Estructura didáctica

1Cimentamos educación para el futuro

Estimado Maestro, GAFRA Editores agradece el haber seleccionado nuestro texto para el desarrollo de su cla-se. Esperando que el mismo, le permita a usted acrecen-tar su encomiable labor, llevando a nuestros jóvenes por el camino de la educación, el aprendizaje y crecimiento personal que nos permita ser una mejor sociedad, un mejor país y un mundo mejor.

El material que tiene en sus manos, está diseñado para ayudarle en el manejo y mejor aprovechamiento del libro para el alumno. Aunado a este material encon-trará un CD que contiene un archivo editable, el cual le servirá de apoyo en la tarea de la elaboración de su plan de clase o dicho de otra manera secuencia didáctica.

Geometría analítica


Luis Ángel Bolaños Ramírez6

Geometria Analitica´ ´

III. Localiza cada punto en el plano cartesiano o sistema coordenado rectangular; encuentra el área y perímetro de la fi gura geométrica que describe.

A(2,3); B(−2,2); C(−3,−1); D(4,−2)

1–1

1

–1

2–2

2

–2

3–3

3

–3

4–4

4

x

y

–4

5

1. Localiza, si es posible, cada punto en el plano o sistema coordenado polar.

A(2,75°); B(5,15°); C(−4,135°); D(−5,245°)

10

0°

2

90°

3 4 5

2. Encuentra el punto medio de los segmentos AB BC CD DA; ; ; ; siendo A(2,4); B(−3,2); C(−3,−3); D(4,−2) e identifícalos en un plano coordenado rectangular.

Unidad ILos sistemas coordenados a mi alrededor

7

Para comenzar…¿Sabes qué es un GPS? El Global Positioning System (GPS) o Sistema de Posicionamiento Global, es un Sistema de Navegación por Satélite que permite determinar la ubicación de una persona, o de un vehículo, sin importar si es terrestre o aéreo; tiene una desviación o error de cuatro metros. El sistema fue desarrollado para uso de la NASA, pero en la actualidad se emplea por todos los sistemas de alta tecnología, incluidos los celulares.

El funcionamiento del GPS está basado en una red de satélites alrededor de la Tierra. Para determinar una posición, el dispositivo localiza automáticamente como mínimo cuatro satélites de la red y recibe unas señales indicando la posición. Con base en estas señales, el aparato sincroniza un reloj en el GPS y calcula el retraso de las señales, es decir, la distancia al satélite. Este proceso lo realiza mediante una «triangulación» en la que halla la posición en que éste se encuentra y en el ángulo de cada una de las tres señales respecto al punto de medición.

Conociendo las coordenadas o posición de cada uno de los GPS por la señal que emiten, se obtienen las posiciones absolutas o coorde-nadas reales del punto de medición. La preci-sión lograda por aparatos nombrados DGPS, que corrigen los errores del GPS, puede ser de unos dos metros en latitud y longitud, y unos tres metros en altitud. Los sistemas GPS logran su objetivo tomando un sistema de referencia, los que conocerás en esta unidad y relaciona-dos al cálculo de distancias son el sistema polar, que es aquel basado en ángulos y vectores, o el sistema rectangular, que emplea parejas de números reales.

Una muestra de la utilidad de los siste-mas GPS es el empleado para la detección de automóviles robados en la ciudad de Puebla y en otras entidades del país. Se cuenta con pa-trullas equipadas con el sistema de seguridad vía satélite que permite la identifi cación de las placas de los vehículos en una base de datos con la que cuenta el Centro de Emergencia y Respues-ta Inmediata (CERI), en ella se conoce si tiene reporte de hurto. El sistema está incorporado a la patrulla y envía las imágenes e información posible a la pantalla que se encuentra en el tablero de mando de la unidad, el cual se enciende y de inmediato refl eja lo que las cámaras detectan, incluso el sistema de infrarrojo detecta el registro de placas y, en caso de tratarse de un vehículo robado o con reporte para su detención, también emite el sonido de alerta al percibir un registro vehicular; el sistema puede mostrar en una imagen dos o más placas al mismo tiempo y emitir la alarma interior de la patrulla y la torreta en caso de que en alguno de los datos se coincida con automóviles reportados como robo.

Fig. 1.1. Constelación de un GPS.

Diseño de interiores sencillo, una vez analizado lo que el aprendizaje por competencias requiere:

t Diseño claro que permita concentrar la atención en el efectivo aprendizaje.

t Una ESTRUCTURA DIDÁCTI-CA diseñada cuidadosamen-te con sustento en el enfo-que por competencias, en la cual cada una de las seccio-nes tiene una razón de ser y cumple una función deter-minada dentro de la estruc-tura didáctica.

t Lo cual en breves palabras lo podemos resumir como EDUCAR PARA RESOLVER PROBLEMAS CONTEXTUA-LES y llevar lo aprendido en clase a su vida.


t Que los alumnos pue-dan comprender que cualquier MATERIA TIENE APLICACIÓN EN SU VIDA CADA DÍA.

t No hay distractores (imágenes innecesarias) para el alumno, donde el único protagonista es el APRENDIZAJE.

t Colores elegidos por su cualidad de estilo y la discreción para per-mitir darle su peculiar estimación al material de aprendizaje.

t Enfatizado únicamen-te aquellas imágenes, esquemas y tablas que requieren lectura y apreciación.



1–1

1

–1

2–2

2

–2

3–3

3

–3

4–4

4

x

y

–4

5

Representación grá� ca del punto (2,−3).

Otro sistema para localizar puntos en el plano es el sistema polar o sistema de coordena-das polares y se utiliza generalmente para ubicar latitudes y longitudes y también para efectos marítimos.

Canadá

Estados Unidos

Groenlandia(Dinamarca)

Rusia

Polo Norte

Islandia

Reino Unido

Noruega

Suecia

Finlandia

Escocia

Meridiano

Las coordenadas polares en la región polar

Longitud: 108°

Latitud: 65.6°

Coordenadas polares

(4611.3; 108°)

Vértice del ángulo y origen de las distancias (en kilómetros): Polo Norte.Ángulo con respecto al meridiano cero.

Fig. 1.5. Para medir la latitud y longitud se toma como eje polar el llamado polo norte.


Presentación de la estructura didáctica

Donde los alumnos y docentes encuentren una explicación de la estructura y el objetivo de cada una las secciones.


Competencias disciplinares:

tConstruye e interpreta modelos mate-máticos deterministas o aleatorios me-diante la aplicación de procedimien-tos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.

t Formula y resuelve problemas mate-máticos, aplicando diferentes enfoques.

t Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimien-tos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

tArgumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, me-diante lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Informa-ción y la Comunicación.

tAnaliza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natu-ral para determinar o estimar su com-portamiento.

t Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proce-so o fenómeno y argumenta su perti-nencia.

t Interpreta tablas, gráficas, mapas, dia-gramas y textos con símbolos matemá-ticos y científicos.

Tiempo asignado:

20 horas

Campo de conocimiento:

Matemáticas

Tema integrador:

Ubicando las calles de Puebla

Proyecto integrador:

El sistema coordenado en mi entorno

Estamos rodeados de sistemas coordenados, continuamente nos preguntamos: ¿cuántas ca-lles hay que recorrer para llegar al centro co-mercial?, ¿cuánto tardaré si camino en una u otra dirección?, ¿qué ruta de transporte es más rápida?, ¿desde y hasta dónde abarca el centro de la ciudad?, etcétera.

La Geometría analítica es la rama de las Matemáticas que ayuda a establecer un senti-do de ubicación a partir de un plano. Es común trazarnos coordenadas en la mente y tomar una decisión sin razonar si es la mejor o si exis-te un método para hallarla. En la actualidad, nos hemos hecho dependientes de la tecnolo-gía al grado de no saber qué hacer cuando ésta llega a fallar.

El propósito en este primer proyecto de la unidad es desarrollar un sentido de relación, ubicación y comparación de distancias entre un punto localizado en algún lugar donde radicas y otro punto de tu comunidad, basándote en un sistema coordenado rectangular o polar y tomando como origen cualquier punto.

t Competencias genéricas

y disciplinares a desarro-

llar en esa Unidad.

t Tiempo asignado para la

Unidad.

t Campo de conocimiento.

t Tema integrador.

t Proyecto integrador. Es

presentado desde el ini-

cio de la Unidad pues es

importante que el alum-

no lo conozca para de-

sarrollarlo a lo largo de

la Unidad.

ENTRADA A LA UNIDAD (DGETI)Donde se muestra la INFORMACIÓN INDISPENSABLE que los docentes y alumnos deben conocer para iniciar el estudio de la unidad:

Los sistemas coordenados a mi alrededor

Unidad I

Competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda pro-blemas y retos teniendo en cuenta los objeti-vos que persigue.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes per-tinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramien-tas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone solucio-nes a problemas a partir de métodos esta-blecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, consideran-do otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.


118Bolaños Ramírez Luis Ángel


Emprendo mi proyecto integradorRealizarás este trabajo en equipo (máximo tres integrantes). La antena debe ser de dimensiones razonables (60 a 200 cm de diá-metro). El proyecto consiste en elaborar una antena parabólica ca-sera que reciba algunas señales satelitales de televisión abierta. Ésta debe tener un punto de origen y las coordenadas de ubicación de cada uno de los elementos de la parábola, como el foco y directriz. Recuerda que de estos datos depende la señal que se reciba y, sobre todo, debes hacer énfasis en que la parte frontal a la parábola es una hipérbola en su construcción. Sin embargo, no todas las antenas parabólicas funcionarán de igual forma pues, además de los materia-les empleados y sus dimensiones, infl uye la ubicación y lugar donde radiquen ya que las señales satelitales no llegan de igual forma a cada punto del planeta.

Además de la presentación del prototipo, deberán incluir evidencias de la construcción, esto es, fotos o videos e, incluso, anexar una información gráfi ca y escrita en cuanto a los elementos matemáticos y medidas de cada parte del prototipo así como las ecuaciones necesarias. Todo debe ser integrado en un portafolio de evidencias que su docente evaluará al comprobar si su antena funciona y verifi car que cumpla con la rúbrica presentada al fi nal de la unidad.

Materiales sugeridos:

tUn trozo de cartón de 1 m2 o un trozo de plástico de las mismas dimensiones, para formar un plato resistente al aire y al agua que tenga dimensiones entre 60 y 200 cm de diámetro.

tUna base para la antena que puede ser de cualquier material.

t Papel aluminio

tCable coaxial

tConector RF

Materiales para la construcción del dipolo:

t Placa de cobre o trozo de lámina galvanizada

t Estaño

tCautín

Instrucciones:

1. Tracen un círculo de diámetro entre 60 y 200 cm sobre el cartón o plástico fl exible y recorta.

2. Partiendo del centro, marquen sobre el círculo un sector circular de aproximadamente 30° y recórtenlo.

3. Une los extremos restantes con el fi n de formar una parábola en tres dimensiones o paraboloide (una especie de plato).

4. Engrapen, suelden, remachen o peguen el sector circular (dependiendo del material) para que no se abra.

A lo largo de la unidad, las

actividades de aprendizaje te

ayudarán para ir desarrollando

la construcción de tu proyecto

integrador.

Es la ACTIVIDAD MEDULAR DE LA UNIDAD, a través del proyecto integrador, el alumno de-mostrará los aprendizajes obtenidos a lo largo de la Unidad, pues como su nombre lo indica, integra los aprendizajes desarrollados a través de las secciones de la estructura didáctica.

El proyecto promueve el TRABAJO COLA-BORATIVO (en equipo) factor indispensable para el desarrollo de competencias llevando inmersas actitudes y valores (participación, respeto, tolerancia, entre otros).

A lo largo de la Unidad mediante ladillos se recuerda que las actividades de aprendiza-je le ayudarán a integrar los elementos para la realización de su proyecto integrador.

Emprendo miproyecto integrador


¿Qué tanto sé?

Autoevaluación que consiste en ha-cer consciente al alumno del apren-dizaje que ya tiene para que, poste-riormente, haga su propia valoración de los conocimientos que adquirió, lo que llamamos METACOGNICIÓN.



¿Qué tanto sé?I. De manera individual, elige cuatro partes numeradas con I, II, III y IV de forma tal que, al unir-

las, formen una sola fi gura −un círculo, una sola parábola, una recta, un óvalo o dos parábolas alejándose− y bajo cada una de ellas escribe su nombre (puedes copiarlas en tu libreta para unirlas).

21

IV C

1

1

2

2

3

3

I C

4

–1–1

–2

–3

–2–3

III C

–1–2

II C

1

2

IV C

1 2

1

1 2 3

2

3

I C 1

2

3

II C

–1–2–3–4

III C

–1–1

–2

–3

–2–3II C

–1–1

1

2

–2

1

1 2

2 I C

–1

1 2 3

IV C–1

–2

–3

II C

–1

1

2

3

–2–3

1

2

3

1 2

I C 1 2 3

IV C

–3

–2

–1

III C

–1

–1

–2

–2

III C

–1–1–2

–2

–3

II. Relaciona cada columna con su concepto.

1. ( ) Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que equidista de un punto fi jo y de una recta fi ja en el plano.

a) Circunferencia

2. ( ) Es una sucesión de puntos en una misma dirección. b) Parábola

3. ( ) Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que la suma de sus distancias a dos puntos fi jos del plano es siempre igual a una constante.

c) Recta

4. ( ) Es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano que equidis-tan de un punto fi jo.

d) Elipse

5. ( ) Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fi jos del plano es constante.

e) Hipérbola


Esta sección ayuda al docente a MOTIVAR EL INTERÉS POR EL TEMA CENTRAL de estu-dio de una manera interesante y diferente.

Para comenzar…

Unidad IIILas cónicas y sus aplicaciones

121

III. Verifi ca qué punto corresponde a cada ecuación y únelo mediante una línea.

x2 + y2 = 36 (8,−6)

3x2 −2 y2 + 20 = 0 (−4,−2)

3x2 − 5y2 + 2= 0 (3,−4)

4x2 + y2 = 61 (2,−4)

3y2 − 8x = 44 (−3,−4)

Para comenzar…¿Sabes quién fue Kepler? Nació el 27 de diciembre de 1571 en Alemania. Estudió Teología, Astronomía y Física en la Uni-versidad de Tübingen. Murió el 15 de noviembre de 1630 en Regensburg.

Para Kepler, los movimientos celestes eran música continua y polifónica que debía ser comprendida por la inte-ligencia y no por el oído. En su libro La armonía del mundo, asignaba notas musicales a los movimientos de los planetas.

Kepler enunció tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. El círculo ocupaba un lugar privilegiado y, por ello, intentaba comparar sus observaciones solares con órbitas circulares. Después de múltiples intentos estableció sus tres leyes:

Primera ley

“La órbita que describe cada planeta es una elipse donde el Sol es uno de sus focos”.

+

Focos

Segunda ley

“La posición vectorial de cualquier planeta respecto al Sol re-presenta áreas iguales de la elipse en tiempos iguales”.

En esta ley se establece que la velocidad a la que gira un planeta alrededor del Sol es inversamente proporcional a la distancia que hay entre él y el Sol, es decir, “a mayor distancia, menor velocidad” y, recíprocamente, “a menor distancia, mayor velocidad”.

Fig. 3.1. Johannes Kepler.


Antes de leer…

Tiene como finalidad refrescar conoci-mientos al tiempo que induce al alumno a GANAR CONFIANZA MEDIANTE UNA ACTIVIDAD SENCILLA.


123

3. ¿Qué nombre le darías a la fi gura que se forma al cortar un óvalo o elipse a la mitad, ho-rizontal o verticalmente, y cuyas partes giran 180°?

Antes de leer…I. Observa la siguiente gráfi ca:

–1 1

1

2

3

4

2 3 4–1

–2

–3

–4

–2–3–4x

y

II. Responde lo siguiente:

1. ¿Cómo se llama formalmente a la fi gura formada por la gráfi ca?

2. Encuentra y anota cuatro puntos en la gráfi ca que satisfagan la ecuación x y2 2

9 161+ = .

3. Si la gráfi ca anterior representara la sala de tu casa, ¿en qué coordenadas ubicarías dos focos para que iluminaran una sección más amplia?

III. Mediante un desarrollo algebraico, muestra la equivalencia o menciona la diferencia entre cada par de ecuaciones.

1. ( ) ( )x y− + − =2 4 122 2 x x y y2 24 8 8 0− + − + =

2. y x2 2

53

81−

−=

( ) 5 8 30 85 02 2x y x− − + =

3. 8 6 10 02x y y− + − = x y4

38

12

−−

=( )


Lo que vivimosEs una lectura que vincula los objetos de apren-dizaje con la vida del alumno. Para que pueda ubicar a través de una LECTURA REAL que lo que está estudiando tiene una aplicación en el mundo actual.



Lo que vivimosRealiza la siguiente lectura:

Las antenas de comunicación vía satélite

Los satélites son cuerpos que giran alrededor de la Tierra y emiten señales. La tecnolo-gía actual ha permitido que gocemos de comunicación efectiva y en tiempo real; por ejemplo, escuchar estaciones de radio de cualquier parte del mundo o comunicarnos en un tiempo inmediato, ya sea por teléfono o por internet, con personas que se en-cuentran al otro lado del planeta. Esto nos obliga a estar siempre informados sobre sucesos de toda índole. También nos exige entender todos y cada uno de los avances tecnológicos ya que, si no se entiende el funcionamiento básico de tal o cual aparato, no se podrá explotar al 100%.

Por ejemplo, ¿sabías que una calculadora científi ca básica tiene más de 150 fun-ciones? ¿O que el alcance de una emisora de radio depende de la longitud de onda que emita su señal? Por medio de esta idea, y sin recurrir a la Física o Astronomía, diremos que las antenas son un conductor por el cual circula una corriente y en el que se crea un campo eléctrico y magnético.

En las antenas actuales se emplea el cable coaxial. En éste no se crea una onda magnética debido a la pequeña distancia que existe entre los dos conductores con los que cuenta este material; sin embargo, al “pelar” una parte del conductor en los campos que se crean ya no se elimina la onda, sino que, de hecho, se creará un campo magnético que formará una onda y que se podrá propagar por el espacio. Al variar esta longitud, la distribución de corriente variará y, por ende, también la longitud de onda que se propague.

Existen diferentes tipos de antenas dependiendo de su utilidad. Por ejemplo, las portadoras de banda VHF o UHF son las que comúnmente se emplean en la televisión de tipo “señal abierta” pues emiten y reciben señales terrestres. Sin embargo, en los

últimos años se ha desarrollado también el sistema de televisión vía satélite para uso hogareño que opera en las bandas de las mi-

croondas (1.000 MHz-100.000 MHz/300 mm-mm). La ven-taja del sistema satelital es que no presenta limitación

en comparación con el sistema de emisión terres-tre, el cual no permite su correcta recepción en

zonas cuya visión va más allá del horizonte vi-sual de la antena transmisora.

En cambio, la transmisión satelital proviene de un punto situado arriba del receptor que permite que llegue la señal a casi cualquier parte de la Tierra. Con la señal abierta se tendría que tender un cableado para llegar a lugares alejados, situación que no sería viable económica-mente para las empresas transmisoras. ¿Cómo se logra esto? El programa de te-levisión se transmite desde una estación

en la tierra y la señal se envía hacia un


125

satélite de comunicaciones ubicado en órbita terrestre. Así, este equipo cuenta con receptores que captan la señal, la procesan y la retransmiten para dirigir la misma programación recibida hacia la tierra, donde se recogen por medio de antenas del tipo parabólicas. En la actualidad existen muchos satélites comerciales de televisión, cada uno está situado en una determinada posición geoestacionaria. Dicha posición es considerada al instalar una antena de recepción casera.

Las antenas satelitales más usuales tienen la característica fundamental de que en ellas las ondas que inciden en su parte metálica (refl ector), forman un ángulo de-terminado en el que las señales se refl ejan e inciden en un punto donde se concentra la energía electromagnética, denominado foco, y que es donde el detector (dipolo) correspondiente concentra y refl eja la señal.

Algunos de los modelos más importantes de este tipo de antena son:

t La antena parabólica de foco primario: el objeto tiene forma de una parábola en tercera dimensión, o pa-raboloide, en el que todas las ondas inciden paralela-mente al eje principal, se refl ejan y van al foco.

t La antena parabólica offset: tiene el foco desplazado hacia abajo, de tal manera que queda fuera de la su-perfi cie de la antena.

t La antena parabólica Cassegrain: es similar a la de foco primario, pero tiene dos refl ectores. El mayor apunta al lugar de recepción donde las ondas, al chocar, se refl ejan y van al foco donde está el refl ector menor. Al chocar las ondas, van al foco último, donde estará colocado el detector.

t Las antenas planas: se utilizan generalmente en la recepción de los satélites de alta potencia. Este tipo de antena no requiere un apuntamiento al satélite debido a su potencia de alcance.

Con todo lo anterior, se puede afi rmar que los ángulos de orientación de una antena se pueden determinar a través del cálculo matemático a partir de los datos de la latitud y longitud del punto de recepción así como de la longitud del satélite.


Y entonces…

Ejercicio de reflexión de la lectu-ra para que exprese su opinión en este acercamiento a que lo que estudia en clase tiene una aplicación real.



Y entonces…I. Observa el siguiente croquis:

Fig. 1.3. Croquis de la ciudad de Puebla.

II. Basándote en el mapa anterior, responde:

1. ¿Cuántas calles se recorren como mínimo desde el zócalo de la ciudad (0,0) hasta el cruce de las calles 7 poniente y 11 sur?

2. Si se pudiera hacer el recorrido anterior en línea recta, ¿la distancia sería mayor o menor? Explica.

3. Suponiendo que cada calle mide 200 m de largo, ¿cuáles son las longitudes anteriores?

III. Elabora un mapa de tu ciudad, localidad o colonia, lo más aproximado a un plano cartesiano y localiza las coordenadas de tres comercios reconocidos a partir de un punto que llamarás origen.


De la información al conocimiento Es la parte de EXPLICACIÓN TEÓRICA ne-

cesaria para darle las bases de lo que nece-sita saber para lograr avanzar en su apren-dizaje efectivo.


13

De la información al conocimiento

Sistemas coordenados

René Descartes (1596-1650), junto con Pie-rre Fermat (1601-1665), grandes matemáti-cos de origen francés, crearon una nueva

rama de las Matemáticas, la Geometría de coor-denadas, conocida también como Geometría analítica y que consiste en utilizar el Álgebra en la Geometría.

Un plano cartesiano o sistema coorde-nado está formado por la intersección de dos rectas perpendiculares entre sí; una horizontal llamada eje de las abscisas o de las x y la otra vertical llamada eje de las ordenadas o de las y. Al punto de intersección de estas rectas (0,0) se le denomina origen. Cada punto del plano queda representado por una pareja ordena-da de números (x,y) llamados coordenada y a cada una de las cuatro partes que se forman al intersecar los ejes se les llama cuadrantes. De este modo se consigue asociar ecuaciones algebraicas a lugares geométricos.

En el primer cuadrante 0°≤ θ < 90°, las coor-denadas toman signos (+,+); en el segundo cua-drante 90°≤ θ < 180°, los signos de cada punto son (+,−); en el tercer cuadrante 180°≤ θ < 270° los signos son (−,−) y para el cuarto cuadrante

270°≤ θ < 360° los signos son (+,−); por ejemplo, el par de números (2,−3) identifi ca un cierto punto en el cuarto cuadrante del plano donde la abscisa, o x, es 2 y la ordenada, o y, es −3.

Esta última interpretación fue con la que Leibniz realizó sus publicaciones y trabajó para relacionar de forma lógica tanto el Álgebra como la Geometría, ya que al usar los sistemas coorde-nados se facilitaba la representación de operaciones con funciones algebraicas, objetivo de Fermat y Descartes. Aunque en la interpretación de Descartes en 1637, la Geometría, naturaleza y pro-piedades de las líneas curvas, no incluía los dos ejes coordenados ni se consideraban los números negativos, se le considera constructor de esta teoría.

Por otro lado, durante muchos años, y sin publicarlo, Newton, antes que cualquier otro, fue el primero en emplear coordenadas negativas, pero al igual que en cálculo, Leibniz fue quien llegó a publicar y establecer toda una notación incluyendo el término coordenada.

Aún existe cierta controversia sobre la verdadera creación de este método pues también se dice que Omar Khayyam, en el siglo XI, ya utilizaba un método muy parecido para determinar cier-tas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados anteriormente haya tenido acceso a su obra.

La realidad es que pocos aspectos de las Matemáticas pueden adjudicarse a un solo perso-naje, pues esta ciencia se ha ido construyendo con los productos de muchos fi lósofos a lo largo de la historia.

Fig. 1.4. René Descartes, creador del llamado plano “cartesiano” en honor a su apellido.



1–1

1

–1

2–2

2

–2

3–3

3

–3

4–4

4

x

y

–4

5

Representación grá� ca del punto (2,−3).

Otro sistema para localizar puntos en el plano es el sistema polar o sistema de coordena-das polares y se utiliza generalmente para ubicar latitudes y longitudes y también para efectos marítimos.

Canadá

Estados Unidos

Groenlandia(Dinamarca)

Rusia

Polo Norte

Islandia

Reino Unido

Noruega

Suecia

Finlandia

Escocia

Meridiano

Las coordenadas polares en la región polar

Longitud: 108°

Latitud: 65.6°

Coordenadas polares

(4611.3; 108°)

Vértice del ángulo y origen de las distancias (en kilómetros): Polo Norte.Ángulo con respecto al meridiano cero.

Fig. 1.5. Para medir la latitud y longitud se toma como eje polar el llamado polo norte.


15

En este sistema, un punto se localiza especifi cando su posición respecto a una recta fi ja y a un punto fi jo de esa recta. La recta fi ja se llama eje polar y el punto fi jo se llama polo.

A

–r

r

(r,0)

P´ (–r,0)

90°

Representación de los ejes en un sistema coordenado polar.

La longitud de la recta polar r, también llamada radio vector, se puede determinar trazando una serie de circunferencias concéntricas y rectas que concurren en un mismo punto. Las circunfe-rencias tienen su centro común en el polo y sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño tomado como unidad de medida; los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales.

0°

90°120°

150°

180°

210°

240°

270°300°

330°

60°

30°

El ángulo polar θ se mide como en trigonometría, considerando el eje polar como lado ini-cial y el radio vector como lado fi nal del ángulo, es decir, se considera positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de éstas.




Actividad de aprendizaje 1 I. Trabajando en equipos de tres personas comparen y justifi quen la diferencia o

semejanza entre las fórmulas:

1. dp p x x y y1 2 2 12

2 12 = − + −( ) ( )

2. dp p x x y y1 2 1 22

1 22 = − + −( ) ( )

3. dp p x x y y1 2 1 22

2 12 = − + −( ) ( )

4. dp p x y x y1 2 2 22

1 12 = − + −( ) ( )

5. dp p x y y x1 2 2 12

2 12 = − + −( ) ( )

II. Dirigidos por su docente, en plenaria, comenten la conclusión a la que llegaron.

III. En equipo, lleven un fl exómetro y ubiquen como origen (0,0) el centro de la explanada de su escuela y ejes de los cuatro puntos cardinales, hallen las coordenadas de:

1. La dirección escolar

2. El salón de clases donde estás ubicado

3. El laboratorio de ciencias

4. El centro de cualquier cancha deportiva

IV. Encuentren el perímetro del cuadrilátero y área geométrica que se forma al unir las coor-denadas de las construcciones del ejercicio anterior.

V. Compartan sus resultados de forma grupal.

Actividades de aprendizaje

Tiene las actividades suge-ridas en el programa de es-tudio pero enriquecidas de acuerdo con el desarrollo de competencias propuesto por el enfoque y la estructura di-dáctica.

Las ACTIVIDADES DE APREN-DIZAJE están diseñadas para que sean resueltas CON EL DOCENTE o bien tiene activi-dades que el alumno puede resolver de manera AUTÓ-NOMA y reforzar con ellas lo aprendido en clase. Están identificadas con un ícono

AUTÓNOMA

CON EL DOCENTE


23

Actividad de aprendizaje 2I. En un papel bond cuadriculado, traza un mapa de tu colonia o ciudad y realiza lo

siguiente:

1. Ubica los ejes x y y, localiza las coordenadas de tu casa y las de tres de tus com-pañeros.

2. Encuentra el área geográfi ca limitada por los domicilios anteriores.

3. Ilumina y encuentra la distancia total más corta posible si realizaras el recorrido a cada domicilio (ten en cuenta que no puedes ir en línea recta por en medio de las calles).

II. En tu cuaderno, elabora una gráfi ca de cada uno de los siguientes ejercicios:

1. Las casas de Armando, Katia y Sergio representan los puntos medios respecto a tres comercios famosos que están ubicados en el plano cartesiano de la ciudad de Puebla, tomando Reforma esquina con 16 de septiembre como origen (0,0) (revisar plano de la ciudad de Puebla); la ubicación de sus domicilios es: Armando, 3 norte esquina 4 poniente; Katia, 2 norte esquina 2 oriente y Sergio, 3 sur esquina 5 po-niente. Encuentra las coordenadas en que se localizan los comercios.

2. Tres satélites orbitales localizan en un plano cartesiano un tractocamión robado. La ubicación de los satélites en el plano es A(1,−1), B(6,−2) y C(7,3), y están a la misma distancia uno de otro e indican que la abscisa de la ubicación del tráiler es 2, que al unir las coordenadas de los satélites y el tractocamión forman un cuadrado. ¿Cuál es la ordenada del tractocamión?

3. En el plano cartesiano de la ciudad de Puebla se localizan los puntos que tienen coordenadas A(5,3), B(−8,4) y C(2,−2). Nombra los cruces de las calles que representa cada punto, prueba que forman un triángulo rectángulo y halla su área.

4. Grafi ca y encuentra el perímetro y área de cinco tiendas de conveniencia de la ciu-dad de Puebla que tienen las siguientes coordenadas A(0,7), B(4,9), C(7,2), D(3,−1), E(−1,4). Indica cuál es la dirección de cada tienda.

5. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son A(−1,−3), B(−1,5); localiza las coordenadas del tercer vértice y área del triángulo (para este ejercicio hay dos soluciones).

6. Un segmento de longitud 5 pasa por el punto A(−3,7) y por el punto que tiene como abscisa 1. Halla la ordenada del segmento.

7. Tres de los vértices de un rombo regular son los puntos A(2,2), B(5,6), C(9,9). Locali-za las coordenadas del cuarto vértice.

8. Encuentra el perímetro y área del triángulo que tiene vértices A(2,6), B(7,1), C(−1,−1).

9. Halla el perímetro y área del cuadrilátero A(0,8), B(7,4), C(3,0), D(−2,5).

10. La Secretaría de Turismo del Estado de Puebla muestra en un tríptico la ubicación de tres hoteles del centro histórico, los cuales forman un triángulo equilátero. Uno de ellos se ubica en 5 sur esquina 7 poniente, otro en 10 sur esquina 7 oriente. En-cuentra la ubicación del tercer hotel, así como el área geográfi ca y perímetro que representan.


Nuestras experiencias y aprendizajes

t Es el momento en que se solicita al alumno presentar su PROYECTO IN-TEGRADOR, asimismo expone sus lo-gros o dificultades en la elaboración del mismo.

Unidad IILa línea recta y la circunferencia

113


En este momento deberás hacer entrega de tu proyecto integrador. Para ello, organizarás con tu profesor al menos dos sesiones para la presentación de proyectos. En éstas, comentarán cuáles son los conocimientos que obtuvieron, qué experiencias les dejó el trabajo realizado, qué difi cultades se presentaron y por qué motivos, qué aspectos deben mejorar, etcétera. Recuerda que esta acti-vidad enriquecerá tu aprendizaje.

Para mi refl exiónI. Elige alguna de las opciones: excelente, bueno o malo, y explica.

Aspectos Excelente porque… Bueno porque… Malo porque…

Encontrar el IPC del consumo familiar

fue...

El IPC familiar que obtuve fue...

Representar el IPC con rectas es...

Representar el IPC con ciclos es...

Las proyecciones de IPC realizadas son

datos...

Las rectas y circunfe-rencias en mi vida son

modelo...

La aplicación futura de estos conceptos en

mi vida es...


Para mi reflexión

Esta sección tiene como pro-pósito que el alumno anali-ce de forma introspectiva, metacognitiva y sea cons-ciente de cuáles fueron los conocimientos que obtuvo durante la Unidad.

Ya que si el ALUMNO ES CONSCIENTE DE LO QUE APRENDIÓ, y hace suyo el conocimiento está en el ca-mino correcto del APRENDI-ZAJE SIGNIFICATIVO.



En este momento deberán hacer entrega de su maqueta, para ello organizarán con su profesor una sesión para la presentación de proyectos, en ésta comentarán cuáles son los conocimientos que obtuvieron, qué experiencias les dejó el proyecto, qué difi cultades se presentaron y por qué, qué aspectos deben mejorar, etcétera. Recuerden que esta actividad enriquecerá su aprendizaje.

Para mi refl exiónI. Responde las siguientes preguntas:

1. ¿De qué te sirvió realizar el mapa de tu localidad?

2. ¿Qué consideras que le faltó para ser más exacto?

3. ¿Cómo aplicas en tu proyecto integrador lo que aprendiste con el mapa?

4. ¿Consideras que tiene aplicación en tu vida lo que aprendiste? ¿De qué manera?

5. Menciona tres de tus actividades cotidianas en las que aplicas división de un segmento.

6. ¿Consideras que podrías aplicar este concepto a otras actividades? ¿Cuáles?

7. ¿Qué ocurre en la fórmula cuando r es negativo? Y, ¿cuándo r es positivo? Explica.

Unidad IILa línea recta y la circunferencia

113


En este momento deberás hacer entrega de tu proyecto integrador. Para ello, organizarás con tu profesor al menos dos sesiones para la presentación de proyectos. En éstas, comentarán cuáles son los conocimientos que obtuvieron, qué experiencias les dejó el trabajo realizado, qué difi cultades se presentaron y por qué motivos, qué aspectos deben mejorar, etcétera. Recuerda que esta acti-vidad enriquecerá tu aprendizaje.

Para mi refl exiónI. Elige alguna de las opciones: excelente, bueno o malo, y explica.

Aspectos Excelente porque… Bueno porque… Malo porque…

Encontrar el IPC del consumo familiar

fue...

El IPC familiar que obtuve fue...

Representar el IPC con rectas es...

Representar el IPC con ciclos es...

Las proyecciones de IPC realizadas son

datos...

Las rectas y circunfe-rencias en mi vida son

modelo...

La aplicación futura de estos conceptos en

mi vida es...


Valorando mi aprendizaje

Es la MATRIZ DE VALORACIÓN del proyecto inte-grador. Está redactada para que el alumno tenga claridad de lo que se está considerando para su evaluación.

t Criterio t Evidencia requerida t Ponderación t Niveles de dominio t Criterios t Logros t Aspectos por mejorar

Todos ellos FACTORES PARA LA CORRECTA VA-LORACIÓN DE PROYECTO INTEGRADOR

NOTA: La matriz de valoración no es una rúbrica, pues una rúbrica de evaluación debe contener de 3 a 5 cuartillas ya que al ser su ob-jetivo mucho más a detalle debe contener metódicamente los ele-mentos y los criterios de evaluación para cada una de las actividades desarrolladas en la Unidad.


165

Valorando mi aprendizajeApoyándote en la siguiente matriz, ubica el nivel de dominio que obtuviste de acuerdo con tu proyecto integrador.

Unidad III

Las cónicas y sus aplicaciones

Criterio Evidencia requerida Ponderación

Elabora una antena parabólica casera con materiales sencillos de conseguir y cuyas dimensiones vayan de 50 a 200 cm, com-probando que reciba señales, y muestra

los cálculos matemáticos que hizo durante el proceso de construcción.

Reporte de resultados de los productos de la canasta básica

30%

Pre-formal Receptivo Resolutivo

(fundamental)

Autónomo Estratégico

Muestra difi -cultad con las

operaciones bá-sicas requeridas para encontrar elementos de la

parábola.

Carece de habi-lidad técnica y

creatividad en la construcción físi-ca de su proyecto

integrador.

No encuentra importancia del tema en su con-

texto.

Se le difi culta el trabajo en

equipo.

Elabora su para-bólica pero no es

estéticamente atrac-tiva por el tipo de

material empleado y no recibe señales.

Aborda con difi cul-tad sólo algunos conocimientos

adquiridos durante la unidad o tiene

errores en operacio-nes básicas.

Tiene actitud para el trabajo colaborati-vo y tiene una idea

vaga de la importan-cia del tema en la vida cotidiana y su

contexto.

Crea una parabó-lica atractiva que

recibe señales, pero usa material

exagerado en costos.

Encuentra y dis-tingue ecuaciones de la parábola con algunos elementos

y aborda varios conocimientos

adquiridos durante la unidad.

Tiene actitud para el trabajo colabo-rativo y reconoce la importancia del

tema en la vida cotidiana y su con-

texto.

Construye una pa-rábolica atractiva

que recibe mínimas señales y no requi-rió de materiales

costosos.

Encuentra y distin-gue ecuaciones de la parábola con to-dos sus elementos y los aborda para medir alcances y

longitudes.

Asume una actitud constructiva duran-te el trabajo cola-borativo; además, reconoce la impor-tancia del tema en la vida cotidiana y

su contexto.

Construye, presenta y explica el proceso de

elaboración y funciona-miento de su parabólica, la cual recibe señales y

no requirió de materiales costosos.

Halla y distingue ecua-ciones que aplica en su modelo e interpreta de manera correcta alcan-

ces y limitaciones de su proyecto aplicando

todos y cada uno de los conocimientos adquiridos

durante la unidad.

Asume una actitud cons-tructiva durante el traba-jo colaborativo, reconoce la importancia del tema en la vida cotidiana y su

contexto.

25% 50% 70% 90% 100%

Logros: Aspectos por mejorar:


Glosario

Para que el alumno tenga a la mano los tér-minos que le puedan resultar desconocidos y que son indispensables en el estudio de los te-mas de su libro.

Glosario166

Glosario Abscisa. Coordenada x de un punto representado en el plano cartesiano.

Cartesiano. Relativo al plano coordenado propuesto por René Descartes.

Cíclica. Que se repite o sucede cada cierto tiempo y de la misma forma.

Concéntricas. Se refi ere a fi guras geométricas que tienen el mis-mo centro.

Cónica. Curva que se obtiene al cortar una superfi cie cónica por un plano que no pasa por el vértice.

Coordenada polar. Pareja de elementos en un plano que quedan determinados mediante un ángulo y una distancia respectiva-mente.

Coordenada rectangular. Pareja ordenada de elementos (x,y) en el plano cartesiano.

Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos de una circun-ferencia.

Cuerda focal. Segmento de recta que une dos puntos de una superfi cie pasando por el foco.

Depreciación. Disminución del valor o precio de un objeto o bien inmueble.

Directriz. Línea sobre la que se apoya constantemente otra al generar una superfi cie.

Eje conjugado. Al eje que se encuentra en ángulo recto con res-pecto al eje transversal que pasa a través del centro de la elipse o hipérbola.

Eje focal. Eje o recta donde se localiza el foco.

Eje transverso. Está situado o dispuesto en posición transversal del foco.

Foco. Punto situado en el plano y fuera de una cónica u otra curva plana, de modo que la distancia a todos los puntos de la misma puede expresarse mediante una ecuación.


Bibliografía

Todas las referencias bibliográficas que el autor consultó al momento de realizar su obra.

BibliografiaRecursos web

168

BibliografíaLehmann, Ch. (2000). Geometría Analítica. México: Limusa.

Stewart, J. et al. (2007). Precálculo. México: Thomson.

Sullivan, M. (1997). Precálculo. México: Pearson Prentice Hall.

Allen, R. (2004). Álgebra intermedia. México: Prentice Hall.

Carme, A. (1982). Fundamentos de Matemáticas. México: Mc-Graw-Hill.

Highland, R. et al. (1987). Matemáticas Financieras. México: Prentice Hall.

Ibáñez, G. et al. (2010). Matemáticas III. México CENGAGE Learning.

Vásquez, S. et al. (2007). Geometría Analítica. México: Pearson Prentice Hall.

Barnett, Z. et al. (2001). Trigonometría Analítica. México: Thomson.

Swokowsky, E. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Referencias electrónicashttp://deexpedicion.com

http://es.global-rates.comw

http://es.thefreedictionary.com/latitud

http://www.criticarte.com

http://www.e-local.gob.mx

http://www.paginadigital.com.ar

http://www.youtube.com/


Y por último…acerca de nuestros autores

En esta sección mostramos una SINOPSIS CURRICULAR DE CADA UNO DE LOS AU-TORES. Realizamos una selección cuida-dosa de quienes formarían nuestra plan-ta autoral. El 90% de los autores tienen grado académico de Maestría y/o son Doctores en alguna especialidad afín a la asignatura de la que son autores y todos han sido catedráticos en nivel medio su-perior, saben de las necesidades de esta etapa de aprendizaje.

Sabedores de que tenemos autores con ex-celente trayectoria curricular la mostramos, orgullosos de que ello; al mismo tiempo los usuarios saben quién escribió el libro que tienen en sus manos.

VI

Acerca del autor

Luis Ángel Bolaños Ramírez

Originario de la ciudad de Huaman-tla, Tlaxcala. Es licenciado en Matemáticas por la Bene-mérita Universidad Autónoma de Puebla (1999), cuenta con el Diplomado del Programa de Formación Docen-te de Educación Media Superior (PROFORDEMS 2012). También tiene estudios de maestría en Ingeniería Ad-ministrativa por el Instituto Tecnológico de Apizaco, Tlaxcala (2008).

En el ámbito profesional, en los últimos trece años, se ha desempeñado como docente en las áreas de Ma-temáticas, Administración, Física y Estadística; asimismo como profesor y tutor en los niveles básico, medio su-perior y superior en instituciones educativas. Participó como ponente en el Congreso Nacional de Ingenierías e Informática en el Instituto Tecnológico de Orizaba (Vera-cruz). Ha asistido a diversos congresos y cursos de capa-citación referentes a educación por competencias. Ha participado como evaluador estatal en las olimpiadas de Matemáticas a nivel secundaria por parte de la ANPM.

Actualmente, coordina el área de Matemáticas en el Bachillerato UPAEP Campus Huamantla, en el Colegio Franciscano A.C., y en Instituto Franciscano de Oriente.

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Estructura didáctica