Estructura de los Sólidos

Materia Condensada: Este termino incluye tanto a los sólidos como a los líquidosLa gracias esta en que en ambos estados las interacciones entre átomos y moléculas son suficientemente fuertes como para dar al material un volumen definido quecambia relativamente poco con los esfuerzos aplicados.

Los átomos se adyacentes se atraen entre si hasta que sus nubes electrónicas exteriores comienzan a superponerse

0.1-0.5 nm

Diferencia entre el Hielo, la mantequilla y el vidrio, esta en su estructura cristalina

El estado cristalino de la materia es el de mayor orden, es decir, donde las correlaciones internas son mayores y a mayor rango de distancias.

Sólido Cristalino, es un sólido donde los átomos tienen un orden de largo alcance, una configuración recurrente de posiciones atómicas que se extiende por muchos átomos

Estructura CristalinaEstructura Cristalina

Enlaces en SólidosEnlaces en Sólidos

Enlace Iónico: Fuerzas de atracción coulombianas entre iones

Enlace Covalente:

Enlace Metálico: En este enlace uno o más de los electrones más externosDe cada átomo se separan del átomo padre (dejando un Ion positivo) y queda libre de moverse a través del cristal.

Propiedades de los MetalesPropiedades de los MetalesMar de electrones libres1.- Suelen ser sólidos a temperatura ambiente, excepto el mercurio, y sus puntos de fusión y ebullición varían notablemente.2.- Las conductividades térmicas y eléctricas son muy elevadas. (esto se explica por la enorme movilidad de sus electrones de valencia)3.- Presentan brillo metálico.4.- Son dúctiles y maleables. (la enorme movilidad de los electrones de valencia hace que los cationes metálicos puedan moverse sin producir una situación distinta,es decir una rotura)5.- Pueden emitir electrones cuando reciben energía en forma de calor.

Modelo del Gas de electrones Libres

-Se aproxima el potencial realen un cristal metálico porun pozo potencial infinito.

-los electrones de valencia sonLibres de moverse a través del sólido.

-Aparte de la interacción con los iones,La interacción electrostática entre losElectrones y los iones de la red es ignorada.

-La interacción entre los electrones también es despreciada

ESENCIALMENTE, LOS ELECTRONES DE VALENCIA RETIENEN TODAS LAS CARACTERISTICAS DE UN GAS IDEAL PERO QUE DEBE SER TRATADO DEL PUNTO DE VISTA DE LA MECÁNICA CUÁNTICA MAS QUE CLASICAMENTE

Electrón atrapada en una caja tridimensional

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞<<<<<<

=

otro 0 0 0 si 0

),,(LzLyLx

zyxV

zkykxkL

xzyxzyx nnnnnn sinsinsin2)(

3=Ψ

( ) ,...3,2,1,, 2

2222

22

=++= zyxzyxn nnnconnnnmL

E πh

Además los electrones están afectos al principio de exclusión de PauliEsto implica que deben ser descritos por la estadística de Fermi-Dirac

Dos electrones no pueden tener los mismo números cuánticos

¿Cuál es el número total de números cuánticos diferentes ?szyx mnnn ),( ,

Si N es el número máximo de electrones. ½ N es el número de conjuntos enteros positivos

),( , zyx nnn

Definamos en este espacio-n el radio de un estado por

zyx nnnn 222 ++=

Debe existir un nmax, luego el número total de conjunto enteros esta dado por el volumen de la esfera. Sin embargo debido a que sólo se usan númerosPositivos, consideraremos el octante positivo de la esfera

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= max

3

34

81

21 nN πEl número de conjuntos de enteros positivos es

Debido a las dos orientaciones del spin

32

max2 3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=πNn

334

81 max

3

max3 nnN ππ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Definiendo la energía de Fermi como la energía del nivel más alto ocupado

3/2223/2

3

223/2 322

3⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

VN

mLN

mEF π

πππ

hh

El número total de electrones con una energía menor que E

32 2/3

222

ππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= LmEN

h

Densidad de estados

2/122

22

)( EmVdEdNED ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==hπ

Asi podemos encontrar el númeroDe lectrones por unidad de volumen con energía entre E y E +dE

dEEfEDdEEn )()()( =

Función de distribución de Fermi-Dirac o Probabilidad que un electrón este en el estado de energía E

La distribución de Fermi-Dirac nos da la probabilidad que un estado de energía del electrón este ocupado a una temperatura dada

11)( /)( +

= − ktEE FeEf

Bandas de EnergíaBandas de Energía

,...2,1,0),()()()(

±±==+=+

nxVnaxVxVaxV

Problema difícil de resolver, si tiene curiosidadEstudie la ecuación de Schödinger en este potencial

Al incluir la estructura periódica del cristal, se encuentra que existen regiones de la energía en las cuales no hay solución para la

ecuación de Schrödinger.

Bandas de energíaProhibida

Bandas de energíaPermitida

Los niveles de energía de un átomo se transforman en bandas cuando los átomos están muy juntos

LA ESTRUCTURA DE BANDAS Y EL ARREGLO DE ELCTRONES CON RESPECTOA ESTAS BANDAS

DETERMINA SI UN SÓLIDO ES UN CONDUCTOR , SEMICONDUCTOR O AISLADOR

Na:=1s22s22p63s

Conductor

EF

Ener

gía

Banda de Valenciay conducción

Banda de Conducción primera banda con estados vacíos.Banda de valencia ultima banda con electrones (e- valencia)

Aislador

Banda de Conducción

eV10≈

tamaño de la banda prohibida es grane comparado con la energía térmica a T° ambiente (kT=0.025eV a 300K)EF

Ener

gía

Banda de Valencia

Semiconductor

Banda de Conducción

A cero absoluto, un semiconductor cristalino puro es un aislador.

eV1≈EF

Ener

gía

Banda de Valencia