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Estudio comparativo de diferentes modelos nucleares, profundizando en aquellos que dan mejor explicación a los datos experimentales y las diferentes propiedades de los núcleos, y hacen unas predicciones más acertadas. Se desarrolla el estudio mecano – cuántico de los sistemas simplificados del modelos de capas y del modelo colectivo rotacional-vibracional.
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Fco. Javier Pino Araque julio 2012
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ESTUDIO DE LOS
DIFERENTES
MODELOS NUCLEARES
DESDE EL
FORMALISMO DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
Fco. Javier Pino Araque
Julio 2012
Fco. Javier Pino Araque julio 2012
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ÍNDICE
Abstract / Resumen ...…………………………………………………… 2
1 – Introducción ...……………………………………………………….. 3
2 – Modelos nucleares …………………………………………………… 4
2.1 Modelo gota líquida ……………………………….......…….… 4
2.2 Modelo de capas ……………………………………………..…7
2.3 Modelo colectivo …………………………………………… … 9
2.4 Modelo unificado …………………………………………….. 10
3 – Formalismo del modelo de capas ……….….….….….….….………. 11
3.1 Sistemas de una partícula …………………………………….. 11
3.2 Sistemas de dos partículas…………………………………….. 13
3.3 Elección de potencial …………………………….….….……. 15
4 – Formalismo del modelo colectivo ……………………………… …. 25
5 – Conclusiones ………………………………………………………... 28
6 – Bibliografía ………………………………………………………….. 29
Fco. Javier Pino Araque julio 2012
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ESTUDIO DE LOS DIFERENTES MODELOS
NUCLEARES DESDE EL FORMALISMO DE LA
MECÁNICA CUÁNTICA
ABSTRACT
A comparative study of the different nuclear models is made,
principally in those that given better explanation to the experimental data
and the nuclear propierties, and make predictions more accurate. A
mechano-quantum study is developed of the simplified model of layer and
model of rotational-vibrational collective.
Keywords: Nuclear models, mechano-quantum, Born-Oppenheimer
approximation, Schrödinger equation, liquid drop model, Shell model,
collective model (rotational, vibrational), magnetic moment, quadrupole
moment.
RESUMEN
Se efectúa un estudio comparativo de los diferentes modelos
nucleares, profundizando en aquellos que dan mejor explicación a los datos
experimentales y las diferentes propiedades de los núcleos, y hacen unas
predicciones más acertadas. Se desarrolla el estudio mecano – cuántico de
los sistemas simplificados del modelos de capas y del modelo colectivo
rotacional-vibracional.
Palabras clave: Modelos nucleares, mecano-cuántica, aproximación Born-
Oppenheimer, ecuación Schrödinger, modelo gota líquida, modelo de
capas, modelo colectivo (rotacional, vibracional), momento magnético,
momento cuadrupolar.
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1 – INTRODUCCIÓN
A la hora de abordar en química los estudios moleculares e incluso
los atómicos, tanto desde la simplificación clásica, como desde el
formalismo de la mecánica cuántica, se utiliza la simplificación de
considerar el núcleo como una entidad completa e indivisible, a pesar del
conocimiento que se tiene de él, y que está formado, por un número Z de
protones, que son los que dan su identidad al átomo, y un número N de
neutrones, que puede variar formando los distintos isótopos, siendo la suma
de ambos su número másico A.
Esto es debido a que su tamaño comparado con el de los
electrones permite su localización razonablemente precisa dentro de
los átomos y por tanto de las moléculas, y su menor
movilidad relativa del orden de 1.000 veces menos que la
del electrón, permite el desacoplamiento entre núcleo y
electrones que es el principio de la aproximación de
Born-Oppenheimer en mecánica cuántica, que podría
considerarse base de la química cuántica, y que tantos
datos ha aportado en ésta rama.
Sin embargo, detrás de este núcleo simplificado conceptual hay un
núcleo que es un ente más complejo que está formado por la interacción de
varias partículas, excepto en el caso del isótopo del hidrógeno 1H formado
por un único protón, el cual, inclusive atendiendo al único protón del 1H, si
nos introducimos más en la propia estructura del protón, vemos que posee
mayor complejidad que el estudio de un electrón, en tanto en cuanto el
electrón es una partícula elemental, y el protón (al igual que el neutrón) no
lo es, sino que está formado por partículas elementales, los quark, unidos
por una de las fuerzas fundamentales, la interacción fuerte, y que es
descrita por la cromodinámica cuántica, algo que se aleja mucho de lo que
se pretende exponer en el presente trabajo, que no es dar explicación a la
estructura y características de protones y neutrones, sino a la interacción
entre éstos, que forman un núcleo.
No es tarea fácil determinar directamente la forma, estructura y
comportamiento de un núcleo, debido a la gran complejidad matemática
que requiere. Esto no es exclusivo del núcleo, sino que lo es del átomo, de
moléculas, complejos gaseosos, incluso de grandes estructuras como un
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sistema planetario o una galaxia. Sin embargo en los sistemas en los que el
número de partículas es muy grande, puede aplicarse métodos estadísticos,
como la teoría cinética de los gases, o, existe un centro de fuerzas de
manera que la interacción entre las partículas con dicho centro es mayor
que las fuerzas entre ellas, pudiendo considerar éstas como una
perturbación de la fuerza de interacción con el centro.
La mayor complejidad en el estudio del núcleo es que no posee
tantas partículas como para tratar el sistema en forma estadística, y no
existe un centro de fuerzas que permita tratar la interacción entre las
partículas como una perturbación de una fuerza central.
A pesar de los progresos en el desarrollo de métodos matemáticas,
donde ha habido más avances, en tanto en cuanto han dado más
explicaciones a los datos experimentales, han sido el desarrollo de
diferentes modelos, que consisten en la búsqueda de una situación física
conocida y cuyas propiedades se asemejen a las del sistema de interés (algo
que podría considerarse un método de perturbación), pretendiendo que
dichos modelos no sólo que se ajusten a la realidad conocida, sino con los
que se pueda extrapolar los datos y predecir nuevas propiedades.
Se resumirán a continuación los diferentes modelos nucleares, para
posteriormente desarrollar el modelo de capas y colectivo bajo la visión de
la mecánica cuántica.
2 – MODELOS NUCLEARES:
2.1 Modelo de gota líquida. Desarrollado por F. Von Weizsäcker, y por
George Gamow, a partir de la analogía sugerida por Niels Bohr entre una
gota de líquido incompresible y la materia nuclear.
Una característica de los núcleos es que la energía de enlace por
nucleón, B, a partir de cierto número atómico (Z) es aproximadamente
constante, siendo B proporcional al número másico (A), cómo puede verse
en la Fig. 2.1, esto lleva al hecho de que si cada partícula nuclear
interactuara con todas las demás, la energía de interacción debería ser
proporcional al número de pares interactuantes, así, si cada partícula
interactúa con el resto, es decir, si tenemos A nucleones, cada nucleón
interactúa con A-1 (con todos menos consigo mismo), el número de pares
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que se pueden formar es A (A-1)/2,
de esta forma los núcleos con muchos
nucleones, la energía de enlace por
nucleón debe ser proporcional a A2,
pero esto no concuerda con los datos
experimentales, lo que implica que
cada partícula interactúa con un
número muy limitado de las restantes
partículas dentro del núcleo.
Fig. 2.1
Un modelo similar a lo observado es lo que ocurre con una gota de
líquido, donde la energía para separar una molécula es NEB, siendo N el
número de enlaces de cada molécula y EB la energía de enlace, por lo que
se describe el núcleo como un fluido clásico, pero compuesto por protones
y neutrones en lugar de moléculas, y se añade una fuerza central repulsiva
de carácter culómbica proporcional a Z y con origen en el centro de
coordenadas de la gota (del núcleo).
Sin embargo, tanto el protón como el neutrón poseen una naturaleza
mecano-cuántica, por la que deben poseer un estado cuántico, poseyendo
ambas un spin semi entero (1/2). El momento angular de spin es una
propiedad intrínseca de la materia de todas las partículas subatómicas, tal
como la masa y carga, y juega un papel fundamental en la estructura de la
materia, pero que no tiene ningún equivalente en la física clásica, surge de
manera natural dentro de la mecánica cuántica relativista desarrollada por
Paul A. Dirac, pero este tratamiento tiene un nivel de complejidad que
suele ser más conveniente introducir el spin como una hipótesis adicional a
los postulados de la mecánica cuántica no relativista.
Todas las partículas con spin semi entero son fermiones y deben cumplir
el principio de exclusión de Pauli, quien estableció que las partículas con
spin semi entero requieren funciones de onda antisimétricas, lo que viene a
traducirse como que los fermiones no pueden estar en el mismo estado
cuántico.
Se desarrolla por lo tanto un sistema conocido como líquido de Fermi,
en comparación con el gas de Fermi que forman los electrones, en el cual
se desprecian las fuerzas entre pares de nucleones y se toman una fuerza
promedio sobre cada nucleón representada por el hecho de que todos están
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contenidos en una esfera de volumen V y radio R = ro A1/3
. Al igual que un
gas cuántico de fermiones tiene propiedades muy distintas a las de un gas
clásico, un líquido de Fermi también tiene propiedades muy distintas a las
de un líquido clásico, principalmente que cuanto más se acerca a la
idealidad, más se pueden despreciar la interacción entre las partículas que
lo componen. Cómo se ha indicado por el principio de exclusión de Pauli,
ningún estado cuántico puede ser ocupado por más de un fermión, así la
energía total de un gas/líquido de Fermi en el cero absoluto es mayor que la
suma de las energías de los estados fundamentales de las partículas
aisladas, al mantenerse los fermiones separados y en movimiento, por esta
razón la presión siempre es distinta de cero, incluso en este caso extremo,
esta presión de degeneración es la que estabiliza un gas/líquido de Fermi, y
por tanto el núcleo.
Sin embargo a diferencia entre un modelo de gas de Fermi, como puede
ser el modelo de la corteza electrónica que es un modelo de partícula
estrictamente independiente, el modelo de gota líquida, considerado como
un líquido de Fermi es un modelo colectivo, en el que las partículas a pesar
de su individualidad y diferenciación incluida por el principio de Pauli,
interactúan con las vecinas, dando explicación a la estructura esférica del
núcleo.
Este modelo reproduce las características más
sobresalientes de la materia nuclear, permitiendo obtener
fórmulas semi empíricas para calcular las masas de los
núcleos, y hace predicciones acerca de la estabilidad de los
mismos respecto a diversos fenómenos, como en
reacciones nucleares, en particular la de la fisión, en que
considera que un neutrón al impactar contra un núcleo lo
distorsiona provocando esta fisión.
Estas fórmulas semi empíricas tienen cinco términos
correspondientes al enlace de todos los nucleones por la
fuerza fuerte, a la repulsión electrostática entre protones, a la energía
superficial, un término de asimetría y otro de paridad.
Sin embargo sólo se describe un aspecto global de la constitución
nuclear y no dice prácticamente nada de la estructura interna del núcleo,
además de no estar en consonancia con otras propiedades nucleares
experimentales.
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2.2 Modelo de capas: Fue propuesto por primera vez por D. Ivanenko y
posteriormente desarrollado por E. Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer y
J. Hans D. Jensen, quienes compartieron el premio Nobel de Física por su
contribución a los descubrimientos sobre la estructura de las capas
nucleares.
El modelo de gota líquida fue muy exitoso en cuanto a sus descripciones
y predicciones, unido a que resulta difícil aceptar que los nucleones, que
sufren fuertes potenciales de interacción, se puedan comportar como
partículas independientes, hizo que los modelos de partículas
independientes quedaran relegados.
Sin embargo la acumulación de datos experimentales, indicaban que
agunas propiedades nucleares presentaban discontinuidades para ciertos
valores de N o Z. La mayor disparidad teoría-experiencia se daba en las
energías de enlace, en las que la fórmula semi empírica del modelo de gota
líquida se aleja de los datos experimentales, en la que aparecen una serie de
núcleos especialmente estables que contienen un número de nucleones que
no se ajusta a ninguna ecuación ni fórmula, pareciendo números al azar,
por lo que fueron llamados números mágicos, y que son núcleos que
poseen 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 nucleones, como puede verse en la Fig. 2.2.
Fig. 2.2
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Hay otra serie de discontinuidades que aparecen en diversas
propiedades, como las energías de separación de un neutrón, como puede
verse en la Fig. 2.3. Algo similar ocurre con los protones.
Fig. 2.3
El modelo de gota líquida, al no explicar esta estabilidad relativa,
tampoco da explicación a la abundancia relativa de ciertos elementos,
basados precisamente en la estabilidad de su núcleo.
Es por lo que se retorna a los modelos de partícula independiente, ya
que dichos números mágicos parecen indicar que los nucleones se mueven
en un potencial promedio de forma semejante a como lo hacen los
electrones alrededor del núcleo. Así, al igual que hay átomos que son
particularmente estables (gases nobles) caracterizados por tener completas
las capas de los niveles de energía del potencial Coulombiano, los núcleos
debían estar compuestos por capas con un número limitado de lugares
disponibles, de forma que en su estado de mínima energía (estado
fundamental) los nucleones están situados en capas de menor energía
posible, y aquellos que completan su capa serán especialmente estables.
A diferencia de la corteza electrónica, que posee un único tipo de
partícula, el modelo de capas nuclear posee dos tipos de partículas no
equivalentes, por lo que se introduce un número cuántico adicional, el
isospín, cuya proyección nos dirá si el nucleón se trata de un protón o de un
neutrón. También se presenta el problema de la elección del tipo de
potencial, en el que se el uso de potencial tipo oscilador armónico no da
buenos resultados, usándose generalmente el potencial de Wood-Saxon, un
potencial de la forma:
Sin embargo la resolución de la ecuación de Schrödinger se hace no
analítica, y algunas de las constantes han de ser modificadas. Es por ello
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que se incluyó, además del potencial central, un término del tipo spin-
orbital, lo que lleva al desdoblamiento de niveles energéticos, lo que da
sentido a los números mágicos y además al spin nuclear, ya que los
nucleones por capas deben tender a aparearse, de forma que si hay un
número par de protones y neutrones no habrá momento angular resultante,
siendo el spin nuclear I = 0, los que tengan un número par/impar de
nucleones, habrá un nucleón no apareado y será el único que contribuya al
spin nuclear, que vendrá dado por el número cuántico j = l ±1/2, y por tanto
el spin nuclear será un múltiplo impar de media unidad, y aquellos núcleos
con número impar/impar de nucleones, serán dos partículas las que
contribuyan al spin nuclear y por lo tanto éste será un múltiplo entero.
Con el modelo de capas, también queda explicado que haya núcleos
con nucleones en un estado excitado, que al pasar a su estado fundamental
o un estado excitado de menor energía emitan radiación electromagnética
más energética que los rayos X, siendo esta radiación la radiación gamma
, que poseen energía discretas correspondientes a las diferencias de
energías de los estados entre los que se produce la transición.
La mayoría de las propiedades nucleares quedan explicadas con éste
modelo.
2.3 Modelos colectivos (vibracional y rotacional): Se desarrollan
para dar explicación a las grandes desviaciones del momento cuadrupolar
nuclear (Q), y también debido que al estudiar los estados excitados de
núcleos par-par se observa que es muy costoso desde el punto de vista
energético crear una excitación por medio de un par partícula-agujero, es
más eficiente realizar movimientos colectivos.
El momento cuadrupolar nuclear (Q), es una magnitud física que da
cuenta de la distribución angular del campo estático creado por una
distribución de masas o cargas eléctricas, en este caso es un tensor, que
empíricamente puede obtenerse de la ecuación: Q = 4/5 Z r2. Siendo el
ratio a·b/r (a = radio vertical, b = radio horizontal, r = radio medio), de
forma que si Q = 0, la forma del núcleo es esférica, si Q<0 adquiere forma
achatada por los polos u oblato, y si Q>0 es estirada por los polos o prolato,
cómo puede verse en la Fig. 2.4.
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Las grandes discrepancias entre los valores
previstos y los observados, indican que muchos
nucleones deben estar contribuyendo al momento
cuadrupolar con un efecto colectivo.
Este modelo predice que en los núcleos
alejados del estado de capa completa, los nucleones
serán atraídos en una extensión menor hacia el resto
del núcleo, y cuando el núcleo gira están sujetos a
una fuerza centrífuga considerable alterando la
forma esférica a elipsoidal (prolato u oblato), esta
distorsión de nucleones comenzará a afectar a la
siguiente capa inferior completa, afectando a su
esfericidad, ésta a su vez a la inferior, generando así
un efecto de naturaleza colectiva.
Fig. 2.4
Dicho movimiento de rotación viene dado por una energía rotacional
que está cuantizada, sin embargo atendiendo solamente a la rotación los
datos teóricos no se adecuan a los experimentales, por lo que también debe
haber una componente vibracional colectiva, de ésta manera se trata de dar
explicación a las propiedades de los núcleos atómicos sin recurrir a su
estructura interna, sino a coordenadas colectivas que describan el
movimiento de la superficie del núcleo, acercándose por lo tanto más al
modelo de gota líquida que al de capas.
2.4 Modelo unificados: Tratando de dar una explicación más
completa, surgen los modelos unificados, donde además del movimiento
colectivo se considera una partícula moviéndose en un potencial promedio
deformado. Surgen varios modelos que son diferentes correcciones sobre
estos intentos de unificación, siendo un campo aún en desarrollo.
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3 – FORMALISMO DEL MODELO DE CAPAS:
Se considerará en todo momento un formalismo cuántico no
relativista e independiente del tiempo, ya que los nucleones poseen
suficiente masa y baja velocidad como para realizar esta aproximación,
igualmente se busca dar una explicación a la estructura de capas del núcleo,
la cual está formada por una serie de estados estacionarios.
3.1 Sistemas de una partícula: Para llegar a la comprensión de la
estructura de capas del núcleo se va a comenzar por el caso más sencillo,
que es una partícula simple que se mueve sometida a una fuerza central, la
cual proviene de una función de energía potencial de simetría esférica, lo
que significa que sólo depende de la distancia de la partícula al origen de
coordenadas: V = V(r).
El Hamiltoniano de este sistema viene dado por:
Donde es el operador Laplaciano, que puede expresarse según
sean las coordenadas elegidas, en este caso, y ya que V(r) tiene simetría
esférica es conveniente expresarlo en coordenadas esféricas (r, , :
El operador al cuadrado del módulo del momento angular orbital de
una partícula simple es:
Por lo que el Hamiltoniano puede expresarse cómo:
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Para conocer si hay estados con valores definidos simultáneamente
para energía y momento angular, se debe conocer si el conmutador
se anula, como el momento angular depende de y , y no de r, conmutará
con cualquier operador que sólo sea función de r, por lo tanto si el potencial
sólo depende de r (V = V(r)), . De igual manera si se considera
el operador:
Que al no depender de r también conmutará con el Hamiltoniano.
Por lo tanto se puede tener un conjunto de funciones propias
simultáneas de y , para un problema de fuerzas centrales, si
consideramos a estas funciones propias:
, l = 0, 1, 2, ….
, m = -l, (-l+1), ……., l
Siendo l y m los números cuánticos del momento angular.
La ecuación de Schrödinger para este sistema quedaría:
Las funciones propias comunes de y son denominadas
armónicos esféricos, o armónicos de superficie, en el que desarrollando las
funciones asociadas de Legendre, se obtiene:
Siendo
Así, siendo una función propia de y siendo ésta
independiente de r, se puede multiplicar por una función arbitraria de r y
seguirá siendo una función propia, por lo que:
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=R(r)
Quedando resulto el problema de una partícula con una función de
energía potencial de simetría esférica como una ecuación diferencial
ordinaria de R(r), de forma que para cualquier sistema de este tipo su
función de onda estacionar será: =R(r)
3.2 Sistemas de dos partículas: En el caso de un sistema de dos
partículas, pueden darse dos casos, que ambas partículas no interactúen
entre sí, o que sí lo hagan.
3.2.1 Sistema de dos partículas que no interaccionan entre sí: en este
caso el operador Hamiltoniano del sistema es la suma de los Hamiltonianos
de ambas partículas:
Las funciones de onda estacionarias satisfacen:
(q1) (q2)
Siendo q1 y q2 las coordenadas de las partículas 1 y 2
respectivamente. De esta manera: E = E1 + E2.
3.2.2 Sistema de dos partículas interaccionantes: el Hamiltoniano
del sistema se puede expresar como la suma de dos operadores , cada uno
correspondiente a una partícula y un término potencial V, que depende de
las coordenadas relativas de ambas partículas.
En este caso la energía del sistema es igual a la suma de la energía de
dos partículas virtuales, una de masa M, siendo la suma de las masa de las
partículas reales, con coordenadas las del centro de masas de ambas
partículas, y su energía EM considerada como la de una partículas libre de
masa total M, y la segunda de masa la masa reducida del sistema de las
dos partículas reales, en la que = m1m2/(m1+m2), siendo sus coordenadas
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las relativas de las partículas reales y su energía E se obtiene de resolver la
ecuación de Schrödinger del movimiento interno, que en coordenadas
cartesianas es:
De esta forma se ha separado el problema de dos partículas que
interaccionan mediante una función de energía potencia V(x,y,z) que
depende únicamente de las coordenadas relativas, en dos problemas
separados de una partícula, una de movimiento traslacional del sistema
como un todo de masa M, y otra como el movimiento relativo o interno que
se resuelva con el tratamiento de la ecuación de Schrödinger para este
sistema.
Merece la pena destacar el sistema más simple de dos partículas que
interaccionan entre sí, que es el problema del rotor rígido, y que es la
simplificación desde la que se parte para dar explicación por ejemplo al
modelo colectivo rotacional.
El rotor rígido se compone de dos partículas que interaccionan entre
sí de masas m1 y m2, separadas por una distancia fija d, siendo su energía la
suma de la energía de traslación (EM) y la de rotación (E ), por lo tanto la
función de onda de este sistema es igual al de un sistema de una partícula
rotacional estacionaria, que ya se ha visto en el apartado anterior y que
tiene la forma: =R(r)
En este caso R(r) se suprimirá al ser r = d = constante, y se utilizará J
para representar el número cuántico en vez de l, quedando:
=
Siendo J = 0, 1, 2,…., y m = -J, (-J+1), ….., +J, que son los números
cuánticos del momento angular rotacional.
Teniendo en cuenta que la energía del rotor es puramente cinética, el
potencial se anulará, V = 0.
Tomando el Hamiltoniano del sistema de una partícula, eliminando
las derivadas radiales y V(r) se obtiene:
Como:
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De donde se obtiene el valor de la energía:
Siendo I el momento de inercia, que en este sistema I = d2.
Sin embargo, en el modelo de capas es conocido que las partículas
están sometidas a un potencial, y que por lo tanto no se puede tomar la
simplificación que V=0.
Así, el Hamiltoniano de un sistema de dos partículas interactuantes y
bajo un potencial no nulo viene dado por:
Siendo V(rij) el potencial entre la partícula i y la partícula j. Para
obtener el Hamiltoniano del modelo de capas, se introduce el potencial
promedio de un cuerpo de la siguiente manera:
De esta forma, cuando H’ es pequeño, puede entenderse como una
perturbación del sistema básico.
3.3 Elección de potencial: El verdadero problema a la hora de
resolver la ecuación de Schrödinger para un sistema nuclear, no es tanto el
número de partículas interaccionantes, ya que como se ha visto, cada
nucleón sólo interactúa con un número muy limitado de vecinos, sino la
forma de la energía potencial.
Se tiene una ecuación de Schrödinger del tipo:
3.3.1 Potencial tipo pozo esférico, se puede proponer una solución de
la forma: (r) = R(r)
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A partir de la cual y en estas condiciones:
Siendo en este caso los armónicos esféricos:
l =0, 1, 2, 3, … ; ml = -l, ….., +l
De esta forma y aplicando las funciones de
Bessel:
Obteniéndose una estructura de capas, que si
bien da explicación a algunos números mágicos, no
los da a todos y tiene desviaciones importantes,
como puede verse en la Fig. 3.1
Merece la pena hacer un pequeño comentario
sobre las funciones de Bessel, estas funciones son
soluciones canónicas de la ecuación diferencia de
Bessel que son del tipo:
x2y”+xy’+(x-n)y = 0
Donde n es puede ser un número real o
complejo, siendo habitualmente un número entero y
que se denomina orden de la función de Bessel
asociada a dicha ecuación. Las funciones más
comunes de Bessel suelen expandirse en series de
Taylor. Fig. 3.1
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Las funciones de primera especie se representan por Jn, las de
segunda especie por Yn, y las funciones de Bessel modificadas por In y Kn.
Estas funciones pueden resolverse gráficamente y hay mucho
software que las incluye de manera predeterminada, como por ejemplo con
el software Mathcad ®, en el que se adjunta los tipos de gráficas realizados
con dicho software de cada tipo de función.
Fig.3.2
10 5 0 5 10800
600
400
200
0
200
400
600
800
I0 x( )
I1 x( )
In m x( )
K0 x( )
K1 x( )
Kn m x( )
x Fig. 3.3
10 5 0 5 107
6
5
4
3
2
1
0
1
J0 x( )
J1 x( )
Jn m x( )
Y0 x( )
Y1 x( )
Yn m x( )
x
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3.3.2 Potencial tipo oscilador armónico tridimensional, el potencial
vendrá definido por:
V(r) = -Vo + ½ 2r
2
Siendo la masa reducida del sistema, y
Así, el Hamiltoniano del sistema será, en coordenadas cartesinanas:
Así, para el cálculo de las energías estacionarias se ha de resolver:
= E
Al ser una ecuación diferencia homogénea, debe tener una
solución para cada dimensión de la forma:
Al normalizar esta función de onda, se obtienen funciones pares o
impares dadas por la expresión:
Siendo , el número cuántico = 0, 1, 2, …, y H los
polinomios de Hermite, estos polinomios ortogonales son probabilísticos,
alternativamente pares o impares, y suelen venir definidos en función de su
orden, pudiendo también resolverse gráficamente con muchos de los
software del mercado, como el ya comentado Mathcad®, sin embargo no
adentraremos en estos polinomios, pues el caso que nos ocupa es para el
estado fundamental = 0, en cuyo caso H0 = 1, obteniéndose por lo tanto la
función de onda (en una dimensión):
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Extendiendo dicha función a las tres dimensiones se resuelve la
ecuación de Schrödinger para obtener las
energías estacionarias:
E = ( h
Donde la frecuencia vibracional es:
= (1/2 ) (k/ )1/2
De esta manera se obtiene la estructura de
capas nucleares que puede verse en la fig. 3.4, la
cual sigue teniendo desviaciones importantes, es
por lo que se busca otro tipo de potencial.
Fig. 3.4
3.3.3 Potencial tipo Woods-Saxon, dicho potencial es un potencial
intermedio, que sigue la distribución de los nucleones definido por:
Vo(r) = -Vo f(r)
Siendo f(r) =
Un tipo de potencial
que se puede representar
gráficamente frente a r,
para obtener la curva de la
Fig. 3.5. Fig. 3.5
Sin embargo, tampoco satisface los niveles de energía obtenidos
experimentalmente, y se desvía de algunos de los valores de los números
mágicos.
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En la Fig. 3.6, puede verse la comparativa para los tres tipos de
potencial visto.
Fig. 3.6
3.3.4 Potencial spin-órbita, en vista del poco éxito obtenido con las
soluciones aplicando los potenciales vistos, Goeppart-Mayer, Jensen, Otto
Haxel y Hans Suess propusieron un potencial spin-órbita además del
potencial central, que tuviera la forma: VSO(r)
De tal forma que:
V(r) = Vo(r) + VSO(r)
La aplicación directa de dicha corrección da una contribución muy
pequeña y de signo contrario al que se necesita para reproducir los números
mágicos nucleares, y proviene de la componente spin-órbita del potencial
nucleón-nucleón.
El momento angular es: j = l + s
Dependiendo de si el spin y el momento angular orbital son paralelos
o anti paralelos: j = l ± ½
Dado que el operador spin-órbita tiene autovalores:
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Entonces la energía que separan los elementos de un mismo nivel es:
½ ; si j = l +1/2
Así: =
-(l+1)/2 ; si j = 1- ½
Se puede observar que la interacción spin-órbita separa en dos todos
los estados con l > 0, esta separación de estados depende de Vo(SO)
que se
ajusta para obtener los valores experimentales, y dado que df(r)/dr < 0,
resulta para un valor dado de l, los estados con j = l – ½ tienen menos
energía que aquellos con j = l + ½.
Debido al principio de exclusión de Pauli, los núcleos de capa
cerrada tienen J = 0 y simetría esférica, para aquellos de capa cerrada + 1
partícula (hueco) el J es el de la partícula o el hueco en exceso.
Por ejemplo, para el caso del isótopo oxígeno 16 (16
O) el valor de
spin total J = 0 (núcleo de doble capa cerrada), pero para el isótopo oxígeno
17 (17
O), J = 5/2, y para el isótopo oxígeno 15 (15
O), J = ½.
Hay que tener en cuenta que al ser protones y neutrones partículas
distinguibles cada una de ellas tendrá su propio pozo de potencial, y por
tanto cada una debe cumplir el principio de exclusión con sus propios tipos
de partículas, esto puede verse más claro en la Fig. 3.7.
Fig. 3.7
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El spin j de la última partícula puede obtenerse a partir de j = l + ½ p
y j = l – ½, por lo tanto para j fijo, ambas posibilidades difieren en l = 1, y
por lo tanto difieren en su paridad. Esto significa que para un núcleo con
una partícula o hueco fuera de la capa cerrada, la paridad de todo el núcleo
depende del l de la última partícula.
El modelo de capas también da información acerca de los niveles
más bajos de los núcleos con una partícula o hueco fuera de la capa
cerrada, acertando en sus predicciones, y en dar explicación a la estabilidad
de los núcleos con un número mágico de nucleones, como se puede
constatar en la Fig. 3.8.
Se puede observar que hay una fuerte tendencia de los nucleones de
un mismo tipo a acoplarse en pares del mismo j, l y m iguales en módulo
pero de signo contrario, cuya interacción es llamada interacción de
apareamiento. Esto hace que la mayoría de los nucleidos par- par tengan un
estado con J = 0
+ como estado fundamental. En muchos casos se encuentra
que los nucleidos vecinos con N o Z impar tienen el spin total y paridad de
la partícula desapareada, aunque hay excepciones a esta regla.
Fig. 3.8
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3.3.5 Momentos magnéticos y momentos cuadrupolares eléctricos,
de acuerdo con el modelo de capas, en los núcleos par – par todos los
momentos magnéticos de los nucleones están acoplados a cero, por lo que
(siendo en este caso el momento magnético), y en los núcleos
impar – impar, éste momento magnético viene dado por el nucleón
desapareado.
El operador momento magnético es:
De la misma definición del momento magnético y de la expresión
matemática para las funciones de onda, se puede obtener el momento
magnético de una partícula de spin ½ en un estado (l, j, m) expresado
usando la notación bra-ket de Dirac, como:
De donde se obtiene:
gl (j – ½) + gs/2 j = l + ½
=
GlJ – ½ (gs – gl) j/(j+1) j = l – ½
Donde los valores de gs y gl para protones y neutrones son:
Protón: gs = 5.586 N; gl = N.
Neutrón: gs = -3.826 N; gl = 0.
Los valores de momento magnético así obtenidos, reciben el nombre
de valores de Schmidt y las curvas que representan vs j son conocidas
como líneas de Schmidt. Puede verse en la Fig. 3.9 que a pesar de que casi
todos los valores de caen entre los límites dados por estas líneas, sólo
unos pocos (los que están cerca de capa cerrada) caen sobre ellas o muy
cerca, esto implica que los estados correspondientes no son estados de
partícula independiente puros.
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Fig. 3.9
Evaluando el momento cuadrupolar eléctrico que resulta de la
existencia de un nucleón desapareado, se obtiene:
Q = donde j = l ± ½, y el radio cuadrático medio
del último nucleón.
Si Q < 0 se trata de un estado de hueco, y si Q > 0 se trata de un
estado de partícula. En la Fig. 3.10, pueden verse los valores
experimentales de los momentos cuadrupolares de los núcleos con un
número impar de protones o neutrones, comparados con las predicciones
del modelo de capas.
Fig. 3.10
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Puede verse que en las regiones 60<Z<80, Z>90, 90<N<120 y
N>140, los valores experimentales son de un orden de magnitud mayores
que los predichos por el modelo de capas, y es aquí donde este modelo
tiene su punto débil.
4 – FORMALISMO DEL MODELO COLECTIVO:
Desde un punto de vista energético, resulta muy costoso crear un
estado excitado de núcleos par – par por medio de un par partícula – hueco.
Es más eficiente realizar movimientos colectivos, que pueden ser de
vibración o rotación.
Si se consideran núcleos cercanos a capa cerrada, estos tienen una
configuración esférica, por lo que su modo rotacional es cero, y por lo tanto
sólo podrán tener modos de excitación vibracionales.
Partiendo de la base del modelo de gota líquida, y expresando su
superficie en términos de armónicos esféricos, se tiene:
El modo con = 0 corresponde a oscilaciones radiales, lo cual no es
posible si se considera la materia nuclear como incompresible. El modo =
1 es la traslación del núcleo como
un todo, por lo tanto tampoco
corresponde a una excitación
intrínseca del núcleo, las siguientes
vibraciones son la cuadrupolar ( =
2), la octupolar ( y la
hexadepolar ( = 4). Estos modos
pueden verse en la Fig. 4.1
Fig. 4.1
Para el caso cuadrupolar:
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Donde las vibraciones del núcleo se pueden describir en términos de
los cinco parámetros (t), suponiendo que dependen del tiempo es
posible obtener un Hamiltoniano del tipo:
Usando fórmulas semiempíricas de masas en la aproximación en que
se supone el núcleo como un fluido incompresible e irrotacional se pueden
obtener las expresiones para los parámetros B y C.
Mientras la expresión para C conduce a resultados que están de
acuerdo con los valores experimentales, la expresión para B no lo hace, por
ello es necesario ir más allá de la aproximación del núcleo como un fluido
incompresible e irrotacional.
La explicación a que varios momentos cuadrupolares sean mayores
que los predichos por el modelo de capas puede ser que estos núcleos
tienen una deformación permanente, y por lo tanto, pueden rotar.
Esta deformación es el resultado de dos tendencias opuestas, por un
lado los nucleones fuera de la capa cerrada tratan de deformar la simetría
esférica, por otro lado, las fuerzas de apareamiento tienden a acoplar dos
nucleones del mismo tipo a spin cero, por lo que tratan de forzar una
simetría esférica. Pero a medida que hay alejamiento de la capa cerrada, la
tendencia a la deformación aumenta, de forma que la simetría esférica se
torna inestable aún en el estado fundamental y el núcleo se deforma.
Ya se visto en el apartado 3.2.2 el desarrollo del rotor rígido, de
manera análoga a éste desarrollo, puede obtener el Hamiltoniano del un
rotor, que vendrá dado por:
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Donde Jk son las componentes J en el sistema rotante y las
componentes diagonales del tensor de inercia en un sistema de ejes
principales.
Para el caso más común en que el núcleo es axialmente simétrico
(deformación cuadrupolar) tenemos que
Por lo que:
Entonces:
Para el estado fundamental de núcleos par – par K = 0, ya que no hay
excitaciones intrínsecas, y por tanto:
Si el núcleo tiene simetría cuadrupolar,
hay una simetría de reflexión en el plano 1-2,
por lo que sólo los J pares estarán permitidos.
Además de rotar, el núcleo deformado
también puede vibrar. Para el caso
cuadrupolar hay dos tipos de vibraciones
colectivas: y , que no se va a desarrollar,
pero que puede verse un posible modo de
vibración en la Fig. 4.2. Cada una tiene su
banda rotacional asociada y da lugar a un tipo
de espectro diferente, que está en
consonancia con las observaciones
experimentales. Fig. 4.2
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5 – CONCLUSIONES:
Cada modelo expuesto, se acerca a los datos experimentales a partir
de unas suposiciones básicas. La complejidad matemática que subyace a
todo cálculo de sistemas complejos, tanto en cantidad de elementos
participantes, como en las interacciones entre ellos, impide el desarrollo de
un análisis matemático puro, y el desarrollo de estos diferentes modelos a
partir de dos puntos de vista diferentes, definir el núcleo como un número
de constituyentes de movimiento independiente, o definirlo como un
número de constituyentes cuyo movimiento está correlacionado con el
movimiento del resto de constituyentes.
Esto impide que se puedan obtener todos los datos experimentales a
partir de un único modelo, por lo que, hoy por hoy, se deberá hacer uso de
uno u otro modelo atendiendo al tipo de núcleo y a las propiedades que se
desean estudiar.
Es por ello, que cómo se comentó en el apartado 2.4, aún se
encuentre en desarrollo la búsqueda de un modelo unificado que aglutine
todos estos puntos de vista y se pueda obtener una explicación a todos los
datos experimentales y unas predicciones más precisas.
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6 – BIBLIOGRAFIA:
- Química Cuántica. 5ª Edición. Ira N. Levine. Prentice Hall. 2001.
- Química Cuántica. 2ª Edición. J. Bertran y otros. Ed. Síntesis. 2002.
- La química cuántica en 100 problemas. L. E. Bailey, M. D. Troitiño.
UNED. 2004.
- Elementary Quantum Chemistry. F. Pilar. Mc. Graw Hill. 1990.
- Introducción a la mecánica cuántica. D. T. Gillespie. Ed. Reverté.
1975.
- Introducción al formalismo de la mecánica cuántica. VV.AA.
UNED. 2007.
- Problemas de mecánica cuántica molecular. VV.AA. Servicios de
publicaciones Universidad de Cádiz. 2001.
- Radiaciones ionizantes I. X. Ortega Aramburu. Ed. UPC. 1994.
- The elements. P. A. Cox. Ed. Oxford University. 1989.
- Química teórica y computacional. VV.AA. Servicio de publicaciones
Universidad Jaume I. 2000.
- Software Mathcad® 2001 PRO.
- Todas las webs desde dónde puede accederse a través de los links
señalados en el texto.
