ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONARPROBLEMAS MATEMÁTICOS

Mediante las estrategias que se presentarán a continuación,se busca orientar al estudiante en cómo abordar los ejerciciosy problemas matemáticos de una forma más eficaz y eficiente.

En primer lugar, se abordará la categorización de los problemas,en segundo lugar se presentarán los pasos o episodios pararesolver problemas matemáticos, luego se mostrarán las dificultades más comunes que se presentan al solucionar problemas matemáticos para culminar con las características que hacen expertos a los solucionadores de problemas.

Esperamos que este material sea de utilidad y que con lapuesta en práctica de forma continua de estas estrategiasse puedan elevar los niveles de experticia en la solución deproblemas matemáticos.

CATEGORIZACIÓN DE LOS PROBLEMAS

Cuando se inicia en la resolución de los ejercicios de matemáticases importante primero dar un vistazo a todos lo problemas paraagruparlos con base a un criterio común.

Esto facilitará el proceso de aprendizaje y en especial, elmejor funcionamiento de la memoria.

Trabajar en forma continua con problemas similares permiterealizar comparaciones y establecer relaciones que profundizanla comprensión y la huella de la memoria.

A continuación veremos un ejemplo:

Ejercicios 19-32: Determine (f o g)(x), y (g o f)(x)

1. f(x) = 2x2 + 5, g(x) = 4 – 7x 2. f(x) = 1/ (3x + 1), g(x) = 2/ x2 3. f(x) = x3, g(x) = x + 1 4. f(x) = √x2 + 4, g(x) = 7x2 + 1 5. f(x) = 3x2 + 2, g(x) = 1/ (3x2 + 2) 6. f(x) = 7, g(x) = 4 7. f(x) = \/2x + 1, g(x) = x2 + 3 8. f(x) = 6x – 12, g(x) = 1/6x + 2

9. f(x) = | x| , g(x) = – 5

10. f(x) = x2 + 1, g(x) = x3 + 1

11. f(x) = x2, g(x) 1/ x2

12. f(x) = 1/ (x + 1), g(x) = x + 1

13. f(x) = 2x – 3, g(x) = (x + 3)/ 2

14. f(x) = x3 – 1, g(x) = x+1

ASI SE NOS PRESENTAN LOS EJERCICIOS EN UN LIBRO DE CÁLCULO

Tomado de: Swokowski, Earl. (1988) Cálculo con geometría analítica. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamericana, México, pg. 47.

6. f(x) = 7, g(x) = 4

9. f(x) =|x|, g(x) = – 5

13. f(x) = 2x – 3, g(x) = (x + 3)/2

1. f(x) = 2x2 + 5, g(x) = 4 – 7x

3. f (x) = x3, g(x) = x + 1

2. f(x) = 1/(3x + 1), g(x) = 2/x2

5. f(x) = 3x2 + 2, g(x) = 1/(3x2 + 2)

8. f(x) = 6x – 12, g(x) = 1/6x + 2

11. f(x) = x2, g(x) 1/x2

12, f(x) = 1/(x + 1), g(x) = x + 1

¿QUÉ LES PARECE SI LOS ORGANIZAMOS ASÍ Y LOS RESOLVEMOSPOR BLOQUES, EMEPZANDO POR LOS MÁS FÁCILES A LOS MÁS DIFÍCILES?

¿CUÁL FUE EL CRITERIO UTILIZADO PARA ORGANIZAR LOS EJERCICIOS?

PASOS O EPISODIOS PARA RESOLVERPROBLEMAS MATEMÁTICOS

PASO DE UN ESTADO INICIAL A OTRO FINAL A TRAVÉS DE OTROS ESTADOS

INTERMEDIOS UTILIZANDO OPERADORES YCONSIDERANDO RESTRICCIONES.

(NEWELL Y SIMON,1972)

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EPISODIOS AL SOLUCIONAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Schoenfeld (1992)

1. ANALIZAR EL PROBLEMA.

2. LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO.

3. HACER UN PLAN.

4. REALIZAR EL PLAN.

5. CHEQUEAR LA RESPUESTA EN CONTRA DE LO QUE SE PIDE EN LA PREGUNTA.

*Precisar la información dada.*Entender qué se pide resolver.*Precisar la incógnita.

1. ANALIZAR EL PROBLEMA.

2. LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO.

*Relacionar datos entre sí y con la incógnita*Hacer un gráfico*Determinar lo que se necesita para resolver la incógnita.*Localizar el conocimiento matemático aplicable.

3. HACER UN PLAN.

*Razonar cómo se va a abordar el Problema.

*Generar la secuencia de acciones a seguir.

4. REALIZAR EL PLAN.

5. CHEQUEAR LA RESPUESTA EN CONTRA DE LO QUE SE PIDE EN LA PREGUNTA.

Resolver:

│X – 3│ + │X – 5│ ≤ 4

PRIMER PASO: ANALIZAR EL PROBLEMA.

Precisar la información dada: Se da una inecuación con dos valores absolutos.Entender qué se pide resolver: Obtener la resolución de la desigualdad.Precisar la incógnita: Se pide el conjunto solución de la desigualdad del tipo x є [a, b], por ejemplo.

SEGUNDO PASO: LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO.

Relacionar datos entre sí y con la incógnita: La suma de esos dos valores absolutos debe ser menor o igual que 4.

Hacer un gráfico:

| | | | | | | | 0 1 2 3 4 5Localizar el conocimiento matemático aplicable: Propiedades de campo de los números reales (conmutativa, asociativa, distributiva, elementos identidad, inversos). Propiedades de orden de los números reales (tricotomía, transitividad, suma, multiplicación).Propiedades de las desigualdades (clases de intervalos, resolución de desigualdades, puntos de separación, puntos de prueba, unión e intersección de conjuntos.Valor absoluto (definición).Propiedades del valor absoluto (multiplicación, división, etc.)Resolución de desigualdades con valor absoluto (casos | X | < a ó | X | > a)

TERCER PASO: HACER UN PLAN.

Razonar cómo se va a abordar el problema.

Tengo una desigualdad con valores absolutos. Es importante determinar los puntos de separación para así poderlos ubicar en la recta real. Con esta información, se divide la recta real en tres intervalos, que van a formar los casos para los cuales se van a obtener el conjunto solución. Una vez determinado los casos, procedo a trabajar con cada uno, viendo cómo se comporta la desigualdad dad en cada uno de ellos de acuerdo a los valores que le corresponden según el valor absoluto, para entonces proceder a resolver la desigualdad dentro de cada caso, en orden. Cada caso me va a dar como resultado un conjunto solución, los cuales voy a unir al final para obtener el conjunto solución definitivo de la inecuación.

TERCER PASO: HACER UN PLAN.Generar una secuencia de acciones a seguir.

1. Plantear los casos para cada valor absoluto presente en la desigualdad.

2. Determinar los puntos de separación.3. Determinar los intervalos a considerar según los puntos de separación.4. Plantear los casos de la desigualdad para cada intervalo.5. Resolver cada caso y determinar el conjunto solución6. Intersectar las soluciones de cada uno de los casos.7. Plantear el conjunto solución definitivo de la desigualdad.

CUARTO PASO: EJECUTAR EL PLAN 1.Plantear los casos para cada valor absoluto presente en la desigualdad.

x – 3, x ≥ 3| x - 3 | - x + 3, x < 3

x – 5, x ≥ 5| x - 5 | - x + 5, x < 5

2. Determinar los puntos de separación: Según los valores dados en los valores absolutos, serían 3 y 5.

3. Determinar los intervalos a considerar según los puntos de separación:

( - ∞, 3)[3, 5)[5, ∞)

4. Plantear los casos de la desigualdad para cada intervalo:Si x є ( - ∞, 3)Si x є [3, 5)Si x є [5, ∞)

5. Resolver cada caso y determinar el conjunto solución:

a) Si x є ( - ∞, 3)x + 3 – x + 5 ≤ 4

2x + 8 ≤ 42x ≤ - 4X ≥ 2

x є [2, ∞) ∩ ( - ∞, 3) = [2, 3)x є [2, 3)

5b) Si x є [3, 5)

x - 3 – x + 5 ≤ 4- 3 + 5 ≤ 4

2 ≤ 4x є |R

x є |R ∩ [3, 5) = [3, 5)x є [3, 5)

5c. Si X є [5, ∞)

x - 3 + x - 5 ≤ 42x - 8 ≤ 42x ≤ 12

x ≤ 6x є [5, ∞) ∩ (-∞, 6] = [5,

6]x є [5, 6]

6. Unir las soluciones de cada uno de los casos.

x є [2, 3) U [3, 5) U [5, 6]

7. Plantear el conjunto solución definitivo de la desigualdad.

x є [2, 6]

Halle la ecuación de la circunferencia

Que pasa por (2,3) y (-1,1) y cuyoCentro está situado en la recta

x – 3y – 11 = 0:

Primer paso: Analizar el problema

*Precisar la información dada.*Entender qué se pide resolver.*Precisar la incógnita.

Datos:

A = (-1,1)B = (2,3)Recta: x – 3y – 11 = 0

Incógnita: r2 = (x – h)2 + (y - k)2

Segundo paso: Localizar el Conocimiento matemático apropiado. Representar el problema*relacionar datos entre sí y conLa incógnita*Hacer un gráfico*Determinar lo que se necesita paraResolver la incógnita.*Localizar el conocimiento matemáticoAplicable (mediatriz, teoría sobre rectas,Sistema lineal de ecuaciones, punto Medio, distancia entre puntos, ecuaciónDe la circunferencia, entre otros.

Tercer paso: Hacer un plan

*Razonar cómo se va a abordar elproblema. En este caso, razono parecidoa esto: Para obtener la ecuación de lacircunferencia necesito el radio y el centro. Para obtener el centro necesitodespejar de un sistema de ecuacioneslineales el punto de cruce entre las dosrectas que es el centro. Para obtener laotra recta, que es mediatriz, necesito el punto medio entre los puntos A y B. Luego calculo la recta que une a los puntos, seguidamente obtengo lapendiente de la mediatriz. El radio es ladistancia de uno de los puntos al centro.

*Generar la secuencia de acciones a seguir:1) Calculo la ecuación de la recta que Une a los puntos.2) Calculo el punto medio entre A y B.3) Obtengo la pendiente de la mediatriz.4) Resuelvo el sistema de ecuaciones yhallo el centro.5) Calculo la distancia de un punto alcentro y obtengo el radio.6) Expreso los resultados como unaecuación de la circunferencia.

Cuarto paso: Ejecutar el plan 1) m = (y1-y2) / (x1-x2) = (3-1) / (2+1) = 2/3y – 3 = 2/3 (x – 2)

2) PM AB = ((x1+x2) / 2) , (y1+y2) / 2 )PM AB = ((2 + (-1)) / 2, (3 + 1) / 2))PM AB = ( ½ , 2).

3) m1 = -1/mm1 = - 3 / 2

4) x – 3y – 11 = 0 y – 2 =- 3 / 2 ( x – ½)

x = 3y + 11

2y – 4 = - 3x + 3/2.

2y – 4 = - 3 (3y + 11) + 3/22y – 4 = -9y – 33 + 3/211y = - 29 + 3/211y = (-58 + 3) / 211y = - 55 / 2y = - 55 / 22y = -5 /2

1) Calculo la ecuación de la recta que une a los puntos.

2) Calculo el punto medio entre A y B.

3) Obtengo la pendiente de la mediatriz.

4) Resuelvo el sistema de ecuaciones yhallo el centro.

5) Calculo la distancia de un punto alcentro y obtengo el radio.

Cuarto paso: Ejecutar el plan

4) x = 3 (- 5 / 2) + 11 = 7/2

Centro = (7/2 , - 5/2)

5) r2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2

A = ( -1, 1)r2 = (7/2 – (- 1))2 + (-5 / 2 – 2/2)2

r2 = (9/2)2 + (-7 / 2)2

r2 = 81/4 + 49/4 = 130/4 = 65/2

6) (x – 7/2)2 + (y + 5/2)2 = 65 / 2

4) Resuelvo el sistema de ecuaciones yhallo el centro.

6) Expreso los resultados como unaecuación de la circunferencia.

Quinto paso: Chequear la respuesta en contra de lo que se pide en la pregunta

Me piden una ecuación de la circunferenciade la forma:

r2 = (x – h)2 + (y - k)2

Donde los valores de r, h y k se obtengana partir de los datos dados. Verifico cálculos.

EPISODIOS AL SOLUCIONAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Schoenfeld (1992)

1. ANALIZAR EL PROBLEMA.

2. LOCALIZAR EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO APROPIADO.

3. HACER UN PLAN.

4. REALIZAR EL PLAN.

5. CHEQUEAR LA RESPUESTA EN CONTRA DE LO QUE SE PIDE EN LA PREGUNTA.

DIFICULTADESPARA RESOLVERPROBLEMASMATEMÁTICOS

GENERALES

VERBALES

CÁLCULO

FIJACIÓN FUNCIONAL

SIN ESTRATEGIAS

ANÁLISIS SUPERFICIAL

FALLA REPRESENTACIONAL

NO PLANIFICA

FALLAS DE CONOCIMIENTO

PROBLEMAS AFECTIVOS

SOLO DATOS EXPLÍCITOS

COMPRENSIÓN DETEXTO Y RELACIONES

DESCUIDOS

ERROR DE IDENTIFICACIÓN

DEFECTOS EN ALGORITMO

OPERACIÓN EQUIVOCADA

CARACTERÍSTICAS DE LOSSOLUCIONADORES EXPERTOS

1. AMPLIOS CONOCIMIENTOS

2. CONOCIMIENTOS ORGANIZADOS

3. AMPLIA GAMA DE ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS, ALGORITMOS Y DIVERGENTES.

4. ANALIZAN LOS PROBLEMAS EN TODAS SUS PARTES.

5. PLANIFICAN ANTES DE EJECUTAR