ESTRUCTURA_CRISTALINA Askeland Resumen

Elaborado por: Ing. Xavier Snchez 1

ESTRUCTURAS GEOMETRICA Y CRISTALINA

Carrera de Ingeniera Mecnica

CIENCIA E INGENIERIA EN MATERIALES


Redes espaciales y celdillas unidad

Si los tomos o iones de un slido estnordenados segn una disposicin quese repite en las tres dimensiones,forman lo que se denomina unestructura cristalina (ejm. Metalesaleaciones y algunos cermicos)



La disposicin atmica en los slidoscristalinos se puede representarconsiderando a los tomos como lospuntos de interseccin de una redtridimensional, precisamente esta es ladenominada red espacial



En un cristal ideal la agrupacin de puntos dela red en torno a este es idntica a laagrupacin en torno a cualquier otro punto,Es as que cada red espacial se puededescribir especificando la disposicin de lostomos en una celdilla unidad, que se repiteuna u otra vez


Sistemas cristalinos y redes de bravais

Se pueden construir celdillas unidad ediferentes tipos. Los cristalgrafos handemostrado que solo son necesarios 7 sistemascristalinos para describir todas las posiblesredes y Bravais demostr que catorce celdillasunidad estndar describan todas las redesposibles, agrupndose en cuatro tipos bsicos:simple, centrada en el cuerpo, centrada en lascaras y centrada en la base.



Figura 1 Catorce tipos de celdas unitarias o redes de Bravais



Estructura Ejes ngulos entre ejes

Cbica a = b = c Todos los ngulos de 90

Tetragonal a = b c Todos los ngulos de 90

Ortorrmbica a b c Todos los ngulos de 90

Hexagonal a = b c Dos ngulos de 90

Un ngulo de 120

Rombodrica a = b = c Todos los ngulos son

iguales y ninguno es de 90

Monoclnica a b c Dos ngulos de 90

Un ngulo () distinto de 90

Triclnica a b c Todos los ngulos son

distintos y ninguno es de 90


Principales estructuras cristalinas metlicas

La mayor parte de los metaleselementales (90%) cristalizan al solidificaren tres estructuras cristalinas deempaquetamiento compacto: Cbicacentrada en el cuerpo (BCC), Cbicacentrada en las caras (FCC) y hexagonalcompacta (HCP), siendo esta ltima unamodificacin ms densa de la estructurahexagonal



Estructura cbica centrada en elcuerpo (BCC). En esta estructura sepuede observar un tomo centralrodeado por ocho vecinos msprximos: se dice tiene un nmero decoordinacin de ocho. Tenemos unequivalente de dos tomos por celdillaunidad.


Los tomos en un modelo BCC se contactan entre s a travs de la diagonal del cubo, de forma que la relacin entre la longitud del lado del cubo a y el radio atmico R es:

Figura 2. Celdillas unidad BCC


3

4bien o 43

RaRa


Se puede calcular el APF, que es el factor deempaquetamiento atmico que es:

APF = volumen de tomos de la celdillaunidad/volumen de la celdilla unidad



Ejercicio 1.

Calcular el APF para la celdilla BCCconsiderando a los tomos celdas rgidas(Ref:Smith, p. Ej3.2)



Estructura cbica centrada en lascaras (FCC). En esta estructura se puedeobservar que en cada celdilla unitaria hayun punto reticular en cada vrtice del cuboy uno en el centro de cada cara. El APFpara esta estructura de empaquetamientocompacto es de 0.74, lo que indica que esmenos compacta que la estructura BCC(0.68).



Tiene un equivalente de 4 tomos por celdillaunidad , as, los ocho octavos de los vrticescuentan como uno enteros y los seis mediosdel las caras cuentan por tres tomos ms,haciendo un total de cuatro, en estaestructura los tomos se contactan a travsde la diagonal de la cara del cubo


2

4bien o 42

RaRa



Figura 3. Celdillas unidad FCC

Ejercicio 2 El calcio es FCC y tiene unaconstante de red 0.558. Calcule el valordel radio atmico de un tomo de calcioen nanmetros (Ref:Smith. p.89 Ej3.3.12)



Ejercicio 3. Determine la estructuracristalina de lo siguiente (a) un metalcon a=4,9489 A, r=1,75 A y untomo por pto de red (b) Un metalcona= 0,42906 nm, r=0,1858 nm y untomo por pto de red (Ref:Ask 3. p.70Ej 3.2)



Estructura cristalina hexagonalcompacta (HCP). El APF de estaestructura es de 0.74, el mismo quepara la estructura FCC, puesto que enambas los tomos empaquetados loms juntos posible estn rodeados deotros 12 tomos, es decir que sunmero de coordinacin es de 12.



a = 2R

c = 1.633 a

a: lado hexgono

c: altura de celdilla


Figura 4. Celdillas unidad HCP


Ejercicio 3 Calcule el volumen ennanmetros cbicos de la celdillaunidad de la estructura cristalina delberilio. El berilio es HCP a 20C con a= 0.22856 y c = 0.35832.



Las posiciones atmicas se localizan usandodistancias unitarias a lo largo de los ejes x, y, z.

Ejercicio 4 Las posiciones atmicas para losocho tomos situados en los vrtices de laceldilla unidad BCC son

(0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)

El tomo central de la celdilla BCC tiene decoordenadas ( , , )


Posiciones y direcciones atmicas en celdillas de unidad cbica



[0, 0, 0]

[1, 1, 1]

[0, 1, 1]

[1, 1, 0]

[0, 1, 0]

[0, 0, 1]

[1, 0, 1]

[1, 0, 0]

[ , , ]

Para Determinar las direcciones se siguen los siguientes pasos en las celdas :

1. Se determinan los dos puntos tanto el inicial y el final de acuerdo al sistema de coordenadas.

2. Se resta las coordenadas final menos inicial (Se forma el vector)

3. Se reduce las fracciones a mnimos enteros.

4. Se encierra los resultados entre [].



Ejercicio 5 Determine las direcciones en las siguientes celdillas



ndices de miller para planos cristalogrficos en celdillas de unidad cbica.

Algunas veces es necesario referirse a planosreticulares especficos de tomos dentro deuna estructura cristalina o puede ser deinters conocer la orientacin cristalogrficade un plano grupo de planos de una redcristalina. En estructuras cristalina cbicas seutilizan el sistema de notacin de Miller paraidentificar los planos cristalinos.


Los ndices de Miller de un planocristalino se definen como los recprocosde las intersecciones fraccionales de losplanos hechos con los tres ejescristalogrficos x, y, z y las tres aristasno paralelas de la celdilla unidad cbica.





ndices de Miller de algunos planos cristalinos importantes.

Para determinar los planos se sigue el siguienteprocedimiento:

1. Determine los puntos donde el plano intersequelos ejes, si el plano pasa por el origen delsistemas de coordenadas se mueve.

2. Se toma los recprocos de estas direcciones.

3. Se elimina fracciones sin reducir a enteros.

4. Se encierra los nmeros entre parntesis



Ejercicio 6 Determine los ndices para los planos de la celda unitaria cbica que aparece en la celda en la figura (Ref: Ask, p.71 Ej 3-17)



Planos cristalogrficos y direcciones en celdillas de unidad hexagonales.

Los planos cristalinos de las celdilla HCP seidentifican generalmente utilizando cuatrondices en ves de tres y son llamados ndicesde Miller Bravais, disgregandose por lasletras h, k, i y l (h k i l), estos ndices estnrelacionados de tal forma que h+k=-i . Haytres ejes fundamentales a1, a2, y a3, queforman un ngulo de 120 entre si. El cuartoeje, c, es el eje vertical localizado en el centrode la celdilla unidad.




Los cuatro ejes coordenados (a1,a2,a3yc)de la celdilla de la estructura cristalina HCP

Para determinar las direcciones en el sistema deuna celdilla HC, se puede tomar como referenciauna celdilla de tres direcciones formada por+a1, +a2 y c donde (h,k y l) son los ndices enel sistema de tres ejes, y se transforma alsistema de 4 coordenadas mediante lasecuaciones:

h = 1/3(2h-k) k = 1/3(2k-h)

i = -1/3(h+k). l = l.



Ejercicio 7 Determine los ndices de lasdirecciones en la red hexagonal que semuestra en la figura, utilizandosistemas tanto de tres dgitos como decuatro (Ref: Ask, p.71, Ej3-19)



Para la determinacin de los planos se sigueun procedimiento similar al de las celdillascbicas.

Planos basales Son los hexgonos superiore inferior que forman las tapas de la celdillaunidad.

Planos prisma. Son los planos que vienen aformar las caras laterales de la celdillaunidad.





Indices de Miller de planos cristalinos hexagonales(a) Planos Basales (b) Planos de prisma

Ejercicio 8 Determine los ndices de los planos en la red hexagonal que se muestra en la figura (Ref: Ask, p.72, Ej3-21).



Clculo de densidad volumtrica, planar y lineal de celdillas unidad.

Densidad volumtrica. El clculo de la densidad volumtrica para la celdilla unidad de la estructura cristalina de un metal, viene dado por:


unidad celdillavolumen /

unidad celdilla / masa metal del ca volumetriDensisdad v

Densidad atmica planar. A veces es importante determinar la densidad atmica en varios planos cristalinos, se calcula la denominada densidad planar a partir de la relacin:



daselecciona rea

daselecciona rea elpor osintersecad tomos de equiv nm planar atmica Densisdad P

Densidad atmica lineal. Algunasveces es importante determinar lasdensidades en varias direcciones de lasestructura cristalinas. Por ello, secalcula una magnitud llamada densidadatmica lineal a partir de la relacin:



daselecciona lnea la de longitud

daselecciona linea una de longitud unapor osintersecad entediametralm tomos de nm

lineal atmica Densisdad l

Fraccin de empaquetamiento.

Esta relacin se encuentra dada por larelacin entre reas de tomosequivalentes intersecados el rea de unplano:

Fr emp=Area tomos / Area del Plano



Ejercicio 9 Determine la densidad planar y la fraccin de empaquetamiento del Nquel FCC en los planos (1,0,0); (1,1,0); (1,1,1) (Ref: Ask, p. 73, Ej 3-35)



Distancia interplanar

Distancia interplanar Esta es la distanciaentre dos planos de tomos adyacentesparalelos con los mismos ndices de Millar, seconoce como distancia interplanar seencuentra dada por:


222 lkh

adhkl

Donde

a = Parmetro de red.h,k,l = ndices de miller de los planos adyacentesconsiderados.

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