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Ingeniería Investigación y Tecnología, ISSN 2594-0732 V. 2. 89-108, 2004 (artículo arbitrado)DOI: http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2004.05n2.007

Estudio comparativo y aplicaciones de algoritmos defiltrado adaptable

L.H. Escobar-SalgueroDepartamento de Electrónica, División de Ingeniería Eléctrica

Facultad de Ingeniería, UNAME-mail: [email protected]

(recibido: enero de 2003; aceptado: junio de 2003)

Resumen El filtrado adapt able está ganando espacio en campos tales comoprocesamiento de voz, sistemas de comunicaciones y redes de alta velocidad,

en donde los parámetros varían en el tiempo. Existen muchos algoritmos defiltrado adapt able que pueden ser usados para resolver problemas en áreascomo comunicaciones, control e instrumentación. Este trabajo presenta losalgoritmos de filtrado adapt able (AFA) más utilizados, sus principales rasgos y

ventajas, con el fin de mostrar sus desempeños para seleccionar el másadecuado. También se muestran algunas aplicaciones de filtrado adapt able que son difíciles de realizar con filtrado fijo.

Descriptores: filtrado adapt able, algoritmos de filtrado adapt able, predicciónlineal, cancelación de ruido, cancelación de eco, igualación de canal.

AbstractAdap tive fil ter ing is gain ing space in many fields such as voice pro cess ing, com mu ni ca tions sys temsand high speed net works where the pa ram e ters are time-varying. There are a lot of adap tive fil ter ingal go rithms (AFA) that we can use to solve prob lems in com mu ni ca tions, con trol and in stru m en ta -tion. This work pres ents the most com mon adap tive fil ter ing al go rithms (AFA), their ma jor fea tures

and the ad van tages in or der to show their per for mance and choose the best. Also we show some ap pli -ca tions of adap tive fil ter ing (AF) that are dif fi cult to carry out us ing a fixed fil ter i ng.

Key words: adap tive fil ter ing, adap tive fil ter ing al go rithms, lin ear pre dic tion, noise can cel la -tion, echo can cel la tion, chan nel equal iza tion.

Introducción

En la actualidad, el filtrado adapt able se haconvertido en una herramienta de utilidad parauna gran cantidad de aplicaciones, principalmente en áreas como con trol, instrumentación ytelecomunicaciones.

La propiedad prin ci pal de un sistema adap-table es la de autoajustar su desempeño, esdecir, si se aplica una señal a la entrada elsistema se adapta en relación a los cambios que presenta la misma, esto significa que es difícil caracterizar un sistema adapt able entérminos convencionales. En gen eral, un

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mailto:[email protected]

sistema adapt able es aquel que se adecúa alos cambios del medio en donde interactúapara efectuar correctamente su desempeño(Widrow y Stearns, 1985). En el procesamientoadapt able de señales existe un número fini tode parámetros que son ajustados por losalgoritmos al optimizar un criterio dedesempeño (Sibul, 1987 y Haykin, 1991).

Entre los problemas donde se puedenaplicar los AFA se tiene como ejemplo un canal de comunicaciones digitales que atenuará,retrasará y distorsionará la señal que sepropaga a través de éste, es decir, que afectará las características de las señales que viajan através del canal y que porta los símbolosdigitales a transmitir. Para eliminar estosefectos nocivos en la señal transmitida, serequiere tener filtros de alto desempeño paracancelar ruido, así como procesos que seancapaces de cancelar el eco de la señal yeliminar la interferencia intersimbólica (ISI)(Haykin, 1991 y Proakis, 1995).

En el área de con trol, existen procesosdonde es necesario identificar una plantadesconocida, de tal forma que la función detransferencia de la misma pueda serespecificada. Los sistemas adaptables deidentificación se utilizan para modelar lasvariaciones lentas de una planta cuyasentradas y salidas son disponibles, tal es elcaso de estudios de vibraciones mecánicas(Escobar, 1997 y Haykin, 1991); (Widrow yStearns, 1985).

En el área de instrumentación es muyfrecuente el proceso de filtrar una señal queestá contaminada por ruido, particularmenteen instrumentación biomédica para una señalde EGC, uno de los efectos nocivos es lainterferencia de 60hz de la alimentación decorriente alterna, que además de interferirpuede moverse de su frecuencia de 60hz y

afectar el intervalo de frecuencias de la señalde ECG. Para cancelar la interferencia de 60hzel uso de filtros fijos no es muy adecuado.Entre las técnicas más utilizadas para cancelarestas interferencias se encuentra el filtradoadapt able, que no requiere de un cono-cimiento a pri ori de la función de transferenciadel canal ni de los estadísticos de las señales atransmitir (Proakis, 1995).

En este trabajo se presenta el desempeñode los AFA y los cam pos de aplicación, entrelos que se encuentra la predicción lin eal, lacancelación de interferencias tales como lacancelación de ruido en varias señales y lacancelación de una señal de 60hz en una señal de ECG, la cancelación de eco que es unefecto nocivo en las comunicaciones y laigualación de canal en comunicacionesdigitales que ha sido un problema muyestudiado y todavía permanece vigente en laactualidad. Se presentan las formas deimplantación de los algoritmos para las apli-caciones y se muestran los resultadosobtenidos.

Asimismo, se analizan los sistemas adap-ta bles y los algoritmos AFA, las aplicacionesgen er a les de los algoritmos AFAs, los algo-ritmos AFAs, el desempeño de estos algo-ritmos, los resultados obtenidos por el autoren las diferentes aplicaciones, así como ladiscusión y conclusiones de los resultados.

Estructura de los algoritmos AFAs

En esencia, un sistema adapt able es vari ableen el tiempo y autoajusta su desempeño. Porotro lado, en un sistema fijo, el diseñador tiene un pan orama completo de las posibles en-tradas, sus estadísticas y conoce qué debehacerse bajo cada una de estas circunstancias.

90 Ingeniería Investigación y Tecnología, ISSN en trámite

Estudio comparativo y aplicaciones de algoritmos de filtrado adapt able

DOI: http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2004.05n2.007


El diseñador tendrá que elegir un criterioespecífico para juzgar la cantidad de errorentre el sistema real y el modelo seleccionadodel sistema.

Cuando se desconocen las condiciones deentrada y sus estadísticas o las condiciones cambian en el tiempo, los sistemas adaptables buscan constantemente el desempeño óptimo dentro de todas las posibilidades permitidas.

La estructura de un sistema adapt able semuestra en la figura 1, para una señal deentrada x(n) y una señal de respuesta deseadad(n) (n es el tiempo discreto), se tiene una señal de error e(n) que es la diferencia entre la señaldeseada d(n) y la señal de salida y(n).

La salida y(n) se estima con base en la señal de entrada x(n) y los parámetros actuales del bloquede proceso, en el sumador se calcula el error

e(n)=d(n)–y(n) (1)

donde d(n) es una señal deseada que dependedel proceso a diseñar, el error se alimenta albloque del algoritmo adapt able, que a través

de un criterio de desempeño estima losparámetros óptimos del proceso de tal formaque se minimice el error estimado.

Dependiendo de la aplicación par tic u lar elesquema de la figura 1 puede cambiar ( Haykin, 1991 y Proakis, 1995); (Widrow y Stearns,1985).

La mayoría de los AFAs minimizan la sumadel error medio cuadrático, es decir:

E e n d n c i x n in

M

i

N

n

M

= = − −

= =

−

=∑ ∑∑2

0 0

1 2

0( ) ( ) ( ) ( ) (2)

Para hallar el mínimo de la ecuación (2) conrespecto a los coeficientes c(n) del filtro sedebe re solver

∂∂

Ec i( )

= 0 (3)

Vol.V No.2 -abril-junio- 2004 91

L.H. Escobar-Salguero

Figura 1. Estructura de un sistema adapt able



que con duce a la solución de Wiener-Hopf(Alcántara, 1986; Haykin, 1991; Proakis, 1995 y Widrow, 1985)1

C n R n r np p p( ) ( ) ( )= −−1 1 (4)

Sistemas adaptables

La operación de un sistema adapt ableinvolucra dos procesos básicos, el filtrado y laadaptación (Figura 1):

1. El proceso de filtrado está dise-ñado para producir una respuesta osecuencia de salida para una secuenciade entrada dada.2. El proceso adapt able provee unmecanismo para el control de un con-junto de parámetros de ajuste usados enel proceso de filtrado.

Aplicaciones de los AFAs

La diferencia esencial entre las diversasaplicaciones de filtrado adapt able es la manera en que la respuesta deseada es excitada. Bajoesta idea es posible configurar diferentesestructuras de sistemas adaptables que seexplican a continuación y se muestran en lafigura 2. (Haykin, 1991); (Widrow y Stearns,1985).

Predicción

Tal vez es la aplicación más sim ple, losretrasos de la señal de entrada x(n) sonenviados al proceso adapt able (Figura 2.a),éste debe tratar de predecir la entrada ac tualde la señal x(n) para minimizar el error

cuadrático. La predicción es utilizada en lacodificación o compresión de señales,procesamiento de voz, codificación diferencial DPCM, codificación adapt able ADPCM, aná-lisis espectral, radar, sonar, procesos geo-lógicos, sismología, etc. (Haykin, 1989; Proa-kis, 1995; Widrow y Stearns, 1985; Haykin,1991 y Alcántara, 1986).

Identificación de sistemas

En este caso la señal transmitida x(n) es la deentrada al proceso adapt able y a una plantadesconocida (Figura 2.b). Después de laadaptación, la planta es identificada en elsentido que la función de transferencia de lamisma queda especificada como la del pro-ceso adapt able. Otra aplicación de interés esla cancelación de eco en líneas telefónicas.

Modelo inverso o deconvolución



1 Los desarrollos matemáticos se pueden encontrar en labibliografía mencionada Figura 2b. Aplicaciones de los algoritmos AFA

Figura 2a. Aplicaciones de los algoritmos AFA



El proceso adapt able intenta recuperar unaversión retardada de la señal de entrada x(n),esta señal retardada sería la señal deseada, lacual se supone que ha sido alterada por lasvariaciones lentas de la planta y el contenidode ruido (Figura 2.c). La igualación adapt ablees utilizada para la deconvolución de losefectos de un transductor, un canal decomunicación o la producción de un modeloinverso de una planta. También es aplicable en el diseño de filtros digitales (Alcántara, 1986;Haykin, 1991,1994 y Widrow y Stearns, 1985).

Cancelación de ruido

En este caso la señal x(n) está corrompida porruido v(n), y se dispone de una versióncorrelacionada de ruido v1(n) que entra al proceso adapt able (Figura 2.d). El objetivo delproceso adapt able es producir una salida y(n)sim i lar a v(n). Es decir, minimizar el errorcuadrático de e(n) (Alcántara, 1986; Haykin,1991 y Proakis, 1995). La señal e(n) sería laseñal deseada de salida y debe ser apro-ximadamente la señal x(n) sin ruido.

Algoritmos de filtrado adapt able

Un algoritmo AFA efectúa una minimización de la señal de error e(n) utilizando un criterio par -tic u lar, el criterio más utilizado es el que

minimiza el error cuadrático. Si N es el ordende un filtro transversal se tienen los siguientesalgoritmos.

Algoritmo LMS

Este algoritmo hace una minimización sobrepromedios temporales del error cuadráticomedio (MSE) (Widrow y Stearns, 1985), se lellama aproximado porque hace un cálculocercano de los coeficientes C(n). La constanteµ se conoce como tamaño del paso. Estealgoritmo evita la inversión de la matriz deautocorrelación de la señal de entrada R yconsta de un proceso adapt able, el cualinvolucra el reajuste del vec tor de coeficientesy un proceso de filtrado en el que se estima larespuesta deseada. Este algoritmo no requieredel conocimiento de los estadísticos de laseñal de entrada al filtro, ya que los promedios probabilísticos requeridos por el algoritmo delos pasos descendentes son sustituidos porlos promedios temporales. En este caso, elgradiente y los coeficientes tienen uncomportamiento ruidoso, lo que trae comoconsecuencia que el algoritmo LMS noconverja a un valor óptimo en la solución de laecuación de Wiener-Hopf (Ecuación 4). Elalgoritmo LMS es un algoritmo tipo gradiente y con verge a la solución óptima lenta mente, esconvergente en la media, es convergente en el



Figura 2c. Aplicaciones de los algoritmos AFA

Figura 2d. Aplicaciones de los algoritmos AFA



valor cuadrático medio y exhibe desajuste enestado estable. En la tabla 1 se resumen lasecuaciones del algoritmo LMS.

Tabla 1: Algoritmo LMS

InicializaciónCN(0)=0

Ecuaciones

y(n)=C NH (n)x(n)

e(n)=d(n)–y(n)

CN(n)=CN(n–1)+µx(n)e*(n)

El algoritmo estima la salida y(n) del procesoadapt able, calcula el error e(n) entre la señaldeseada d(n) y la señal estimada, y con base aeste error, actualiza los coeficientes C(n).

Método de mínimos cuadrados (LS)

Este método involucra el uso de promedios enel tiempo, de acuerdo a este método seminimiza un índice de desempeño queconsiste en la suma de los errores cuadrados, el error re sid ual es definido como la diferenciaentre la respuesta deseada y la respuesta desalida ac tual del filtro (Haykin, 1991). Lasolución es sim i lar a solución de Wiener-Hopf(Alcántara, 1986 y Escobar, 1997). Estealgoritmo hace una estimación sobre unaventana de datos recibidos de longitud N yminimiza la sumas de errores al cuadradorespecto de los coeficientes CN(n)

{ }d n C n x nNT

Nk

n

( ) ( ) ( )− −=∑ 1

1

2

(5)

es decir, obtener la derivada del error cua-drático respecto de los coeficientes CN(n) eigualarla a cero, con duce a la soluciónconocida de Wiener-Hopf. La solución de los

LS se realiza en una ventana de datos, por loque la solución es global, y es necesariocalcular el inverso de la matriz R para obtenerla solución, este proceso implica efectuaroperaciones del orden N3.

Algoritmo RLS

El algoritmo RLS parte de la solución global del algoritmo LS. La deducción de este algoritmose basa en el lema de inversión matricial yestima los coeficientes C(n) de un filtrotransversal, por cada muestra se hace unaactualización de los coeficientes en el tiempon tomando en cuenta las N entradas anterio-res (Sibul, 1987 y Haykin, 1991).

Los coeficientes CN(n) se pueden actualizarrecursivamente

C n C n K n e nN N N( ) ( ) ( ) ( )= − +1 (6)

donde

K n R n x nN N N( ) ( ) ( )≡ −1 (7)

es el vec tor de ganancia KN(n) conocido comoGanancia de Kalman y se puede generarrecursivamente sin necesidad de estar in-virtiendo la matriz RN

-1(n).Un criterio de desempeño que considera los

cambios del sistema es la minimización delerror cuadrático en el tiempo n multiplicadopor un fac tor de peso exponencial λ, conocido como fac tor de olvido, el cual tiene un valormuy cercano a uno. Al inverso de 1–λ se leconoce como la memoria del algoritmoEntonces la matriz RN(n) se puede calcularrecursivamente como





R n R n x n x nN N N NT( ) ( ) ( ) ( )= − +λ 1 (9)

Los coeficientes se siguen calculandorecursivamente como en la ecuación (6). En latabla 2 se resumen las ecuaciones delalgoritmo RLS.

Los desarrollos de las ecuaciones sepueden encontrar en (Alcántara, 1986; Es-cobar, 1997 y Haykin, 1991). Las operacionesefectuadas por el algoritmo RLS son 4N2 + 4Nmultiplicaciones y 3N2+N-1 sumas. La litera-tura reporta que la convergencia del algoritmoRLS es del orden 2N iteraciones cuando lamedia del error de convergencia es pequeñacomparado con la señal deseada d(n) (Haykin,1991).

Tabla 2: Algoritmo RLS

InicializaciónCN(0)=WN(0)=KN(0), =0,PN(0)= δIN

δ=Cte. positiva pequeñaI= Matriz unitaria

e(n)=d(n)+CTN (n-1)XN(n-1)

CN(n)=CN (n-1)+KN(n-1)e(n)

WN(n)=P N(n-1)X N(n)

γN(n) 11−W n X nN

TN( ) ( )

K N(n)=γN(n)WN(n)

PN(n)=PN(n-1)-KN (n)WNT (n)

Algoritmos rápidos

El algoritmo RLS tiene una complejidadcomputacional que se incrementa con elcuadrado de N, donde N es el número decoeficientes ajustables de filtro adapt able.Tales algoritmos son frecuentemente referidos como algoritmos O(N2), donde O(.) denota“orden de” o número de operacionesaritméticas, (Carayannis et al., 1983 yAlcántara, 1986). Un algoritmo rápido tiene

como propósito explotar la estructura de lamatriz de autocorrelación de los datos parareducir el número de operaciones a unacantidad O(N). Entre los algoritmos rápidos sepueden identificar los siguientes:

Algoritmo RLS rápido (FRLS) o Algoritmorápido de Kalman (ARK)

Como su nombre lo in dica, es un algoritmoque proviene del RLS, éste explota laredundancia en el algoritmo LS y para surealización efectúa la predicción haciaadelante y hacia atrás (Carayannis, 1983), (Fal -coner y Ljung, 1978). Su nombre proviene deun vec tor de ganancia sim i lar a laaproximación del filtrado de Kalman para laformulación en vari ables de estado.

El algoritmo FRLS hace una estimaciónhacia adelante y una estimación hacia atrás de la señal de entrada al proceso adapt able,de esta forma, se calcula un vec tor de ganancia KN(n) de orden N+1 conocido comoganancia de Kalman, este algoritmo explota almáximo las relaciones que se derivan del lemade inversión matricial permitiendo llegar aexpresiones más simples para su implantación(Alcántara, 1986; Fal coner y Ljung, 1978;Haykin, 1991; Proakis, 1992 y Sibul, 1987).Este algoritmo simplifica el tipo deoperaciones, sólo realiza operaciones comoproductos escalares, escalar por escalar,escalar por vec tor, suma de vectores y divisiónentre escalares.

La solución del problema queda expresadacomo un conjunto de recursiones de unamatriz actualizada en el tiempo. El algoritmoFRLS puede tratar con ambientes esta-cionarios y no estacionarios, su limitaciónbásica es su complejidad de cálculo decoeficientes matriciales. El vec tor C(n) es un





estimador hacia adelante y el vec tor B(n) esun estimador hacia atrás (Alcántara, 1986; Fal -coner y Ljung, 1978; Haykin, 1991; Proakis,1992 y Sibul, 1987). El número de operacionesde este algoritmo es del orden 8N poriteración.

Algoritmo de filtrado transversal rápido (FTF)

Este algoritmo reemplaza algunas operaciones vectoriales del algoritmo FRLS por op era-ciones escalares, reduciendo el número deoperaciones respecto del ARK (Cioffi, 1984 yHaykin, 1991). El algoritmo FTF se basa en lacombinación de cuatro filtros transversalesseparados trabajando en conjunto (Cioffi,1984 y Haykin, 1991):

- El predictor de error hacia adelante.- El predictor de error hacia atrás.- Cálculo de la ganancia de algoritmo...RLS.- Filtro de parámetros cuyo vector de...parámetros es la estimación deseada.

La ventaja de este algoritmo respecto alFRLS es que efectúa 5N operaciones poriteración.

Algoritmo recursivo de los mínimoscuadrados Lattice (LSL)

Utiliza estructuras “lat tice”, para efectuar elfiltrado y la actualización de sus parámetros se basa en la estimación de los mínimoscuadrados de los predictores hacia adelante yhacia atrás. Algoritmos lattice de mínimos cuadrados

Basados en la descomposición matricial QR,en este algoritmo las formas de predicción

hacia adelante y hacia atrás son explotadascon el propósito de reducir la complejidadcomputacional en la ejecución de la descom-posición QR de la matriz de datos de entrada.

Comparación y desempeño

En este punto se hace una comparación de los algoritmos tratados en este trabajo. En lafigura 4 se muestra una comparación de laconvergencia del error cuadrático para variosalgoritmos. Es evidente que para losalgoritmos de tipo gradiente, tal como el LMS,su velocidad de convergencia es muy lenta,por lo que para aplicaciones donde serequieren respuestas muy rápidas estealgoritmo no es conveniente, ya que cuandose hace crecer la constante µ el algoritmotiende a converger más rápido; sin em bargo,presenta problemas de inestabilidad. Enmuchas aplicaciones lo que se hace esproponer constantes µ grandes y luegodisminuirlas cuando el algoritmo ha con-vergido (Escobar, 1997).

En la figura 3 se observa que los algoritmosrápidos desarrollados a partir del algoritmoRLS tienen una razón de convergencia muyrápida, de ahí toman su nombre de rápidos,cuya convergencia del error cuadrático esaproximadamente 2N iteraciones. Otra ventaja de los algoritmos RLS es que pueden operaradecuadamente en ambientes no estacio-narios. Además, los algoritmos tipo LS y RLSson insensibles a las propiedades decorrelación de los datos de entrada encontraste con los algoritmos tipo gradiente, elalgoritmo LMS es muy sen si ble a la dispersiónde los valores característicos de la matriz deautocorrelación R (Carayannis et al., 1983;Widrow y Stearns, 1985 y Haykin, 1991).





En la tabla 3 se hace un resumen de losalgoritmos desarrollados y se compara lacantidad de operaciones teóricas por iteración



Figura 3. Convergencia del error en AFAs

Figura 4. Predicción de una señal cosenoidal vari able



que efectúa cada algoritmo (multiplicaciones y divisiones). De esta tabla se observa que elalgoritmo LMS es el que realiza menosoperaciones por iteración; sin em bargo, comoya se mencionó tiene el inconveniente de quesu velocidad de convergencia es muy lenta.Los algoritmos rápidos RLS son los quepresentan menos cantidad de operaciones por iteración, es decir, O(N) con convergenciarápida. Algunas pruebas adicionales se pueden encontrar en (Escobar, 1997), donde ademásse tienen pruebas realizadas en arquitecturasde procesadores de señales digitales (DSP)(Alcántara y Escobar, 1999).

Resultado de las aplicaciones

Aquí se presentan los resultados de laaplicación de los algoritmos AFA aaplicaciones concretas.

Predicción de señales

A manera de ejemplo se tiene una señalcosenoidal de frecuencia vari able, como seobserva en la figura 4. Como se discutióanteriormente, en la medida que el error con -verge, el algoritmo tiende a la solución óptimay la señal estimada es sim i lar a la señaldeseada, casi a partir de la muestra 30.Además, en la columna derecha de la figura 4se presentan los espectros respectivos.En la figura 5 se observa la respuesta enfrecuencia del algoritmo adapt able, es decir,



Tabla 3. Número de operaciones teóricas de AFAs

Predicción Filtrado

Algoritmo * ÷ * ÷

LMS 2N a 3N 1 3N 1

RLS 4N 2 + 4N 1

FRLS 8N 2 10N 2

FAEST 5N+ 8 2 7N + 9 2

FTF 5N 2 7N 2

LSALE 19(N+1) –12

Figura 5. Respuesta espectral del seguimiento de la señal cosenoidal vari able



que en la medida que la señal cosenoidal deentrada cambia, el algoritmo modifica larespuesta del sistema para seguir los cambiosde la señal, en el eje ω de frecuencia se observacomo el algoritmo va cambiando su respuestaen frecuencia ante una señal cosenoidal.

Cancelación de ruido utilizando AFA

En esta parte se utilizan los AFAs antesmencionados en la cancelación de ruido enseñales. Se realizó una prueba con una señaltri an gu lar (Figura 6) con ruido agregado, eneste caso, la riqueza espectral de la señal tri an -gu lar es muy amplia, por lo que la cancelaciónde ruido se hace más difícil, sobre todo porque se ha disminuido la relación señal a ruido.

Aplicación a una señal de ECG

La señal de ECG presenta una formacaracterística cuyas mag ni tudes y duracionesreflejan la activación cíclica y sincronizada delos millones de células responsables de lacontracción del músculo cardiaco o miocardio. La prueba de ECG es un diagnóstico rutinario

para diversas enfermedades del corazón, laidentificación de ritmos cardiacos irregulares(arritmias), por lo que es necesario contar conuna señal libre de interferencias. En la figura 7se muestra una señal de electrocardiograma(ECG) afectada por la interferencia de unaseñal senoidal de 60 hz. Como se observa enla señal ECG contaminada, existen zonasdonde la interferencia es tan grande que laseñal real es im per cep ti ble para efectos dedictamen cardiológico. El ancho de banda de una señal de ECG estáentre 0.05 y 100 hz; sin em bargo, la mayordensidad de potencia espectral se encuentra enel intervalo de 0.3 a 30 hz, concentrándose en el complejo QRS (picos de la señal ECG) localizadoentre los 2 y 20 hz y teniendo un máximo en 12hz. Esto no quiere decir que se descarten lascomponentes espectrales alrededor de 60 hz. Ala señal de ECG contaminada se le aplicó elmismo esquema de cancelación de ruido paraeliminar la señal de 60 hz. En la señal filtrada seobserva cómo el proceso de filtrado adapt ablelogra eliminar el efecto de interferencia.



Figura 6. Cancelación de ruido en una señal trian gular



Como se observa en la figura 7, al inicio de la

señal filtrada siempre se presentan los efectos de la adaptación hasta que el algoritmo adapt -able con verge. En la figura 7.b se puedeobservar el resultado de haber utilizado elalgoritmo LMS, que con verge muy lenta mentey en la figura 7.c, se observa el mismoresultado al aplicar un algoritmo adapt ablerápido tipo FRLS, en el último caso se puedever que la convergencia es más rápida. Parauna mayor discusión de esta diferencia en losalgoritmos AFAs ver (Alcántara, 1986; Escobar, 1997; Haykin, 1991; Proakis y Manolakis,1992; Sibul, 1987 y Widrow y Stearns, 1985).

Cancelación de eco

El eco en redes telefónicas es una interferencianociva que puede hacer indistinguible lainformación. Una fuente de eco en una redtelefónica puede ser una sim ple conexión entredos usuarios (abonados o conversadores). Unaconexión típica de una sim ple red telefónicaconsiste de dos alambres del lado de cadaabonado que se conectan a un dispositivo híbrido, dentro de cada dispositivo híbrido existen cuatroca bles hacia la red gen eral, donde cada par de ca -bles efectúa la transferencia en un sentido (Haykin, 1991 y Messerschmitt et al., 1989).



Figura 7. Cancelación de una señal de 60 hz. En una de ECG



Los dispositivos híbridos se encargan deconvertir la conexión de dos a cuatro alambres y distribuir el sentido de la transmisión,además debe evitar el re torno de señal a lafuente de emisión, de lo contrario esta seríauna fuente de eco. El circuito de cuatroalambres puede usar ca bles de microondas,fibra óptica y enlaces de microondas.Desafortunadamente, debido al acoplamientode impedancias de los circuitos híbridos, unaparte de la energía de la señal transmitida seretorna, es decir, la per sona que habla percibe una versión retrasada y distorsionada de supropia voz, lo que constituye el eco.

En este trabajo se han hecho pruebas decancelación de eco bajo el esquema delanulador de eco en la figura 8, y en la figura 9se muestran las pruebas realizadas para el ecode una señal y(n) que se agrega a una señalsenoidal x(n). En la figura 9 se tiene laeliminación de eco utilizando el algoritmo LMS con µ=0.005 y 100 coeficientes, y para elalgoritmo FRLS se utilizó λ= 0.985 con N=10.

En la figura 8 se supone que el conversador1 emite una señal y(n) de pulsos, el conver-

sador 2 emite una señal senoidal x(n) que se vaa contaminar con el eco de la señal y(n) , elerror e(n) será la resta de esta señalcontaminada, menos el eco estimado por elsistema adapt able.

e n x n r n r n( ) ( ) ( ) ( )= + − ′ (10)

donde un filtro transversal hace la estimacióndel eco

r n h i y n ii

p

′ = ′ −=

−

∑( ) ( ) ( )9

1

(11)

h’(n) es la respuesta al impulso estimada del canal a través del AFA.

r’(n) es la interferencia estimada por el filtro adapt able.

r(n) es la interferencia que gen era el circuito híbrido del escucha 2 y lo retorna al conversador 1.

e(n) es la señal deseada en el escucha 1 y enviada por el conversador 2, e(n) es minimizada por el criterio de desempeño utilizado por el AFA.



Figura 8. Esquema de cancelación de eco



En la figura 9 se muestran las pruebasrealizadas para una señal y(n) , el eco que seagrega a una señal senoidal x(n). En la figura 9se observa una secuencia de señales utilizadas para la cancelación de eco, en la última señalse observa como se ha logrado eliminar el ecoocasionado por un tren de pulsos de la señalfuente del conversador 1 al pasar por el canal.

Igualación de canal IC

El problema fun da men tal para transmitirgrandes cantidades de información en tiemporeal a través de un canal de comunicaciones

digitales, son las restricciones en ancho debanda. En el caso de contar con un ancho debanda infinito se podrían transmitir grandestasas de información; sin em bargo, ésta es unacondición ideal, por lo que es necesario labúsqueda de técnicas para poder transmitir entiempo real tasas superiores a las que permiteel canal. Por ejemplo, en un canal dig i tal laseñal de salida presenta una distorsiónrespecto a la señal orig i nal a causa de lainterferencia intersimbólica (ISI), esto ocasionaerrores cuando se intentan recuperar los datos.

Para re solver este problema es necesariodiseñar un sistema correctivo en cascada con



Figura 9. Resultados de la cancelación de eco



el sistema orig i nal (canal), para producir unaréplica de la señal originalmente transmitida, aeste sistema se le llama igualador de canal. Elobjetivo del igualador de canal es re mover ladistorsión introducida por el canal sobre laseñal transmitida.

La idea básica de un igualador de canal sepuede pensar como un sistema inverso,porque debe tener una respuesta en fre-cuencia recíproca a la respuesta en frecuenciadel sistema que causó la distorsión, es decir, si el sistema orig i nal pro duce una salida r(n) quees la convolución de la entrada x(n) con larespuesta al impulso del canal h(n), entonces la operación de tomar r(n) y obtener x’(n) comoel valor estimado de x(n) se le llamadeconvolución (Proakis y Manolakis, 1992)(Figura 10). La deconvolución es unaoperación lin eal que remueve el efecto de unaconvolución previa sobre una secuencia dedatos (Haykin, 1991).

Tipos de Igualadores de canal

1. Igualador inverso, la idea de un igualador esque dado un canal con una función detransferencia H(z) entonces la función detransferencia de un igualador de canal en el re -cep tor sería:

G z H z( ) ( )= −1 (12)

Entonces, la función de transferencia total delsistema es el producto entre las funciones H(z)y G(z)

G z H z( ) ( ) = 1 (13)

cuya transformada Z inversa es la función δ(n)Por otro lado, en el tiempo discreto en elre cep tor

r n x n h n( ) ( )* ( )= (14)

x n r n g n x n h n g n′ = =( ) ( )* ( ) ( )* ( )* ( )(15)

Pero h(n)*g(n) debería ser igual a δ(n), ya que G(z) es función inversa de H(z), entonces x’(n)= x(n)*δ(n), es decir, que se tiene la señal de-seada en el re cep tor y el ancho de banda se haconvertido infinito. Esta idea no siempre es re -al iz able, ya que depende de la posibilidad deconocer la función de transferencia del canalal invertir la función H(z), además el canalpuede variar en el tiempo.

2. Igualación automática, involucra el envío deuna serie de pulsos aislados de prueba previoa la transmisión. Este es un período inicial deentrenamiento que fija los valores deligualador para el período de transmisión dedatos. Periódicamente se pueden introducirintervalos cortos de entrenamiento paraactualizar los coeficientes del igualador.



Figura 10. Igualador inverso



También se le conoce como igualadorprefijado.

3. Igualación adapt able, aquí el igualador seestima directamente de la señal recibida, esteigualador busca continuamente minimizar lasmuestras de la señal de salida, con respecto auna señal de referencia que se parece a las am -pli tudes de los pulsos transmitidos. Du rante elperíodo inicial de entrenamiento se puededisponer de una señal ideal de referencia en eligualador por medio de la transmisión sobre elcanal de una secuencia conocida de datosseudoaleatorios (Figura 11).

Una vez que la distorsión re sid ual decrece asu valor mínimo, los datos verdaderos puedenser transmitidos. El igualador puede utilizarseen la reconstrucción de la señal recibida comouna señal de referencia, esto es llamado Modode decisión directo. El igualador adapt abletiene ventajas sobre el igualador prefijado, esdecir, que se adapta a los cambios de lascaracterísticas del canal du rante la trans-misión. Existe claramente un retardo en la

transmisión de datos que es proporcional a lalongitud del período de retardo. En la figura 11se tiene un diagrama básico de un igualadoradapt able con una secuencia de en tre-namiento, cuando el igualador está conectadoa la secuencia de entrenamiento, el igualadorse entrena hasta que el algoritmo con verge,entonces, el igualador se conecta a la salida(operación en modo directo). Este tipo deigualadores deben seguir los cambios del canal de comunicaciones y los algoritmosutilizados deben satisfacer los requerimientosbásicos discu- tidos anteriormente (Treichler et al., 1998 y Alcántara, 1986)

El autor ha hecho pruebas utilizando AFAsen la solución del problema de igualación decanal para un canal con una severa ISI (Proakis, 1995 y Alcántara, 1986), donde

H z z z( ) . . .= + +− −0251 0 935 02511 2 (16)

es decir, h(n)={ 0.251, 0.935, 0.251.}



Figura 11. Igualador adapt able con secuencia de entrenamiento



Los resultados se muestran a continuación,en la figura 12 se tiene la deconvolución delcanal h(n) que pro duce una g(n), para verificarque efectivamente g(n) ha deconvolucionadocorrectamente a h(n), se observa la repre-

sentación espectral de H(z) y G(z) en la figura13, lo que muestra claramente que estasfunciones de transferencia son inversas yresuelven el problema planteado ini-cialmente.



Figura 12. En el tiempo g(n) es la deconvolución de h(n)

Figura 13. En el espectro G(z) es la inversa de H(z)



Conclusiones

Se ha mostrado que los filtros adaptablescomparados con los filtros fijos presentan unmejor desempeño cuando se desconocen lascaracterísticas de la señal de entrada o susestadísticas varían en el tiempo.

La desventaja en el uso del algoritmo LMSes su velocidad de convergencia, así como susensibilidad al mal acondicionamiento de lamatriz R. Por otro lado, los algoritmos rápidosRLS son veloces en converger pero presentanproblemas de inestabilidad y su implantaciónen lenguaje ensamblador necesita muchasoperaciones. La mayoría de los algoritmosrápidos que trabajan en estructurastransversales son derivados del algoritmorápido FRLS, éstos difieren esencialmente dela forma en que se establecen los cálculos delas vari ables intermedias.

La convergencia de los algoritmos estáligada a las condiciones iniciales, la sen-sibilidad de los errores de cálculo y a lalongitud de palabra del sistema dig i tal dondese ejecuten los algoritmos (Alcántara yEscobar, 1998, 1999) y (Escobar, 2000).

La utilización de los algoritmos de filtrado adapt able depende de la aplicación par tic u -lar, es decir, si se dispone de mucho tiempopara operar o si los tiempos son cortos senecesitan algoritmos que sean rápidos. Elalgoritmo LMS puede ser una soluciónsencilla cuando se trabaja con señales quecambian muy lenta mente con el tiempo.

Se ha mostrado la implantación dealgoritmos AFAs, su desempeño y pro-blemáticas, en la solución de problemas rea-les tales como la predicción, en la can-celación de ruido, la cancelación adapt ablede interferencia de 60 hz en una señal de ECGse comporta sim i lar a un filtro supresor de

ancho de banda angosta, la cancelación deeco en una línea telefónica y la igualación decanal.

Referencias

Alcántara R. (1986). Implan ta tion D’algorithmes Rapides Sur des Processeur deTraitement du Signal. These de DocteurIngenieur, ENST Paris, France.

Carayannis G., Manolakis D. y Kaloupsidis N. (1983). A Fast Sequen tial Algo rithmfor Least-Squares Filterings and Predic -tion. IEEE Trans. on Acous tics, Speech andSignal Processing . Vol. ASSP 31, No.6,1394-1402.

Cioffi J.M. (1984). The Fast TransversalFilters for Communications Applica-tions. Ph. D. Disser ta tion Thesis ofStanffor Univer sity.

Alcántara R. y Escobar S.L. (1998).Dynamic Range and Scaling Eval u a tionin Adap tive Filtering Algo rithms for DSPFixed-point Imple men ta tion. Inter na -tional Sympo sium on Infor ma tionTheory and its Appli ca tions ISITA98.México DF, october.

Alcántara R. y Escobar L. (1999). ACompar a tive TMS DSP Fixed-PointImple men ta tion of FRLS Adap tiveFiltering Algo rithms Family. The Inter -na tional Confer ence on Signal Pro-cessing Appli ca tion and Tech nologyand DSP World Work shops, ICSPAT99.Orlando, Florida USA, november.

Escobar S.L. (1997). Algoritmos de filtrado adapt able: Implementación, evalua-ción, comparación y aplicaciones entelecomunicaciones. Tesis de Maestríaen Ingeniería Eléctrica, UNAM, MéxicoDF, noviembre.





Escobar S.L. y Alcántara R. (2000). FixedPoint Arith metic Using Digital SignalProces sors. Inter na tional Conferenceon Tele com mu ni ca tions, ICT2000, Aca-pulco, Guerrero, México, mayo.

Falconer y L. Ljung. (1978). Appli ca tion ofFast Kalman Esti ma tion to Adap tiveEqual iza tion. IEEE Trans., Comm., Vol.COM-26, No. 10, 1439-1446.

Haykin S. (1989). Modern Filters.MacMillan, New York.

Haykin S. (1991). Adap tive Filter Theory.Englewood Cliffs, NJ Prentice-Hall.

Haykin S. (1994). Blind Deconvolution . PrenticeHall, Englewood Cliffs, New York.

Messerschmitt D., Hedberg D., Cole C.,Haoui A. y Winship P. (1989). DigitalVoice Echo Canceller with a TMS32020.Texas instru ments.

Proakis J.G. y Manolakis (1992). DigitalSignal Processing, Prin ci ples, Algorithmsand Applications. Macmillan, Singapure.

Proakis J.G. (1995). Digital Commu ni ca tion .MacGraw-Hill, USA.

Sibul L. (1987). Adap tive Signal Pro-cessing. IEEE press . USA.

Treichler J.R., Larimore M.G. y J.C. (1998).Harp. Prac tical Blind Demod u lator forHigh-Order QAM Signals. Proceed ings ofIEEE , Vol. 86, No. 10.

Widrow y Stearns. (1985). Adap tive SignalProcessing. Prentice-Hall, New Jersey.

Bibliografía sugerida

Keem S. (1997). Fixed-point Anal ysis andSimu la tion of Digital Signal ProcessingAlgo rithms. Ph.D Disser ta tion, SeoulNational Univer sity.

Kaloupsidis N. y Theodoridis S. (1993).Adap tive System Iden ti fi ca tion and Signal

Processing Algo rithms . Prentice-Hall,Cambridge G. B..

Long G. y Ling F. (1990). A New ComplexSystem Iden ti fi ca tion Method and itsAppli ca tion to Echo Canceller FastInitial iza tion. In Proc. IEEE Int. Conf.Acoust., Speech, Signal Processing,Albu querque, NM., 1671-1674.

Oppenheim A.V. , Schafer R.W. y Buck J.R.(1999). Discrete Time Signal Processing.Prentice-Hall, USA.

Proakis J., Lin R.C. y Nikias C. (1992). Advanced Digital Signal Processing.Macmillan-Maxwell, Ontario Canada.

Treichler J.R., Fijalkow I. y Johnson C.R.(1996). Frac tional Spaced Equal izers.IEEE Signal Processing Maga zine, mayo.

Ungerboeck G. (1972). Theory on theSpeed of Conver gence in Adap tiveEqual izers for Digital Commu ni ca tion.IBM J. Res. Develop. November.

Webb W.T. y Hanzo L. (1994). ModernQuad ra ture Ampli tude Modu la tion,Prin ci ples and Appli ca tions for Fixedand Wire less Chan nels. Pentech Press &IEEE Press. London G.B.







Semblanza del autorLarry Hipólito Escobar-Salguero. Obtuvo el título de ingeniero mecánico electricista en 1992 y de maestro en

ingeniería eléctrica con mención honorífica en 1997, ambos en la Facultad de Ingeniería de la UNAM.Actualmente es profesor en la misma institución, ha impartido materias tanto a nivel licenciatura como en

posgrado. Es autor y coautor de 10 artículos de congresos nacionales e internacionales y de cinco libros de

apuntes publicados por la Facultad de Ingeniería, UNAM. Ha impartido cursos de actualización académica en

otras universidades y centros de investigación y ha participado como corresponsable en varios proyectos de

investigación patrocinados por PAPIIT, DGAPA. La Facultad de Ingeniería, UNAM le otorgó dos cátedrasespeciales en los años 2001 y 2002.



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