UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicas y Químicas

Carrera de Ingeniería Civil

Estructura II

MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES, CROSS Y DE LA FUERZA PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Mejía Chávez Henry Jackson

VII “G”

Objetivos

Objetivo General

Investigar todo lo referente al método de las deformaciones, de la fuerza y el método de Cross en las estructuras hiperestáticas para desarrollar auto aprendizaje que nos prepare para nuevos conocimientos.

Objetivos Específicos

Determinar las facilidades que nos ofrece los diferentes métodos para estructuras hiperestáticas.

Definir los aspectos fundamentales que rigen en el método de las deformaciones, de la fuerza y de Cross.

Introducción

En el “Método de las Fuerzas” se tomaban como incógnitas las solicitaciones a las cuales llamábamos incógnitas hiperestáticas, y que aparecían al eliminar vínculos superabundantes en la estructura. Calculadas las incógnitas Xi obteníamos las solicitaciones:

Calculábamos primero las incógnitas hiperestáticas, luego las solicitaciones, y finalmente los desplazamientos. En algunas estructuras, resulta conveniente comenzar el cálculo determinando los desplazamientos.

En consecuencia, vamos a calcular primero los desplazamientos de la estructura y posteriormente las solicitaciones. En el “Método de las Deformaciones” vamos a despreciar la influencia de los esfuerzos de corte y de los esfuerzos normales en el cálculo de las deformaciones. El error cometido es análogo a cuando en el “Método de las Fuerzas” despreciábamos los términos:

Analizaremos ahora qué desplazamientos son necesarios y suficientes para determinar las solicitaciones en una barra de una estructura hiperestática.

En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas.

Método de las deformaciones

Las estructuras sufren en general al estar sometidas a un estado de solicitaciones, un estado de deformaciones, como consecuencia de un estado de cargas. Así las distintas partes que conforman la estructura tendrán en general traslaciones y rotaciones que conformaran el estado de deformación de la estructura, dependiendo el mismo del tipo de estructura, sus características geométricas y elásticas y del estado de cargas. Veamos que sucede con un pórtico plano sometido a esfuerzos normales, de corte y momentos flectores a fin de plantear su resolución por el Método de las Deformaciones. A cada estado de deformación corresponde un estado de solicitación, por lo cual a partir de aquellas podemos calcular estas últimas.Llamaremos ahora la atención sobre consideraciones que debemos tener en cuenta para la aplicación del método que desarrollaremos, en el cual estudiaremos que ocurre con una barra genérica que forma parte de la estructura, definiendo características y convenciones de signos a utilizar. Con referencia a estos últimos no existe unanimidad.

Convención de signos de solicitaciones y deformaciones

Utilizaremos las siguientes convenciones de signos: a) Los momentos de acción y reacción entre el extremo de la barra y el nudo se consideran positivos cuando la acción del NUDO sobre la BARRA tienda a girarla en sentido contrario a las agujas del reloj, o lo que es lo mismo, cuando la acción de la BARRA sobre el NUDO tiende a que este gire en el sentido de las agujas del reloj. Es inmediato por el principio de acción y reacción que las dos figuras representan el mismo fenómeno, que produce tracción en las fibras superiores de la barra al llegar al nudo de la figura.b) El esfuerzo de corte Q se considerará positivo cuando en una sección dada, la acción de la izquierda sobre la derecha tenga sentido hacia arriba.c) El esfuerzo normal N se considerará positivo en el caso de tracción.

Respecto a los desplazamientos u, v, w en una barra sobre la cual aplicamos un par de ejes locales x, y, como se indican en la figura, se adoptan como positivos los señalados en la misma

u > 0 Desplazamiento en la dirección y sentido del eje x. v > 0 Desplazamiento en la dirección y sentido del eje y.w > 0 Rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.Las acciones Fx , Fy, M en los extremos de las barras serán también positivas cuando coincidan con el sentido positivo de u, v, w.

Aplicación del método de las deformaciones

Consideremos una barra ij de la estructura empotrada elásticamente en los dos nudos y analicémosla para distintos casos de cargas o acciones a los que pueda estar sometida, como ser las cargas exteriores que actúan sobre el tramo y las acciones (deformaciones o solicitaciones) que le transmitan los nudos. Al efecto de una mejor percepción del fenómeno pensemos que en el plano cada uno de los extremos tiene tres grados de libertad o posibilidad de desplazamiento:a) Una rotación w que produce momentos flectores y esfuerzos de corte.b) Un desplazamiento v que produce momentos flectores y esfuerzos de corte.c) Un desplazamiento u que produce esfuerzos normales

Al igual que en el Método de las Fuerzas despreciamos la influencia del esfuerzo Normal en el estado de deformaciones, y por lo tanto (cuando se plantea en forma manual el método) no tendremos en cuenta el punto c.Por ultimo explicitemos que al existir cargas en el tramo se producirán solicitaciones en la barra, independientemente de las que se produzcan por la acción de los nudos i-j.

BARRA EMPOTRADA BAJO CARGAS EN EL TRAMO

A partir de aquí consideramos solo el caso de la barra de sección constante, a sea, EIij = cte.; Ωij = cte. para, más adelante, considerar en forma especial el caso de barras a carteladas. Con el fin de superponer efectos, en primer lugar, supongamos una barra perfectamente empotrada en sus extremos (deformaciones nulas en los nodos) y sometida a cargas P externas en los tramos.

Denominaremos como Mij ; M los momentos en los nudos y con Qij ;Q los esfuerzos de corte o reacciones en dichos extremos. La ultima figura representa una barra equivalente en la cual los Mij ;M ;R ;R pueden ser obtenidos de tablas o manuales para los estados de cargas más usuales y en función de ellas se pueden obtener a lo largo de la barra las solicitaciones: Momentos flectores, esfuerzos de corte y normales de la barra doblemente empotrada.

Planteo manual del método de las deformaciones

Al igual que lo hicimos con el Método de las Fuerzas, desarrollaremos el presente método sobre un pórtico plano como el de la figura sometido a un estado de cargas P y H. En este tomaremos como incógnitas los desplazamientos y rotaciones existentes, respetando las convenciones de signos ya enunciadas con anterioridad.Nótese que en este método nuestras incógnitas (desplazamientos) son geométricas, mientras que en el método de las fuerzas las incógnitas eran fuerzas o solicitaciones.Existen 4 nudos y tres barras, y por lo tanto podrían a llegar a existir las rotaciones:w1, w2, w3, w4 y ψ12, ψ23, ψ34 de las cuales podemos eliminar:w1 = 0 (empotramiento)w4 = 0 (empotramiento)ψ23 = 0 (no existe rotaciones de la barra 2-3 pues los desplazamientos de los nodos 2 y 3 son horizontales (v = 0) por la hipótesis indeformabilidad bajo esfuerzos normales de las barras 1-2 y 3-4).Quedan entonces únicamente las incógnitas:w2 w3 ψ12 ψ34

De la indeformabilidad axial de (2-3) los desplazamientos horizontales de los nudos 2 y 3 son iguales (Δ), por lo cual:

con lo cual solo quedan 3 incógnitas independientes:w2 w3 ψ12Necesitamos entonces 3 ecuaciones para resolver nuestro problema. Por economía de escritura denominaremos con

El método consiste en poner las solicitaciones en función de los desplazamientos (rotaciones incógnitas) y luego plantear las ecuaciones de equilibrio que nos permitan formar un sistema de ecuaciones del cual despejar las incógnitas (w, ψ) y a partir de ellas obtener el valor de las solicitaciones. Veamos como aplicamos esto último a nuestra estructura.

Analicemos que pasa con los esfuerzos de corte en la barra ij, en la cual el esfuerzo de corte total según nuestra convención de signos será (con QPij ;QPji es esfuerzo de corte en los extremos de la barra simplemente apoyada bajo cargas P)

Planteemos ahora las condiciones de equilibrio:

De a) b) y c) obtengo entonces 3 ecuaciones con 3 incógnitas w1, w2, y ψ12

De este sistema podré calcular w1 w2 ψ12 que aplicadas a las ecuaciones que nos dan los Mij en los extremos de las barras nos permiten obtener:

M12 M21 M23 M32 M34 M43

y con estos los diagramas de solicitaciones M, Q y N, objetivo del método analizado.Es conveniente explicitar que siempre mediante cortes apropiados podemos analizar equilibrio de nudos y otros sectores de la estructura de forma tal de poder plantear un sistema normal de ecuaciones lineales que nos permita el cálculo de la totalidad de las incógnitas (geométricas).

El método de CrossConsideremos una estructura reticular cargada. En primer lugar se procede a retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los nudos, impidiéndoles todo giro. Se vuelve ahora a aplicar las cargas exteriores, que actúan sobre una estructura alterada, ya que tiene impedido los giros de sus nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de equilibrio.En la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento, pues al estar los nudos bloqueados dichos momentos son los de empotramiento perfecto.La suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrentes en cada nudo no será nula, por lo que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es, en realidad, un momento de desequilibrio.

Se aplica al nudo un momento equilibrante, que es un momento de igual valor y de signo opuesto al momento de desequilibrio. Esto equivale a desbloquear el nudo.El momento equilibrante se repartirá entre los extremos de las distintas piezas concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo.La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza con el momento equilibrante total es lo que se denomina coeficiente de reparto o coeficiente de distribución, y es igual al cociente de la rigidez de la pieza considerada entre la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en el nudo.Por tanto, se distribuye el momento equilibrante entre las distintas piezas concurrentes en el nudo y se transmite el momento al extremo opuesto.En los demás nudos de la estructura se procede análogamente, por lo que también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndose a las extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus extremidades opuestas.De esta manera se opera cíclicamente. Si en una fase posterior de cálculo volvemos a obtener en un nudo previamente equilibrado el momento de desequilibrio, éste será cada vez menor, de igual modo que las magnitudes de las transmisiones. Los nudos van equilibrándose paulatinamente y la estructura se va acercando a su posición de equilibrio.El método de Cross es un método que permite alcanzar la precisión que se desee mediante aproximaciones sucesivas.

Bases del método de CrossLas bases del método de Cross son las siguientes:

Hallar la relación entre el momento MA y el par de empotramiento MB (factor de transmisión).

Calcular la magnitud del ángulo girado a en función del momento aplicado MA (rigidez).

Encontrar la relación entre el momento aplicado en un nudo M (figura 3b) y el momento MA (figura 3c) que actúa sobre cada una de las barras de nudo (factor de reparto o de distribución).

Desarrollo del método de Cross para nudos giratorios sin desplazamiento Fase I

Se consideran todas las piezas empotradas en sus extremos. Se calculan los momentos en los extremos mediante Resistencia de Materiales.

Fase IISe comienza por considerar un nudo cualquiera con capacidad de girar. Al soltar el empotramiento, todos los momentos que concurren en el nudo se suman algebraicamente y la resultante se reparte.Obtenido el equilibrio, se transmiten los momentos a los nudos adyacentes.Se repite la operación en cualquiera de ellos, por lo que el nudo, antes equilibrado, se desequilibra al devolverle el nudo siguiente una parte del momento que le hace girar.El proceso se repite una y otra vez para todos y cada uno de los nudos, equilibrando cada vez. Como los factores de reparto y de transmisión son menores que la unidad, el proceso es convergente, no siendo generalmente necesario realizar más de tres iteraciones a la estructura.El método de Cross tiene la propiedad de compensar los errores.

Propiedades de los apoyosCuando una pieza termina en un apoyo aislado se la considera unida a otra de rigidez nula, por lo que el factor de reparto vale la unidad.Cuando una pieza termina en un empotramiento perfecto se supone que está unida a otra de rigidez infinita. El factor de reparto es nulo.En realidad, se puede decir que una articulación no absorbe nada, todo lo transmite (K=0, b=1). De igual modo, un empotramiento perfecto lo absorbe todo, no transmite nada (K=¥, b=0).

A efectos prácticos los extremos articulados se eliminan en el cálculo de estructuras mediante el método de Cross. Lo mismo ocurre con los extremos perfectamente empotrados, pues al momento inicial en el extremo empotrado hay que sumar todos los momentos transmitidos por el nudo opuesto. El no transmite ninguno, por lo que el momento final es igual al momento inicial en el nudo más la mitad del correspondiente al extremo opuesto, pudiendo también eliminarse a efectos prácticos.Los cálculos son aún más simples si la pieza en cuestión no tiene cargas o momentos directamente aplicados a ella, pues entonces el momento final es únicamente la mitad del correspondiente al extremo opuesto.

En el caso de una viga en voladizo, por ejemplo la CD de la figura 6, al encontrarse libre el extremo C para girar, si se le aplica un par se produce giro sin que la pieza pueda poner ninguna resistencia. La rigidez es nula.

El método de las fuerzasTambién denominado de la Flexibilidad, por los coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo. Recordemos que en las estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de Deformación. Aquí aparece la necesidad del anteproyecto y predimensionamiento, ya que las deformaciones dependerán de las cargas, pero también de las secciones adoptadas para los elementos constitutivos (vigas, columnas, etc.). Más precisamente las solicitaciones dependerán de las cargas y de las relaciones de rigideces de los distintos elementos. Podemos referirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el sistema se convierta en inestable. El número o cantidad de vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hiperestaticidad”. Para una estructura dada el grado de hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo existe la posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto el número de vínculos es siempre el mismo. A modo de ejemplo veamos tres casos típicos:

El pórtico empotrado-empotrado es un hiperestático de tercer grado que lo puedo convertir en isostático en un caso introduciendo tres articulaciones en A, B, y C, que eliminan los vínculos que resisten momentos (2 externos y uno interno). También podemos llegar al isostático con una articulación en B (elimina momento flector), otra articulación en C (elimina reacción de momento) y la eliminación de la reacción horizontal en C convirtiendo el apoyo en móvil.

El número de vínculos a eliminar o grado es uno. Puedo en este caso eliminar un apoyo (vínculo externo) o una barra (vínculo interno). Señalaremos que en estos tres casos es posible elegir otros conjuntos de vínculos a eliminar que me producirán otros sistemas isostáticos asociados. Al isostático asociado por la eliminación de vínculos al sistema hiperestático lo denominamos “isostático fundamental”. Su elección depende del calculista, y puede tener importancia en la simplicidad del cálculo pero no en los resultados finales del mismo.

Ejercicios de AplicaciónMétodo de Cross

Método de las deformaciones

CONCLUSIÓN

En sistemas con alto grado de hiperestaticidad, el “Método de las Fuerzas” exige resolver sistemas con gran número de ecuaciones y de incógnitas. La solución de éstas precisa un considerable volumen de cálculos. En estos casos es recomendable introducir como incógnitas no ya las fuerzas sino las deformaciones.

Las ecuaciones del “Método de las Deformaciones”, en general, son sencillas, con pocas incógnitas en cada una de ellas y los coeficientes de la diagonal principal predominan netamente sobre los otros coeficientes, lo que hace posible y rápida la resolución.El método de Cross se basa en los métodos de la fuerza y en el de las deformaciones, dando una resolución de ejercicios más sencilla y practica para alcanzar las metas requeridas en el análisis estructural.

RECOMENDACIONES Aunque existen métodos muy sencillos debemos tener en cuenta que todos los

métodos se basan en dos métodos básicos que son el de la fuerza y el de las deformaciones y es por esto que es esencial el estudio de los métodos principales.

Para la resolución de cualquier sistema estructural es viable el análisis de cada una de las ventajas y desventajas que nos dan cada método.

Considerar que para el análisis de una estructura hiperestática es factible convertirla por un instante en una estructura isostática.

BIBLIOGRAFIA

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