Estudio Del Comportamiento Térmico en Conduccion y Conveccion Natural de Un Material Poroso

7/21/2019 Estudio Del Comportamiento Térmico en Conduccion y Conveccion Natural de Un Material Poroso

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JORNADAS SAM/ CONAMET/ SIMPOSIO MATERIA 2003 14-09

1091

ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO TÉRMICO, EN CONDUCCIÓN YCONVECCIÓN NATURAL, DE UN MATERIAL POROSO

Doctor (c) Mauricio Godoy Seura1, Doctor Nelson Moraga Benavides

2

1Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de La Serena, Benavente 980.

e-mail: [email protected]

La Serena – Chile

2Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Santiago de Chile, Casilla 10233, Correo 2.

e-mail: [email protected]

Santiago – Chile

Este trabajo, en el ámbito de la investigación, presenta un estudio de un medio poroso, en cuanto a la

convección natural (transferencia de calor y la mecánica de fluídos) producida en su interior dada ciertas

condiciones a las que es sometido. Geométricamente corresponde a un cubo con paredes aisladas y temperaturas

impuestas. Los objetivos específicos de este estudio fueron: Determinar la convección natural producida en el

medio poroso, tanto Darciano como no Darciano, analizar el efecto de la variación de la porosidad y la variación

del número de Rayleigh modificado, como también determinar límites de aplicación de los modelos porosos de

Darcy, Darcy-Brinkman y Darcy-Brinkman-Forchheimer, según las variaciones del número de Rayleigh

modificado. En el desarrollo se plantea el modelo matemático, que incluye las ecuaciones de continuidad,

momento lineal y la de energía. Para la convección natural se considera que la disipación es en el aire, el que se

comporta como fluido newtoniano, con propiedades constantes, excepto la densidad que varía linealmente con la

temperatura. El flujo de fluido y la transferencia de calor es a régimen laminar. Las soluciones se obtienen

mediante el método de Volúmenes Finitos con el algoritmo SIMPLE. Los resultados generados incluyen las

distribuciones de temperaturas y velocidades como también la variación del número de Nusselt. La validación

de la metodología se efectúa, comparando con los resultados numéricos y empíricos publicados en la literatura,

obteniéndose resultados muy concordantes. Esto permite concluir que la metodología emp leada resulta apropiada

y eficiente para este tipo de problemas en materiales porosos.

INTRODUCCIÓNEl estudio del comportamiento de los

materiales porosos, tanto naturales como sintéticos,

adquiere cada día mayor importancia debido a

diferentes problemáticas y aplicaciones de estos, por

ejemplo el estudio de contaminación de suelos o un

mejor diseño de filtros. Dentro de estos estudios el

comportamiento termofluídico del medio, que

incorpora un fluido que satura y que tiene capacidad

de movimiento entre los poros, resulta de gran interés.

Una aplicación son los materiales refractarios

empleados en los procesos de fundición, en los cuales

el metal líquido puede saturarlos y modificar todas las propiedades y condiciones de la transferencia de calor

existentes y necesarias para un buen proceso. La

práctica habitual para la descripción de la mecánica de

fluidos, la transferencia de calor y para el desarrollo

de cálculos de pérdida de carga y de flujos de calor, se

basa en el modelo de Darcy (Alves y Cotta, 2000). A

pesar que desde hace más de cien años se reconoce

que en la medida que la velocidad aumenta se requiere

introducir los efectos inerciales y fuerzas viscosas,

mediante la corrección de Forchheimer y de

Brinkman. La revisión de la literatura muestra que en

los últimos años la mayoría de las predicciones de

flujo de calor y de fluidos en medios porososincorpora correcciones al modelo de Darcy (Medeiros,1999).

Este trabajo cumple el propósito de estudiar, predecir y describir, mediante modelación numérica,

complementada con relaciones teóricas y empíricas, la

mecánica de fluidos y la transferencia de calor

bidimensional y tridimensional en un medio poroso.

Para ello se presentan dos problemas, un primer caso

en el cual el medio poroso es todo el dominio y un

segundo caso, en el cual existen paredes gruesas

conductivas que contienen a la cavidad porosa. Este

estudio, desde un punto de vista adimensional, se

desarrolla mediante modelos de transporte, que

incluyen las ecuaciones de continuidad, momento

lineal y energía.

Para el primer problema, en el cual la cavidad porosa es todo el dominio, se analizan los modelos

Darcy, Darcy-Brinkman y Darcy-Brinkman-

Forchheimer. Además se estudia el límite de

aplicación de éstos, según las variaciones del número

de Rayleigh. El dominio se discretiza utilizando una

malla no uniforme de 82x82x82 nodos, para el caso

tridimensional y de 380x380 para el caso

bidimensional. Para el cálculo con un Da=1x10-7

se

incorpora una relación para considerar porosidad

variable (Marcondes 2001). Los resultados incluyen

las distribuciones de velocidades y temperaturas y la

variación local del número de Nusselt. En los

resultados se estudia el efecto combinado, que tieneen la temperatura y velocidades, la variación de la

porosidad, el Darcy y del número de Rayleigh.




1092

En el segundo problema, en el cual la cavidad

porosa se encuentra contenida por paredes gruesas

conductivas, se estudia la conducción y la convección

natural tridimensional en el medio poroso (con

porosidad constante) y la conducción en las paredes

gruesas. El dominio se discretiza con una malla

uniforme de 42x42x42 nodos. Los resultados

generados incluyen la variación en el tiempo de lasdistribuciones de temperaturas y de velocidades como

también la variación local del número de Nusselt. Se

investiga el efecto que tiene en la transferencia de

calor con convección natural, la razón de

conductividad (0.01<Kr<240) entre las paredes y el

fluido en la cavidad porosa, el cambio de porosidad (ε

= 0.1, 0.4 y 0.8) y el número de Rayleigh modificado

(Ra* = 29.3, 293 y 2930).

SITUACIÓN FÍSICASe estudia, en dos problemas distintos, la convección

natural y la conducción en un medio poroso, 2D y 3D

representado por una cavidad cúbica. El primer problema, mostrado en la figura 1-a, se refiere a una

geometría cúbica (3D) y cuadrada (2D), en la cual el

medio poroso constituye todo el dominio, con

excepción de las paredes, que son delgadas y

contienen las condiciones de borde. Estas condiciones

involucran paredes aisladas y paredes con

temperaturas impuestas. El segundo problema,

mostrado en la figura 1-b, involucra una cavidad

porosa confinada en un cubo sólido con paredes

gruesas conductivas. En estas paredes, además de la

definición de las condiciones de borde, se presenta la

conducción como fenómeno importante. Las

condiciones de borde en este caso son similares alanterior.

1-a) Medio poroso es todo el dominio. Caso 1

1-b) Medio poroso con paredes gruesas. Caso 2

Figura 1. Modelo geométrico de cavidad porosa

MODELO MATEMÁTICO

El sistema adoptado para la modelación es elcartesiano. El modelo incluye las ecuaciones de

continuidad, momento lineal en las tres direcciones

espaciales y de energía. Estas ecuaciones se presentan,

en su forma adimensional transiente.

Ecuación de continuidad:

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

Z

W

Y

V

X

U (1)

Ecuación de momento en X

U W V U Da

C

Da Z

U

Y

U

X

U X Z

U W

Y

U V

X

U U

U

+++−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂

Ρ ∂−=

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅

222

2

2

2

2

2

2

2

Pr Pr

Pr 11

ε

ετε

(2)

Ecuación de momento en Y

V W V U Da

C

Da Z

V

Y

V

X

V

X Z

V W

Y

V V

X

V U

V

+++−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂Ρ ∂

−=

∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅

222

2

2

2

2

2

2

2

Pr Pr

Pr 11

ε

ετε(3)

Ecuación de momento en Z

W W V U Da

C

Da Z

W

Y

W

X

W

Ra Z Z

W W

Y

W V

X

W U

W

+++−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

⋅⋅+∂Ρ ∂

−=

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅

222

2

2

2

2

2

2

2

Pr Pr

Pr Pr 11

ε

θετε

(4)

Ecuación de la energía

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅Ω=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

Ω2

2

2

2

2

2

Z Y X Z W

Y V

X U

θθθθθθ

τ

θ (5)

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂Ω

2

2

2

2

2

2

X X X K R R

θθθ

τ

θ Paredes problema 2 (6)

Las condiciones de borde adimensionales son:En X:

Problema 1 Problema 2

L=1 L1/L=0.15

L2/L=0.85

θ= θHOT=1 en X=0, θ= θCOLD=0 en X=1 En Y:

Problema 1 Problema 2

L=1 E1/L=0.15

E2/L=0.85

0=∆⋅∆∂∂

−= Z X Y

k Qθ en Y=0,

0=∆⋅∆∂∂

−= Z X Y

k Qθ en Y=1

En Z: H=LProblema 1 Problema 2

L=1 H1/L=0.15

H2/L=0.85

0=∆⋅∆∂∂

−= Y X Z

k Qθ en Z=0,

0=∆⋅∆∂∂

−= Y X Z

k Qθ en Z=1

Nomenclaturad: diámetro del poro

dis: distancia más corta a la cavidad

2/32/1150

75.1

ε⋅=C : Coeficiente de inercia

2 L

K Da = : Número de Darcy

E : Profundidad de la cavidad3

2

)( H T T g Gra

C H

ν

β −= : Número de Grashof

g: Aceleración de gravedad H: Altura de la cavidad

2

32

)1(150 ε

ε

−⋅⋅

=d

K : Permeabilidad

k : Conductividad térmica

K r: Razón de conductividad entre la pared y el medio poroso L: Longitud horizontal de la cavidad

Nu : Número de Nusselt. P: Presión dimensional




1093

ναρ ⋅⋅⋅

=Ρ ef

L P 2 : Presión adimensional

α

ν=Pr : Número de Prandtl

ef

C H LT T g

Gra Raαυ

β 3)(Pr

−=⋅= : Número de Rayleigh

Da Ra Ra Ra m ⋅==*

: Rayleigh modificadoT: Temperatura

t: TiempoT H : Temperatura altaT C : Temperatura baja

ef

LuU

α

⋅=

;

ef

LvV

α

⋅=;

ef

LwW

α

⋅= : Velocidades

adimensionalesu, v, w : Velocidades dimensionales

L

x X = ;

L

yY = ;

L

z Z = :Coordenadas adimensionales

x, y, z: Coordenadas dimensionales

α : Difusividad térmica

β: Coeficiente de expansión volumétrica

⋅+⋅=

⋅−

∞d

dis N

eC 1

11εε

C1: 1,4; N1=5; valores para una para ε∞=0.864 y malla de

81x81 según Marcondes (2001).

ν: Viscosidad cinemática

C H

C

T T

T T

−

−=θ : Temperatura adimensional

ρ : Densidad

METODOLOGÍALas ecuaciones que definen el problema, se

ordenan de manera que tomen la forma de la Ecuación

de Transporte para la variableφ.φφφρ ⋅++⋅Γ =⋅⋅ SpSc grad divvdiv )()(

r

(7)Donde:

φ: Variable dependiente

ρ: Densidad

vr

Campo de velocidad

Γ : Coeficiente de difusión

Sc: Fuente constante

Sp: Fuente variable (depende

de φ)

El análisis se basa en la solución numérica de

las ecuaciones de conservación (transporte). En las

regiones ocupadas por medios porosos se usa la ley de

Darcy con las extensiones de Brinkman y

Forchheimer. El flujo, en ambos problemas, es

considerado laminar, incompresible y newtoniano. Se

considera que el fluido tiene propiedades constantes,

excepto la porosidad (en el primer problema) y la

densidad que varía linealmente con la temperatura

(Aproximación de Bousinesq). Las soluciones se

obtiene mediante el método de los Volúmenes

Finitos, basado en el algoritmo SIMPLE

(Patankar,1980). Se implementa un programa, en

lenguaje FORTRAN, para resolverlos. Se observa la

convergencia tanto para la masa como para las

velocidades y temperatura Finalmente se comparan

los resultados obtenidos con algunos publicados en la

literatura.

RESULTADOS Y DISCUSIÓNProblema 1: Se presentan los resultados obtenidos en

estado permanente en la cavidad porosa completa. Se

muestran efectos combinados, para cambios en la

porosidad el número de Ra y Da (manteniendo el Ram

en 1000) Respecto de los modelos de porosidad, se

estudia el efecto del Ra y el Da , en cada uno de ellos.

En términos de la validación, se incorpora el efecto

de la porosidad variable para un Da de 1x10-7

, esta

comparación se hace fundamentalmente con el trabajo

de Marcondes. La figura 2, presenta el efecto

combinado del Da y el Ra según dos porosidadesuniformes. La figura 3 muestra los modelos y la

figura 4 muestra la comparación con Marcondes

(2001) ε = 0.1 ε = 0.9

a) Da= 1x10-2

; Ra=1x105

b) Da= 1x10-5

; Ra=1x108

Figura 2: Efecto combinado Da, Ra y porosidadpara Ram=1000

Figura 3: Efecto de los modelos

Figura 4: Validación con la literaturaProblema 2: La figura 5 muestra los resultados

gráficos obtenidos en la modelación transiente. Lafigura 6 muestra el efecto, en las temperaturas y

velocidades, de la variación de Kr . La figura 7




1094

muestra las isotermas según cambio de porosidad y

número de Rayleight.

a) Tiempos τ = 0.01, τ = 0.05, τ = 0.13, τ = 0.3

b) Pared interior baja en eje X Pared interior caliente en eje Z. Figura 5. Evolución en el tiempo de las isotermas yperfil térmico en pared. K r =1, εε=0.8; Pr=0.7;Ram=293 (Da=293x10-7, Ra= 1x107)

Figura 6. Efecto de la variación de Kr en laTemperatura y la velocidad W en Z para εε=0.8; Pr= 0.7 ; Ra* = 293

a) ε=0.1 y ε=0.8

b ) Cambios de número de Ra

Figura 7: Efectos de la variación de Porosidad yNúmero de Rayleigh

La figura 8 muestra la validación de resultados

comparando con los trabajos de Chang y Lin (1994).

Se muestra una comparación de perfiles térmicos, para

diferentes Kr, en las paredes interiores y diferentes

números de Nusselt locales.

a) Pefil térmico en pared caliente

b) Nu local Pared interior caliente

Figura 8. Comparación de perfiles térmicos y

Nusselt para diferentes Kr, en relación al tabajo deChang y Lin.

CONCLUSIONES§ La porosidad afecta a la convección natural,

principalmente para Ra < 1 x108

§ El efecto del número de Rayleigh en la convección

natural es predominante en comparación con el

número de Darcy.

§ La mejor captura de las capas límites, térmica y

fluídica, resulta de la implementación de los

modelos completos de Darcy – Brinkman -

Forchheimer, para el cálculo del problema

§ La razón de conductividad K r , entre los valores de0,1 y 10, juega un rol preponderante en la

convección natural.

§ La difusión de calor y convección natural

tridimensional, en un medio poroso se puede

calcular empleando el método de volúmenes

finitos. Al revisar las comparaciones realizadas con

resultados de la literatura, es posible concluir que la

metodología empleada resulta apropiada y eficiente

para este tipo de problemas.

REFERENCIAS§ Alves L. S. de B. , Cotta R. M., Transient Natural

Convection Inside Porous Cavities: Hybrid Numerical-Analytical Solution and Mixed Symbolic-Numerical

Computation. Numerical Heat Transfer. Part A, 38: 89-

110, 2000.

§ Chang W. J., Lin H.Ch., Wall Heat Conduction Effect

On Natural Convection In An Enclosure Filled With A Non Darcian Porous-Medium. Int. Numerical Heat

Transfer, 25, 671-684, 1994

§ Marcondes F., Numerical analysis of natural convection

in cavities with variable porosity. Numerical Heat

Transfer. Part A, 40: 403-420, 2001.§ Medeiros J. M, F. Marcondes, and J. M. Gurgel, Natural

Convection in a Porous Cavity Using the Generalized

Model with Uniform Porosity, XV Brazilian Congress of

Mechanical Engineering, in CD-Rom, Aguas de Lindóia.Sao Paulo, Brazil, 1999.§ Patankar S. V. Numerical Heat Transfer And Fluid

Flow. Hemisphere Publishing Corporation. 1980

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