 0 0 0 1 0 0 0 1,00 13%

6 Daniel José 0 0 1 1/4 1/3 0 0 0 1,58 20%

7 Jhony 0 0 0 1/4 1/3 1/3 0 0 0,92 11%

8 Nestor 0 0 0 0 1 1 3/4 0 2,75 34%

9 Victor Hugo 0 0 1 1/2 1 0 0 0 2,50 31%

10 Guber Enrique 0 0 0 1/4 1 0 0 0 1,25 16%

11 Laura Vanessa 1 1 1 3/4 1 0 0 0 4,75 59%

12 Daniela 1 1 1 1 1 1 1/2 3/4 7,25 91%

13 Dayana 0 0 1 3/4 1 1 0 0 3,75 47%

14 Carlos Andrés 0 0 0 1/4 0 0 0 0 0,25 3%

15 María Alejandra 1 1 1 3/4 1 2/3 0 3/4 6,17 77%

16 Daiber 1 1 1 1/2 1 1 0 0 5,50 69%

17 Rosa María 1 0 1 3/4 1 0 0 0 3,75 47%

18 Shayra 1 1 0 3/4 1 2/3 1/2 0 4,92 61%

19 Jhan Javier 0 0 0 1/4 0 0 0 0 0,25 3%

20 María Ignacia 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0%

21 Jhonis Carlos 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0%

22 Melissa 1 0 0 1/4 1 0 0 0 2,25 28%

23 Luna 1 0 1 3/4 1 0 0 0 3,75 47%

24 Natalia 1 1 0 3/4 1 0 0 0 3,75 47%

25 Oscar 0 0 1 1/4 1 0 0 0 2,25 28%

48% 32% 48% 40% 76% 28% 15% 6% 2,93 37%

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN ISIDRO LABRADOR - GRADO 5°AResultados Prueba Diagnóstica (15/03/2016)

Promedios


3.2. Diseño de materiales didácticos La segunda etapa de la construcción de la estrategia didáctica se centró en el diseño de

materiales que favorezcan el proceso enseñanza-aprendizaje. A continuación, se

enumeran los materiales didácticos que se construyeron para desarrollar la estrategia

teniendo en cuenta que fueran de bajo costo y de fácil consecución:

3.2.1. Dominós de fracciones

Según González Marí (2010) se pueden encontrar dos tipos de dominós de fracciones, el

de números y el de números y áreas sombreadas. Estos, a su vez, pueden brindar las

siguientes posibilidades:

Dominó de fracciones equivalentes: cada ficha tiene una fracción en cada mitad, de

manera que se corresponden con otras fichas en las que figuran fracciones

equivalentes a la primera (por ejemplo, 1 2⁄ , 2 4⁄ , 4 8⁄ ). En otras partes estarán las

fracciones equivalentes a 1 3⁄ . En el siguiente link se puede descargar un dominó con

las características descritas:

https://anagarciaazcarate.files.wordpress.com/2012/09/dominofraccionescolor.pdf

Dominó de operaciones con fracciones: en las fichas figuran operaciones

elementales y fracciones que son el resultado de las mismas. Se pueden combinar

números y representaciones con cantidades continuas cuya equivalencia numérica

aparece en otras fichas. En el siguiente link se puede descargar un dominó con las

características descritas:

http://www.aulapt.org/wp-content/uploads/2015/09/Domino-de-fracciones-monografia.pdf

En ambos casos se utilizan familias de fracciones que permitan colocar las fichas por turno

del mismo modo que se hace en el juego del dominó ordinario.

Los dominós que se usaron en esta estrategia didáctica se construyeron usando cartón

paja y recortes de impresiones en computador con números y áreas sombreadas que

representan fracciones; estos recortes fueron pegados encima del cartón paja.














Figura 3-27: dominó de fracciones usado en la estrategia didáctica.

3.2.2. Regletas de Cuisenaire

Las regletas de Cuisenaire es un material

didáctico muy versátil para la enseñanza

de la matemática en la básica primaria.

Muchas nociones matemáticas pueden ser

abordadas a través de ellas, por ejemplo,

las operaciones básicas, fracciones, área,

volumen, raíces cuadradas, resolución de

ecuaciones simples, sistemas de

ecuaciones e incluso ecuaciones cuadráticas. Los pedagogos Friedrich

Froebel (1782 – 1852) y Maria Montessori

(1870 – 1952) fueron pioneros en el uso de regletas para representar números. Sin

embargo, fue Georges Cuisenaire (1891-1975) quien las retomó e intensificó su uso con

docentes a partir de 1945.

Para esta estrategia didáctica no se emplearon las tradicionales regletas fabricadas en

madera, sino que éstas fueron diseñadas usando hojas de papel cuadriculado, papel contact transparente y colores. Cada niño llevó a su casa un formato de cómo elaborarlas

Figura 3-28: regletas de Cuisenaire.


Adaptado de: https://www.geogebra.org/m/XPWwr4h2

y con la ayuda de un adulto (la intención era involucrar a los padres de familia en el

proceso) se trazó con lápiz y regla el diseño propuesto. A continuación, se muestra el

diseño que cada niño llevó a su casa:

Figura 3-29: plantilla para la elaboración de regletas en papel cuadriculado.

Cuando se tuvo la plantilla propuesta ya construida y coloreada se recortó cada regleta y

se forró usando papel contact para facilitar su manipulación.

El uso que se le dio a este material en el desarrollo de la estrategia didáctica fue la de

trabajar las fracciones de la unidad mediante la construcción de longitudes equivalentes a

otra, formadas por regletas iguales más pequeñas que la de referencia, como se puede

observar en la siguiente figura:

Figura 3-30: uso de las regletas para la enseñanza de fracciones.

La verde clara es 1 2⁄ de la verde oscura. La roja es 1 3⁄ de la verde oscura.


3.2.3. Tangram

Un tangram es un puzzle o rompecabezas geométrico. Existen de varios tipos: pitagórico,

triangular, pentagonal, chino, húngaro, de Lloyd, de Fletcher. En cada tangram, las áreas

de las piezas constituyen una parte o fracción del área total considerada como unidad. Por

esto tienen interés para el estudio de las fracciones. (González Marí, 2010).

Para la estrategia didáctica propuesta se empleó el tangram chino (clásico) que consta de

siete piezas: cinco triángulos rectángulos de tres tamaños diferentes (𝑨𝑨 = 𝑩𝑩, 𝑨𝑨 = 𝑩𝑩 y 𝑮𝑮)

un cuadrado (𝑩𝑩) y un paralelogramo (𝑭𝑭). Unidas estas figuras geométricas, forman un

cuadrado. (ver Figura 3-31).

Figura 3-31: el tangram chino clásico de 7 piezas.

Por ejemplo, el área de cada triángulo grande (𝑨𝑨 o 𝑩𝑩) es 1 4⁄ del área del cuadrado que

forman las siete piezas y juntos representan 1 2⁄ de dicha área. La construcción del

tangram fue similar a la empleada para las regletas de Cuisenaire:

Figura 3-32: fotocopia y esquema para la construcción del tangram.

A

B

C

D E

F G


Siguiendo las indicaciones dadas en la Figura 3-32, se le entregó a cada niño una

fotocopia con un molde de un cuadrado de 4 𝑥𝑥 4 para que cada uno de ellos lo recortara

en su casa (nuevamente, con la ayuda de un adulto). Posteriormente, siguiendo el

esquema entregado, trazaron las líneas que se muestran en rojo encima del molde. Luego

recortaron las siete figuras geométricas que forman al tangram chino; posteriormente, al

revés de los recortes realizados (parte blanca) se colorearon las figuras geométricas con

tonos distintos. Al final, se plastificó con papel contact cada pieza obtenida para facilitar su

manipulación y se nombró cada una de éstas con una letra mayúscula (usando marcador).

3.2.4. Círculo de fracciones

Este es uno de los materiales más interesantes, intuitivos y dinámicos que existen pues

facilita la apropiación de conceptos fundamentales sobre fracciones. Su construcción

resulta sencilla y de bajo costo. Para ello se recortan dos círculos de plástico o papel de

diferente color con un corte en un radio, para poder hacer girar los círculos por el centro

como lo muestra la siguiente figura:

Figura 3-33: construcción del círculo de fracciones.

Editada de: http://axayacatl.edu.mx/historia/wp-content/uploads/2015/02/circulo_fracciones01.jpg

Plegando se gradúa el Círculo 2; de esta manera se obtiene 1 2⁄ , 1 4⁄ y 1 8⁄ . Midiendo

con un transportador se determinan el resto de fracciones que se desee: 1 3⁄ , 1 5⁄ , 1 6⁄ o

1 10⁄ .

Círculo 1 Círculo 2

Montaje


Para la estrategia didáctica propuesta se diseñaron círculos de fracciones un poco más

llamativos para los niños usando platos desechables de colores, algunas impresiones por

computador y pegante. El resultado se muestra en la siguiente figura:

Figura 3-34: montaje de material didáctico ‘círculo de fracciones’.

Con este material educativo se puede: (1) representar fracciones menores que la unidad,

(2) señalar varias fracciones en los bordes del círculo y explicar varios procedimientos para

obtener y señalar nuevas fracciones a partir de ellas, (3) ordenar fracciones de menor a

mayor o viceversa representándolas una tras otra con el círculo. Además, con dos círculos

al tiempo se podrían comparar dos fracciones estableciendo algunas relaciones de orden

o de equivalencia.

3.2.5. Videos

El uso de videos propone un nuevo sistema de interacción entre el docente y sus

estudiantes (estrategia especial de comunicación), situación que refresca, alegra y

favorece los escenarios de enseñanza-aprendizaje que normalmente estamos

1 2

3 4


acostumbrados a trabajar con planes de clase tradicionales. Sin lugar a dudas este material

didáctico ofrece herramientas valiosas para el fortalecimiento del aprendizaje cooperativo

y colaborativo entre los estudiantes y de su autoaprendizaje. Es evidente que este tipo de

recursos despiertan un alto grado de interés entre los estudiantes, incluso en aquellos que

presentan problemas de atención; por esto, últimamente, millones de empresas en el

mundo apuestan por el diseño de materiales audiovisuales diversos para que sean

trabajados en el aula de clase ofreciendo sus productos físicamente (DVD) o a través de

softwares informáticos o plataformas virtuales.

No podemos olvidar que la internet nos ofrece un sin número de videos interesantes de

libre distribución y fácil acceso que pueden potenciar el desarrollo de nuestras clases de

manera significativa para nuestros estudiantes. Sin embargo, la práctica de emplear videos

educativos en las clases puede llevar a su subutilización debido a la falta de información

que tienen los docentes en cuanto a su verdadero aprovechamiento, quienes se limitan a

destacar su actividad como ‘de tipo tecnológico’ cuando el objetivo de su utilización no ha

sido claro. Por otro lado, la falta de formación audiovisual entre los estudiantes puede ser

otra desventaja que pueda presentarse; sin embargo, es deber del maestro llevar ese

proceso de formación audiovisual de manera consciente ofreciendo a estos la posibilidad

de “trasladarse” a espacios y tiempos diversos.

La estrategia didáctica propuesta ofrece un video de introducción muy especial puesto que

mezcla una breve historia de las fracciones con algunas aplicaciones de éstas en la vida

diaria; también ofrece un divertido test para los estudiantes que les permitirá reconocer

algunas fracciones básicas; en la siguiente sección, se anexó el link del sitio web YouTube

en el cual se encuentra alojado el video para su visualización.

3.3. Implementación de la estrategia didáctica Teniendo en cuenta los resultados que arrojó la actividad diagnóstica aplicada el 22 de

enero de 2016, se diseñó la siguiente estrategia didáctica que, como se dijo anteriormente, fue desarrollada en 6 sesiones de trabajo de 120 minutos cada una.


SESIÓN No. 1

La sesión No. 1 inició con el test de entrada o exploratorio aplicado el día 22 de enero de

2016 y del cual se conocen sus resultados. El tiempo máximo otorgado a los estudiantes

para esta actividad fue de 60 minutos.

Luego de haber revisado los resultados, la segunda parte de esta sesión se realizó el día

1 de abril del mismo año. Se presentó un video introductorio de 12 minutos con las

características descritas en la sección 3.2.5. de este trabajo. El link es el siguiente:

https://www.youtube.com/watch?v=mWjaU_J32pI

Hacer clic en la imagen para visualizar el video Después de ver el video se les consultó a los niños sobre las respuestas dadas al test y

acto seguido el docente realizó la siguiente actividad: mediante la utilización de hojas de

papel, consideradas como unidades, los niños hicieron dobleces para dividir dicha unidad

en dos, cuatro u ocho partes iguales. La idea era identificar que se pueden hacer

particiones iguales de la unidad con los dobleces, obteniendo formas diferentes. La

siguiente imagen muestra el procedimiento llevado a cabo en el aula de clase con los

estudiantes:

https://www.youtube.com/watch?v=mWjaU_J32pI


Figura 3-35: división de la unidad en partes iguales usando papel.

Fuente: Rutas del aprendizaje. Matemática 4to Grado. Gobierno de Perú (2015).

Al final, con esta actividad se pudo: (1) Corroborar que la unidad puede dividirse en 𝒏𝒏

cantidad de partes. (2) Diferenciar las nociones de igualdad (tamaño o área) y la de

congruencia (igualdad tanto en tamaño como en forma). (3) Reconocer que es imposible

dividir algo en ‘cero partes’, pues el menor número de partes que se pueden tener es una.

A través de esta actividad se les pudo explicar a los estudiantes, de manera intuitiva, por

qué el denominador de una fracción no puede ser cero.

Por último, se dejó como actividad extra-clase la siguiente situación problema: “Se quiere

cercar un terreno cuadrado de 6400 m2. Para ello se propone dividir el terreno en cuatro

partes iguales y en una primera discusión surgen dos opciones:

Opción A Opción B

a) ¿Cuál es la superficie de cada lote en A y en B? ¿1 4⁄ de A es igual a 1 4⁄ de B?

b) El costo para subdividir físicamente esos dos lotes, ¿será el mismo en ambas

distribuciones? ¿Sí, no, por qué?

c) Proponga otra forma de lotear para obtener cuatro sectores de igual superficie. Analice

qué sucede, en cada caso, con el costo de cierre de los lotes.


SESIÓN No. 2

Esta sesión de trabajo se encuentra basada en el Centro de Aprendizaje No. 1 propuesto en la Guía de Enseñanza para Docentes de Primaria de 4° (Módulo B) - Matemáticas29.

Descripción de la sesión: gracias al uso del material manipulativo y mapas de las

situaciones, el estudiante aprenderá el significado de una fracción. Podrá representar una

fracción como cierta parte de un todo (por ejemplo, como cierta parte de una colección de

objetos).

Objetivos de la sesión: Desarrollar el sentido de la fracción (seleccionar cierta parte de un todo).

Representar la parte de un total.

Diferenciar las funciones del numerador y del denominador de una fracción.

Materiales: Imagen de una barra de chocolate.

Objetos varios (piedras, botones, etcétera).

1 pliego de cartulina y 1 marcador.

Inició el docente con un proceso de enseñanza

explícita en el que tomó una imagen de una barra

de chocolate y preguntó a los estudiantes cómo

hacer para compartirla entre 8 amigos de manera

que todos reciban la misma cantidad. Después de

debatirlo con los estudiantes, fue necesario

concluir que se debe dividir o cortar la barra de

chocolate en 8 partes de tamaños iguales. Luego, el docente preguntó por la cantidad de

chocolate que recibiría cada persona (respuesta: 1 8⁄ o 1 parte de 8 partes).

29 Convenio 834: PREST, Ministerio de Educación Nacional de Colombia, Universidad de los Andes, Universidad Externado de Colombia, Universidad Nacional de Colombia. (2015)


Numerador

Denominador

de 12 mangos

Se volvió al primer ejemplo en el cual cada amigo recibe una parte de las ocho partes

totales de la barra de chocolate. La cantidad que cada uno recibió es representada por el

numerador, y la cantidad total de las partes es representada por el denominador; se usa el

tablero para mostrar:

18

Se tomaron después 24 fichas. Se les preguntó a los estudiantes cómo iban a hacer para

distribuirlas entre 4 amigos de manera que todos recibieran la misma cantidad. Después

de debatirlo con los estudiantes, fue necesario concluir que se debe repartir por turnos una

ficha a cada amigo, hasta que ya no haya más fichas en la bolsa. Se planteó el problema

con piedras (fichas o botones):

Natalia Néstor Luna Daiber

Se les preguntó a los estudiantes: ¿cuántas fichas recibirá cada uno de los amigos?

Ejemplo: Natalia recibirá 6 fichas de las 24 que hay en total. Por lo tanto: 6 24⁄ o también,

6 de las 24 fichas. Se les Indicó a los estudiantes que 24 representa el número de fichas

totales y 6 representa el número de fichas entregadas a cada persona. Se les habló

nuevamente del numerador y el denominador; se explicó que el denominador nos indica

en cuántas partes separamos el todo o el conjunto de objetos y que el numerador es el

número de partes que le corresponde a cada persona.

Luego se les planteó la siguiente situación en el tablero:

13


Se organizaron grupos de tres estudiantes y se les pidió que analizaran la situación

planteada ¿cuántos mangos son?

El todo, en este ejemplo, es la colección de 12 mangos, es decir, el total de mangos que

se tiene:

El denominador, el número 3 en este ejemplo, significa que es necesario dividir el total de

mangos en 3 grupos de igual número de mangos. El numerador, el número 1 en este

ejemplo, significa que se toma 1 grupo de 3 grupos que tengan el mismo número de

mangos, lo cual corresponde a 4 mangos:

En conclusión, la solución del problema propuesto en la tarjeta es: 1/3 de 12 mangos

corresponde (es igual) a 4 mangos:

Luego se concedieron 20 minutos más para realizar el mismo ejercicio, pero con la

situación ‘3 4⁄ de 24 lápices’.

Al final de esta actividad se les pidió a los niños que dieran algunas conclusiones; éstas

quedaron consignadas en una cartelera como la siguiente:

(1) Una fracción representa el número de partes de un todo que se toman al dividirlo en partes iguales. (2) Numerador ⇒ El número de partes tomadas (va arriba). (3) Denominador ⇒ Indica en cuántas partes iguales debemos dividir la colección de objetos (va abajo).


Esta cartelera permaneció hasta el último día de la aplicación de la estrategia didáctica.

Para finalizar esta sesión, el docente entregó a los estudiantes el material fotocopiado

descrito en los Anexos E, F y G que contienen los talleres No. 1, No. 2 y No. 3,

respectivamente para su resolución siguiendo las siguientes orientaciones:

Talleres No. 1 y No. 2: Grupos de a dos estudiantes (parejas).

Taller No. 3: Trabajo individual.

SESIÓN No. 3

Esta sesión de trabajo se encuentra basada en el Centro de Aprendizaje No. 2 propuesto

en la Guía de Enseñanza para Docentes de Primaria de 4° (Módulo B) - Matemáticas30.

Descripción de la sesión: en este centro se propone a los estudiantes construir

colecciones de fracciones equivalentes a partir de una colección de fichas o botones.

Objetivos de la sesión: Verificar la equivalencia entre dos fracciones.

Construir colecciones de fracciones equivalentes.

Materiales: Juego de 36 fichas, botones o piedras.

Una cuerda de 1 metro con ambos extremos atados. Regletas de Cuisenaire (para taller anexo).

Inició nuevamente el docente con un proceso de enseñanza explícita en el que primero

dividió la clase en parejas. Distribuyó 24 botones (piedras o fichas) a cada pareja y les

30 Convenio 834: PREST, Ministerio de Educación Nacional de Colombia, Universidad de los Andes, Universidad Externado de Colombia, Universidad Nacional de Colombia. (2015)


pidió a los estudiantes que encontraran varias maneras de dividir los 24 botones en uno o

más montones iguales. Luego de un tiempo prudente en el que trabajaron los niños se

anotó en el tablero todas las maneras posibles de dividir los botones. A continuación, las

respuestas posibles:

1 paquete de 24 botones

2 montones de 12 botones






24 montones de 1 botón

Se les preguntó a los estudiantes, ¿qué concepto matemático asociarían ustedes a la

división de objetos en grupos equivalentes? Muchos estudiantes respondieron que la

división. El docente, posteriormente, orientó a los estudiantes para que consideraran el

concepto de colección y partes de igual cantidad, con el fin de hacerles comprender que

la actividad está relacionada con las fracciones.

Luego se les pidió a los estudiantes que se basaran en la colección de 24 botones (total)

para representar la fracción 1 2⁄ . Como ayuda, se les dijo que revisaran las conclusiones

que quedaron registradas en la cartelera de la sesión anterior.

Después de un tiempo prudente, el docente representó la fracción 1 2⁄ de los 24 botones


y las 2 partes de 12 botones con material concreto:

Figura 3-36: uso de material concreto para representar la fracción 1 2⁄ .

Se les preguntó después a los estudiantes: ¿es posible separar la colección de 24 botones

en 4 partes iguales? Después de un tiempo prudente para el análisis de los estudiantes,

se separó la colección de 24 botones (el total) en 4 partes iguales y se contó sólo una

parte, obteniendo 1 4⁄ . Se les escribió en el tablero la siguiente pregunta:

14

=12

Figura 3-37: equivalencia de fracciones con material concreto (1 4⁄ ≠ 1 2)⁄ .

¿ ?


Se obtuvieron 6 botones. Como no se obtuvieron los mismos 12 botones, entonces la

fracción 1 4⁄ no es equivalente con 1 2⁄ .

Posteriormente, se hizo el siguiente interrogante: ¿cuántos montones de 6 botones se

necesitan para representar una fracción equivalente a 1 2⁄ y obtener la misma cantidad de

botones, o sea 12 botones? Los estudiantes compartieron sus respuestas y luego el

docente utilizó la misma estrategia usando material concreto:

Figura 3-38: equivalencia de fracciones con material concreto (2 4⁄ = 1 2)⁄ .

Se obtuvieron 12 botones. Como se obtuvieron los mismos 12 botones que cuando se

representó a la fracción 1 2⁄ , entonces las fracciones 2 4⁄ y 1 2⁄ son equivalentes.

A partir de este momento se les dio orientaciones a los estudiantes para que continuaran

con el ejercicio de comparar la fracción 1 2⁄ con las fracciones 1 3⁄ , 2 3⁄ , 3 3⁄ , 1 6⁄ , 3 6⁄ ,

1 8⁄ , 2 8⁄ , 3 8⁄ , 4 8⁄ , 1 12⁄ , 6 12⁄ , 1 24⁄ y 12 24⁄ determinando si son equivalentes o no,

siguiendo el mismo método que se ha venido trabajando (usando material concreto).

Al final se les pidió a los estudiantes que retomaran cada una de las fracciones

equivalentes descubiertas durante el ejercicio y que fueran escribiéndolas una por una en

el tablero, así:

12

=24

=36

=48

=6

12=

1224


Por último, se les preguntó nuevamente a los estudiantes, ¿qué notan ustedes? Algunas

respuestas acertadas fueron que: (1) Todas son fracciones que representan “una mitad”,

entonces son equivalentes. (2) Son una colección de fracciones, pero en realidad todas

representan la misma parte de un todo. Dadas estas respuestas el docente reveló y fijó,

en una de las paredes del salón de clases, una cartelera elaborada por él con lo siguiente:

FRACCIONES EQUIVALENTES

Esta cartelera permaneció hasta el último día de la aplicación de la estrategia didáctica.

Para finalizar esta sesión, el docente entregó a los estudiantes el material fotocopiado

descrito en los Anexos H, I, J y K que contienen los talleres No. 4, No. 5, No. 6 y No. 7,

respectivamente, para su resolución siguiendo estas orientaciones:

Talleres No. 4 y No. 7: Trabajo individual.

Talleres No. 5 y No. 6: Grupos de a tres estudiantes.

Tomado de PREST (2015)


SESIÓN No. 4

Objetivos de la sesión: Reconocer fracciones en situaciones de la vida cotidiana.

Representar una misma fracción de distinta forma y justificarlo.

Materiales: Tangram.

Diagrama de Freudenthal.

Dominó de fracciones. Círculos de fracciones.

Se organizaron a los estudiantes por pareja. Con el ánimo de aportar a la lectura crítica de

documentos, se le entregó a cada grupo una fotocopia con el siguiente texto:

LA QUERELLA DE LOS CAMELLOS

«Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una

aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica,

con gran talento, sus habilidades de eximio matemático. Encontramos, cerca de una

antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al

lado de un lote de camellos. Furiosos se gritaban improperios y se deseaban plagas:

- ¡No puede ser!

- ¡Esto es un robo!

- ¡No acepto!

El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.

- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos.

Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano

Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No

sabemos, sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos y a cada división

que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo

hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?

- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con

justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia con este


hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora. Traté en ese momento de

intervenir en la conversación:

- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro

viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? - No te preocupes del resultado Bagdalí –replicó en voz baja Beremís-. Sé muy bien

lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi

hermoso animal, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para

ser repartidos entre los tres herederos.

- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división

exacta de los camellos, que ahora son 36. Y volviéndose al más viejo de los

hermanos, así le habló:

- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la

mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales

ganando con esta división. Dirigiéndose al segundo heredero continuó:

- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a

recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente

que ganas en el cambio. Y dijo, por fin, al más joven:

- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena

parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es

decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme

el resultado. Luego continuó diciendo:

- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos

al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34

camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben,

a mi amigo Bagdalí y el otro me toca a mí, por derecho, por haber resuelto a

satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia.

- ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-.

Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.»

Adaptado de: El Hombre que Calculaba. Malba Tahan (1938).

Luego de dar un tiempo prudente para su lectura, el docente de aula les propuso a sus estudiantes la siguiente actividad: (1) Respondan: ¿qué conceptos matemáticos están


involucrados en la lectura propuesta? (2) Expliquen lo que ocurrió en el relato “la querella

de los camellos”; use procedimientos lógicos-matemáticos para su explicación

(operaciones, gráficos, diagramas, etcétera).

Otorgado un tiempo considerable, el docente confirmó que es un curioso caso que

involucra el uso de fracciones. Si las fracciones propuestas en la repartición se suman, el

total resulta menor que la unidad (1 2 +⁄ 1 3 +⁄ 1 9⁄ = 17/18). De esta manera, el reparto

de los 35 camellos entre los herederos no se habría hecho por completo; habría sobrado

1/18 de los 35 camellos. Cuando se aumenta el dividendo a 36 el sobrante pasó a ser

1/18 de 36, o sea los dos camellos referidos en el reparto hecho por el “Hombre que

calculaba”.

La intención de esta primera actividad de la sesión, más que tocar superficialmente la

noción de suma de fracciones heterogéneas, es que los estudiantes hubiesen recreado

esta situación con piedrecillas o botones (o de forma pictórica) como se trabajó en la

segunda sesión. Esta actividad sirvió como ‘repaso’ de los temas vistos hasta ahora.

Terminada esta primera actividad, el docente pidió a cada estudiante que tuvieran a la

mano el tangram construido en sus casas. Posteriormente, se entregó un material

fotocopiado con la siguiente actividad para que se desarrollara de manera individual:

Use el tangram construido y responda:

1) ¿Qué parte de la figura D representa la figura E?

2) ¿Qué parte de la figura F representa la figura E?

A

B

C

D E

F G


3) ¿Qué parte de la figura G representa la figura E?

4) ¿Qué parte de la figura A representa la figura E?

5) ¿Qué parte del cuadrado completo representa la figura B?

6) ¿Qué parte del cuadrado completo representa la figura C?

7) ¿Qué parte de la figura total representan las figuras A y B juntas?

8) ¿Qué parte de la figura total representa la figura D?

9) ¿Qué parte de la figura total representa la figura F?

10) ¿Qué parte de la figura B representa la figura G?

11) ¿Qué es una fracción?

12) Si el cuadro original es la unidad: a) ¿Qué parte representa el triángulo E de la unidad?

b) ¿Qué parte representa el cuadrado D de la unidad?

c) ¿Qué parte representa el triángulo G de la unidad?

d) ¿Qué parte representa el triángulo A de la unidad?

Al finalizar esta actividad, el docente les pidió a sus estudiantes que verificaran sus

respuestas con el compañero que tenían al lado. Después se hizo un proceso de

socialización del trabajo realizado liderado por el docente, así como algunas aclaraciones

necesarias en el tablero.

Acabada esta actividad, el docente ordenó que conformaran grupos de a 4 estudiantes por

mesa. En cada mesa, se entregó un dominó de fracciones de 28 fichas. Cada niño jugó

varias partidas de ‘dominó de fracciones’ con sus compañeros. Se tuvo en cuenta que el

estudiante que tuviera la ficha mayor (1-1, sin importa cuál fuera su representación)

empezaba el juego.

Posteriormente, el docente indicó que era necesario que en cada mesa se conformaran

dos parejas de estudiantes para trabajar la próxima actividad. Ordenados los estudiantes

por parejas, se entregó una fotocopia a cada grupo con lo siguiente:


Escribe la fracción que representa cada trozo del diagrama de

Freudenthal y completa cada enunciado según lo observado:

1/2 contiene ______ veces a 1/8

____ está contenido 2 veces en 1/3

8/10 es equivalente a _______

Si a 1 2⁄ le quito 1/8 quedan _________

Si hago la mitad de la mitad de 1 4⁄ obtengo ________

4/6 es equivalente a ___________

Diagrama de Freudenthal

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑟𝑟𝑐𝑐𝑀𝑀𝑇𝑇𝑠𝑠

𝑄𝑄𝑄𝑄𝑀𝑀𝑄𝑄𝑡𝑡𝑇𝑇𝑠𝑠

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇

𝑁𝑁𝑇𝑇𝑁𝑁𝑒𝑒𝑄𝑄𝑇𝑇𝑠𝑠

Recomendación: usa regla y colores para desarrollar esta actividad.


Posteriormente, se le entregó a cada pareja un círculo de fracciones; cada grupo realizó

lo siguiente:

(1) Identificó las fracciones que se colocaron en el círculo.

(2) Escribieron las fracciones y las ordenaron de izquierda a derecha empezando por 1.

(3) Indicaron a qué fracciones corresponden los puntos señalados sin números en el

círculo.

(4) Juego: un estudiante marcaba una línea que corresponde a una fracción y el otro debía

decir de qué fracción se trataba; a la inversa, uno decía la fracción y el otro tenía que

señalar el punto al cual corresponde.

Como actividad extra-clase, se entregó una copia del Anexo L, que corresponde al Taller

No. 8 de la estrategia didáctica, para ser entregada en la siguiente clase.

SESIÓN No. 5

Figura 3-39: sala de informática IE San Isidro Labrador (sede principal).


Esta sesión se llevó a cabo en la sala de informática de la institución educativa. Cada niño

tuvo acceso a un equipo portátil en el cual trabajaron online las siguientes páginas web:

http://www.thatquiz.org/es/index.html

Esta página web les permitió a los estudiantes trabajar con distintos contextos de las

fracciones como Parte-Todo. Funciona como una herramienta de concurso entre los

estudiantes que promueve la sana competencia y fortalece el trabajo cooperativo en

situaciones de desafíos grupales.

http://www.educaplus.org/cat-5-p1-Fracciones_Matem%C3%A1ticas.html

http://www.thatquiz.org/es/index.html

http://www.educaplus.org/cat-5-p1-Fracciones_Matem%C3%A1ticas.html


Esta herramienta tecnológica, muy interactiva y divertida para los niños, les ofreció juegos,

simuladores y concursos que permitieron consolidar la noción de fracción como Parte-Todo

puesto que cada actividad sugerida les permitió establecer relaciones de orden entre

fracciones, equivalencias y representaciones en la recta numérica; también esta página

web les ofreció un link especial para trabajar, de manera exclusiva, las fracciones

impropias.

SESIÓN No. 6

La última sesión, previa a la prueba o evaluación final que recogió todo el contenido de la

estrategia didáctica propuesta, resultó ser una clase netamente explicativa en la que el

docente mostró, a través del famoso epitafio de

Diofanto31, cómo las fracciones han enriquecido

muchos procesos de la historia de la matemática y de

la vida diaria. El docente, con la respuesta ya conocida,

se centró en demostrar cada una de las afirmaciones

que tiene el epitafio (usando solo divisiones y sumas)

para posteriormente realizar un breve repaso del

contenido visto.

3.4. Evaluación Después de haber aplicado el diagnóstico inicial a la muestra de estudiantes descrita con

anterioridad y de haber desarrollado una secuencia didáctica que posibilitara la apropiación

del concepto de fracción como Parte-Todo, se realizó un nuevo test (evaluación final) con

el propósito de corroborar la efectividad de la intervención de la estrategia propuesta. La

prueba aplicada se puede observar en el Anexo M.

31 “Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad” (Tomado de Wikipedia). De esta manera, Diofanto falleció a la edad de 84 años.


3.5. Análisis de resultados A continuación, se muestra un breve análisis comparativo entre los resultados obtenidos

en la prueba inicial (pretest) y los obtenidos en la prueba final (postest).

Pregunta No. 1: ¿Qué fracción de mural corresponde lo que han dibujado?


Analizando el gráfico se observa cómo se aumentó en 6 el número de estudiantes que

respondieron correctamente a esta pregunta, con respecto a los 12 que acertaron en el pretest (incremento del 24%). Se puede afirmar que, con la intervención de la estrategia

didáctica, un 72% de los estudiantes reconoce la presencia de las fracciones en la vida

real como indicador de partes de un total.

Pregunta No. 2: ¿Qué fracción de mural falta por dibujar?

Según los resultados se observa cómo casi se duplica el número de estudiantes que

contestaron correctamente a esta pregunta. Se puede decir que, gracias a la intervención

de la estrategia didáctica, un 60% de los estudiantes (15 del total) reconocen la función del

numerador en una fracción propia (Ver Figura 3-41).



Pregunta No. 3: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?


Analizando los resultados de ambas pruebas para esta pregunta, podemos notar que hubo

4 estudiantes más (16%) que respondieron correctamente a este interrogante, con

respecto a la prueba inicial o exploratoria. Se puede afirmar que, con la intervención de la

estrategia didáctica, un 64% de los estudiantes asocia una fracción a una parte de un todo


(partes isométricas o partes equivalentes) o a un grupo de objetos y viceversa. Estos

resultados se describen, gráficamente, en la página anterior (Ver Figura 3-42).

Pregunta No. 4: Escribe Falso F o Verdadero V al frente de cada enunciado.


Haciendo sólo un paneo del gráfico que compara los resultados de la pregunta No. 4 en

ambas pruebas aplicadas, podemos confirmar que ante el ejercicio de razonamiento ‘Falso

o Verdadero’ propuesto, la mayoría de los niños (52% del total), después de desarrollar la

estrategia, diferencia las funciones del numerador y del denominador de una fracción;

antes de la aplicación de la secuencia didáctica, sólo un 32% de los estudiantes tenía clara

esta diferencia.

Pregunta No. 5: Completas las frases (imagen carritos)

Aunque los resultados de esta pregunta no arrojan diferencias notorias entre las pruebas

aplicadas, sí es claro que con ellas se evidenció una mejor comprensión de la

interpretación de la fracción como Parte-Todo en los estudiantes de grado 5°A de la

Institución Educativa San Isidro Labrador de Atánquez (Cesar). Los resultados se detallan

en el siguiente gráfico:



Pregunta No. 6: Observa el tablero de ajedrez y responde las preguntas.

A continuación, se comparte un gráfico en el cual se percibe un evidente avance obtenido

después de ejecutar la secuencia didáctica descrita en este trabajo.



En la ficha técnica de las pruebas aplicadas se afirma que si el estudiante respondía

correctamente a esta pregunta habría demostrado que puede representar una fracción de

diferentes formas a partir de un todo o de un conjunto de objetos ya que esta pregunta

recoge, íntegramente, la interpretación Parte-Todo de la fracción. Después de aplicar la

estrategia didáctica, un 52% de la muestra evaluada contestó correctamente a este ítem

(antes de la prueba, solo el 20% del total la contestó de manera acertada).

Pregunta No. 7: Diseña una bandera teniendo en cuenta que cumpla con las

instrucciones dadas.


En el pretest, el 80% de los estudiantes presentaron dificultades con las actividades que

promueven el ‘saber hacer’ (situaciones problema); además, no compararon fracciones lo

que conlleva a que se les dificulte establecer relaciones de equivalencia entre ellas. En el

postest la situación cambió favorablemente pues solo el 36% de los evaluados (9

estudiantes) no pudieron diseñar la bandera que se les solicitaba. Como dato adicional, un

44% de los alumnos consultados (11 de 25) resolvió el problema propuesto perfectamente.

Pregunta No. 8: Usa la siguiente plantilla para encontrar los 3 4⁄ de 36.

Teniendo en cuenta que esta pregunta fue la que menos aciertos tuvo en la prueba


diagnóstica, se hizo especial énfasis en el diseño de la secuencia para trabajar la fracción

Parte-todo desde un contexto discreto sin olvidar, lógicamente, el contexto continuo.

Después de llevar a cabo la secuencia presentada, los resultados finales fueron realmente

positivos, como se observa en la siguiente figura:


Antes de la intervención de la estrategia didáctica, un 92% de los estudiantes no sabían

dividir la unidad en partes iguales para después señalar un número particular de esas

partes (desde lo discreto). Después de la intervención, con la estrategia, un 52% del total

de los estudiantes evaluados pudo comprender la noción de fracción como Parte-Todo

desde lo discreto.

En la siguiente página, se muestra la Tabla 3-2 que recoge los resultados cuantitativos de

la prueba final aplicada al finalizar la estrategia didáctica propuesta, el día viernes, 22 de

abril de 2016. Como dato adicional, se puede afirmar que el promedio general de la

segunda prueba estuvo por encima de la primera en 27 puntos (64% y 37%, respectivamente), pasando de un nivel bajo a un nivel básico en las competencias

trabajadas (fracciones como Parte-Todo).


Tabla 3-2: resultados cuantitativos de la prueba final.

Se hace nuevamente las aclaraciones de que la estudiante No. 20 pertenece al grupo

indígena Wiwa y el estudiante No. 21 presenta serios inconvenientes con su proceso lector-

escritor.

No. Nombre Estudiante P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 ∑ VAL.

1 María José 1 1 1 3/4 1 1 0 3/4 6,50 81%

2 Yorjenis 1 0 1 1/2 1 0 1/2 1 5,00 63%

3 Maira Alejandra 1 1 0 1 1 1 1 1 7,00 88%

4 Estevan 1 1 1 0 1 1/3 1 1 6,33 79%

5 Yaleidis 0 0 0 0 1 0 1 1 3,00 38%

6 Daniel José 1 1 1 1/4 1/3 0 0 1 4,58 57%

7 Jhony 0 0 0 1/4 1 1/3 1 1 3,58 45%

8 Nestor 1 1 0 0 1 1 3/4 1 5,75 72%

9 Victor Hugo 0 0 1 1/2 1 0 0 0 2,50 31%

10 Guber Enrique 1 1 0 1/4 1 1 1 0 5,25 66%

11 Laura Vanessa 1 1 1 1 1 1 0 1 7,00 88%

12 Daniela 1 1 1 1 1 1 3/4 3/4 7,50 94%

13 Dayana 0 0 1 1 1 1 0 1 5,00 63%

14 Carlos Andrés 0 0 0 1/4 1 0 1 0 2,25 28%

15 María Alejandra 1 1 1 1 1 1 1 3/4 7,75 97%

16 Daiber 1 1 1 3/4 1 1 0 0 5,75 72%

17 Rosa María 1 1 1 1 1 0 1 0 6,00 75%

18 Shayra 1 1 0 1 1 1 1/2 1 6,50 81%

19 Jhan Javier 0 0 1 1/4 0 0 0 0 1,25 16%

20 María Ignacia 1 1 1 0 1/3 1 1/2 1/2 5,33 67%

21 Jhonis Carlos 1 1 0 1 0 0 1 0 4,00 50%

22 Melissa 1 0 1 1/4 1 0 0 0 3,25 41%

23 Luna 1 0 1 1 1 1 0 1 6,00 75%

24 Natalia 1 1 0 1 1 1 1 1 7,00 88%

25 Oscar 0 0 1 1/2 1 0 1 1 4,50 56%

72% 60% 64% 58% 87% 55% 56% 63% 5,14 64%

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN ISIDRO LABRADOR - GRADO 5°AResultados Prueba Final (22/04/2016)

Promedios


4. Conclusiones y recomendaciones 4.1. Conclusiones

Podemos considerar a la fracción como un mega concepto que encierra una pluralidad

de significados e interpretaciones según el contexto en que se empleen. Un acierto en

la enseñanza de las fracciones ha sido la de empezar tocando las interpretaciones

primarias vistas a través de la historia (como parte-todo y como relación entre

magnitudes). De esta manera, no se puede caer en la tentación de cubrir la gran

variedad de interpretaciones existentes de este complejo concepto sin tener en cuenta

las raíces, es decir, el contexto histórico que lo ha envuelto por muchos años.

En el desarrollo de este trabajo se partió por identificar los saberes previos de un grupo

de estudiantes de grado quinto, referentes a la interpretación de la fracción como Parte-

Todo, usando un test diagnóstico. A través de este instrumento se pudieron detectar,

de manera satisfactoria, algunas fallas en el actual sistema de enseñanza puesto que

se evidenció que se trabaja a partir del conteo, situación que ha suscitado que la

mayoría de los estudiantes centren su proceso de conceptualización en el número

natural y no en la fracción como tal; por tal motivo, tenemos a nuestros niños y niñas

siendo víctimas de la dicotomía entre lo continuo y lo discreto, entre el número y la

magnitud.

Para poder aportar a la solución del problema se seleccionaron algunos aspectos

matemáticos, históricos y didácticos que se tuvieron en cuenta en el diseño de una

estrategia didáctica que, al final, fue validada en el grado Quinto A de la Institución

Educativa San Isidro Labrador de Atánquez, corregimiento de Valledupar. Para

favorecer la estrategia, se elaboraron materiales didácticos de bajo costo y fácil

4. Conclusiones y recomendaciones 108

consecución que fueron utilizados en el aula de clases apoyándonos de la metodología

COPISI y priorizando el trabajo concreto.

Por último, al realizar un análisis cualitativo y cuantitativo del desarrollo de la estrategia didáctica propuesta, basados en una prueba inicial (pretest), en el desarrollo de seis

sesiones de trabajo llevadas a cabo en el aula y, por último, en una prueba final

(postest), se puede afirmar que toda esta intervención favoreció la apropiación del

concepto de fracción como Parte-Todo por parte de los estudiantes de la muestra

seleccionada.

4.2. Recomendaciones

Resta seguir realizando aportes, desde el conocimiento didáctico del contenido de las

matemáticas, que posibiliten entre nuestros estudiantes la comprensión de las diferentes

interpretaciones de las fracciones (parte-todo, cociente, operador, razón y medida).

Para ello, urgen docentes de aula comprometidos no solo con su formación disciplinar,

sino con la normal preocupación que se requiere sobre el cómo llevar lo que sé para que

otros lo sepan de la mejor manera posible.

Con respecto a las dicotomías entre continuo-discreto y número-magnitud que se muestran

como factores histórico-epistemológicos claves en la construcción del concepto de número

racional, éstas deben ser claramente conceptualizadas si se pretende que las fracciones

de unidad sean aceptadas como números.

Por último, se hace necesario contar con un aula de clases rica en materiales didácticos

como fichas, dominós, tangrams, ábacos, bloques multibases, geoplanos, bloques lógicos,

figuras geométricas, calculadoras, computadores, etc. pues estos se constituyen en

importantes herramientas para el desarrollo y enriquecimiento del proceso de enseñanza-

aprendizaje de los estudiantes.


Bibliografía Aguilera, P., y Ponce, J. (2002). Uso de material concreto en el sector de matemática en

primer año básico. Recuperado de http://bibliotecadigital.academia.cl/bitstream/

handle/123456789/1835/tpeb785.pdf?sequence=1

Álvarez, Y. (2009). Taller arquijuego. Décimo Encuentro Colombiano de Matemática

Educativa. Recuperado de http://funes.uniandes.edu.co/782/1/taller.pdf

Boyer, C. B. (1987). Historia de las Matemáticas. Madrid: Alianza Editorial.

Cano, F. (2014). Unidad didáctica para la enseñanza de los fraccionarios en el grado

cuarto de básica primaria. Universidad Nacional de Colombia. Sede Manizales.

Recuperado de http://www.bdigital.unal.edu.co/44384/1/8412505.2014.pdf

Cook, T. D., & Campbell, D. T. (1979). Quasi-experimentation design and analysis issues

for field settings. Boston: Houghton Mifflin.

Corbalán, F. (2007). Matemáticas de la vida misma. Barcelona: Editorial GRAÓ.

Cortina, J.L., Zúñiga, C., y Visnovska, J. (2013). La equipartición como obstáculo

didáctico en la enseñanza de las fracciones. Educación Matemática, 25 (2), 7-29.

De León, H., y Fuenlabrada, I. (1996) Procedimientos de solución de los niños de

primaria en problemas de reparto. Revista mexicana de investigación educativa.

Vol. 1, No. 2, 268-282.

Ellerbruch, L. W., & Payne, J. N. (1978). A Teaching sequence from initial fraction

concepts through the addition of unlike fractions. En Suydam, M. (Ed.), Developing

computational skills (pp. 129-147). Reston, VA: National Council of Teachers of

Mathematics.

Bibliografía 110

Fandiño, M. (2009). Las fracciones: aspectos conceptuales y didácticos. Bogotá:

Magisterio.

Flores, F. (2008). Historia y didáctica de los números racionales e irracionales.

Recuperado de http://www.publicatuslibros.com/fileadmin/Biblioteca/Libros/

Tecnicos/Francisco_LuisFlores_Gil_-Historia_y_Didactica_de_los_Numeros_

Racionales_e_Irracionales.pdf

Flores, P., y Morcote, O. (2001). Algunos elementos del conocimiento profesional en la

planeación de clases de futuros profesores de secundaria (un caso: las fracciones).

Universidad de Sevilla. Recuperado de http://documents.mx/documents/2001-

morcote-y-flores-cp-fracciones-interp-y-repr.html

Franquet, J. M. (2003). Cinco temas de hidrología e hidráulica. Cataluña: Universidad

Internacional de Cataluña. EUCET.

Gairín, J. M. (2001). Sistemas de representación de número racionales positivos. Un

estudio con maestros en formación. Contextos educativos, (4), 137-159.

Recuperado de dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/209691.pdf

Gairín, J. M. (2001). Una interpretación de las fracciones egipcias desde el recto del

papiro de Rhind. LLULL, (24), 649-684. Recuperado de dialnet.unirioja.es

/descarga/articulo/ 460372.pdf

González, J. L. (2010). Recursos, Material didáctico y juegos y pasatiempos para

Matemáticas en Infantil, Primaria y ESO: consideraciones generales. Recuperado

de http://www.gonzalezmari.es/materiales_infantil_primaria_y_ESO._

Consideraciones _generales.pdf

González, P. M. (2008). La solución de Eudoxo a la crisis de los inconmensurables: la

teoría de la proporción y el método de exhaución. Revista SIGMA, 33 (2), 101-130.

Hernández, V. M. (2002). La geometría analítica de Descartes y Fermat: ¿y Apolonio?

Apuntes de historia de las matemáticas. Vol. 1, No. 1, 32-45.


Ibáñez, J. (2013). La matemática y su relación con el ajedrez. Recuperado de

http://www.abc.com.py/blogs/la-casilla-del-ajedrez-paraguayo-131/la-matematica-y-

su-relacion-con-el-ajedrez-2402.html

Jiménez, D. (2006). ¿Qué era un irracional para un matemático griego antiguo? Boletín

de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. XIII, No. 1, 87-103.

Kieren, T. E. (1980). The Rational Number Construct – Its elements and mechanisms. En

Kieren, T. E. (ed.), Recent Research on Number Learning (pp 125-150). Columbus,

OH: ERIC/SMEAC.

Kieren, T. E. (1993). Rational and Fractional Numbers: From Quotient Fields to Recursive

Understanding. En Carpenter, T. P., Fennema, E. & Romberg T. A. (eds.), Rational

Numbers: An Integration of the Research (pp 49-84). Hillsdale, NJ: Lawrence

Erlbaum Associates

Llinares, S., y Sánchez, M. (1997). Fracciones: La relación parte-todo. Madrid: Síntesis.

Llinares, S. (2005). Relación entre teorías sobre el aprendizaje del profesor de

matemáticas y diseño de entornos de aprendizaje. Trabajo presentado en V

CIBEM, Porto.

López, J.F. (2012). Enseñanza del concepto de fracción en el grado séptimo

considerando la relación parte-todo. Universidad Nacional de Colombia.

Recuperado de http://www.bdigital.unal.edu.co/5922/1/8410009.2012.pdf

Machado, G. (2014). A construção dos números. Universidade Federal de São Carlos.

Recuperado de http://www.dm.ufscar.br/dm/attachments/article/6/TCC-

Gabriela_Machado.pdf

Macías, M.R. (2010). Evolución histórica del concepto de número. Revista Online

Autodidacta, (1), 28-47. Recuperado de http://www.anpebadajoz.es/autodidacta

/autodidacta_archivos/numero_1_archivos/r_m_hernandez_feb10.pdf

Bibliografía 112

Magaña, P.P. (2006). Origen de los números. Universidad Santo Tomás, Santiago de

Cali. Recuperado de http://www.monografias.com/trabajos38/origen-numeros/

origen-numeros.shtml

McAdams, D. (2009). Número racional. Enciclopedia de todas las palabras de la

matemática. Life is a Story Problem. Recuperado de http://www.allmathwords.org

/rationalnumber.html.

Ministerio de Educación Nacional MEN. (1998). Lineamientos Curriculares Matemáticas.

Recuperado de http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-339975_

matematicas.pdf

Ministerio de Educación Nacional MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en

Matemáticas. Bogotá D.C.: Escribe y Edita.

Ministerio de Educación Nacional MEN. (2009). Plan Decenal de Educación 2006-2016.

Recuperado de http://www.plandecenal.edu.co/html/1726/channel.ht

Murillo, F.J. (2008). Los Modelos Multinivel como herramienta para la investigación

educativa. Magis. Revista Internacional de Investigación Educativa. 1 (1), 17-34.

Obando, G. (2003). La enseñanza de los números racionales a partir de la relación parte-

todo. Revista EMA, 8 (2), 157-182.

Organización Indígena Kankuama OIK. (2006). Makú Jogúki, Ordenamiento Educativo

del Pueblo Indígena Kankuamo. Valledupar: Fundación E-Korúa.

Parra, C. (2005). Matemática, fracciones y números decimales 5to grado: apuntes para la

enseñanza. Secretaría de Educación - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires.

Buenos Aires.

Perera, P. y, Valdemoros, M. (2009). Enseñanza experimental de las fracciones en cuarto

grado. Educación Matemática. Vol. 21, No. 1, 29-61.

Pinto, J. E., y, González, M. T. (2008). El conocimiento didáctico del contenido en el

profesor de matemáticas: ¿una cuestión ignorada? Educación Matemática. Vol. 20,

No. 3, México.

http://www.allmathwords.org/


Posada, M. E. (2005). Interpretación e Implementación de los Estándares Básicos de

Matemáticas. Recuperado de http://www.centauros.edu.co/pdf /PENSAMIEWNTO

%20NUMERICO.pdf

PREST, Ministerio de Educación Nacional de Colombia, Universidad de los Andes,

Universidad Externado de Colombia y Universidad Nacional de Colombia. (2015).

Guía de Enseñanza de Matemática para Docentes de Primaria, Grado 4°, Módulo

B. Convenio 834.

Ruiz, C. (2013). La fracción como relación parte-todo y como cociente. Universidad

Nacional de Colombia. Recuperado de

http://www.bdigital.unal.edu.co/40057/1/01186860.2013.pdf

Salas, Carrillo, Solórzano, Paredes & Mogollón. (2011). Materiales educativos. Guía de

uso del material didáctico. Quito, Ecuador: Dirección Nacional de Servicios

Educativos.

Sánchez, C. H. (2014). El origen de los Números y de los sistemas de numeración. Curso

de Historia y Filosofía de la Matemática. Universidad Nacional de Colombia. Bogotá

D.C.

Shulman, L. S. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching.

Educational Researcher. Vol. 15, No. 2, 4-14.

Smith, D. D., & Rivera, D. (1991). Mathematics. En Wong, B. (Ed.), Learning about

learning disabilities (pp. 346-375). Orlando, FL: Academic Press.

Von Fritz, K. (1945). The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum.

Annals of Mathematics. Vol. 46, No. 2, 242-264.

Wolman, S. (2006). Cálculo mental con números racionales: apuntes para la enseñanza.

Secretaría de Educación - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Buenos Aires.

Anexos 114

ANEXOS


A. Antiguo escrito chino

Antiguo escrito chino donde se evidencia el trabajo con fracciones haciendo primero la reducción a común denominador.

Tomado de: http://timerime.com/es/evento/1461747/Los+Chinos+y+las+fracciones/

http://timerime.com/es/evento/1461747/Los+Chinos+y+las+fracciones/

Anexos 116

B. Cronograma de Actividades

Fuente: Diseño propio.

ACTIVIDADES / TAREAS

Diseño Proyecto de Trabajo Final 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 Definición del área de investigación Revisión bibliográfica

2 Planteamiento del problema y de la pregunta

3 Redacción de la introducción

4 Formulación de los objetivos General y específicos

5 Marco teórico Histórico, disciplinar y didáctico

6 Marco metodológico

7 Revisión bibliográfica

Ejecución Proyecto de Trabajo Final 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

12 Diseño de prueba diagnóstica Identificación de saberes previos

13 Aplicación de prueba diagnóstica

14Selección de aspectos para el diseño de la estrategia didáctica

15Selección y elaboración de materiales didácticos

16 Diseño de la estrategia didáctica

17Validación en el aula de la estrategia didáctica propuesta

18Análisis de información y de la aplicación de la estrategia didáctica propuesta

19 Escritura del trabajo final

20 Entrega y sustentación del trabajo final

21 Publicación del trabajo final

Mes 8 Mes 9 Mes 10 Mes 11

AGO SEP OCT NOV DIC FEB MAR ABR MAY JUN

2 0 1 6

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes 7

ENE FEB MAR ABR MAY JUNSEP

ENE

OCT NOV DICAGO2 0 1 5


C. Actividad diagnóstica (página 1)

Anexos 118

C. Actividad diagnóstica (página 2)


D. Ficha técnica (pretest y postest)

FRACCIONES (PARTE-TODO)

NOMBRE ESTABLECIMIENTO: Institución Educativa San Isidro Labrador

Corregimiento de Atánquez (Cesar) Resguardo Indígena Kankuamo

GRADO DE APLICACIÓN: Quinto EBP (5°) NÚMERO DE GRADOS A APLICAR: Uno (1) TOTAL DE PRUEBAS A APLICAR: Veinticinco (25) JORNADA: Mañana

Las pruebas fueron diseñadas teniendo en cuenta el desarrollo del siguiente estándar:

“Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición, relaciones parte todo,

cociente, razones y proporciones”. Cada prueba tuvo un total de ocho (8) preguntas generales, algunas de ellas, con algunos incisos. Las particularidades de cada una de estas preguntas se detallan a continuación: Pregunta No. 1 y Pregunta No. 2: Ambas preguntas se resuelven teniendo en cuenta una situación inicial descrita (Mural de los Minion’s y de Frozen). Desarrollando esta pregunta, se pretende que el estudiante reconozca la presencia de las fracciones en la vida real, como indicador de partes de un total. La idea es que el estudiante escriba una fracción que resuelva cada interrogante en cada uno de los espacios establecidos (cuadrículas rojas). las imágenes usadas fueron tomadas de las páginas http://ilovehdwallpapers.com/minions-kevin-bob-stuart-mobile-smartphone-4k-funny-cute-wallpapers.html y de http://www.juegosprincesasofia.com/juegos_frozen.html . Pregunta No. 3: basada en una de las preguntas propuestas por el ICFES en las Pruebas Saber 5° (año 2015), ésta se desenvuelve en un contexto económico que pretende asociar una fracción a una parte de un todo (partes isométricas o partes equivalentes) o a un grupo de objetos y viceversa. La idea es que el estudiante escoja una de las opciones presentadas en la prueba (pregunta de selección múltiple, con única respuesta). La fuente del gráfico es propia. Pregunta No. 4: esta pregunta promueve el tradicional ejercicio de razonamiento ‘Falso o Verdadero’. Concretamente, lo que se busca es verificar si el estudiante diferencia las funciones del numerador y del denominador de una fracción. Pregunta No. 5: más que establecer razones entre los objetos mostrados, lo que se pretende con esta pregunta es desarrollar el sentido de la fracción (seleccionar cierta parte de un todo), representando ‘la parte’ de un total. La idea es que el estudiante realizando un conteo de los objetos que se muestran, complete los enunciados propuestos. Las imágenes usadas fueron tomadas de diversas páginas de la internet y pertenecen a las marcas de chupetas ‘bon bon bum’ de la industria Colombina S.A. y la película Cars producida por Pixar y lanzada por Walt Disney Pictures. Pregunta No. 6: desarrollando correctamente esta pregunta, el estudiante habrá demostrado que puede representar una fracción de diferentes formas a partir de un todo o de un conjunto de objetos. Esta pregunta recoge íntegramente, la interpretación ‘parte-todo’ de la fracción. La imagen empleada (tablero de ajedrez) fue descargada y editada de la página de internet https://mukarrammukhtar.wordpress.com/chess-board-in-java/.

http://ilovehdwallpapers.com/minions-kevin-bob-stuart-mobile-smartphone-4k-funny-cute-wallpapers.html

http://ilovehdwallpapers.com/minions-kevin-bob-stuart-mobile-smartphone-4k-funny-cute-wallpapers.html

http://www.juegosprincesasofia.com/juegos_frozen.html

Anexos 120

Pregunta No. 7: esta pregunta, busca entre otras cosas, dar solución a una situación problema. Allí, se tendrán en cuenta las habilidades que tiene el estudiante para comparar distintas fracciones (equivalentes o no). Además, esta pregunta promueve el ‘saber hacer’ del estudiante, involucrando otras temáticas geométricas interesantes como el reconocimiento de figuras planas en nuestro entorno (en este caso, el rectángulo). Para el desarrollo de esta pregunta, el estudiante debe contar al momento de la prueba con lápices de colores rojo y azul. Pregunta No. 8: con esta pregunta se pretende verificar si el estudiante comprende la fracción de una cantidad determinada. Para ello, el estudiante deberá dividir la cantidad dada en tantas partes iguales como indica el denominador, para luego asociar dicho resultado con el número mostrado en el numerador (número de partes a tomar). Así, un estudiante podría realizar lo siguiente, usando la plantilla propuesta en la prueba:

4 grupos iguales (de 9)

Se ‘escogen’ 3 de esos 4 grupos conformados

La escala de valoración total empleada para el análisis numérico de las pruebas fue de 0 a 100 puntos (donde 100 puntos es la máxima valoración que puede tener una prueba). La valoración máxima de cada pregunta (1 a la 8) fue de 12,5 puntos; para ello, se tuvo en cuenta el número de incisos que contiene cada pregunta. El análisis cualitativo se realizó tabulando la información encontrada en cada pregunta desarrollada por cada uno de los 25 estudiantes evaluados. A continuación, teniendo en cuenta las últimas recomendaciones dadas por el MEN, se ofrece una asociación del contenido evaluado en estas pruebas con algunos Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA): Comprende el uso de las fracciones para describir situaciones en las que la unidad se divide en

partes iguales (Grado 3ro). Compara fracciones sencillas y reconoce fracciones que, aunque se vean distintas, representan

la misma cantidad (Grado 3ro). Comprende que las fracciones sirven para referirse a una parte de una colección de objetos

(Grado 4to). Identifica fracciones equivalentes y simplifica fracciones (Grado 4to).

Docentes aplicadores: Germán Gaviria y Nefer Arias Febrero de 2016


E. Taller No. 1 (página 1)

Tomado de: PREST (2015)

Anexos 122

Taller No. 1 (página 2)



F. Taller No. 2 (página 1)


Anexos 124






Anexos 126

G. Taller No. 3



H. Taller No. 4


Anexos 128

I. Taller No. 5



J. Taller No. 6 (página 1)


Anexos 130






Anexos 132

K. Taller No. 7



L. Taller No. 8

Tomado de: Matemática. Fracciones y números decimales. 5º grado. Buenos Aires.

Anexos 134

M. Evaluación final (página 1)


Evaluación final (página 2)

Documents

Estrategia didáctica para trabajar el concepto de … · Estrategia didáctica para trabajar el concepto de fracción como relación Parte-Todo en grado quinto, teniendo en cuenta