Upload
ledung
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Titulació:
Enginyeria aeronàutica
Alumne:
Jordi Vallès Fluvià
Títol del projecte:
ESTUDI DE NOVES EINES PEL PROGRAMA DE
CÀLCUL DE PARACAIGUDES PARACHUTES
Director del projecte:
Roberto Flores
Convocatòria de lliurament:
Gener de 2014
Contingut d’aquest volum: MEMÒRIA I ANNEXOS
Resum. En aquest document es presenta la memòria de disseny de
tres noves funcions de càlcul pel programa d’anàlisi de paracaigudes
Parachutes, desenvolupat a CIMNE. Es recullen els fonaments teòrics
i alguns detalls importants del disseny d’aquestes funcions, que
permeten el càlcul del moviment de sòlids rígids definits en el model,
l’anàlisi energètic del moviment i l ’aplicació de càrregues
aerodinàmiques resultants de coeficients experimentals.
ÍNDEX
Índex de figures 4
Índex de taules 5
1. Objectius 6
2. Justificació 7
3. Abast 9
4. Introducció 10
4.1 El programa Parachutes 10
4.2 Explicació de les noves funcions 11
5. Funció de càlcul de sòlids rígids 13
5.1 Equacions del moviment 13
5.2 Equacions per a sòlids rígids amb punts fixos 14
5.3 Integració en el temps 18
5.4 Integració de la funció dins del programa 19
5.5 Diagonalització del tensor d’inèrcia 19
6. Funció de càlcul de l’energia 22
6.1 Fonaments teòrics 23
6.2 Càlcul de l’energia mecànica 24
6.3 Càlcul del treball en elements deformables 24
6.4 Càlcul del treball en sòlids rígids 25
6.5 Demostració de resultats 26
7. Forces aerodinàmiques tabulades 28
7.1 Preparació de les dades d’entrada 28
7.2 Aplicació de les càrregues sobre el sòlid 31
9. Implicacions ambientals 33
10. Conclusions 34
11. Pressupost 36
12. Referències 37
Annex 1. Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids 38
Annex 2. Diagrama de flux de la funció de càrregues aerodinàmiques 40
Annex 3. Exemple d’arxiu de resultats energètics 42
Annex 4. Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics 43
Annex 5. Exemple d’aplicació de Parachutes 44
Annex 6. Pressupost 46
4
ÍNDEX DE FIGURES
Fig. 1. Parapent durant proves en túnel de vent 7
Fig. 2. Diagrama de forces i moments sobre un sòlid rígid 16
Fig. 3. Evolució del moviment del pèndol 26
Fig. 4. Exemple de coeficients aerodinàmics tabulats 29
Fig. 5. Diagrames per l’extrapolació de coeficients 31
Fig. 6. Diagrama de flux del programa Parachutes 38
Fig. 7. Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids 39
Fig. 8. Diagrama de flux de la preparació dels coeficients aerodinàmics 40
Fig. 9. Diagrama de flux de la funció de càrregues aerodinàmiques 41
Fig. 10. Arxiu de resultats energètics de l’exemple de la Secció 6.5 42
Fig. 11. Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics 43
Fig. 12. Forma del paracaigudes abans de la simulació 44
Fig. 13. Forma i orientació del paracaigudes després de 10 segons 45
Fig. 14. Distribució del coeficient de pressió en l’ala del paracaigudes 45
5
ÍNDEX DE TAULES
Taula 1. Exemple d’evolució de l’energia d’un pèndol (en Joules) 27
6
1. Objectius
La finalitat d’aquest estudi és dissenyar tres eines addicionals al programa
Parachutes de CIMNE, dedicat a l’anàlisi de paracaigudes. Aquestes noves
eines permetran calcular l’evolució de l’energia, calcular el moviment de sòlids
rígids i aplicar càrregues aerodinàmiques tabulades sobre aquests últims.
La funció de càlcul de l’energia ha de permetre seguir l’evolució en el temps del
treball fet pels diferents tipus de forces, així com també l’evolució del valor de les
energies cinètica i potencials.
La funció de càlcul de sòlids rígids ha de permetre calcular el moviment d’un
grup d’elements als quals s’imposa que formin un conjunt rígid, o sigui que
mantinguin les distàncies relatives. A més a més, la funció de càrregues
aerodinàmiques tabulades ha de permetre aplicar a aquests grups d’elements
càrregues aerodinàmiques resultants de coeficients introduïts per l’usuari en un
arxiu.
7
2. Justificació
El programa Parachutes es va dissenyar a CIMNE (Centre Internacional de
Mètodes Numèrics en Enginyeria) l’any 2009 arrel d’un projecte conjunt amb el
fabricant de paracaigudes CIMSA per analitzar el comportament dinàmic de
parapents.
Fig. 1. Parapent de grans dimensions durant proves en túnel de vent (web NASA)
En aquest programa hi ha tres tipus d’elements amb els quals es construeix un
model: cables, triangles i tetraedres. Els cables i les membranes només
resisteixen esforços de tracció i compressió, no tenen rigidesa a flexió, i
serveixen per modelar la tela i els cables del paracaigudes. Els tetraedres, que sí
que tenen rigidesa a flexió, serveixen per modelar la càrrega útil que transportarà
el paracaigudes. En la càrrega útil modelada amb tetraedres les deformacions
són normalment molt petites i la major part del moviment és de sòlid rígid. A més
a més, les deformacions que pateix no són d’interès en la major part d’anàlisis.
En aquí la utilitat de la funció de càlcul de sòlids rígids, que permet calcular el
moviment de la càrrega desconsiderant les deformacions que pugui patir. En els
casos en què no interessa estudiar la deformació de la càrrega, amb la utilització
de sòlids rígids s’aconsegueixen els mateixos resultats amb un càlcul més ràpid.
8
La part de Parachutes que calcula les càrregues aerodinàmiques utilitza el
mètode de panells. Com que les càrregues suspeses acostumen a tenir formes
no aerodinàmiques, com poden ser caixes o contenidors, el mètode de panells
no serveix per calcular les càrregues aerodinàmiques sobre aquestes. La finalitat
de la funció que aplica les càrregues aerodinàmiques de coeficients tabulats és
permetre l’aplicació de forces aerodinàmiques sobre les càrregues d’una forma
senzilla i ràpida, substituint en això el paper del solver aerodinàmic.
Com tots els programes de simulació dinàmica Parachutes permet introduir
manualment dissipació que pot evitar la divergència de la solució i l’aparició de
vibracions d’alta freqüència. Aquesta dissipació s’introdueix amb l’esmorteïment
Rayleigh, a través del qual la força de dissipació que es produeix és proporcional
a la matriu de massa i a la matriu de rigidesa del sistema mitjançant dos
coeficients. Un dels objectius principals de la funció de càlcul de l’energia és
poder conèixer l’energia que es dissipa per mitjà d’aquest mecanisme. Si
l’energia dissipada, o sigui el treball de dissipació, és massa gran en relació a les
forces que aporten energia (gravetat i aerodinàmica) segurament els coeficients
de dissipació són massa alts i els resultats del problema que s’està simulant no
són realistes. La funció de càlcul de l’energia permet detectar aquestes
situacions.
L’altra utilitat de la funció de càlcul de l’energia és que pot permetre detectar
quan s’està produint algun tipus d’error en el càlcul del moviment del model. Com
que es coneix el treball de totes les forces i també l’energia mecànica, es pot fer
un balanç i comprovar que es compleix el principi de conservació de l’energia. Si
no es compleix, vol dir que el moviment que es calcula a partir de les forces no
és correcte. En el cas que siguin les forces que estan mal calculades i no el
moviment resultant d’aquestes forces, el balanç d’energia en general no
permetrà detectar-ho.
9
3. Abast
Abast de la funció de càlcul de l’energia:
1. Permetrà seguir l’evolució en el temps del treball de les diverses forces
que actuen sobre el model, de l’energia cinètica del moviment del centre
de massa, de l’energia cinètica del moviment relatiu al centre de massa,
de l’energia potencial gravitatòria i de l’energia potencial elàstica.
2. Es farà el còmput dels termes anteriors de forma global en tot el model,
no es podrà separar el còmput en les contribucions de diverses zones del
model.
3. Es presentaran els resultats en un arxiu d’una forma que permeti el post-
processament.
Abast de la funció de càlcul de sòlids rígids:
1. El grup d’elements que formen un sòlid rígid podrà tenir nodes fixos.
2. No es permetrà que els sòlids rígids estiguin connectats entre ells.
Només es podran connectar a elements deformables.
3. No hi haurà limitació en quant al número de sòlids rígids calculables.
4. Les forces que actuaran sobre el sòlid rígid seran la gravetat, les forces
d’unió amb elements deformables i les forces aerodinàmiques tabulades.
5. No es podrà aplicar dissipació als sòlids rígids.
Abast de la funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques tabulades:
1. Les càrregues aerodinàmiques es podran aplicar només sobre sòlids
rígids. No es podran aplicar sobre elements deformables.
2. Aquestes càrregues podran ser les forces i moments sobre els tres eixos
vent: resistència, força lateral, sustentació, moment de balanceig,
moment de capcineig i moment de guinyada.
3. Es llegiran els coeficients d’un arxiu, en el qual es podrà seleccionar si els
coeficients introduïts són simètrics. En el cas que ho siguin el programa
extrapolarà internament els coeficients de les parts simètriques.
4. Es podrà carregar dels arxius més d’un tipus de càrrega, que es podran
aplicar segons convingui als sòlids rígids del model.
10
4. Introducció
4.1 El programa Parachutes
Parachutes és un programa dissenyat per l’anàlisi de paracaigudes que
permet la simulació transitòria de l’aerodinàmica i del moviment de l’estructura de
forma acoblada. A partir de la geometria i propietats d’un model, el programa
permet obtenir l’evolució en el temps de la posició, la velocitat, les tensions, les
deformacions i les pressions sobre els elements aerodinàmics. En resum, permet
simular de forma conjunta el moviment del model (incloent la deformació) i les
càrregues aerodinàmiques que aquest moviment provoca. Es pot trobar una
mostra dels resultats que s’obtenen amb Parachutes a l’Annex 5 d’aquesta
memòria.
Parachutes és una eina útil pel disseny de paracaigudes. En una fase de disseny
preliminar, perquè permet preveure el comportament de diverses configuracions
d’una forma ràpida, reduint la necessitat de dur a terme assajos en túnel de vent.
En una fase més avançada del disseny també, per a l’anàlisi en detall del
comportament aeroelàstic i de la resistència estructural.
El programa té dues parts molt diferenciades, que poden funcionar com a
programes independents: una part calcula l’aerodinàmica amb un mètode de
panells transitori i tridimensional, i l’altra part calcula el moviment de l’estructura
amb un mètode d’elements finits explícit. El mètode de panells és potencial, de
manera que no calcula la resistència aerodinàmica. El motiu de la utilització
d’aquest mètode pel càlcul de l’aerodinàmica es troba en la major velocitat de
càlcul en comparació amb altres mètodes com Euler o Navier-Stokes. Per
computar les càrregues aerodinàmiques en elements on el mètode de panells no
es pot aplicar s’utilitzen mètodes empírics.
Com és habitual en aquest tipus de problemes, el càlcul de l’aerodinàmica és el
factor que limita la capacitat per aconseguir resultats realistes. Si no fos perquè
l’aerodinàmica no es pot calcular de forma precisa, els resultats que s’obtenen
amb Parachutes podrien ser molt acurats.
11
4.2 Explicació de les noves funcions
Les noves funcions desenvolupades en aquest estudi no canvien el
funcionament del nucli del programa. Són eines addicionals que funcionen com a
extensions del programa original.
La funció de càlcul de sòlids rígids, que es tracta en detall a la Secció 5 d’aquest
estudi, permet definir un grup d’elements com a sòlid rígid i calcular-ne el
moviment. La incorporació d’aquesta eina fa que hi hagi dos tipus d’elements en
el programa: els elements deformables, que es calculen amb el programa
original, i els elements rígids (els que formen part de sòlids rígids), el moviment
dels quals es calcula en les subrutines de la nova funció.
Aquesta funció necessita un pre-processament de les dades a l’arrancada del
programa, que prepara les dades de cada sòlid rígid per tal que puguin ser
utilitzades per la subrutina principal, que calcula el moviment. Per la sortida de
resultats s’utilitzen les funcions ja existents en el programa original.
La subrutina principal calcula les resultants de força i moment de les càrregues
exteriors, les transforma en eixos principals i calcula les acceleracions angular i
del centre de massa, segons hi hagi cap, un, dos o més de dos punts fixos. Un
cop obtingudes les acceleracions s’aplica el moviment calculat, integrant-lo en el
temps, sobre cadascun dels nodes que formen part del sòlid rígid.
La segona funció desenvolupada en aquest estudi, que es tracta a la Secció 6,
és la que calcula el desglossament energètic del moviment. Aquesta és una
funció de post-processament, el resultat de la qual serveix únicament per a
facilitar l’anàlisi dels resultats d’una simulació. Aquesta funció permet, en
diversos instants de temps, desglossar l’estat energètic del model en els termes
de treball següents: treball de les forces aerodinàmiques, treball de les forces de
dissipació, treball de les forces elàstiques i treball de la força de gravetat. I en els
termes d’energia mecànica següents: energia cinètica associada a la translació
del centre de massa, energia cinètica del moviment relatiu al centre de massa,
energia potencial elàstica i energia potencial gravitatòria.
Per calcular el treball aquesta funció multiplica en cada instant de temps la força
que actua sobre els nodes i el desplaçament d’aquests, i suma la contribució de
cada node a un comptador global, de forma separada per a cada tipus de força.
En els instants de temps en què l’usuari demana que s’imprimeixin els resultats
energètics la funció calcula les energies i llegeix el còmput de treball, per
imprimir-los en l’arxiu de sortida de resultats.
12
L’última és la funció que aplica càrregues aerodinàmiques tabulades a sòlids
rígids, que es tracta en detall a la Secció 7. Aquesta funció permet aplicar sobre
grups d’elements que formen sòlids rígids càrregues aerodinàmiques segons uns
coeficients aerodinàmics introduïts per l’usuari. Aquests coeficients es poden
haver obtingut experimentalment i han de modelar l’aerodinàmica dels sòlids
rígids del model, que normalment seran les càrregues suspeses del
paracaigudes. Aquesta forma d’aplicar càrregues aerodinàmiques sobre aquests
elements és un mètode senzill però eficaç, que permet superar la impossibilitat
d’obtenir amb el mètode de panells càrregues aerodinàmiques sobre cossos amb
formes no aerodinàmiques, on l’aerodinàmica està governada de forma molt
important per la viscositat.
Aquest funció actua de la següent manera: a l’arrancada del programa es llegeix
l’arxiu de coeficients aerodinàmics i es guarden a la memòria. Els coeficients
aerodinàmics són funció de l’angle d’atac i de l’angle de lliscament, per això a
cada orientació del sòlid respecte del vent li correspon un grup de 6 coeficients,
corresponents a les forces i moments que actuen sobre cada eix. En cada pas
de temps, segons l’orientació entre la velocitat incident, es llegiran i
s’interpolaran els coeficients, i se sumarà la força i moment que en resulti sobre
el total de les forces i moments externs aplicats a un sòlid rígid. A partir d’aquí, la
funció de càlcul de sòlids rígids calcularà el moviment.
13
5. Funció de càlcul de sòlids rígids
L’objectiu de la funció de càlcul de sòlids rígids és permetre calcular el
moviment d’un grup d’elements del model als quals s’imposa que formin un sòlid
rígid. En aquest estudi s’ha simplificat el problema imposant que aquests
elements no es puguin connectar a elements que formin part d’un altre sòlid
rígid, o sigui, no es poden connectar sòlids rígids entre sí. Els sòlids rígids
poden, això sí, tenir punts fixos i es poden connectar a elements deformables,
sense limitacions. Els elements que formen un sòlid rígid són els mateixos que
formen els cossos deformables: cables, triangles i tetraedres.
En l’Annex 1 d’aquesta memòria es pot trobar el diagrama de flux de programa
de la funció de càlcul de sòlids rígids, on s’exposa de forma sintètica com s’ha
dissenyat el codi per a aquesta funció.
5.1 Equacions del moviment
Coneixent les dades geomètriques i la massa nodal dels nodes que formen
un sòlid rígid, es pot calcular la inèrcia i la massa total. A partir de les càrregues
que actuen sobre aquest, sense comptar-hi les possibles reaccions, es calculen
les resultants de força i moment externs des d’un punt de referència, ∑ i
∑ . Pel punt de referència s’utilitza el centre de massa si el sòlid rígid no té
nodes fixos i un dels nodes fixos en el cas que sí que en tingui.
Per trobar les acceleracions del sòlid rígid es diagonalitza el tensor d’inèrcia i es
transformen la força i el moment en eixos principals. A la Secció 5.5 s’explica el
mètode de diagonalització utilitzat. En eixos principals d’inèrcia, pel càlcul de
l’acceleració del centre de massa i de l’acceleració angular s’utilitzen les
següents fórmules. La primera és la generalització de la 2a llei de Newton a
sistemes de partícules, en la qual la força resultant aplicada és la suma de les
forces externes i de les reaccions.
∑ ∑ ∑ 5.1
on és l’acceleració del centre de massa, és la massa del sòlid, ∑ són les
forces de reacció dels suports sobre el cos, i ∑ la resultant de força total,
comptant forces externes i reaccions.
14
Les següents són les equacions d’Euler per a l’acceleració angular, que resulten
de la derivació en base mòbil de l’equació del moment cinètic, prenent com a
punt de referència el centre de massa o un punt fix, i utilitzant eixos principals.
En aquesta equació s’utilitza per representar el moment que provoquen les
forces de reacció i per representar els moments exteriors aplicats i el
moment causat per les forces exteriors.
∑ ∑ ∑ 5.2
∑
∑
∑
5.3
on és la velocitat angular, i el tensor d’inèrcia diagonalitzat.
5.2 Equacions per a sòlids rígids amb punts fixos
Coneixent la força i el moment totals aplicats sobre el sòlid rígid i la velocitat
angular, amb les equacions anteriors es poden aïllar les dues acceleracions.
Però en la força i el moment totals s’ha de comptabilitzar la força i el moment que
produeixen les reaccions en els punts fixos, que no es coneixen directament. A
continuació es presenten els mètodes utilitzats per calcular les acceleracions en
els casos en què hi ha un punt fix i dos punts fixos. El cas de tres o més punts
fixos no s’inclou perquè el moviment del cos està completament restringit, i té
velocitat i acceleració nul·les. Pel cas d’un cos lliure, sense punts fixos, les
acceleracions s’obtenen directament de l’aplicació de les Equacions 5.1 i 5.3,
tenint en compte que ∑ 0, i ∑ 0.
En cada punt fix hi ha tres components de reacció, però en el cas de més d’un
punt fix hi ha lligadures redundants i no hi ha suficients equacions per calcular el
valor de les reaccions. En un cos amb dos punts fixos les dues reaccions vénen
determinades per 6 valors corresponents a les 3 components de la força
( , , , , , ) que són incògnites, però només restringeixen 5 graus de
llibertat al sòlid rígid, de manera que hi ha lligadures redundants i més incògnites
que equacions. No obstant això, es podria calcular el valor de les reaccions
correctament menys en la component paral·lela a l’eix de rotació, que no estaria
determinada. En el cas de tres punts fixos hi ha 9 incògnites de les reaccions i
només 6 equacions, que són els graus de llibertat restringits per les lligadures,
de manera que el valor de les reaccions depèn de 3 paràmetres lliures. El cas
15
d’un punt fix és l’únic en el qual es pot calcular la reacció, perquè amb els 3
lligadures s’obtenen les equacions justes per calcular les 3 components de la
reacció.
Cas d’un punt fix
Com que el punt de referència pel càlcul del moment és el punt fix, l’aplicació
de la reacció no canvia el valor del moment i es pot calcular l’acceleració angular
amb les Equacions 5.3 directament fent . Per al càlcul de la força de
reacció en el punt fix primer s’ha de calcular l’acceleració del centre de massa
amb la següent equació:
5.4
on és l’acceleració del centre de massa, és l’acceleració angular calculada
prèviament amb les Equacions 5.3, és la posició del centre de massa i la
posició del punt de referència (el punt fix), de manera que és la posició
del centre de massa relativa al punt de referència.
Amb aquesta acceleració del centre de massa es pot calcular, mitjançant
l’Equació 5.1, la força resultant que actua sobre el cos ∑ , la qual inclou la força
de reacció. A partir del valor de la resultant de força sense reaccions o externa,
∑ , es pot calcular la força de reacció del cos sobre el suport ∑ amb la
següent equació:
∑ ∑ ∑ 5.5
Cas de dos punts fixos
Per calcular l’acceleració angular d’un cos amb dos punts fixos s’utilitza una
fórmula derivada de l’aplicació del mètode de les potències virtuals, que s’explica
a continuació en base al diagrama de la Figura 2, on es representa un cos amb
el moviment restringit en dos punts fixos.
16
Fig. 2. Diagrama de forces i moments sobre un sòlid rígid amb dos punts fixos
De l’aplicació de les equacions de la potència virtual sobre un sòlid rígid se
n’obté la següent equació:
∗ ∗ ∗ 0 5.6
on ∗ és el treball virtual produït per les velocitats virtuals ∗ i ∗ . i són les
resultants de força i moment (comptant-hi les reaccions), calculades des d’un
punt O qualsevol. En aquest cas el punt O serà el punt fix 1. Els termes i
són les forces d’inèrcia de d’Alembert, que també són vectors, i des del punt fix 1
es calculen de la manera següent:
5.7
5.8
on és l’acceleració del centre de gravetat, la massa total i és el moment
cinètic calculat des del punt fix 1.
El motiu d’utilitzar el mètode de les potències virtuals és que permet calcular
l’acceleració angular sense necessitat de conèixer el moment de les forces de
reacció. El motiu és el següent, prenent, per exemple, el punt fix 1 com a punt de
referència, el moment de la força de reacció en el punt 2 és perpendicular a l’eix
de rotació. Com que el moment exterior està multiplicat per la velocitat
angular virtual, i aquesta té la direcció de l’eix de rotació (perquè les velocitats
virtuals han de ser compatibles amb els enllaços), la component de produïda
per la força de reacció en el punt fix 2 es cancel·la, perquè és perpendicular a
l’eix de rotació. D’aquesta manera es pot calcular l’acceleració angular a partir
dels moments exteriors ∑ . Una altra forma d’explicar-ho és que el moment
de la força de reacció no fa treball (de la mateixa manera que tampoc en fan les
17
forces de reacció) i com que el mètode de potències virtuals es basa en un
balanç d’energia aquests moments es poden excloure del còmput.
∑ ∗ ∑
∗ ∑ ∗ ∑
∗ 5.9
Tenint en compte això, aplicant l’Equació 5.6 sobre el punt fix 1 del cos de la
Figura 2, i tenint en compte que ∗ 0, s’obtenen les següents equacions:
∗ ∗ 0 5.10
∗ ∗ 0 5.11
La derivada temporal del moment cinètic, que es calcula mitjançant la derivada
en base mòbil, és el següent:
5.12
On és el tensor d’inèrcia calculat des del punt 1. A partir de l’Equació 5.12,
l’Equació 5.11 es converteix en el següent:
∗ ∗ 0 5.13
∗ ∗ 5.14
Com que l’acceleració té la mateixa direcció que la velocitat angular virtual ∗,
es pot expressar l’acceleració angular en la forma següent:
∗
‖ ∗‖ 5.15
on és la projecció de sobre ∗ normalitzat. Si s’incorpora aquesta expressió
en l’Equació 5.14, s’obté el següent:
‖ ∗‖
∗ ∗ ∗ 5.16
‖ ∗‖
∗
∗ ∗ 5.17
Amb l’Equació 5.15 i l’Equació 5.17 es troba l’equació final que permet calcular
l’acceleració angular:
18
∗
∗
∗
∗ 5.18
on la velocitat virtual ∗ pot ser qualsevol vector amb la direcció de l’eix de
rotació, és la velocitat angular i el moment exterior calculat des del punt
fix 1. El mateix procediment podria ésser fet utilitzant com a referència el punt fix
2 i els resultats obtinguts serien els mateixos.
5.3 Integració en el temps
Un cop obtingudes l’acceleració del centre de massa i l’acceleració angular
d’un sòlid rígid, la integració d’aquestes acceleracions en el temps es fa utilitzant
el mateix mètode que s’utilitza en el programa per a la resta d’elements del
model. És un esquema explícit de 2n ordre de diferències centrals, com s’explica
en l’article Explicit Dynamic Analysis of Thin Membrane Structures [1], que és la
base teòrica del programa original.
Aquest esquema de 2n ordre utilitza una velocitat calculada en un pas de temps
intermedi entre els passos de temps en què es calcula l’acceleració i la posició, i
aquesta velocitat s’utilitza per calcular el desplaçament. Suposant que
l’increment de temps és uniforme per a tots els passos, es calcula l’increment de
velocitat intermèdia amb la següent fórmula:
∆ ∆
∆ 5.19
A partir de les velocitats intermèdies calculades amb l’Equació 5.19, es calcula el
desplaçament a partir de la següent fórmula:
∆ ∆
∆
5.20
Per utilitzar correctament aquest mètode, com a conseqüència de l’Equació 5.19,
en el primer pas de temps és necessari calcular la velocitat en ∆ 2⁄ . Per
fer-ho es pot utilitzar una diferència regressiva d’aquesta forma:
∆∆2
5.21
19
5.4 Integració de la funció dins del programa
En general, el grup d’elements que formen un sòlid rígid pot estar connectat
en algun node amb altres elements del model, amb els que són deformables i
que es calculen amb el mètode d’elements finits. Aquesta unió amb elements
deformables provoca unes forces, que són les que transmeten les forces del
sòlid rígid a la resta d’elements del model, i viceversa.
Sobre els elements deformables actuen les forces internes elàstiques i de
dissipació; i les forces externes, que en general són les aerodinàmiques i la
gravetat. Aquestes forces sobre els elements, mitjançant el mètode d’elements
finits, es redueixen a una força per cada node de l’element, que és la que permet
calcular l’acceleració dels nodes (veure Secció 6.1). Això només es fa sobre els
elements deformables.
Sobre els elements rígids (els que formen part d’un sòlid rígid) també hi poden
actuar forces, però es redueixen directament a una força i moment resultants,
sense necessitat de calcular forces nodals, amb les quals s’utilitzen les
equacions del moviment de la Secció 5.2. Una d’aquestes forces pot ser, si un
node és compartit amb un element deformable, una força d’unió. Aquesta força
d’unió és exactament la força nodal que s’ha calculat per la reducció de forces
sobre els elements. Amb aquestes forces es lliga el càlcul dels elements rígids al
càlcul dels elements deformables i s’integra la funció de càlcul de sòlids rígids
dins del programa original.
5.5 Diagonalització del tensor d’inèrcia
Per la diagonalització del tensor d’inèrcia s’ha utilitzat l’algoritme QR, un
mètode de diagonalització numèricament estable gràcies a que totes les
operacions sobre la matriu original són transformacions ortogonals. Aquest
mètode de diagonalització es basa en la descomposició QR de matrius. Sobre
una matriu no-simètrica només permet obtenir els autovalors, però sobre matrius
simètriques, com és el cas del tensor d’inèrcia, permet calcular també els eixos
principals.
La descomposició QR és la transformació d’una matriu en el producte d’una
matriu ortogonal per una matriu triangular superior. És un mètode que
s’utilitza no únicament per diagonalitzar matrius, sinó que també serveix, per
exemple, per a resoldre sistemes d’equacions d’una forma similar al mètode .
20
5.22
A partir de la descomposició QR de la matriu original , el procés de
diagonalització es basa en l’operació següent:
5.23
que escrita de forma general per a una iteració és l’equació següent:
5.24
En l’Equació 5.24 s’observa que el producte resulta en una nova matriu ,
que és el resultat d’una rotació de la matriu original. Com que la transformació és
ortogonal, els autovalors i autovectors es conserven. La base d’aquest mètode
de diagonalització és el següent teorema:
Si la matriu és invertible amb autovalors , ,.. diferents en
mòdul, es compleix el següent:
lim→
lim→
0 5.25
O sigui, que les iteracions QR tendeixen a fer convergir la matriu en una
matriu triangular superior. Si la matriu original és simètrica, llavors
convergirà a una matriu diagonal.
Com que la transformació de en s’efectua únicament mitjançant rotacions
(amb les matrius ortogonals), es pot trobar la matriu de rotació que obté
, i que en les seves columnes té els autovectors de , amb la següent
equació:
… 5.26
Per fer la descomposició QR en cada iteració s’ha utilitzat el mètode de la
transformació Householder, que utilitza també transformacions ortogonals i és
igualment estable.
21
Sobre aquesta base de l’algoritme QR es poden introduir optimitzacions que
redueixen molt significativament el cost computacional, sobretot en matrius
simètriques. Però com que l’operació de diagonalització només s’efectua una
vegada, a l’arrancada del programa, en el pre-processament de les dades de
sòlid rígid, la millora en el temps de càlcul serà insignificant i, per tant, en aquest
cas és innecessari d’utilitzar aquestes optimitzacions.
22
6. Funció de càlcul de l’energia
L’objectiu de la funció de càlcul de l’energia és calcular el treball que els
diversos tipus de força fan sobre el sistema d’estudi i el canvi d’energia mecànica
que aquestes forces produeixen. La finalitat, des del punt de vista de la utilitat
per a l’usuari, és permetre l’anàlisi dels resultats des del punt de vista de
l’energia.
Aquesta funció fa que Parachutes generi un arxiu de text després del procés de
càlcul on es presenta l’estat energètic per a diversos instants de temps. L’estat
energètic ve descrit pels següents camps1:
1 : Increment d’energia cinètica associada a la translació del centre de massa
2 : Increment d’energia cinètica del moviment relatiu al centre de massa
3 : Increment d’energia potencial gravitatòria
4 : Increment d’energia potencial elàstica
1 : Treball de les forces elàstiques
2 : Treball de la gravetat
3 : Treball de les forces aerodinàmiques calculades internament
4 : Treball de les forces aerodinàmiques calculades externament
5 : Treball de les forces dissipatives o d’esmorteïment
Les forces aerodinàmiques calculades externament són les que són prescrites
explícitament o que s’han calculat en la part aerodinàmica del programa. Les
forces aerodinàmiques internes són les forces restants, que es calculen en la
part estructural.
Segons el principi de conservació de l’energia, l’increment d’energia mecànica en
un interval de temps és igual al treball de les forces no-conservatives en aquest
interval2. L’aplicació d’aquest principi permet presentar també en els resultats el
balanç energètic, que pot ésser útil per descobrir si s’estan produint errors en el
càlcul del moviment a partir de les forces aplicades. En aquest estudi, això ha
estat útil per descobrir errors en el càlcul del moviment en sòlids rígids.
1 Evidentment 4 1 i 3 2 i per això només es presenta l’energia potencial gravitatòria i el treball de les forces elàstiques, que són la forma òptima de calcular aquests valors. 2 Energia mecànica = 1 2 3 4. Treball no-conservatiu = 3 4 5
23
Però el resultat més útil per a l’usuari del programa és el còmput del treball de
dissipació, que permet saber si la dissipació introduïda, sempre necessària, pot
estar afectant la qualitat dels resultats.
6.1 Fonaments teòrics
El mètode d’elements finits discretitza un model en elements, i aquests
elements formen nodes. Els valors de les variables en els nodes permeten
extrapolar els valors en qualsevol dels punts del model mitjançant les funcions de
forma.
De l’equació d’equilibri en forma feble per la discretització en elements finits,
seguint l’article Explicit Dynamic Analysis of Thin Membrane Structures3 [1],
,
1,2,3
1, … ,
6.1
On són les funcions de forma, els desplaçaments nodals, les forces
màssiques, les forces de frontera, les tensions i , les derivades
espacials de les funcions de forma, i fent suma sobre i , s’obté l’equació en
forma matricial següent:
6.2
on són les forces màssiques, les forces de frontera, les forces elàstiques i
les acceleracions en els nodes, que són la incògnita del problema. En aquesta
equació la matriu de massa no és, en general, diagonal, de manera que en el
càlcul de l’acceleració d’un node de la malla hi intervenen també els nodes dels
elements als quals aquest node pertany.
En el programa Parachutes s’agilitzen els càlculs desconsiderant els termes de
fora la diagonal. És una pràctica habitual que evita haver de resoldre un sistema
d’equacions per a trobar l’acceleració nodal i que no té pèrdues de precisió
significatives, ja que mai hi haurà una gran diferència entre l’acceleració d’un
node i la dels del seu voltant. Els termes de la nova matriu de massa diagonal es
calculen segons la següent equació, que conserva la massa del sistema.
3 Aquest article és la base teòrica de la part estructural de Parachutes.
24
6.3
Amb la matriu de massa diagonal, es pot llegir l’Equació 6.2 com la 2a llei de
Newton aplicada individualment a diverses partícules. El terme de l’esquerra és
la massa multiplicada per l’acceleració i el terme de la dreta és la força sobre la
partícula. En aquest cas la lectura serà: massa nodal multiplicada per
l’acceleració del node és igual a la força sobre el node. L’analogia és útil perquè
permet el càlcul de l’energia com si el model fos un sistema de partícules.
6.2 Càlcul de l’energia mecànica
De l’energia mecànica només fa falta calcular l’energia cinètica i l’energia
potencial gravitatòria, perquè l’energia elàstica és més senzill calcular-la
mitjançant el treball de les forces elàstiques. Les energies cinètiques i l’energia
potencial gravitatòria es calculen segons les següents fórmules:
112
6.4
212
12
6.5
3 6.6
on és la velocitat del centre de massa en un instant qualsevol, és la
velocitat del centre de massa inicial, i és la posició del centre de massa. Les
variables amb subíndex són les referents als nodes i la velocitat relativa és:
6.7
Per calcular d’una forma més eficient 2 es pot calcular l’energia cinètica total i
restar-ne 1. Això evita haver de fer l’operació de restar en cada velocitat nodal
la velocitat del centre de massa.
6.3 Càlcul del treball en elements deformables
De l’Equació 6.1 s’obté per a cada funció de forma una equació on el
terme de la dreta és la força que s’aplica sobre el node . Si se separa aquesta
força nodal en els diversos tipus de força es podrà multiplicar a continuació
25
cadascun d’aquests tipus de força pel desplaçament experimentat pel node i
obtenir el treball.
Suposant que es coneix la força de tipus que actua sobre el node , s’obtindrà
el treball d’aquesta força sobre tots els nodes en l’interval que va de l’inici de la
simulació ( ) fins a un instant determinat ( ) de la següent manera:
→ 6.8
Que s’integra en el temps numèricament amb els valors en els diversos passos
de temps de la següent manera:
→ ∆ 6.9
6.4 Càlcul del treball en sòlids rígids
En els elements que formen part d’un sòlid rígid, el càlcul del treball pot fer-se
d’una forma molt més ràpida que sumant el treball de les forces en cada node
com es faria en un sistema de partícules. A més a més, poden existir forces que
ja estiguin reduïdes a una força i moment resultants. A partir d’aquesta forma
reduïda de les forces aplicades i de la velocitat angular i la velocitat d’un punt de
referència el treball es calcula molt senzillament.
Si es parteix de l’expressió del treball d’una força sobre un sistema de
partícules de l’Equació 6.8, i es transforma en el següent:
→ 6.10
En el cas que tots els nodes de la suma formin part d’un sòlid rígid es pot
expressar la velocitat nodal segons la velocitat d’un punt de referència i la
velocitat angular del sòlid , en el següent:
6.11
on, és la posició relativa de cada node respecte del punt de referència.
26
6.12
Si s’introdueix l’Equació 6.11 en l’Equació 6.10 s’obté la forma simplificada pel
càlcul del treball en sòlids rígids.
→
6.13
On és la resultant de les forces sobre el sòlid i és el moment resultant
prenent com a referència el punt .
6.5 Demostració de resultats
A continuació, com a demostració de funcionament de la funció de càlcul de
l’energia, es presenten els resultats de l’energia pel cas d’un pèndol (Figura 3)
format per elements rígids sobre el qual actua una força aerodinàmica en el
sentit del vent incident (tipus drag). L’esmorteïment provocat per aquesta força fa
que el pèndol, que sortia en posició horitzontal, es freni poc després de passar
per la posició vertical, amb molt poques oscil·lacions.
Fig. 3. Moviment del pèndol
En la Taula 1 es presenta l’evolució de l’estat energètic del pèndol. Es pot veure
que al finalitzar la simulació, quan el pèndol ja està gairebé quiet, el treball de la
força aerodinàmica, que actua com a dissipació, ha absorbit gairebé tot el treball
de la gravetat, i l’energia cinètica és gairebé nul·la. També es pot veure que
l’increment d’energia mecànica i el treball de les forces no conservatives són
aproximadament iguals per a tots els instants de temps. Aquests petits errors es
27
deuen a la forma de calcular el treball en el programa, que utilitza els
desplaçaments del pas de temps anterior per calcular el treball i d’aquesta
manera fer més ràpid el programa.
Taula 1. Exemple d’evolució de l’energia d’un pèndol (en Joules)
Es pot trobar l’arxiu de resultats energètics d’aquest cas, tal com surt del
programa, en l’Annex 3 d’aquesta memòria.
Temps (seg)
E.C.
c.d.m. E.C.
relativa Treball
aerodinàmic Treball gravetat
Energia mecànica
Treball no conservatiu
0.000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.609 0.62 0.03 -4.83 5.51 -4.86 -4.83 1.218 0.60 0.03 -11.01 11.67 -11.04 -11.01 1.827 0.57 0.03 -16.82 17.44 -16.85 -16.82 2.436 0.53 0.02 -22.11 22.69 -22.14 -22.11 3.045 0.48 0.02 -26.79 27.32 -26.82 -26.79 3.654 0.43 0.02 -30.81 31.28 -30.83 -30.81 4.263 0.38 0.02 -34.15 34.56 -34.17 -34.15 4.872 0.32 0.01 -36.84 37.19 -36.85 -36.84 5.481 0.27 0.01 -38.93 39.22 -38.93 -38.93 6.090 0.22 0.01 -40.49 40.72 -40.49 -40.49 6.699 0.17 0.01 -41.60 41.78 -41.60 -41.60 7.308 0.13 0.01 -42.35 42.49 -42.36 -42.35 7.917 0.09 0.01 -42.83 42.93 -42.83 -42.83 8.526 0.06 0.00 -43.11 43.18 -43.11 -43.11 9.135 0.04 0.00 -43.25 43.29 -43.25 -43.25 9.744 0.02 0.00 -43.31 43.33 -43.31 -43.31 10.001 0.01 0.00 -43.33 43.34 -43.32 -43.33
28
7. Forces aerodinàmiques tabulades
L’objectiu d’aquesta funció és permetre aplicar sobre els sòlids rígids forces i
moments aerodinàmics obtinguts de dades experimentals. Sobre els cossos amb
formes no-aerodinàmiques no és possible obtenir resultats correctes de les
càrregues aerodinàmiques utilitzant el mètode de panells. Essent així, per poder
modelitzar les càrregues sobre els sòlids rígids de forma ràpida, sense afectar
negativament el temps de càlcul, la millor manera és utilitzar coeficients
aerodinàmics experimentals.
El programa llegeix els coeficients experimentals introduïts per l’usuari en un
fitxer, i a partir de l’actitud del cos respecte de la velocitat incident, es calculen
els coeficients corresponents i s’aplica la força sobre el cos. Els coeficients
aerodinàmics són de les següents forces i moments: resistència aerodinàmica ,
força lateral , sustentació , moment de balanceig , moment de capcineig
, moment de guinyada . Els coeficients són la força o moment dividits per
la pressió dinàmica. Essent així, els coeficients no són adimensionals. Els
coeficients de les forces tenen dimensió i els coeficients de moments tenen
dimensió .
En l’Annex 2 d’aquesta memòria es pot trobar el diagrama de flux de programa
de la funció d’aplicació de forces aerodinàmiques, on s’exposa de forma sintètica
com s’ha dissenyat el codi per a aquesta funció.
7.1 Preparació de les dades d’entrada
Una vegada el programa llegeix els coeficients aerodinàmics d’un cos
determinat de l’arxiu on l’usuari els ha introduït, s’han de preparar les dades
abans de ser utilitzades. En el programa que s’ha dissenyat es fan dues
correccions: primer es recalculen els coeficients amb un espaiat uniforme, i
després, si és necessari, s’aplica la simetria en els coeficients. Es presenta un
exemple de l’arxiu d’entrada de dades aerodinàmiques a l’Annex 4.
Els coeficients aerodinàmics són funció de l’angle d’atac i de l’angle de
lliscament , que estan definits en els següent intervals:
90° α 90°, 180° 180° 7.1
29
Per cada coeficient introduït, el programa ha de saber a quin i aquest
correspon. Per això, com és lògic, els coeficients s’introdueixen en forma de
taula, on les files corresponen a , i les columnes a . Normalment passa que
els valors de i els valors de no estan separats uniformement (com és el cas
de l’exemple de la Figura 4). En aquests casos, una bona pràctica per disminuir
el temps de càlcul del programa és interpolar inicialment els coeficients amb un
espaiat uniforme. D’aquesta manera quan es busca el coeficient per uns angles
i determinats i aquest s’ha d’interpolar dels valors inferiors i superiors, el
programa no ha de buscar de forma successiva a quin interval de la taula
correspon sinó que el pot calcular directament.
Per això, la primera preparació que es fa a les dades d’entrada és recalcular-les
amb una distribució uniforme de i . Això es fa mitjançant interpolacions.
Fig. 4. Exemple de coeficients aerodinàmics tabulats [2]
La segona preparació que es fa sobre les dades d’entrada és l’extrapolació. Si
els coeficients introduïts corresponen a un cos simètric, es podran conèixer els
valors en tot el domini de i , definit en l’Equació 7.1, a partir del rang de la
següent equació (veure Figura 4).
0° α 90°, 0° 90° 7.2
Hi ha altres tipus de simetries (amb rangs diferents) però aquesta és la més
habitual. Quan es dóna el cas d’un cos simètric, en l’arxiu d’entrada de dades
s’ha donat la opció d’especificar-ho i així no haver d’entrar els coeficient per a tot
30
el rang de i de l’Equació 7.1, sinó només en el rang de l’Equació 7.2,
facilitant així la feina a l’usuari.
Per extrapolar els coeficients a la resta del rang de i , s’han obtingut les
relacions d’extrapolació de [2], que es presenten a continuació:
, ,
7.3
, ,
7.4
° , ° ,
7.5
/ resistència / , moment de balanceig
/ , força lateral / , moment de capcineig
+ + + +
+ + + + 0°
90°
90° 0° 90° 180° 90° 180°
+ +
+ + 0°
90°
90° 0° 90° 180° 90° 180°
+ +
+ + 0°
90°
90° 0° 90° 180° 90° 180°
+ +
+ + 0°
90°
90° 0° 90° 180° 90° 180°
31
/ , sustentació / , moment de guinyada
Fig. 5. Diagrames per l’extrapolació de coeficients
L’Equació 7.3 indica la simetria o anti-simetria respecte de 0°, l’Equació 7.4
respecte 0°, i l’Equació 7.5 respecte 90°. Les mateixes relacions en
forma de diagrames es presenten en la Figura 5. La simetria o anti-simetria en
els diferents intervals de i respecte de l’interval de partida (Equació 7.2) es
marca amb signe positiu i signe negatiu respectivament.
7.2 Aplicació de les càrregues sobre el sòlid
Per determinar els angles i és necessari haver establert un sistema de
referència sobre el cos, a partir del quals es podrà conèixer l’orientació d’aquest
respecte dels eixos vent. Aquest sistema de referència són els eixos body, i
l’usuari els ha d’introduir com a dades del problema.
A partir de la velocitat incident, es calculen els angles i a partir de les
fórmules següents (obtingudes de [2]):
tan 90° 90° 7.6
sin| |
180° 180°
cos
7.7
on , , són els eixos body del cos i la velocitat del cos respecte de l’aire.
Per l’aplicació de les forces i moments sobre els cossos corresponents, una
vegada obtinguts els coeficients, s’han de conèixer els eixos vent del cos. Els
eixos vent, a partir dels eixos body i dels angles i , es calculen de la manera
següent:
+ +
+ + 0°
90°
90° 0° 90° 180° 90° 180°
+ +
+ + 0°
90°
90° 0° 90° 180° 90° 180°
32
| |
cos sin
7.8
Calculats els eixos vent amb l’equació anterior, l’obtenció dels vectors de força i
moment en la referència fixa es fa mitjançant les següents equacions, que tenen
en compte que les forces i , en eixos vent en realitat són i – .
7.9
7.10
33
9. Implicacions ambientals
Es considera que els temes tractats en aquest estudi no tenen cap implicació ambiental.
34
10. Conclusions
Les noves funcions pel programa Parachutes desenvolupades en aquest
estudi funcionen correctament. La funció de càlcul de l’energia dóna resultats
amb sentit físic i el balanç d’energia és correcte. La funció de càlcul del
moviment de sòlids rígids obté els resultats esperables en casos de solució
evident. A més a més, com ja s’ha dit anteriorment, es compleix el principi de
conservació de l’energia en tots els casos. També la subrutina de
diagonalització, associada a aquesta funció, dóna els resultats correctes. La
funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques a sòlids rígids calcula
correctament els angles d’atac i lliscament, i els eixos vent, que són les
operacions més crítiques. S’ha comprovat també el correcte funcionament del
pre-processament associat a aquesta funció, concretament de les operacions
d’interpolació amb espaiat uniforme i d’extrapolació de coeficients simètrics.
Durant l’escriptura del codi s’han anat corregint errors, tant de programació com
plantejaments teòrics equivocats. La versió definitiva és el resultat d’una llarga
sèrie de correccions i comprovacions.
Malgrat el correcte funcionament de l’actual versió, es vol deixar constància
d’alguns punts febles que caldria revisar per a futures versions. Primer de tot, la
subrutina que diagonalitza el tensor d’inèrcia amb el mètode QR té problemes de
convergència en casos, completament artificials, en què algun dels moments
principals d’inèrcia és pròxim a 0. Caldria revisar en aquest cas el criteri de
convergència. També, a la funció de càlcul del moviment de sòlids rígids, que
actua en cada pas de temps, caldria fer-li un anàlisi d’optimització i comprovar
que les operacions utilitzades en el codi són les més eficients, per tal que la
velocitat de càlcul sigui la màxima possible.
De forma general a totes les funcions desenvolupades, caldria paral·lelitzar la
part del codi que s’executa en cada pas de temps. Les operacions de pre-
processament, que s’executen una sola vegada a l’arrancada del programa, no
és necessari paral·lelitzar-les ja que la millora en temps de càlcul que en pogués
resultar seria inapreciable. També de forma global a totes les funcions, caldria
afegir al codi els missatges d’advertència i informació que apareixen en la
consola en la resta del programa.
Una possibilitat de millora que es podria considerar per a noves versions de
Parachutes és l’aproximació de la resistència aerodinàmica sobre l’ala. Com ja
s’ha dit anteriorment, la utilització del mètode de panells en la part aerodinàmica
35
del programa permet una rapidesa de càlcul que és indispensable, però al mateix
temps impedeix el càlcul d’una aerodinàmica realista, desconsiderant els efectes
de la resistència aerodinàmica. Malgrat això, la utilització d’un mètode de càlcul
de l’aerodinàmica basat, per exemple, en les equacions de Navier-Stokes, que
permetria calcular la resistència, actualment tampoc garantiria poder obtenir els
resultats aerodinàmics correctes, i requeriria un temps de càlcul molt més gran
que el que permet el mètode de panells. Per superar aquesta situació en el
programa s’utilitzen coeficients aerodinàmics experimentals per tractar la
resistència aerodinàmica dels cables, i en les noves funcions d’aquest estudi per
tractar tota l’aerodinàmica de les càrregues suspeses. Una possible millora en
aquest sentit seria l’aplicació de resistència aerodinàmica a partir de coeficients a
l’ala del paracaigudes. Per a fer-ho s’hauria d’introduir manualment la polar dels
perfils que formen l’ala i, a partir del coeficient de sustentació local en cada
secció calculat a partir de les pressions, calcular el coeficient de resistència local
i aplicar la força resultant als nodes d’aquesta secció.
Finalment, com a proposta de nou camp d’aplicació pel programa, estudiar si
podria ser útil la utilització de Parachutes com a eina de suport al disseny
d’aerogeneradors. Amb algunes modificacions, el càlcul acoblat aerodinàmic-
estructural de Parachutes podria permetre’n l’anàlisi aeroelàstic.
36
11. Pressupost
El pressupost per a l’elaboració d’aquest estudi, considerant la redacció de la
memòria i el treball de programació, és de 1,600€. Aquest pressupost es troba
detallat a l’Annex 6 d’aquesta memòria.
37
12. Referències
[1] R. Flores, E. Ortega, E. Oñate. Explicit Dynamic Analysis of Thin Membrane
Structures. Publicació de CIMNE, 2010.
[2] L. Cicolani, G, Kanning. A Comprehensive Estimate of the Static Aerodynamic
Forces and Moments of the 8- by 8- by 20-Foot Cargo Container. Publicació de la
NASA, 1987.
38
ANNEX 1
Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids
En la Figura 6 es presenta el diagrama de flux del programa Parachutes, resumit
en els blocs de càlcul bàsics per mostrar on s’emmarca la funció de càlcul de
sòlids rígids. El pre-processament de dades de sòlids rígids s’inclou en el bloc de
pre-processament general. En la Figura 7 es mostra el flux de programa de la
funció de càlcul de sòlids rígids.
Fig. 6. Diagrama de flux del programa Parachutes
CÀLCUL DEL
MOVIMENT
EN SÒLIDS
RÍGIDS
CÀLCUL DEL
MOVIMENT EN
ELEMENTS
DEFORMABLES
ENSAMBLATGE
DE FORCES EN
ELEMENTS
DEFORMABLES
OUTPUT DE
RESULTATS
PRE-
PROCESSAMENT
INPUT DADES
D’ENTRADA
CÀLCUL
AERODINÀMIC
final
inici
∆t
39
Fig. 7. Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids
CÀLCUL
RESULTANTS
FORÇA I MOMENT
EXTERIORS
CONVERSIÓ
RESULTANTS A
EIXOS PRINCIPALS
D’INÈRCIA
CÀLCUL
ACCELERACIONS
SEGONS PUNTS
FIXOS
CONVERSIÓ
ACCELERACIONS A
EIXOS DE
REFERÈNCIA
ORIGINALS
INTEGRACIÓ DE
L’ACCELERACIÓ
PER TROBAR EL
DESPLAÇAMENT I
LA VELOCITAT
APLICACIÓ DEL
MOVIMENT I
VELOCITAT ALS
NODES
40
ANNEX 2
Diagrama de flux de la funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques sobre sòlids rígids
En la Figura 8 es presenta el diagrama de flux de la part de la funció que llegeix
l’arxiu on l’usuari ha introduït els coeficients i prepara les dades per ser
utilitzades posteriorment. Aquest procés es duu a terme només una vegada, a
l’arrancada del programa, dintre del bloc de pre-processament.
Fig. 8. Diagrama de flux de la preparació dels coeficients aerodinàmics
En la Figura 9 es presenta el diagrama de flux de la funció que aplica càrregues
aerodinàmiques de coeficients tabulats. Aquesta funció està dins de la subrutina
de càlcul del moviment de sòlids rígids, i s’executa en cada pas de temps.
LECTURA DE
L’ARXIU DE
COEFICIENTS
AERODINÀMICS
INTERPOLACIÓ
DELS COEFICIENTS
AMB ESPAIAT
UNIFORME
EXTRAPOLACIÓ DE
COEFICIENTS
SIMÈTRICS
GUARDA
COEFICIENTS EN
MEMÒRIA
41
Fig. 9. Diagrama de flux de la funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques
CÀLCUL DELS
ANGLES ALFA I
BETA
CÀLCUL DELS
EIXOS VENT
CÀLCUL DE LES
FORCES I
MOMENTS EN
EIXOS VENT
CONVERSIÓ DE
LES FORCES I
MOMENTS EN
EIXOS GLOBALS
La força i moment es passa a la funció
de càlcul del moviment de sòlids rígids.
42
ANNEX 3
Exemple d’arxiu de resultats energètics
(1) Translation K.E. - Increment in the kinetic energy of the center of mass
(2) Relative K.E. - Kinetic energy of velocities relative to the center of mass
(3) Elastic W. - Work done by elastic forces
(4) Internal W. - Work done by forces calculated by the structural solver
(5) External W. - Work done by forces calculated by the aerodynamic solver
(6) Dissipation W. - Work done by all dissipation forces
(7) Gravity W. - Work done by gravity
(8) Change in M.E. - Change in mechanical energy since start of computation
(9) Non-Cons. W. - Work done by all non-conservative forces
Step Translation K.E. Relative K.E. Elastic W. Internal W. External W.
0.006767 0.4210E-02 0.1823E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00
0.609021 0.6170E+00 0.2898E-01 0.0000E+00 -0.4827E+01 0.0000E+00
1.218042 0.5978E+00 0.2675E-01 0.0000E+00 -0.1101E+02 0.0000E+00
1.827064 0.5676E+00 0.2605E-01 0.0000E+00 -0.1682E+02 0.0000E+00
2.436085 0.5282E+00 0.2455E-01 0.0000E+00 -0.2211E+02 0.0000E+00
3.045106 0.4817E+00 0.2113E-01 0.0000E+00 -0.2679E+02 0.0000E+00
3.654127 0.4302E+00 0.2098E-01 0.0000E+00 -0.3081E+02 0.0000E+00
4.263148 0.3761E+00 0.1673E-01 0.0000E+00 -0.3415E+02 0.0000E+00
4.872169 0.3215E+00 0.1471E-01 0.0000E+00 -0.3684E+02 0.0000E+00
5.481191 0.2680E+00 0.1345E-01 0.0000E+00 -0.3893E+02 0.0000E+00
6.090212 0.2174E+00 0.9959E-02 0.0000E+00 -0.4049E+02 0.0000E+00
6.699233 0.1707E+00 0.7438E-02 0.0000E+00 -0.4160E+02 0.0000E+00
7.308254 0.1288E+00 0.6362E-02 0.0000E+00 -0.4235E+02 0.0000E+00
7.917275 0.9235E-01 0.5152E-02 0.0000E+00 -0.4283E+02 0.0000E+00
8.526297 0.6172E-01 0.3558E-02 0.0000E+00 -0.4311E+02 0.0000E+00
9.135318 0.3715E-01 0.2105E-02 0.0000E+00 -0.4325E+02 0.0000E+00
9.744339 0.1875E-01 0.1069E-02 0.0000E+00 -0.4331E+02 0.0000E+00
10.001481 0.1285E-01 0.7581E-03 0.0000E+00 -0.4333E+02 0.0000E+00
Dissipation W. Gravity W. Change in M.E. Non-Cons. W.
0.0000E+00 0.3904E-02 0.4880E-03 0.0000E+00
0.0000E+00 0.5507E+01 -0.4861E+01 -0.4827E+01
0.0000E+00 0.1167E+02 -0.1104E+02 -0.1101E+02
0.0000E+00 0.1744E+02 -0.1685E+02 -0.1682E+02
0.0000E+00 0.2269E+02 -0.2214E+02 -0.2211E+02
0.0000E+00 0.2732E+02 -0.2682E+02 -0.2679E+02
0.0000E+00 0.3128E+02 -0.3083E+02 -0.3081E+02
0.0000E+00 0.3456E+02 -0.3417E+02 -0.3415E+02
0.0000E+00 0.3719E+02 -0.3685E+02 -0.3684E+02
0.0000E+00 0.3922E+02 -0.3893E+02 -0.3893E+02
0.0000E+00 0.4072E+02 -0.4049E+02 -0.4049E+02
0.0000E+00 0.4178E+02 -0.4160E+02 -0.4160E+02
0.0000E+00 0.4249E+02 -0.4236E+02 -0.4235E+02
0.0000E+00 0.4293E+02 -0.4283E+02 -0.4283E+02
0.0000E+00 0.4318E+02 -0.4311E+02 -0.4311E+02
0.0000E+00 0.4329E+02 -0.4325E+02 -0.4325E+02
0.0000E+00 0.4333E+02 -0.4331E+02 -0.4331E+02
0.0000E+00 0.4334E+02 -0.4332E+02 -0.4333E+02
Fig. 10. Arxiu de resultats energètics, en dues parts, de l’exemple de la Secció 6.5
43
ANNEX 4
Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics
En la Figura 11 es presenta l’exemple d’un arxiu d’entrada de coeficients
aerodinàmics, que corresponen al contenidor de càrrega per helicòpters conegut
com MILVAN [2], de dimensions 2.5 x 2.5 x 3 metres. Com que es tracta d’un
exemple no s’han inclòs tots els coeficients. Es pot veure en la figura que els
coeficients introduïts corresponen als rangs 0 90° tant per com per , la qual
cosa vol dir que el cos és simètric. Per aplicar l’aerodinàmica descrita pels
coeficients a sòlids rígids del programa s’han d’escriure els números que els
identifiquen on diu Assignation to Rigid Bodies.
Fig. 11. Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics
=============================================================================
= Aerodynamic Coefficients for Rigid Bodies =
=============================================================================
-> Type of Body:
-> Source:
-> Comments:
=============================================================================
# Assignation to Rigid Bodies # ! rigid body numbers, separated by comma
1
# Symmetry # ! 1=yes, 0=no
1
# Values for Alfa #
0,4,8,12,20,30,40,60,90
# Values for Beta #
0,8,16,25,40,60,90
# Select Coefficients to Read # ! D,Y,L,RM,PM,YM
0,0,1,0,0,0
# Coefficients for Drag #
# Coefficients for Sideforce #
# Coefficients for Lift #
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
10.5 13.3 17.9 21.0 12.6 3.6 0.0
17.8 21.0 32.3 37.1 21.1 3.6 0.0
23.0 26.4 40.8 47.7 25.1 3.6 0.0
35.8 39.6 53.9 63.7 32.7 7.3 0.0
57.2 54.2 59.2 62.5 47.9 18.3 0.0
66.6 64.1 66.4 67.6 55.0 27.6 0.0
83.9 83.9 76.3 64.5 37.9 21.3 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
# Coefficients for Roll Moment #
# Coefficients for Pitch Moment #
# Coefficients for Yaw Moment #
=============================================================================
44
ANNEX 5
Exemple d’aplicació de Parachutes
A continuació es presenta un exemple de l’aplicació de Parachutes per un cas
d’un paracaigudes amb una càrrega, com el que es veu a la Figura 12. Se simula
el moviment del paracaigudes a partir de deixar-lo anar amb una velocitat inicial
de 12 m/s i un angle d’atac de 20°.
Fig. 12. Forma del paracaigudes abans de la simulació
A partir dels arxius de resultats del programa, utilitzant pel post-processament el
programa GiD de CIMNE, es pot visualitzar el moviment del paracaigudes, com
es pot veure en la Figura 13, que mostra una imatge de la forma del
paracaigudes després de 10 segons de deixar-lo anar. La gravetat actua en la
direcció de l’eix Z.
Els resultats de la part estructural de Parachutes que es poden analitzar amb
GiD són desplaçaments, velocitats i tensions. Els de la part aerodinàmica són el
coeficient de pressió (veure Figura 14), la velocitat en els panells i la intensitat
dels doblets que modelen el camp de pressions.
45
Fig. 13. Forma i orientació del paracaigudes després de 10 segons
Fig. 14. Distribució del coeficient de pressió en l’ala del paracaigudes
46
ANNEX 6
Pressupost
Es pressuposta aquest estudi i la feina de programació que l’acompanya en
1,600€.
Considerant que no s’han de comprar llicències de programes, el cost resulta
únicament de pagar les hores de feina. Un enginyer mitjanament experimentat
en aquest tipus de feina completarà les tasques abans descrites en dues
setmanes, o sigui en 80 hores. Si cobra 20 € per hora, el cost total de la seva
feina serà de 1,600 €.