Estudio cinamatica

1 de octubre de 2015 [ESTUDIO DE CINEMATICA DE FLUIDOS

ESTUDIO DE CINEMATICA DE FLUIDOS

1. FLUJO UNIFORME

Sea la transformación f ( z)=(a+ib ) . z

Tendremos: Φ+ iΨ=(a+ib ) ( x+iy )=(ax−by )+i(ay+bx )

Igualando partes reales e imaginarias:

Φ=(ax−by )

Ψ=(ay+bx )

Es decir que para Φ=constante y Ψ=constante, se obtiene respectivamente:

ax – by = C

ay + bx = C2

Que en el plano x-y son dos haces de rectas paralelas, ortogonales entre sí, que representan un movimiento paralelo.

u=−dΦdx

=−a

v=−dΦdy

=b

⇒

V=−ai+b j

y |V|=√a2+b2

Para que el flujo sea uniforme hacia +X:

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{ b=0¿a=−U }

⇒V=U iΦ=−U x

Ψ=−U y

f (z )=−U z

2. FUENTE Y SUMIDERO

f ( z)=−a ln z

f ( z)=−a . ln r et 0=−a (ln r+iθ)

f ( z)=−a . ln r−iaθ

Φ=−a . ln r (circunferencia)

Ψ=−aθ(rectas)

En este caso:

V r=−dΦdr

=ar

, y

V o=−1rdΦdθ

=0

Si a > 0 ⇒

V r > 0 (fuente)

Si a < 0 ⇒

V r < 0 (sumidero)

Caudal por unidad de profundidad:

Q = V r(2πr )

Q = ar

(2 πr )=2 πa

Y el valor a = Q2π

se le denomina: Fuerza de fuente a sumidero.

UNJBG Página 2


Se obtendrá entonces: f ( z)=−Q2 π

. ln z

Φ=−Q2π

. ln r

Ψ=−Q2π

.θ

3. FUENTE + FLUJO UNIFORME

Se desea representar el flujo que se indica en la figura. Se desea hallar el potencial complejo que permita su expresión.

Para una fuente ubicada en el centro de un canal bidimensional se cumple que:

∑ ln (z+ ln d )=ln (senh πzd )

Entonces la función potencial del conjunto es obtenido así:

PARA LA FUENTE: f 1 ( z )=−Q2 π

ln¿¿

PARA EL FLUJO UNIFORME: f 2 ( z )=Uz

Entonces para la función buscada es:

UNJBG Página 3


f ( z )=Uz− Q2πln ¿¿

4. FUENTE + SUMIDERO + FLUJO UNIFORME (OVALO DE RANKINE)

Una forma de líneas de corriente, denominada ovalo de Rankine, se define colocando un punto de origen y otro de conclusión de igual magnitud en el flujo uniforme.Tal como se ve en la figura, demostrar:

Ψ=−Uy+ Q2π

arc tan2ay

x2+ y2−a2

Observando la figura:PARA EL FLUJO UNIFORME: Ψ=−Uy

PARA LA FUENTE: Ψ=−Q2π

θ1

PARA EL SUMIDERO: Ψ= Q2 π

θ2

Ψ=−Uy− Q2 π

θ1+Q2π

θ2

Ψ=−Uy+ Q2π

(θ¿¿2−θ1)¿

tan(θ¿¿2−θ1)=tan θ2−tan θ11+ tan θ2 . tanθ1

¿

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tanθ1=y

x+a; tanθ2=

− ya−x

por tanto tan(θ¿¿1−θ2)=

yx−a

− yx+a

1−( yx−a )( y

x+a )=

2ay

x2+ y2−a2¿

Luego queda demostrado que para el ovalo de Rankine:

Ψ=−Uy+ Q2π

arc tan2ay

x2+ y2−a2

5. VÓRTICE

Para este caso: f (t )=l . b . ln z

⇒ f (t )=−bθ−l . b . ln x

Se obtiene:

Φ=−bθ (rectas)

Ψ=b . ln r (circunferencia)

Además:

V r=0

V θ=br

Sabemos que la circulación es:

Γ=∮c

V ds

Γ=∫0

2π

(V ¿¿θ)(r . dθ)=∫0

2 πbrr .dθ=2πb ¿

b= Γ2π

Expresión llamada fuerza o intensidad de vórtice

sib>0⟹V θ↺

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si a<0⟹V θ↻

Entonces:

f (t )=l . Γ2π

. ln z

Φ=−Γ2π

.θ

Ψ= Γ2 π

. ln r

6. DIPOLO O DOBLETE

f ( z)=−Cz

f ( z)=−C (r e10 )−1=−Cr

e−10=−Cr

(cosθ−isinθ)

f ( z)=−Crcosθ+i C

rsinθ

Φ=−Crcosθ

Ψ=¿ Crsinθ

Se ha obtenido como líneas de corrientes y equipotenciales, dos haces de circunferencia pasando por el origen y un centro en cada uno de los ejes x e y.

Se ha visto:

d f (z)

dz=C .z−2

d f (z)

dz=C .(r e−w)−2

d f (z)

dz=C .r−2e−2w=C

r2(cos2θ−isin 2θ)

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Por lo tanto:

u = −C

r2cos2θ

v = −C

r2sin 2θ

|V|=C

r2

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