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Instituto Politécnico Nacional
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del
IPN
Estudio socioepistemológico de la tangente como objeto
escolar
Tesis que para obtener el grado de Doctorado en Matemática Educativa
presenta:
Luis Arturo Serna Martínez
Director y Directora de la tesis:
Dr. Apolo Castañeda Alonso
Dra. Gisela Montiel Espinosa
México, D.F., abril de 2015
Autorización,de,uso,de,obra,,
Instituto,Politécnico,Nacional,P,r,e,s,e,n,t,e,!Bajo!protesta!de!decir!verdad!el!que!suscribe!Luis%Arturo%Serna%Martínez!(se!anexa!copia!simple!de!identificación!oficial),!manifiesto!ser!autor!y!titular!de!los!derechos!morales! y! patrimoniales! de! la! obra! titulada! Estudio% socioepistemológico% de% la%tangente%como%objeto%escolar,!en!adelante!“La!Tesis”!y!de!la!cual!se!adjunta!copia,!por!lo!que!por!medio!del!presente!y!con!fundamento!en!el!artículo!27!fracción!II,!inciso!b)!de! la!Ley!Federal!del!Derecho!de!Autor,!otorgo!a!el! Instituto!Politécnico!Nacional,! en! adelante! El! IPN,! autorización! no! exclusiva! para! comunicar! y! exhibir!públicamente!total!o!parcialmente!en!medios!digitales!televisión,!prensa,!internet!“La!Tesis”!por!un!periodo!de!10%años! contado!a!partir!de! la! fecha!de! la!presente!autorización,!dicho!periodo!se!renovará!automáticamente!en!caso!de!no!dar!aviso!a!“El!IPN”!de!su!terminación.!!En!virtud!de!lo!anterior,!“El!IPN”!deberá!reconocer!en!todo!momento!mi!calidad!de!autor!de!“La!Tesis”.!!Adicionalmente,! y! en! mi! calidad! de! autor! y! titular! de! los! derechos! morales! y!patrimoniales!de!“La!Tesis”,!manifiesto!que!la!misma!es!original!y!que!la!presente!autorización! no! contraviene! ninguna! otorgada! por! el! suscrito! respecto! de! “La!Tesis”,! por! lo! que! deslindo! de! toda! responsabilidad! a! El! IPN! en! caso! de! que! el!contenido! de! “La! Tesis”! o! la! autorización! concedida! afecte! o! viole! derechos!autorales,! industriales,! secretos! industriales,! convenios! o! contratos! de!confidencialidad! o! en! general! cualquier! derecho! de! propiedad! intelectual! de!terceros!y!asumo!las!consecuencias!legales!y!económicas!de!cualquier!demanda!o!reclamación!que!puedan!derivarse!del!caso.!!
México,!D.F.,!!!1!!de!!abril!!de!2015.!!
Atentamente!!!
Luis!Arturo!Serna!Martínez!____________________________!
Índice Página
Resumen I
Abstract III
Glosario V
Introducción IX
Capítulo 1
Antecedentes 1
1.1 Problemática del estudio del Cálculo Diferencial 1
1.1.1 Enseñanza basada en algoritmos 2
1.1.1.1 Como un procedimiento más formal 3
1.1.1.2 El algoritmo como lo más sencillo de usar 4
1.1.2 El uso de las reglas algebraicas 5
1.1.3 Derivada 6
1.1.3.1 Dificultad en problemas de aplicación 7
1.1.3.2 Minimizar el significado geométrico de la derivada. 8
1.1.4 Libros de texto 9
1.1.5 Los Profesores 10
1.1.5.1 El Profesor sus concepciones y creencias 10
1.1.5.2 El modelo de enseñanza 12
1.2 Estado Actual de la Recta Tangente en La Escuela 14
1.2.1 Programa de Estudio de Pensamiento del Cálculo Diferencial 14
1.2.1.1 El nuevo Plan de Estudios 22
1.2.2 Tratamiento de la recta tangente en un libro de texto 27
1.2.3 Entrevista a Profesores 29
Capítulo II
Estado del Arte 36
2.1 Introducción 36
2.2 Elementos de tipo histórico usados en el aula de matemáticas 38
2.3 La historia y los usos del conocimiento en la Socioepistemología 41
2.4 Propósito del Estado del Arte 42
2.5 Constructos asociados a la recta tangente desde un punto de vista variacional 42
2.6 Estudios Histórico-Epistemológicos 45
2.6.1 Diferencias 45
2.6.2 Magnitudes 48
2.6.3 Máximos y mínimos 56
2.6.4 Recta Tangente 64
2.7 Diseños didácticos basados en productos de investigación 83
2.8 Resumen de características relevantes de las fuentes epistemológicas 91
Capítulo III
Problema de Investigación 98
3.1 Introducción 98
3.2 El Modelo de Conocimiento 100
3.4 La institucionalización escolar 105
3.5 Una construcción a partir de la actividad humana 111
3.6 Problema de investigación 114
3.7 Propósito de la investigación 117
Capítulo IV
Marco Teórico 119
4.1 Introducción 119
4.2 El uso de la historia 121
4.3 La herramienta matemática como una construcción social 123
4.4 Modelo: Usos-Herramienta-Actividad, Práctica de referencia- 125
Resignificación-Funcionalidad y Práctica Social
4.4.1 Una mirada al escenario histórico 130
4.4.2 Una mirada al aula 134
4.5 Usos de conocimiento 138
4.5.1 Desarrollo de usos de conocimiento 141
4.6 La Funcionalidad 142
4.7 A manera de Conclusión 144
Capítulo V
El Método 147
5.1 Introducción 147
5.2 La Historia 148
5.2.1 Las herramientas 151
5.3 El modelo a utilizar para la construcción de conocimiento 152
5.4 Usos de conocimiento 154
5.5 Creación de las secuencias 155
5.5.1 Categorías de las preguntas realizadas en las secuencias 156
5.5.2 Secuencia didáctica 1. Curva-segmento 167
5.5.3 Secuencia didáctica 2. Inclinación de la recta tangente 170
5.5.4 Secuencia didáctica 3. Recta tangente variable 174
5.5.5 Secuencia didáctica 4. Recta tangente-Función 179
5.5.6 Secuencia didáctica 5. Recta tangente-Gráfica-Derivada 184
5.6 El ambiente de trabajo 186
5.7 A manera de cierre 188
Capítulo VI
Análisis de los datos 190
6.0 Introducción 190
6.1 Secuencia didáctica 1 191
6.1.1 Uso-Herramienta-Actividad 191
6.1.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad 192
6.1.1.2 Elementos del modelo puesto en juego 198
6.1.1.3 Análisis de los datos 199
6.1.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad 201
6.1.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
202
6.1.2.2 Elementos del modelo puesto en juego 203
6.1.2.3 Análisis de los datos 204
6.2 Secuencia didáctica 2 205
6.2.1 Uso-Herramienta-Actividad 205
6.2.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad 206
6.2.1.2 Elementos del modelo puesto en juego 212
6.2.1.3 Análisis de los datos 213
6.2.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad 214
6.2.2.1 Evidencia empírica, Práctica-Resignificación-Funcionalidad 216
6.2.2.2 Elementos del modelo puesto en juego 223
6.2.2.3 Análisis de los datos 224
6.3 Secuencia didáctica 3 225
6.3.1 Uso-Herramienta-Actividad 225
6.3.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad 226
6.3.1.2 Elementos del modelo puesto en juego 233
6.3.1.3 Análisis de los datos 234
6.3.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad 235
6.3.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
236
6.3.2.2 Elementos del modelo puesto en juego 248
6.3.2.3 Análisis de los datos 249
6.4 Secuencia didáctica 4 250
6.4.1 Uso-Herramienta-Actividad 250
6.4.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad 251
6.4.1.2 Elementos del modelo puesto en juego 257
6.4.1.3 Análisis de los datos 258
6.4.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad 258
6.4.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
258
6.4.2.2 Elementos del modelo puesto en juego 262
6.4.2.3 Análisis de los datos 263
6.5 Secuencia didáctica 5 264
6.5.1 Uso-Herramienta-Actividad 264
6.5.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad 265
6.5.1.2 Elementos del modelo puesto en juego 273
6.5.1.3 Análisis de los datos 274
6.5.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad 275
6.5.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
275
6.5.2.2 Elementos del modelo puesto en juego 283
6.5.2.3 Análisis de los datos 284
6.6 La Práctica Social 286
6.6.1 La predicción 386
6.7 A manera de cierre 291
Capítulo VII
Conclusiones finales 293
7.1 Con respecto a las preguntas de investigación 293
7.2 Con respecto al método utilizado. El diseño de las secuencias 304
7.3 La puesta en escena 307
Bibliografía 311
Anexo 317
Secuencia didáctica 1 318
Secuencia didáctica 2 324
Secuencia didáctica 3 336
Secuencia didáctica 4 344
Secuencia didáctica 5 350
Índice de figuras y tablas Página
Figura i.1 XIII
Figura 1.1 28
Figura 1.2 29
Figura 1.3 30
Figura 2.1 50
Figura 2.2 52
Figura 2.3 54
Figura 2.4 55
Figura 2.5 57
Figura 2.6 58
Figura 2.7 59
Figura 2.8 61
Figura 2.9 65
Figura 2.10 68
Figura 2.11 69
Figura 2.12 70
Figura 2.13 72
Figura 2.14 78
Figura 2.15 78
Figura 2.16 83
Figura 2.17 85
Figura 2.18 86
Figura 2.19 89
Figura 2.20 89
Tabla 2.21 93
Tabla 2.22 94
Tabla 2.23 95
Tabla 2.24 96
Tabla 2.25 97
Figura 4.1 128
Figura 4.2 128
Figura 4.3 130
Figura 4.4 139
Figura 4.5 145
Figura 5.1 152
Figura 5.2 157
Figura 5.3 158
Figura 5.4 163
Figura 5.5 167
Figura 5.6 167
Tabla 5.7 170
Figura 5.8 171
Tabla 5.9 172
Figura 5.10 175
Figura 5.11 176
Tabla 5.12 178
Tabla 5.13 179
Figura 5.14 180
Tabla 5.15 182
Tabla 5.16 183
Tabla 5.17 186
Figura 6.1 194
Figura 6.2 195
Figura 6.3 196
Figura 6.4 196
Figura 6.5 197
Figura 6.6 198
Figura 6.7 198
Figura 6.8 203
Figura 6.9 205
Figura 6.10 207
Figura 6.11 208
Figura 6.12 211
Figura 6.13 216
Figura 6.14 218
Figura 6.15 218
Figura 6.16 220
Figura 6.17 220
Figura 6.18 228
Figura 6.19 229
Figura 6.20 229
Figura 6.21 230
Figura 6.22 232
Figura 6.23 237
Figura 6.24 237
Figura 6.25 238
Figura 6.26 240
Figura 6.27 240
Figura 6.28 242
Figura 6.29 243
Figura 6.30 243
Figura 6.31 245
Figura 6.32 247
Figura 6.33 250
Figura 6.34 252
Figura 6.35 253
Figura 6.36 253
Figura 6.37 254
Figura 6.38 255
Figura 6.39 256
Figura 6.40 256
Figura 6.41 259
Figura 6.42 259
Figura 6.43 260
Figura 6.44 260
Figura 6.45 261
Figura 6.46 262
Figura 6.47 262
Figura 6.48 265
Figura 6.49 266
Figura 6.50 268
Figura 6.51 269
Figura 6.52 270
Figura 6.53 271
Figura 6.54 273
Figura 6.55 276
Figura 6.56 279
Figura 6.57 280
Figura 6.58 281
Figura 6.59 281
Figura 6.60 283
Figura 6.61 287
Figura 6.62 287
Figura 6.63 288
Figura 6.64 289
Figura 6.65 289
Figura 7.1 298
Figura 7.2 299
Figura 7.3 303
I
Resumen El presente trabajo de investigación muestra evidencias de diferentes problemáticas existentes en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo Diferencial, estas son producto de una forma de concebir las matemáticas lo cual se ve reflejado en los modelos de enseñanza que asumen los profesores, así como también en los estudiantes, libros de texto y programas de estudio; como si todo estuviera concordante para perpetuar un circulo vicioso que ha dado muestras de ser ineficiente.
Una de las dificultades presentes en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo Diferencial se encuentra al abordar el tema de recta tangente a una curva, la forma en cómo es tratado ha sido reportado como una fuente de dificultad entre los estudiantes. Nuestra propuesta es diferente al enfoque tradicional el cual toma al objeto matemático como el principal objeto de estudio, en nuestro caso usamos la teoría Socioepistemológica quien sostiene necesario considerar a la actividad humana como la fuente de donde se pueden retomar elementos para el quehacer en el aula, esto debido a que es el ser humano quien construye el conocimiento matemático, por lo tanto tiene sentido no sólo considerar solamente a la estructura final hecha por éste (Cordero y Silva-Crocci, 2012).
Por lo que se hizo necesario considerar aquellos elementos presentes en los orígenes del Cálculo, en donde las matemáticas nacen para responder a problemáticas presentes en una comunidad inserta en un escenario sociocultural el cual caracteriza al conocimiento. Se retomaron productos de investigación en donde se identificaron los orígenes del Cálculo como una herramienta para resolver problemas de cambio y variación propios de la época, todo con el fin de generar un diseño didáctico cuya intención es que los estudiantes puedan construir la recta tangente desde un punto de vista variacional, por lo que va a servir como herramienta para determinar el cambio y variación de una función, lo cual implica describir el comportamiento de la misma. Para lograr esto se identificó cuál fue la práctica de referencia en donde tuvo su origen y desarrollo, una propuesta de este tipo también conlleva a un rediseño del discurso Matemático Escolar.
En nuestro marco teórico propusimos un modelo de construcción social del conocimiento que tomó en cuenta las actividades que se llevan en un escenario histórico y culturalmente situado, de tal forma que los usos de herramientas matemáticas para llevar acabo tales actividades se encontraban contextualizadas dentro de una práctica de referencia, en nuestro caso la práctica de la tangente variacional, a partir de la interacción herramienta-actividad surgen nuevos significados, es decir hay una resignificación del conocimiento, lo cual quiere decir que éste se enriquece progresivamente, considerando las ideas iniciales pero robusteciéndolas con el fin de tener una matemática funcional que responda y tenga sentido en el contexto en donde es utilizada y que permita analizar la realidad e intervenir sobre ella para transformarla, la generación de nuevos significados retroalimenta a la práctica misma la cual es normada por una práctica social , que en el caso que nos ocupa es la predicción.
Para el diseño se retomaron aportes de las investigaciones de nuestro estado del arte, así como los resultados hallados en Serna (2007) y nuestro modelo de construcción social del conocimiento, el diseño consistió en cinco secuencias didácticas las cuales tuvieron un orden. El orden de las secuencias refleja la historicidad de la práctica de la tangente variacional, ésta nos permite reconocer que una práctica tiene un origen y desarrollo, por lo
II
que fuimos a indagar los orígenes de la práctica, donde se encontraban sus primeras nociones y a partir de ahí otros momentos en la historia en donde de acuerdo a nuestros análisis había una resignificación del conocimiento, volviéndose éste cada vez más funcional.
Con base en la historicidad de la práctica de la tangente variacional se identificaron momentos históricos en donde en cada uno de ellos se iban construyendo diferentes elementos característicos de la práctica de la tangente variacional, por lo que el orden de las secuencias no obedeció a el establecido por el de un programa de Cálculo Diferencial tradicional sino más bien en base a la historicidad de la práctica.
En las secuencias se presentaron actividades similares a las de los usos de conocimientos de antaño, pero adecuándolas a un contexto matemático familiar a los estudiantes, en el desarrollo de las secuencias se implementaron preguntas que tenían la intención de que con sus respuestas los estudiantes argumentaran con elementos de cambio y variación y con base en ello se fueran construyendo cada una de las nociones matemáticas características de la práctica de la tangente variacional.
La puesta en escena de las secuencias con los estudiantes dio evidencias para contrastar lo dicho por la teoría Socioepistemológica con base en el análisis de los datos obtenidos. De acuerdo a los resultados obtenidos decimos que los estudiantes construyeron la recta tangente desde un punto de vista variacional, no al considerar a ésta como el principal objeto de estudio, sino más bien a la práctica que le dio origen y desarrollo. Nuestro trabajo de investigación también dio cuenta de un método que nos permitió observar la construcción de conocimiento en base a la articulación de diferentes constructos de la Socioepistemología, creemos que este método puede ser usado en otros trabajos de investigación, donde haya que hacer un análisis de los usos de conocimiento, también para el diseño de secuencias didácticas, así como para el análisis de las mismas. En él podemos ver como al usar una noción matemática como herramienta, da evidencia de la apropiación de un conocimiento, en donde se puede ver manifestada una matemática funcional, una que permita ver y analizar la realidad, lo cual promueve el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes y coadyuva a la formación de seres pensantes que podrán contribuir al desarrollo de la sociedad al insertarse activamente en la misma.
III
Abstract The present research shows evidence of different problems that exist in the teaching and learning of Differential Calculus, these are the product of a way of conceiving mathematics which is reflected in the teaching models that assume teachers, as well as students, textbooks and curricula, as if all were concordant for perpetuating a vicious cycle that has shown to be inefficient.
One of the difficulties in teaching and learning of differential calculus is to address the issue of line tangent to a curve, the way how it is treated has been reported as a source of difficulty for students. Our proposal is different to the traditional focus which takes the mathematical object as the main object of study, in our case we use the theory socioepistemological who maintains necessary to consider human activity as the source where you can pick up items for the work in the classroom, because it is the human being who builds mathematical knowledge, therefore makes sense not only consider the final structure only made by this (Cordero & Silva-Crocci, 2012).
So it became necessary to consider those elements in the origins of calculus, where mathematics born to address this problem in a community inserted in a scenario which characterizes socio-cultural knowledge. It resumed research products which identified the origins of calculus as a tool to solve problems of change and variation typical of the time, all in order to generate a didactic design is intended that students can construct the tangent from variational point of view, so it will serve as a tool to determine the change and variation of a function, which implies describe the behavior of the same. To achieve this we identified what was the reference practice where originated and development, a proposal of this type also leads to a redesign of school mathematical discourse.
In our theoretical framework we proposed a model of social construction of knowledge that took into account the activities that are carried in a historic setting and culturally situated, so that the use of mathematical tools to carry out such activities were contextualized within a reference practice in our case the practice of variational tangent, from tool-activity interaction arise new meanings, is to say there is a redefinition of knowledge, which means that it is enriched progressively consider but by enriching the initial ideas to have a mathematical function that responds and makes sense in the context in which it is used and to analyze the reality and act on it to transform it, creating new meanings feedback to the practice itself which is ruled by a social practice that the present case is the prediction.
For the design of the research took contributions from our state of the art and the results found in Serna (2007) and our model of social construction of knowledge, the design consisted of five didactic sequences which had a order. The order of the sequences reflects the historicity of the tangent variational practice, this allows us to recognize that a practice has an origin and development, so we went to investigate the origins of the practice, where their first notions and from there other times in history where according to our analysis was a redefinition of knowledge, turning it increasingly functional.
Based on the historicity of the practice of the variational tangent, identified historical moments where in each of them were building different elements characteristic of the practice of the variational tangent, so that the order of sequences didn´t obey the established
IV
by a traditional Differential Calculus program but rather based on the historicity of the practice.
In the sequences were submitted similar activities of the uses of knowledge of the past, but adapting them to a mathematical context familiar to students, in the development of the sequences were implemented intended questions whose answers in the students was that argued with elements of change and variation, based on this it was constructing were each mathematical notions of the practice characteristics of variational tangent.
The staging of the sequences with the students gave evidence to contrast what was said by Socioepistemology theory based analysis of the data obtained. In concordance with the results say that the students built the tangent from a variational point of view, not to consider it as the main object of study, but rather a practice that originated and development.
Our research also reported on a method that allowed us to observe the construction of knowledge based on the articulation of different constructs of the Socioepistemology, we believe that this method can be used in other research, which has to do an analysis of knowledge uses, also for the design of didactic sequences and for analysis thereof. In it we can see how to use a mathematical notion as a tool, gives evidence of ownership of knowledge, where you can see manifested a functional mathematics, one that can view and analyze reality, which promotes the development of mathematical thinking in students and contributes to the formation of thinking people who can contribute to the development of society to become actively involved in it.
V
Glosario Actividades: Conjunto de acciones supeditadas a una necesidad de orden mayor, en nuestro
caso sería la práctica, la cual es llevada a cabo por personas insertas en una comunidad
para resolver problemas propios de su contexto sociocultural.
Discurso Matemático Escolar: Es el conjunto de normas y restricciones que se
manifiestan en las diferentes formas de representar las matemáticas y su enseñanza-
aprendizaje en el sistema escolar. Se manifiesta a través de lo que manifiesta el profesor en
el aula, lo que es prioritario para él y que comunica a los estudiantes a partir de sus
explicaciones, diseños didácticos. Se presenta en los libros de texto, programas de estudio,
guías, formularios, exámenes u otros materiales didácticos.
Enseñanza Tradicional: En ella se concibe a las matemáticas como algo ya dado de
antemano e inmutable, bajo este esquema de pensamiento el profesor da una definición para
posteriormente resolver un ejemplo y que después los alumnos hagan ejercicios similares,
es decir se pretenden transmitir habilidades por la repetición de ejercicios; las matemáticas
son presentadas como una colección de hechos y procedimientos los cuales son
transmitidos del Profesor a los alumnos.
Herramienta matemática: Es un artefacto intelectual creado y consensado por un
colectivo el cual permite amplificar sus capacidades para llevar a cabo sus tareas cotidianas
así como resolver los problemas de su entorno.
Historicidad: Es una red de relaciones en donde surgen significados, estas tienen que ver
con el contexto en donde nacen las nociones, en nuestro caso nociones matemáticas en
donde se considera a los significados como algo dinámico, cambiante, no sólo como un
producto de lo anteriormente acumulado en el pasado sino también como algo producente y
con potencial de producir nuevas nociones matemáticas.
Matemática Funcional: Se refiere a aquellas matemáticas utilizadas que adquieren uso y
significación en un contexto específico, lo funcional considera una lógica humana, (la cual
no necesariamente es igual a una lógica formal) es decir aquello que ha servido y/o sirve
para el progreso del ser humano, en su intento por resolver sus problemas y se ve
manifestado en su conocimiento puesto en uso. Una matemática funcional le permite al ser
humano hacer un análisis de su realidad para que en caso de ser necesario, transformarla.
VI
Práctica de referencia: Se manifiesta como un conjunto de actividades organizadas en un
contexto situacional con la intención de resolver un problema, cada una de las acciones que
son llevadas a cabo son normadas por la una necesidad de orden mayor que es la práctica
social.
Práctica Social: Se encuentra en la base de construcción del conocimiento matemático ya
que es la regula cada una de las actividades de los individuos que forman parte de una
comunidad o un colectivo se va a presentar por generaciones ya que es permanente más no
estática, puesto que tiene un carácter dinámico, esto debido a que la construcción de los
saberes que va normando se van resignificando, volviéndose cada más funcionales.
Resignificación: Ésta se lleva a cabo en un colectivo en donde a partir de las interacciones
entre sus miembros y haciendo uso de herramientas matemáticas para ejecutar actividades
surgen significados, estos retoman como base a los ya existentes pero robusteciéndoles, por
lo que podemos decir que se da la resignificación cuando hay una apropiación progresiva
del saber.
Secuencia didáctica:
Es un diseño que se lleva a cabo a partir de un análisis de los usos del conocimiento. Para tal efecto se llevan actividades en el sentido de Montiel (2005, 2011)1. La herramienta matemática2
Para dos arcos que parten de un punto común, también se pueden establecer las subtensas envueltas por dichos arcos de acuerdo a la siguiente figura:
es aquella que se encarga de llevar a cabo las actividades, para lo cual se hace necesario, considerar el contexto situacional. Por ejemplo ante la situación de querer predecir las posiciones de los cuerpos celestes, Copérnico en su libro Sobre las revoluciones de las orbes celestes, se plantea la siguiente situación:
De tal forma que la razón entre los dos arcos es mayor que la razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas. Para lo cual se hace uso de la herramienta matemática:
1 Es aquella normada por una necesidad de orden mayor cuyo origen, práctico o teórico, depende del contexto o circunstancia que lo envuelve. Reflejan necesidades sociales, de origen pragmático o reflexivo, según sea el caso, de un momento y lugar determinados. 2 Un objeto matemático como la recta tangente puede ser considerado como herramienta, cuando es usado por un colectivo y permite amplificar sus capacidades cotidianas, así como para resolver problemas.
A
C B
VII
𝐴𝐵�𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
Considerar lo que está pasando cuando los puntos B y C se acercan cada vez más y más al punto A no necesariamente es algo exclusivamente matemático, más bien obedece a un contexto sociocultural propio de la época en donde lo que se deseaba era poder predecir las posiciones de los cuerpos celestes. De manera intencional se les pide a los estudiantes que lleven a cabo las actividades de calcular, comparar e inferir, por medio del uso de la herramienta matemática planteada. A partir de esta interacción herramienta-actividad situada dentro de un contexto, se pretende que los estudiantes puedan concluir que la curva se comporta como una recta siempre y cuando los puntos B y C se encuentren lo suficientemente cerca del punto A. El profesor-investigador organiza de manera intencional las tareas a llevar a cabo, tomando en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes. De tal forma que en el ejercicio de la práctica de la tangente variacional se pretende que se enlacen las ideas previas de los estudiantes con los nuevos significados que se desea construir. En la organización del grupo humano (las tareas llevadas a cabo por los estudiantes) se construyen nuevos significados, esto es a lo que vamos a llamar resignificación y los significados así construidos son funcionales ya que tienen sentido en el contexto que se están utilizando y permiten hacer un análisis de la realidad. El contexto situacional ahora es más amplio con los significados construidos previamente y
ahora se puede diseñar una nueva secuencia en donde se considera lo construido de
antemano y se puede volver a repetir el proceso, la organización de las nuevas secuencias a
construir no tiene que ver necesariamente con la secuenciación de los temas en el programa
de Cálculo Diferencial el orden de los temas tiene que ver más bien con la actividad
humana, en donde la historicidad de la práctica de la tangente variacional se hace presente
y es lo que es tomado en cuenta en el diseño de las nuevas secuencias.
Segmento infinitesimal: Es la representación gráfica de dos puntos que se encuentran
infinitamente cercanos entre sí, aunque estrictamente hablando no se les debería
representar, pero esto permite construir argumentos para dar explicaciones sobre el cambio
y variación de una función entre dos variables.
Tangente variacional: Es aquella recta que toca (o corta) a la curva en un punto de la
misma, pudiendo volver a tocarla (o cortarla) en otro punto (pero no cercano en la zona de
contacto) la recta tangente tiene la misma dirección que la curva en la zona de contacto y su
pendiente es igual a la de la razón de cambio instantánea, esto se deduce con base a la
consideración de que un punto es un segmento infinitesimal, por lo que éste y la recta son
uno mismo en la zona de contacto, lo que justifica que tengan la misma pendiente. Al hacer
la consideración de que la curva está formada por una cantidad infinita de puntos, en cada
VIII
punto de la curva la recta tangente a un punto de la misma tendrá una diferente posición, de
ahí su carácter variacional.
Uso: Es la forma en que es empleada la herramienta matemática que sirve para ejecutar
actividades propias de un contexto específico.
IX
Introducción La educación es un medio para la formación de los individuos, por medio de ella se
transmiten conocimientos, valores, costumbres y normas de conducta. Permite que las
personas aprendan a socializar y vivir de forma adecuada, se puede impartir a través de los
sistemas educativos y posibilita la formación de personas que al insertarse en la sociedad
sean partícipes en su desarrollo; lo cual se puede lograr generando las estrategias
adecuadas, y con base en los recursos tanto humanos como materiales se puedan tener cada
vez mejores sistemas educativos que permitan a los individuos reconocer su realidad y
transformarla en su beneficio. La enseñanza-aprendizaje de las ciencias puede ser una vía
para conseguirlo; éstas pueden ser promotoras que generen instrumentos de crecimiento y
avance, por lo que el interés de la educación con respectos a las ciencias debería ser un
tema importante a tratar. Las matemáticas como parte de las ciencias ocupan un lugar
fundamental en los sistemas educativos ya que éstas son una herramienta que se usa en
diferentes campos de la ciencia contribuyendo a su desarrollo.
Las matemáticas y consecuentemente el cómo se percibe la educación de las mismas es de
vital importancia para su enseñanza-aprendizaje para la formación de cuadros que al
incluirse en la sociedad sean capaces de responder a las necesidades de las mismas
(Cordero, 2007). Por lo que es necesario reflexionar en cómo se concibe el modelo de
enseñanza-aprendizaje en general, así como el de las matemáticas en particular. Si se
concibe a los conocimientos como algo ya dado de antemano, preexistente en donde el
objeto de estudio es importante por sí mismo, entonces probablemente el fruto de este
enfoque promoverá docentes que tengan la intención explícita de ser buenos transmisores
del conocimiento, el cual si es bien enseñado se debe “absorber” por los estudiantes. Esta
forma de entender a la enseñanza inhibe la capacidad crítica de los estudiantes ya que al ser
el conocimiento importante por sí mismo entonces carece de importancia pensar en darle
sentido a lo que se sabe (Saavedra, 2005).
Aunque aparentemente parece claro que el desarrollo de una nación depende en gran
medida de la educación en general así como de las matemáticas en particular, parecería que
esto en realidad no es tomado en cuenta, prueba de ellos son los diversos estudios que se
han llevado a cabo por investigadores en matemática educativa. En nuestro trabajo de
investigación mostramos evidencia, con base a resultados de productos de investigación, de
X
problemáticas existentes en los sistemas escolares específicamente en cálculo diferencial,
tal es el caso de la recta tangente, el cual es un tema al que no se le da la debida
importancia.
En el primer capítulo de nuestro trabajo de investigación se abordan diversas problemáticas
sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas pero enfocada en el Cálculo Diferencial,
en él se muestran diversos factores que contribuyen a una forma de enseñanza-aprendizaje
que promueve que los estudiantes se mantengan acríticos, sin que puedan percibir de qué
forma las matemáticas podrían llegar a ser herramientas con las que puedan percibir la
realidad y transformarla; por el contrario los diversos factores existentes en el sistema
didáctico como son los programas, los docentes, los mismos alumno y los libros de texto
contribuyen a permanecer en un mismo círculo vicioso del cual pareciera ser que la
sociedad no se da cuenta ya que inclusive lo legitima. Las problemáticas existentes en
Cálculo Diferencial se van a manifestar en la forma en cómo es abordado el tema de recta
tangente, el cuál es visto como de paso cuándo se estudia la interpretación geométrica de la
derivada.
Nuestra propuesta parte del hecho de no considerar solamente el conocimiento sino con el
uso del mismo. Esto se hace ya que a lo largo de la historia el conocimiento puesto en uso
para resolver problemas existentes en las sociedades nos dan cuenta de una matemática
funcional, que permite resolver problemas de la realidad y dar explicaciones de la misma.
Emplear las matemáticas como herramientas puestas en uso para resolver problemáticas
existentes en una comunidad, en donde la matemática tiene un sentido en el contexto donde
se está utilizando, nos ha llevado a buscar en sus orígenes en donde surgió, no como un
objeto perteneciente a un sistema conceptual, sino como producto de la actividad humana.
Por lo tanto tiene sentido pensar en indagar en aquellos elementos que se encontraron y
estuvieron presentes en el desarrollo del Cálculo.
Las raíces históricas del Cálculo Diferencial dan evidencia de que los problemas de cambio
y variación son aquellos que generaron las ideas clave del Cálculo (Dolores, 2007). Por lo
que en el segundo capítulo llevamos a cabo una revisión de productos de investigación en
donde se ha analizado cómo surgieron las ideas del cálculo, específicamente aquellos en
donde se encuentra presente el uso de los infinitesimales. Estos son constructos que
permitieron hacer un análisis del cambio y variación, a través de ellos se hizo posible la
XI
consolidación de métodos generales de resolución de problemas existentes en la época,
entre ellos el problema de las tangentes. La intención de hacer una revisión de este tipo es
rescatar elementos teóricos que puedan ser usados posteriormente con una intención
didáctica, al final del mismo se hace una recopilación de usos de conocimiento en donde se
muestran elementos de tipo variacional que podrían ser utilizados en el aula.
En el tercer capítulo mostramos que en la enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial se
aborda un tema que al igual que muchos se presenta como una problemática más. Este tema
es el de la recta tangente a un punto de una curva, el cual es visto como la interpretación
geométrica de la derivada. La forma tradicional de plantear el tema es mediante una familia
de rectas secantes con un punto común y que devienen en la recta tangente. Esta forma de
tratar el tema ha sido demostrado por diversas investigaciones es fuente de dificultades
entre los estudiantes (Artigue, 1998; Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y
Zachariades, 2010; Cantoral, 2001; Dolores, 2007, Cordero, 2005; Kajander y Lovric,
2009; Kendal y Stacey, 2003; Pinto y Moreira, 2008; Serna, 2007). En la tesis se da
evidencia que este es un fenómeno didáctico más dentro de las problemáticas del cálculo,
producto de una forma de ver y tratar las matemáticas no sólo por los docentes, sino
también por alumnos, libros de texto y programas de estudio.
Pareciera ser que el tema de la recta tangente es visto sólo porque así lo establece el
programa pero sin tener importancia ya que posteriormente prácticamente no se le vuelve a
abordar. Sin embargo al tratar el tema de la recta tangente con otro enfoque, aquel en donde
consideramos no al objeto de estudio por sí mismo sino considerando a la práctica
producto de la actividad humana, en donde surgió, se hace necesario retomar los elementos
que se encontraron y estuvieron presentes en sus orígenes. Esta forma de ver el
conocimiento nos va a dar cuenta que la recta tangente puede ser tratada también como una
herramienta que permite construir otros conceptos del Cálculo como: la derivada, los
máximos y mínimos y el punto de inflexión; en nuestro caso particular nos enfocamos en la
construcción de la derivada gráficamente desde un punto de vista introductorio.
Nuestro propósito es que los estudiantes puedan construir la recta tangente desde un punto
de vista variacional, considerando para ello los usos del conocimiento que se encontraron
presentes en los orígenes del Cálculo, en donde las matemáticas son una herramienta que
permiten resolver problemas. Desde este enfoque la recta tangente se convertirá en una
XII
herramienta matemática que permite analizar el cambio y variación. Elaboramos una
pregunta de investigación principal, así como preguntas secundarias que auxilian a
contestar la pregunta principal. Las respuestas a nuestras preguntas han guiado nuestro
trabajo de investigación para poder reconocer aquellos elementos productos de un contexto
sociocultural y que fueron base para la construcción social del conocimiento matemático.
Nuestra pregunta de investigación principal es: ¿Cuáles fueron los usos de herramientas
matemáticas para llevar a cabo actividades pertenecientes a una práctica de referencia,
normada por una práctica social, los cuales permitieron la construcción de la recta tangente
desde un punto de variacional y como puede ser empleado ese conocimiento en una
didáctica actual?, las preguntas secundarias son: ¿Cuáles fueron los usos del conocimiento
y cómo favorecieron a la construcción de la recta tangente variacional?, ¿cuál fue la
práctica social que le dio origen y cómo normó esta su construcción?, ¿se puede construir la
tangente variacional a partir de identificar su origen y diferentes etapas de desarrollo como
producto de la construcción social del conocimiento y cómo se puede emplear esto para
llevar a cabo una intervención en el aula? desde este punto de vista de construcción social
del conocimiento, ¿cuáles son los elementos asociados a su construcción y cómo se pueden
emplear estos para una intervención didáctica?.
En el cuarto capítulo de nuestro trabajo de investigación mostramos los elementos teóricos
a través de un modelo de construcción social del conocimiento matemático el cual es el
siguiente:
XIII
Modelo de Construcción Social del Conocimiento Matemático
Fig. i.1
Fig. i.1
Para el diseño de este modelo se tomó como base el propuesto por Montiel (2005, 2011).
En él se muestra el constructo teórico de práctica.
La práctica es un conjunto de actividades organizadas intencionalmente con la intención
explícita de resolver un problema. Para tal efecto se hace uso de las experiencias pasadas
por medio de las cuales y en base a la acción se construyen nuevos significados. Con los
análisis llevados a cabo en nuestro estado del arte visto en el capítulo II, así como los
resultados de (Serna, 2007); evidenciamos que mediante los usos de conocimiento se
construyen significados, esto a partir de actividades llevadas a cabo por medio de
herramientas matemáticas. Esta interacción herramienta-actividad es llevada a cabo en un
contexto, el cual se encuentra presente en la práctica de referencia, en nuestro caso la
práctica de la tangente variacional.
Los significados se construyen sobre la base de significados anteriores que se ven
enriquecidos provocándose así una resignificación, la cual le da sentido a la puesta en uso
del conocimiento ya que permite analizar la realidad, e intervenir sobre ella, es decir se
manifiesta una matemática funcional la cual retroalimenta a la práctica de referencia con
Práctica Social
Práctica de referencia
Usos
Herramienta Actividad
Resignificación
Significado
Funcionalidad
XIV
los nuevos significados construidos. La práctica de referencia es normada por la práctica
social, ella es la base de los significados construidos y nos ayuda a contestar preguntas
concernientes a cómo se fue normando el conocimiento, por ejemplo: ¿qué los hace
resolver el problema de la tangentes como lo hacen? o ¿por qué resuelven como lo hacen?,
es decir ¿qué es lo que les hace hacer lo que hacen?. La práctica social que normó a la
práctica de la tangente variacional fue la predicción. Se hace evidente por lo tanto un
cambio de epistemología la cual ya no se centra principalmente en el objeto matemático
sino en las prácticas que le dieron origen lo cual conlleva a un cambio en el discurso
Matemático Escolar.
En nuestro capítulo V se llevó a cabo un diseño que tiene la intención de que los
estudiantes puedan construir la recta tangente desde un punto de vista variacional. Para
llevar a cabo esto se consideró los elementos teóricos de la Socioepistemología y se
diseñaron cinco secuencias didácticas por medio de las cuales se puede dar cuenta un
enfoque diferente. Este no está centrado en el objeto matemático sino en las prácticas, de tal
forma que el ejercicio de la práctica de la tangente variacional se lleve por medio de la
implementación de las secuencias didácticas. Para tal efecto se consideraron los usos de
conocimiento matemático de ciertas etapas de la práctica de referencia, ya que ésta tiene
una vida producto de su historicidad. En cada etapa se llevó a cabo un análisis de los usos
para determinar el tipo de actividades en el contexto situado, las secuencias se adecuaron
con un lenguaje matemático familiar para los estudiantes, y se elaboraron diferentes
preguntas cuyas respuestas guiaban a los estudiantes a llevar a cabo actividades como:
comparar, inferir, aproximar, calcular, etc.
En el capítulo VI se muestra la puesta en escena de las secuencias didácticas, el análisis de
los resultados evidenció que los estudiantes pudieron construir, en la mayoría de los casos,
lo que se pretendía e inclusive en el ejercicio mismo de la práctica y por medio del uso de
la gráfica se pudo constatar como un equipo emitió argumentos que le permitieron construir
de manera correcta la gráfica de la función derivada de una función cúbica. Nos pudimos
percatar que las nociones que se van construyendo pueden servir de herramientas para
construir nuevas nociones matemática, de tal forma que las ideas se van robusteciendo. El
orden de las secuencias no es con base en el análisis matemático, como en la mayoría de los
programas de cálculo sino con base a la historicidad de la práctica de referencia.
XV
Finalmente nuestras conclusiones muestran los resultados alcanzados, los cuales dan cuenta
de la aplicación de la teoría Socioepistemológica por medio de diseños didácticos que
fueron llevados a cabo en el aula y para tal efecto se hizo uso de un modelo de construcción
social del conocimiento el cual además de servirnos para hacer un análisis
socioepistemológico de la construcción del conocimiento también nos permitió diseñar
secuencias didácticas y hacer un análisis de los resultados obtenidos. Con lo anterior
podemos constatar que la matemática puede ser vista y abordada de una forma diferente,
una que toma en cuenta a los seres humanos haciendo matemáticas, lo cual la hace
funcional y contribuye a la formación de seres humanos.
1
Capítulo I
Antecedentes
1.1 Problemática del estudio del Cálculo Diferencial
El estudio del Cálculo Diferencial se lleva acabo regularmente en los últimos semestres del
bachillerato, es una asignatura importante por la relación que guarda con la matemática
elemental vista en cursos anteriores y la matemática avanzada la cual será estudiada por los
alumnos en la Universidad. Podemos decir que la matemática básica se refiere a aquella
que estudia procesos finitos de cuantificación y en la matemática avanzada se estudian
además procesos infinitos de cuantificación (Dolores, 2007).
El estudio del Cálculo es fundamental puesto que posibilita que el estudiante se apropie de
los elementos básicos con los cuales se pueda crear una conexión entre la matemática
básica y la matemática superior que se ve en la universidad, principalmente en carreras
como las ingenierías, economía, contabilidad y ciencias, por lo tanto es trascendental que
sea comprendido en el bachillerato. Sin embargo según investigaciones realizadas los
estudiantes llegan con serias deficiencias de los temas tratados en cálculo a la universidad
(Artigue, 1998; Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Dolores,
2007).
En Serna (2007, 2008) se identificó que existe un fenómeno didáctico en la enseñanza-
aprendizaje de la interpretación geométrica de la derivada, en donde se estudia el tema de
recta tangente. El cual es tratado como de paso ya que no se le da la debida importancia y
prácticamente no se le vuelve a utilizar en el curso. La forma tradicional de tratar el tema es
2
a través de la explicación de que una familia de rectas secantes que giran alrededor de un
punto que tiene como límite a la recta tangente en dicho punto. Esta forma de abordar el
tema ha sido causa de grandes dificultades entre los estudiantes (Biza, Christou y
Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000; Dolores, 2007; Kajander y
Lovric, 2009; Kendal y Stacey, 2003; Pinto y Moreira, 2008; Serna, 2007, 2008, 2010;
Serna, Castañeda y Montiel, 2009, 2011, 2012).
Desde nuestro punto de vista lo anterior obedece a una problemática más amplia. No es más
que el resultado de una serie de problemas que se encuentran presentes en la enseñanza-
aprendizaje del Cálculo y que ha sido reportado por diferentes investigadores. De tal forma
que tratar de ver el problema de forma aislada es insuficiente, ya que se encuentra dentro de
un contexto, una forma de enseñanza-aprendizaje en donde se encuentran presentes varios
actores: Los estudiantes, profesores, programas de estudio, libros de texto e inclusive se
podría decir que hasta la misma sociedad.
Nuestro problema de investigación no toma en cuenta sólo el objeto matemático recta
tangente, bajo nuestra perspectiva teórica es indispensable considerar a la actividad humana
que acompañó y estuvo presente en la construcción de la recta tangente. Nosotros la hemos
denominado la práctica de la tangente variacional. La Socioepistemología es una teoría
que nos permite detectar que al poner en primer plano a los conceptos matemáticos como lo
principal a considerar en la construcción del conocimiento hace que surjan diversas
problemáticas en los procesos de enseñanza-aprendizaje en los sistemas escolares. A
continuación mostraremos problemáticas que se encuentran presentes en la enseñanza-
aprendizaje del cálculo, con la intención de contextualizar y explicar lo que ocurre con el
fenómeno didáctico enunciado anteriormente.
1.1.1 Enseñanza basada en Algoritmo
Uno de los problemas que se encuentran presentes en la enseñanza del cálculo es que se
privilegia el uso de los algoritmos, dejando de lado otro tipo de recursos como por ejemplo
el visual por no considerarlo matemático (Biza, Nardi y Zachariades, 2009; Biza y
Zachariades, 2010; Cantoral, 2000). Haciendo uso de manera preponderante de recursos
algorítmicos se les enseña a los estudiantes a evaluar funciones, calcular límites, derivar y
3
optimizar variables tal como es reportado en Cantoral y Reséndiz (2003). El algoritmo es
una serie de pasos a seguir para resolver un problema, sin embargo el seguir estos pasos no
es garantía de que los alumnos hayan construido conocimiento, ya que pueden estar
haciendo las cosas mecánicamente sin hacer análisis alguno.
Se puede decir que algoritmo de acuerdo a Wikipedia “es un conjunto preescrito de
instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad
mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad”
(Disponible en red, ver Http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo). Aplicar un algoritmo
ahorra tiempo ya que permite llegar rápidamente a la solución de un problema, pero cuando
es utilizado en las matemáticas escolares sin conocer el porqué de cada uno de los pasos
que se llevan a cabo, se cae en el riesgo de que los estudiantes no construyan conocimiento,
que es lo que comúnmente ocurre en las clases de Cálculo (Cantoral y Reséndiz, 2003). Por
ejemplo al querer encontrar los máximos y mínimos de una función los alumnos
regularmente siguen los pasos, pero sin reflexionar en ellos; es común que los alumnos
encuentren los puntos críticos y sepan que al evaluar el signo de la pendiente con valores un
poco menor y un poco mayor, si hay un cambio de signos, se trata entonces de un máximo
(o mínimo) pero no saben el porqué de esta situación.
1.1.1.1 Como un procedimiento más formal
Uno de los recursos esenciales para el profesor de matemáticas en general y el de cálculo en
particular es el libro de texto, se podría decir que este es una herramienta indispensable. Si
además el programa sugiere cierta bibliografía este apoyo se vuelve necesario. Por otro lado
los programas de estudio de cálculo diferencial tienen una marcada tendencia hacia el uso
de procedimientos formales ya que la organización de los contenidos está influenciada por
la estructura formal del análisis matemático (Dolores, 2007; Santi 2011), de tal manera que
se sigue una secuencia lógica de principios tales como: axiomas, postulados y teoremas, así
como un cierto rigor matemático. Por ejemplo al querer determinar la continuidad de una
función como: 𝑥2−9𝑥−3 regularmente se habla de las interrupciones del límite, de la
continuidad; no se tratan aspectos de fenómenos de variación, se trata el problema desde la
matemática misma.
4
Al ser el libro de texto una herramienta importante a utilizar por los profesores de cálculo
diferencial, es lógico pensar que éste influye notablemente en su discurso, el cual es
presentado a los estudiantes (Kajander y Lovric, 2009). Por lo tanto es marcada la tendencia
entre los profesores de cálculo diferencial a presentar los temas de una manera rigurosa,
bajo un orden sustentado en ideas lógicamente coherentes por medio de reglas,
definiciones, axiomas, postulados y teoremas, así como demostraciones rigurosas. En
ocasiones por la falta de un entendimiento total de los conceptos se recurre sólo al uso de
los algoritmos como uno de los elementos formales que se presentan en las clases. De tal
forma que este tipo de enseñanza ha propiciado que se entienda al cálculo diferencial como
el desarrollo de algoritmos de naturaleza algebraica, lo cual también ha influido en que los
estudiantes aprendan de manera mecánica a derivar, integrar, calcular límites (Cantoral y
Resendiz, 2003; Cordero, 2005). Con este enfoque se han dejado de lado las ideas clave que
dieron origen al cálculo diferencial, por lo tanto en los cursos parecería que las ideas
tratadas son solamente utilizadas dentro del mismo cálculo u otras materias de Matemáticas
y no se les relaciona con otras áreas de conocimiento como las ciencias, economía u
administración, entre otras.
1.1.1.2 El algoritmo como lo más sencillos a usar
El profesor hace uso del recurso algorítmico ya que es lo más sencillo de utilizar, sólo hay
que seguir los pasos para resolver el problema y llegar a el resultado, esto claro no conlleva
a que los estudiantes le den un significado a los conceptos. En el caso de la materia de
cálculo se ha demostrado que ha sido causa de dificultades (Biza, Christou y Zachariades,
2008; Dolores, 2007; Marcolini y Perales, 2005; Sánchez-Matamoros, García y Llinares,
2008; Zúñiga, 2007) y hay problemas con la construcción de los conceptos tanto de los
alumnos como inclusive de los mismos profesores (Castañeda, 2004; Biza y Zachariades,
2010). Al existir dificultades de este tipo y si los alumnos no construyen los conceptos, así
como tampoco saben utilizarlos en la resolución de problemas en donde se pone en juego
las ideas clave del cálculo, se corre el riesgo de que la clase entre en crisis. Sin embargo
utilizar lo algorítmico “sirve” como un recurso legitimador del profesor ya que gracias a
esto puede dar la clase y enseñar a sus alumnos a aplicar una fórmula o seguir una serie de
pasos, de esta forma la clase no entra crisis (Cantoral, 2000). Otro de los “beneficios” que
5
se puede obtener al usar este recurso es disminuir considerablemente el número de alumnos
reprobados.
Consideramos que en la enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial se presenta una
especie de efecto Jourdain (Brousseeau, 1986) que consiste en que el profesor evita un
debate con los alumnos sobre el conocimiento científico esto es con la intención de que no
se reconozca falla en los procesos de enseñanza aprendizaje. Brosseau (1986) menciona
que en este efecto Jourdain, el profesor dice reconocer conocimiento en los alumnos a pesar
de que lo que comenten sean situaciones con significados ordinarios, de tal forma que se
sustituye el conocimiento por actividades más familiares a los alumnos a pesar de que esto
no de un significado claro del concepto que se está aprendiendo; con el tiempo este tipo de
actividades son reconocidas como algo respetable e ineludible. Algo parecido ocurre con el
uso de los algoritmos ya que se convierten en una costumbre y muchas veces sustituyen a
las ideas conceptuales, por tener éstas un alto grado de complejidad. El profesor dice
reconocer ideas científicas en sus alumnos con el simple hecho de que ellos sepan utilizar
algoritmos para cierto tipo de problemas y da la impresión de que hay cierto lenguaje
científico al usar los algoritmos, con el tiempo esto se convierte en una costumbre
didáctica, la cual puede ser repetida por generaciones.
1.1.2 El uso de las reglas algebraicas
Existen dificultades en los estudiantes que se manifiesta al querer usar siempre
mecánicamente pasos para resolver problemas, ocurre frecuentemente que los estudiantes
quieren “la receta”. En nuestra experiencia hemos escuchado a muchos alumnos comentar
cuando se les muestra algún ejemplo el cual se resuelve mediante un proceso algebraico: “y
todos los problemas se resuelven de la misma forma” es decir quieren ver en el ejemplo una
totalidad y aunque el docente es consciente de que se trata de una manifestación de un caso
más general, no se percata de que el alumno no lo ve así, pareciera que para el docente esto
es algo transparente (Papini, 2003).
Otra de las dificultades en la enseñanza aprendizaje del cálculo diferencial tal y como es
reportado por Zúñiga (2007) es que hay una muy marcada tendencia a transmitir
conocimientos haciendo mucho énfasis en el desarrollo de habilidades algebraicas
6
desatendiendo el discernimiento intelectual para la comprensión de ideas nociones y
conceptos. En nuestra experiencia como docente en cálculo diferencial hemos escuchado en
varias ocasiones a profesores expresar ideas como: “En cálculo todo es trabajo algebraico”,
“Todo es cuestión de saber álgebra para entender cálculo”, “El cálculo no es difícil, sólo es
cuestión de saber álgebra” y comentarios similares; por otro lado ha sido reportado en
(Cantoral, 2000; Cantoral y Reséndiz, 2003; Dolores, 2007; Zúñiga, 2007; Biza y
Zachariades, 2010) que en los cursos de cálculo diferencial hay una marcada tendencia a
privilegiar el uso de los recursos algebraicos.
El tipo de habilidades algebraicas a las que hacemos referencia y que son muy
frecuentemente utilizadas en Cálculo Diferencial son aquellas que se refieren al uso de
estrategias, técnicas y reglas para manipular expresiones algebraicas y transformarlas en
otras. No hablamos de habilidades algebraicas en un sentido rico y profundo de lo que
significa el empleo del álgebra, por mencionar algunas características del álgebra podemos
decir que un buen uso de ella daría como resultado el poder interpretar correctamente
expresiones algebraicas como 𝑦 = 2𝑥 − 1 en la que el estudiante debería de poder
mencionar que se trata de una línea recta en la que por cada unidad de cambio en el eje de
las x hay dos unidades de aumento en el eje y, además que la recta se intercepta con el eje y
en las coordenadas (0,-1).
El buen uso del álgebra permite hacer generalizaciones, es decir no sólo ver casos
particulares sino brindar las herramientas para que se pueda generalizar, es decir se podrá
reconocer en qué casos podrá ser usado un patrón o generalización producto de un proceso
algebraico. Otra característica importante en el uso del algebra es la construcción de
modelos por medio de los cuales se pueden interpretar fenómenos, esta es otra de las
situaciones que no se presentan en los cursos de cálculo en donde el álgebra podría ocupar
un lugar importante si no fuera utilizada sólo como una estrategia que permite la
manipulación de reglas.
1.1.3 Derivada
A partir de lo expuesto en los apartados anteriores, la enseñanza basada en algoritmos y el
uso de reglas algebraicas están presentes en muchas instituciones del sistema escolar
7
mexicano, según lo reportado en (Cantoral, 2000; Castañeda, 2004; Dolores, 2007;
González, 1999). En las clases de cálculo diferencial el tema de la derivada es parte
importante de los contenidos de esta asignatura. Veremos que el uso de los algoritmos, así
como el empleo estrategias de manipulación algebraica se verán reflejados al impartirse
este tema, esto ocasiona, desde nuestro punto de vista, dificultad en los estudiantes para
construir las nociones de derivada así como el reconocer la derivada en problemas donde
se presenta. Consideramos que se encuentran dos problemáticas: dificultades por parte de
los estudiantes al enfrentarse a problemas de aplicación y la tendencia de minimizar el
significado geométrico de la derivada.
1.1.3.1 Dificultad en problemas de aplicación.
Se ha reportado por diversos investigadores (Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000;
Castañeda, 2004; Dolores, 2007; González, 1999) acerca de la enseñanza del cálculo
diferencial en donde se ha privilegiado el uso de algoritmos de naturaleza algebraica lo cual
es utilizado en la enseñanza de la derivada. Los estudiantes aprenden a derivar, ya sea
utilizando el método de los cuatro pasos o haciendo uso de las reglas de derivación,
regularmente los estudiantes saben manipular expresiones algebraicas haciendo uso de las
reglas del álgebra llevando a cabo desarrollos para transformarlas, para hacer
simplificaciones u obtener otras expresiones que permitan llegar al resultado. Esta forma de
proceder de alguna manera propiciada por los mismos profesores hace que el derivar se
convierte en algo mecánico.
El proceder en las aulas de una manera en que sólo se pretenda encontrar la derivada es
insuficiente, “tal parece que importa saber quiénes de ellos pueden calcular más derivadas,
pero no interesa mostrarles los procesos variacionales que se esconden detrás de ese cálculo
de derivadas” (González, 1999, p. 17), de tal forma que también pareciera que hay una
rápida urgencia por parte de los profesores para pasar a los procedimientos algebraicos.
Se ha reportado en (Dolores, 2007; González, 1999; Kendal y Stacey, 2003) que cuando los
estudiantes se enfrentan a problemas en donde se debe de utilizar la derivada no identifican
el uso de la misma puesto que no han construido las ideas claves de la derivada. Esta forma
de enseñanza tradicional tampoco le da importancia a utilizar ideas o temas relacionados
8
con física como son velocidad promedio, velocidad instantánea o hablando en un sentido
más general la razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea. Según lo
reportado en Dolores (2007) los profesores de cálculo diferencial regularmente utilizan
libros de texto, inclusive dándole mayor prioridad que a los mismos programas. La mayoría
de los textos de cálculo utilizados en México le dan un mayor énfasis a el contenido
matemático en donde es relevante el desarrollo de procesos algebraicos, vemos que aún los
mismos textos contribuyen a este tipo de enseñanza.
1.1.3.2 Minimizar el significado geométrico de la derivada.
El problema de las tangentes fue enfrentado por varios matemáticos del siglo XVII y
aunque hubo varios métodos de solución, el descubrimiento de la derivada proporciono un
método general para su solución. En la actualidad en nuestros sistemas escolares se
encuentra presente este problema cuando se le da una interpretación geométrica a la
derivada. La forma tradicional en que se presenta este tema es mostrándoles a los
estudiantes que la pendiente de la recta tangente a la curva es el límite de una familia de
rectas secantes que deviene en la recta tangente a la curva, aunque esta forma de enseñanza-
aprendizaje ha sido de gran dificultad para los estudiantes ya que como lo muestran
algunas investigaciones los estudiantes no construyen esta idea firmemente (Biza, Christou
y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000; Dolores, 2007; Kajander y
Lovric, 2009; Kendal y Stacey, 2003; Pinto y Moreira, 2008). Por la forma en cómo se
presenta esta da la impresión de que la recta tangente a la curva es algo estático (Dolores,
2007; Serna, 2007, 2008) que toca a la curva en un punto sin volver a cortarla, tal y como
es reportado por investigaciones como una forma inadecuada de presentar el tema de recta
tangente en Cálculo (Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010;
Kajander y Lovric, 2009); aunque como se sabe la recta tangente a la curva es tangente sólo
en una región cercana a la zona de contacto, pudiendo volver a cortar a la curva en otro
punto, además la recta tangente es algo dinámico.
En algunos sistemas escolares de otros países se ha utilizado a la interpretación geométrica
de la derivada, así como algunas ideas más intuitivas para la introducción del concepto de
derivada. Sin embargo en muchos otros países aún se encuentra presente la estructura
lógico formal en los programas sin que se permita introducir otros elementos para darle
9
significado a la tangente. En Dolores (2007) se comenta acerca de la interpretación
geométrica de la derivada y los enfoques que toman en cuenta a la razón de cambio, como
formas diferentes de abordar el concepto de derivada y que casi no son utilizados y en caso
de serlo se les ve como algo que es utilizado de manera momentánea sin volver a hacer
énfasis en ellos en otras partes del curso.
1.1.4 Libros de texto
El presente apartado no pretende hacer un análisis de textos del cálculo diferencial. Nuestro
objetivo como se ha señalado en los apartados precedentes es mostrar una problemática que
se presenta en la enseñanza aprendizaje de esta materia en nuestros sistemas escolares, una
problemática que va a ser manifestada también en la enseñanza aprendizaje de la noción
recta tangente, la cual forma parte de los conceptos que son importantes. Desde nuestro
punto de vista, es mediante la noción de recta tangente que se puede arribar a la
construcción de otros conceptos y/o ideas, además históricamente hablando, la recta
tangente es de las ideas germinales del cálculo diferencial (Cantoral, 1988). Es importante
por lo tanto mostrar que los libros de texto que usualmente son utilizados han contribuido
de alguna forma en la problemática a la que intentamos dar evidencia (Kajander y Lovric,
2009).
El libro de texto escolar juega un papel importante en los procesos de enseñanza
aprendizaje en el aula. Es un medio de transmisión de conocimientos el cual es reconocido
y validado por la sociedad y puede ser utilizado para organizar los contenidos de un curso,
preparar exámenes, guías formularios o actividades didácticas; también sirve para que los
alumnos estudien:
Con una mirada más profunda, se puede advertir una doble naturaleza en las
obras de texto: como una obra de texto, referida a los elementos de estructura y
organización, y a aquellos tocantes a su contenido, es decir, al discurso que
contiene (Castañeda, 2006, p. 254).
Podemos decir que la construcción de las ideas del Cálculo Diferencial que la sociedad se
forma y en particular los estudiantes y profesores, así como los actores situados en la
10
noosfera en gran medida tiene que ver con los textos escolares utilizados en nuestros
sistemas escolares.
Hablaremos de los textos tradicionales de Cálculo Diferencial e Integral como aquellos que
usualmente son estudiados en el sistema escolar mexicano y de los cuales vamos a
caracterizar algunos aspectos puntuales como son la secuenciación y enfoque de los temas
abordados, así como la forma en cómo se pretende que se aborden los conceptos por parte
de los estudiantes.
Con respecto a la secuenciación, los textos tradicionales de Cálculo siguen una secuencia
como la del análisis matemático, tal vez hay algunas diferencias pero el orden de los temas
según lo reportado en Dolores (2007) es: funciones numéricas (algebraicas y
trascendentes), límites, continuidad, otros temas relacionados a funciones, concepto de
derivada, formulas de derivación y aplicaciones de la derivada al análisis de funciones y la
obtención de máximos y mínimos. Con respecto al enfoque podemos decir que se le da un
mayor peso al tratamiento riguroso de las ideas en donde estas son tratadas dentro de la
matemática misma ya que en los textos tradicionales, prácticamente no se revisan temas de
variación o los relacionados a Física.
1.1.5 Los Profesores
En este apartado pretendemos mostrar que los profesores juegan un papel protagónico en
los sistemas de enseñanza y por lo tanto de alguna forma han tenido que ver en la
problemática que tratamos de evidenciar. Mencionaremos a continuación dos ideas con las
cuales se observa la problemática planteada.
1.1.5.1 El Profesor sus concepciones y creencias
Desde nuestro punto de vista las concepciones y creencias que tienen los profesores acerca
de las matemáticas y su enseñanza influyen grandemente en el sistema escolar.
Específicamente haremos alusión a los profesores de cálculo diferencial en el nivel medio
superior, aunque muchas de las situaciones mostradas son también aplicables a profesores
de otras asignaturas y en otros niveles.
11
Es muy frecuente que los profesores de matemáticas conciban a las mismas como un
sistema lógico y coherente de axiomas, postulados, teoremas, definiciones y conceptos, en
donde no hay falla alguna (Biza, Nardi y Zachariades 2009; Parra, 2005), es decir las
consideran como un sistema de reglas asociadas lógicamente en donde no hay
contradicciones. Este es un enfoque predominantemente formalista en donde el rigor
matemático se considera como de suma importancia (Salina y Alanís 2009). Al mirar a las
matemáticas de esta forma prácticamente no se relaciona a los conceptos vistos en cálculo
diferencial con otras ciencias ni con problemas de variación o en problemas de aplicación
que tengan que ver con la realidad, inclusive en el nivel superior aunque se considere a las
matemáticas como una herramienta en el auxilio de otras ciencias como la economía o
ingeniería, predomina en los profesores el darle un mayor peso al contexto matemático que
a su relación con otras ciencias (García, Azcarate y Moreno, 2006; Zuñiga, 2007).
Por parte de los profesores también hay falta de conocimiento de la aplicación de las
matemáticas en otros ámbitos (Zuñiga, 2007). Si a lo anterior le añadimos que los
profesores de matemáticas consideran que el objeto de conocimiento es algo ya hecho y
acabado, de tal forma que es incuestionable y por lo tanto el alumno se tiene que adaptar a
él sin tener la oportunidad de poder construir los conceptos, podemos entonces ver que los
profesores y los alumnos aprenden a decir qué es la derivada y la integral y “representarlas
geométricamente, sin tener una comprensión que les permita estudiar fenómenos de
variación continua” (Cordero, 2005, p. 209). Tampoco se resuelven problemas relacionados
con otras ciencias o se sabe identificar el uso de los conceptos vistos en Cálculo Diferencial
en problemas que se les presenten a los estudiantes a no ser que sean problemas parecidos a
los que los profesores les han mostrado en sus cursos.
Es frecuente que los profesores enseñen a que los alumnos aprendan a encontrar de manera
más o menos mecánica las derivadas, límites o algunos otros conceptos vistos en la materia,
así como algunos problemas de aplicación como los que regularmente son expuestos en los
libros de cálculo diferencial. Esto puede obedecer en parte a que los profesores consideran
que aprender cálculo es equivalente a aprender a derivar, encontrar un límite, los puntos
máximos y/o mínimos es decir a mecanizar destrezas básicas (Parra, 2005) y también en
parte a que de esta forma se obtienen mayores calificaciones ya que se les evalúa a los
12
alumnos lo que estos saben hacer mejor y su vez estos le dan mayor importancia a esta
situación puesto que es lo que se les evalúa cayéndose de esta manera en un círculo vicioso
(Artigue, 1995, citado en Zuñiga, 2007).
Otra creencia bastante arraigada se refiere a el método de enseñanza en que la acción del
profesor es la que predomina en la clase, siendo él quien expone, aclara dudas, ilustra pone
énfasis en algunos puntos da instrucciones acerca de los métodos o procedimiento para
llegar a los resultados correctos y determina cuáles serán las tareas (Andrade, Perry,
Guacaneme y Fernández, 2003; Santi, 2011). Con este esquema de trabajo en el aula
también se da el hecho de considerar que la autoridad fundamental en la clase es el profesor
o el libro de texto, ya que a ellos no se les cuestiona y tienen la última palabra, por lo tanto
no se toma en cuenta el hecho de que los estudiantes hagan, análisis, inferencias y el uso de
sus razonamientos como un método para determinar lo que es correcto o no a partir de la
argumentación en clase, de tal forma que no se explora en los errores de los alumnos para
poder indagar en sus ideas y de esta forma ir construyendo conocimiento. El profesor se
limita a decir si los procedimientos son correctos o no, o hasta donde ha hecho su
procedimiento correctamente. Los alumnos se acostumbran a este esquema de trabajo y se
vuelven dependientes del profesor teniendo que consultarlo muy frecuentemente para saber
si están en lo correcto o no.
1.1.5.2 El modelo de enseñanza
Un modelo de enseñanza bastante utilizado en las clases de cálculo es aquel en el cual el
profesor da una definición, posteriormente resuelve algún ejemplo para que después los
alumnos hagan ejercicios similares (Santi, 2011). Mediante esta forma de enseñanza se
pretende transmitir habilidades por la repetición de ejercicios y las matemáticas son
presentadas como una colección de hechos y procedimientos los cuales son transmitidos del
profesor a los alumnos. Un recurso muy utilizado por los profesores son los algoritmos para
llegar a resultados a pesar de que esto no necesariamente implique la construcción de
conceptos por parte de los estudiantes, ya que frecuentemente no hay una justificación del
porqué de los pasos a seguir por lo tanto se da un conocimiento procedimental que en la
mayoría de las ocasiones no se justifica y por lo tanto no establece una conexión con los
elementos conceptuales que los sustentan (Andrade et al., 2003), esto hace que los alumnos
13
sólo aprendan el nombre del concepto y el procedimiento. Una justificación por parte de
los profesores es que hay una gran cantidad de temas que se pretende abordar en los
programas de estudio y los tiempos para que estos sean vistos en un ciclo escolar es muy
corto.
Se conjuntan varios elementos que dan cuenta de la problemática de la enseñanza
aprendizaje en cálculo diferencial. Por un lado están los tiempos escolares y por otro las
costumbres didácticas que tienen que ver con el esquema de dar la teoría por parte del
profesor después ejemplos y posteriormente los alumnos resuelven ejercicios similares. Si a
esto se la añade la costumbre de dar un mayor énfasis en la enseñanza de los algoritmos en
donde no se justifican claramente el porqué de los pasos a seguir, puesto que lo que se
pretende es que mediante estos los alumnos adquieran destrezas, todo esto ha contribuido
de alguna forma a esta problemática. Esta forma de proceder es algo que el mismo sistema
escolar reproduce, se repiten las rutinas y creencias, los profesores contribuyen a esto, sin
embargo todos los actores involucrados hacen que el sistema siga funcionando igual, desde
los alumnos, las autoridades escolares e inclusive los libros de texto.
Los problemas que implementan los profesores para que se resuelvan en las clases de
cálculo diferencial son de los que usualmente se les considera como de aplicación y que
vienen en los libros de texto, aunque estos problemas casi nunca tienen que ver con
problemas reales puesto que no relacionan al cálculo con otras ciencias ni con problemas de
tipo variacional (Cordero, 2005; Dolores, 2007).
Se ha reportado que en los cursos de cálculo los profesores pretenden ver que sus
estudiantes pueden seguir instrucciones procedimentales para obtener respuestas correctas
(Andrade et al., 2003). Sin embargo cuando los estudiantes se enfrentan a problemas
diferentes a los vistos en clase, no saben identificar el uso de los elementos conceptuales,
regularmente no reconocen por ejemplo cuando es que hay que utilizar la derivada o algún
otro concepto (Kendal y Stacey, 2003), las ideas sobre cambio y variación que son aquellas
con que históricamente se formalizó el nacimiento del cálculo diferencial, no son
vislumbradas por los alumnos, de tal forma que las destrezas que adquirieron en sus cursos
no son suficientes para resolver problemas en donde se requiere el uso de elementos
conceptuales (Dolores, 2007).
14
Con base en base a lo anterior observamos que los elementos conceptuales pasan a segundo
término (Andrade et al. 2003) ya que las estrategias sugeridas para solucionar problemas se
limita a la aplicación de algoritmos. No existe por lo tanto una justificación matemática,
además al trabajar bajo este modelo de enseñanza no se requiere puesto que quien
determina lo que es matemáticamente correcto o no es el profesor, lo cual propicia que no
haya oportunidades por parte de los estudiantes para expresar sus argumentos. Podemos
decir entonces que lo que predomina en la clase es la autoridad del profesor (o el libro de
texto) ya que esta no recae en la racionalidad producto de la interacción entre los actores
que se encuentran en el aula por medio de la argumentación.
1.2 Estado Actual de la Recta Tangente en la escuela
1.2.1 Programa de Estudio de Pensamiento del Cálculo Diferencial
El programa que vamos a analizar es el correspondiente al Plan y Programas de Estudio de
Bachillerato Tecnológico del Estado de México de quinto semestre, en donde está incluida
la reforma educativa que se puso en vigencia a partir de agosto de 2008.
La materia de Pensamiento del Cálculo Diferencial se encuentra ubicada dentro de la
asignatura de Pensamiento Matemático Avanzado y esta a su vez pertenece al Campo
disciplinar de Matemáticas y Razonamiento Complejo, el cual, de acuerdo a este plan tiene
que ver con la capacidad que tienen los estudiantes para analizar, razonar y transmitir ideas
al plantear, resolver e interpretar problemas y situaciones reales en diferentes contextos. Por
“diferentes contextos” entienden aquellas situaciones de tipo personal, profesional, públicas
y científicas, se propone que el estudiante pueda utilizar su metacognición para poder
resolver problemas con el fin de ir dejando la memorización.
El Plan establece que la materia sirve de base para llevar posteriormente cursos superiores
de Matemáticas, su enfoque es operacional e intuitivo y no pretende justificar
rigurosamente la fundamentación lógico axiomática ya que los conceptos fundamentales se
introducen en la medida de lo posible en un contexto que sea familiar al estudiante. En el
curso se analiza el cambio que sufren las cantidades que varían en todas aquellas funciones
que sirven de modelos teóricos experimentales que resultan de la investigación. Se
establece como uno de los propósitos que, con el estudio de esta materia el estudiante
15
adquirirá la habilidad en el manejo de técnicas para resolver problemas prácticos. Por otro
lado también se menciona que en la materia se desarrollan habilidades como pensar crítica
y reflexivamente, así como expresarse y comunicarse, las cuales forman parte de los seis
ejes genéricos que se pretende sean desarrollados en el Plan por los diferentes campos
disciplinares que lo conforman. Los ejes genéricos, son:
1. Se autodetermina y cuida de sí.
2. Se expresa y comunica.
3. Piensa crítica y reflexivamente.
4. Aprende de forma autónoma.
5. Trabaja en forma colaborativa.
6. Participa con responsabilidad en la sociedad.
Los diferentes campos disciplinares que se encuentran en el Plan son: comunicación y
lenguaje, ciencias sociales y humanidades, matemáticas y razonamiento complejo, ciencias
naturales y experimentales, componentes cognitivos y habilidades del pensamiento, así
como campos profesionales. Los apartados en los que se encuentra dividido el programa
son: funciones, límites y continuidad, la derivada y aplicaciones de la derivada. El plan
sugiere implementar como estrategias didácticas: mapas conceptuales, técnica V, debate,
lluvia de ideas entre otras. Con respecto a la evaluación propone que los estudiantes sean
evaluados a través de situaciones problematizadas. Se utilizaran dos elementos de
evaluación que son: Los exámenes (60 % de la calificación) y un control de rúbricas (40 %
de la calificación).
Están también las competencias disciplinares básicas las cuales consisten en lo siguiente:
• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos
y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
16
• Argumenta la solución obtenida de un problema métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y comunicación.
Se encuentran también las competencias disciplinares extendidas dentro de las cuales se
encuentran las siguientes:
Para el campo disciplinar de matemáticas y razonamiento complejo:
Interpreta fenómenos de su entorno sobre cantidades conmensurables e inconmensurables
tratadas con los principios del cálculo.
Con respecto al contenido programático se tiene que las competencias disciplinares
extendidas son:
Unidad 1. Los números reales:
• Ordena la información con los números reales de acuerdo a categorías jerarquías y
relaciones.
• Sigue instrucciones y procedimiento con los números reales e interpreta las
operaciones con funciones de manera reflexiva.
Unidad II. Límites y continuidad:
• Identifica los sistemas y reglas de los límites algebraicos modulares que subyacen a
una serie de fenómenos.
• Construye hipótesis sobre la continuidad de las funciones para probar su validez.
Unidad III. Derivadas.
• Expresa ideas y conceptos mediante la representación gráfica de la derivada.
• Propone maneras de solucionar un problema de pendientes, velocidad o económico
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
Unidad IV. Aplicaciones de la derivada:
17
• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta para interpretar situaciones científicas en equipos de trabajo.
• Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética con un
pensamiento matemático.
Finalmente el Programa queda estructurado como sigue:
1. Los números reales y funciones
1.1 Los números reales.
1.1.1 Propiedades de los números.
1.1.2 Intervalos.
1.1.3 Desigualdades.
1.2 Clasificación de las funciones.
1.2.1 Noción preliminar de funciones.
1.2.2 Tipos de funciones.
1.3 Gráfica de funciones.
1.3.1 Método para graficar funciones.
1.4 Operaciones con funciones.
1.4.1 Suma, resta, multiplicación y división.
1.4.2 Composición de funciones.
2. Límites y continuidad.
2.1 Límites de una función.
2.1.1 Límite de una sucesión.
2.1.2 Límite de una función.
2.1.3 Proposiciones para calcular límites.
2.1.4 Límites indeterminados.
2.2 Continuidad de una función.
2.2.1 Continuidad y discontinuidad del intervalo.
2.2.2 Gráfica de funciones continuas y discontinuas.
3. La derivada.
3.1 La derivada.
18
3.1.1 Interpretación geométrica de la derivada.
3.1.2 Definición de la derivada.
3.1.3 La función derivada y su notación.
3.2 Teoremas de derive.
3.2.1 Derivada de una constante de la variable independiente.
3.2.2 Derivadas de sumas y productos de funciones.
3.3 Derive de funciones.
3.3.1 Derivada del producto de funciones.
3.3.2 Derivada del cociente de funciones.
3.3.3 Derivada de la función potencial.
3.4 Derivada de funciones trascendentes.
3.4.1 Derivada de funciones trigonométricas.
3.4.2 Derivada de trigonométricas inversas.
3.4.3 Derivada de la función exponencial y logarítmica.
4. Aplicaciones de la derivada.
4.1 Teoremas de aplicación de derive.
4.1.1 Teorema del extremo inferior.
4.1.2 Teorema de Rolle.
4.1.3 Teorema del valor medio.
4.2 Aplicación de la derivada.
4.2.1 La recta tangente y normal.
4.2.2 Función creciente y decreciente.
4.2.3 Máximos y mínimos.
4.2.4 Diferenciales.
4.3 Aplicaciones físicas de la derivada.
4.3.1 Problemas de velocidad, aceleración y de velocidades relacionadas entre sí.
Posteriormente hay recomendaciones para que los docentes propongan actividades en el
aula para el aprendizaje colaborativo, mencionaremos sólo algunos ejemplos como:
• Interpretar las desigualdades como el límite de un número.
• Comprender los conjuntos numéricos que integran el conjunto de los números reales
19
• Inferir los teoremas básicos para el derive de las funciones algebraicas a través de
una técnica de discusión.
• Resolver derivada de funciones algebraicas y de función de funciones de una
diversidad de ejemplos.
• Comprobar la condición de perpendicularidad de la recta normal y tangente de un
graficador.
• Diseñar problemas contextuales donde el estudiante aplique la derivada.
Se observa que en este tipo de recomendaciones se utilizan verbos como: Comprender,
interpretar, analizar y construir; a pesar de ello, nos parece que sólo es en el uso del
lenguaje. Se está haciendo referencia a los mismos objetivos (temas o subtemas) de los
programas tradicionales de cálculo, el uso de estos verbos es congruente con el lenguaje
utilizado en las competencias disciplinares extendidas y el de las competencias
disciplinares básicas en donde se mencionan palabras como construye, explica y
argumenta. Se emplea este lenguaje con respecto a los objetivos, aunque en realidad
reiteramos que en la estructura del programa se tiene los mismos temas que los de
cualquier curso tradicional de cálculo diferencial, además no hay una referencia
explícita de cómo utilizarlos; inferimos que lo que se pretende es que se le quede esta
tarea al profesor.
Al platicar con algunos profesores de nivel medio superior 3
3 Profesores del CBT 1 de Nezahualcóyotl en el Edo. De México
y tomando también como
referente lo reportado por Andrade et al. (2003) hemos notado que el cambio en el lenguaje
no necesariamente provoca un cambio en las actividades en el aula. Consideramos que es
necesario que se explique el “como” tal y como es sugerido por investigadores del
Programa de IBERCIMA quienes realizaron un estudio a 22 países de Iberoamérica,
incluido México, sobre el currículo de Matemáticas del nivel medio y que dice “Hemos
constatado que la mayoría de los currículos están concebidos de manera restringida. Frente
a la concepción amplia del currículo como proyecto que indica de modo coherente qué,
cómo y cuándo enseñar…” IBERCIMA (1992, citado en Dolores, 2007, p. 2).
20
En el Plan analizado se observa que se describe de manera detallada la resolución de
problemas referentes a el cálculo diferencial, no se da una orientación metodológica a los
profesores en cuanto el “como” se implementarán las actividades en el salón de clase con
las cuales los alumnos puedan construir los conceptos de cálculo diferencial utilizando
ideas básicas del mismo como son el cambio y la variación.
El mismo Plan propone en su presentación trabajar con ideas de cambio y variación,
aunque en el desarrollo del plan no se lleva a cabo tal sugerencia. Sin embargo, se podrían
proponer actividades que los alumnos pueden llevar a cabo en donde se manifiesten
desplazamientos en un determinado tiempo; con base a esto, pedirles que identifiquen las
variables y que hagan las gráficas correspondientes, que se reconozcan las variables
presentes en enunciados que investiguen ellos o que lo proporcione el profesor y que se
pueda comprender la relación de dependencia funcional entre ellas. Es conveniente que
dentro de las actividades propuestas para los alumnos se haga el análisis de las funciones,
por ejemplo la forma de la gráfica (recta, par, impar), intervalos en los que es negativa,
intervalos en los que es positiva, sus raíces, intervalos en donde es creciente, intervalos en
donde es decreciente, si es continua o no, dominio y rango.
Es importante que el profesor proponga actividades en las cuales los alumnos puedan
observar los cambios presentados conforme transcurre el tiempo, además de que se puedan
evidenciar tales cambios numérica, gráfica y algebraicamente usando la notación
correspondiente, así como el tipo de cambios que se pueden presentar como son: igual a
cero, constante, positivo, negativo, grande, pequeño, etc. Por mencionar algún ejemplo
más, es considerable que se implementen actividades que tengan por objetivo que el
alumno pueda construir nociones como los conceptos de rapidez y velocidad media en
donde se debe reconocer si hay cambios grandes, pequeños, positivos, negativos, iguales a
cero y en qué parte se presentan cada uno de ellos. Todo esto puede hacerse a partir de una
tabla de valores, una gráfica o la expresión matemática de una función.
En el programa de pensamiento del cálculo diferencial se hace la propuesta de trabajar con
problemas contextuales. Sugiere que el docente formule preguntas que estén muy bien
estructuradas y que sirvan para motivar a los alumnos, la respuesta de ellas va a llevar a los
alumnos a la búsqueda de información en medios bibliográficos, así como en fuentes
21
cibergráficas, la información encontrada la van a organizar y extraer lo que sirva para dar
una respuesta correcta a la pregunta planteada. Consideramos conveniente que los
problemas planteados sean hechos con bases teóricas, por ejemplo la teoría de las
situaciones didácticas o la aproximación teórica de la Socioepistemología trabajada por
investigadores en Matemática Educativa del CLAME por citar algunas. Las secuencias que
se propongan a los estudiantes deberían de estar diseñadas de tal forma que permitan a los
alumnos llevarlas a cabo para que construyan conocimiento.
Al revisar el tratamiento que se le da a la tangente observamos que, es el mismo dado en
cualquier curso tradicional de cálculo diferencial y también expuesto por libros de texto
tradicionales de la misma asignatura, el cual consiste en considerar que una familia de
rectas secantes a una curva deviene en la recta tangente de la misma. Como hemos
documentado anteriormente esta forma de enseñanza ha ocasionado grandes dificultades
entre los estudiantes para entender el concepto de derivada.
Por otro lado también observamos que en los casos mostrados que se exponen en el
programa se da por entendido que los alumnos comprenden el carácter variacional que tiene
la recta tangente a la curva. Lo anterior lo podemos ver en los ejemplos expuestos como
cuando se pide determinar los máximos y mínimos en donde se dibujan las rectas tangentes
antes, en y después de los puntos críticos y se da por entendido que los alumnos
comprenden claramente que la recta tangente está cambiando en cada punto. En Serna
(2007, 2008) se ha reportado que esto es algo que no le queda claro a los estudiantes y
resulta tan obvio para los profesores, que no se le da ningún tratamiento didáctico,
ocasionando dificultades en los procesos de enseñanza aprendizaje.
Por último vemos que el programa sugiere textos elaborados por investigadores en
Matemática Educativa con resultados de sus productos de investigación, sin embargo, a
pesar de estas recomendaciones bibliográficas no vemos reflejadas sus ideas en la
construcción de los conceptos del cálculo diferencial, sólo se hace mención de algunas de
ellas en la introducción del programa y en el lenguaje utilizado al enunciar las
competencias básicas y disciplinares. Esto no concuerda con el desarrollo de los problemas
contextualizados y la estructura del programa, lo que da pie a la ambigüedad ya que hay
dos tipos de ideas plasmadas en el programa; por un lado algunas ideas en donde se plantea
22
el uso del razonamiento crítico y por otro lado las mismas ideas que se han venido
manejando en los cursos tradicionales de cálculo diferencial tanto por parte de los
programas como por libros de texto. Consideramos que ante esta disyuntiva los profesores
finalmente optan por hacer lo que están acostumbrados y aunque cambien su manera de
expresarse producto de la lectura del nuevo programa finalmente terminan haciendo lo
mismo de siempre.
1.2.1.1 El nuevo Plan de Estudios
Durante el transcurso de nuestra investigación se implementó un nuevo programa de
Pensamiento del cálculo diferencial a finales del año 2009, aunque nos lo dieron a conocer
posteriormente. Este programa sigue considerando como el anterior el trabajo a través de
competencias como son: las competencias genéricas, las competencias disciplinares básicas
y las competencias disciplinares extendidas. En la presentación del nuevo programa se
anexan algunos párrafos a lo ya existente, en los agregados se hace mención de la
matemática educativa se dice explícitamente que las matemáticas tienen una pedagogía y
una didáctica, así como también se reconoce que la matemática educativa posibilita la
actualización constante de los docentes. En otro párrafo de la presentación se menciona
que “se sabe que no basta que el profesor “sepa” de la materia, pues es necesario
convertirse en arquitectos de la didáctica y que tengamos clara, de manera explícita cuales
son los principios que fundamenta nuestra práctica” (Departamento de Bachillerato
Tecnológico, 2009, p.7). Un arquitecto es un diseñador que utiliza un conjunto de
conocimientos propios de su disciplina para el diseño, en ese sentido lo que a nuestro
parecer quiere decir la frase es que un profesor a partir de los conocimientos de su
disciplina que es la matemática educativa, llevará a cabo diseños haciendo uso de los
conocimientos propios de su disciplina.
A pesar de lo mencionado en la presentación, en el programa de Pensamiento del Cálculo
Diferencial se implementó un método de enseñanza aprendizaje basado en un modelo
didáctico global el cual consta de seis cuadrantes didácticos y que es usado en todas las
materias. A nuestro parecer esto es una contradicción ya que primero se promueve a la
matemática educativa como la disciplina que proporcionará los elementos de formación y
actualización en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, reconociendo que las
23
matemáticas tienen su propia didáctica, pero esto se contradice con el hecho de
implementar un método que se usa en todas las materias como si todas se pudieran tratar
por igual.
En Arévalo (2012) se hace una propuesta de trabajo para el modelo didáctico global, ésta
es validada por las propias autoridades de educación a nivel estatal ya que él es invitado a
exponer las ideas propuestas en su libro a diversas zonas en donde se encuentran diferentes
escuelas en el Estado de México. A muy groso modo la propuesta de trabajar con seis
cuadrantes didácticos se hace de la siguiente manera:
1) Cuadrante didáctico uno: En donde se genera un ambiente de motivación mediante
la creación de un escenario didáctico y el planteamiento de una pregunta generadora
y varias secundarias.
2) Cuadrante didáctico dos: Se refiere a la búsqueda y evaluación de información
electrónica, de Internet, documentación bibliográfica, y construcción de una
estrategia (plan) de indagación.
3) Cuadrante didáctico tres: Acceso a las fuentes de información y jerarquización de
los datos, mediante organizadores mentales para responder a la temática planteada.
4) Cuadrante didáctico cuatro: Construcción de estrategias de resolución de problemas
de a cuerdo a la organización establecida en los referentes teóricos y metodológicos
respectivos.
5) Cuadrante didáctico cinco: Solucionar el problema acudiendo a procedimientos
propios de la disciplina con el apoyo del docente.
6) Cuadrante didáctico seis: Formular la respuesta y generar el reporte o exposición
oral o escrita.
El nuevo programa de Pensamiento del Cálculo Diferencial considera que a través del
trabajo de un escenario didáctico el cual consiste en el planteamiento de un problema que
va a servir para generar un ambiente de motivación y que junto con una pregunta
detonadora y varias secundarias los estudiantes van a construir el conocimiento a través del
desarrollo de los otros cinco cuadrantes didácticos. En ellos se establece un plan de
búsqueda de información la cual posteriormente se jerarquiza y sirve para construir
estrategias de resolución del problema planteado y con toda la información encontrada y
24
jerarquizada y el apoyo del docente se podrá resolver el problema, finalmente se presenta la
solución dando respuesta al problema propuesto generando un reporte y/o una exposición
oral o escrita. Cada unidad se desarrolla a partir del desarrollo del escenario didáctico
planteado en un tiempo de 25 horas (sugerido por el programa de estudio). Todos los
subtemas de la unidad se van revisando por los estudiantes al ir contestando la pregunta
detonadora y las secundarias.
Hay algunos elementos de la propuesta que pueden ser usados en la enseñanza-aprendizaje
de los contenidos matemáticos no sólo de Pensamiento del Cálculo Diferencial, sino de
todas la materias correspondientes al campo disciplinar de Matemáticas y Razonamiento
Complejo; sin embargo consideramos que la fuente principal de formación y actualización
es la matemática educativa. En esta disciplina científica existen diversas teorías en donde se
ubica al acto de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas dentro de un contexto en donde
dependiendo de la teoría a utilizar se pueden tomar en cuenta por lo menos tres elementos
que actuando de manera sistémica se presentan en las aulas, estos son: el estudiante, el
profesor y el conocimiento; estos tres actores son fundamentales en el acto educativo.
Algunas teorías de la matemática educativa pueden poner mayor atención en alguno de los
aspectos antes mencionados por ejemplo la teoría APOE considera los aspectos cognitivos
del estudiante como algo fundamental en la apropiación del conocimiento. Hay otras teorías
como es el caso de la Socioepistemología que además de los elementos mencionados
anteriormente toma en cuenta otra dimensión más, que es la social, considerando que el
conocimiento se construye en comunidad, donde el objeto matemático no es lo principal a
retomar sino la actividad humana, es decir a el hombre haciendo matemáticas y todos los
elementos que se encuentran presentes y acompañan a la construcción social del
conocimiento matemático; esta forma de abordar la génesis del conocimiento lleva a los
investigadores a reconocer que hay componentes que se encuentran presentes en la
construcción del conocimiento (que no es tomado en cuenta por otras teorías) que pueden
ser usados en la creación de diseños didácticos.
El programa que se presenta tiene innovaciones respecto al anterior, a continuación lo
presentamos:
25
UNIDAD I.
Problemas de Optimización sin Cálculo
1.1. Representación y Solución Numérica
1.2 .Representación y Solución Gráfica
1.2.1. Tipos de Funciones
1.3. Representación y Solución simbólica o algebraica.
1.3.1. Intervalo de validez
1.3.2. Modelo Matemático (Regla de Correspondencia)
1.4. Análisis de la Gráfica de la Función
1.4.1. Características de la Gráfica
1.4.2. Función creciente y decreciente
1.4.3. Función continua y discontinua
1.4.4. Dominio e imagen de la función
1.4.5. Noción de Variación a partir de un comportamiento de casos contextuales
UNIDAD II.
Límite de Fermat
2.1. Movimiento de la secante en una curva
2.2. Cálculo de pendiente de la secante
2.3. Límite de Fermat
2.4. Límites indeterminados
2.4.1. Cálculo de límites de Funciones
26
Algebraicas Contextualizadas
UNIDAD III.
Reglas de Derivación para
Predecir Pendientes
3.1. Reglas para derivar funciones algebraicas
Regla de las Potencias (Derivación de una variable elevada a una constante)
3.1.2. Derivada de la Suma
3.1.3. Derivada del producto
3.1.3. Derivada del cociente
3.1.4. Derivada de la potencia
UNIDAD IV.
Problemas de Optimización y Aplicación Con
Cálculo
4.1. Máximos y Mínimos
4.1.1 Máximos en contexto
4.1.2 Mínimos en Contexto
4.2 Velocidad y Aceleración
4.2.1 Velocidad en Contexto
4.2.2 Aceleración en Contexto
4.3. Modelación y Simulación
4.4 Matemáticas para la universidad
27
4.4.1 Modelos de exámenes UNAM
4.4.2 Modelos de exámenes IPN
4.4.3 Modelos de exámenes UNAM
Como vemos el programa tiene cambios respecto al anterior, sobre todo en las unidades I,
II y IV y esto lo hacen con base al modelo didáctico global. Desde nuestro punto de vista
los diseños didácticos a implementar deberían estar sustentados en alguna teoría de
enseñanza-aprendizaje de matemática educativa. Por otro lado también sería importante que
los docentes conozcan de estas teorías y las usen puesto que de acuerdo a las comunidades
científicas tanto internacionales como nacionales son la fuente que permitirá influir
benéficamente en los sistemas escolares propiciando que los estudiantes usen las
matemáticas como herramientas en la solución de problemas tanto de otras áreas de
conocimiento como en la vida cotidiana, usando las matemáticas de forma crítica ya que les
permitirán tener elementos que los ayuden a analizar su realidad y transformarla.
1.2.2 Tratamiento de la recta tangente en un libro de texto
El libro de texto que se analizara sólo en la parte en la que se menciona a la recta tangente a
la curva y con la cual se auxilia para definir a la derivada es el libro de: Cálculo con
geometría analítica de Earl W. Swokowski. Se ha seleccionado este libro puesto que es uno
de los recomendados en la bibliografía y por tener un enfoque similar al tratamiento de la
recta tangente en la estructura del programa. A continuación mostramos el siguiente
apartado del libro capítulo 2 que tiene por título Límites y continuidad de Funciones en
donde se ve el uso de la noción recta tangente:
Consideremos ahora una ilustración matemática (2.1). En geometría plana la
recta tangente l tangente a un punto P sobre un círculo a veces se define como
la recta que tiene solamente al punto P en común con el círculo como se
muestra en la parte ( i ) de la figura 2.1 Esta definición no puede extenderse a
gráficas arbitrarias, ya que una recta tangente puede intersecar a una gráfica
varias veces como se muestra en la parte ( ii ) de la figura 1.1.
28
Fig. 1.1
Para definir la recta tangente l en un punto P sobre la gráfica de una ecuación,
es suficiente dar la pendiente m de l, ya que ésta determina completamente a la
recta. Para obtener m escogemos cualquier otro punto Q sobre la gráfica y
consideramos la recta que pasa por P y Q, como en ( i ) de la figura 2.2. Una
recta que corta a una gráfica de este modo se llama una recta secante a la
gráfica. Después estudiamos la variación de la secante cuando Q se acerca cada
vez más a P, como se ilustra con las líneas punteadas en ( ii ) de la figura 2.2.
Se ve que si Q esta cerca de P, entonces la pendiente 𝑚𝑃𝑄 de la recta que pasa
por P y Q debe estar cerca de la pendiente de l. Por esta razón, si 𝑚𝑃𝑄 tiene un
valor límite m cuando Q se aproxima a P, definimos la pendiente de l como este
valor m si a es la abscisa de P y x es la abscisa de Q (vea ( i ) de la figura 1.2),
entonces para muchas gráficas la frase “Q se acerca a P” puede sustituirse por
“x se acerca a a” y tenemos
y y
x P
l (i) (ii)
29
𝑚 = lim𝑥→𝑎
𝑚𝑃𝑄
Una vez más es importante observar que 𝑥 ≠ 𝑎 a lo largo de este proceso. En
efecto, si hacemos 𝑥 = 𝑎, entonces 𝑃 = 𝑄 y 𝑚𝑃𝑄 no existe.
(Swokowski, 1982, pp. 51-52)
Fig. 1.2
El autor hace la aclaración de que una recta tangente puede intersecar varias veces a una
curva, también vemos que él maneja la idea de que la recta tangente a la curva se obtiene a
partir del límite de la familia de rectas secantes que devienen en una recta tangente en el
punto P, sin embargo consideramos hace falta aclarar que la recta tangente a la curva, toca a
la misma en un solo punto sin volver a tocarla en la región cercana a la zona de contacto, ya
que si no fuera así ¿cómo se podría distinguir entre una recta secante y una tangente?. Esta
idea es manejada en muchos libros de texto de Cálculo y también en los programas
escolares tal y como lo vimos en el apartado anterior sobre el programa de Cálculo del
Estado de México.
1.2.3 Entrevista a Profesores
Se entrevistó a tres profesores de bachillerato y se les preguntó ¿para qué se estudia la
tangente en Cálculo Diferencial? a lo cual respondieron:
Profesor A:
y
x
P
Q
a x
y
x
P
a x
l
30
Podemos empezar con la definición de tangente. Tangente: Toda recta que toca a la
circunferencia en un solo punto, a este punto se le conoce como punto de tangencia. Al
derivar una función como la que se muestra en la figura. (Esquema entregado por el
profesor)
secante
y2 tangente
f(x)
y1
∆x
x1 x2
Fig. 1.3
Al hacer tender ∆x a cero la secante (línea azul) se acerca a la tangente (línea roja)
confundiéndose con ella.
Por lo tanto la derivada de una función en el punto x1 no es otra cosa que la pendiente de la
tangente a la curva.
Profesor B:
El concepto fundamental para el estudio del Calculo Diferencial es precisamente “ LA
DERIVADA ” y esta tiene varias definiciones, pero en la mayoría de las escuelas de nivel
BACHILLERATO el concepto que más se llega a manejar es desde un punto de vista
meramente geométrico, a la cual la define como: La pendiente de la recta tangente en un
punto determinado de la curva. De esta forma dependiendo de la recta tangente en un punto
de la curva podemos predecir características de suma importancia en la curva, por esta
razón el estudio de la recta tangente se vuelve indispensable para la compresión de la
derivada y del cálculo diferencial.
31
Profesor C:
Desde mi punto de vista creo que es fundamental que se vea la tangente ya que esta es una
herramienta que nos permite dar una explicación geométrica de lo que es la derivada, es
decir el cambio en la variable "y" cuando la variable "x" experimenta un cambio
infinitesimal (pendiente de la tangente).
Se hizo una segunda pregunta a los profesores que es: ¿Consideras fundamental el
estudio de la tangente en cálculo? Si o no. Favor de justificar la respuesta.
Esta última pregunta sólo la respondieron los dos primeros profesores:
Profesor A:
Si
Justificación: considero que en todo fenómeno donde haya una razón de cambio, existen
curvas en las funciones, donde siempre existirán tangentes a dichas curvas donde la gráfica
expuesta anteriormente lo justifica.
Profesor B:
En la forma que vienen plateados los programas de nivel bachillerato para el estudio del
cálculo diferencial y también porque no decirlo, mucho tiene que ver la formación
académica que recibimos en nuestra época de estudiantes y él como nosotros mismos
(profesores) definimos el concepto de la derivada. Definitivamente creo que sí es
fundamental el estudio de la recta tangente. Al alumno se le enseña a manejar las razones
de cambio promedio, con apoyo de rectas secantes se logra determinar una aproximación
del comportamiento de la curva, posteriormente se manejan razones de cambio
instantáneas con el apoyo de una sucesión de rectas secantes hasta encontrar la rectas
tangente y de esta forma se llega explicación de la derivada de una función. Por otro lado,
creo de una forma muy personal que no es esencial el estudio de la recta tangente pero para
ello deberíamos romper ciertos paradigmas de la forma de enseñar actualmente el cálculo
diferencial, deberíamos conocer los orígenes del cálculo diferencial, el mismo Newton,
32
hasta donde he leído, no se basaba en un manejo geométrico (y por ende de la recta
tangente) para el desarrollo de la derivada de una función.
1.2.3.1 Breve análisis de las respuestas de los profesores
Primer pregunta
Los tres profesores relacionan a la tangente con una explicación geométrica. El profesor A
menciona que la recta tangente toca a la curva en un solo punto, como sabemos esto no es
necesariamente cierto, sin embargo es una idea que se encuentra presente en los estudiantes
y en algunos profesores también tal y como es reportado en Cantoral (2000, citado en
Serna, 2007). El profesor da una respuesta en función de una definición, no explica el
motivo por el cual se estudia la recta tangente en Cálculo Diferencial. Desde nuestro punto
de vista es de esperarse una respuesta así, ya que de acuerdo a Gascón (2001) y con lo cual
coincidimos es que hay profesores entre los cuales se manifiesta un modelo clásico docente
que él denomina teoricismo consiste en que el profesor enseña (en el sentido de mostrar)
una teoría cristalizada, la cual se manifiesta a través de los conceptos. Es decir se le da gran
importancia al momento en que los alumnos se encuentran por primera vez ante los objetos
matemáticos que les presenta el profesor y si estos son “bien presentados” entonces
consecuente el proceso de enseñanza-aprendizaje se llevará a buen término.
Con respecto al profesor B dice que la tangente se estudia en las escuelas de nivel
bachillerato y da una explicación geométrica sobre el tratamiento de la derivada, la
pregunta fue abierta y él solo hizo alusión a una justificación digamos dentro del mismo
ámbito de las matemáticas. En el caso de este profesor menciona la parte conceptual, pero
su respuesta va más allá, ya que menciona que se pueden predecir características
importantes de la curva.
El profesor C como en el caso de los profesores anteriores menciona que la justificación del
estudio de la recta tangente es porque permite dar explicaciones de tipo geométricas, y
relaciona la parte geométrica con una explicación que tiene que ver con la razón instantánea
de cambio, se podría interpretar de su respuesta que se concibe a la recta tangente a una
33
curva como algo estático ya que fija su atención en el cociente ∆𝑦∆𝑥 el cual se va a manifestar
a partir de la pendiente de la tangente.
Segunda pregunta
Con respecto a la respuesta del profesor A, su justificación es que en la curvas hay rectas
tangentes. No hay explicaciones de cómo la recta tangente ayuda a interpretar fenómenos
de cambio al indicarnos las características de los mismos o que la recta tangente ayude a la
interpretación de otros conceptos como son máximos y mínimos y punto de inflexión.
Con respecto a la respuesta del profesor B, inicialmente comenta que es fundamental el
estudio de la recta tangente lo cual tiene que ver con los programas de estudio y la forma en
cómo se aprendió la derivada, después dice que no es esencial y sugiere que es conveniente
hacer un estudio de los orígenes del cálculo diferencial. Sin embargo su aseveración con
respecto a Newton es incorrecta, Los Principios Matemáticos son escritos utilizando
argumentos geométricos ya que un paradigma existente en su época era escribir utilizando
la base axiomática de los principios de la geometría. También podemos ver un método para
trazar tangentes escrito en un libro basado en sus apuntes que fue escrito después de su
muerte cuyo título es: Tratado de métodos y series de fluxiones. El profesor tiene una idea
correcta de revisar obras antiguas con el fin de conocer sobre los fundamentos del cálculo
diferencial, sin embargo sus conocimientos sobre la historia del cálculo no son correctos.
Los profesores tienen un manejo de la recta tangente parecido al que se encuentra en libros
de texto tradicionales, el cual también corresponde con lo establecido por la mayoría de
programas escolares de cálculo diferencial. Este consiste en definir a la recta tangente como
el límite de una familia de rectas secantes, además de que se da por hecho que los alumnos
comprenden que la recta tangente a una curva es variacional.
1.3 A manera de cierre
En diferentes partes del mundo se llevan a cabo reuniones con matemáticos educativos en
donde se muestran resultados de la aplicación de diseños didácticos que son el resultado de
productos de investigación, por ejemplo la Reunión Latinoamericana de Matemática
Educativa (Relme) se lleva cada año en algún país latinoamericano incluyendo a México,
34
otra reunión anual es la Escuela de Invierno que se celebra año con año en algún punto de
nuestro país en diciembre. En este tipo de reuniones se muestran los resultados obtenidos al
aplicar los constructos teóricos no sólo de la Socioepistemología sino también de otras
teorías de matemática educativa. Otra forma más de probar los beneficios que se pueden
tener de utilizar teorías de enseñanza-aprendizaje para la implementación de las clases de
matemáticas se encuentra en la revista Relime, ésta cuenta con reconocimiento a nivel
internacional entre la comunidad científica, en ella se muestran resultados de trabajos de
investigación de la Matemática Educativa.
El uso de alguna teoría de la Matemática Educativa permitiría tomar en cuenta elementos
como la cognición en donde los docentes tendrían herramienta para poder saber (con base
en la teoría utilizada) cómo construye conocimiento matemático un estudiante, así como las
diferentes estrategias para la presentación de los diversos contenidos. Por otro lado las
teorías también brindan herramientas que les permiten a sus usuarios saber que la actividad
de enseñanza, no es algo trivial, ya que las propuestas de los planes de estudio han
mostrado lo contrario de acuerdo a investigaciones hechas al respecto (Dolores, 2007;
Marcolini y Perales, 2005); una teoría proporciona elementos para saber quién, qué, cómo,
cuándo, cómo y para que enseñar, como se menciona inclusive en el libro del modelo
didáctico global (Arévalo, 2012), sin embargo y a pesar de que esto se menciona en el libro
citado, no promueve el uso de ninguna teoría de Matemática Educativa y a nuestro parecer
tampoco se hace explícito en el desarrollo del método del modelo didáctico global el uso de
constructos de teorías de enseñanza-aprendizaje propios de otras áreas de conocimiento, en
lugar de ello se proporciona una serie de pasos que el docente tendrá que seguir casi al pie
de la letra sin conocer elementos teóricos que le permitan hacer sus propios diseños.
Existen diferentes grupos de trabajo de matemáticos educativos en nuestro país y otros
como Francia por ejemplo en donde se ha comenzado a trabajar con la Socioepistemología;
(teoría desarrollada en México y Latinoamérica), hay otras teorías de Matemática Educativa
que se trabajan en diversas partes del mundo con muy buenos resultados, esto lo
mencionamos como una muestra de que existe una comunidad científica nacional e
internacional que reconoce a la Matemática Educativa como la disciplina científica que
sirve tanto a investigadores como a docentes, beneficiando a los diferentes sistemas
35
escolares, pero al parecer todo esto no es tomada en cuenta a nivel institucional por la
Secretaría de Educación del Gobierno del Estado de México. En el año 2004 se promovió
un diplomado llamado “Desarrollo del Pensamiento Matemático” a nivel Estado de México
con investigadores de CICATA y Cinvestav del IPN, sobre Matemática Educativa, el curso
se veía muy prometedor, se desarrolló pero no se le dio seguimiento, aun así, consideramos
que este tipo de cursos beneficiaría a los profesores de matemáticas y en consecuencia a los
estudiantes, viéndose esto reflejado en su rendimiento académico, en la prueba enlace, en
sus exámenes para ingresar a las diferentes Universidades, etc.
36
Capítulo II
Estado del Arte
2.1 Introducción
En el capítulo anterior se han reportado diversas problemáticas con respecto a la enseñanza
aprendizaje del Cálculo Diferencial en general y la recta tangente en particular, las cuales
como se ha documentado se presentan en las escuelas de nuestros sistemas escolares e
inclusive en sistemas de otros países. Uno de los problemas enunciados se refiere a el rigor
matemático con que son tratados los temas vistos en tal materia, es muy frecuente que los
programas tengan una estructura parecida a la del análisis matemático (Dolores, 2007), este
formalismo se encuentra presente en los libros de Cálculo, los cuales son una fuente
importante de consulta para alumnos, profesores y la sociedad en general ya que sirven para
elaborar temarios, guías de estudio, estructurar programas, preparar exámenes, estudiar y
también influyen de acuerdo a su contenido en el discurso que es manejado en las aulas
(Castañeda, 2006).
El tratamiento de los temas en los libros de texto de Cálculo es de acuerdo a una estructura
lógica y coherente con el formalismo correspondiente, esto contribuye a que se oculten las
ideas intuitivas con las que nació el Cálculo. Se ha observado que los temas tratados no
hacen alusión a problemas de variación de física, ni con otras ciencias en donde el Cálculo
puede intervenir. Los problemas planteados en los libros de texto son de carácter
intramatemático, y los resultados obtenidos en la enseñanza aprendizaje de esta asignatura
demuestran que los estudiantes después de cursarla regularmente sólo saben manejar de
manera más o menos mecánica los algoritmos vistos en la clase (Dolores,2007; González,
1999; Serna, 2007; Serna, Castañeda y Montiel, 2011, 2012), lo cual no implica que sepan
reconocer las ideas básicas de sus conceptos fundamentales ni los problemas en donde se
37
aplican los conceptos vistos en Cálculo ya que estos no fueron construidos en su momento,
lo cual conlleva a que en la Universidad prácticamente vuelven a ser repetidos en los
mismos términos que en el nivel medio superior (Dolores, 2007). Lo cual implica que no se
puede comenzar los estudios en la Universidad como si todo hubiera sido comprendido
cabalmente por los estudiantes o en su defecto comenzar cómo si no se hubiera aprendido
nada teniendo que redefinir todo de nuevo, en este caso Biza y Zachariades (2010) sugieren
que haya una reconstrucción del tema de la recta tangente.
Uno de los temas en Cálculo Diferencial es el de la recta tangente a la curva. Este es
tratado en los cursos como una aplicación de la derivada y no se reconoce el papel
importante que podría tener en cuanto a la construcción de otros conceptos del Cálculo
Diferencial como son la derivada, los máximos y mínimos y el punto de inflexión. Al
respecto en Cantoral (1988) se reporta acerca del papel histórico que tuvo la recta tangente
en la construcción de la derivada.
La interpretación geométrica de la derivada presenta dificultades en los estudiantes,
(Artigue, 1998; Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral,
2000; Dolores, 2007; Serna 2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009, 2011, 2012). La
forma en cómo es tratado este tema en cursos anteriores al de Cálculo es de acuerdo a la
geometría Euclidiana como un lugar geométrico con su carácter estático; se concibe a la
tangente como aquella recta que toca a la curva en un solo punto sin volver a tocarla (Biza,
Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Kajander y Lovric, 2009), lo cual
como sabemos es cierto para el caso de las cónicas, pero no así para todas las funciones
como por ejemplo la función cúbica. Además en Geometría Analítica se le concibe como
un lugar geométrico, por lo tanto estática, lo cual de acuerdo a lo reportado en Dolores
(2007) puede dificultar el paso de una concepción global (propia de la geometría
Euclidiana) a una concepción local (propiedad fundamental del Cálculo), y dificulta la
aceptación de que la recta tangente (además de tocar) puede cortar a la curva y ser tangente
en la zona de corte (Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza, Nardi y Zachariades, 2009;
Biza y Zachariades, 2010; Canul, 2009).
Reconocemos entonces que existe un fenómeno didáctico con respecto a el estudio de la
recta tangente en las clases de Cálculo Diferencial, este consiste en que los estudiantes no
38
construyen a la recta tangente con su carácter dinámico, además de que los profesores
tampoco ven esto como un problema (Serna, 2007, 2010; Serna, Castañeda y Montiel,
2011, 2012).
La Matemática Educativa aborda como objeto de estudio los fenómenos de enseñanza
aprendizaje y uno de sus fines es afectar benéficamente a los sistemas escolares. Existen
diversos paradigmas teóricos para abordar el objeto de estudio de la Matemática Educativa,
uno de ellos es la Socioepistemología, la cual toma en cuenta al estudiante (polo cognitivo),
el profesor (polo didáctico), el conocimiento (polo epistemológico) y asimismo, toma en
cuenta la componente social, la cual está vinculada con las demás en una relación sistémica.
Esta componente considera, las condiciones sociales en las que se construye el
conocimiento matemático. Desde este punto de vista y retomando el polo epistemológico,
vemos que este queda afectado por la componente social, es decir no se estudia al objeto
matemático en sí mismo, sino que ahora se hace el planteamiento de los escenarios
socioculturales en donde nace el conocimiento. El conocimiento nace situado por las
circunstancias sociales, las necesidades, los consensos, la forma en cómo se transmite, los
paradigmas vigentes en la época, las problemáticas que son resueltas a partir de los usos del
conocimiento. En este trabajo de investigación abordaremos nuestro objeto de estudio a
partir de esta perspectiva.
Bajo esta perspectiva socioepistemológica pretendemos rescatar elementos del pasado en
donde nacen las ideas matemáticas. Nos interesa reconocer cuáles son las circunstancias
que dan origen a el conocimiento matemático (Salinas y Alanís, 2009; Cantoral, 2001),
todo esto con el fin de que puedan ser utilizados en una didáctica actual.
2.2 Elementos de tipo histórico usados en el aula de matemáticas
El estudio de los problemas de variación es lo que históricamente generó las ideas clave del
Cálculo (Dolores, 2007). En nuestro estado del arte revisaremos investigaciones que nos
den cuenta acerca de estas ideas clave sobre la variación y el cambio, que son aquellas que
de alguna manera contribuyeron al nacimiento del Cálculo Diferencial, teniendo presente
que el siglo XVII es un período donde se concretizan métodos generales de resolución de
problemas como el de las tangentes, cuadratura de curvas y máximos y mínimos entre
39
otros. La reflexión acerca de esas investigaciones nos proporcionaran elementos que nos
van a permitir ubicar un punto de partida para nuestra investigación, así como retomar
elementos teóricos que serán utilizados posteriormente, todo esto con la intención de que
pueda ser utilizado desde un punto de vista didáctico y que permita rediseñar el Discurso
Matemático Escolar.
Tomaremos en cuenta para nuestro trabajo los productos de investigación que han
analizado cómo surgieron ideas del Cálculo Diferencial las cuales lo llevaron a una etapa de
formalización y que permitieron generalizar un método para la resolución del problema de
las tangentes. Este problema surgió desde la antigua Grecia, sin embargo los
procedimientos utilizados eran exclusivamente geométricos. Con la caída del feudalismo y
el nacimiento del capitalismo en los siglos XVI y XVII varios científicos empezaron a
descubrir leyes de la naturaleza, en Dolores (2007, p. 10) se reporta:
…, las ideas de variación y cambio como abstracciones obtenidas de la realidad,
se van desarrollando y son introducidas por Descartes en su Geometría como
magnitudes variables definiéndolas en forma dual: como coordenada variable
de un punto que se mueve a lo largo de una curva y en la forma de un elemento
variable del conjunto de números. Sobre esta base las cónicas de Apolonio son
interpretadas por medio de ecuaciones algebraicas las cuales expresan, a su vez
relaciones entre las variables x y las y (la noción de función), trascendiendo así
la idea de incógnita propia del Álgebra y poniendo en su lugar la idea de
variable propia del Análisis Matemático.
El auge que habían cobrado las Ciencias Naturales, la introducción de la
Geometría Analítica y las propias exigencias de la mecánica en el siglo XVII
propiciaron nuevas soluciones que relacionaron al problema de las tangentes
con los fenómenos de la variación.
La matemática de la variación desarrolló ideas que permitieron el nacimiento y
formalización del Cálculo Diferencial, como es reportado en Dolores (2007, p. 9):
Con la transición de la Matemática de las constantes a la Matemática de las
variables (Aleksandrov, et al 1985), el desarrollo de la matemática da un salto
40
cualitativamente superior, pues el movimiento como propiedad esencial de la
materia es incorporado a la matemática en forma de variables trascendiéndose
así concepciones estáticas acerca de la naturaleza y del universo. Este viraje en
el desarrollo de la matemática posibilitó soluciones más generales al problema
de las tangentes.
Consideramos que el análisis y reflexión de estos productos de investigación nos pueden
permitir contestar preguntas como: ¿hubo circunstancias fuera del ámbito de lo
exclusivamente matemático que propiciaron que se encontrara un método general de
resolución del problema de las tangentes?, ¿qué métodos se utilizaron?, ¿cómo era la forma
de la transmisión de las ideas?. Las respuestas a estas preguntas nos van a dar cuenta no
sólo del objeto matemático a estudiar, sino también las estrategias, los escenarios, propios
de la época, en donde nacen estas ideas (las cuales en ese entonces no tenían la formalidad
con la que ahora se enseña), y que se fueron perdiendo con el transcurso de los siglos en
donde se fueron formalizando los conceptos hasta llegar a la forma actual en la que son
presentados los contenidos del Cálculo Diferencial.
Al reflexionar detenidamente acerca de estas ideas se puede observar que hay elementos en
la historia de las matemáticas que pueden ser utilizados en la didáctica actual, como
reporta Dolores (2007, p. 17)
Así pues, el desarrollo histórico de las ideas matemáticas sugiere un camino que
pudiera ser explorado en la enseñanza, para que una persona alcance el nivel de
pensamiento que alcanzaron varias de sus generaciones precedentes es
necesario que pase aproximadamente por las mismas experiencias de sus
antepasados.
La matemática de la variación y el cambio proporciona nuevos argumentos los cuales
constituyen elementos para construir el concepto de recta tangente. Por ejemplo por medio
de los infinitesimales, se puede argumentar con ideas sobre la variación y cambio,
utilizando razonamientos geométricos-visuales, para expresar las múltiples
caracterizaciones que se tenían de la recta tangente, máximos y mínimos, así como el punto
de inflexión
41
2.3 La historia y los usos del conocimiento en la Socioepistemología
En la matemática desarrollada en el siglo XVII específicamente aquella orientada por
medio de la física y que trataba con problemas de cambio y variación concerniente al
Cálculo infinitesimal, se encontraba presente una forma de resolver los problemas por una
comunidad. La resolución de estos problemas se ven concretizados en la etapa de
formalización del Cálculo en donde se determinan métodos generales de resolución de
problemas, la solución a estos problemas se puede llevar a cabo por el uso de los nuevos
paradigmas científicos de la época. La revisión que se llevará a cabo nos permitirá
reflexionar sobre los hallazgos encontrado, los cuales como se ha comentado anteriormente
nos sirven como punto de partida para ubicar a partir de donde vamos a iniciar con nuestro
análisis.
Estos nuevos argumentos constituyen los elementos con los cuales se puede construir el
concepto de recta tangente, utilizando para ello a los infinitesimales o ideas cercanas a
ellos. Estos usos del conocimiento permiten argumentar sobre la variación y cambio,
utilizando razonamientos geométricos-visuales, para expresar las múltiples
caracterizaciones que se tenían de la recta tangente, máximos y mínimos, así como el punto
de inflexión.
El viraje que se presenta más enfáticamente en los siglos XVI, XVII y XVIII con respecto
al Cálculo en donde los fenómenos de la naturaleza sobre la variación y el cambio modifica
la forma en como eran vistas las matemáticas. En ese periodo queremos ubicar nuestra
investigación, puesto que consideramos que esas nociones con las que nace el Cálculo son
menos formales y conserva ideas intuitivas las cuales ser rescatadas y utilizadas en una
didáctica actual. Gracias a esas nuevas formas de ver las matemáticas se consolidan
métodos generales de resolución de problemas, sin embargo en estos inicios de la
formalización del Cálculo las ideas con las que nace son menos formales que las que
actualmente existen, los argumentos físicos, así como los esquemas geométricos
posibilitaron el arribo a estas ideas, la formalización vino en los siglos posteriores. De tal
forma que vemos que un elemento clave fueron los fenómenos físicos de variación y
cambio de la naturaleza
42
2.4 Propósito del Estado del Arte
El propósito de nuestro estado del arte al analizar los hallazgos obtenidos de los trabajos de
investigación es reconocer cuales fueron los elementos en el nuevo paradigma del siglo
XVII en donde con los infinitesimales se podía argumentar acerca de elementos de
variación y cambio, gracias a los cuales se lograron nuevas formas de resolver el problema
de las tangentes hasta llegar a un método general de resolución de este problema con
Newton y Leibniz. En esta época se desarrolla el Cálculo infinitesimal con ideas más
intuitivas que formales como es comentado en Dolores (2007, p. 17) quien cita a Kline
(1984, p. 47)
… en gran parte se debieron a que los matemáticos pensaron intuitivamente, a
que usaron frecuentemente los argumentos físicos. … los esquemas
geométricos y las generalizaciones a las que llegaron fueron apoyados en casos
particulares conocidos que les permitieron llegar a conclusiones correctas. …
durante los siglos en que se edificó el cálculo no había aún un desarrollo lógico
que hiciera consistente sus fundamentos, aparentemente la intuición de los
matemáticos de esa época fue más poderosa que su lógica.
La revisión nos proporcionará elementos que se encontraron presentes en el desarrollo del
Cálculo Diferencial en lo general, pero también de manera particular en la solución al
problema de las tangentes, sobre todo aquellas que usaron argumentos de cambio y
variación, todo esto para implementarlos intencionalmente en el diseño de secuencias
didácticas.
2.5 Constructos asociados a la recta tangente desde un punto de vista variacional
En Castañeda (2004) se hace un análisis socioepistemológico al proceso de formulación del
discurso didáctico del punto de inflexión. En este trabajo de investigación entre otras cosas,
se aborda el análisis de obras de difusión del Cálculo infinitesimal de L´Hospital y Agnesi.
Podemos encontrar en esta obra una forma de revisión que contempla el análisis de los
escenarios a partir de los cuales se construye el conocimiento. En este trabajo de
investigación se pone la mirada en los diferentes usos que se tiene de los objetos
matemáticos que se encontraban vigentes, por ejemplo las magnitudes infinitesimales, las
43
diferencias, la recta tangente, el uso de diferentes estrategias geométrico-visuales las cuales
permitían argumentar sobre los diferentes conceptos que se trataban de demostrar, o
problemas que se resolvían a partir de estos nuevos enfoques. Estos son tratados bajo una
perspectiva diferente, en donde se involucraba un nuevo paradigma el de los
infinitesimales, el cual era distinto al paradigma anterior sobre las matemáticas, digámosle
a este paradigma anterior como lo hace Dolores (2007), el de las matemáticas de las
constantes.
En Serna (2007) se llevó a cabo un análisis socioepistemológico que nos permite ver la
evolución que tuvo la recta tangente. Para ello se revisaron obras antiguas eruditas y obras
de difusión del Cálculo, así como un libro de texto que es usado actualmente en nuestros
sistemas escolares. En este trabajo de investigación se puede observar cómo se pierden las
ideas que originalmente dan pie a que se resuelva el problema de las tangentes que se
encontraba vigente en el siglo XVII y en donde la forma de la transmisión de las ideas eran
más intuitivas que formales, utilizando argumentos geométricos-visuales. Sin embargo los
infinitesimales y su representación se fueron abandonando por ideas más formales en los
siglos venideros y con ello la recta tangente se expresa como la aplicación geométrica de la
derivada, es decir sólo como una aplicación de la derivada y no como un argumento que
permite la construcción del concepto derivada.
En la tesis de Sarmiento (2008) en donde se hace un análisis epistemológico que tiene un
carácter descriptivo del origen y evolución del Cálculo infinitesimal se hace énfasis en las
estrategias utilizadas para la construcción de la derivada. Él parte de los griegos en su
análisis y continua con algunos matemáticos modernos como son: Cavalieri, Jonh Wallis,
Isaac Barrow, Isaac Newton y por último a W. Leibniz. También tenemos el libro de
Dolores (1999) el cual es escrito con base en sus investigaciones realizadas bajo la línea de
investigación del Pensamiento y Lenguaje Variacional. Otro trabajo de investigación que
revisamos es el de Cardona (2009) el cual es un diseño didáctico para la resignificación de
la noción de derivada y se encuentra situado dentro de la línea de investigación de
Pensamiento y Lenguaje Variacional.
El trabajo de tesis de Canul (2009) retoma trabajos de investigación sobre estudios
epistemológicos, sobre la propuestas para la construcción de recta tangente y estudios
44
exploratorios o experimentales, todos ellos relacionados a la recta tangente y lleva a cabo
una situación didáctica con la que se pretende que los alumnos transiten de la concepción
euclidiana a la concepción leibniaza de tangente.
Los problemas de variación y cambio son relevantes en el desarrollo histórico de los
conceptos fundamentales de Cálculo Diferencial (Dolores, 2007). La línea de investigación
del Pensamiento y Lenguaje variacional retoma esta situación ya que se ocupa de de las
estructuras variacionales específicas desde un punto de vista matemático y epistemológico,
en (Cardona, 2009) y (Dolores, 1999) se aborda la recta tangente bajo el enfoque de esta
línea de investigación.
Al revisar todos los trabajos mencionados con anterioridad se pretende mirarlos
reconociendo los elementos esenciales a partir de los cuales se puede construir a la recta
tangente, cuáles son los usos que se les da a estos elementos, así como también reflexionar
sobre cómo están presentes los procesos de variación y cambio. Es importante también
observar a partir de estos productos de investigación cuáles son los contextos en los que se
desarrollan las ideas matemáticas. Todo esto nos permitirá tener elementos que nos
posibilitarán ver la epistemología de las matemáticas analizadas. Todo lo anterior con el fin
de rescatar ideas con las cuales podamos llegar a nuestro objetivo que es el construir la
recta tangente a la curva desde un punto de vista variacional.
El problema de las tangentes que se refería a encontrar la recta tangente a una curva, fue
abordado por diversos matemáticos en el siglo XVII y principios del XVIII. De acuerdo a el
análisis llevado a cabo en Serna (2007) se pudo observar que la recta tangente a una curva
eran una misma con la curva en una región infinitesimal, de tal forma que se podía
establecer una relación de semejanza de triángulos, entre uno de dimensiones finitas con
respecto a otro de dimensiones infinitesimales. Se podía establecer por lo tanto un cociente
entre dos fluxiones desde la perspectiva de Newton la cual tenía que ver con la descripción
matemática de los fenómenos físicos, o entre dos diferenciales de acuerdo a la perspectiva
de Leibniz, el cual llega a sus resultados explorando la vía geométrica (Dolores, 2007).
La idea de un cociente entre dos cantidades infinitamente pequeñas es muy cercana a la de
la derivada tal y como es conceptualizada actualmente. Consideramos que esta idea es
45
valiosa ya que nos permite ver que hay una forma diferente de abordar el tema de recta
tangente en donde se utilizan nociones como la semejanza de triángulos y la idea de rapidez
de cambio de una variable con respecto a la otra en un instante. De acuerdo a lo revisado en
la investigación señalada se puede observar que finalmente esta idea fue precursora de la
derivada. Cuando posteriormente revisemos este enfoque en este mismo capítulo
pretendemos demostrar que se puede construir la recta tangente a la curva a partir de los
infinitesimales en un contexto geométrico-visual, utilizando ideas menos rigurosas a las que
actualmente se presentan en el Cálculo Diferencial como es el caso del límite y que se
pueden utilizar en situaciones de enseñanza – aprendizaje del Cálculo Diferencial.
Con respecto a los trabajos de investigación analizados en este estado del arte tenemos dos
tipos: los de tipo histórico epistemológico que se encargan de hacer un análisis de fuentes
históricas, en donde son tomados en cuenta los contextos en los que nace el conocimiento.
Se tienen también trabajos de investigación de tipo didáctico, los cuales proponen métodos
didácticos que son productos de investigación en matemática educativa y que se encuentran
bajo la línea de investigación del Pensamiento y Lenguaje Variacional.
Iniciaremos analizando los trabajos de investigación de tipo histórico epistemológico, y
comenzaremos por la noción de diferencia. Con respecto a esta idea se desprenden o
podemos asociar otras ideas tales como: las magnitudes, la variación y lo gráfico-visual,
todos y cada uno de estos aspectos se encuentran vinculados entre sí. Es a partir de ellos
que se puede construir la noción de recta tangente. Es a partir de la diferencia como se
pueden concebir las magnitudes infinitesimales, las cuales nos permiten ver como esta
variando las cantidades variables. A partir de la razón de cambio entre magnitudes
infinitesimales se puede obtener a la recta tangente a la curva.
2.6 Estudios Histórico-Epistemológicos
2.6.1 Diferencias
En la tesis de Castañeda (2004) se da un amplia explicación con respecto a la definición de
diferencia. Concepto clave en la obra de L´Hospital puesto que contribuye de manera muy
importante en la construcción de todos los demás conceptos matemáticos que surgen a
través de la obra. La forma en cómo se enuncia a la diferencia en la obra citada le permite
46
al lector observar de manera muy sencilla una distinción entre lo que es una variable y una
constante, el análisis exhaustivo de las diferencias permite caracterizar a una curva. Se
puede establecer a cada punto de la curva una ordenada y la diferencia surge cuando se
lleva a cabo una comparación entre dos ordenadas de la misma curva las cuales se
encuentran infinitamente cercanas. Cuando se hace esto consecutivamente y al observar
estas diferencias se pueden definir características importantes de la misma, por ejemplo al ir
comparando los diferentes estados y si estos van siendo cada vez más grandes podemos
establecer que en esa región la curva es creciente, se puede ser más exhaustivo al
determinar si es un crecimiento “rápido” o “lento”, o incluso si es un crecimiento constante
al tratarse de una recta, de manera análoga se podría caracterizar una región de la curva
decreciente. La comparación entre dos puntos a partir de la diferencia permite asignarle un
signo a la misma, este nos indica si el estado vecino es mayor o menor al estado actual.
Encontramos entonces que la diferencia puede caracterizar a dos magnitudes que se
encuentran infinitamente cercanas ya que estas por sí solas no nos dan mucha información,
pero cuando son comparadas por medio de la diferencia y si esta comparación se hace
consecutivamente entre los diferentes estados de la curva se puede obtener información
sobre la variación de la misma.
En Castañeda (2004) se reporta con respecto al Cálculo de Leibniz que él hace alusión a los
estados, es decir a un comportamiento discreto que se extrapola a un contexto continúo a
diferencia de L´Hospital que lo hace a través de la variación continua. Al observar esta idea
de los estados, podemos decir que para situar un estado “es detenerse” en un punto de la
curva, en un instante y cuantificar la ordenada en ese momento, posteriormente se puede
uno “detener” en otro estado y hacer comparaciones entre los dos, a través de la diferencia.
Al hablar de estados de la curva se puede pensar que se está haciendo referencia a una
variable física, sin embargo esto es algo que no podemos afirmar con certeza dado el
tratamiento geométrico que hace Leibniz de su Cálculo.
El reflexionar acerca de la diferencia nos permite determinar por ejemplo si una diferencia
se mantiene constante, entonces se trata de una línea recta, evidentemente cuando las
diferencias consecutivas no son constantes, se trata de una curva. En el análisis hecho por
Castañeda (2004) sobre las obras de L´Hospital y Agnesi nos dan muestra que las
47
diferencias se pueden asociar con magnitudes infinitesimales y estas nos permiten encontrar
por medio de semejanza de triángulos y haciendo uso de argumentos geométricos visuales
la recta tangente a la curva, así mismo a partir de las magnitudes infinitesimales se
posibilita la determinación de los máximos y mínimos, así como del punto de inflexión,
también mediante las diferencias es asequible ver si se trata de una función creciente o
decreciente, por otro lado permiten determinar si el punto sobre la curva se encuentra en
una región cercana a un máximo o un mínimo.
Hasta ahora se ha reflexionado acerca del uso de la diferencia en ambientes geométrico-
visuales, sin embargo como se ha comentado en otro apartado de este mismo capítulo los
fenómenos de la naturaleza de las ciencias físicas estuvieron estrechamente relacionados
con las matemáticas. Se considera que “el movimiento como propiedad esencial de la
materia es incorporado a la matemática en forma de variables” (Dolores, 2007, p. 9). Este
estrecho vinculo se manifiesta en una relación dialéctica entra la física y las matemáticas
del siglo XVII se reconoce que la física “dirige” la construcción de conocimiento
matemático como es reportado en Cantoral (2001). Él busca extraer los procesos de
construcción de conocimiento matemático cuando este se orienta por el pensamiento físico.
Reporta en base a su análisis acerca de los fenómenos de cambio, semejante a los de flujo
de agua, acerca de la diferencia, la cual para él es un elemento sumamente importante, ya
que la diferencia fundamental 𝜌(𝑎 + 𝑑𝑎) − 𝜌(𝑎) sirve para el estudio de la naturaleza de
la variación local, con la cual basta cuando se pretende extraer el comportamiento global de
los fenómenos de flujo ya que:
La idea básica a la que nos referimos consiste en la asunción de que con la
predicción de los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, es posible
anunciar, anticipar su estado ulterior. Pues conociendo ciertos valores iniciales
de un sistema en evolución, sabremos la forma en que este progresa.
(Cantoral, 2000, p. 195)
La diferencia fundamental: 𝜌(𝑎 + 𝑑𝑎) − 𝜌(𝑎) “mide el desequilibrio en la naturaleza, su
reconocimiento permite anunciar la presencia de flujos, así como también da cuenta de los
procesos de acumulación de lo que fluye…” (Cantoral, 2001, p. 348). Observamos entonces
48
la importancia de la diferencia ya que es la noción con la que se pueden medir cambios, ya
sean estos manifestados en una curva o en los fenómenos de la naturaleza. Estos cambios y
su variación y la variación de la variación y así sucesivamente permiten determinar
completamente la evolución de un sistema. De tal forma que hay una necesidad de la
observación de la variación infinitesimal pues se podrá predecir el estado ulterior en un
sistema de fenómenos de flujo. Se puede ver a partir de esta investigación cómo el
acercamiento a las matemáticas vía la orientación de los fenómenos físicos condujo a
resultados que nos muestran la construcción de los conceptos matemáticos de Cálculo. De
esta manera se podría retomar en una didáctica actual. Esto da pie a una reorientación del
discurso matemático escolar, Cantoral (2001) sostiene que la matemática educativa no
debería estar enfocada solamente en el cómo enseñar, sino también en el qué enseñar.
Producto de esta investigación también se reporta que al llevar a cabo una estrategia
didáctica con profesores se observó que hay una identidad de mecanismos funcionales entre
las producciones de los profesores y la historia.
2.6.2 Magnitudes
Un aspecto muy importante en el análisis llevado a cabo en Castañeda (2004) es la
descripción de los comportamientos de las curvas a partir de elementos gráfico-visuales. En
base a lo que se manejaba en el siglo XVII y XVIII, que cada punto de una curva tiene
asociado una abscisa y ordenada, de tal forma que al tomar un punto de la misma y dejarlo
fluir durante un instante se tendrá otro punto y al comparar las magnitudes de las ordenadas
de estos dos puntos (los cuales están infinitamente cercanos) por medio de una diferencia se
obtendrán los infinitesimales, los cuales son magnitudes infinitamente pequeñas y
estrictamente hablando no se deberían de poder ver, sin embargo el uso de las gráficas
permite ilustrarlos ya que estas magnitudes son representadas por medio de pequeños
segmentos. Gracias a estas representaciones se presentan explicaciones de los
comportamientos infinitesimales.
El trabajo hecho por Castañeda (2004) nos muestra los usos de las gráficas en la obra de
L´Hospital. En ella se explica que a partir de las magnitudes infinitesimales se pueden
determinar los comportamientos variacionales en una curva. Podemos destacar que en el
análisis hecho se muestra acerca de la variación y el cambio a través de ordenadas
49
infinitamente cercanas de una curva y es a partir de una gráfica en donde el lector puede
observar la variación. Para poder percibirla se menciona sobre los pequeños cambios o
diferencias las cuales son representadas por dx y dy que a su vez representan magnitudes
infinitamente pequeñas. A través de las obras analizadas en Castañeda (2004), él nos va
presentando diferentes formas que encontró fueron utilizadas por L´Hospital y Agnesi. Para
ello se hace uso de la visualización entendida como un acto en el cual un individuo
establece una fuerte conexión entre un constructo interno y algo que obtiene a través de los
sentidos (Zazkis, Dubinsky y Dautermann, 1996 citado en Borba y Villareal, 2005). El uso
de las gráficas nos permite argumentar con respecto a las magnitudes infinitesimales, o
diferencias como también son llamadas, por ejemplo la comparación entre una magnitud
pequeña con un arco pequeño. Se puede considerar que un punto de la curva es un
segmento infinitamente pequeño y consecuentemente toda la curva puede ser considerada
como el ensamblaje de un conjunto infinito de pequeños segmentos infinitesimales. Esta
idea es importante para nuestro trabajo de investigación ya que a partir de ella se puede
construir el concepto de recta tangente. Como posteriormente es mencionado en la obra de
L´Hospital la extensión en ambos sentidos de uno de estos pequeños segmentos
infinitesimales es la recta tangente a la curva. Desde nuestro punto de vista el retomar esta
idea en la didáctica les puede servir a los alumnos ya que este ensamblaje de segmentos
infinitesimales hace accesible la idea de que la recta tangente va cambiando en cada
instante, además habrá puntos en donde la recta tangente corte a un punto y no sólo lo
toque.
Queremos resaltar una observación hecha acerca del método analítico, para inspeccionar las
partes:
La forma en la que L´Hospital concibe una curva, sin importar su grado, tiene
una estrecha relación con aquellas estrategias que se desarrollaron desde la edad
media, para el estudio de los fenómenos complejos o que presentaban cierto
grado de dificultad. Usando el método analítico, para inspeccionar las partes, es
posible reducir la dificultad a través de simplificar el problema hasta sus
primeras manifestaciones.
(Castañeda, 2004, pp. 122-123)
50
Desde nuestro punto de vista este método puede aportar ideas a utilizar en el terreno
didáctico, ya que al pensar en la curva como un ensamblaje de segmentos infinitesimales,
se puede hacer el análisis de una de esas pequeñas partes, reconociendo el comportamiento
de la curva en ese pequeño instante.
Algo similar a este método analítico o una idea intuitiva acerca de él es utilizado por otros
matemáticos. Por ejemplo Leibniz hace uso del triángulo característico como es reportado
en Pulido (1998, p. 5)
Si c es una curva asociada a una ecuación con variables x, y, entonces ds
(diferencial de curva) se relaciona con dx y dy formando el llamado triángulo
característico; véase la figura siguiente:
Fig. 2.1
Según Pulido (1998) el hecho de que se pueda aplicar a cualquier curva el triángulo
característico es una de las ideas que condujeron a Leibniz a la construcción de su Cálculo.
Con respecto a la gráfica anterior se explica que ds es el diferencial de la curva el cual se
encuentra representado matemáticamente por 𝑑𝑠 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 con lo cual se observa que aparece la
recta tangente como resultado de la razón entre las diferencias dy y dx. Mediante este
razonamiento se le puede atribuir a la curva características de la recta tangente en la región
infinitesimal correspondiente a el segmento ds el cual de manera implícita se ve que es
igual al pequeño diferencial de curva.
51
Sarmiento (2008) hace un análisis epistemológico para comprender los diversos
tratamientos y enfoques que se le dio al Cálculo Diferencial en diversas épocas. Se observa
una forma de razonar parecida en Cavalieri (1598-1647), cuando considera la suma de los
indivisibles para encontrar un área o la suma de pequeñas áreas para encontrar un volumen.
En Serna (2007, 2008, 2010) también reporta cómo el uso de los infinitesimales fue
retomado por los matemáticos del siglo XVII para resolver los viejos problemas
geométricos de la antigua Grecia, entre ellos el problema de las tangentes. A su vez el
análisis del elemento puntual para obtener información en el estado de facto, mediante la
cual se podría obtener información del estado ulterior es reportado en Cantoral (2001) en
base a estas evidencias se muestra lo que cotidianamente se llevaba a cabo por una
comunidad y servía para dar explicaciones o construir argumentos para solucionar
problemas, para el caso que mencionamos los viejos problemas geométricos de la antigua
Grecia y que estaban siendo retomados con las nuevas herramientas del Cálculo naciente.
Retomando los usos que se le dieron a los segmentos infinitesimales, en la investigación
hecha por Castañeda (2004) en donde se reporta sobre Agnesi. Ella llega por medio de
argumentos geométricos a través de la semejanza de triángulos entre dos triángulos uno de
dimensiones finitas y otro de dimensiones infinitamente pequeñas a la idea de recta
tangente. Para llegar a esta noción se hace necesario las magnitudes infinitamente pequeñas
las cuales por sí mismas representan variaciones de un punto de la curva tanto en las
abscisas como en las ordenadas. Al comparar estas dos magnitudes por medio de una razón
es como aparece la recta tangente. Se reporta:
Utilizando este mismo acercamiento dinámico, explica la naturaleza de las
cantidades infinitamente pequeñas; dada la abscisa AP, al dejarla fluir por un
instante produce una porción infinitesimal Pp, el cual es llamado diferencia o
fluxión de AP.
Esta explicación se parece a las argumentaciones de Newton para fundamentar
su cálculo;… respecto a los momentos dice que son principios nacientes de
cantidades finitas. Estos momentos son magnitudes infinitesimales y
corresponden a nuestros diferenciales actuales. [En (Cantoral, 1983)].
52
Fig. 2.2
Para determinar una diferencia infinitesimal, Agnesi emplea una representación
gráfica usando la ya conocida relación establecida entre dos triángulos, uno de
dimensiones finitas y otro de dimensiones infinitesimales. Dice que una vez
determinada la variación de P, es decir el punto p, es posible trazar las paralelas
PM y pm, si se traza la cuerda mM se determina el punto B, por otro lado, si se
traza la recta MR paralela a AP, se observan dos triángulos, el BPM y el MRm
cuya relación está dada por BP:PM::MR:Rm. En esta relación geométrica la
cuerda Mm no se distingue del arco infinitesimal y pueden tomarse
indistintamente uno por el otro.
(Castañeda, 2004, p. 148)
En la gráfica se ilustran los infinitesimales. Este tipo de argumentos permiten la
construcción de la recta tangente a la curva. Usando argumentos geométrico-visuales se
puede observar de manera más intuitiva una construcción de la recta tangente, en
comparación con la forma tradicional de presentarla en los libros de Cálculo, así como en
los programas de estudio en donde se conceptualiza a la recta tangente como el límite de
53
una familia de rectas secantes que devienen en la recta tangente. Consideramos que el
utilizar las magnitudes infinitesimales en conjunción con conceptos como semejanza de
triángulos y el de razón de cambio son ideas que pueden ser utilizadas en la didáctica
actual.
En Castañeda (2004) se menciona que al llevar a cabo una diferencia entre dos segmentos
que se encuentran infinitamente próximos se obtiene una magnitud infinitesimal la cual es
representada gráficamente por un pequeño segmento denotado por dx o dy. Por medio de la
diferencia se le puede asignar a los segmentos ciertos atributos, pueden ser: positivos,
negativos, cero o infinitos y es a través del análisis, de los signos, de los cambios de signos,
y recordando que estos pequeñas magnitudes infinitesimales al ser extendidas en ambos
sentidos se convierten en la recta tangente a la curva. Entonces se tiene una recta tangente
dinámica.
Vemos cómo el análisis de los cambios que tienen las magnitudes infinitesimales, nos va a
permitir ir determinando ciertas propiedades de la curva. Como se mencionó con
anterioridad se puede considerar a una curva como el ensamblaje de un conjunto de
segmentos infinitesimales en donde la recta tangente en un punto sería la extensión en
ambos sentidos de uno de estos pequeños segmentos. Al conceptualizar a la curva de esta
manera se puede decir que la recta tangente tiene propiedades idénticas a una curva en la
región infinitesimal en donde hace contacto con ella. Se puede caracterizar también al
máximo o mínimo como aquel punto en donde la recta tangente a la curva es horizontal o
vertical. Consideramos que desde un punto de vista didáctico se pueden retomar estas
aportaciones con los alumnos, ya que pueden permitir que mediante secuencias didácticas
los alumnos puedan construir la noción de máximos y mínimos. Considerar el máximo (o
mínimo) que es un punto de la curva como un segmento infinitesimal es más accesible la
idea de que en este punto la curva no es creciente ni decreciente.
Por medio de la representación visual en una gráfica es posible observar por medio de las
magnitudes infinitesimales. Las diferencias de las diferencias o como también son llamadas
las diferencias de segundo orden. De acuerdo a lo reportado en Castañeda (2004) en la obra
de L´Hospital el lector podrá visualizar las diferencias de segundo orden e inclusive las de
orden mayor. Para lograr tal construcción, son necesarias la descripción verbal y la gráfica.
54
El punto de inflexión surge ahora utilizando como argumento a las magnitudes
infinitesimales.
En la figura 2 se observa una forma de caracterizar al punto de inflexión a partir del uso de
las diferencias. En el caso mostrado, Hn es un pequeño segmento que representa a la
segunda diferencia de PM, se vuelve cero en donde se encuentra localizado el punto de
inflexión. A nuestro parecer este acercamiento podría tener un uso didáctico ya que el
punto de inflexión se puede ver en la gráfica a partir de la propiedad mencionada y también
se observa que en ese punto se encuentra el cambio de concavidad.
(Castañeda, p. 137, 2004)
Fig. 2.3
En Castañeda (2004) y Cantoral (2000) se reporta el uso que se le daba a la subtangente (la
subtangente es el segmento sobre el eje x que une el pie del punto de tangencia con el punto
en el que la tangente corta a el eje x). Para determinar el punto de inflexión, la subtangente
toma su valor máximo o mínimo en el punto de inflexión:
En su modelo explica que cuando AP crezca continuamente, AT lo hará
también, hasta que P llegue a caer en E, después del cual, AT irá disminuyendo.
Esto supone que el punto L es un punto <<extremo>> o máximo en el momento
en que P cae sobre E.
55
Fig. 2.4
Así, el punto de inflexión se calcula a través de observar la variación de la
subtangente en relación con la tangente e identificar dónde éste logra la
magnitud extrema o máxima sobre el eje.
(Castañeda, 2004, pp. 138-139)
En Castañeda (2004) se comenta sobre este modelo para calcular el punto de inflexión. Se
basa en el uso del concepto subtangente a partir de reconocerla como un segmento que en el
punto de inflexión adquiere su magnitud máxima o mínima. Una vez más notamos que a
partir de elementos geométricos y gráfico-visuales se puede definir otro punto característico
de una curva. También podemos observar como aquí se nota claramente que la recta
tangente corta a la curva y no sólo la toca. Esta idea de que la recta tangente sólo toca a la
curva en el punto de tangencia y no la puede cortar es la concepción Euclidiana que se tenía
sobre la recta tangente a la curva, sin embargo
…con el desarrollo de la geometría analítica, se clarificó la relación entre las
curvas y las ecuaciones, y el hecho de que toda ecuación en dos variables
determinara una curva en el plano, produjo una verdadera explosión de nuevas
curvas con algunas de las cuales resultaba inadecuado el concepto griego de
tangente,…
(Canul, 2009, p. 21)
A partir del análisis del comportamiento de las magnitudes infinitesimales se puede conocer
características importantes de una curva. Por ejemplo al hacer una comparación entre dos
56
puntos de una curva se puede conocer si la curva creció o decreció y si en un cierto
intervalo la curva es creciente o decreciente. Podemos ver entonces que efectivamente esta
asociación entre fenómenos de la naturaleza con las matemáticas hace que se construyan
significados entre la comunidad que los está utilizando, ya que la curva podía representar
fenómenos de flujo continuo de tal forma que era necesario el conocer cómo se estaba
comportando el fenómeno, y cuánto crece o decrece en un instante una curva por cada
unidad de cambio en el eje x. Este conocimiento se puede obtener a partir de la localización
de la recta tangente en un punto dado. Consideramos que los elementos analizados nos
puede permitir elementos que puedan ser retomados en una didáctica actual, por ejemplo el
hecho de que la recta tangente a la curva se pueda construir a partir de elementos que el
alumno conoce de sus cursos anteriores. En el caso de los alumnos de nivel medio superior
han llevado hasta antes de Cálculo los cursos de: álgebra, geometría euclidiana y geometría
analítica. Es viable que los argumentos gráfico-visuales se pueden utilizar para poder dar
explicaciones acerca de las magnitudes infinitesimales de una manera intuitiva y por medio
de los cuales posteriormente se puede construir a la noción de recta tangente. Bajo estos
razonamientos, ahora puede la noción de recta tangente servir a su vez de argumento en la
introducción de la derivada.
2.6.3 Máximos y mínimos
Con base a lo reportado en Castañeda (2004, 2006) se pueden enunciar tres
aproximaciones para los máximos y mínimos. Son argumentos novedosos basados en
conocimientos antiguos y que utilizan argumentos intuitivos a partir de explicaciones
geométrico-visuales y no solamente se trata de la aplicación de un algoritmo.
1. En donde la figura permite hacer una comparación de los tamaños. Visualmente se puede
discriminar entre un conjunto de ordenadas aquella que tiene la ordenada más grande o la
más pequeña. También en base a las explicaciones de L´Hospital se detecta una de las
características de una parábola; esta consiste en poder atribuirle a la gráfica un
comportamiento en donde hay cambios, al hacer la precisión de las ordenadas que van
creciendo hasta un cierto punto después del cual disminuyen.
57
2. Al considerar las diferencias infinitamente pequeñas se considera que hay un máximo o
mínimo cuando al examinarlas antes y después del mismo las diferencias cambian de signo.
3. Se puede decir que hay un máximo o un mínimo cuando al analizar los puntos de una
curva el máximo se alcanza en el instante en que la tangente se vuelve horizontal y paralela
a la subtangente, y análogamente para el mínimo.
Al revisar la primera aproximación dada por L´Hospital y reportada en la tesis de
Castañeda (2004):
Sea MDM una línea curva cuyas ordenadas PM, ED y PM sean paralelas entre
sí, tal que al incrementarse continuamente la abscisa AP, la ordenada PM
crece también hasta cierto punto E después del cual disminuye... Supuesto eso:
la línea ED será denominada la mayor o la menor ordenada.
(L’Hospital, 1696)
Fig. 2.5
Con la anterior explicación, podemos ver que se habla de un incremento de la abscisa AP y
también de la ordenada PM, hasta cierto punto E, después del cual disminuye, se está
haciendo mención de crecimientos y disminuciones no hay necesidad de alguna otra
operación, por la mente del lector se pueden formar imágenes de un conjunto de ordenadas
que van creciendo poco a poco hasta llegar a una máxima y posteriormente un conjunto de
ordenadas que van disminuyendo y todas ellas inferiores a la máxima encontrada. La figura
caracteriza y posibilita dar argumentaciones sobre la información. Permite conceptualizar
lo que es el máximo a partir de la misma ya que se puede comprender un concepto a partir
58
del análisis de la gráfica. Este enfoque puede configurar un acercamiento didáctico
novedoso a partir de argumentos antiguos.
Veamos ahora la segunda aproximación:
Fig. 2.6
Si al crecer AP, PM también crece es evidente que su diferencia Rm será
positiva con relación a la de AP, y que por lo contrario, cuando PM disminuya
al crecer la abscisa AP, su diferencia será negativa.
(L’Hospital, 1696)
Nuevamente está presente la idea de crecimiento y decrecimiento sólo que ahora se está
asociando el signo de las diferencias ya que estas cambian de positiva a negativas. Hay otra
característica importante asociada con los cambios que se encuentran presentes antes de un
máximo y esta es que las diferencias son positivas y cada vez menores a medida que AP se
acerca más a E. Se hace evidente que en el punto E tal diferencia será cero, y
posteriormente las diferencias serán negativas y con un valor absoluto pequeño, el cual se
va a ir haciendo más grande a medida que AP se aleja de E. Al estar acompañadas las
explicaciones de una gráfica permite establecer una conexión entre el concepto a través de
la imagen con la mente del lector. La figura permite también observar que en la región
creciente de la gráfica las diferencias son positivas y en la región decreciente de la misma
las diferencias son negativas. Todas estas observaciones no se encuentran presentes en la
obra citada sin embargo queremos destacar que pueden ser hechas gracias a la
interpretación gráfica de la misma ya que como se menciona en Borba y Villareal (2005)
uno de los procesos de la visualización es la interpretación de la información visual. La
figura mostrada permite tal propósito ya que el lector puede asociar el resultado de una
59
operación, que en este caso es una resta para establecer las diferencias con la idea de
máximo y a partir de la misma se hace evidente el signo que deben de tener las diferencias
antes del máximo y el cambio del signo después del máximo o el mínimo.
Con respecto a la tercera aproximación
Se muestra la siguiente gráfica:
Fig. 2.7
La explicación que nos da el autor tiene que ver con la posición relativa y el cambio de
posición de la subtangente ya que a medida que M y P se acercan a los puntos D y E la
subtangente crece hacia la izquierda, de tal forma que cuando AP rebasa AE, la subtangente
PT se vuelve negativa. Se nota que crece a medida que M y P se acercan a E y D. Al
observar la figura 6 se puede decir que este crecimiento de PT al principio es pequeño sin
embargo al irse acercando más y más a los puntos E y D estos crecimientos se vuelven cada
vez más y más grandes, hasta que la subtangente se vuelve infinita. Posteriormente una vez
que se ha pasado el punto máximo la subtangente cambia de signo de positiva que era (o
negativa). Inicialmente se tendrá un valor absoluto muy grande el cual va a ir decreciendo
conforme AP se vaya alejando de AE. Al igual que en la aproximación anterior se observa
un cambio de signo que se hace evidente a partir de la posición de la subtangente. Al
analizar lo que ocurre con la tangente en la figura 6 se ve que la tangente va a ir cambiando
de posición. En la figura se ve un pequeño triángulo MRm que es un triángulo
infinitesimal el cual es semejante al triángulo TPM. Podemos decir que el ángulo en el
vértice M se vuelve cada más y más pequeño conforme la tangente se va acercando al
máximo. El segmento infinitesimal Rm se va a volver cero en el máximo cuando la
60
posición de la tangente sea horizontal. La figura mostrada conduce al lector a establecer
relaciones geométricas del triángulo formado con la caracterización del máximo.
En la primera aproximación mostrada no se habla propiamente de la recta tangente aunque,
se encuentran presentes los elementos que la constituyen. Estos elementos son la ordenada
y la abscisa. El autor hace mención de los crecimientos y decrecimientos de las ordenadas
con respecto a los crecimientos de las abscisas. Estos crecimientos y decrecimientos de las
ordenadas nos llevan al análisis de los signos lo cual es mencionado en la segunda
aproximación y que tiene que ver con las diferencias que pueden ser positivas o negativas
dependiendo de si se está analizando un punto antes del máximo o mínimo. Posteriormente
en la tercera aproximación podremos decir que se conjuntan elementos de las dos anteriores
aproximaciones. Los tamaños de las ordenadas con respecto a el crecimiento de las abscisas
y los signos los cuales cambian al pasar el punto máximo o mínimo y las posiciones de la
recta tangente. Todas las explicaciones tienen elementos constitutivos de la recta tangente
los cuales permiten construir la idea de recta tangente dinámica. En cada una de las
aproximaciones se va haciendo un análisis por separado de cada uno de ellos y finalmente
se conjuntan los elementos de análisis en la tercera aproximación en donde se observa una
recta tangente cambiante. El cambio en su posición está vinculado con cada uno de los
cambios de sus elementos constitutivos.
En Cantoral y Farfán (2004) se reporta cómo es que Fermat calculaba el máximo. En el
libro se menciona que Fermat utiliza a un rectángulo para dar sus explicaciones, el
problema consiste en: Dado un segmento, hallar el punto sobre él de tal suerte que el
rectángulo que tiene por lados los dos segmentos que el punto determina sea de área
máxima. Se vale de la geometría para implementar en su Método para hallar máximos y
mínimos sus argumentaciones, veamos lo que se dice:
Dado un segmento, hallar el punto sobre él de tal suerte que el rectángulo que
tiene por lados los dos segmentos que el punto determina sea de área máxima.
Sea AC el segmento dado en la figura 4.10, de longitud b, y sea B un punto
dado sobre AC . Tomemos como x a la longitud del segmento AB , así que el
61
segmento BC tiene por longitud b-x. De lo anterior el rectángulo formado (ver
rectángulo construido sobre AB ) tiene área x(b-x).
Fig. 2.8
Luego entonces se debe maximizar la expresión anterior. Para ello considera
un punto adicional B´ sobre AC de forma que la longitud AB sea un poco
distinta de x, es decir ε+x , y por lo tanto el segmento CB′ tendrá una
longitud εε −−=+− xbxb )(
(Cantoral y Farfán, 2004, pp. 69 – 70)
En las explicaciones anteriores se manifiestan ideas implícitas como: la de cambio en la
variable x y la representación del cambio por un 𝜀, el cual en nuestra simbología actual
seria ∆x. También se encuentra presente la idea de cuantificación del cambio ya que en las
explicaciones presentadas se muestra como parte de una expresión matemática a 𝑓(𝑥 −𝜀)− 𝑓(𝑥) para cuantificar un cambio. Esta notación no es empleada por Fermat, sin
A B C
x b-x
A B
C
x
x(b-
b-x
62
embargo en la investigación se hace una analogía con nuestra notación actual. También en
Serna (2007) se enuncia lo siguiente:
Posteriormente se desarrolla la expresión εε −−=+−≈− xbxbxbx )()(
para explicarla en términos actuales y obtenerse una expresión del tipo:
0)()(=
−+εε xfxf
Esta expresión involucra ideas como son:
� Que 0→ε
� La comparación de f∆ con respecto a ε ( x∆ )
� La f∆ no está cambiando en el punto donde el área es máxima
Pensamos que la idea de máximos (y mínimos) lleva implícita la idea de
tangente dinámica ya que al decir que en esos puntos la tangente adquiere un
valor de cero esto implica que antes y después de los puntos críticos. En una
función la tangente tiene valores diferentes a cero y para poder tomar el valor
de cero tuvo que haber estado cambiando.
(p. 79)
La expresión 𝑥(𝑏 − 𝑥) ≈ 𝑏 − (𝑥 + 𝜀) es una adigualdad. En donde los miembros van a
llegar a ser iguales cuando se tiene un máximo, es decir el máximo se va a encontrar donde
la variación sea mínima, lo cual también se puede observar cuando al graficar la expresión
𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑏 − 𝑥) que representa una parábola que abre hacia abajo y como se sabe la
variación es menor en la cúspide o equivalentemente si se lanzará un objeto verticalmente
hacia arriba en su punto de mayor altura la velocidad valdría cero (Cantoral, 2011).
63
Existen ideas de predicción y variación implícitas en el Método de Fermat para hallar el
máximo de una función en una época en donde todavía no se hablaba de derivadas o de
límites. Estas ideas son producto de una cultura de una actividad humana. El poder detectar
esto nos permite utilizarlo en la creación de secuencias didácticas.
De acuerdo a lo anterior y con base a los apartados ya revisados consideramos que el
tratamiento que se le dé a los máximos y mínimos puede permitir construir la idea de recta
tangente desde un punto de vista variacional, para lo cual vamos a enunciar algunas ideas
ya presentadas en este capítulo.
a) De a cuerdo a L´Hospital un punto puede ser considerado un pequeño segmento
infinitesimal.
b) Una curva está constituida por el ensamblaje de un número infinito de segmentos
infinitesimales.
c) Al extender un punto de la curva (segmento infinitesimal) en ambos sentidos se
tiene la recta tangente en ese punto de la curva.
d) La pendiente de la recta tangente a la curva, es la misma que la pendiente de ese
pequeño segmento infinitesimal, ya que la recta tangente y el punto son uno mismo
en el punto de tangencia.
e) A partir de estas ideas se puede percibir que la recta tangente está cambiando y por
lo tanto también su pendiente.
f) Con base a las ideas mencionadas se puede caracterizar a un máximo o mínimo
pidiéndole al alumno que observe como es la posición de la recta tangente (así como
los signos de sus pendientes) antes, después y en los puntos críticos.
La representación visual con una figura geométrica a partir de las gráficas es algo que se
ve en las obras matemáticas del siglo XVII permite al autor enunciar sus explicaciones, hay
por lo tanto un vínculo entre la figura mostrada con los conceptos enunciados, lo cual
podría tener una utilidad en la escuela actual.
64
Con respecto a las obras revisadas anteriormente hemos visto que las explicaciones a partir
de contextos geométricos-visuales se encuentran presentes en prácticamente todas las
explicaciones, se utilizan las gráficas y se generan argumentos a partir de las mismas, los
infinitesimales son representados en las gráficas y son usados para encontrar la recta
tangente a la curva, máximos y mínimos y punto de inflexión. Es a partir de los segmentos
infinitesimales, la semejanza de triángulos, la consideración de que un punto de la curva es
un segmento infinitesimal, y la razón de 𝑑𝑦𝑑𝑥 donde surge la recta tangente como aquella
recta que tiene características idénticas a la curva en una región infinitesimal a la zona de
contacto. Con el paso de los años surgieron fuertes críticas con respecto a los
infinitesimales, ya que no estaban rigurosamente definidos y hubo la necesidad por parte de
los matemáticos de ir formalizando los conceptos matemáticos del Cálculo, fue así como
con el paso del tiempo fueron desapareciendo los infinitesimales. Las ideas que
históricamente hablando dan origen a el Cálculo tienen que ver con la variación y el cambio
(Dolores, 2007). El Pensamiento y el Lenguaje Variacional retoma ideas acerca de la
variación y el cambio tal y como ya fue mencionado en otro apartado de este capítulo. Hoy
en día hay investigaciones que son llevadas a cabo a partir de esta línea de investigación. A
continuación analizaremos una de ellas que toca el tema de máximos y mínimos.
2.6.4 Recta Tangente
Para plantear el problema de investigación en Serna (2007) se utilizó como marco de
referencia a la aproximación teórica de la Socioepistemología, la cual como se ha
comentado en otra parte de este capítulo es una aproximación teórica que aborda la
construcción del conocimiento matemático tomando en cuenta cuatro componentes de
análisis, las cuales son la cognitiva, la epistemológica, la didáctica y la social, esta última
afecta sustancialmente a las otras tres. En Serna (2007) se llevó a cabo un análisis en donde
son tomados en cuenta los escenarios en donde nace el conocimiento matemático, se
consideraron los paradigmas vigentes en comunidades de matemáticos y cómo estos
paradigmas influyeron en el nacimiento de la ideas, específicamente la noción de recta
tangente dinámica, se hizo un análisis epistemológico tomando en cuenta la componente
social, en donde apareció la noción tangente y cómo se hizo uso de ella, se investigaron
personajes como: Copérnico, Galileo, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz,
65
L´Hospital, Agnesi, Euler, Lagrange, Cauchy y también se analizó el libro de texto
Granville que aunque se editó por primera vez en 1904 se ha seguido editando y sigue
siendo de uso en los sistemas escolares. Al hacer este recorrido se observó cómo la tangente
fue un problema de suma importancia en el siglo XVII ya que permitía conocer la
variación instantánea de una variable con respecto de otra. Había diversos métodos para
resolver el problema, prácticamente todos ellos utilizaban a la geometría tanto para plantear
el problema, así como también se utilizaban herramientas geométricas en la resolución del
mismo. Se observó en el análisis de los matemáticos del siglo XVII que hacían uso de un
modelo que es el de “dejar fluir” la variable independiente el cual aporta elementos que se
encuentran ausentes del discurso matemático escolar actual, por ejemplo permite ver a las
variables de forma similar a los fenómenos de flujo. Con esta idea de “dejar fluir” se puede
enfocar la atención en la manera de variar la cual puede ser utilizada en la didáctica actual
ya que orienta la atención a cómo está cambiando la variable dependiente con respecto a la
variable independiente en un instante, al conocer la manera de variar se puede predecir un
estado futuro. En Serna (2007) se muestra la siguiente figura que indica una forma en
donde se puede utilizar la noción de recta tangente con respecto a la predicción de corto
alcance:
Fig. 2.9
x x + h
A
? θ
BAC +=
C
htgAC θ+=h
tg?
=θ
hxfxfhxf )´()()( +≈+
B=?
66
(Serna, 2007, p.26)
Los matemáticos del siglo XVII retoman varios problemas que se encontraban presentes en
la Grecia clásica, considerando que en esa época el Álgebra había tenido ciertos avances,
así como la Geometría Analítica. Por otro lado la matematización de la naturaleza
impulsaba el desarrollo de las matemáticas. Uno de los problemas importantes de la época
consistía en localizar la recta tangente a una curva, había diferentes métodos; en Castañeda
(2004) y Serna (2007) se hace un análisis epistemológico. Con sus resultados obtenidos
vemos que la recta tangente se puede construir a partir de elementos diferentes a los que se
presentan en nuestro discurso matemático escolar actual, de tal forma que se pueden
retomar elementos de conocimientos antiguos para darle un nuevo significado a la
enseñanza del Cálculo Diferencial.
A partir del análisis epistemológico llevado a cabo en (Canul, 2009; Castañeda, 2004;
Sarmiento, 2008; Serna, 2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009) se puede decir que,
la recta tangente se puede construir al considerar que una curva es una poligonal que está
formada por un conjunto infinito de segmentos infinitesimales, uno a partir del otro, de tal
forma que si se toma uno de estos pequeños segmentos infinitesimales y se extiende en
ambos lados la recta así formada, es la recta tangente a la curva en ese punto. En realidad
serían dos puntos infinitamente cercanos, sin embargo al estar tan cercanos, se puede
considerar a uno como si fuera el otro, es decir son considerados indistintamente como el
mismo punto. Esta es una forma natural, “dado que una curva está compuesta por un
número infinito de lados, basta entonces con prolongar el segmento infinitesimal en ambas
direcciones para que se obtenga la recta tangente” (Castañeda, 2004, p. 122) de considerar a
la recta tangente y la curva como indistinguibles en una vecindad infinitesimal.
En Serna (2007, 2008) y Serna, Castañeda y Montiel (2009) se reporta la forma en cómo
Fermat propone un método para trazar la recta tangente a la curva a partir de obtener la
subtangente. Con su método se encuentran argumentos parecidos a los infinitesimales,
aunque no propiamente son infinitesimales. Para encontrar a la subtangente llega a una
expresión:
67
PQQP
PQTQ
−′′•
≈ε
En donde aunque no dice que ε se haga cero o se aproxime a cero, pero menciona que el
término que contenga a ε debe de ser eliminado.
En Serna (2007, 2008) y Serna, Castañeda y Montiel (2009) se reporta con respecto a la
forma de Newton de solucionar el problema de la tangente:
PROBLEMA 4
TRAZAR LAS TANGENTES DE LAS CURVAS
MÉTODO 1
Las tangentes se trazan de varias formas, según las relaciones de las curvas
con las líneas rectas. En primer lugar sea la línea recta BD de modo que forme
un ángulo con otra línea recta AB, tomada como base, y que sea ordenada en
la curva ED. Muévase esta ordenada un espacio infinitamente pequeño hacia
la posición bd, de modo que ésta incrementa con el momento cd mientras AB
incrementa por el momento de Bb, que es igual Dc. Ahora prolónguese Dd
hasta que encuentre a AB en T; ésta cortará a la curva en D o en d, y los
triángulos dcD y DBT serán semejantes, por lo que TB: BD = Dc: cd.
Cuando la relación de BD a AB es exhibida a través de una ecuación que
determine a la curva, se busca, por el problema 1, la relación entre las
fluxiones, y se toma TB a BD en la misma razón de la fluxión de AB a la fluxión
de BD; entonces TD tocará a la curva en D.
68
Fig. 2. 10
Ejemplo1. Si se llama x a AB y y a BD, sea su relación
0323 =−+− yaxyaxx
La relación entre las fluxiones será
0323 32 =+−+− xyayyyxaxxaxx �����
Y así
BDaxyayaxxxy =−+−= 22 3:23: �� (o y):BT.
Por lo tanto
ayaxx
axyyBT
+−−
=23
32
3
Por consiguiente, dado el punto D, y entonces DB y AB, o y y x, estará dada la
longitud BT por la cual está determinada la tangente TD.
Isaac Newton, 1671, Traducción de Iztaccíhuatl VargasEdición en español, 2001, p. 121
Observamos de acuerdo a lo reportado por Serna (2007) que la tangente es un problema en
sí mismo, se utiliza las magnitudes infinitesimales las cuales Newton enuncia como
momentos (Sarmiento, 2008). Se utiliza la semejanza de triángulos, se encuentra la razón
69
de cambio de una fluxión con respecto de la otra, en donde para Newton la fluente son
cantidades generadas por movimientos continuos, y las fluxiones es la velocidad con la que
cambia cada una de las fluentes con respecto al tiempo, 𝑇𝐵𝐵𝐷 = 𝐷𝑐
𝑐𝑑 a partir de esta expresión
se puede observar cómo varía una cantidad con respecto de la otra, en un instante ya que los
momentos Dc y cd son magnitudes infinitesimales, y el cociente nos da según Newton la
razón última de las cantidades evanescentes, la rapidez de cambio de una variable respecto
de la otra. La expresión que se obtiene nos permite observar que la tangente es cambiante
dependiendo de los valores que pueda ir tomando las fluentes en la ecuación, pero de la
gráfica también se puede ver que la recta tangente va a ir cambiando de posición
dependiendo del valor de AB que para el caso citado se trata de la abscisa, aunque en la
obra citada de Newton no se dice que la recta tangente es cambiante. Esto lo podemos
deducir por los argumentos mencionados anteriormente.
En los análisis que hace Newton con respecto a la recta tangente, hay otra peculiaridad que
no demostraron otros matemáticos, entre ellas encontramos en los Principios Matemáticos
lo siguiente:
Sección I, Lema VI:
Fig. 2.11
Si cualquier arco ACB, en una posición dada, es subtendido por su cuerda AB, y
en cualquier punto A situado en medio de la curvatura continua es tocado por una
recta AD prolongada en ambos sentidos, si los puntos A y B se acercan el uno al
C c
70
otro y se encuentran, afirmo que al ángulo BAD contenido entre la cuerda y la
tangente disminuirá hasta lo infinito, desapareciendo en última instancia.
Porque si ese ángulo no desapareciese, el arco ACB contendría con la tangente
AD un ángulo igual a algún ángulo rectilíneo y, por tanto, la curvatura en el
punto A no será continua, cosa contraria a la hipótesis.
Isaac Newton, 1713, p. 64
Newton nos muestra que en cuanto más se acerque la recta tangente a la curva el ángulo
entre la recta tangente y la curva se va a ir haciendo cero, dicho de otra forma el ángulo
entre ambas se va a ir cerrando. Tal característica es un elemento más que nos menciona el
parecido que debe de existir entre una curva y una recta tangente a la misma en el punto de
tangencia. La otra forma de definir a la tangente por L´Hospital es la siguiente, se tiene una
curva cuya existencia está dada por una relación explícita entre la variable y y la variable x
de la forma y=f(x). Se requiere trazar la tangente MT por el punto M dado sobre esta curva.
La tangente a la curva se va a encontrar a partir de conocer la subtangente con la
expresión:𝑃𝑇 = 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
Veamos la siguiente figura de L´Hospital (1696):
Fig. 2.12
71
En Castañeda (2004) y Serna (2007) se analiza también el método para el cálculo de la
tangente de Agnesi, ella utiliza argumentos de tipo infinitesimal, y geométrico, ya que se
emplea la semejanza entre dos triángulos uno de dimensiones finitas y otro de dimensiones
infinitesimales, se puede observar de manera implícita el carácter variacional de la recta
tangente. En su terminología ocupa a los diferenciales, pero también menciona a las
fluxiones. La expresión a la que llega para determinar a la tangente en función de la
subtangente, es la siguiente:
dy
ydxBT =
Que es prácticamente lo mismo que utilizo Newton, sólo que con la notación de Leibniz de
los diferenciales.
En términos generales y con base a el análisis epistemológico llevado a cabo en las obras
citadas, dependiendo de los autores investigados pueden cambiar las literales mostradas en
la figura 2.12, sin embargo la idea es la misma y esta se refiere a trazar la recta tangente
que pasa por el punto de tangencia4
En Serna (2007) se reporta acerca del tratamiento que le dio Euler a la recta tangente. Al
analizar la forma en cómo maneja a la recta tangente se observa un cierto abandono del
carácter geométrico (con respecto a los matemáticos anteriores a él, que vivieron en el siglo
XVII) con el que eran tratados los aspectos matemáticos del Cálculo Infinitesimal.
Anteriormente se utilizaban argumentos geométrico-visuales mediante las gráficas
presentadas se daban descripciones detalladas. A pesar de que Euler también utiliza una
gráfica para explicar la construcción de la recta tangente, centra también su atención en los
cambios, los cuales son representados por un polinomio al cual le da un tratamiento
, encontrando la subtangente PT y haciendo la
consideración de que se forman dos triángulos semejantes. Uno es el triángulo TPM y el
otro triángulo se forma al considerar que el arco Mm es tan pequeño que se convierte en un
pequeño segmento que es la hipotenusa del triángulo MRm. L´Hospital le define a la curva
como el ensamblaje de líneas rectas, cada una infinitamente pequeña o bien como una
poligonal de un número infinito de lados.
4 Le llamamos punto de tangencia al punto donde la recta toca a la curva
72
algebraico utilizando argumentos infinitesimales, con lo que se obtiene una expresión
matemática. Con esta expresión se puede también justificar que la hipotenusa del pequeño
triángulo infinitesimal formado (y que se ve en su gráfica mostrada) es una línea recta. Se
enuncian características de tipo geométrico de la recta tangente a partir de una gráfica en
donde se utilizan argumentos como son la semejanza de triángulos, uno de dimensiones
finitas y otro de dimensiones infinitesimales, pero como hemos comentado anteriormente
hay un acercamiento algebraico ya que le asigna a los cambios de la curva un polinomio
que los representa, el cual está dado por: 0 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑢 + 𝐶𝑡2 + 𝐷𝑡𝑢 + 𝐸𝑢2𝐹𝑡3𝐺𝑡2𝑢 +𝐻𝑡𝑢2 + &𝑐. Posteriormente se desprecian los cambios que son muy pequeños (este es un
argumento infinitesimal), finalmente se obtiene una expresión como: 0 = 𝐴𝑡+ 𝐵𝑢, el cual
es un polinomio que representa una recta y “es precisamente con esta expresión matemática
la cual al relacionarla con la figura se detecta que se refiere a la hipotenusa de un pequeño
triángulo 𝑀𝑞𝜇” (Serna, 2007, p. 120)
Fig. 2.13
Euler es quien enuncia de manera explícita el carácter variacional de la tangente:
La tangente de la courbe étant donc connue de cette manière, on connaît en
même temps la direction que suit la courbe au point M. Car on peut très-bien
regarder une ligne courbe, comme la trace qu’un point en mouvement
formerait en changeant continuellement de direction, & par conséquent le
point qui par son mouvement décrit la courbe, fera dirigé en M suivant la
tangente M µ ; &, s’il conservait cette direction, il décrirait la droite M µ :
73
mais il s’en écarte à chaque instant, puisqu’il décrit une courbe. Ainsi, pour
connaître le cours d’une ligne courbe, il suffirait de déterminer pour chaque
point de la tangente …
En donde se describe que la recta tangente a la curva es algo cambiante ya que:
…concibe a la recta tangente a una curva como algo cambiante ya que dice que
la recta tangente a una curva se descarta a cada momento, puesto que describe a
una curva, por lo tanto sigue diciendo que para conocer el curso de una línea
curva bastaría con determinar para cada punto de la curva la tangente…
(Serna, 2007, p. 124)
Desde nuestro punto de vista consideramos que con el tratamiento que le da Euler a la recta
tangente comienza una transición entre el tratamiento anterior en donde el contexto
geométrico-visual era necesario para las explicaciones que se daban ya que la mayoría de
ellas se apoyaban en la representación gráfica. Euler comienza a centrar su atención en la
representación algebraica de los cambios ya que como observamos se le da un tratamiento
con argumentos infinitesimales pero ahora en un contexto algebraico.
En Serna (2007) se analiza el tratamiento que le da Lagrange a las funciones, vamos a
revisar para identificar ideas de tipo variacional. En sus tratamientos de las funciones “sus
contribuciones al Cálculo son con base a el tratamiento que le da a las funciones ya que
consideraba que toda función podía ser expresada como una serie de Taylor, además
consideraba a la derivada como una función” (Serna, 2007, p. 126). El punto de partida de
Lagrange es que cualquier función de una variable f(x) admite un desarrollo de la serie de
Taylor. En Serna (2007) se considera con respecto a Lagrange que la idea de tangente
aunque no es mencionada como tal se encuentra presente de manera implícita ya que la
expresión que utiliza en sus desarrollos 𝑃 = 𝑓(𝑥+𝑖)−𝑓(𝑥)𝑖 corresponde a una razón de cambio,
en donde 𝑓(𝑥 + 𝑖)− 𝑓(𝑥) corresponde a lo que varia la variable dependiente. Por otro lado
i representa el cambio de la abscisa, aunque no es mencionado precisamente de esta forma,
más bien Lagrange introduce el término i que se va a hacer muy pequeño de tal forma que:
74
…hace una descripción de cómo va a obtener la expresión analítica que
representara a la función, … se menciona que se va a buscar en la expresión de
)( ixf + , aquello que es independiente de i, es decir aquello que permanece
cuando i = 0…
(Serna, 2007, p. 127)
Euler desprecia los términos por ser muy pequeños a diferencia de Lagrange que lo que
hace es ir separando los términos en donde se encuentra i, de tal forma que va a manipular
la expresión algebraica de manera que va obteniendo nuevos términos que corresponden a
la derivada de un término anterior, así que se van obteniendo una serie de términos. Para
encontrar cada uno de estos términos de su serie se utilizan expresiones como:
𝑄 = 𝑃−𝑝𝑖 ,𝑅 = 𝑄−𝑞
𝑖 , 𝑆 = 𝑅−𝑟𝑖 en donde se emplean los términos de un desarrollo anterior
para finalmente obtener: 𝑓(𝑥 + 𝑖) = 𝑓𝑥 + 𝑖𝑃 = 𝑓𝑥 + 𝑖𝑝 + 𝑖2𝑄 = 𝑓𝑥 + 𝑖𝑝 + 𝑖2𝑞 + 𝑖3𝑅 =&𝑐
Los diferentes coeficientes que se van obteniendo se calculan con la expresión que en un
contexto geométrico correspondería a la recta tangente, además variable ya que las
expresiones en el numerador son funciones de x. Las ideas de Lagrange las desarrolla sin
usar gráficas, finalmente obtiene una expresión como la siguiente: 𝑓(𝑥 + 𝑖) = 𝑓𝑥 + 𝑓′𝑥𝑖 +𝑓′′𝑥2 𝑖2 + 𝑓′′′𝑥
2∙3 𝑖3 + 𝑓𝐼𝑉2∙3∙4 𝑖
4 + &𝑐, en donde los coeficientes de la serie corresponden con las
derivadas de la función. En esta expresión se encuentra la predicción, ya que la “la serie nos
muestra como al conocer el valor de la función en un punto y sus derivadas consecutivas, se
puede predecir un estado futuro” (Serna, 2007, p. 134). Si nos detenemos a observar la
serie, sólo para los dos primeros términos: 𝑓(𝑥 + 𝑖) = 𝑓𝑥 + 𝑓′𝑥𝑖, podemos observar como
una posible estimación de el valor futuro de 𝑓(𝑥), es decir 𝑓(𝑥 + 𝑖)se puede obtener a
partir de conocer la primera derivada. Esta es una situación que podría ser aprovechada en
la creación de secuencias de aprendizaje para la construcción de la recta tangente desde un
punto de vista variacional, ya que de la expresión anterior podemos decir que el valor de
𝑓(𝑥 + 𝑖) depende del valor de 𝑓(𝑥) más el valor de 𝑓′(𝑥), y este último valor puede ser
grande o pequeño, positivo o negativo.
75
En Serna (2007) se reporta sobre el tratamiento de Cauchy para obtener la derivada de la
función en donde se encuentra implícitamente la idea de recta tangente. Al hacer la revisión
sobre lo reportado ubicaremos si existen elementos sobre la variación y el cambio.
Cuando la función )(xfy = permanece continua, entre dos límites dados de la
variable x y si se asigna a esta variable un valor comprendido entre esos dos
límites, un incremento infinitamente pequeño atribuido a la variable produce
un incremento infinitamente pequeño de la función. En consecuencia, si se hace
ix =∆ , los dos términos de la razón de las diferencias
(1) i
xfixf
x
y )()( −+=
∆∆
serán cantidades infinitamente pequeñas. Pero mientras que estos dos términos
se aproximan indefinidamente y de manera simultánea al límite cero, la razón
misma podrá converger a un límite, ya sea positivo o negativo. Este límite,
cuando existe, tiene un valor determinado para cada valor particular de x.
Cauchy 1823, p. 235
Con respecto a lo que reporta Serna (2007) se observa que el discurso involucra los
incrementos, a diferencia de Newton y Leibniz que hablaban de puntos infinitamente
cercanos. Cauchy utiliza en sus argumentos la noción de función, límites y continuidad, él
menciona que la razón misma podrá converger a un límite, y que cuando este existe tiene
un valor determinado para cada valor de la x. En esta parte se está hablando de la razón de
cambio instantánea, es decir cuánto cambia una variable con respecto a otra en un instante.
Sin embargo consideramos que al no mostrarse gráficas que auxilien el discurso esto hace
que se pierdan argumentos (geométrico-visuales) que podrían ser benéficos desde un punto
de vista didáctico. En el análisis hecho por Castañeda (2004) nos muestra que en
L´Hospital se considera que un punto es un segmento infinitesimal y se puede saber cuánto
cambia una variable con respecto a otra en un instante con la recta tangente, la cual va a ir
76
cambiando en cada punto de la curva ya que es considerada una poligonal compuesta por
lados infinitamente pequeños, y cada lado infinitamente pequeño prolongado en ambos
lados representa a la recta tangente. En Cauchy se habla de que la razón podrá converger a
un límite. Aunque se está hablando de lo mismo, consideramos que la forma en cómo lo
hace L´Hospital es una idea más intuitiva. Se puede mostrar mediante una gráfica, por
medio de ella y utilizando la semejanza de triángulos se puede argumentar sobre cuánto
cambia una variable con respecto de otra en un instante. Sin embargo esta misma idea
tratada desde un punto de vista de límite, se muestra más rigurosa a pesar de que se dice
que este límite cuando existe es diferente para cada valor de x.
La idea de diferencia no es tratada en el discurso de Cauchy, idea utilizada en los
argumentos de los matemáticos del siglo XVII y también por Euler con la cual se podía
argumentar acerca del comportamiento de una curva para establecer el cambio. En base a
ello también se hablaba de las magnitudes infinitesimales por medio de las cuales se podían
resolver diferentes problemas como el de la recta tangente, máximos y mínimos y punto de
inflexión entre otros. Ahora la diferencia ya no es utilizada en el discurso de Cauchy. A
pesar de que se encuentra presente en la expresión: ∆𝑦∆𝑥 = 𝑓(𝑥+𝑖)−𝑓(𝑥)
𝑖 no se menciona, más
bien se habla del límite al que llegará la razón mostrada. De a cuerdo a Serna (2007) en
base a el análisis hecho con respecto a Cauchy, él no muestra tampoco gráficamente una
región en donde la función sea creciente o decreciente, en lugar de ello, se dice que el
límite puede ser positivo o negativo, no es mencionada la recta tangente, sin embargo esta
se encuentra presente implícitamente en la expresión matemática sobre la razón de las
diferencias mostrada anteriormente, Cauchy utiliza desde nuestro punto de vista
argumentos variacionales en sus explicaciones, por ejemplo:
Problema I. La función )(xfy = se supone continua respecto a x en la
vecindad del valor particular 0xx = . Se pregunta si a partir de este valor, la
función crece o disminuye mientras que se hace crecer o disminuir a la
variable.
77
Solución. Sean yx ∆∆ , los incrementos infinitamente pequeños y simultáneos de
las variables x, y. La razón x
y
∆∆
tendrá por límite ydx
dy ′= . Se debe concluir
que, para los valore numéricos muy pequeños de x∆ y para un valor particular
0x de la variable x, la razón x
y
∆∆
será positiva si el correspondiente valor de y′
es una cantidad positiva y finita, y negativo si este valor de y′ es una cantidad
finita pero negativa. En el primer caso, al ser del mismo signo las diferencias
infinitamente pequeñas yx ∆∆ , la función y crecerá o disminuirá, a partir de
0xx = , al mismo tiempo que la variable x. En el segundo caso al ser de signos
contrarios las diferencias infinitamente pequeñas, la función y crecerá si la
variable x disminuye y decrecerá si la variable aumenta.
Al admitir estos principios, y al concebir que la función )(xfy = permanece
continúa entre dos límites dados 0xx = , Xx = , si se hace crecer a la variable
x por grados insensibles desde el primer límite hasta el segundo, la función y
crecerá siempre que su derivada, al ser finita, tenga un valor positivo; y será
decreciente siempre que esta misma derivada tenga un valor negativo. Así la
función y no podrá dejar de crecer para disminuir, o de disminuir para crecer
mientras que la derivada y′ pase de positivo a negativo o recíprocamente. Es
importante observar que, en este caso, la función derivada deberá anularse si
no deja de ser continua.
(Cauchy, 1823, p. 250)
Notamos que las explicaciones anteriores nos muestran cuándo una función es creciente,
cuándo decreciente y relaciona esto con los signos de la derivada. En lugar de mostrar en
una gráfica la región donde la función es creciente dice que cuando ∆𝑦∆𝑥 es positiva el
correspondiente valor de 𝑦′es una cantidad positiva y finita, y negativo si este valor de 𝑦′ es
una cantidad finita pero negativa. También se menciona que cuando las diferencias
infinitamente pequeñas son del mismo signo la función crecerá y decrecerá, cuando la
función y crecerá si la variable x disminuye, así también si la variable x aumenta la función
78
decrecerá. Las anteriores son argumentaciones de tipo variacional, aunque como hemos
mencionado hasta el momento se carece de apoyos gráfico-visuales. Por ejemplo en el caso
de Agnesi ella establece cuando una curva es creciente y cuando decreciente utilizando
apoyos visuales como los siguientes:
Fig. 2.14
(Agnesi, 1748 citado en Castañeda, 2004, p. 148)
En donde auxiliándose de la figura se observa claramente que el segmento infinitesimal Rm
es positivo ya que pm es mayor PM, y la curva es creciente, sin embargo también se
muestra el caso cuando la curva es decreciente, por ejemplo:
Fig. 2.15
79
(Agnesi, 1748 citado en Castañeda, 2004, p. 150)
En Castañeda (2004) con respecto a esta figura dice “De este modo asigna AB=x, BF=dx,
BC=y, y será DC=-dy” (p. 150). Consideramos que existe una diferencia entre presentar a
la curva creciente o decreciente entre la forma de Agnesi y la de Cauchy. Aunque Cauchy
emplea argumentos variacionales, en sus explicaciones se puede rescatar de lo expresado
por Agnesi el uso de las gráficas y las argumentaciones que surgen con respecto a ellas.
También notamos que Agnesi expone en sus argumentaciones el uso de las diferencias por
medio de las cuales se pueden representar las magnitudes infinitesimales. En Cauchy
también se menciona el signo de las diferencias infinitamente pequeñas, sin embargo no
apoya su explicación con el uso de una gráfica.
Por último vemos que para determinar la inclinación de curva en un punto dado se utiliza la
noción de recta tangente, aunque no se enuncia de esta manera en su discurso:
Problema III. Determinar la inclinación de una curva en un punto dado.
Solución. Consideremos a la curva que tiene por ecuación, en coordenadas
rectangulares, )(xfy = . En esta curva, la cuerda trazada desde el punto (x, y) hasta el
punto ),( yyxx ∆+∆+ forma, con el eje de las x prolongado en el sentido positivo, dos
ángulos, uno agudo y el otro obtuso. De estos ángulos el primero mide la inclinación de
la cuerda con respecto al eje de las x. Si el segundo punto se aproxima a una distancia
infinitamente pequeña del primero, la cuerda se confundirá sensiblemente con la
tangente de la curva trazada en ese punto; y la inclinación de la cuerda, respecto al eje
de las x, deviene la inclinación de la tangente o bien la inclinación de la curva respecto
a el mismo eje. Dicho esto, ya que la inclinación de la cuerda tendrá por tangente
trigonométrica al valor numérico de la razón x
y
∆∆
, es claro que la inclinación de la
curva tendrá por tangente trigonométrica el valor numérico del límite hacia el cual
converge esta razón; es decir, el valor numérico de la función derivada dx
dyy =′ .
80
Si el valor de y′ es cero o infinito, la tangente a la curva será paralela o perpendicular
al eje de las x. Y esto es ordinariamente lo que sucede cuando la ordenada y deviene un
máximo o un mínimo.
(Cauchy, 1823, pp. 253 – 254)
Esta forma de argumentar es muy parecida a la actual forma de la interpretación geométrica
de la derivada, de hecho consideramos que es prácticamente la misma. La diferencia con
respecto a el discurso actual, es que este utiliza una gráfica para ilustrar su explicación, en
el caso de Agnesi, Newton y Euler utilizaban expresiones y/o ideas como “el dejar fluir”,
para analizar el cambio y en base a esto determinar la naturaleza del comportamiento de la
curva. Con esta forma de argumentar es claro que la curva está cambiando y que hay que
medir este cambio de manera instantánea lo cual es posible con el uso de la recta tangente.
Sin embargo con el discurso de Cauchy se tiene que pensar en un punto que se aproxima a
una distancia infinitamente pequeña del primero, es decir hay que pensar en un “retroceso”
de la x, hasta que la cuerda se confunda sensiblemente con la tangente de la curva trazada
en ese punto. No es como en las explicaciones mencionadas por L´Hospital que un punto de
la curva es considerado un segmento infinitesimal, con Cauchy hay que pensar en un límite.
En Serna (2007) se hace un análisis del tratamiento que se hace de la recta tangente a la
curva en un libro de texto contemporáneo, la recta tangente a la curva sirve para dar una
interpretación geométrica a la derivada. El libro es Cálculo Diferencial e Integral de
Granville, la definición de derivada que se da en Granville (2000) es la siguiente:
2.4 Derivada de una función de una variable. La definición fundamental del
Cálculo Diferencial es la siguiente:
La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función
al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.
Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que
tiene derivada.
La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente:
81
Dada la función
(1) )(xfy = ,
Consideremos un valor inicial fijo de x.
Demos a x un incremento x∆ ; entonces obtenemos para la función y un
incremento y∆ , siendo el valor final de la función
(2) )( xxfyy ∆+=∆+ .
Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene
(3) )()( xfxxfy −∆+=∆
Dividiendo los dos miembros por x∆ , incremento de la variable independiente,
resulta:
x
xfxxf
x
y
∆−∆+
=∆∆ )()(
El límite del segundo miembro cuando 0→∆x es, por definición, la derivada
de f(x), o sea, según (1), de y, y se representa por el símbolo dx
dy. Luego, la
igualdad
(A) x
y
dx
dylím
x ∆∆
=→∆ 0
(Granville, 2000, pp. 27 – 28)
En esta definición observamos que no se hace explícito lo comentado por Cauchy en su
obra que es “Este límite, cuando existe, tiene un valor determinado para cada valor
particular de x” Se podría argumentar que al hablar de funciones esto último queda
sobreentendido, sin embargo no es así. Experiencias como las reportadas en Castañeda
(2004) en donde un profesor en una entrevista dice que la derivada es la recta tangente a un
punto, demuestran lo contrario. Hay varias cosas que se dejan de lado y que desde un punto
82
de vista didáctico podrían ser benéficas, por ejemplo: se fija la atención en la razón
incremental:
x
xfxxf
x
y
∆−∆+
=∆∆ )()(
Se ha perdido del discurso los diferenciales, con lo cual se podía observar gráficamente que
la recta tangente (que representa a la derivada evaluada en un punto) representa a la
hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal cuya hipotenusa y la curva son la misma
en una región infinitesimal. Esta relación entre x∆ y y∆ es del tipo de una función lineal,
tal y como es mostrado en la obra de Euler, además él también relaciona el resultado de su
análisis algebraico con una figura geométrica. Euler también menciona que esta recta
tangente es diferente en cada punto de la curva. Cuando se explican los pasos a seguir para
obtener la derivada por el método de los cuatro pasos, regularmente hay términos que se
desprecian por que la regla dice que 0→∆x . Esto también es un cambio en el discurso con
respecto a los diferenciales ya que con ellos Euler daba explicaciones del porque se
despreciaban los diferenciales que tenían exponente 2 o mayor, ya que son infinitamente
mucho más pequeños que aquellos cuyo exponente es uno. Sin embargo esto último se
pierde del discurso al explicarse una serie de pasos a seguir y tratar con el límite del
cociente de los incrementos. El Discurso Matemático Escolar se encuentra presente en las
diversas formas de representar el conocimiento a través de discursos. Estos se pueden ver
manifestados en los libros de texto, programas, en el discurso del profesor, en fin en todo
aquel medio que se encuentre presente la naturaleza, condiciones y características del
sistema didáctico.
En el Discurso Matemático Escolar se han perdido ideas como que la recta y la curva son
una misma en una región muy pequeña de la misma, idea que se encontraba presente y era
enunciada explícitamente en obras revisadas anteriormente como son las de Newton,
L´Hospital, Agnesi y Euler. Abordaremos con más detalle en el siguiente capítulo la forma
en cómo el Discurso Matemático Escolar influye en la problemática de enseñanza-
aprendizaje del tema de la recta tangente visto en Cálculo Diferencial.
83
2.7. Diseños didácticos basados en productos de investigación.
Al revisar a Cardona (2009) observamos que él reporta en su tesis un análisis gráfico en
donde utiliza elementos del Pensamiento y Lenguaje Variacional para el análisis. En su
tesis de maestría enuncia lo siguiente:
Cabe mencionar que en un contexto gráfico, existen puntos clave (como los
máximos, mínimos y de inflexión) que son útiles en la determinación de las
relaciones entre la función y sus derivadas. Presentaré un ejemplo gráfico para
ilustrar lo anterior:
Fig. 2.16
La función en color azul de la figura 3.3 es la función f, mientras que la gráfica
en color rosa corresponde a su primera derivada f´. Véase como
aproximadamente en x = 0.75 hay un mínimo en f y corresponde a un cero o
una raíz de la primera derivada. Más a la izquierda se encuentra un punto de
inflexión en x = -0.40 correspondiente a un máximo local de la primera
derivada, luego en x igual a cero (hay un máximo que corresponde con otro
cero de la derivada). Mientras avanzamos a la derecha en aproximadamente x =
0.40 hay otra inflexión sólo que ahora corresponde a un mínimo local de la
primera derivada.
84
Este tipo de información más la información de los crecimientos /
decrecimientos relacionados a la función con los signos de la derivada, pueden
aplicarse para la determinación de las derivadas de orden superior.
Vemos que se utiliza a los máximos y mínimos como puntos clave, puesto que ellos se
encuentran presentes al finaliza el comportamiento creciente (o decreciente) y al inicio del
comportamiento decreciente (o creciente). Son puntos en donde la primera derivada de la
función que se encuentra analizando es igual a cero. Notamos también una cuestión
interesante y esta se refiere al hecho de que el punto de inflexión de la función f, le
corresponde un máximo local de la primera derivada. De lo anterior decimos que los
máximos y mínimos son puntos relevantes para el análisis de la función desde un punto de
vista del Pensamiento y Lenguaje Variacional puesto que muestran puntos de transición de
regiones en donde la función es creciente y pasa a ser decreciente o viceversa. Son puntos
en donde hay cambios de signos en la derivada subsecuente de la función que se está
analizando. Además el autor emplea elementos gráfico-visuales pues alusión a la gráfica y
esta es una pieza clave en las explicaciones que se encuentran presentes. El lector puede
establecer vínculos entre los conceptos que hemos mencionado como son función creciente,
decreciente, máximos, mínimos y punto de inflexión a través de la representación visual de
la función y su derivada que se encuentra bajo análisis.
La recta tangente no es mencionada, sin embargo en otra parte de su trabajo de
investigación se dice que es probable que un estudiante que acaba de cursar el curso de
Cálculo la interprete como una tangente a una curva en un punto, como la pendiente de esa
recta tangente. A pesar de que el autor no considera (al menos de manera explícita) a la
recta tangente en sus explicaciones gráficas, se podría utilizar a la recta tangente como
elemento de apoyo didáctico, por ejemplo si quisiera saber cómo es el signo de la segunda
derivada bastaría con conocer si la primera derivada es creciente, decreciente o vale cero.
Para dar tal explicación nos podemos auxiliar de la siguiente figura:
85
Fig. 2.17
La recta tangente sirve como apoyo gráfico-visual en la determinación del signo de la
segunda derivada. Como se sabe el signo de la pendiente de una recta es positivo cuando se
trata de una función creciente, negativo cuando se trata de una función decreciente y la
pendiente es igual a cero cuando la función es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒. Al revisar estos
valores en la gráfica anterior vemos que antes del punto crítico el signo es positivo,
posteriormente la pendiente vale cero en el punto crítico para cambiar a tener un signo
negativo. Estos signos corresponden con los de la primera derivada y de una función
decreciente, de aquí se concluye que la segunda derivada es negativa en la región en que se
tenga ese comportamiento, puesto que los valores de la primera derivada son: positivos,
cero y negativos, un análisis similar con rectas tangentes se puede verificar cuando la
segunda derivada es positiva.
Veamos ahora como Dolores (1999) trabaja el concepto de máximos y mínimos, él explica
el concepto a través de ejemplos. En el primero de ellos se hace referencia a la velocidad
que tiene un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba, se hace un análisis por
intervalos, el primero antes de llegar a la altura máxima, en la altura máxima y después de
alcanzar la máxima altura. Se observa que antes de alcanzar la altura máxima del objeto la
función es creciente y por lo tanto la derivada es positiva, en la altura máxima la derivada
es igual a cero y después de la altura máxima la función es decreciente y por lo tanto su
derivada es negativa, para hacer tal análisis se apoya de una gráfica la cual ilustra sus
explicaciones. Posteriormente se da otro ejemplo en donde se encuentra ahora un máximo y
un mínimo. En el se puede notar que la recta tangente es un argumento importante para las
explicaciones que se dan con respecto al tema tratado, para las explicaciones se hace
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
86
necesario los elementos gráfico-visuales, veamos a continuación una de las gráficas que
utiliza:
Fig. 2.18
(Dolores, 1999, p.120)
En el texto se explica que la pendiente de la recta tangente a la curva antes de 𝑥 = −1 es
positiva, lo cual está relacionado con los ángulos de inclinación menores a 90°, en 𝑥 = −1
la recta tangente es horizontal y por lo tanto su pendiente es igual a cero, después de
𝑥 = −1, en el intervalo −1 < 𝑥 < 1 la pendiente de la recta tangente es negativa, para
volver a tomar el valor de cero en 𝑥 = 1, después de 𝑥 = 1 la pendiente de la recta tangente
vuelve nuevamente a ser positiva. Se hace mención también de que cuando la pendiente de
la recta tangente es positiva es cuando la función es creciente, cuando es negativa es cuando
la función es decreciente y cuando vale cero hay un punto estacionario y se menciona que
un punto estacionario es cuando la velocidad de la variación no cambia.
Para poder dar este tipo de explicaciones se ha asumido que el estudiante ha construido a la
recta tangente a la curva desde un punto de vista variacional. Al revisar los apartados
anteriores del cuaderno didáctico se ha observado que se ha llevado a los alumnos a que
construyan el concepto de derivada a partir de un análisis numérico en donde se ha hecho
que el incremento se haga infinitamente pequeño. El método lleva a construir el concepto
de velocidad instantánea, el cual generalizándose posteriormente se le pude decir razón de
cambio instantánea. En otro apartado se estudia la interpretación geométrica de la velocidad
instantánea. Este método da explicaciones de tipo geométrico de cómo una recta secante en
dos puntos a una curva pasa a convertirse en recta tangente a una curva, sin embargo se
87
difiere de los textos tradicionales de Cálculo en que se específica que la recta no toca a la
curva en un solo punto, más bien toca a la curva en dos puntos infinitamente cercanos entre
sí. Nosotros consideramos que la explicación, junto con el análisis numérico ponen mucho
hincapié en la razón de cambio instantánea la cual puede propiciar a que los alumnos
construyan la idea de que la derivada es ese único valor que se está encontrando, ya sea por
métodos numéricos o por métodos geométricos lo cual lleva a la idea errónea concebida por
muchos estudiantes y hasta con profesores de que la derivada es la pendiente de la recta
tangente en un punto (Castañeda, 2004). También se dan explicaciones ausentes en textos
tradicionales de Cálculo Diferencial, como por ejemplo que la curva y la recta tangente son
muy parecidas en una región infinitesimal, así como la idea de que la curva está formada
por un conjunto de segmentos infinitesimales y la recta tangente se podría obtener al
prolongar en ambos sentidos uno de estos pequeños segmentos, a pesar de esto creemos que
si estas ideas fueran tratadas con mayor profundidad, contribuirían a la construcción de la
noción de recta tangente desde un punto de vista variacional, lo cual forma parte de
nuestro objetivo de investigación, con lo qué también se estaría contribuyendo a la
construcción de la derivada con un sentido más robusto, es decir la derivada como una idea
de una razón de cambio instantánea que está cambiando en cada instante (dependiendo de
la curva bajo análisis). Hacemos estas observaciones ya que es frecuente que los profesores
asuman que cuando se está tratando el tema de máximos y mínimos para el alumno queda
perfectamente claro que la recta tangente es cambiante y esa es una idea que
frecuentemente no ha quedado estabilizada entre los estudiantes en ese momento del curso
(Serna, 2007). Esta idea es un antecedente importante para nuestro trabajo de investigación.
Según lo reportado en Canul (2009) existe un fenómeno en la enseñanza-aprendizaje del
estudio de la recta tangente. Este fenómeno se debe a que los estudiantes (e incluso
profesores), presenten inconsistencias al trazar la recta tangente a cualquier curva, ya que
utilizan la definición euclidiana (global) de recta tangente, sin percatarse de que es
insuficiente:
Para superar estas inconsistencias ocasionadas por la mencionada contradicción
se requiere utilizar una definición de tangente más general, como la concepción
leibniziana, en la que se trasciende la concepción global poniendo en su lugar a
88
una concepción local, donde se acepta que la tangente eventualmente puede
“cortar” a la curva y no sólo “tocarla”, estableciendo como marco una nueva
definición de curva considerándola como poligonal de lados infinitesimales. La
tangente en este contexto es la prolongación de un lado de la poligonal.
(Canul, 2009, p. iii)
En Canul (2009) se propone una situación didáctica en la que se pretende asistir a los
estudiantes en la compresión de la derivada en el contexto geométrico al coadyuvar en la
transición entre la concepción global y local de tangencia en el trazo de tangentes a curvas.
La estrategia que los alumnos usarán es la de búsqueda de consensos, “en donde se asume
como hipótesis que el establecimiento de una convención matemática, será un mecanismo
de construcción de conocimiento que permita articular ambas concepciones de tangencia”
(Canul, 2009, p. 16).
En Canul (2009) se reporta en base al análisis que hace sobre antecedentes epistemológicos
de la construcción de la tangente por el método de Fermat, que la recta tangente es la mejor
aproximación lineal a la curva en el punto de tangencia y sus “proximidades”. En el trabajo
de Fermat se pasa de la concepción global de la recta tangente a la concepción local, con lo
anterior se quiere decir que para ser tangente no se requiere que la recta cruce una y sólo
una vez a la curva en toda su extensión sino que ello ocurra en las proximidades
infinitesimales del punto. La investigación llevada a cabo por Canul (2009) no está en
contraposición por las hechas por otros investigadores que hacen uso de la tecnología. Por
ejemplo, haciendo uso de herramientas tecnológicas una persona se puede acercar mucho a
una curva, al hacer esto y centrarse sólo en punto, entonces en ese pequeño espacio la
gráfica parece ser una recta. Lo anterior le facilita al estudiante poder transitar entre una
concepción global a una concepción local (Kendal y Stacey, 2003; Maschietto, 2008; Biza,
2011).
Al pensar en la curva como una poligonal de lados infinitesimales, considerando que cada
punto es un segmento infinitesimal, y al extenderse este en ambos sentidos (formándose así
la recta tangente en un punto) entonces de manera implícita se está reconociendo el carácter
89
variacional de la recta tangente ya que cada punto corresponde a uno de los lados de la
poligonal y esta tiene infinitos puntos.
Por lo que cada punto de la curva el cual es un pequeño segmento infinitesimal tiene una
pendiente que es la misma que la pendiente de la recta tangente en ese punto, esta pendiente
va a representar la razón de cambio instantánea, la cual está cambiando a cada instante.
En Canul se presentan varias curvas las cuales van a servir para que los alumnos tracen la
recta tangente en el punto indicado, en la etapa de acción la cual se llevará acabo de manera
individual, posteriormente en equipo se llevaran a cabo la etapa de formulación y
validación en donde se pretende la búsqueda de consensos. A continuación mostramos dos
de las curvas que presentó Canul (2009) en su situación didáctica:
En la espiral de Arquímedes coloco un punto P en un lugar de la curva en donde al trazar la
recta tangente en ese punto P la recta tangente tendría que cortar a otros puntos de la curva.
En el caso de la función cúbica colocó al punto P en el punto de inflexión, de tal forma que
al trazar la recta tangente en ese punto cortara a la curva. Pensamos que una forma
alternativa de presentar esta secuencia didáctica es comentando que el punto P de la curva
se mueve sobre ella, iniciando por lugares en donde la recta tangente no corta a otros
puntos de la curva, pero conforme se va moviendo el punto de tangencia necesariamente la
recta tangente tendrá que cortar a la curva en otros puntos.
En el análisis de los resultados de la secuencia didáctica en Canul (2009) dice “En este
diálogo, el grupo estableció la convención de que es necesario que la recta tangente siga la
Fig. 2.19 Fig. 2.20
90
forma de la curva. De no ser así, podrían pasar infinidad de rectas por un punto de
tangencia.” (p. 77). En la secuencia didáctica se establecieron las condiciones obtenidas de
la discusión grupal, las condiciones fueron las siguientes:
Condiciones:
� Función continua, no saltos en la gráfica
� La recta sólo es tangente en el punto donde (toca o corta) a la curva,
siguiendo la forma de la curva.
� Es tangente en el punto, no importando lo que pase al prolongarse.
� Las rectas tangentes forman la curva
� El punto de tangencia no sea un vértice
Notamos que hay una semejanza entre decir que una curva es una poligonal compuesta de
pequeños lados infinitesimales (puntos) en donde si se prolonga uno de esos lados en
ambos sentidos, se tiene a la recta tangente a la curva en ese punto (L´Hospital, 1696), con
la condición establecida en la discusión grupal referente a que la recta sólo es tangente en el
punto donde (toca o corta) a la curva. Si hacemos una comparación con lo dicho por Euler y
que es reportado en Serna (2007): “por lo tanto sigue diciendo que para conocer el curso de
una línea curva bastaría con determinar para cada punto de la curva la tangente” (p. 124)
con la condición enunciada anteriormente de que las rectas tangentes forman la curva,
vemos que hay gran similitud entre los dos enunciados citados anteriormente y también
notamos que el hecho de decir que las rectas tangentes forman la curva es una forma
intuitiva de establecer el carácter variacional de la recta tangente, lo cual es logrado por
medio de las representaciones gráficas establecidas en la secuencia didáctica de Canul
(2009).
En cuanto a los diseños didácticos revisados, vemos que los elementos gráfico-visuales son
esenciales para dar las explicaciones y argumentaciones. Se establece una relación entre la
función creciente, decreciente y cuando es estacionaria, con respecto a los máximos y
mínimos. El punto de inflexión, los máximos y mínimos son puntos de transición entre una
región en donde la función es creciente (o decreciente) para pasar a ser decreciente (o
creciente), además en los máximos y mínimos la derivada vale cero, ya que en ese punto la
91
función no es creciente ni decreciente. Utilizando el argumento de que un punto es un
segmento infinitesimal, tal segmento en un máximo o mínimo es horizontal. También el
punto de inflexión nos muestra puntos de transición entre el cambio de concavidades ya que
en ese punto una curva pasa de ser cóncava (o convexa) a ser convexa (o cóncava).
Al relacionar a los puntos de inflexión con la primera derivada se observa que donde la
primera derivada tiene un máximo o mínimo corresponde a un punto de inflexión, la recta
tangente no es tocada, aunque como mencionamos se podría retomar como elemento que
permite clarificar otros conceptos como son los máximos y mínimos, así como el punto de
inflexión. La forma en cómo se construye el concepto de recta tangente en Dolores (1999)
podría contribuir a que los alumnos construyan el concepto de recta tangente como la
pendiente de la recta en un punto, en donde se apoya con la idea de que la curva puede ser
considerada como una poligonal conformada por segmentos infinitesimales. Con respecto a
Canul (2009) es un trabajo en donde los aspectos gráfico-visuales son esenciales para las
argumentaciones en cuanto si la recta tangente toca (corta) a la curva en más de un punto y
de los resultados obtenidos en su trabajo de investigación rescatamos el hecho de que la
recta tangente a la curva sigue la forma de la curva definición muy parecida a la de
L´Hospital (1696). Decir que las rectas tangentes forman la curva es una definición muy
parecida a la de Euler (1835 citado en Serna, 2007), lo cual de alguna manera nos muestra
que las ideas intuitivas obtenidas por los estudiantes en el proceso de institucionalización
de la secuencia didáctica de Canul (2009) son semejantes a aquellas con las que nace el
Cálculo Infinitesimal y que pueden ser retomadas en una didáctica actual.
2.8 Resumen de características relevantes de las fuentes epistemológicas
En nuestro proyecto de investigación pretendemos hacer un estudio detallado que nos
permita percatarnos de cómo nace la idea de tangente variable y cómo es que contribuyen
los contextos socioculturales en la construcción de la noción de recta tangente.
Consideramos que es la mecánica quien da un fuerte impulso en la creación de tal noción.
Al hacer este estudio creemos que se podrán rescatar elementos importantes que se han
perdido en el transcurso del tiempo y que pueden servir en la creación de secuencias
didácticas que permitan a los estudiantes construir la noción tangente variable en un
92
contexto variacional. Consideramos también que los productos de nuestra investigación
contribuirán al rediseño del discurso matemático escolar.
En este estado del arte se han mostrado formas diferentes de la noción de recta tangente,
esta constituyó un elemento importante en el nacimiento del Cálculo Diferencial. Sin
embargo una vez que se hubo resuelto el problema de las tangentes con el uso de la
derivada, la noción de tangente variable pierde importancia,
Desde los trabajos de Lacroix y de Cauchy, no se encuentran referencias, como
en L´Hospital, del significado original del concepto, sino ya el concepto es el
objeto de estudio. Esta idea se conserva hasta los textos de hoy en día, de tal
suerte que el concepto de tangente viene como una aplicación del concepto de
derivada y no como la idea que origina el concepto.
(Cantoral, 1988, p.385)
En las siguientes tablas se muestra a manera de resumen, algunas características relevantes
en cada etapa analizada de las fuentes epistemológicas, en donde se pueden rescatar
elementos importantes para una didáctica actual.
93
Tabla 2.21
Etapa Figura
Argumentos y/o palabras o
frases relevantes que
permiten observar elementos
clave en las argumentaciones
Expresión
Matemática
Contextos /Elementos de
conocimiento antiguo que
pueden ser rescatado para
una didáctica actual
Antes de la
formalización del
Cálculo
Semejanza de triángulos, se utiliza
la subtangente para poder
determinar la tangente.
El término que contenga 𝜺, debe de
ser eliminado.
Si 𝜀 es pequeño se tiene que:
𝑆𝑅 ≈ 𝑃′𝑅
De lo anterior se puede deducir
que: La hipotenusa del pequeño
triángulo formado va a coincidir
con el pequeño arco.
Se encuentran presentes las ideas
germinales de los infinitesimales.
PQQP
PQTQ
−′′•
≈ε
.
La igualdad se obtiene
cuando 𝜀 = 0
Las explicaciones se dan en un
contexto geométrico-visual, la
gráfica se utiliza para generar
argumentos.
La construcción de la tangente
a partir de la semejanza de
triángulos, uno de dimensiones
muy pequeñas y otro de
dimensiones finitas.
En la expresión matemática hay
elementos variacionales, ya que
conforme 𝜀 se hace más y más
pequeño también 𝑃′𝑄′− 𝑃𝑄 de
tal forma que se puede llegar a
cumplir la igualdad 𝑆𝑅 = 𝑃′𝑅
T O Q Q´
P
S
R
P´
94
Etapa Figura
Argumentos y/o palabras o
frases relevantes que
permiten observar
elementos clave en las
argumentaciones
Expresión
Matemática
Contextos /Elementos de
conocimiento antiguo que
pueden ser rescatado para
una didáctica actual
Formalización del Cálculo
Semejanza de triángulos
Triángulo formado con
dimensiones finitas y triángulo
formado con dimensiones
infinitesimales.
Fluxiones
Fluentes
Subtangente
Razón de cambio instantánea
𝑇𝐵𝐵𝐷 = 𝐷𝑐
𝑐𝑑 ; x
y�
�
ayaxx
axyyBT
+−−
=23
32
3
Explicaciones en un contexto
geométrico-visual
Por medio de la gráfica se ilustran
las magnitudes infinitesimales, se
muestra la semejanza entre dos
triángulos uno de dimensiones
finitas con respecto a otro de
dimensiones infinitesimales.
Al estar la expresión matemática
obtenida en función de x, esto
permite deducir que la recta
tangente es cambiante.
En la gráfica se observa que la
recta tangente va a ir cambiando de
posición de pendiendo del valor de
AB.
La gráfica se utiliza para generar
argumentos.
Tabla 2.22
95
Etapa Figura
Argumentos y/o palabras
o frases relevantes que
permiten observar
elementos clave en las
argumentaciones
Expresión
Matemática
Contextos /Elementos de
conocimiento antiguo
que pueden ser
rescatado para una
didáctica actual
Difusión del Cálculo
Diferencia.
Magnitudes
infinitesimales.
Semejanza de
triángulos,.
Subtangente.
Razón de cambio en un
instante.
Curva considerada como
el ensamblaje de
segmentos
infinitesimales.
Recta tangente variable.
. 𝑃𝑇 = 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
Un punto del plano es
considerado un segmento
infinitamente pequeño.
Al prolongarse uno de los
pequeños lados Mn de la
poligonal que compone a una
línea curva, este pequeño lado
así prolongado, será llamado la
tangente de la curva, de aquí se
puede observar el carácter
variacional de la tangente, para
cada lado del polígono se puede
calcular la tangente.
Las explicaciones se dan en un
contexto geométrico-visual, la
gráfica se utiliza para
argumentar
La construcción de la tangente a
partir de la semejanza de
triángulos, uno de dimensiones
muy pequeñas y otro de
dimensiones finitas.
Tabla 2.23
96
Etapa Figura
Argumentos y/o
palabras o frases
relevantes que permiten
observar elementos
clave en las
argumentaciones
Expresión
Matemática
Contextos /Elementos de
conocimiento antiguo que
pueden ser rescatado para una
didáctica actual
Difusión del
Cálculo
Utilizar a los máximos y
mínimos como pretexto
para argumentar sobre el
carácter variacional de la
recta tangente.
Diferencia.
Magnitudes
infinitesimales.
Semejanza de triángulos,.
Subtangente.
Razón de cambio en un
instante.
Recta tangente positiva.
Recta tangente horizontal
Recta tangente negativa.
𝑑𝑦 = 0
Mediante una inspección visual determinar
la mayor (o menor) de las ordenadas para
localizar el máximo (o mínimo).
El cambio de signo en las diferencias antes
y después del punto máximo.
Ángulo en el vértice M se vuelve cada vez
más y más pequeño conforme la tangente se
va acercando al máximo, el segmento
infinitesimal mR se va a volver cero en el
máximo.
A partir de la gráfica se observa el carácter
variacional que tiene la tangente al ir
examinando los cambios de posición que va
teniendo antes, durante y después del
máximo.
Las explicaciones se dan en un contexto
geométrico-visual, la gráfica se utiliza para
argumentar
Tabla 2.24
97
Etapa Figura
Argumentos y/o palabras o
frases relevantes que
permiten observar
elementos clave en las
argumentaciones
Expresión
Matemática
Contextos /Elementos de
conocimiento antiguo que
pueden ser rescatado para
una didáctica actual
Posterior a la
difusión del
Cálculo
Semejanza de triángulos
Subtangente
La tangente se confunde con la
curva en un espacio muy pequeño
ya que el arco se desvanece.
La tangente tiene con la curva
por lo menos dos puntos comunes.
Representación por medio de un
polinomio de los cambios.
Análisis del comportamiento de la
curva dejando que x, y se
incrementen.
Infinitesimales
La recta tangente a una curva se
descarta a cada momento.
Para conocer el curso de una
línea curva, bastaría con
determinar para cada punto de la
curva la tangente.
𝟎 = 𝑨𝒕 +𝑩𝒖 + 𝑪𝒕𝟐+𝑫𝒕𝒖+ 𝑬𝒖𝟐
+ 𝑭𝒕𝟑
+ 𝑮𝒕𝟐𝒖+𝑯𝒕𝒖𝟐+ &𝑐
𝟎 = 𝑨𝒕 + 𝑩𝒖
𝑷𝑻 = −𝑩𝒒𝑨
Argumentos geométrico-visuales
Contexto algebraico
Encontrar una expresión
algebraica que represente los
cambios, haciendo énfasis en que
al despreciarse los términos muy
pequeños, la expresión que
representa a los cambios va a ser
representada por la ecuación de
una línea recta-
Relación entre argumentos
geométricos, infinitesimales y
algebraicos al representar a la
hipotenusa del pequeño
triángulo infinitesimal por medio
de la ecuación de una recta, la
cual es obtenida mediante
argumentos infinitesimales.
Uso de la gráfica que sirve para
generar argumentos.
Tabla 2.25
98
Capítulo III
Problema de Investigación
3.1 Introducción
La matemática educativa es una disciplina científica que se encarga de estudiar los
fenómenos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Su estudio no se trata solamente
en un sentido simple de proponer mejores formas de enseñar, la disciplina va más allá, ya
que se ocupa de establecer y poner en marcha elementos teóricos que permitan modelar los
diferentes actos que se encuentran presentes en los escenarios donde hay actividades de
enseñanza-aprendizaje de matemáticas, uno de estos es el aula de clase. En ella se
encuentran presentes tres actores fundamentales que son: el estudiante, el profesor y el
conocimiento, estos conforman una unidad mínima de análisis la cual en matemática
educativa se le conoce como sistema didáctico.
En el sistema didáctico se pueden presentar diferentes problemas, los cuales forman parte
de nuestro objeto de estudio, los vamos a nombrar como fenómenos didácticos. Estos
pueden ser más notorios en los docentes (polo didáctico), en los estudiantes (polo
cognitivo) o en el conocimiento (polo epistemológico) sin embargo, es claro que los tres
están actuando de manera sistémica ya que no se pueden separar aislándose uno de otro.
Desde esta perspectiva no se podría abordar sólo uno de los tres polos antes mencionados
considerando que las otras dos componentes del sistema no están interactuando.
La teoría de la Socioepistemología además de las componentes anteriormente mencionadas
toma en cuenta la componente social en donde los escenarios socioculturales deben ser
tomados en cuenta en la construcción del conocimiento matemático.
99
De acuerdo a Cantoral y Farfán (2003) si desde el punto de vista del profesor, pusiera en
marcha nuevas formas de transmitir el conocimiento, esto no garantizaría que los
estudiantes construyeran conocimiento ya que el hecho de que el profesor haga propuestas
innovadoras no necesariamente implica que los alumnos y las alumnas vayan a construir el
conocimiento, hacer propuestas de este tipo sería como considerar una didáctica sin
alumnos. Al tomarse en cuenta la componente cognitiva, pero sin examinar de qué manera
la escuela influye en el actuar de los y las estudiantes se estaría dejando de lado la escuela,
es decir cuando un individuo se encuentra inmerso en la institución escolar tiene una forma
de actuar que se encuentra influenciada por su entorno y va a responder de acuerdo a lo que
considera se espera de él, de tal forma que considerar la componente cognitiva de manera
aislada tampoco es suficiente, se tendría una didáctica sin escuela. Han surgido
aproximaciones sistémicas en donde se consideran el saber, aquel de quién enseña y el de
quién aprende en un medio determinado interactuando sistémicamente. Sin lugar a dudas
esto ha permitido grandes avances en la matemática educativa, aunque el tratar de recrear
en una didáctica actual la forma en que nació el conocimiento no siempre es optimo ya que
hay ocasiones en que el hacer esto, es más complejo que el mismo concepto que se desea
introducir en el aula; esto llevó a la necesidad de poner la atención en la componente social
que se encuentra presente en la construcción del conocimiento matemático. Esta
componente considera los escenarios en los que nace el conocimiento, a diferencia de otras
investigaciones en matemática educativa en donde el elemento central es el conocimiento
matemático, la Socioepistemología establece el tratar con las prácticas que producen o
favorecen el conocimiento de esta manera la centración estará puesta en las prácticas más
que en los conceptos.
La intervención de la matemática educativa es con un fin benéfico ya que pretende a partir
de los constructos teóricos establecidos en la disciplina, remediar (cuando el caso lo
amerite), predecir, caracterizar, propiciar y controlar los diferentes actos que se encuentran
presentes en los procesos escolares o aquellos en donde se encuentre presente la
transmisión y apropiación de conocimiento matemático; todo con el fin de que se pueda
construir conocimiento matemático y que los y las estudiantes así como las personas en
general puedan integrar a su vida estos conocimientos en un sentido funcional.
100
3.2 El Modelo de Conocimiento
En el capítulo I de éste trabajo de investigación se han mostrado diversas problemáticas en
la enseñanza-aprendizaje del Cálculo. Lo anterior se ve reflejado en un tema de la
matemática escolar que es de nuestro interés, la recta tangente a una curva, el cual es visto
en Cálculo Diferencial. Las problemáticas mostradas son recurrentes y no es aleatorio que
ocurra así. Desde nuestra perspectiva existe una explicación al respecto, ésta tiene que ver
con el modelo de construcción de enseñanza-aprendizaje que se encuentra presente en
nuestra sociedad. Tal modelo de conocimiento se manifiesta en la matemática escolar
(Gascón, 2001; Cordero, 2007; Salinas y Alanís, 2009).
De acuerdo a Cordero (2007) el modelo de conocimiento que explica la construcción de
conocimiento matemático, toma como eje principal a los conceptos. Lo cual quiere decir
que realmente se habla sobre la construcción de los conceptos. Estos son considerados
como algo preexistente, en función de ellos los programas escolares son elaborados como
secuenciaciones lógicas para la construcción de los mismos.
Cordero (2007) menciona que a pesar de la evolución de la matemática educativa en donde
las tesis constructivistas se encuentran presentes, sigue existiendo centración en los
conceptos. Sin dejar de reconocer los grandes avances obtenidos por la matemática
educativa en base a dos grandes programas que han evolucionado: uno que considera la
construcción de conocimiento matemático del individuo ante problemas matemáticos
específicos y otro que da sus explicaciones de construcción de conocimiento matemático de
los individuos en los escenarios socioculturales. En ambos programas lo que importa es la
construcción de los conceptos.
Consideramos que la problemática que se presenta en las clases de Cálculo Diferencial es
reflejo de un sistema en donde se manifiesta una visión platónica de los objetos que
manifiesta la preexistencia de los objetos con respecto a la experiencia humana y por lo
tanto deben de ser descubiertos. Bajo esta postura filosófica las personas tienen que darse a
la tarea de descubrir las relaciones preexistentes que conecta a estos objetos. Esta
concepción afecta la forma de enseñanza y a todo el estado del sistema educativo.
101
Concebir a la enseñanza de las matemáticas bajo esta perspectiva tiene repercusiones en la
sociedad. Por ejemplo, si el rigor y formalismo matemático crea dificultades en la
compresión de los conceptos, entonces se puede optar por usar la técnica para encontrar
resultados, a pesar de que esto no implica la construcción de conocimiento matemático.
Desde nuestra perspectiva bajo esta forma de enseñanza-aprendizaje una de las
consecuencias que se tiene en la sociedad es el concebir a las matemáticas con un carácter
utilitario, en este sentido los estudiantes consideran que en la escuela sólo deberían de
revisar temas que les sirvan para llevar a cabo sus actividades rutinarias como: al comprar,
saber contar el dinero para pagar y saber cuánto cambio recibirán, tomar algunas medidas;
es frecuente escuchar entre los mismos profesores decir, “para que enseñamos Cálculo
Diferencial yo soy ingeniero y prácticamente nunca lo he utilizado”, las demandas de la
sociedad tienen que ver con este carácter utilitario (Cordero, 2007).
Cordero (2007) reporta que las demandas de los profesores hacia la matemática educativa
son: mejores formas de enseñar, mejores estrategias o métodos de enseñanza-aprendizaje,
estas demandas de los profesores aunadas con las que la sociedad tiene con respecto a los
sistemas educativos favorecen el nivel utilitario del conocimiento matemático de tal forma
que las matemáticas quedan relegadas a actividades de servicio; no se piensa en ellas como
algo que va a pasar a ser parte del ser humano y que gracias a esto va a poder transformar la
vida.
El modelo matemático actual por la forma en cómo se ha constituido en la sociedad soslaya
a lo humano, a las prácticas de referencia en donde se resignifica las matemáticas en otros
dominios científicos de los cuales la matemática se encuentra a su servicio, los y las
estudiantes que se encuentran en la institución escolar que se rige bajo la perspectiva
tradicionalista no le encuentran sentido a las matemáticas, como reporta Pulido (2007):
No puede existir una comprensión cabal por parte de los estudiantes del
contenido matemático que se intenta comunicar en los libros tradicionales, en
tanto que la presentación que ofrecen representa el estado final de un
conocimiento que en la mente del estudiante no tiene una razón de ser. La
apropiación del discurso supone que el estudiante mismo debería haber
construido aproximaciones iniciales a ese conocimiento, y avanzado con sus
102
propios intentos de solución, entre otras habilidades. Sin embargo, no siendo
propiciado esto por los libros de texto, el contenido resulta ajeno al proceso
cognitivo del estudiante. Podrá forzarse (como lo hace) a estudiarlo, porque el
contrato escolar lo obliga a ello, pero será incapaz de aprenderlo.
(p. 115)
El modelo de conocimiento del que venimos hablando se encuentra fuertemente arraigado
en la sociedad. Gascón (2001) da una explicación teórica al respecto. Él explica que existe
un modelo epistemológico de las matemáticas el cual estructura los modelos docentes.
Gascón (2001) nos muestra que el Programa Euclídeo intentó dar una base firme al
conocimiento.
Para ello, propone que todo conocimiento matemático puede deducirse de un
conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) que constan
de términos perfectamente conocidos (términos primitivos). La verdad de los
axiomas fluye entonces desde los axiomas hasta los teoremas por los canales
deductivos o transmisión de verdad (pruebas).
(pp. 131-132)
Bajo esta forma de concebir el conocimiento matemático los principios están lógicamente
estructurados y a las matemáticas se les considera como algo ya dado acabado e inmutable,
sus leyes y/o verdades tienen sentido prácticamente sólo dentro de la matemática misma.
En base a este modelo epistemológico surgen dos modelos docentes: uno de ellos se le
conoce como el teoricismo y al otro el tecnicismo.5
5 Gascón (2001) Aclara que ninguno de los modelos docentes que él propone son formas ideales, “que nunca han existido en estado puro en las prácticas docentes reales” (p. 133)
En ambos modelos se trivializa el
proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. En el teoricismo lo que tiene
primordial importancia es el enseñar (en el sentido de mostrar) las teorías cristalizadas.
Evidentemente la resolución de problemas no tiene un peso de importancia y por lo tanto
surgen problemáticas como las ya mencionadas en el capítulo I de esta tesis.
103
El tecnicismo surge en respuesta al teoricismo, en donde hay grandes dificultades con la
comprensión de los conceptos lo cual se ve manifestado en el fracaso escolar. En el
tecnicismo, el uso de las técnicas simples es lo más importante sobre todo las de naturaleza
algebraica. Pareciera ser que es como una forma de no querer perderlo todo y mostrar por
lo menos algún tipo de conocimiento, el cual se podrá mejorar en función de la repetición
de las técnicas. De este modelo docente también se derivan problemáticas como son el uso
de algoritmos de naturaleza algebraica ya mencionados en otro momento, así como la
presentación por parte del profesor de problemas descontextualizados de carácter
intramatemático los cuales pueden ser aprendidos en función de la reiteración.
En nuestra institución educativa consideramos permean los dos modelos docentes
anteriores a los cuales Salinas y Alanís (2009) los llaman modelos docentes clásicos y
constituyen un paradigma tradicional en la enseñanza del Cálculo en donde de acuerdo a
estos autores:
El contenido matemático se presenta de manera formal y rigurosa. Por formal
entendemos una ausencia de significados reales asociados con las nociones y
procedimientos de esta rama de las matemáticas. Por riguroso entendemos una
secuencia de definiciones, teoremas y demostraciones lógicamente validadas,
todo organizado de tal forma que las nociones y procedimientos anteriores dan
sentido a las subsecuentes. Esta presentación formal y rigurosa (resultado de la
fundamentación) culmina con aplicaciones del contenido matemático que dejan
la impresión de que son consecuencia natural del dominio de la teoría. El índice
de libros de texto tradicionales muestra ese tipo de estructura en el contenido;
números reales, funciones, límites, continuidad, derivada, aplicaciones de la
derivada, integral y aplicaciones de la integral.
(pp. 361-362)
Dentro de este contexto se encuentra presente la interpretación geométrica de la derivada en
donde se toca al tema la recta tangente a una curva. Este contenido es visto como de paso y
no se le da la importancia que debería. Sin embargo, la historia nos muestra como es
mediante la resolución del problema de las tangentes que se generaliza un método de
104
solución del mismo. Es mediante esta solución que surge la noción de derivada. De tal
forma que históricamente hablando la construcción de la recta tangente permite arribar a la
noción de derivada.
Aunque existe evidencia de los problemas ocasionados por la manifestación del paradigma
tradicional del Cálculo, se siguen implementando métodos similares en donde se le da alta
prioridad a los conceptos. A pesar de que aparentemente el discurso enunciado por ejemplo
en el Programa de Pensamiento del Cálculo Diferencial del Estado de México declara el
proponer trabajar con un pensamiento crítico en el desarrollo de sus temas. No obstante, se
siguen priorizando secuencias parecidas a las de los programas tradicionales. El caso de la
recta tangente se sigue viendo prácticamente en los mismos términos a como regularmente
se había venido haciendo desde años atrás.
Aunque aparentemente hay preocupación por el desempeño de los estudiantes, en donde los
resultados en matemáticas no han sido favorables, las propuestas de mejora no han
mostrado beneficios en los sistemas escolares. Desde nuestro punto de vista, lo anterior no
es casual, corresponde con una política educativa de los grupos que se encuentran en el
poder, la cual se ve reflejada en los programas de estudio, así como en todo aquello
concerniente al sistema público escolar mexicano.
De acuerdo al análisis que hacen Molfino y Buendía (2011) el discurso de un grupo
dominante se manifiesta por diferentes medios; uno de ellos es la educación y tiene la
intención de que el grupo dominado se forme una opinión en la medida de que no puede ver
otra.
En otras palabras, es un problema que se relaciona directamente con la
educación, porque se define en los siguientes términos: el Estado, el poder, no
persuade; no le interesa convencer a nadie. El Estado convence impidiendo que
la gente vea cosas diferentes de las que existen. Por eso es bloqueo, porque la
gente acepta la realidad que ve en la medida en que no ve una diferente.
(Zemelman, 2005, p. 5)
105
Esto se observa a partir de la institucionalización de los diferentes temas tratados en la
matemática escolar.
3.3 La institucionalización escolar
La escuela como una institución controlada por el Estado se ha encargado de perpetuar los
modos de enseñanza-aprendizaje a partir de la institucionalización que es una vía para que a
partir de lo ya instituido por las generaciones más antiguas, se siga repitiendo en las
generaciones más jóvenes. De hecho estas formas de enseñanza-aprendizaje son validadas
por la misma sociedad. Puesto que este fenómeno no es observado claramente por la
misma, en Azevedo (2004) se dice con respecto a la educación:
…es tradicionalista por naturaleza: siendo una función social ejercida por las
generaciones más viejas y teniendo como fin la transmisión de los valores
establecidos y de las pautas culturales del grupo, más que determinar las
transformaciones colectivas, las refleja y sirve para perpetuar, más que para
producir el progreso social.
(p. 186)
Es tarea por lo tanto de la sociedad reconocer esta situación, hacer algo por cambiarla y
permitir que la innovación y el cambio benéfico sea también una constante en la forma de
pensar y actuar de los alumnos, una parte de nuestra cultura.
El progreso es, pues, organización, reconstrucción, dirección inteligente y
racional, e implica necesariamente, no sólo un sentido más profundo de las
transformaciones sociales y de las fuerzas colectivas que las determinan, sino
también la intervención deliberada del saber humano en las diversas partes del
movimiento social, para dirigirlo…
(Azevedo, 2004, pp. 177-178)
En Molfino y Buendía (2011) se explica cómo es que la institucionalización del concepto
de límite tiene que ver con el discurso transmitido por los grupos que se encuentran en el
106
poder. En el caso de la matemática escolar éste se ve manifestado en el Discurso
Matemático Escolar.
Desde la visión socioepistemológica que hemos adoptado se entiende el
Discurso Matemático Escolar (DME) como la manifestación del conocimiento
matemático normada por las creencias del profesor y los estudiantes sobre lo
que es la enseñanza y lo que es la matemática, por lo que dicta el currículo y
por las necesidades e intereses de todos los actores de la noosfera…
En este sentido el discurso favorece que un determinado conocimiento - y no
otro- se vuelva institucional.
(p. 128)
Las problemáticas expuestas en el presente trabajo de investigación, nos muestran como el
discurso Matemático Escolar (dME) privilegia el uso predominantemente algorítmico y
formal del abordaje de los temas del Cálculo de manera similar a como ocurre en el sistema
educativo uruguayo (Molfino y Buendía, 2011).
En Molfino y Buendía (2011) se hace un análisis del dME entendiéndose el discurso como
una acción social. Las investigadoras optan por la visión que propone Van Dijk, “según la
cual el discurso debe ser analizado como un fenómeno social y cultural, con el fin de
comprender las relaciones entre el discurso y la sociedad” (p. 129). En su trabajo de
investigación reportan que los usuarios del lenguaje ya sea oral o escrito son miembros de
un contexto sociocultural el cual es moldeado por éste. También citan a Fairclough y
Wodak (2001) que dicen sobre el discurso: “constituye lo social: constituye las situaciones,
los objetos de conocimiento, la identidad social de las personas y las relaciones de éstas y
de los grupos entre sí”. (p. 367).
De tal forma que el discurso como acción social tiene la intención de establecer o normar
las acciones de sus usuarios controlando el contexto y las estructuras del discurso; lo cual
se puede llevar a cabo a partir de un discurso institucional, por medio del cual se puede
reproducir o desafiar la estructura social (Molfino y Buendía, 2011).
107
Podemos decir que existe una forma a partir de la cual un grupo dominante puede ejercer
influencia en otro grupo dominado, esto se puede hacer a partir de un discurso, por ejemplo
en el caso de los profesores de matemáticas a partir de un discurso institucional.
El discurso es tal que hace que las personas de un grupo tengan las creencias
del grupo poderoso; puede ser a través de la educación, campañas, publicidad o
medios, por ejemplo, lo que sólo es posible cuando no existen otras fuentes de
información y opinión, para que los dominados no puedan formarse una
opinión propia, diferente a la del grupo dominante. En el caso de la educación,
este poder lo ejercen padres y profesores, autoridades educativas, diseñadores
del currículo y de los libros de texto, editoriales, políticos, organismos
internacionales, entre otros.
(Molfino y Buendía, 2011, pp. 130-131)
En el caso de los programas de estudio el discurso se ve reflejado en el currículum. De
acuerdo a Saavedra (2005) el currículum es una invención de la pedagogía estadounidense.
Tuvo como objetivo responder a las necesidades del proceso de industrialización,
equiparando el funcionamiento de la institución escolar con el funcionamiento de la
empresa capitalista y de este modo se pretendía que el currículum adquiriera un estatus
científico. El mismo autor dice:
En el proceso de enseñanza-aprendizaje el maestro controla los contenidos a
través de los medios, que son los soportes; las técnicas que son los recursos, y
la evaluación que es el control, apareciendo de este modo la didáctica en su
carácter técnico-instrumental que pretende hacer del modo didáctico el proceder
“científico” para organizar los componentes del proceso.
El currículum se convierte así en un artefacto que anticipa y define un tipo de
prácticas que son usadas como inversión y como consumo para un tipo de
educando que se desea formar y para un saber que se desea adquirir; soslaya la
reflexión crítica sobre la realidad, la cual concibe como estructuralmente dada,
propiciando con ello el desarrollo de un pensamiento unidimensional donde la
razón deviene en razón pragmática (Marcusse, 1969).
108
El modelo del currículum tecnologista privilegia una sola óptica analítica.
Ignora la problemática teórico-epistemológica del campo educativo en general,
abstrae las teorías científicas de su contexto social y presenta las ideas
científicas como leyes inmutables, en lugar de tentativas, es decir teorías vivas,
sin explicitar los razonamientos que subyacen a ellas.
Las formas lógico-hipotético-deductivas y las estructuras conceptuales
dominantes y generalizadas de una disciplina son reconstrucciones
confeccionadas como análisis posfacto que ignora los conflictos, el dialogo, la
crítica y la multiplicidad de perspectivas para la interpretación; terminan por
presentar en los textos que utilizan los alumnos las ideas científicas como
estáticas, en una lógica disciplinaria e instructiva que oculta los procesos
mediante los cuales los sujetos construyen los objetos de conocimiento.
(pp. 38-39)
Lo anterior nos da una muestra más de como el discurso como acción social se pone de
manifiesto en la educación. Por ejemplo, en Dolores (2007) se evidencia que los programas
de estudio de matemáticas en México y otros países también están constituidos en base a la
estructura formal del Análisis Matemático, la cual toma como base a los conceptos
matemáticos, en donde se encuentra presenta una lógica formal y rigurosa.
Al reflexionar sobre los problemas latentes con los programas de estudio y en general con
todos los actores inmersos en la matemática escolar, uno se podría preguntar, ¿por qué no
se hacen cambios de fondo, destinados a contribuir en mejoras para el sistema escolar
mexicano?, una respuesta probable es que a lo mejor no se quiere cambiar, ya que la
educación forma parte de una política de un grupo que se encuentra en el poder; es decir no
es más que una expresión de algo mayor; el modelo neoliberal de la economía mundial.
De acuerdo a Zemelman (2005) el modelo neoliberal actualmente se vive mediante un
proceso acelerado de concentración financiera y económica en el mundo. Él explica que
nos encontramos ante la transnacionalización de la economía, lo cual se manifiesta a partir
de la integración de los focos económicos mundiales y también por medio de la
transnacionalización de los medios de comunicación, lo cual consiste en la homogenización
109
de la gente. “Se pretende que todos piensen lo mismo e igual, que todos alberguen las
mismas expectativas, que todos tengan el mismo mundo de necesidades y, por
consiguiente, las mismas exigencias de satisfactores.” (p. 3).
Zemelman (2005) propone una alternativa, esta consiste en que la gente pueda tener una
lectura diferente de la realidad; para ello primero tendría que ser consciente de la misma, es
decir, de esa realidad impuesta por el modelo neoliberal. El poder tener una lectura
diferente es a lo que Zemelman le llama una utopía. Se requiere para lograrla, la conciencia
de la realidad histórica. En donde se hace importante también, “identificar el concepto de
construcción de la realidad” (p. 6).
La historia y la realidad se puede construir desde los micro (Zemelman, 2005). El momento
histórico no es algo que se pueda explicar simplemente a partir de teorías cristalizadas,
sobre todo aquellas que consideran a el conocimiento como algo ya acabado e inmutable y
que se puede expresar mediante verdades absolutas, producto de un proceso lógico-formal.
Existen múltiples miradas que permiten explicar el momento histórico como algo que se
está dando y con un futuro potencial en donde las personas, y en particular los docentes de
matemáticas podemos contribuir a la construcción de una realidad distinta a la que el
sistema nos ha impuesto a ver.
El uso del conocimiento es una alternativa para poder ser conscientes de la realidad. “El
conocimiento cumple la función de ayudar a discernir las condiciones de viabilidad, es
decir, ayuda a apropiarse de la conciencia necesaria para construir la realidad” (Saavedra,
2005, p. 50). Es importante que el conocimiento no sólo tenga la función de ser descriptivo
o explicativo de la realidad, éste debería impulsar una conciencia de la necesidad de acción.
Hemos constatado diversas problemáticas, las cuales son producto de un modelo de
conocimiento en el que se ha privilegiado la construcción de los conceptos. Tal modelo se
ha institucionalizado en el sistema escolar y su puesta en escena en nuestra sociedad no es
casual, es producto de un modelo neoliberal más global, de orden mundial. Este modelo
repercute en las políticas educativas de los países y afecta por lo tanto a México y sus
diferentes estados.
110
El fenómeno didáctico que se encuentra presente tocante al tema de la recta tangente a una
curva es una manifestación de un problema de orden mayor, el cual no sólo abarca aspectos
específicos de la enseñanza-aprendizaje de la matemática escolar o de la educación. En este
apartado hemos pretendido dar una explicación mediante lo reportado por las
investigaciones mencionadas acerca del proceso de institucionalización de la enseñanza-
aprendizaje del Cálculo Diferencial, nuestra intención no ha sido la de hacer un análisis
detallado del proceso de institucionalización, pero sí dar una posible respuesta a la
inquietud que surge del porque se siguen perpetuando las mismas prácticas que propician
los problemas mencionadas en el capítulo I del presente trabajo de investigación. Una
posible conclusión del capítulo citado es que en cuanto a la enseñanza-aprendizaje del
Cálculo diferencial al parecer hay una especie de círculo vicioso en donde todas las
problemáticas presentadas parecen apuntar a que se siga perpetuando siempre lo mismo, ya
que todos los actores inmersos en la matemática escolar de alguna manera contribuyen a
que todo siga igual.
En Cordero (2007) se enuncia que uno de los objetivos de todo sistema educativo es la
formación de cuadros capaces de responder a las demandas de la sociedad. Esto depende de
la cultura y prácticas sociales, así como de la historia de las instituciones en base a los
recursos que tiene cada sociedad debe trazar estrategias que le permitan avanzar. Para esto
es necesario formular acciones y teorizar (hacer conocimiento). Sin embargo para lograr tal
objetivo la sociedad y las autoridades deberían concordar en, el sentido de la educación, o
sea reflexionar en el para qué de la educación. Landázuri (2005) propone. “Pensar en un
mundo en el que destaque el deseo del desarrollo humano en armonía con la naturaleza, en
el que la ciencia y la tecnología estén al servicio de una sociedad no marginadora” (p. 70).
Nuestra propuesta considera revisar la historia para que mediante el análisis de la actividad
humana contextualizada en donde se llevó a cabo el uso de conocimiento matemático con el
fin de percibir la realidad y transformarla, nos va a proveer de elementos que puedan ser
encaminados a una didáctica actual en donde se tiene la intención de que los estudiantes
puedan construir significados. Esto mediante herramientas matemáticas para llevar a cabo
actividades. La idea de reconocer a la actividad humana como una fuente productora de
conocimiento matemático nos invita a revisar los orígenes del conocimiento matemático.
111
Esto se puede lograr al analizar obras antiguas para identificar los usos que tuvieron las
ideas y con ello determinar también los significados existentes, es decir al poder mirar la
forma en cómo lo hicieron los matemáticos eruditos pertenecientes a una comunidad que
tenía la intención de resolver problemas propios de su contexto; nos puede permitir
determinar cómo las herramientas matemáticas surgieron como una matemática funcional.
La matemática funcional permite transformar el entorno, la vida, cuando ésta forma parte
de un individuo y se convierte en parte de él, entonces la persona la puede utilizar para
transformar su vida no sólo en un sentido utilitario (Cordero, 2003).
La institución escolar como promotora de un agente de cambio tendría que fomentar que el
uso del conocimiento tuviera como intención no solamente utilizarlo para interpretar el
mundo, sino utilizarlo activamente para transformarlo.
3.5 Una construcción a partir de la actividad humana
Considerar el uso de conocimiento permite tomar en cuenta a la actividad humana en la
construcción de éste. Al recurrir a la historia para indagar sobre los usos del conocimiento y
tomando en cuenta la variable social, se rompe con el paradigma tradicional que considera
a los conceptos como eje principal. Usar el conocimiento permite pensar en los elementos
que lo constituyen como son el escenario sociocultural donde nace el mismo, lo cual le da
sentido a las actividades que lleva a cabo el hombre para resolver problemas, es decir el uso
de conocimiento es pertinente para el problema que se está resolviendo, es funcional.
Reflexionar sobre el uso del conocimiento permite tomar en cuenta a la historia del mismo;
en donde coincidimos con Espinoza (2009) quien dice que no se puede omitir la historia del
conocimiento, en donde el mismo variara de acuerdo a la variable temporal y en función del
contexto. La construcción de significados debe considerar la “forma de mirar” el
conocimiento en donde hay una manera de ver, entender y/o construir el significado. “Lo
sociocultural influye en la manera de pensar y actuar de las personas, moldeando de cierta
manera y condicionando sustancialmente sus acciones y pensamientos.” (Espinoza, 2009, p.
21).
112
Nuestra propuesta toma en cuenta la variable social, la cual se encuentra articulada con
otras tres componentes que son la cognitiva, la didáctica y la epistemológica. Al hacer esto
se tiene que atender aquellos elementos propios de la actividad humana, como es el uso del
conocimiento en un escenario situado. Bajo esta perspectiva se reconoce a las matemáticas
como un constructo social, con lo cual la mirada centra la atención en “las prácticas
sociales que hacen emerger el conocimiento matemático y no, en cómo los objetos y
procesos matemáticos son adquiridos o aprendidos por el individuo” (Soto, 2010, p. 48).
La Teoría Socioepistemológica plantea a diferencia de otras teorías de la matemática
educativa que centran su atención en la construcción de los conceptos, que son las prácticas
las que están relacionadas con la construcción de los objetos matemáticos (Buendía, 2011).
En esta teoría se postula que el nacimiento del conocimiento matemático está íntimamente
relacionado con la época, lugar y situación en donde surge. Los usos que se les da a los
objetos matemáticos tienen que ver con el significado que se le da a los mismos y esto
depende de cada cultura y sociedad, de tal forma que podemos hablar de un conocimiento
situado. El mismo que tiene que ver con una forma de mirar y construir significados, “la
visión que proponemos tiene que ver con aquellos elementos que permitieron pensar el
concepto en su estado original, aquellos que lo plantee circunstancialmente como natural,
estos elementos son justamente los constructos asociados al concepto” (Cantoral, 2001, p.
xxiv).
El conocimiento no es preexistente, depende de cada escenario en donde aparece y es ahí
donde adquiere significado, de tal forma que el conocimiento tiene un carácter funcional ya
que sirve para transforma la vida. El análisis hecho por Cantoral (2001), así lo demuestra,
como en el caso de la predicción, la cual es una práctica social que se encontraba presente
en los siglos XVI, XVII y XVIII y que normó la construcción de conocimiento matemático.
Esto se puede evidenciar con el binomio de Newton y que posteriormente se fue
desarrollando hasta llegar a la serie de Taylor, el cual es un instrumento matemático que
permite la predicción.
La revisión hecha en (Serna, 2007) tuvo como intención el poder ver cuáles fueron los
elementos que permitieron la construcción de la tangente desde un punto de variacional,
Podemos notar a partir de una revisión de obras antiguas la riqueza de ideas por medio de
113
las cuales adquiere significado la idea de recta tangente, observar los diferentes usos que la
actividad humana tuvo y que por medio de los cuales se pudo llegar gradualmente a la
construcción de un salto conceptual de la recta tangente a la noción de derivada. Este salto
le tomó años a la humanidad llevarlo a cabo, sin embargo en los libros de texto
tradicionales ni siquiera es tomado en consideración.
En Serna (2007, 2008) se comenta que las ideas que dieron origen al concepto de derivada
fueron ideas de tipo variacional. La forma en cómo se difundían las ideas con lo que
respecta a el Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII es a partir de elementos gráfico-
geométricos y es a partir del análisis de los cambios de una curva por medio de los
infinitamente pequeños (los infinitesimales) los cuales eran representados gráficamente
como magnitudes infinitesimales y gracias a esas representaciones se pudo determinar la
razón de cambio instantánea. En la época analizada no fue llamada así, pero que por medio
de la recta tangente y las expresiones matemáticas que se requerían para representarla en el
plano nos permiten inferir que era eso precisamente lo que estaban encontrando y que
además por el mismo análisis de la curva que se podía llevar a cabo por medio de los
infinitesimales se podía deducir que la recta tangente era variable. De manera explícita lo
decía Euler quien es citado en Serna (2007):
Con lo anteriormente expuesto por Euler nos damos cuenta que concibe a la
recta tangente a una curva como algo cambiante ya que dice que la recta
tangente a una curva se descarta a cada momento, puesto que describe a una
curva, por lo tanto sigue diciendo que para conocer el curso de una línea curva
bastaría con determinar para cada punto de la curva la tangente.
(p. 124)
Sin embargo la idea de tangente variacional se fue perdiendo con el transcurso de los años
conforme el Cálculo Diferencial iba adquiriendo un mayor rigor matemático.
De acuerdo a el análisis que hemos llevado, consideramos resulta evidente que este la
interpretación geométrica de la derivada sea tratado así; esto lo sostenemos ya que por un
lado los aspectos gráfico-visuales no resultan ser relevantes en nuestros sistemas escolares
(Biza, Nardi y Zachariades, 2009; Biza y Zachariades; 2010; Cantoral 2000), por otro se le
114
da mayor énfasis a encontrar derivadas utilizando algoritmos de naturaleza algebraica (Biza
y Zachariades, 2010). No se vincula a los conceptos matemáticos con otros ámbitos en
donde la matemática tiene sentido como otras áreas de conocimiento así como fenómenos
de variación y cambio.
En Cantoral (2001) se plantea que existe un vínculo entre los procesos cognitivos como la
abstracción reflexiva, la generalización, el razonamiento bajo hipótesis y la memoria
voluntaria con las prácticas sociales que dieron origen al conocimiento matemático.
Bajo la perspectiva socioepistemológica consideramos la importancia que tiene el recuperar
el significado, puesto que este nos permitirá reconocer el vínculo existente entre el contexto
sociocultural en donde surge un problema por resolver y el objeto matemático que nace
como una herramienta para resolverlo. De esta forma pretendemos recontextualizar,
recuperando significados de origen, los cuales eran más intuitivos que formales (Dolores,
2007) y utilizar esas ideas en una didáctica actual. La forma de recuperar esos significados
es a partir del análisis de los usos, ya que como dice D´Amore (2005) “No se puede hacer
otra cosa que examinar los diferentes “usos”: el conjunto de los “usos”, en efecto,
determina el significado de los objetos” (p. 5). En nuestro caso consideramos que todo esto
nos puede permitir el resignificar el conocimiento, en donde:
Resignificación no es establecer un significado en un contexto, para que
posteriormente se busque otro en otro contexto, y de esta manera se resignifique
lo ya significado. Si no es la construcción del conocimiento mismo en la
organización del grupo humano.
(Cordero, 2007, p. 268)
3.6 Problema de investigación
Existe un fenómeno didáctico el cual es reportado por diversas investigaciones. Éste se
observa cuando en la materia de Cálculo Diferencial se ve la interpretación geométrica de
la derivada. La forma tradicional de mostrar este tema es considerando que el límite de una
familia de rectas secantes que giran alrededor de un punto deviene en la recta tangente en el
mismo. Esta forma de abordar la interpretación geométrica de la derivada ha sido
115
demostrado es causa de grandes dificultades entre los estudiantes (Biza, Christou y
Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000; Dolores 2007; Serna, 2007,
2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009). El tema es visto como de paso ya que
posteriormente no se le da gran importancia en los programas, ni tiene un tratamiento
didáctico adecuado en múltiples libros de texto (Kajander y Lovric, 2009).
Esta forma de abordar el tema de la recta tangente ocasiona diversas dificultades. Por
ejemplo, el considerar que la derivada está representado por una recta que toca un solo
punto de la curva (Castañeda, 2004; Kendal y Stacey, 2003), lo cual también se ve reflejado
en una incorrecta interpretación del significado de la deriva al no saberla utilizar como
herramienta en la solución de problemas que así lo requieran (Dolores, 2007; Kendal y
Stacey, 2003).
Los estudiantes tienen una idea de recta tangente proveniente de sus cursos de Geometría y
esta consiste en considerar que una recta tangente toca sólo un punto de un círculo, sin
cruzarlo, dejando a un lado de la recta todo el círculo. Esto funciona con las cónicas pero
no para otro tipo de curvas, como las cúbicas, lo cual marca una diferencia epistemológica
de recta tangente en Geometría y Cálculo Diferencial. (Biza, Christou y Zachariades, 2008;
Biza y Zachariades, 2010; Biza, 2011; Cantoral 2000; Serna, 2007, 2008). Esta forma de
entender a la recta tangente dificulta el paso de una concepción estática a una concepción
dinámica tal y como es requerido en Cálculo Diferencial (Cantoral, 2000).
Una forma de poder concebir a la recta tangente de una curva tiene que ver con centrar la
atención en una pequeña porción de la curva y comprender que en esa pequeña región la
curva se comporta como una recta. Algunos investigadores le llaman a esto micro rectitud o
rectitud local. Una forma de poder visualizar esto es con el uso de tecnología (Biza, 2011;
Kendal y Stacey, 2003; Maschietto, 2008). Esta forma de entender a la recta tangente ayuda
a poder tener una concepción local, es decir centrar la atención en la zona de contacto (Biza
y Zachariades, 2010; Maschietto, 2008).
Nuestra investigación no se contrapone con estas ideas, al contrario la idea de rectitud local
es una de las primeras que se pretende construyan los estudiantes. Posteriormente esta idea
se va resignificando, robusteciéndose hasta construirse la recta tangente desde un punto de
116
vista variacional. Esto se lleva a cabo haciendo uso de la historia en donde se reconoce a la
actividad humana en la construcción social del conocimiento. Se llevó a cabo un análisis de
los usos de conocimiento de antaño en donde se gestaron las primeras ideas del Cálculo
Diferencial. Bajo nuestro enfoque teórico vamos a emplear el análisis de obras eruditas
llevado a cabo en (Serna, 2007) en donde se reconocía que en los siglos XVII y XVIII
existía un problema entre algunos matemáticos eruditos de la época, el cual consistía en
encontrar las coordenadas del punto de tangencia de la recta tangente a la curva. A partir de
dicho análisis consideramos rescatar los significados situacionales, es decir, reconocer las
ideas productos del contexto de la actividad humana que permitieron la construcción de la
noción de recta tangente, ya que planteamos esas ideas permitieron que los sujetos pudieran
construir esa noción de una manera natural y por lo tanto podemos utilizarlo en una
didáctica actual.
Con base a lo anterior y tomando en cuenta nuestro enfoque teórico que es la
Socioepistemología surgen la siguiente pregunta de investigación: ¿Cuáles fueron los usos
de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades pertenecientes a una práctica de
referencia, normada por una práctica social, los cuales permitieron la construcción de la
recta tangente desde un punto de variacional y como puede ser empleado ese conocimiento
en una didáctica actual?, a partir de dicha pregunta principal se pueden derivar las
siguientes preguntas secundarias cuyas respuestas guíen para responderla:
¿Cuáles fueron los usos antiguos del conocimiento y cómo favorecieron estos a la
construcción de la recta tangente variacional?, ¿cuál fue la práctica social que le dio origen
y cómo normó esta su construcción?, ¿se puede construir la tangente variacional a partir de
identificar su origen y diferentes etapas de desarrollo como producto de la construcción
social del conocimiento y cómo se puede emplear esto para llevar a cabo una intervención
en el aula?, desde este punto de vista de construcción social del conocimiento, ¿cuáles son
los elementos asociados a su construcción y cómo se pueden emplear estos para una
intervención didáctica?
117
3.7 Propósito de la investigación
En nuestro caso nos proponemos trabajar con estudiantes de quinto semestre de nivel medio
superior y pretendemos que ellos puedan construir la noción de recta tangente desde un
punto de vista variacional, la cual pueda servir como herramienta en la introducción de la
derivada desde un punto de vista gráfico.
Para lograr tal cometido haremos uso de la historia, específicamente empleando elementos
que hemos detectado en nuestro estado del arte. En el mismo hemos tomado en cuenta
aquellas investigaciones que haciendo uso de la historia han considerado elementos de tipo
variacional en la construcción de las nociones matemáticas concernientes al Cálculo
Diferencial.
En el caso de las obras antiguas hemos encontrado que existen nociones que tienen un
significado propio de la época y por medio del cual se fueron constituyendo las ideas que
fueron consolidando a la recta tangente desde una perspectiva variacional. Por ejemplo la
idea de punto tratada por L´Hospital y enunciada por Castañeda (2004) es distinta a la
definición hecha por la geometría Euclidiana. Se pretende usar entonces argumentos como
son: Diferencia, magnitudes infinitesimales, variación, semejanza de triángulos (haciendo
alusión a la razón de cambio), la consideración de punto como segmento infinitesimal,
análisis de los cambios a partir de la idea de dejar fluir. Todo esto a partir de un contexto
geométrico visual; así como algunos otros elementos de tipo contextual que puedan ser
considerados para la construcción de la recta tangente desde un punto de vista variacional.
Usar los argumentos anteriormente mencionados tiene la intención de que los estudiantes,
utilicen elementos de aritmética y geometría que ya conocen de las asignaturas estudiadas
anteriormente al Cálculo Diferencial y que pueden emplear para ir construyendo la noción
de recta tangente variacional. Esa es la forma en que históricamente y en un escenario
socioculturalmente situado hablando fue construida la recta tangente variacional.
Pensar en la tangente variacional como una práctica es algo que permite concebirla como
una herramienta, la cual es un medio para determinar el comportamiento de una función,
para caracterizarla y no necesariamente es un fin en sí mismo. Al indagar acerca de los usos
del conocimiento a partir del Estado del Arte nos ha facultado para reconocer a las
118
herramientas matemáticas que sirvieron para llevar a cabo actividades situadas dentro de un
contexto. Todo lo cual ha tenido la intención de hacer un diseño de secuencias didácticas
que considera no como eje principal al objeto matemático, sino más bien a las prácticas
que socialmente compartidas permitieron, hicieron posible, estuvieron presentes y por lo
tanto se encuentran asociadas en la construcción del objeto matemático, (Buendía, 2011).
Se diseño un modelo de construcción social del conocimiento basado en el modelo de
Montiel (2005, 2011) el cual considera a la función normativa de la práctica social en la
construcción de conocimiento. El modelo tiene la intención de articular nociones de la
Socioepistemología, como son herramienta matemática, actividad, usos, práctica de
referencia, significado, resignificación, funcionalidad y Práctica Social. Nuestro modelo
propuesto tuvo la intención de dar, no la explicación, sino una explicación de cómo se
construye socialmente conocimiento tomando como base a la práctica social.
El modelo propuesto también sirvió para diseñar cinco secuencias didácticas, así como
servir de unidad de análisis una vez que las mismas fueron puestas en escena con los
estudiantes. El análisis de lo dicho y hecho por los estudiantes a partir del modelo al
contestar las secuencias nos ha proporcionado un medio para ponderar o evaluar de manera
cualitativa hasta donde se consiguió lo esperado por ellos en cada secuencia.
Específicamente la secuencia didáctica 5 tuvo la intención de que los estudiantes hicieran
uso de lo construido en las cuatro secuencias anteriores, para que a partir de ello pudieran
proponer la gráfica de la derivada de una función cúbica, en donde la noción de recta
tangente variacional se uso como una herramienta en la construcción de la gráfica
solicitada.
119
Capítulo IV
Marco Teórico
4.1 Introducción
La Socioepistemología es una teoría ubicada al seno de la matemática educativa que estudia
la construcción de conocimiento matemático problematizando el saber desde sus cuatro
dimensiones: la epistemológica, que da cuenta de lo que le es propio a dicho saber,
teniendo en cuenta que el origen y la naturaleza de las ideas están ligadas a el contexto en
donde nace el conocimiento; la didáctica, que reconoce los procesos institucionales por
medio de los cuales se busca su transmisión; la cognitiva, en donde se plantean los procesos
de apropiación, dando explicaciones acerca del asunto de conocer como un mecanismo de
construcción social que nos permite reconocer que hay una forma de “ver”, tratar el
conocimiento, que es común a un conjunto de individuos pertenecientes a una misma
comunidad; y, finalmente, la social, que acentúa el uso y la resignificación del
conocimiento normado por prácticas sociales, las cuales se infieren a partir de la actividad
humana situada. Sin embargo, la pertinencia de considerar estas componentes se da siempre
que se articulen de forma sistémica en la explicación del fenómeno, es decir, en la
explicación del cómo construimos conocimiento socialmente.
En la presente investigación profundizaremos en la problematización del saber desde las
dimensiones didáctica y cognitiva, tomando en consideración los resultados de corte
120
socioepistemológico obtenidos en (Serna, 2007), donde centramos nuestra atención en la
problematización del saber desde las dimensiones social y epistemológica. En esta
investigación se realizó un estudio, ubicado en un escenario histórico, sobre la noción de
recta tangente. El estudio se llevó a cabo analizando la forma de resolver el problema de las
tangentes por algunos matemáticos ubicados en Europa durante los siglos XVI, XVII,
XVIII y XIX. Uno de los objetivos fue reconocer en la historia los procesos de construcción
de la noción de recta tangente desde una perspectiva variacional, es decir, situados en el
estudio del movimiento y el cambio.
En esta investigación nos interesamos por la forma en cómo trataron el problema de las
tangentes, con el propósito de reconocer aquello que caracteriza su uso en actividad
matemática, vista ésta como una actividad humana y social. Un resultado de este estudio, la
caracterización de lo que denominamos la tangente variacional, da al presente trabajo una
primera base de significados al conocimiento que buscamos se construya en el aula.
Serna (2007) identifica tres diferentes momentos de la forma en como se trató a la recta
tangente. El primer momento es aquel en donde la tangente es considerada como algo
estático y global, es decir, se reconoce que (toda ella) puede tocar más no cortar a la curva.
Bajo este enfoque la recta tangente no puede ser ubicada en cada punto de la curva, ya que
de serlo así, habría momentos en que tocaría en más de una ocasión a la curva. Este
momento abarcó desde la antigua Grecia hasta antes de los trabajos de Newton y Leibniz.
En el segundo momento, denominado “etapa de formulación del Cálculo”, se usa una
herramienta matemática fundamental, los infinitesimales, lo cual permite concretar un
método general de resolución del problema del cálculo de la tangente que se distingue por
el carácter variacional que se le da a ésta. Los trabajos más ilustrativos del nuevo uso que se
le da a la recta tangente son los de Newton y Leibniz.
Finalmente, un tercer momento en donde se abandona el uso de nociones como los
infinitesimales, lo que se pretendía era adquirir un mayor rigor matemático. El propósito de
esta transición fue la formalización del Cálculo, rigor y formalismo que comienza con los
trabajos de Euler y se ven concretizados con los trabajos de Cauchy. En este momento la
recta tangente ya no es un objeto de estudio en sí misma y aunque no se encuentra presente
en el discurso matemático de manera explícita se podía manifestar su presencia como se
121
reporta en (Serna, 2007). Considerar, actualmente, la recta tangente a una curva como un
problema de aplicación de la derivada es, según esta investigación, influencia del trabajo de
Cauchy.
Los momentos mencionados no se dan abruptamente ya que antes de Newton y Leibniz
hubo matemáticos en cuyos trabajos manifestaban ideas cercanas a los infinitesimales. El
análisis socioepistemológico nos permitió reconocer el uso de herramientas matemáticas
que permitían resolver problemáticas propias de un contexto sociocultural, esta interacción
herramienta-persona es el resultado de la actividad humana presente en una comunidad de
matemáticos.
Con este antecedente de investigación, teniendo siempre en consideración las dimensiones,
didáctica y cognitiva, profundizamos con más énfasis en las dimensiones epistemológica y
social del saber, muy en particular, estudiando su construcción en un escenario histórico.
Tal como señala Lerman (2001) de la investigación sociocultural, nuestro antecedente es un
momento del estudio, el enfoque particular de una lente, tan consciente de lo que va a ser
visto, como de lo que no (p. 90). Pretendemos ahora ubicarnos en otro escenario, con el
objetivo de conocer, entender y comprender otro momento de construcción de
conocimiento, uno que demandará de analizar la actividad en el aula y, en consecuencia,
detallar más la funcionalidad del saber en sus dimensiones de transmisión y apropiación del
saber.
4.2 El uso de la historia
En el presente trabajo se retoman los resultados de (Serna, 2007) en donde hicimos un
estudio del tratamiento del problema de la recta tangente en ciertas fuentes originales.
Producto del análisis de las obras Sobre las revoluciones de las orbes celestes de
Copérnico, Methodus de Fermat, Principios Matemáticos de Newton, Análisis de los
infinitamente pequeños de L´Hospital y la Introduction a l’ analyse infinitesimale de Euler,
se reconoció el problema de la tangente como una práctica de referencia de los
matemáticos de los siglos XVI, XVII y XVIII. Identificar los usos de este conocimiento
matemático en la historia nos permitió reconocer significados que le son propios y que
están ausentes en el discurso Matemático Escolar (dME) actual. Esto, defendemos, se debe
122
a que los seres humanos construyen conocimiento en respuesta a los problemas y/o
necesidades que se encuentran presentes en su comunidad.
Las investigaciones en Matemática Educativa frecuentemente asumen como objeto de
estudio los procesos de enseñanza-aprendizaje asociados a los conceptos matemáticos
escolares y sus estructuraciones institucionales, lo que en socioepistemología referimos
como “objetos matemáticos”. Sin embargo, la historia nos permite reconocer otras facetas
del conocimiento que puedan ser consideradas para el aprendizaje de dichos conceptos y
que, de hecho, formen parte de su propia naturaleza y razón de ser. Existen significados
asociados a los objetos matemáticos que no se encuentran presentes en los sistemas
escolares, esto se debe a que cuando los objetos matemáticos son introducidos a la escuela
se manifiesta una transposición que hace que el conocimiento pierda sus significados de
origen, por ejemplo, como señala Dolores (2007), la forma en cómo es tratada la derivada
en el dME oculta sus significaciones iniciales, como es el caso del estudio de la variación y
el cambio, contexto en el que emerge la noción de derivada.
Podemos decir que los conceptos no reflejan el punto de arranque de cómo estos se
construyeron y, en ese sentido, la historia sirve como marco para reconocer en ellos
significaciones distintas.
También, el uso de la historia nos permite reconocer la historicidad de un concepto, es
decir, reconocer el conocimiento como algo dinámico, cambiante, y que su construcción
depende de múltiples factores que se encuentran en la comunidad donde nace el
conocimiento (Zemelman, 2011).
Hacer un estudio en distintas etapas del escenario histórico y la forma como tratamos con el
conocimiento nos permitió identificar ideas germinales, desarrollos científicos y
tecnológicos, procesos de transmisión de conocimiento en algunas obras de difusión, y
procesos de formalización. Como resultado de identificar y analizar este proceso se plantea
el problema de las tangentes como una práctica socialmente compartida por matemáticos
de ese largo periodo.
El mirar a la historia nos permitió reconocer los usos del conocimiento y reconocer los
significados existentes los cuales fueron cambiando por esta historicidad que tiene una
123
noción matemática. En este sentido no pretendemos reproducir la historia, sino reconstruir,
en situaciones de aprendizaje, el desarrollo de usos identificado en la historicidad de los
conceptos.
4.3 La herramienta matemática como una construcción social
Sabemos que las matemáticas han intervenido en la humanidad probablemente casi desde
sus inicios ya que los historiadores de la ciencia han dado muestras de ello al estudiar las
civilizaciones más antiguas. Las matemáticas han servido como una herramienta que le ha
permitido a los grupos humanos solucionar problemas y es precisamente en esa
intervención donde hay un vínculo que nos permite reconocer una matemática no aislada de
su entorno sociocultural, sino por el contrario que se encuentra en estrecha asociación con
diferentes problemas que resuelve y de los cuales adquiere significado. La
Socioepistemología reconoce la construcción social del conocimiento situado, ya que se
encuentra íntimamente ligado al contexto sociocultural del cual emerge y en donde el uso
de las matemáticas permite resolver problemas de la vida, los cuales se encuentran en cada
época, cultura o sociedad. Es en este sentido que reconocemos que la construcción de los
conocimientos matemáticos tiene que ver precisamente con el contexto sociocultural en
donde las personan tiene problemas comunes y que resuelven a partir de la herramienta
matemática.
A lo largo de la historia el ser humano se ha valido de herramientas para su supervivencia,
así como para el desarrollo y evolución de la sociedad. Con el paso del tiempo el hombre se
ha distinguido por el uso de las mismas, en donde ha construido desde aquellas más
elementales en su vida (hoy en día se siguen empleando algunas muy elementales) hasta
algunas muy sofisticadas, las hay como artefactos tangibles y también existen instrumentos,
digamos del orden intelectual que le han permitido resolver problemas y convertirse en
parte de su vida cotidiana. El concepto mismo de herramienta tiene una connotación social
ya que para que pueda ser considerada como tal es necesario que sea compartida por una
comunidad con intereses comunes:
La importancia de la herramienta no radica en las herramientas en sí, sino en el
programa que orienta su uso. En este sentido más amplio es cuando las
124
herramientas adquieren un sentido propio como amplificadoras de las
capacidades humanas e instrumentos de la actividad del hombre.
(Arrieta, 2003, p.35)
Podríamos decir que una de las características del hombre ha sido emplear herramientas
para llevar a cabo sus tareas de manera más eficiente, su uso ha cambiado al hombre y a su
vez él sigue cambiando y cambiando la herramienta, transformándose y mejorando sus
herramientas, como en una relación dialéctica hombre-herramienta. Cuando los seres
humanos organizados constituyen un grupo y cuando este colectivo ha acordado utilizar
algo para lograr un fin, es entonces cuando “ese algo” adquiere el estatus de herramienta y
por lo tanto decimos que tiene un carácter social, hablamos entonces de la creación y uso de
herramientas matemáticas como artefactos intelectuales creados por el hombre organizado
en colectivos que le han permitido amplificar sus capacidades y llevar a cabo sus tareas
cotidianas, así como para resolver problemas. La importancia de lo mencionado radica en
que el hombre ha construido herramientas matemáticas al estar organizado como grupo
humano con una intención específica validada social y culturalmente. Esta intencionalidad
que puede ser la de resolver un problema, hace que surjan mecanismos de carácter social
los cuales, desde nuestro enfoque, permiten la construcción de conocimiento. Por ejemplo
al afrontar un nuevo problema la comunidad puede llevar a cabo una serie de actividades de
manera organizada, que son producto del cúmulo de sus experiencias pasadas y cuya
intención específica es resolver un problema que es reconocido como tal y que atañe a una
comunidad (Cantoral, Farfán, Lezama y Matínez-Sierra, 2006).
Cuando un colectivo tiene como objetivo resolver un problema hace uso de los
conocimientos que tiene a la mano y estos pueden estar constituidos por usos y/o ideas
provenientes de diversas áreas de conocimiento, incluyendo conocimientos matemáticos,
sin embargo, estos se encuentran por así decirlo “amalgamados” con otros conocimientos
provenientes de dichas áreas; los significados de los conocimientos matemáticos tienen
sentido en el contexto en donde son usados por la actividad humana y es ahí en donde surge
un conocimiento situado, histórica, social y culturalmente (Arrieta, 2003; Cantoral, 2001;
Montiel, 2005, 2011). Es entonces aquí que consideramos la importancia de construir
125
conocimiento socialmente, ya que asumimos que el ser humano así lo construye, por el
hecho de constituir y vivir en sociedad.
La Socioepistemología se caracteriza por reconocer en la componente social un elemento
fundamental en la construcción del conocimiento. Lo social se puede manifestar como
aquello que surge de un colectivo o comunidad cuando desea llevar a cabo una tarea y/o
intenta resolver un problema, es decir hay un conjunto de actividades organizadas y con
intencionalidad; en el grupo nacen ideas que surgen a partir de la interacción entre sus
miembros y que son características de la cultura y tienen que ver con el contexto en el que
viven.
De acuerdo con Espinoza-Ramírez (2009) existe una manera de “ver” el conocimiento que
guarda relación con el contexto en el que se sitúa, y la denomina “racionalidad
contextualizada”. A partir del análisis realizado en (Serna, 2007, 2008; Serna, Castañeda y
Montiel 2009) reconocemos que había una forma de trabajar con las ideas matemáticas, lo
cual tiene que ver con una visión compartida por los matemáticos europeos de los siglos
XVI, XVII y XVIII. Ellos usaban argumentos geométricos para dar sus explicaciones en
cuanto a las ideas matemáticas lo cual coincide con lo reportado por Castañeda (2004): “En
el caso del cálculo, las raíces conceptuales provienen de problemas relacionados con el
estudio de curvas geométricas.” (p. 105)
En este sentido reconocemos que la resolución de problemas como el de cálculo de
máximos y mínimos, la cuadratura de una curva, determinar el punto de inflexión y el
problema de las tangentes, entre otros permitió caracterizar a las curvas. En el caso del
problema del cálculo de las tangentes inferimos subyace el propósito de determinar la razón
de cambio instantánea, ya que esto permitía conocer el valor de un estado futuro,
conociendo el valor del estado actual.
4.4 Modelo: Usos-Herramienta-Actividad, Práctica de Referencia-Resignificación-
Funcionalidad y Práctica Social
El escenario histórico que fue analizado en (Serna, 2007), nos ha permitido proponer un
modelo de construcción social del conocimiento matemático, para su elaboración se ha
tomado como base el propuesto por Montiel (2005, 2011). En cada etapa de la historia del
126
ser humano existe una visión del mundo, con diferentes problemáticas por resolver para lo
cual se utilizan enfoques, puntos de vista que se construyen socialmente, es por tanto que la
construcción del conocimiento tiene un carácter social. En la Socioepistemología se dan
explicaciones de esta construcción normada por Prácticas Sociales (PS), por ejemplo,
Tuyub (2008) señala que:
La función normativa de la PS es un constructo que se caracterizará como
aquello que articula y norma un conjunto de prácticas asociadas a un saber y se
caracteriza porque nace de una necesidad, determinando “lo que hace hacer lo
que se hace”.
(p.12)
La práctica social se encuentra en la base de la construcción del conocimiento matemático
ya que es la que regula cada una de las actividades que son llevadas a cabo por los
individuos que forman parte de una comunidad. Esta se va a manifestar a través de
generaciones, es decir es permanente más no estática, de aquí se desprende una de las
características de la práctica social, que es la historicidad, la cual se ve reflejada también
en la práctica de referencia que norma.
La práctica social como normativa de las acciones de los individuos determina la
organización de los grupos humanos, regulando sus comportamientos, lo cual se manifiesta
a partir de la construcción de argumentos y dota de una identidad a un grupo social o
colectivo (Cantoral, 2011; Reyes, 2011; Soto, 2012).
En el modelo se puede observar a la práctica social, como reguladora de un conjunto de
actividades a través de una práctica de referencia y que son llevadas a cabo por medio del
uso de herramientas matemáticas, que tienen una intencionalidad específica que es la de
resolver un problema producto de una necesidad y que se encuentra presente en una
comunidad.
En la práctica de referencia se organizan un conjunto de actividades llevadas a cabo por
los grupos humanos, los cuales tienen una forma de proceder que no es arbitraria sino más
bien producto de un contexto situado en un escenario sociocultural, es decir hay una
127
racionalidad contextualizada. En ésta surgen significados compartidos por el colectivo y
que se ve manifestada por los saberes. Le vamos a llamar saber al conocimiento puesto en
uso de las herramientas matemáticas.
El significado que se pueda construir depende del uso que se le dé a la herramienta
matemática que se vaya a utilizar para ejecutar ciertas actividades, el uso por tanto
“depende de las formas en que es empleada o adoptada cierta noción en un contexto
específico” (Cabañas, 2011, p. 75); en nuestro caso la noción adoptada o empleada adquiere
el estatus de herramienta matemática.
La práctica surge cuando en una comunidad organizada como grupo humano existe la
intencionalidad de resolver un problema, para tal efecto se organizan actividades producto
del cúmulo de sus experiencias. Tal intencionalidad imprime un significado al conjunto de
acciones realizadas, en palabras de Buendía (2004, p. 70): “en particular, estamos tratando
con grupos humanos organizados que realizan acciones que tienen que ver con la intención
de hacer, reproducir y comunicar el conocimiento matemático.” Al ser la práctica un
producto de la sociedad inferimos que no surgen ni desaparece espontáneamente, ya que
como es reportado por García-Torres (2008) el conocimiento no surge individualmente,
sino que emerge como “organizaciones de grupos humanos que reconocen útil al
conocimiento, y por ende, hacen que se transmita por generaciones, de esta forma se
transforma en un material continuo” (p. 4).
Para llevar a cabo las actividades que han sido organizadas intencionalmente por la
práctica de referencia, se hace uso de herramientas matemáticas y es a través de la relación
dialéctica actividad-herramienta que surgen significados que enriquecen a los ya existentes,
es decir hay una resignificación, esta se da en la organización del grupo humano y tiene un
carácter funcional, lo cual retroalimenta a la práctica de referencia. Por ejemplo cuando
Copérnico necesitaba poder predecir las posiciones de los cuerpos celestes hizo uso de la
herramienta matemática:
𝐴𝐵�𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
128
Ya que decía que la razón entre dos arcos, siendo uno mayor que otro y que parten de un
punto común, es mayor con respecto a la razón de las subtensas que se generan con los
mismos puntos, lo cual se ilustra en la figura:
Fig. 4.1
Sin embargo él comenzó a hacer comparaciones a partir de sus cálculos (actividades:
calcular y comparar) pudo inferir (actividad) que cuando los puntos B y C se encuentran
muy cercanos a el punto A la curva se comporta como una recta (Serna, 2007). Surge un
significado a partir del uso de la herramienta matemática con la cual se está llevando a
cabo actividades, todo esto en un contexto situado que tiene que ver con querer conocer las
posiciones de los cuerpos celestes (para lo cual se fueron acercando cada vez más y más los
puntos B y C al A) y con una forma de transmitir las matemáticas que es a partir de
propiedades geométricas que son representadas visualmente.
Fig. 4.2
A
C B
Herramientas Actividad
Significados
Usos
129
De tal forma que para que las actividades organizadas por la práctica de referencia puedan
ser llevadas a cabo y se puedan construir nuevos significados se hace necesario del uso de
herramientas matemáticas.
Una forma de caracterizar a la resignificación es reconociéndola como una apropiación
progresiva del saber, es decir, en los grupos organizados socialmente se van a construir
nuevos significados, tomando como base los ya existentes y enriqueciéndolos de tal forma
que progresivamente se van a tener cada vez métodos más generales y eficaces.
Se plantea por lo tanto una forma diferente de construcción de conocimiento a aquella en
donde se toma como base a los objetos matemáticos y mediante una secuenciación de temas
influenciados principalmente por la estructura formal del Análisis Matemático, en donde las
secuenciaciones de los conceptos obedece a una lógica racional que soslaya a lo humano
como parte de la construcción del conocimiento (Cordero, 2007; Dolores, 2007). La
resignificación va a obedecer al desarrollo de los usos del conocimiento en donde este es
funcional en el colectivo en donde se está resignificando el saber y por lo tanto se considera
a la actividad humana como fuente de reorganización de la Matemática Escolar. Es por eso
que la historicidad permite revisar la historia de una práctica de referencia con sus
primeras ideas y el desarrollo de las mismas a partir de la resignificación progresiva.
Tomar como base a la actividad humana para el rediseño del dME proporciona marcos de
referencias en donde el saber es funcional. “Con esto no nos referimos a como se aplican
los objetos matemáticos, sino que funcionan en contextos y situaciones específicas con una
significación propia, la cual se resignifica constantemente.” (Soto, 2012, p. 52). Lo
funcional considera una “lógica humana” es decir aquello que ha servido y/o sirve para el
progreso del ser humano, en su intento por resolver sus problemas y se ve manifestado en
su conocimiento puesto en uso.
130
Modelo de construcción social del conocimiento matemático
Fig. 4.3
4.4.1 Una mirada al escenario histórico
En la investigación llevada a cabo en Serna (2007) se menciona acerca de las problemáticas
y necesidades existentes en un escenario sociocultural. Se dice que un paradigma existente
entre algunos matemáticos era el trabajo que se estaba realizando con respecto a los
problemas concernientes en un contexto de cambio y variación6
6 Vamos a entender el cambio como una modificación o alteración de un estado, condición de un cuerpo o de un sistema; a la cuantificación del cambio se le va a entender como variación (Cantoral, Molina y Sánchez, 2005). Hablar de un contexto de cambio y variación tiene que ver con el esquema mental y/o significados que se construyen en comunidad (ubicada en un tiempo y lugar), en situaciones de cambio y variación.
. Este tipo de trabajos se vio
manifestado en los fenómenos de flujo y movimiento de los cuerpos; existían problemas en
donde la física jugaba un papel importante, como enuncia Cantoral (2001):
De acuerdo a Van Dijk (2001) el contexto es dinámico ya que cambia permanentemente durante la comunicación debido a los cambios en la situación social; los significados contextuales se van enriqueciendo, por lo cual se dice que va existir resignificación, esta se da a partir de la ejecución de actividades (para el caso que tratamos, relativas al cambio y variación) que se llevan a cabo con el uso de herramientas matemáticas. En nuestro caso implementaremos situaciones en donde se encuentran presentes elementos de cambio y variación.
Práctica Social
Práctica de Referencia
Usos
Herramienta Actividad
Resignificación
Significado
Funcionalidad
131
Haciendo un breve recuento de los elementos generales, diremos a grandes
rasgos que las imágenes conceptuales propias del siglo diecisiete se
caracterizaron por dos aspectos centrales: primeramente, uno centrado en el
reconocimiento de las imágenes de la serie en el desarrollo de algoritmos y
patrones numérico–algebraico y otro por la sistematicidad del estudio puntual
de los fenómenos de movimiento de cuerpos rígidos y de las curvas
(p. xx)
La sociedad demandaba de la ciencia, el poder resolver estos problemas, conocer leyes
bajo las cuales se rige el movimiento de los cuerpos, lo cual implicaba poder predecir el
valor que adquiriría en un estado futuro la variable de interés.
Una forma de resolver los problemas planteados por la física era a partir de su
matematización y la forma en cómo se hacía esto era a partir del uso de la geometría, por
ejemplo Copérnico (1543 citado en Serna, 2007) decía lo siguiente:
Pues es propio del astrónomo calcular la historia de los movimientos celestes
con una labor diligente y diestra. Y además concebir y configurar las causas de
estos movimientos, o sus hipótesis, cuando por medio de ningún proceso
racional, puede averiguar las verdaderas causas de ellos. Y con tales supuestos
pueden calcularse correctamente dichos movimientos a partir de la geometría,
tanto mirando hacia el futuro como hacia el pasado.
(p. 17)
En el caso de Copérnico utilizaba la geometría para poder conocer las posiciones de los
cuerpos celestes, en el caso de Galileo (1638, citado en Cantoral, 2001, p. 13) enuncia lo
siguiente:
La filosofía está escrita en ese grandioso libro que está continuamente abierto
ante nuestros ojos (lo llamo universo). Pero no se puede descifrar si antes no se
comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está
escrito en el lenguaje matemático, siendo sus caracteres triángulos, círculos y
132
figuras geométricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender
una palabra; sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto.
Lo anterior es sólo una muestra del pensar de los matemáticos de los siglos XVI y XVII,
quienes utilizaban a las matemáticas como herramientas en la solución de los problemas y
es precisamente en ese uso, producto de la actividad humana con las herramientas
matemáticas, donde surgen significados que le son propios al conocimiento matemático que
se estaba construyendo.
El problema de las tangentes surge en la antigua Grecia y se desarrolla en Europa en los
siglos XVII y XVIII, fue una práctica de referencia. De acuerdo a lo reportado en (Serna,
2007, 2008) hubo diferentes formas de resolverlo; sin embargo aquellas que emplearon
elementos de cambio y variación como es el caso de los infinitesimales (o ideas cercanas a
ellos) como herramientas matemáticas, son las que llegaron a concretar un método general
de resolución el cual se vio cristalizado con Newton y Leibniz, esta es la práctica de
referencia de nuestro interés y que vamos a llamar en este trabajo; práctica de la tangente
variacional.
En nuestro caso el grupo humano o grupo social que identificamos es el formado por una
comunidad de matemáticos eruditos que vivieron en los siglos XVI, XVII y XVIII, que
usaron a los infinitesimales como la herramienta con la cual pudieron resolver el problema
de la recta tangente, retomando aquellas ideas germinales de la herramienta empleada y su
desarrollo en esta relación dialéctica hombre-herramienta. Al estudiar la actividad de esta
comunidad, con la lente de la Socioepistemología, se pudo hacer un análisis de los usos de
herramientas como los infinitesimales, por medio de los cuales se fue consolidando un
método de solución en la práctica de la tangente variacional. Las actividades organizadas
intencionalmente a través de la práctica de referencia fueron normadas por la práctica
social de la predicción.
Parafraseando a Covián (2005) podríamos decir si resuelven el problema de las tangentes
de cierta manera y se reconoce cómo lo hacen, entonces ¿qué los hace resolver el problema
como lo hacen? o ¿por qué resuelven como lo hacen?, es decir ¿qué es lo que les hace hacer
lo que hacen?
133
En el trabajo hecho por Cantoral (2001) se muestra como el pensamiento matemático es
orientado vía el pensamiento físico, propio de una época en donde los problemas a tratar
eran de astronomía y física. Cuando observamos a lo largo de ciertos periodos de la historia
el nacimiento de una idea y su desarrollo identificamos que se encuentran presentes
mecanismos sociales que hacen posible que esto suceda, por ejemplo la comunicación de
ideas entre colegas, los debates y consensos en un periodo histórico, pero también las ideas
que se van transmitiendo de generación en generación.
El hacer una investigación de tipo socioepistemológico marca una diferencia respecto de las
investigaciones en donde la atención está puesta, principalmente, en los aprendizajes y la
enseñanza de los conceptos matemáticos y sus estructuraciones formales. De aquí que las
investigaciones socioepistemológicas, frecuentemente, hablen de transitar de los objetos a
las prácticas. Por ejemplo, al analizar un texto desde este enfoque teórico se pueden
detectar los usos de los conocimientos y, en esos usos, reconocer elementos que forman
parte, condicionan y orientan la construcción de los conceptos matemáticos, de tal suerte
que cuando logramos identificar estos elementos podemos reconocer mejor la naturaleza
del conocimiento matemático.
Para efectos de nuestra investigación, si se estudiara la recta tangente desde un punto de
vista epistemológico tradicional, se recurriría a la historia para observar cómo nace este
objeto matemático poniendo la atención en el objeto matemático recta tangente, se
observarían diferentes contribuciones hechas por matemáticos del siglo XVII y XVIII en
donde existían diferentes métodos de resolver el problema de las tangentes y se podría
utilizar este conocimiento como una herramienta en el sentido de (Jankvist, 2009) para el
diseño de secuencias didácticas. Sin embargo, cuando la mirada se desvía del objeto
matemático y el investigador se pregunta ¿qué es lo que hizo que los matemáticos hicieran
lo que hicieron?, entonces la respuesta estaría dada con base en mecanismos sociales de
construcción del conocimiento. Cantoral (2000, 2001) evidenció cómo las ideas de
predicción acerca de los fenómenos de flujo normaron la construcción de conocimiento
matemático del Cálculo en nuestro caso específico la práctica de la tangente variacional, a
través del uso de herramientas como los infinitesimales. La comunidad de matemáticos
eruditos en Europa en los siglos XVI, XVII y XVIII logró consolidar un método general.
134
Este cambio de centración (del objeto a las prácticas) da sentido, como lo enuncia Cantoral
(2001), a poner atención en la manera de variar de la variable, cambio que permite al
investigador explorar distintos caminos en su búsqueda. Pero, ¿qué es mirar una práctica en
un contexto histórico-sociocultural? Es poder ver una comunidad llevando a cabo
actividades en donde se usan herramientas reconociendo el dinamismo del uso del
conocimiento a partir del desarrollo de los mismos, así como su funcionalidad, en oposición
a lo utilitario.
4.4.2 Una mirada al aula
El ejercicio de la práctica en el aula se propone que se lleve a cabo a partir de un diseño en
donde a la manera de como reportan Buendía y Ordoñez (2009) de manera intencional se
lleven a cabo actividades que consideren a la actividad que rodeó, estuvo presente, y dio
significado a la práctica de la tangente variacional, de tal forma que no se centra la
atención en la recta tangente como un objeto matemático a tratar como tradicionalmente se
hace en las aulas. En vez de eso se llevarán a cabo actividades como son: comparar,
calcular, aproximar, inferir, analizar en situaciones de variación, en donde se pretende que
los estudiantes hagan uso de herramientas matemáticas, así como las vayan construyendo
para la resolución y explicación de las situaciones que se les van a ir planteando.
El uso de las gráficas en las situaciones planteadas es un elemento importante ya que
permitirá una forma de argumentación propicia para la construcción de la tangente
variacional, como es reportado en Suárez (2008, citado en Buendía y Ordoñez, 2009) quien
“propone el uso de las gráficas para resignificar especialmente las situaciones que tengan
que ver con la variación y el cambio” (p. 16).
Las gráficas fueron un medio que permitieron la construcción de conocimiento matemático
por un grupo humano y nos permiten recuperar andamios que posibilitan la construcción de
conocimiento matemático en el aula, como es reportado por Farfán (1983, citado en
Cantoral, 2001):
Pudiera pensarse, razonablemente, que al recuperar los significados de un
concepto y su génesis histórica es suficiente para emprender el trabajo de la
reconstrucción del contenido matemático a enseñar. Empero, existen elementos
135
que permiten, e históricamente hicieron posible la construcción de un concepto,
todos estos andamios de los que se vale el sujeto en su acción (usos, actividad
humana) sobre el objeto para acceder al concepto, andamiajes con vida efímera
que circunstancialmente son las herramientas con las que se captan los primeros
elementos del concepto…
(p. XXV)
Se utilizarán entonces a las gráficas no como una representación de una función o una
curva sino como un medio que permita argumentar y desarrollar razonamiento.
Desde la perspectiva socioepistemológica asumimos que una práctica posee como
característica que es una acción o conjunto de acciones que enlaza ideas previas
(experiencias pasadas o cumulo de ideas) con la construcción de una o más ideas
(conocimientos). Estas acciones deben de estar organizadas con la intencionalidad
específica de resolver un problema. Desde un punto de vista didáctico esta forma de
caracterizar a la práctica nos sirve ya que nos permite diseñar secuencias didácticas en
donde se lleve a cabo el ejercicio de la práctica a la cual hemos llamado tangente
variacional; en ella, los saberes son funcionales es decir adquieren uso y significación. Los
problemas que se resuelven tienen significados que le son propios a una determinada
herramienta matemática que se pretende que el estudiante ponga en juego y al resolverla
robustecerá el conjunto de ideas que se tenía sobre cierta noción matemática, lo cual a su
vez se puede volver a convertir en una nueva herramienta matemática con la cual se pueden
resolver nuevos problemas.
Reconocemos en la práctica las siguientes características:
9 Intencionalidad:
No se llevan actividades al azar, tampoco se trata de actividades propias de la
naturaleza humana y que podríamos llamar involuntarias como: comer, dormir,
caerse como lo enuncia Buendía (2004). Se trata de actividades organizadas con una
intención especifica y que tienen sentido en el contexto organizacional en que se
136
están llevando a cabo, por lo tanto hay significados explícitos e implícitos que se
están poniendo en juego.
9 Experiencias pasadas y/o usos del conocimiento:
Las sociedades y/o comunidades poseen un background, no empiezan su quehacer
de la nada, esa es una de las características de vivir en sociedad. Por otro lado la
gente también tienen un cúmulo de experiencias asimiladas de sus actividades
pasadas, existen tareas que han llevado a cabo con éxito en donde han empleado
herramientas y aprendido a sistematizar métodos. Estos usos del conocimiento se
pueden utilizar en la solución de nuevos problemas.
9 Acción
Es en el hacer, en la actividad humana, en donde el hombre valiéndose de
herramientas resuelve sus problemas. Es un hacer en donde se va a establecer un
enlace entre los conocimientos previos de las personas producto de los usos del
conocimiento con la construcción de nuevas ideas o conocimiento que permite
resolver el problema en cuestión.
9 Significado
Las actividades llevadas a cabo no es cualquier actividad, la intencionalidad del
grupo social que está ejerciendo las prácticas le imprime significado a los usos de
las herramientas matemáticas. Estos significados son característicos de cada
contexto y por lo tanto tienen un carácter dinámico ya que dependiendo del
escenario en donde se manifiesten van a poseer diferentes significados. Es por eso
que Espinoza-Ramírez (2009) le ha llamado significación. Los significados no
tienen que ver necesariamente con verdades absolutas y terminadas sino más bien
con el conocimiento en uso en una comunidad. Los significados que le son propios a
una noción, concepto o definición, pueden no estar presentes en el escenario escolar
debido al proceso de transposición didáctica o a las modificaciones que sufre el
discurso escolar en el transcurso del tiempo.
137
La práctica de la tangente variacional requiere poner en juego acciones, como son: Inferir,
calcular, comparar, aproximar y concluir; así como caracterizar varios elementos, como
son:
9 El infinitesimal.
9 El punto como un segmento infinitesimal.
9 Que la curva se comporta como un segmento en una región infinitesimal.
9 Concebir a la curva como el ensamblaje de un conjunto de segmentos
infinitesimales.
9 Que un segmento infinitesimal (como parte de una curva) se puede
prolongar en ambos sentidos formándose así la recta tangente.
9 La recta tangente tiene una posición en un punto y esta va cambiando en
cada instante.
9 El comportamiento de la curva (su razón de cambio) es el mismo que el de la
recta tangente en ese punto.
9 La curva puede ser la representación gráfica de una función entre dos
variables de tal forma que se puede conocer la razón de cambio instantánea a
partir de la pendiente de la recta tangente.
9 Caracterizar a un punto de la curva como una razón de cambio instantánea.
9 La recta tangente variacional como una herramienta que permita conocer y
caracterizar a la curva, así como puntos importantes de ella como son los
máximos y mínimos de una función, así como para observar el cambio de
signos de la pendiente antes y después de los puntos críticos de una función.
9 Como una herramienta que permita construir gráficamente la función
derivada a partir de sólo la gráfica de una función polinomial.
9 Los elementos anteriores son retomados de un escenario histórico en donde
se hicieron consideraciones de índole socioepistemológica y se puede
observar como cada noción se va resignificando en el sentido de que
comienza siendo una idea que poco a poco va robusteciéndose sin perder las
nociones iniciales. Se utilizan herramientas matemáticas que permiten
resolver problemas o dar explicaciones a las situaciones planteadas para
construir conocimiento el cual posteriormente se convertirá en herramienta
138
para resolver otras problemáticas. Se pretende de esta forma que el
estudiante se haga usuario de las herramientas matemáticas y que a partir de
esta interacción se vaya apropiando de los significados existentes a la recta
tangente variacional las cuales se encuentran ausentes en el currículo
escolar. Esta forma de construir la recta tangente variacional asumimos es
una forma de introducir a la noción de derivada desde un punto de vista
gráfico.
4.5 Usos de conocimiento
La Práctica de referencia tiene un carácter dinámico se va transformando conforme va
pasando el tiempo, tiene una historicidad ya que los grupos humanos organizados que
utilizan herramientas matemáticas se vuelven cada vez más expertos en el uso de las
mismas. Al hacer un análisis histórico de textos originales evidentemente no podemos
observar su actividad, sin embargo sí se puede hacer un análisis de los usos, es decir
podemos ver un momento de la historia en donde las actividades que llevaron a cabo
quedan registradas. Por ejemplo inferimos que las actividades de medir, comparar, calcular,
etc. se llevan a cabo haciendo uso de herramientas matemáticas para resolver un problema,
quedan “retratadas” en un momento del proceso histórico en los textos originales
analizados. Reconocer lo anterior nos proporciona elementos para evidenciar su existencia
a partir de un análisis de los usos del conocimiento.
De acuerdo a García, E. (2008) la noción de uso de conocimiento se caracteriza por la
cuarteta: Conocimiento Matemático (que para nuestro caso toma el carácter de
herramienta), Situación, Forma y Funcionamiento. También dice: “para hablar de uso se
debe hacer referencia a un conocimiento matemático (CM) en una situación específica (S).
El uso en esa situación específica se evidencia a través de la forma del conocimiento (Fo) y
el funcionamiento del conocimiento (F)” (p. 16).
En nuestro caso consideraremos una caracterización más, las actividades propuestas por
Montiel (2005, 2011) como por ejemplo: medir, comparar, aproximar, modelar, calcular y
comprobar (reguladas dependiendo del momento histórico por diferentes Prácticas
139
Sociales) se van a llevar a cabo con el uso de herramientas matemáticas, evidenciándose de
esta forma un elemento social propio de la actividad plenamente humana y social en
estrecho vínculo con el uso de las herramientas matemáticas en un momento histórico
donde hay un conocimiento situado producto del escenario sociocultural analizado. La
revisión de textos originales nos permitirá detectar estos “retratos” de la historicidad de las
práctica de la tangente variacional los cuales servirán de base para le elaboración de la
situación didáctica.
La situación didáctica a la que nos referimos anteriormente es el diseño llevado a cabo por
el investigador en donde se manifiesta el marco teórico propuesto, ahí se pueden encontrar
teoremas, lemas, principios matemáticos, etc. Se manifiestan también ahí los objetos
requeridos ya sea materiales o mentales y es donde se pretende mostrar cómo es que los
alumnos construyen conocimiento a partir de la implementación de la situación (García, E.
2008).
Con respecto a el debate entre en el funcionamiento y la forma se caracteriza a la forma
como aquello que se refiere a la clase de tarea propuesta, la cual puede ser por ejemplo de
tipo gráfica, algebraica o numérica, sin embargo dentro de las formas gráficas (o alguna de
las otras dos) se puede ser todavía más específico. Con respecto a el funcionamiento se
refiere a el tipo de argumentos en donde se encuentran asociados ciertos significados por
parte de los estudiantes y que son un medio y un propósito en el uso de las gráficas ante las
situaciones planteadas (Suárez, Cordero y Díaz, 2008). Por ejemplo en la investigación
llevada a cabo por García, E. (2008) se planteó una situación, que fue la siguiente:
Dada la gráfica de la función f, determinar:
Fig. 4.4
140
1. ¿Dónde f(x) < 0?
2. ¿Dónde f’(x) < 0?
3. ¿Dónde f’’(x) < 0?
4. ¿Dónde f’’’(x) < 0?
En donde la forma es: Gráfica de una función arbitraria que corta en cinco puntos al eje de
las X’s.
Para esta forma se encontraron cuatro tipos de funcionamientos manifestados por los
estudiantes, los cuales son:
1) Fijarse en la posición de la curva con respecto al eje X para determinar los
intervalos.
2) Establecer las relaciones que existen entre una función y sus derivadas para
determinar los intervalos solicitados, algunos invf (investigadores en formación)
solo exhiben dichos intervalos, otros presentan un bosquejo del comportamiento
general de las gráficas de las funciones derivadas (Eq1, Eq3, Eq4 y Eq5).
3) Relacionar la pendiente de la recta tangente con la derivada, es decir, la pendiente
negativa de la recta tangente se asocia con una derivada negativa, una pendiente
decreciente se asocia con una segunda derivada negativa (Eq2).
4) Considerando la derivada como la razón de cambio, la gráfica de la función permite
observar los cambios que se dan entre dos puntos de la gráfica para obtener la razón
de cambio e identificar el signo de la derivada (Eq5).
141
La forma en cómo el sujeto se relaciona con el conocimiento a través de las actividades
llevadas a cabo por medio de los usos del conocimiento es un mecanismo que permite la
apropiación del conocimiento. Usar una herramienta matemática es poder utilizar a la
misma para operar con y resolver, ampliar, mirar o discernir la realidad de una forma
distinta a como se hacía regularmente, es decir pasar de un tipo de conocimiento a otro. Al
hacer esto efectivamente entonces se puede decir que se ha apropiado de los saberes, las
herramientas son utilizadas en las prácticas que son normadas por la PS. El uso de la
herramienta le permite a las personas reconocer sus características y por lo tanto el
momento en que es necesario utilizarla para resolver problemas, para percibir la realidad de
una forma diferente, ya no se usa las herramientas de manera mecánica, estas se han
convertido en lo que permite la reflexión, discernimiento y uso de razón que las personas
llevan a cabo cuando se han apropiado de la realidad.
4.5.1 Desarrollo de usos del conocimiento
Dependiendo de la forma a utilizar y el funcionamiento de la misma los individuos que
hacen uso de la misma generan un debate entre estos dos elementos con lo cual se generan
nuevos funcionamientos y nuevas formas (Suárez et al., 2008; García, E. 2008). De acuerdo
al diccionario de la Real Academia Española un debate es una discusión. La intervención
didáctica que proponemos a través de las situaciones planteadas tiene la intención de
general tal discusión la cual se puede establecer a partir de razonamientos generados a
partir del uso de la gráfica de manera individual o colectiva.
Cuando a partir del debate entre el funcionamiento y la forma se generan nuevos
conocimientos se puede considerar que hay una resignificación del conocimiento, puesto
que se propician nuevos significados los cuales para nuestro caso no pierden la esencia de
los conocimientos iniciales; esta forma de concebir a la resignificación es acorde a la
reportada por (García, E. 2008; Montiel, 2010) en donde se menciona a la misma como
construcción en la organización del grupo humano y tal como se ha mencionado
anteriormente estas construcciones tiene historicidad puesto que se van transmitiendo de
generación en generación en los grupos humanos. Por otro lado tampoco se contrapone con
142
la visión de la misma por parte de Montiel (2010) en donde añade a la caracterización
anterior, que es la confrontación de significados previos e insuficientes, ante nuevas
situaciones problemas, más bien se complementa ya que ante nuevas situaciones problema
una vez iniciándose una forma de ver, es decir al adquirir nuevos significados, sobre esa
base se puede seguir construyendo para enriquecer lo ya construido y lograrse con esto una
resignificación.
El hecho de que la resignificación es una muestra de nuevos funcionamientos y formas es
decir un desarrollo del uso, también da evidencia de elementos de construcción de
significados, ya que de acuerdo a lo reportado por García, E. (2008) “el desarrollo del uso
es un mecanismo de construcción de conocimiento del individuo en una sociedad” (p. 17).
4.6 La funcionalidad
Uno de los modelos empleados en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas es aquel en
donde se considera a los objetos matemáticos como la principal forma de enseñanza-
aprendizaje, esto tiene detrás de si varias implicaciones. Algunas de ellas se han comentado
en el capítulo I de esta tesis, sin embargo, hablaremos de algunos aspectos generales con el
fin de ir sustentando nuestro marco teórico.
Cuando son los objetos matemáticos la principal fuente a partir de la cual se diseñan las
estrategias de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, los alumnos no tienen la
oportunidad de construir conocimiento, ya que está dado de antemano y entonces el
profesor se tiene que convertir en un “buen” transmisor de conocimiento. Además los
objetos matemáticos tienen importancia por sí mismos, es decir sin tener un vínculo o
filiación con otros aspectos de la vida, como puede ser fenómenos físicos, de las ciencias
naturales, económicos, de las ciencias de la salud sociales u otros más.
Esta forma de enseñanza aprendizaje de las matemáticas corresponde a una forma utilitaria
de ver el conocimiento matemático, esto es en el sentido de Cordero (2007), y que se refiere
a actividades de servicio y no a actividades de pensamiento y cultura. Algunas formas
utilitarias podrían ser como por ejemplo aplicar una fórmula sin reflexionar sobre ella y el
significado que tiene cada uno de sus elementos o en qué contextos se puede utilizar; otra
forma utilitaria podría ser emplear a las matemáticas sólo para las necesidades más básicas
143
como ir de compras saber cuánto pagar y recibir de cambio o tal vez hacer algunas
mediciones muy elementales. Con esta forma de usar las matemáticas las personas
difícilmente pueden convertirse en personas críticas que utilicen las matemáticas para
cuestionar, reflexionar, inferir y/o emitir juicios o hacerse más preguntas cuyas respuestas
los lleven a poder sacar conclusiones acerca de su realidad, como es el caso de los
fenómenos físicos, químico, biológicos, económicos existentes en la vida, así como
también el poder analizar información de nuestro entorno sociocultural recibida a través de
los medios de comunicación masiva. Utilizar las matemáticas en este otro sentido le puede
permitir a las personas transformar su vida ya que contarán con una herramienta que les
servirá para verla desde un punto de vista crítico, consideramos que cuando una persona
puede emitir juicios de opinión sobre su realidad, entonces también la puede ver y actuar de
forma diferente y ¿por qué no? transformarla, es decir las matemáticas pueden ser
funcionales.
Se requiere por lo tanto, contar con nuevos paradigmas en los sistemas escolares y en la
sociedad en general que permitan ver y trabajar a las matemáticas como una herramienta
fundamental, sin olvidar el hecho de que “la matemática escolar está al servicio de otros
dominios científicos y de otras prácticas de referencia, en donde a su vez adquiere sentido y
significación” (Cantoral y Farfán, 2003, p. 36). La Socioepistemología es una teoría
ubicada al seno de la matemática educativa por medio de la cual se puede intervenir
benéficamente en los sistemas escolares ya que se plantea que una de las consecuencias de
su aplicación es el que las personas puedan aprehender las matemáticas y que se conviertan
estas en funcionales (Cordero, 2007).
Al ser la práctica social una normativa va a ir orientando a las actividades de los grupos
humanos a través de las prácticas las cuales tienen la intencionalidad específica de resolver
problemas y/o necesidades de (de origen reflexivo o pragmático). En una comunidad los
conocimientos que se van construyendo a partir de estos procesos y mecanismos sociales
tienen la característica de ser funcionales ya que en realidad han resuelto las problemáticas,
las cuales no necesariamente son exclusivamente matemáticas puesto que son problemas de
diversas índole en donde la actividad humana auxiliándose de la herramientas matemáticas
ha obtenido respuestas exitosas.
144
4.7 A manera de Conclusión
En el presenta capítulo describimos los elementos teóricos que utilizaremos en el diseño y
explicación de los resultados que obtendremos a partir de la puesta en escena de cinco
situaciones planteadas en donde pretendemos dar evidencia resultados de corte
socioepistemológico a partir del análisis de nuestros datos.
Se detectó una práctica en un escenario histórica y socioculturalmente situado que le
llamamos la práctica de la tangente variacional, se pudieron inferir las actividades
(organizadas intencionalmente a través de la práctica) llevadas a cabo por una comunidad
de científicos (usando herramientas matemáticas) al hacer un análisis de los usos del
conocimiento. Las actividades detectadas fueron normadas a partir de la práctica social de
la predicción, la cual de acuerdo a Alatorre, López y Carrillo (2006, citado en López y
Sosa, 2011) “concitó la generación de conocimiento matemático y científico en Cálculo y
Análisis” (p. 838).
Los elementos que nos permitieron reconocer la resignificación del conocimiento son:
La práctica de referencia con su característica de historicidad ya que sus actividades
normadas por la PS son un producto material continuo a través de generaciones a lo cual lo
vamos a caracterizar como una línea temporal producto de la PS.
La práctica de referencia también es caracterizada por ser transversal ya que asocia
elementos de la actividad humana (diferentes áreas de conocimiento académicas o de la
vida cotidiana) con las herramientas matemáticas, a lo cual lo vamos a caracterizar en el
siguiente esquema con una línea horizontal en el tiempo en el sentido en que se usara una
misma herramienta matemática durante un momento histórico cultural y socialmente
situado.
La herramienta matemática, que tiene las dos características anteriores, historicidad y ser
transversal es el elemento teórico que nos permitió por un lado articular el modelo
propuesto por Montiel (2005, 2011) en donde se menciona a la actividad, práctica de
referencia y práctica social con los usos del conocimiento (Cordero y Flores, 2007; Suarez
et al., 2008; García, E. 2008). Las actividades mencionadas por Montiel como son: medir,
145
comparar, aproximar, modelar, calcular y comprobar, se pueden inferir a partir del análisis
de los usos del conocimiento ya que no tendrían ningún sentido (en cuanto la construcción
social de conocimiento matemático) sino fueran llevadas a cabo mediante el uso de
herramientas matemáticas. Por otro lado y desde un punto de vista didáctico podríamos
decir que se ha construido conocimiento matemático cuando este sea puesto en uso a partir
de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades con la intención de resolver un
problema, si esto es logrado. Será evidencia de que los estudiantes se han apropiado del
conocimiento.
Lo anterior lo esquematizamos de la siguiente manera:
Fig. 4.5
Resignificación: Línea horizontal en el tiempo, con su característica de ser transversal, orientado por la práctica social de la predicción.
Resignificación: Línea vertical en el tiempo, orden cronológico de sucesos, orientados por la práctica social de la predicción (historicidad)
Práctica de referencia
Actividades: Llevadas a cabo mediante el uso de herramientas matemáticas
146
De tal forma que para llevar a cabo la construcción de conocimiento matemático se
diseñarán cinco situaciones didácticas en donde se llevará a cabo el ejercicio de la práctica:
la tangente variacional en donde para su diseño se toma en cuenta la línea vertical la cual
es orientada por la práctica social de la predicción y por lo tanto se retomará de Serna
(2007) aquellos momentos en donde se ven las primeras ideas donde nace la práctica de la
tangente variacional, y considerando la historicidad se ubicarán momentos posteriores en
donde se detecta que se van “alimentando” las ideas iniciales incorporándoles cada más
elementos, propios de su naturaleza, y así posteriormente hasta construir una herramienta
matemática que es la tangente variacional. Como dijimos anteriormente una forma de
observar su apropiación es cuando es usada como herramienta y en nuestro caso se propone
que sea usada para construir gráficamente la función derivada de una expresión polinomial
de tercer grado. Todo lo anterior también da cuenta de la resignificación del conocimiento
en una línea temporal.
La componente horizontal también es tomada en cuenta al considerar que la herramienta
matemática tiene un significado de acuerdo al contexto sociocultural en donde se encuentra
situado el conocimiento en donde se encuentran presentes elementos de tipo variacional
propios de la época en que fue analizada la construcción de la tangente variacional.
.
147
Capítulo V
El Método
5.1 Introducción
En el presente capítulo mostraremos la forma en como hemos cristalizado el marco teórico
en el diseño de cinco secuencias didácticas, así como la dinámica de trabajo que se propuso
para su ejecución. Se tomó como base el modelo de construcción social del conocimiento
matemático enunciado en nuestro marco teórico.
Para la creación de nuestras secuencias didácticas se realizó un análisis del conocimiento
puesto en uso de actividades que se llevaron a cabo en un escenario histórico y
socioculturalmente situado, para tal efecto se retomaron los resultados de corte
socioepistemológico llevado a cabo en (Serna, 2007). La historicidad de la práctica de la
tangente variacional nos permitió reconocer diferentes momentos de la misma desde las
ideas iniciales hasta aquellas que consolidaron un método general, tomando en cuenta la
resignificación como aquella apropiación progresiva del saber (Reyes, 2011; Soto, 2012).
El orden de las secuencias no obedece al de un programa de Cálculo Diferencial tradicional
sino aquellos momentos reconocidos en la práctica de la tangente variacional, en donde de
acuerdo a nuestros análisis se puede reconocer un desarrollo de los usos del conocimiento.
La intención con los diseños es llevar a cabo el ejercicio de la práctica de la tangente
variacional de tal forma que mediante esto se logre construir la noción de recta tangente
desde un punto de variacional, tal y como es requerida en Cálculo Diferencial, lo cual
también es una propuesta de rediseño del dME. Proponemos que a partir del desarrollo de
las secuencias, los alumnos construyan a la noción de recta tangente como una herramienta
que sirva en la introducción de la derivada desde un punto de vista gráfico.
148
Finalmente pretendemos evidenciar como el uso de las herramientas matemáticas que le ha
permitido al hombre resolver problemas propios de un contexto histórico y
socioculturalmente situado es una matemática funcional la cual puede ser llevada a el aula
con la intención de que los estudiantes se apropien de la noción recta tangente desde un
punto de vista variacional, una forma de evidenciarlo es cuando la puedan usar como
herramienta.
5.2 La Historia
Partimos de reconocer un fenómeno que se refiere a la representación geométrica de la
derivada como la posición límite de una familia de rectas secantes que giran alrededor de
un punto y que devienen en la recta tangente a una curva, lo cual se ha reportado como una
fuente de dificultades para los estudiantes (Cantoral, 2000; Dolores, 2007, Serna, 2007,
2008, 2009, 2010, 2011, 2012). Al hacer esta consideración se toma en cuenta a la recta
tangente como objeto de estudio en sí misma, esta forma de enseñanza-aprendizaje no
considera que la construcción de la recta tangente puede servir como herramienta en la
construcción de otras nociones del Cálculo Diferencial como por ejemplo: La primera
derivada, los máximos y mínimos, la segunda derivada. El uso de la historia nos ha
permitido problematizar sobre la noción recta tangente desde un punto de vista variacional;
para la creación de las secuencias didácticas se han seleccionado diferentes momentos,
aquellos en donde los saberes han resultado funcionales.
Hemos considerado la revisión y análisis de textos originales llevada a cabo en (Serna,
2007) en donde se muestra la práctica de la tangente variacional que llevaron a cabo una
comunidad de matemáticos ubicados en Europa en los siglos XVI, XVII y XVIII. En la
revisión indicada se mostró diferentes métodos para calcular la recta tangente a una curva,
sin embargo no fue hasta el siglo XVII con Newton y Leibniz que se generalizo un método
de resolución del problema, una de las herramientas matemáticas fundamentales utilizadas
fue el uso de los infinitesimales.
Los infinitesimales son producto de una época y un contexto sociocultural, y respondieron a
problemáticas relacionadas con el cambio y variación relativos a fenómenos físicos donde
era importante predecir un estado futuro dado que se conocía un estado actual. De acuerdo
149
a la Socioepistemología la predicción es una práctica social, la cual norma la construcción
de conocimiento y se pudo inferir que existió durante varios siglos y se vio manifestada en
aquellos fenómenos físicos en donde se encuentran presentes elementos de cambio y
variación (Buendía, 2004, 2011; Cantoral, 2000; Castañeda, 2004, Montiel 2005, 2011;
Serna, 2007).
La Socioepistemología reconoce a la práctica social como aquello que norma la
construcción del conocimiento en la sociedad, esta se presenta a través de generaciones por
medio de los usos del conocimiento, en Cordero (2006, p.80 citado en García, E. 2008) se
reporta: “Hipotéticamente el uso de conocimiento pudiera adquirir la categoría de un
producto material continuo, puesto que permanece en la vida que es transformada y a la vez
el producto es transformado”. De tal forma que el conocimiento no es algo que nace y
desaparece espontáneamente ya que si su construcción es normada por la práctica social y
esta tiene la característica de historicidad comentada en el marco teórico, esto hizo que
recurriéramos a las primeras ideas (les vamos a llamar ideas germinales) sobre la
construcción de la recta tangente a una curva. De acuerdo a lo reportado en (Serna, 2007)
los infinitesimales fueron las herramientas que permitieron la construcción de la tangente
pero además con su uso se consolido un método de solución general, todo eso se manifestó
en la historia de una práctica. Hemos recurrido a momentos en donde se mostraron ideas
cercanas a la de los infinitesimales y que permiten construir una primera idea sobre la cual
se partió como base para ir resignificando el conocimiento.
El recurrir a la historia se hizo, reconociendo que hay ideas iniciales (con respecto a la
construcción del conocimiento), posteriormente su desarrollo implica que estas se van
enriqueciendo sobre la base de las mismas. Por lo tanto identificamos con Copérnico las
primeras ideas, es decir se detectó que en base a las actividades de calcular y comparar
haciendo uso de la herramienta matemática (en una siguiente sección de este mismo
capítulo se muestra las herramientas utilizadas en cada una de las secuencias) se construyó
un significado lo cual consiste en identificar que una curva se comporta como una recta
siempre y cuando se tengan dos puntos muy cercanos de la misma.
150
En Newton, quien trata el tema de la recta tangente a una curva se detectó una ampliación
de lo tratado en Copérnico, ya que tomando como base lo anterior, ahora se agrega que en
una región infinitesimal en donde dos puntos de una curva se comportan como una recta,
pero además la recta tiene una inclinación; en base a las actividades de comparar e inferir se
llega a la conclusión de que la pequeña recta encontrada es la hipotenusa de dos triángulos
infinitamente pequeños que son semejantes, también al extenderse en ambos sentidos esta
pequeña hipotenusa se convierte en la recta tangente a un punto de la curva.
Posteriormente con L´Hospital hace uso de los infinitesimales para dar sus explicaciones de
que son estos y cómo se hace uso de ellos en la práctica de la tangente variacional. Él usa
los elementos anteriormente expuestos, sin embargo, ahora se hace explícito que un punto
es un segmento infinitesimal y que este tiene una inclinación, ya que menciona en su obra
que una curva se puede considerar como una poligonal compuesta por infinitos segmentos
infinitesimales, menciona también que la tangente se forma al extender en ambos sentidos
un segmento infinitesimal, en base a esto se puede intuir que la recta tangente está
cambiando en cada momento. En nuestra secuencia se hace uso de la herramienta
matemática para calcular la pendiente pero en base a las idea usadas por L´Hospital se
llevaron a cabo actividades como calcular, evocar, comparar, aproximar e inferir.
Finalmente la última secuencia en donde se hace uso de la historia es con Euler en donde de
acuerdo a Serna (2007), se detecta que comienza a haber un abandono (aunque no total) en
las explicaciones en donde se hace uso de la geometría y representaciones gráficas; Euler
hace un reconocimiento explícito de la recta tangente a una curva como algo dinámico,
cambiante. La forma en cómo lleva a cabo la práctica de la tangente variacional es
analizando los cambios por medio de desarrollos algebraicos con un método parecido a lo
que actualmente en la escuela se le llama método de los cuatro pasos, se detectaron las
siguientes actividades: comparar, calcular, modelar y comprobar.
Como se puede observar no se recurre a la historia arbitrariamente se detectó la práctica de
la tangente variacional, se identificó a los infinitesimales como una de las herramientas que
permitieron encontrar un método general de solución del problema y que resuelven el
problema por medio de elementos de cambio y variación, posteriormente el reconocimiento
de la historicidad de la práctica social nos hizo acudir y seleccionar diferentes momentos
151
históricos, primero aquel en donde se encontraron ideas iniciales para posteriormente
seleccionar algunos matemáticos que como sujetos sociales miembros de una comunidad
continuaron con la práctica de la tangente variacional, pero sólo aquellos que la trataron
utilizando elementos de cambio y variación con el uso de herramientas como son los
infinitesimales, la selección de los momentos históricos se llevo a cabo de acuerdo a los
análisis realizados en (Serna, 2007), para tal efecto se considera que en la resignificación
también da cuenta de la historicidad ya que en la construcción de conocimiento se
conservaban ideas anteriores utilizadas en la práctica pero enriquecidas con más elementos
que permiten consolidar métodos cada vez más generales.
5.2.1 Las herramientas
La forma en cómo se tomo en cuenta el uso de herramientas en nuestras secuencias
didácticas fue considerando que las herramientas matemáticas empleadas se van a ir
haciendo más sofisticadas con el paso del tiempo en los grupos humanos y esto nos sirve
cuando es llevado al aula ya que se puede partir de ideas conocidas por los alumnos y al
interaccionar con las mismas en un contexto donde haya elementos de cambio y variación,
y en base a las actividades propuestas se pueda construir significados comenzando por
aquellos más elementales de acuerdo a lo que nos ha mostrado la historia, hasta poder
construir a la recta tangente desde un punto de vista variacional.
Las herramientas detectadas y utilizadas en las secuencias permitían que los conocimientos
previos de los alumnos fueran utilizados ya que se requería conocimientos de aritmética y
geometría, para posteriormente hacer uso de la pendiente pero considerándola como una
razón de cambio, para posteriormente hacer uso de elementos básicos de álgebra.
El tomar a la práctica de la tangente variacional como un objeto de estudio permite
problematizar sobre la noción de recta tangente desde un punto de vista variacional,
reconociendo elementos que nos ha mostrado la historia forman parte de su esencia, de su
naturaleza, para posteriormente convertirse a sí misma en una herramienta matemática que
pueda servir como una introducción a otras nociones matemáticas como son la primera y
segunda derivada, los máximos y mínimos, en nuestro caso servirá de herramienta para la
introducción de la primera derivada desde un punto de vista gráfico.
152
5.3 El modelo a utilizar para la construcción de conocimiento
Reconocer a la práctica de la tangente variacional cuyas actividades son normadas por la
práctica social de la predicción ha permitido tener presente a la manera de variar como un
elemento producto de la actividad humana en un contexto histórico y socioculturalmente
situado pero que forma parte de la naturaleza misma del conocimiento y que le dio un
significado a los conocimientos que se estaban construyendo, mismo que hemos tratado de
imprimirle intencionalmente a nuestras secuencias didácticas. Por ejemplo en la Secuencia
Didáctica 1:
En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la
razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp.
48-49), y se presenta la siguiente figura:
Fig. 5.1
Para lo cual se dice lo siguiente:
“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que
la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-
49).
Expresado matemáticamente quedaría:
𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
Lo que hace Copérnico es ir acercando los puntos B y C al punto A y mostró como la
desigualdad deja de existir para convertirse en una igualdad, es decir los arcos AB y AC
A
C B
153
dejan de comportarse como tales para hacerlo como segmentos, lo cual expresado en
palabras de Copérnico “Luego, como vemos hemos llegado a un punto, en el que la
diferencia entre recta y la curva que la envuelve escapa a los sentidos, como convertidos
en una sola línea” (Copérnico, 1543, pp. 49 – 50).
En nuestra secuencia se pedirá a los estudiantes que deduzcan una fórmula para encontrar la
subtensa que une dos puntos de una circunferencia, a partir de la fórmula encontrada se
vayan acercando cada vez más y más los puntos B y C al punto A. Esto se pidió fuera
reportado en una tabla para que los estudiantes puedan comparar que estaba pasando, de tal
forma que nuestra intención es que los estudiantes puedan percibir que iba a llegar un
momento en que la desigualdad se iba a convertir en igualdad. Entonces con base a la
actividad propuesta y la figura mostrada hacíamos preguntas a los estudiantes como:
¿Qué puedes concluir que ocurre con el resultado del cociente 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararlo con el
resultado del cociente 𝐴𝐵����𝐴𝐶���� conforme los puntos B y se encuentran muy cercanos entre sí y
además muy próximos a el punto A?
¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí con
respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?
¿Qué ocurre con respecto al teorema sexto de Copérnico?
¿Qué podemos concluir?
¿Cómo se comporta una curva conforme dos puntos de ella se encuentran muy cercanos?
¿Habrá alguna relación entre la curva y una recta en una vecindad muy cercana
(infinitesimal)?
Nuestra intención era que los estudiantes pudieran a partir de hacer comparaciones que
surgían en base a los cambios de posición de los puntos B y C con respecto al punto A
construir un significado, el cual era que conforme dos puntos de una curva se encuentran
muy cercanos entre sí, la misma se comportan como una línea recta en esa región tan
cercana entre los puntos.
154
5.4 Usos del conocimiento
Se han determinado los usos del conocimiento recurriendo a los textos originales y teniendo
presente que observar a la manera de variar como producto de la actividad humana en
interacción con herramientas matemáticas producen significados. Todo esto se puede inferir
en el texto mismo el cual fue escrito por un matemático que siendo un sujeto social
manifiesta o difunde a la sociedad sus descubrimientos a partir de las herramientas usadas
lo cual permiten construir nuevos significados.
La idea de usos de conocimiento matemático está caracterizada por la cuarteta:
conocimiento matemático, funcionamiento, forma y la situación en donde se ve
manifestado el marco teórico utilizado (García, E., 2008). Lo anterior no se contrapone con
la noción de uso en el sentido propuesto por Cabañas (2011) quien la caracteriza como “las
formas en que es empleada o adoptada determinada noción en un contexto especifico” (p.
75).
En nuestro caso el conocimiento matemático puede tomar la forma de herramienta, lo cual
significa que no necesariamente tiene que ser un objeto matemático en el sentido de un
reconocimiento formal validado y difundido por una comunidad científica de matemáticos,
pero sí sirvió para auxiliar al hombre en la resolución de sus problemas. Por otro lado se
pueden usar ideas como la expuesta por L´Hospital de que una curva puede ser considerada
como el ensamblaje de una infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente
pequeñas con herramientas matemáticas utilizadas hoy en día como es el caso de la
fórmula de la pendiente. Nuestro planteamiento es que la herramienta matemática
detectada o plantear una situación usando ideas de cambio y variación en un ambiente
geométrico con herramientas matemáticas actuales es una forma de implementar los usos
de conocimiento de antaño con una utilidad didáctica.
Los usos que se les dio a las gráficas para dar explicaciones y que permitieron resolver
problemas es otro de los elementos que vamos a utilizar en la creación de nuestras
secuencias didácticas.
155
5.5 Creación de las secuencias
A continuación explicaremos el método general para la creación de las secuencias y
posteriormente particularizaremos con cada una de ellas.
Se tomaron en cuenta los siguientes elementos:
1) Se seleccionó un problema en donde se encontraba presente la práctica de la
tangente variacional, por lo que consecuentemente se encontraba presente en un
contexto de cambio y variación.
2) Se determinó cuáles eran las herramientas matemáticas utilizadas en la práctica.
3) A partir de la herramienta utilizada se tenía que reconocer cuáles eran los
conocimientos que se requerían para poder utilizarla.
4) Se determinaron cuáles eran las actividades que se encontraban presentes al resolver
el problema, las cuales tomaban en cuenta a la actividad humana como aquella que
es plenamente social, por lo tanto tener presente la manera de variar como algo
característico de la época.
5) Se llevó a cabo un análisis para determinar cuáles eran los significados que surgían
de las herramientas utilizadas para llevar a cabo las actividades reconociendo el
contexto de cambio y variación en que se encontraba inmerso el problema.
6) Una vez que se determinaron los significados existentes se trató de llevarlos a cabo
de manera intencional en la realización de las secuencias didácticas.
7) Se retomaron los problemas de los textos originales adaptando el lenguaje
matemático utilizado en esa época a un lenguaje usado en el sistema escolar vigente
en donde se llevó a cabo la investigación.
8) La secuencia planteaba resolver un problema muy similar al revisado en los textos
originales, pero ya adaptado, y se llevaron a cabo preguntas en donde se pedía
argumentar para contestarlas. Las respuestas a las preguntas se podían contestar
gracias a las actividades llevadas a cabo con el uso de herramientas y haciendo uso
de argumentos de cambio y variación.
9) Había diferentes tipos de preguntas que hemos clasificado en categorías, cada una
de ellas con una intencionalidad dentro de la secuencia.
156
10) Cada una de las secuencias (a excepción de la primera) utilizaba elementos
construidos de la anterior y con el uso de herramientas se podrían construir nuevos
conocimientos, siempre conservando como base las ideas y/o nociones
anteriormente construidas. En la primera secuencia se llevó a cabo reconociendo lo
que los estudiantes habían estudiado en sus semestres anteriores ya que se
necesitaba usar elementos de geometría y aritmética.
11) Al llevar a cabo los análisis de los textos originales se observó que mediante el uso
de las graficas se podía construir argumentos y razonar, y a partir de la forma
empleada en la secuencia y determinando el funcionamiento se podía generar un
desarrollo del uso del conocimiento, es decir a partir de los usos de las herramientas
se podía acceder a otro uso.
12) La construcción de las secuencias utiliza los elementos del marco teórico utilizado y
se trata de llevar a cabo de manera intencional el desarrollo de actividades mediante
la cuales los alumnos puedan construir los significados propios de la práctica de la
tangente variacional.
13) En el próximo capítulo se llevará a cabo el análisis de los datos obtenidos, para tal
efecto se expondrá que es lo que se espera construyan los estudiantes y se hará una
valoración de lo que realmente construyen. Para realizar el análisis se hará uso de
nuestro modelo de construcción social del conocimiento matemático propuesto.
5.5.1 Categorías de las preguntas realizadas en las secuencias.
Las categorías empleadas en nuestras preguntas son: evocación, comparación, inferencia,
concluyente, resignificación, uso de la recta tangente como herramienta. Aunque hay
preguntas que se podrían encontrar en dos o más categorías, las ubicamos en donde
consideramos es predominante su intención.
Evocación:
Secuencia 1
¿Cuál es la expresión matemática que nos permite calcular el valor de la subtensa (cuerda),
considerando que tenemos como dato el ángulo central en grados?
157
¿Cuál será la expresión seno en donde se relacionan los elementos planteados?
Secuencia 2
¿Son semejantes los triángulos ∆𝐴𝐵𝐷 y ∆𝐴𝐶𝐸?, argumenta tu respuesta:
Secuencia 4
Dada la expresión 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡 , determinar la grafica.
En la secuencia se hace el siguiente planteamiento:
Cuando 𝑃2 está infinitamente cercano a 𝑃1entonces la pequeña porción de la curva entre
estos puntos se comporta como la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal cuyos
vértices son: 𝑃1, 𝑃2 y 𝑞, obtendremos una figura como la que a continuación se muestra:
Fig. 5.2
La curva de la figura 3 representa una porción de la función 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡.
a) Se puede establecer la relación de proporción entre los lados homólogos.
Recuerda:
𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏))
𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕,𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))
∆𝒔 ∆𝒕 q
T P
158
Fig. 5.3
Proporcionalidad entre los lados homólogos:
𝑐𝑧 = 𝑎
𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐𝑡𝑒. Pero también se puede establecer la siguiente relación entre los catetos de
los triángulos rectángulos semejantes: 𝑏𝑎 = 𝑦
𝑥
Para posteriormente solicitar:
En el caso que estamos tratando establece la proporcionalidad entre los lados homólogos:
Y también se puede establecer la relación entre los catetos de los triángulos semejantes:
Determinar de manera parecida:
a) 𝑠(2) =
b) 𝑠(𝑎) =
c) 𝑠(𝑡1) =
d) 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) =
e) Estatura inicial 𝐸𝑖 = 155𝑐𝑚
f) Estatura final 𝐸𝑓 = 165𝑐𝑚
g) Cambio de Estatura ∆𝐸 = 𝐸𝑓 − 𝐸1 = 165𝑐𝑚− 155𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚
h) Si pensamos que el joven sigue creciendo durante dos años más al mismo ritmo,
i) ¿Cuál es la razón de cambio de crecimiento del joven durante esos tres años?
a
b c
x
y z
159
Comparación
Secuencia 1
¿Qué ocurre con la relación 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararla con respecto a
𝐴𝐵����𝐴𝐶����?
Secuencia 2
Conforme los puntos B y C son cada vez más próximos al punto A también los segmentos
𝐷𝐵���� 𝑦 𝐸𝐶���� se hacen cada vez más y más pequeños, podemos ir viendo lo que va
ocurriendo al comparar la razón entre las áreas de los triángulos
Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados 𝐴𝐸����2 𝑦 𝐴𝐷����2. ¿Qué
nos puedes decir al respecto?
Inferencia:
Secuencia 2
¿Se cumple el lema IX enunciado por Newton?
¿Qué conclusiones podrías dar de lo que va ocurriendo con las figuras (triángulos, líneas)
conforme los puntos B y C se aproximan más y más a el punto A?
¿Cómo es el valor de la velocidad para cada valor calculado en la tabla? Y que
explicaciones puedes dar al respecto:
Concluyente:
Secuencia 1:
¿Qué puedes concluir que ocurre con el resultado del cociente 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararlo con el
resultado del cociente 𝐴𝐵����𝐴𝐶���� conforme los puntos B y se encuentran muy cercanos entre sí y
además muy próximos a el punto A?
¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí con
respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?
160
¿Qué ocurre con respecto al teorema sexto de Copérnico?
¿Qué podemos concluir?
¿Cómo se comporta una curva conforme dos puntos de ella se encuentran muy cercanos?
¿Habrá alguna relación entre la curva y una recta en una vecindad muy cercana
(infinitesimal)?
Secuencia 2
¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente
próximos al punto A?
¿Cómo será el comportamiento de la curva?
Resignificación:
Secuencia 2
¿Qué se podría hacer para que se cumpla el lema IX de Newton?
Para calcular la velocidad en el caso anterior nos podíamos valer de la pendiente y como se
trata de un movimiento con razón de cambio constante siempre valía lo mismo
independientemente de los puntos utilizados para ello, ¿se podrá hacer lo mismo en este
caso?, argumenta tu respuesta:
Caracterizar a la recta tangente
a) Inclinación
Secuencia 2
¿Cuál será su posición límite de esta línea Ac?
¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y
después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta.
Secuencia 3
¿Qué va ocurriendo con las rectas tangentes?
161
¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y
después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta
¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus pendientes a
la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?
b) Punto de contacto
Secuencia 2
¿Crees que haya alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?
¿Cuál será su posición límite de esta línea Ac?
Secuencia 3
Utilizando lo dicho por el L´Hospital: “Si se prolonga una de los pequeños lados
Mm de la poligonal que compone una línea curva, este pequeño lado así prolongado
será llamado la tangente de la curva en el punto M o m.” A partir de esto traza una
recta tangente en el punto 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.
La tangente trazada, ¿tiene la misma pendiente (razón de cambio) que la del
pequeño segmento infinitesimal en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta:
Secuencia 5
¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en 𝑥 = 3?
c) Razón de cambio
Secuencia 2
¿Cómo es la razón de cambio, en el caso anterior, constante o variable?
Secuencia 3
¿La razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de cambio es positiva o
negativa? argumenta tus respuestas:
En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón
de cambio es positiva o negativa?, argumenta tus respuestas:
¿Cómo es la razón de cambio en 𝑡 = 𝑡𝑚?..., argumenta tu respuesta:
162
Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después
del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta
¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus pendientes a
la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?
Secuencia 4
La expresión también nos puede ayudar a conocer la razón de cambio instantánea,
es decir saber cuánto se desplaza el cuerpo por cada segundo en un instante del
tiempo “t”. Para el caso que estamos tratando ¿la velocidad instantánea es siempre
la misma?, argumenta tu respuesta:
Secuencia 5
¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en 𝑥 = 3?
d) Cambio de posición
Secuencia 3
¿Si trazáramos la recta tangente en el punto 𝑡 = 2.1 𝑠𝑒𝑔. tendría la misma posición
y la misma razón de cambio que en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta.
¿Qué va ocurriendo con las rectas tangentes?
Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después
del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta.
Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después
del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta
163
¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes antes del punto más
alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la
curva antes del punto más alto?
¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del punto más
alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la
curva después del punto más alto?
¿Cuál es la posición de la recta tangente en el punto más alto?
¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus pendientes a
la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?
Traza las rectas tangentes a la curva en los puntos señalados en la siguiente gráfica:
Fig. 5.4
Esta expresión representa a la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal. Al
extender esta hipotenusa en ambos sentidos se encuentra la recta tangente a la curva
en un punto, ¿esta recta tangente tendrá siempre la misma posición? Argumenta tu
respuesta:
164
Secuencia 5
¿En qué intervalo es creciente la función?
¿En qué intervalo es decreciente la función?
¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva antes del
punto máximo?
¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva después del
punto máximo?
¿Cómo es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva exactamente en el
punto máximo?
e) Relacionándola con fenómenos físicos
Secuencia 3
Calcular la velocidad en el instante (velocidad instantánea o razón de cambio
instantánea) en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.?
A partir de una tabulación y de una gráfica representa la curva de 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 −4.9𝑡2, investiga cuales son las coordenadas del punto más alto alcanzado por el
cuerpo, con estas coordenadas puedes conocer el tiempo en alcanzar el punto más
alto y la distancia del punto más alto, utiliza para los valores de t hasta el orden de
las centésimas y los resultados de 𝑠(𝑡) redondéalos hasta el orden de las
diezmilésimas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto más alto?
¿Cuál es la velocidad en el punto más alto?
¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔.?
¿Cuál es el signo de la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y cuál el signo en el
instante 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔.? Que explicaciones puedes dar al respecto.
165
Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después
del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta
f) Asignarle una expresión algebraica
Utiliza los resultados obtenidos en los incisos c) y d) anteriores para obtener el valor
de ∆𝑠,
Para encontrar la tangente de la curva en el punto 𝑃1, Euler dividía la expresión
encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que
representa a la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de
la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:
Divide la expresión encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, ¿cuál es la expresión encontrada
en el caso que estamos tratando?
Con respecto a la expresión que has encontrado y al suprimir todos aquellos
términos que contienen a ∆𝑡 ¿cuál es la expresión finalmente encontrada?
Para encontrar la tangente de la curva en el punto 𝑃1, Euler dividía la expresión
encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que
representa a la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de
la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:
Secuencia 5
¿Cuál es el valor de la derivada? Es decir f ´(x)=
Uso de a recta tangente como una herramienta
¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f ´(x) es
positiva?
166
¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f ´(x) es
negativa?
¿Cuáles son las coordenadas del cero de la función es decir donde la variable
dependiente f ´(x) = 0?
Ahora compara las gráficas de f (x) y de f ´(x) y contesta lo siguiente:
¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es creciente la función f (x) con
respecto a el intervalo donde es positiva la función f ´(x)? Argumenta tu respuesta:
¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva con respecto al
intervalo donde es creciente la función f (x)?
¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es decreciente la función f (x) con
respecto a el intervalo donde es negativa la función f ´(x)? Argumenta tu respuesta:
¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva donde la
función f (x) es decreciente?
Sigue comparando ambas gráficas de f (x) y de f ´(x), observa detenidamente lo que
pasa antes y después del punto máximo, observa lo que ocurre con las posiciones de
las rectas tangentes (y sus ángulos de inclinación) antes del punto máximo, después
del punto máximo y durante el punto máximo, observa los cambios y compara con
la gráfica de f ´(x), ¿a qué conclusiones puedes llegar?
Si ahora tuviéramos la gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a
continuación:
167
Fig. 5.5
Utilizando los argumentos y conclusiones de la actividad 1, haz una gráfica de f ´(x):
5.5.2 Secuencia didáctica 1. Curva-segmento
1) Contextualización
El problema se desarrolla en el contexto de la mecánica celeste por Copérnico. Él llegó a la
conclusión de que una curva se comportaba como un segmento bajo ciertas características
especiales las cuales consistían en que dos puntos de una curva se acercaban cada vez más
y más a un tercer punto.
En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la
razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp.
48-49), y se presenta la siguiente figura
Fig. 5.6
−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
A
C B
168
Para lo cual se dice lo siguiente:
“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que
la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-
49).
Expresado matemáticamente quedaría:
𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
2) Las herramientas matemáticas utilizadas son:
a) 𝐶 = 𝐷𝑠𝑒𝑛 �𝐺2�
b) 𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
3) Los conocimientos requeridos para usar estas herramientas son:
a) Convertir grados a radianes o radianes a grados
b) Conocer qué es la longitud de un arco y cómo calcularlo
c) Calcular el seno de un ángulo
4) Vínculos con sus conocimiento previos
Propiedades geométricas del triángulo equilátero y rectángulo, la razón trigonométrica
seno.
5) Las actividades fueron:
a) Deducir una fórmula para calcular la subtensa entre dos puntos
b) Calcular
c) Comparar
d) Inferir
169
6) Construcción de nuevos significados.
El significado que surge a partir de las herramientas utilizadas en un contexto de cambio y
variación es: El teorema sexto de Copérnico se deja de cumplir cuando dos puntos de la
curva se encuentran muy cercanos entre sí. La desigualdad 𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶���� se convierte en una
igualdad, conforme dos puntos de la curva se acercan cada vez más y más.
La curva y la cuerda en dos puntos muy cercanos parece ser que son la misma cosa. Por lo
tanto en una vecindad infinitesimal se puede considerar que la curva es como una recta.
Se plantearon preguntas que tenían la intención de que los alumnos pusieran su atención en
elementos de cambio y variación a partir de los cuales pudieran calcular, comparar e inferir
conjeturas.
Por ejemplo:
¿Qué puedes concluir que ocurre con el resultado del cociente 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararlo con el
resultado del cociente 𝐴𝐵����𝐴𝐶���� conforme los puntos B y se encuentran muy cercanos entre sí y
además muy próximos a el punto A?
¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí con
respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?
7) El funcionamiento y la forma
Para ilustrar el problema se utilizó una gráfica en donde se utilizaron elementos de
geometría y aritmética, los cuales son conocimientos que fueron ya revisados por materias
anteriores a la de Cálculo Diferencial y que por lo tanto son los conocimientos que los
alumnos ya tienen y que pueden usar para construir nuevos saberes.
170
Funcionamiento:
Cálculo de la cuerda subtendida entre dos puntos,
conociendo el arco
Forma:
Circunferencia en donde se sitúan dos puntos sobre
la circunferencia y un tercer punto ubicado en el
centro de la misma
Funcionamiento:
Observar que un arco tiene una mayor longitud que
la cuerda subtendida. Cuando los puntos B y C se
acercan cada vez más y más a el punto A la curva se
comportará como una recta.
Forma:
Parte de una circunferencia en donde se encuentran
dos puntos que van a ir acercando los dos a un tercer
punto, por lo tanto uno de ellos tiene mayor longitud
de arco que el otro.
Tabla 5.7
5.5.3 Secuencia didáctica 2. Inclinación de la recta tangente.
1) Contexto.
La forma de escribir matemáticas en el siglo VII era utilizando argumentos de tipo
geométrico, esto lo podemos ver en la obra de Newton “Principios Matemáticos”. La forma
𝜽
r r
C 𝑪𝟐
A
C B
171
de abordar fenómenos de la naturaleza era a partir de relacionar a la geometría con
fenómenos del mundo real. Revisemos el siguiente lema IX enunciado por Newton:
Si una línea recta AE y una curva ABC, ambas con una posición dada, se cortan en un
ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se aplican ordenadamente BD
y CE interceptando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran
en el punto A, afirmo que las áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente
en última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.
Fig. 5.8
2) Las herramientas matemáticas utilizadas son:
a) Razón matemática: 𝑀1𝑚1
= 𝑁1𝑛1
= 𝑃1𝑝1
b) 𝐴1𝐴2
= 𝐿𝑎𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑙𝑜𝑔𝑜1𝐿𝑎𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑙𝑜𝑔𝑜2
3) Los conocimientos requeridos para el uso de las herramientas son:
a) Semejanza de triángulos
b) Cálculo del área de un triángulo
c) Representación de un intervalo mediante una desigualdad
d) Representación gráfica de una función de dos variables cuadrática así como su
representación matemática.
172
e) Evaluación de una función en un punto dado.
f) La pendiente como una razón de cambio
3) Conocimientos requeridos para el uso de la herramienta
a) La fórmula de la pendiente de una recta.
b) Razón de cambio.
c) Evaluación de una función en un punto
d) Noción de velocidad como una razón de cambio.
e) Graficar una función lineal (línea recta) y una cuadrática.
4) Vínculo con la secuencia anterior para construir nuevos significados
En la secuencia anterior se estableció que una curva se comportaba como un segmento bajo
condiciones especiales. Al considerar que los estudiantes habían construido este saber se
hacían preguntas como:
Pregunta: ¿Se cumple el lema IX enunciado por Newton?
Aquí se espera que los alumnos haciendo uso de la propiedad de semejanza establecida
contesten que no se cumple el lema mencionado
Observación: Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa explica porque sí se
cumple el lema IX de Newton, en caso de que tu respuesta sea que no se cumple el lema
mencionado,…
Pregunta: ¿Qué se podría hacer para que se cumpla el lema IX de Newton?
Esta pregunta tiene la intención de que usen lo aprendido anteriormente y lo relacionen con
lo que se les pide en el problema.
5) Las actividades:
a) Calcular
b) Comparar
173
c) Aproximar
d) Inferir
6) Construcción de nuevos significados
Se pretende construir nuevos significados a partir de actividades llevadas a cabo mediante
la interacción herramienta-contexto de variación, por ejemplo: se pretende que en esta
secuencia los alumnos puedan darse cuenta que al prolongar la hipotenusa de un pequeño
triángulo infinitesimal se forma una recta (a la que posteriormente la vamos a llamar recta
tangente). Va cambiando de posición hasta llegar a una posición límite, esto pretendemos
que se lleve a cabo mediante la observación y pregunta como la siguiente:
Observa que la línea AC que es uno de los lados del ∆𝐴𝐶𝐸 al prolongarse se forma la línea
Ac, imagina cómo va a ir cambiando esta línea Ac (toma en cuenta que Ac es la
prolongación del segmento 𝐴𝐶���� de el triángulo ∆𝐴𝐶𝐸 ) conforme los puntos B y C se van
aproximando más y más a el punto A, ¿cuál será su posición límite de esta línea Ac?
Se utiliza lo ya conocido anteriormente por lo tanto tiene sentido que los alumnos piensen
que para dos puntos muy cercanos de una curva se comportan como la hipotenusa de un
pequeño triángulo rectángulo y también que tiene un cierto ángulo de inclinación.
7) Funcionamiento y la forma
La secuencia se plantea en un ambiente gráfico en donde se utilizan ideas de tipo
geométrico y aritméticas vistas en semestres anteriores y también haciendo uso de lo visto
en la secuencia anterior para construir nuevos saberes.
En esta secuencia se tienen actividades que pretenden tener una aplicación práctica en un
contexto de física, en donde haciendo uso de lo anterior se les pide a los alumnos que
encuentren la velocidad instantánea de un móvil del cual se conoce su desplazamiento en
función del tiempo.
174
Funcionamiento:
Mostrar que se pueden formar dos triángulos
rectángulos, cuya hipotenusa va a coincidir con un
pequeño arco entre dos puntos siempre y cuando este
sea lo suficientemente pequeño como para
comportarse como un segmento.
Se formaran dos triángulos rectángulos semejantes
Al extender la pequeña hipotenusa se forma la recta
tangente
Forma:
Representación gráfica de dos arcos que coinciden
en el mismo punto en donde se sitúan puntos que
forman triángulos rectángulos
Funcionamiento:
Mostrar la representación de una función parecida a
la mostrada por Newton pero en un plano cartesiano
y con una función específica
Mostrar que el lema enunciado por Newton se
cumple cuando los puntos B y C se acercan más y
más a el punto A, es decir un pequeño segmento de
la curva infinitamente pequeño, tiene una inclinación
y si se extiende éste en ambos sentidos se forma la
recta tangente a un punto.
Forma:
Una parábola que abre hacia abajo que se intercepta
con el origen del plano.
Tabla 5.9
5.5.4 Secuencia didáctica 3. Recta tangente variable
1) Contexto
En esta secuencia se retoman los elementos vistos anteriormente en las secuencias
didácticas precedentes para añadir algunos otros elementos que permitan que los alumnos
puedan construir la noción de recta tangente variable. Se utilizan elementos de tipo gráfico
para que se pueda ilustrar la variación.
175
En la secuencia se plantea lo enunciado por L´Hospital:
Se requiere que una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una
infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas: o (lo cual es lo
mismo) como una poligonal de un número infinito de lados, cada uno de ellos
infinitamente pequeños,…
Fig. 5.10
Si se prolonga una de los pequeños lados Mm de la poligonal que compone una línea
curva, este pequeño lado así prolongado será llamado la tangente de la curva en el
punto M o m.
(L´Hospital, 1696)
Es decir un punto es un segmento infinitamente pequeño
Ahora tiene sentido calcular la pendiente entre dos puntos de una curva infinitamente
cercanos entre sí ya que en esta región la curva se comporta como un segmento y como el
pequeño segmento se puede extender en ambos sentidos, entonces el pequeño segmento y
la recta tangente a la curva (que es una misma con el pequeño segmento en una región
infinitesimal) tienen la misma pendiente.
A partir de lo anterior se llevan a cabo una serie de actividades en donde se tomó como
base los usos de conocimiento que se ha reportado se encontraban presentes en la obra de
L´Hospital en su libro de Análisis de los infinitamente pequeños (Castañeda, 2004; Serna,
2007). Las actividades propuestas en las secuencias están adaptadas a un contexto escolar.
176
2) Las herramientas matemáticas utilizadas son:
a) La pendiente: 𝑚 = ∆𝑦∆𝑥 = 𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
b) Tabulación
c) Gráfica de una función
3) Conocimientos requeridos para el uso de las herramientas son:
a) Operaciones aritméticas con números reales
b) Tabulación y representación gráfica
c) Conocer qué significa razón de cambio e interpretar la relación existente entre la
inclinación que tiene una recta con su valor numérico; cuando la razón de cambio va
creciendo o decreciendo, si vale cero o tiene valores positivos o negativos también que van
variando, etc.
4) Vínculo de la secuencia anterior para construir nuevos significados:
Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. La gráfica de la velocidad con respecto del
tiempo se muestra a continuación, en donde se pone un ejemplo para un punto 𝑃1 y un
punto 𝑃2 , sin embargo estos puntos podrían estar ubicados en algún otro lugar de la curva.
Fig. 5.11
t
s
tm tf
∆𝑠
∆𝑡
177
Para este caso la razón de cambio está dada por:
𝒎 = ∆𝒔∆𝒕 = 𝒔(𝒕𝟐)−𝒔(𝒕𝟏)
𝒕𝟐−𝒕𝟏
Fórmula 2
En la secuencia anterior se logró asociar a la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo
con la recta tangente a un punto de la curva. En esta secuencia se retoma ese conocimiento
pero contestando una serie de actividades que tienen la intención de que los alumnos
puedan construir la noción de recta tangente variable.
Por ejemplo algunas preguntas son:
En el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de
cambio es positiva o negativa? argumenta tus respuestas:
¿Cómo es la razón de cambio en t = tm?..., argumenta tu respuesta:
5) Las actividades:
a) Calcular
b) Comparar
c) Aproximar
d) Inferir
6) Construcción de nuevos significados
El uso de la gráfica sirve para que a partir de la misma se puedan llevar a cabo
razonamientos acerca del cambio de inclinación que tiene la recta tangente de una curva en
diferentes puntos de la misma y establecer una relación existente entre la inclinación
observada con los valores numéricos que se van encontrando.
También es muy importante que se pueda percibir que en cada instante la pendiente de la
recta tangente va a ir cambiando. Para lograr lo anterior se hacen preguntas como:
¿Si trazáramos la recta tangente en el punto 𝒕 = 𝟐.𝟏 𝒔𝒆𝒈. tendría la misma posición y la
misma razón de cambio que en 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈? Argumenta tu respuesta.
178
7) El funcionamiento y la forma
La secuencia se lleva a cabo en un ambiente gráfico en donde las ideas de cambio y
variación se encuentran presentes. Se pretende identificar la manera de variar de la recta
tangente de una forma explícita a diferencia de la secuencia anterior que se hacía
implícitamente. También se llevan las ideas encontradas a un contexto de física como una
forma de aplicación práctica de los saberes encontrados en esta secuencia.
Funcionamiento: Mostrar que un arco se puede formar por un conjunto de segmentos infinitesimales La extensión del pequeño arco en ambos sentidos forman la tangente Que intuitivamente el alumno pueda percibir la naturaleza variacional de la recta tangente Forma: Representación gráfica de una pequeña porción de un arco
Funcionamiento: Reconocer que la recta tangente cambia de posición y el valor de su pendiente consecuentemente también. Observar donde es positiva y negativa la pendiente y donde cambia de signo Observar el valor de la pendiente en su punto máximo Forma: Gráfica de una parábola que abre hacia abajo, en donde se indican puntos importantes como 𝑡𝑚 y 𝑡𝑓.
Tabla 5.12
t
s
tm tf
∆𝑠
∆𝑡
179
Funcionamiento:
Observar las diferentes posiciones que tiene la recta tangente antes y después del mínimo así como en el
mínimo mismo.
Comprobar que la recta tangente tiene la misma dirección que la curva en un punto.
Forma:
Parábola que abre hacia arriba en donde se encuentran dos puntos antes y después del punto crítico así como
un punto ubicado en el mínimo.
Tabla 5.13
5.5.5 Secuencia didáctica 4. Recta tangente-Función
1) Contextualización
En esta secuencia se vuelve hacer uso de todo lo visto anteriormente, haciendo un análisis
del cambio. Para ello se determina una expresión algebraica que se le asocia a la pendiente
de la recta tangente a la curva, lo que se pretende es que se tenga una expresión general.
De manera similar a las secuencias anteriores se hace uso de una gráfica que le sirve a
Euler para dar sus explicaciones de cómo se obtiene una expresión general de lo que
actualmente llamamos la función derivada. Esta figura fue usada por los matemáticos
durante varios años:
180
Fig. 5.14
2) Las herramientas matemáticas utilizadas son:
a) 𝑚 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)
𝑡2−𝑡1
b) ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
c) ∆𝑠 = 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡1) d) (𝑡1 + ∆𝑡)2
e) 𝑏𝑎 = 𝑦
𝑥 proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos rectángulos
3) Los conocimientos requeridos para el uso de las herramientas son:
a) Evaluación de una función
b) conocer las condiciones para que dos triángulos sean semejantes.
c) Elevar al cuadrado la suma de dos cantidades expresadas algebraicamente
d) Conocer que el cambio se calcula a través de una diferencia
e) Razón de cambio
4) Vinculo de la secuencia anterior para construir nuevos significados
a) Uso de la herramienta matemática de la razón de cambio instantánea
181
b) Se retoma que un punto es un segmento infinitesimal de una curva que al extenderse en
ambos sentidos se forma la recta tangente a un punto
c) La recta tangente es cambiante
5) Las actividades fueron
a) Comparar
b) Calcular
c) Modelar
d) Comprobar
6) Construcción de nuevos significados
A partir de las herramientas matemáticas empleadas para llevar a cabo las actividades en un
contexto de cambio y variación se pretende que los alumnos puedan construir una
herramienta matemática (expresión de la de primera derivada) que es una expresión general
que permita conocer el valor de la razón de cambio instantánea en cada punto de la misma
(función derivada)
7) El funcionamiento y la forma
La secuencia se lleva a cabo en un ambiente gráfico el cual permite dar explicaciones sobre
la relación de semejanza dos triángulos rectángulos que son semejantes. Uno de ellos tiene
dimensiones infinitesimales y por lo tanto aparece el cociente ∆𝑠∆𝑡 que permite encontrar una
expresión general para la derivada. Se relacionan conocimientos de geometría con
algebraicos e ideas de tipo infinitesimal.
182
Tabla 5.15
Funcionamiento:
Mostrar visualmente que el pequeño Arco Mn se llega a convertir en la hipotenusa de un triángulo
infinitamente pequeño y que es semejante al triángulo TMP
Forma:
Gráfica con un solo eje en donde se muestra un pequeño arco y la recta tangente en el punto M
183
Funcionamiento:
Asignar una expresión a la pendiente de la recta tangente usando elementos vistos en las secuencias
anteriores.
La inclinación del pequeño segmento infinitesimal (punto de acuerdo a L´Hospital) tiene la misma
inclinación y por lo tanto la misma pendiente que la hipotenusa del triángulo rectángulo de dimensiones
finitas. También a partir de la gráfica se puede argumentar que la curva en diferentes puntos tendrá diferentes
pendientes, puesto que se observa que habrá diferentes rectas tangentes que comparten la pendiente con la
del punto de la curva en donde coinciden (punto de contacto).
Forma:
Gráfica de una parábola en donde se muestran las coordenadas de un punto y sus cambios, hay marcado en
negrillas un triángulo rectángulo formándose los catetos por segmentos infinitesimales.
Tabla 5.16
𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏)
𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕,𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))
∆𝒔 ∆𝒕 q
T P
184
5.5.6 Secuencia didáctica 5 Recta tangente-Gráfica-Derivada
1) Contexto
Se pretende que los alumnos puedan caracterizar puntos de una curva con la herramienta
matemática de la recta tangente variacional que se ha ido construyendo en las secuencias
anteriores.
2) Las herramientas matemáticas utilizadas
a) La tabulación
b) La gráfica
c) La recta tangente variacional
3) Los conocimientos requeridos para el uso de las herramientas
a) Qué es una función creciente y decreciente
b) Máximos y mínimos de una función
c) Razón de cambio instantánea
d) Ángulo de inclinación
4) Vínculo de las secuencias anteriores para construir nuevos significados
El punto como un segmento infinitesimal.
Que la curva se comporta como un segmento en una región infinitesimal.
Concebir a la curva como el ensamblaje de un conjunto de segmentos infinitesimales.
Que un segmento infinitesimal (como parte de una curva) se puede prolongar en ambos
sentidos formándose así la recta tangente.
La recta tangente tiene una posición en un punto y esta va cambiando en cada instante.
El comportamiento de la curva (su razón de cambio) es el mismo que el de la recta tangente
en ese punto.
185
La curva puede ser la representación gráfica de una función entre dos variables de tal forma
que se puede conocer la razón de cambio instantánea a partir de la pendiente de la recta
tangente.
Caracterizar que se puede conocer la razón de cambio instantánea a partir de un cociente
entre dos segmentos infinitesimales.
5) Las actividades son
a) Comparar
b) Inferir
c) Concluir
6) Construcción de nuevos significados
A partir de todo lo ya construido en las secuencias anteriores se pretende ahora que los
alumnos puedan construir gráficamente la función derivada, lo cual puede permitir ser una
introducción a la noción de derivada desde un punto de vista gráfico.
7) El funcionamiento y la forma
La construcción de esta secuencia no se llevó a cabo utilizando una fuente original, más
bien con todo lo visto anteriormente. Se pudo hacer gracias al uso de fuentes originales y
ahora se lleva a cabo una nueva secuencia en donde se utiliza a la herramienta matemática
de la recta tangente variacional.
186
Funcionamiento:
Esta gráfica en la secuencia sirve para que los estudiantes
caractericen a la curva con elementos de cambio y variación y a
partir de los cuales se pueda determinar la gráfica de la función
derivada, es decir cuándo la pendiente de la recta tangente es
positiva, negativa o vale cero y consecuentemente cómo influye
esto en la gráfica de la función derivada.
Forma:
Parábola que abre hacia arriba con puntos de intersección
definidos con números enteros sobre el eje X.
Funcionamiento:
Sirve para determinar en qué puntos la grafica de la función
derivada vale cero y cómo es el signo de la misma antes y después
de los puntos críticos.
Forma:
Función cúbica con puntos de intersección definidos con números
enteros en el eje X.
Tabla 5.17
5.6 El ambiente de trabajo
Los alumnos con los que se llevó a cabo la secuencia cursaban la materia de Pensamiento
del Cálculo Diferencial, les hacía falta un mes para terminar el semestre. Se escogieron 12
alumnos de 4 grupos, 3 grupos del turno matutino que cursaban la carrera de Técnicos en
Enfermería con Bachillerato y un grupo vespertino de la carrera de Técnicos en
Administración con Bachillerato. Es una modalidad que en el Estado de México se le
conoce como bivalente.
Los alumnos se seleccionaron por invitación de tres maestros (entre ellos el investigador) y
lo único que se les solicitó es que terminaran el trabajo realizado ya que este se llevaría a
cabo los sábados. También se les dijo que si eran puntuales y no tenían faltas se les podría
subir un punto extra en su calificación.
Hasta ese momento los alumnos habían visto temas trabajando con dos variables, como:
−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
187
1) Las variables, ejemplificando intervalos de variación y su representación.
2) La relación entre las variables a través de tablas, fórmulas y gráficas.
3) La función
4) Las gráficas de las funciones y análisis de:
a) Línea recta
b) Parábola
c) Función cúbica
d) Hipérbola (sólo un grupo matutino lo vio)
e) En todos los casos que se pretendía observar era: ¿qué tipo de curva es?, ¿cuál
es su dominio?, ¿cuál es su imagen?, ¿dónde es positiva?, ¿dónde se anula?,
¿dónde es negativa?, ¿Dónde crece?, ¿Dónde decrece? En su caso ¿Dónde es
continua o discontinua?, ¿Dónde tiene asíntotas?
5) La medición del cambio
6) Una notación operativa para cuantificar los cambios
7) ¿Cómo se comportan los cambios?
8) Razón de cambio promedio
9) Razón de cambio instantánea
10) Derivada
11) Ejercicios para derivar expresiones algebraicas.
Los profesores de la asignatura trabajaban principalmente el libro de: Una introducción a la
derivada a través de la variación de Dolores (1999) y otro de ellos (el investigador)
utilizaba tanto este libro como el de Elementos de Cálculo del Cálculo Salinas et al. (2002)
La forma de implementar la actividad fue organizando 4 equipos de 3 personas. Al inicio de
cada actividad tal vez se podría dar una pequeña introducción cuando era necesario. Por
ejemplo en el caso de la 2da secuencia en donde se utiliza una propiedad de semejanza de
triángulos rectángulos no vista actualmente en los programas de estudio (por lo menos en
los de secundaria y bachillerato) se le explicó primero a los alumnos en qué consistía la
propiedad, y en el caso de la cuarta secuencia en donde había que hacer desarrollos
algebraicos hubo un equipo que tuvo problemas con elevar al cuadrado la suma de dos
188
cantidades y algún problema de signo en donde intervino el profesor-investigador. Por lo
que respecta a lo demás prácticamente los estudiantes llevaron a cabo solos la actividad.
El desarrollo de cada actividad consistía en que los estudiantes leyeran primero para
posteriormente comenzar a discutir sobre la forma de resolver. Dependiendo de los que se
les solicitaba en ocasiones tenían que calcular, inferir, sacar conclusiones, todo ello usando
argumentos para convencer a sus compañeros.
Al término de cada secuencia se hacía una plenaria en donde los equipos exponían sus
resultados, posteriormente el profesor intervenía para recapitular lo dicho por los
estudiantes.
El profesor-investigador intervino filmando el desarrollo de la actividad, aunque no en todo
momento. Era la primera vez que los estudiantes eran video grabados y les costó trabajo
acostumbrarse. Sin embargo en el caso de las conclusiones que se vertían en las plenarias,
estas si se filmaron.
5.7 A manera de cierre
Se ha sistematizado un método para la construcción de las secuencias. El orden en que
fueron presentadas no fue aleatorio, se utilizó la historicidad que es una característica de la
práctica social para establecer tal orden. Por otro lado se retomó un texto original y se
adaptó a un lenguaje asequible para los estudiantes lo cual tiene que ver con sus
conocimientos previos del sistema escolar a donde pertenecen y de lo cual es consiente el
profesor-investigador.
A partir del fenómeno didáctico del cual hemos partido se ha problematizado el
conocimiento a partir del uso de la historia ya que esto nos permitió reconocer la práctica
de la tangente variacional que fue llevada a cabo por una comunidad de matemáticos que
tuvo la intención explícita de resolver el problema en cuestión organizando actividades
mediante el uso de herramientas matemáticas, las cuales daban cuenta de una matemática
funcional ya que les permitía resolver sus problemas, analizar su realidad. En esa época
tenía que ver con diversos problemas de cambio y variación para poder predecir, esto
189
último no es algo que se declare explícitamente en las obras antiguas, sin embargo se
infiere a partir de lo investigado (Cantoral, 2001).
Los significados surgen del usos de herramientas matemáticas que se requieren para poder
llevar a cabo las actividades en donde se retoman también los conocimientos previos para
resolver problemas lo cual en esta interacción herramienta-actividad-contexto surge la
construcción de significados, es decir se presenta la resignificación.
Nuestra investigación propone problematizar el objeto escolar recta tangente por medio de
la práctica de la tangente variacional. Esto tiene como consecuencia construir la noción
que en nuestra investigación hemos llamado recta tangente variacional. Una vez construida
sirve también de herramienta como una introducción a la derivada desde un punto de vista
gráfico.
Hemos constatado que los elementos del marco teórico han servido como base en el diseño
de cinco secuencias didácticas en donde se pretende que se construyan significados
inexistentes en el dME actual y que además dan cuenta de una matemática funcional ya que
sirve para poner el conocimiento en uso. Esto se manifiesta cuando un conocimiento
matemático es usado como herramienta para resolver actividades normadas por una
práctica social.
190
Capítulo VI
Análisis de los datos
6.0 Introducción
En este capítulo mostraremos los resultados obtenidos en la aplicación del diseño de las
secuencias con los estudiantes. Hemos considerado organizar los resultados con base a las
categorías que se encuentran presentes en nuestro modelo de construcción social del
conocimiento, es decir: usos, herramienta, actividad, resignificación, práctica de referencia,
funcionalidad y práctica social, mostraremos los resultados obtenidos por cada una de las
secuencias organizadas secuencialmente a partir de la secuencia didáctica 1. Primero se
hará el planteamiento de un fragmento de la secuencia, explicando la intencionalidad que se
pretende con ella, posteriormente se contrastará con la evidencia empírica la cual la
podemos encontrar en las producciones escritas de los estudiantes y se transcribirán algunos
fragmentos que se filmaron y que consideramos muestran evidencia de la categoría que se
está analizando. Finalmente se llevará a cabo un análisis con el cual se darán explicaciones
basadas en la teoría acerca de las producciones de los estudiantes. Para llevar a cabo dicho
análisis en cuanto al uso de las gráficas se buscará identificar cómo es que los estudiantes
hacen uso de ellas, contestando a preguntas puntuales del tipo, ¿qué hacen?, ¿cómo lo
hacen? y ¿para qué lo hacen? lo cual tiene que ver con la forma de la gráfica y su
funcionamiento.
En la secuencia didáctica uno no se transcribió fragmentos de la filmación. La razón es que
se estaba grabando por segunda ocasión con un nuevo grupo de trabajo puesto que el
anterior no pudo continuar. Accidentalmente se tomó el nuevo video pensando que era el
anterior y se grabó sobre él. En el caso de la secuencia didáctica 1se decidió hacer el
análisis solamente con las producciones escritas de los estudiante y con notas tomadas por
191
el investigador. Con respecto a la secuencia didáctica 2 el equipo 4 tuvo que asistir a una
actividad didáctica planteada por otro profesor y no pudieron evitarla, por lo tanto en esa
secuencia sólo se trabajó con tres equipos, tampoco se hizo un análisis de el video de la
secuencia didáctica 4 ya que consideramos que por la forma en que estaba diseñada, las
respuestas de los estudiantes estaban prácticamente en los mismos términos que sus
argumentos escritos.
Se formaron cuatro equipos de trabajo, tres con tres estudiantes y uno con dos, les vamos a
llamar en lo sucesivo E.1, E.2, E.3 y E.4.
6.1 Secuencia didáctica 1
6.1.1 Uso-Herramienta-Actividad
En la secuencia didáctica 1 se involucra el trabajo de Copérnico para demostrar que, si se
tienen dos puntos sobre una curva, con estos se forman arcos con respecto a un tercer
punto, de tal forma que la razón entre el arco mayor con respecto al menor va a ser mayor
que la razón de la mayor de las subtensas con respecto a la menor formadas por los mismos
puntos. Veamos lo anterior expuesto en la secuencia:
En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que
la razón entre la mayor y la menos de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico,
1543, pp. 48-49), y se presenta la siguiente figura:
Figura 1
Para lo cual se dice lo siguiente:
A
C B
192
“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo
que la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543,
pp. 48-49).
Expresado matemáticamente quedaría:
𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
Se tiene la intención de que los estudiantes reconozcan que cuando dos puntos sobre una
curva se encuentran muy cercanos entre sí, el comportamiento en esa pequeña región es
como el de una línea recta.
6.1.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad
Como ya hemos mencionado en nuestro marco teórico el uso lo podemos constatar por
medio de las actividades matemáticas en donde el uso del conocimiento matemático forma
parte de una actividad humana y social. De tal forma que esta es una primera base de
significados.
A partir de la apariencia perceptible de la gráfica queremos reconocer la forma en la que el
sujeto actúa con ella y sobre ella en una cierta tarea, la cual consiste en que los alumnos
emitan conclusiones acerca de lo que ocurre cuando dos puntos muy cercanos de una curva
se van acercando cada vez más y más. Para hacer uso de la gráfica pretendemos que el
estudiante empleé sus conocimientos sobre elementos geométricos, específicamente los
relacionados con circunferencia, radio, diámetro, triángulo equilátero, triángulo rectángulo,
la razón trigonométrica del seno de un ángulo, arco, cuerda, grados y radianes.
Las preguntas a contestar a partir de las producciones de los estudiantes son ¿qué hace?,
¿cómo lo hace? y ¿para qué lo hace?. Las dos primeras se encuentran relacionadas con la
forma de la gráfica y tienen que ver con la forma en que los estudiantes actúan en la tarea
que se les va a solicitar la cual consiste en que verifiquen qué es lo ocurre con una curva
cuando hay dos puntos de la misma que se van acercando cada vez más y más. Es un actuar
en un sentido amplio pues se trata de observar como los estudiantes: calculan, resuelven,
argumentan o incluso como representan con la gráfica y sobre ella (Buendía, 2012). Por
193
otro lado se debe de considerar el rol que juega la gráfica en la tarea que se les está
solicitando.
En la primera actividad los estudiantes obtuvieron una fórmula, para calcular la subtensa
entre dos puntos de una curva, la curva pertenecía a una parte de una circunferencia.
Haciendo uso de elementos de geometría y trigonometría los cuatro equipos participantes
llegaron a la fórmula que es:
𝐶 = 𝐷 �𝑠𝑒𝑛𝐺2�
Donde C es la subtensa y se representó con C para manejar un lenguaje más familiar con
los estudiantes, llamándole a la subtensa, cuerda “C”.
En la actividad 2 haciendo uso de la fórmula obtenida, se les solicita a los estudiantes:
A partir de la expresión obtenida en la 1ra actividad llenar las siguientes tablas
(redondear a tres cifras después del punto decimal):
Tabla 1
Ángulo central (Grados) Valor de la Subtensa (Cuerda)
48
24
12
6
3
1.5
194
Arco 𝐴𝐵� Arco
𝐴𝐶�
Subtensa
𝐴𝐵���� Subtensa
𝐴𝐶���� Razón
𝐴𝐵��𝐴𝐶� =
Razón 𝐴𝐵��������𝐴𝐶���� =
48 24
24 12
12 6
6 3
3 1.5
Tabla 2
¿Qué ocurre con la relación 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararla con respecto a
𝐴𝐵����𝐴𝐶����?
A lo cual el E.2 contesta lo siguiente:
Fig. 6.1
195
En donde se hace uso de la expresión obtenida para calcular la subtensa (cuerda) pero
también de la expresión:
𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
La cual denominamos como la herramienta matemática empleada para llevar a cabo
actividades de calcular, e inferir. El equipo infiere que entre más pequeña sea la subtensa
más se va acercando a la razón del arco.
El E.4 tiene el llenado de sus tablas prácticamente igual y sus respuestas escritas son las
siguientes:
Fig. 6.2
Una diferencia en las respuestas es que este equipo infiere que las razones de las subtensas,
comparándola con las razones de los arcos, llegaran a ser las mismas.
El E.3 contesta más o menos en los mismos términos que el E.2 y el E.1 contesta:
196
Fig. 6.3
El equipo tiene la idea que de que ambas llegaran a ser iguales conforme los puntos se van
acercando, sin embargo tienen alguna confusión al expresarse con respecto al diámetro.
En la secuencia se pregunta:
¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí
con respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?
A lo cual el E.1 responde:
Fig. 6.4
El E.4 responde de manera similar sólo que dice que la curva se vuelve recta. En el caso del
E.3 dice que “va a ver una mayor aproximación al punto A” y el E.2 menciona “...el valor
del arco se va acercando al valor de la subtensa”. Estos dos últimos equipos no mencionan
explícitamente ideas sobre cómo la curva se comporta como una recta, más bien las ideas
197
son con respecto a una aproximación o acercarse a un valor y que tienen que ver con el
llenado de sus tablas.
En la tercera actividad de la secuencia se les solicita a los estudiantes el llenado de una
tabla similar al de la tabla 2 pero ahora los arcos 𝐴𝐵� 𝑦 𝐴𝐶� se hace cada vez más pequeños
de tal forma que se pretende que los estudiantes saquen conclusiones a partir de comparar
los resultados la tabla.
Después de llenar la tabla se les pide contestar lo siguiente:
¿Qué ocurre con respecto al teorema sexto de Copérnico?
¿Qué podemos concluir?
¿Cómo se comporta una curva conforme dos puntos de ella se encuentran muy cercanos?
¿Habrá alguna relación entre la curva y una recta en una vecindad muy cercana
(infinitesimal)?
Dos equipos (E.1 y E.4) contestan en los mismos términos, explicando cómo la curva se
llega a convertir en una recta o en un segmento. El E.3 contesta que cada vez va a ver una
mayor aproximación pero siempre existirá una diferencia. El E.2 contesta de manera similar
al E.3 mencionando que siempre va a ver una pequeña diferencia entre el arco y la
subtensa.
Veamos algunas respuestas. E.4:
Fig. 6.5
198
Fig. 6.6
El E.4 infiere que al final la subtensa y el arco se comportarán de igual manera.
Algunas respuestas del E.1 son:
Fig. 6.7
6.1.1.2 Elementos del modelo puesto en juego
Usos: El concerniente al teorema VI de Copérnico, el cual fue empleado para que se
pudieran llevar a cabo actividades como son: calcular, comparar e inferir y que a partir de
la ejecución de las mismas se construyera un significado.
Herramienta: Las herramientas matemáticas utilizadas son:
199
a) 𝐶 = 𝐷 �𝑠𝑒𝑛 𝐺2�
b) 𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
Las cuales sirvieron para calcular el valor de las subtensas y llenar las tablas, gracias a lo
cual se podían llevar a cabo las actividades de comparar e inferir.
Actividades: Las actividades son aquellas acciones organizadas con la intención de
resolver un problema, cada una de ellas va a tener un significado dependiendo del contexto
bajo el cual se encuentre situada, “Medir, por ejemplo es una actividad regulada por una
necesidad de orden mayor cuyo origen, práctico o teórico, depende del contexto o
circunstancia que la envuelve.” (Montiel, 2011, p. 108). En esta secuencia las actividades
organizadas a través de la práctica de la tangente variacional son: calcular, comparar e
inferir, por ejemplo cuando se le solicita a los estudiantes que contesten si se sigue
cumpliendo el teorema VI de Copérnico cuando los punto B y C se acercan cada vez más y
más al punto A, se hace el llenado de una tabla. Haciendo cálculos y comparaciones se
lleva a cabo la inferencia de que cuando dos puntos son muy cercanos entre sí se comportan
como una línea recta en esa pequeña región.
6.1.1.3 Análisis de los datos
Se hizo uso de un conocimiento de antaño. Este se llevó a cabo bajo un contexto de cambio
y variación en donde se planteó la ejecución de actividades por medio de herramientas
matemáticas y gracias a esta interacción herramienta-actividad se construyó un significado.
Querer predecir las posiciones de los cuerpos celestes llevó a Copérnico a hacer uso de las
matemáticas como una herramienta, se dio cuenta que cuando dos puntos situados en una
curva se acercaban más y más, la región así formada se comportaba como una recta, esto lo
ayudó a elaborar tablas que le permitirían hacer sus cálculos astronómicos, para tal efecto
se auxilió de argumentos geométricos, así como de una representación gráfica. Un
significado de inicio para la construcción de la tangente desde un punto de vista variacional
tiene que ver con reconocer precisamente que una curva se comporta como una línea recta
siempre y cuando se esté hablando de dos puntos muy cercanos de la misma.
200
Para que los estudiantes construyan el significado anterior se hizo uso de la herramienta
matemática empleada por Copérnico, lo cual diremos que es un conocimiento puesto en
uso y que de acuerdo a nuestro marco teórico reconocemos como herramienta. Los
estudiantes pudieron constatar en base a sus actividades llevadas a cabo como calcular e
inferir, que efectivamente una curva se llega a comportar como una recta siempre y cuando
se haga referencia a dos puntos muy cercanos de la misma.
La forma de la gráfica responde a la pregunta, ¿cómo se usa la gráfica?, en nuestro caso la
respuesta estuvo en función de cómo resuelven los estudiantes lo solicitado. La secuencia
guió a los estudiantes para que obtuvieran una expresión matemática que permitiría
calcular las subtensas (cuerdas) de los diferentes arcos que iban a surgir al acercar dos
puntos de una curva. Para ello hicieron uso de conocimientos geométricos básicos que
tenían de Geometría Euclidiana vista con anterioridad. Con respecto a la forma de la gráfica
también se pudo contestar a la pregunta, ¿cómo argumentan los alumnos?, para lo cual
vimos que hay dos equipos que argumentan en base a los resultados de sus tablas y también
acerca de que la razón de las subtensas se va acercando a la razón entre los arcos. Los
equipos E.1 y E.4 contestaron también en base a sus tablas que la curva se convertiría en
recta y otro equipo dijo que se convertiría en segmento. En cuanto al rol que jugó la gráfica
es que sirvió para que los estudiantes pudieran inferir que un arco formado por dos puntos
se puede llegar a comportar como una línea recta, siempre y cuando dos puntos se
encuentren lo suficientemente cercanos entre sí.
El análisis hecho por los estudiantes es un planteamiento que no se lleva a cabo en el
discurso matemático escolar actual, pero que es importante en la construcción de la recta
tangente. El recurrir a la historia desde nuestra postura teórica, nos permitió diseñar una
secuencia por medio de la cual los estudiantes pudieran construir este primer significado y
que servirá de base para caracterizar a una curva, así como también para las siguientes
secuencias.
201
6.1.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
En la secuencia se presentan dos arcos que tienen un punto común y dos puntos que no lo
son. Se presenta el teorema VI de Copérnico que dice que la razón entre los dos arcos (el
mayor con respecto al menor) es mayor que la razón de las subtensas formadas con
respecto a los mismos puntos (la mayor con respecto de la menor). Al comparar esas dos
razones, siempre es “mayor” la razón conformada por los arcos, la herramienta matemática
utilizada para representar esto es:
𝐴𝐵�𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
Se solicitó a los estudiantes observar la relación al ir acercando cada vez más y más los
puntos B y C al punto A, es decir observar los cambios y la forma de cuantificarlos a partir
del cociente y las continuas comparaciones que se van llevando a cabo.
En el análisis llevado a cabo por Castañeda (2004) y reportado en nuestro Estado del Arte
se menciona como un elemento importante la descripción de los comportamientos de las
curvas a partir de elementos gráfico-visuales. Esta idea se emplea en la secuencia didáctica
y se pretende que los estudiantes hagan conjeturas en base a los comportamientos que tiene
la curva y que se pueden verificar al comparar los resultados que se van plasmando en una
tabla la cual lleva a resultados que permiten argumentar a los estudiantes.
Cuando se tiene un punto de una curva y se “deja fluir” para tener otro punto infinitamente
cercano y se comparan las ordenadas de estos dos puntos se obtiene un infinitesimal, el cual
es una magnitud infinitamente pequeña y estrictamente hablando no se debería de poder
ver. Sin embargo se pueden ilustrar a partir del uso de las gráficas.
En el teorema sexto enunciado por Copérnico y que usamos en esta secuencia didáctica 1,
no se utilizan las ordenadas. Sin embargo el hecho de analizar qué ocurre con la curva
cuando se tienen dos puntos muy cercanos de la misma, es una idea que se retoma y se
puede implementar a partir de la herramienta matemática mencionada anteriormente
conjuntamente con la representación gráfica empleada. La idea de infinitesimal y su
representación gráfica no se encuentran en nuestro actual currículo, sin embargo la historia
ha mostrado que fue una idea sobre la que se pudo ir construyendo para llegar
202
posteriormente a métodos más generales de resolución de diferentes problemas, en nuestro
caso el problema de las tangentes. Planteamos por tanto que retomar esta idea en una
didáctica actual permitirá servir como base para la construcción de la tangente variacional.
6.1.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Intencionalidad
La respuesta a la pregunta hecha por la secuencia:
¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí
con respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?
La respuesta del E.1 se muestra en la fig. 6.4. Queremos hacer énfasis en lo que dicen:
“dejarían de ser arcos y se convertirían en pequeños segmentos”. Argumentan a partir de un
análisis realizado en función de lo que ocurre cuando los punto se encuentran muy cercanos
entre sí, (apoyándose en la tabla, por ejemplo en la tercera actividad), A los estudiantes se
les presenta el teorema VI de Copérnico el cual muestra la herramienta matemática de 𝐴𝐵�𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶���� , se usa para constatar que la razón entre los arcos de una curva es mayor que la
razón entre las subtensas con los mismos puntos. Pero si los puntos se van acercando cada
vez más y más, esto se deja de cumplir, de tal forma que ahora la desigualdad anterior se va
a convertir en una igualdad por lo que la curva se comportará como una línea recta en esa
pequeña región entre dos puntos muy cercanos entre sí.E.1 y el E.4, en la figura 6.6 hacen
alusión a dos puntos muy cercanos de una curva. El equipo dice que la curva se comporta
como una recta por lo que hay dos puntos infinitamente cercanos.
De inicio el significado que se tenía es que: la razón entre los arcos es mayor que la razón
entre las cuerdas que subtienden. Ese significado se resignifica, ahora se adquiere un nuevo
significado: que la curva se va a comportar como un segmento, veamos evidencia por
medio de como la plantea el E1:
203
Fig. 6.8
En la respuesta se observa que hay una confusión respecto al uso del concepto de diámetro,
sin embargo se puede notar que tienen claro cuándo se cumple el teorema sexto de
Copérnico y cuándo deja de cumplirse.
6.1.2.2 Elementos del modelo puesto en juego
Práctica de referencia: La práctica es la de la tangente variacional. Se han organizado
actividades intencionalmente en un contexto de cambio y variación, esto lo podemos ver
manifestado cuando los estudiantes hacen aseveraciones como: “en ese momento dejarían
de ser arcos y se convertirían en segmentos” lo cual tiene que ver con la forma en cómo
argumentan los estudiantes por medio de la forma de la gráfica. La respuesta anterior se dio
en base al análisis que llevaron a cabo los estudiantes cuando para dos arcos con un punto
común (en donde el arco mayor está sobre el menor), sobre la misma curva y cuyos puntos
no coincidentes se van acercando cada vez más y más.
Resignificación: Se puede ver presente la resignificación como una construcción en la
organización del grupo humano. En este caso primero se establece que existe una
desigualdad cuando hay dos arcos con un punto común envolviendo a las subtensas que se
forman con los mismos. Sin embargo el ir acercando a los dos puntos al punto común
permite ir construyendo un significando diferente el cual tiene que ver con que una curva se
comporta como un segmento siempre y cuando se tengan dos puntos muy cercanos de la
misma, de aquí también podemos constatar el funcionamiento de la gráfica y tiene que ver
con el rol que juega en la construcción de conocimiento. En las secuencias posteriores la
204
resignificación se observa con la construcción de significados en la organización del grupo
humano, sin embargo además, como se menciona en nuestro marco teórico, un significado
se puede retomar para irse enriqueciendo sin perder su significación inicial pero
robusteciéndose, formando nuevos significados.
Funcionalidad: La idea de la funcionalidad tiene que ver con poder utilizar un
conocimiento o herramienta matemática en otro contexto diferente al de donde se construyó
inicialmente y/o también que permita resolver o hacer descripciones de la realidad.
Específicamente en el caso de nuestra secuencia no solicitamos a los estudiantes que con el
conocimiento construido hagan o resuelvan problemas, sin embargo en la tesis de maestría
de Serna (2007) se plantea que al llegar la conclusión de Copérnico, “Luego, como vemos
hemos llegado a un punto, en el que la diferencia entre recta y la curva que la envuelve
escapa a los sentidos, como convertidos en una sola línea” (p. 70); esta idea es funcional ya
que le permitió a Copérnico establecer tablas para diferentes arcos en función de subtensas
y poder así establecer posiciones de cuerpos celestes. En las secuencias posteriores damos
evidencia de la funcionalidad de cada uno de los significados que se van construyendo.
6.1.2.3 Análisis de los datos
Con base a los datos obtenidos vemos que al trabajar en un contexto de cambio y variación
se posibilita que los estudiantes contesten los planteamientos hechos en la secuencia. En la
misma se organizaron actividades por el investigador con la intención específica de que se
construyera el significado de que la curva se comportara como una línea recta (o un
pequeño segmentos) en la región de la misma que se encuentre entre dos puntos muy
cercanos. Esto se logró en dos de los cuatro equipos participantes.
Planteamos que en trabajos futuros sería adecuado hacer algunos agregados a la secuencia
por ejemplo, además de comparar los valores de una tabla esto se complementará
representando visualmente los punto B y C acercándose cada vez más a el punto A, de tal
forma que este fuera un elemento más que pudiera ayudar a construir el significado que se
pretende.
205
6.2 Secuencia didáctica 2
6.2.1 Uso-Herramienta-Actividad
En la secuencia didáctica 2 se utiliza el lema IX del libro de los principios matemáticos de
Newton:
Si una línea recta AE y una curva ABC, ambas con una posición dada, se cortan en un
ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se aplican ordenadamente BD
y CE interceptando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran
en el punto A, afirmo que las áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente
en última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.
Figura 6.9
Vemos un conocimiento de antaño puesto en uso, por ejemplo el hecho de establecer la
semejanza entre dos triángulos rectángulos a partir de la razón entre las áreas con respecto a
la razón entre los cuadrados de los lados homólogos, pero para que se de tal semejanza
ambos triángulos tendrían que compartir la misma hipotenusa. Eso se da siempre y cuando
los puntos B y C se encuentren lo suficientemente cercanos del punto A, ya que de esa
forma la curva se comporta como un segmento y por lo tanto tanto el punto B como el C
estarían sobre la misma línea recta que sería la hipotenusa de dos triángulos infinitesimales.
206
Los propósitos que perseguimos responden básicamente a preguntas: Qué hace, cómo y
para qué. El qué hacen los estudiantes pretendemos se conteste con el punto 1 siguiente, así
como también se evidenciará a partir de las actividades de comparar y calcular enunciadas
en el punto 2. El cómo lo hace se enuncia en el punto 2 a partir de corroborar cuándo se da
la semejanza de triángulos y en el punto 3 se enuncia el para qué de la gráfica, a partir de
las producciones de los estudiantes:
a) Que usen herramientas matemáticas como las empleadas por Newton, que son
aquellas para establecer la semejanza entre dos triángulos rectángulos como la
enunciada en su lema IX del libro de Principios Matemáticos
a) Las herramientas tienen sentido en el contexto en el que se están utilizando y
se pueden emplear ya que se ha considerado los conocimientos previos de
los estudiantes.
b) La relación actividad-herramienta con el conocimiento puesto en uso toma
en cuenta el conocimiento anterior y genera la construcción de nuevos
significados.
b) Que los estudiantes puedan verificar a partir de las actividades de comparar y
calcular que va a existir un momento en que los triángulos ABD y ACE se van a
convertir en triángulos semejantes. Esto se va a llevar a cabo cuando los puntos
B y C se acerquen y se encuentren en una región infinitesimal con respecto al
punto A.
c) Que ratifiquen que una pequeña porción de la curva se va a comportar como una
línea recta pero por otro lado esta pequeña línea recta se va a convertir en la
hipotenusa común a los dos triángulos infinitamente pequeños y por lo tanto
estos se llegarán a convertir en triángulos semejantes.
6.2.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad
Se podrá dar evidencia empírica de usos de conocimiento matemático cuando se empleen
herramientas matemáticas para resolver actividades que tendrá como objetivo la
construcción de significados. Otra forma de dar evidencia es cuando los estudiantes
207
contestan a preguntas en donde se enuncia el lema IX enunciado por Newton en su obra
“Principios Matemáticos”
La herramienta matemática utilizada es aquella que dice que cuando dos triángulos
rectángulos son semejantes se cumple:
Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐸����
𝐴𝐷����22
Suponiendo dos triángulos rectángulos cuyos lados homólogos son: 𝐴𝐸���� y 𝐴𝐷����
Para llevar a cabo lo anterior los estudiantes llevan a cabo las actividades de calcular:
Al evaluar la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 en los diferentes puntos sugeridos y que es la que
representa a la curva.
También se llevan a cabo las actividades de comparar y aproximar. Conforme se va
llenando la tabla solicitada en donde los puntos B y C se van acercando cada vez más y más
al punto A.
Se da evidencia del uso de herramienta matemática cuando es llenada la tabla 1 solicitada,
por ejemplo el E2 contestó:
Figura 6.10
208
En la secuencia se dice:
Conforme los puntos B y C son cada vez más próximos al punto A también los
segmentos 𝐷𝐵���� 𝑦 𝐸𝐶���� se hacen cada vez más y más pequeños, podemos ir viendo lo que
va ocurriendo al comparar la razón entre las áreas de los triángulos Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados 𝐴𝐸����2 𝑦 𝐴𝐷����2. ¿Qué
nos puedes decir al respecto?
La respuesta a la pregunta da evidencia de las actividades realizada con el uso de la
herramienta empleada. El E1 contesta:
Figura 6.11
Los argumentos utilizados por los alumnos tienen que ver con que los puntos B y C se
vayan acercando cada vez más al punto A. Ellos se dan cuenta que va a llegar un momento
que los triángulos llegarán a ser semejantes.
Esto lo contrastamos con la grabación hecha al respecto:
E.2, Joan: Entre los intervalos sean más pequeños, más se va acercando el área…
Profesor: La razón entre las áreas
Joan: La razón entre las áreas con respecto a la razón entre los cuadrados de los
catetos, entre más pequeños sean, más se van acercando a la ley de Newton.
E.3, Reyna: los triángulos no son semejantes.
Profesor: Pero al comparar las columnas 7 y 8, al comparar las razones entre las
áreas con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados, ¿no se fueron
acercando estos valores?
209
Reyna: No,
Profesor (dirigiéndose al E.1): como son los dos últimos valores:
E.1: 2.27 y 2.53
Profesor (dirigiéndose al E2): A ustedes que les dio,
E.2: 2.65 y 2.46
Profesor: Hay probablemente algún pequeño error, pero los valores se van
acercando cada vez más y más…
Profesor: Después se pregunta si se cumple el lema IX enunciado por Newton.
E.2, Joan: Sí se cumple, ya que entre más pequeños sean los lados, más se va
haciendo igual la razón entre las áreas con respecto a la razón entre los cuadrados,
que era lo que decía Newton.
E.1, Andrea: En última instancia serán iguales.
Con respecto a las conclusiones de la actividad 2
En la actividad 2 se plantea:
Una forma de poder sacar conclusiones de lo que ocurre conforme los puntos B y C se
acercan cada vez más y más al punto A (siendo el valor de 𝐸𝐶���� > 𝐷𝐵����), es observar lo
que está pasando con los valores de la tabla 2 en sus columnas 7 y 8,… algo está
ocurriendo con las figuras que se encuentran ahí, ¿qué conclusiones podrías dar de lo
que va ocurriendo con las figuras (triángulos, líneas) conforme los puntos B y C se
aproximan más y más a el punto A?
Profesor: ¿Qué va pasando con respecto a los triángulos?
E.2, Joan: Los triángulos se van haciendo semejantes, se van haciendo iguales,…
Profesor: ¿Iguales o semejantes?
210
E2, Joan: Semejantes, o entre más pequeños más se hacen semejantes.
Nuevamente es el argumento de que los triángulos llegarán a ser semejantes pero siempre y
cuando se vayan haciendo cada vez más pequeños.
Se sigue planteando en la actividad 2:
A partir de los resultados de la tabla se pueden establecer conjeturas geométricas:
¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente
próximos al punto A?
Profesor: ¿Cómo serán los triángulos?
E.1, Andrea: Van a llegar a ser semejantes.
Los otros equipos coinciden con la respuesta anterior.
Con respecto a lo que se pretende del punto 3 de 6.2.1, tenemos lo siguiente:
En la secuencia se propone lo siguiente:
Observa que la línea AC que es uno de los lados del ∆𝐴𝐶𝐸 al prolongarse se forma la
línea Ac, imagina como va a ir cambiando esta línea Ac (toma en cuenta que Ac es la
prolongación del segmento 𝐴𝐶���� de el triángulo ∆𝐴𝐶𝐸 ) conforme los puntos B y C se van
aproximando más y más a el punto A, ¿cuál será su posición límite de esta línea Ac?
Si los puntos B y C están infinitamente próximos a el punto A, tendremos también unos
triángulos infinitamente pequeños, vamos a imaginar lo que va a ir ocurriendo conforme
los puntos B y C van cambiando de posición acercándose cada vez más y más a el punto
A con los pequeños arcos 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y la línea Ac que se está moviendo, ¿crees que haya
alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?
211
Conforme los puntos B y C se aproximan cada vez más al punto A, digamos que se
encuentran infinitamente cercanos, en esa pequeña región ¿cómo será el comportamiento
de la curva?
Las respuestas a las preguntas planteadas en el E.3 son las siguientes:
Figura 6.12
En el video:
Profesor: ¿En qué posición quedará la línea Ac?
E.3, Alejandra: Sería la hipotenusa
Profesor: ¿Sería la hipotenusa de quien?
E.3, Alejandra: Del triángulo…
Profesor: Imagínate que lo podamos poner ahí (señalando al pizarrón)
E.3, Reyna: La línea va a ser casi vertical.
212
Profesor: Refiriéndose al E.2, ¿tú qué opinas Joan?
E.2, Joan: Casi lo mismo que ellas
Profesor: ¿va a quedar casi vertical?
E.2, Joan: Aja, va a quedar casi vertical conforme se va cerrando.
En el E1, también llegaron a la misma conclusión.
6.2.1.2 Elementos del modelo puestos en juego
La Herramienta matemática: Es aquella que le ha permitido a los estudiantes amplificar
sus capacidades para resolver un problema o enfrentar una situación. En este caso poder
comparar qué ocurre cuando dos puntos de una curva (cada punto es vértice de un triángulo
rectángulo) y que tienen otro vértice común, se van acercando cada vez más y más.
Esta herramienta fue construida en base a los conocimientos previos de los estudiantes
sobre: triángulos semejantes, triángulo rectángulo, la división y la evaluación de una
función de segundo grado. A su vez permitió llevar a cabo actividades por medio de las
cuales se llevó a cabo la construcción de significados.
Las Actividades: Las podemos observar como aquellas acciones llevadas a cabo por los
estudiantes y que fueron organizadas en una situación. Estas actividades tenían la
intencionalidad específica de observar qué pasaría cuando dos puntos se acercan más y
más. Las actividades efectuadas fueron las de calcular, comparar y aproximar. Se pudieron
efectuar gracias al uso de herramientas matemáticas y en un contexto de cambio y
variación.
El uso del conocimiento: El planteamiento de la situación se refiere al uso de la
herramienta matemática que consiste en comparar la razón entre dos áreas de triángulos
rectángulos semejantes: Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre a dos de sus lados
homólogos: 𝐴𝐸����2𝐴𝐷����2 que es un conocimiento de antaño. Con lo anterior se pueden llevar a cabo
actividades. Como aquellas llevadas a cabo por Newton y que se encuentran presentes en
un contexto de cambio y variación (esto lo inferimos ya que frases como: “…los puntos B y
213
C se aproximan y se encuentran en el punto A” o también: “afirmo que las áreas de los
triángulos ABD y ACE serán respectivamente en última instancia como los cuadrados de
los lados homólogos….” Estos usos de conocimiento puestos en juego, Herramienta,
Actividades y significados propios del contexto de origen, se han cristalizado en la
situación planteada y han permitido que los estudiantes construyan significados.
Lo que los alumnos hicieron fue determinar si dos triángulos son semejantes a través de
evaluar una función cuadrática con dos puntos que se van acercando cada vez más y más.
En base a estos acercamientos observar lo que ocurre con respecto a la semejanza de los
triángulos rectángulos. Se utilizó el conocimiento de antaño mencionado en el lema IX del
libro de Los Principios Matemáticos de Newton. El rol que jugó la gráfica permitió que los
alumnos dieran evidencia que la región en donde la curva se comporta como una recta tiene
una inclinación ya que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo; esto lo podemos ver con
el E.3 quien dijo que la curva llega a comportarse como una línea recta por lo tanto forma
parte de un lado del triángulo. Anteriormente haciendo alusión a la recta Ac mencionó que
esta recta pasaría por los dos vértices de cada triángulo; este equipo también mencionó que
los triángulos llegarían a ser semejantes (fig. 6.12).
6.2.1.3 Análisis de los datos
Con base a los datos obtenidos y comparando con lo que se pretendía, observamos que
efectivamente el conocimiento puesto en uso del lema IX de Newton de sus Principios
Matemáticos, al usar la herramienta matemática empleada para calcular y comparar, llevó a
que los alumnos construyeran nuevos significados además del que una curva se comporta
como una línea recta en la pequeña región de la misma que se encuentra entre dos puntos
muy cercanos de la misma. Se puede agregar a lo anterior que esa pequeña recta tiene una
inclinación, esto en base a un conocimiento previo que tenían los estudiantes sobre
triángulos semejantes, triángulo rectángulo, evaluación de funciones de segundo grado, así
como operaciones de: sumar, restar y elevar al cuadrado números enteros.
Reconocemos que la pequeña porción de la curva que se comporta como una línea recta
con cierta inclinación son los significados que se construyeron y están asociados con una
pequeña porción de la curva siempre y cuando dos puntos de la misma se encuentren
214
infinitamente cercanos entre sí. Así lo expresó uno de los equipos (figura 4) que dice: “que
la curva llega a comportarse como una línea recta, por lo tanto forma parte de un lado de un
triángulo”. Lo anterior se logra en un contexto de cambio y variación, pues los estudiantes
llevan a cabo la actividad de comparar el comportamiento de los puntos de una curva que se
van acercando cada vez más y más, y en base a eso pueden sacar conclusiones a partir de
las tendencias que observan en sus tablas.
Con respecto al significado de que la hipotenusa de los pequeños triángulos semejantes
formados tiene una inclinación, la cual sería la inclinación de la línea Ac (recta tangente, la
cual se formará al extender la hipotenusa en ambos sentidos), se construyó parcialmente.
Decimos lo anterior ya que el E.3 mencionó que la línea A va a pasar por dos vértices de
cada triángulo, evidentemente se refiere a la hipotenusa de los pequeños triángulos
semejantes formados, lo cual se confirma con lo que se muestra en la grabación en donde
Alejandra dice que la línea Ac será la hipotenusa del triángulo. Además con respecto a la
pregunta planteada en la situación donde se cuestiona cómo serán los triángulos ACE y
ABD conforme los puntos B y C están infinitamente próximos al punto A, el E.3 contesta
(figura 4) que los triángulos serán infinitamente pequeños conservando sus ángulos y
convirtiéndose en triángulos semejantes. A pesar de eso posteriormente dicen que la línea
Ac va a ser casi vertical con lo cual coinciden los demás equipos, de tal forma que los
equipos coinciden en que esa línea Ac se va moviendo pero al final dicen que va a quedar
con un ángulo casi de 90°. Esta parte nos sirve para considerar en un futuro hacer algún
cambio a la secuencia que permita que los estudiantes puedan ver que la recta tangente va a
tener una inclinación y que esta es la de la hipotenusa de los triángulos rectángulos
formados.
6.2.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
En la secuencia didáctica 2 se presenta la práctica de la tangente variacional, en donde hay
un contexto de significación propio de una forma de tratar el problema de la tangente. En
este caso el contexto se ve manifestado con elementos de cambio y variación, así como una
forma de abordar y argumentar para dar explicaciones en donde los elementos geométricos
son medios con los que se dan explicaciones. Por otro lado organizar actividades con la
215
intención de resolver un problema usando ideas previas posibilita la construcción de nuevos
significados (que tienen como base las ideas previas) en el proceso de resolver el problema.
Por ejemplo frases enunciadas en el lema IX como:
…los puntos B y C se aproximan y se encuentran en el punto A, afirmo que las áreas de
los triángulos ABD y ACE serán respectivamente en última instancia como los
cuadrados de los lados homólogos.
Muestran la significación propia de plantear el problema. La figura misma en donde se hace
uso de la geometría para dar una explicación es otro de los elementos contextuales a
considerar.
Se pretende que los estudiantes:
1. Construyan lo ya mencionado en el punto 6.2.1, considerando la significación
propia de una práctica.
2. Utilicen las ideas previas (de la secuencia anterior), en la situación cuyas
actividades han sido organizadas (por el profesor) con la intención de que se
imprima un contexto de cambio y variación en un ambiente geométrico, lo cual
permita la construcción de nuevos significados. En este caso se pretende que los
alumnos retomen el conocimiento construido en la secuencia didáctica uno y que
dice que dos puntos de una curva se comportan como una recta, siempre y cuando
ellos se encuentren muy cercanos entre sí. Se trata de retomar esta idea agregándole
un nuevo significado el cual consiste en construir la idea que la pequeña región en
donde la curva se comporta como una recta puede ser considerada la hipotenusa de
un pequeño triángulo rectángulo y que por lo tanto tiene una inclinación. Esto es la
resignificación.
3. Se pueda resolver un problema en otro contexto, en nuestro caso un problema en
donde dada una función de dos variables (no representadas por una línea recta
solamente, sino también una función cuadrática), haya que determinar la velocidad
instantánea. Una forma de identificar la funcionalidad es cuando se utilicen los
significados construidos para resolver el problema de calcular la velocidad que se
plantea.
216
6.2.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
Los usos de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades organizadas
intencionalmente, son evidencia de una práctica. Sin embargo, además se podrá dar
evidencia empírica cuando se detecten argumentos de la práctica de la tangente variacional,
por ejemplo aquellos en donde se usen elementos de tipo geométrico en un contexto de
cambio y variación, los cuales se resignifiquen y sirvan para resolver problemas de la
realidad.
En la secuencia didáctica dos se dice (está respuesta ya la habíamos analizado pero ahora
pondremos atención al lenguaje manejado, propio de un contexto, así como a la
resignificación):
A partir de los resultados de la tabla se pueden establecer conjeturas geométricas:
¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente
próximos al punto A?
Observamos que en la redacción anterior se encuentran elementos de tipo contextual
propios de la práctica, como son el cambio y variación, así como lo geométrico.
El E.3, contestó al respecto:
Fig. 6.13
Al contrastar esto con el video:
217
El profesor pregunta al E.1: ¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los
puntos B y C están infinitamente próximos al punto A?
E.1, Andrea: Son semejantes.
Profesor: Dirigiéndose al E.2, ¿tú qué piensas Joan?
E2, Joan: Igual, que son semejantes porque conforme la curva va disminuyendo se
va comportando más como una recta.
Existe otros momentos en la grabación en donde se expresa un lenguaje de cambio y
variación. Hay un momento en el video en donde se observa que el profesor intenta que los
estudiantes expresen si han utilizado un argumento diferente al de la secuencia didáctica
uno retomando algunas ideas pero haciendo uso de lo nuevo visto en esta secuencia.
Profesor: Dentro de esta secuencia, ¿habría algo, algún argumento para decir que la
curva en una región muy cercana se comporta como una recta?
E.2, Joan: El intervalo pequeño.
Profesor: ¿y por qué el intervalo pequeño nos dice que se comporta como una
recta?
E.2, Joan: Por que entre más chico el intervalo, más chico el ángulo,
comportándose casi como una recta.
Profesor, dirigiéndose al E.3: A ver Reyna.
E.3, Reyna: El arco se va haciendo más pequeño y puede ser que forme uno de los
lados del triángulo…
El argumento empleado por el E.3 tiene que ver con lo que va a ocurrir cuando el arco sea
lo suficientemente pequeño. En ese momento la curva se comporta como línea recta y pasa
a ser de acuerdo por lo dicho por el E.3 uno de los lados del triángulo.
218
También se plantea en la secuencia:
Si los puntos B y C están infinitamente próximos a el punto A, tendremos también unos
triángulos infinitamente pequeños, vamos a imaginar lo que va a ir ocurriendo conforme
los puntos B y C van cambiando de posición acercándose cada vez más y más a el punto
A con los pequeños arcos 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y la línea Ac que se está moviendo, ¿crees que haya
alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?
El E.3 contesta:
Fig. 6.14
Ya habíamos visto esta respuesta con anterioridad, aunque ahora deseamos poner énfasis en
que el lenguaje utilizado haciendo uso de elementos de tipo geométrico. En la siguiente
pregunta de esta parte de la secuencia se plantea:
Conforme los puntos B y C se aproximan cada vez más al punto A, digamos que se
encuentran infinitamente cercanos, en esa pequeña región ¿cómo será el comportamiento
de la curva?
A lo que el E.3 contestó:
Fig. 6.15
219
Los equipos contestan de manera similar. La respuesta de alguna forma retoma lo que ya se
había visto con anterioridad en la secuencia anterior, es decir hay una resignificación ya
que al significado de que una curva se comporta como una línea recta entre dos puntos que
se encuentran infinitamente cercanos entre sí, es ampliado cuando además se la asocia a
esta pequeña línea recta un ángulo de inclinación.
También podemos dar evidencia de la funcionalidad, en el sentido de que se usa el
conocimiento para resolver un problema de la realidad, así como para analizarla y
reflexionar sobre la misma.
En la tercera parte de la secuencia se pide a los equipos que calculen la velocidad
instantánea de un cuerpo cuya relación entre desplazamiento y tiempo se encuentra dado
por una expresión de segundo grado de dos variables. Para ello lo que se requiere es que los
alumnos usen la fórmula de la pendiente vista en su semestre anterior:
𝑚 = 𝑣 = 𝑠2 − 𝑠1𝑡2 − 𝑡1
= 𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)𝑡2 − 𝑡1
Se les recuerda a los estudiantes que esta fórmula es empleada en el caso de una línea recta
y lo que se requiere es que ellos utilicen los conocimientos adquiridos, es decir que sepan
que la fórmula se puede utilizar para dos puntos de una curva siempre y cuando los puntos
se encuentren lo suficientemente cercanos. Veamos lo que plantea la secuencia:
Ahora tenemos un móvil que se mueve de acuerdo a 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 y queremos
encontrar la velocidad en el instante t=1 seg.
220
Para calcular la velocidad en el caso anterior nos podíamos valer de la pendiente y como
se trata de un movimiento con razón de cambio constante siempre valía lo mismo
independientemente de los puntos utilizados para ello, ¿se podrá hacer lo mismo en este
caso?, argumenta tu respuesta:
El caso anterior se refiere al uso de la fórmula de la pendiente con una línea recta, veamos
lo que contesta el E1:
Fig. 6.16
Posteriormente se le solicita a los alumnos que calculen la velocidad instantánea en
𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔. Se plantea en la secuencia:
Utiliza las conclusiones de la actividad 2 para encontrar la velocidad en el instante
donde t=1seg.
E.1 contesta lo siguiente:
Fig. 6.17
221
Ahora vamos a contrastar esto con la grabación hecha al respecto:
El profesor pregunta haciendo referencia a un móvil cuyo desplazamiento en función del
tiempo está dado por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥
Profesor: ¿Se puede calcular la velocidad para un cuerpo usando dos puntos
cualesquiera?
E.2, Efraín: No, porque sí de hecho tomamos dos puntos va a salir una velocidad,
pero luego vamos a tomar otros dos puntos distintos va a salir otra velocidad
distinta…
Profesor: Así es.
E2, Efraín: Nunca va a salir una velocidad para lo que es toda la recta…
Profesor: Sin embargo sí se puede hacer algo, ¿verdad?
E.2, Joan: Sería solamente acercar los puntos, porque como es una curva los
valores de la pendiente no van a ser los mismos, pero si los vamos acercando tendría
un valor casi similar…
E.1, Mónica: Sí se puede, nosotros calculamos para el valor de 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔. y
utilizando otro punto infinitesimalmente cercano se puede calcular un nuevo valor y
ya con eso podemos calcular la velocidad.
Profesor: A ver Juan Carlos, ¿por qué infinitamente cercano a el punto 1?
Juan Carlos: Por que al estar los valores infinitesimalmente cercanos de una curva
se va a convertir en línea recta.
Profesor, dirigiéndose al E.3: ¿A qué conclusión llegaron?
E.3, Reyna: La curva en un momento se va a comportar como una línea recta, por
lo tanto su pendiente va a ser constante…
222
Profesor: Bueno la pendiente no es constante de hecho, es cambiante, ¿no?, en cada
instante está cambiando…
Hugo: Sí pero si lo manejamos infinitesimalmente se va a comportar como una
línea recta, en cierto punto. Si nos acercamos mucho, en este caso, ya se tendría una
pendiente…
Profesor: ¿Ya tendría una pendiente porque ya es una pequeña línea recta ahí, no?...
Andrea: Sí, con esa pequeña línea recta, ya se tendría la pendiente.
Profesor: Y para calcular esa pendiente, sería, ¿quién, entre quién, dividir qué entre
qué?
Hugo: ∆𝑠 entre ∆𝑡.
Profesor: ¿Creo que acá le llamamos 𝑓(𝑥), no?
Equipos: Si
Profesor: Sería ∆𝑓 entre ∆𝑡
Profesor al equipo E.4: ¿Qué velocidad les quedó a ustedes?
E.4: 6
Profesor: ¿y a ustedes (E.2)?
E.2: 6.9
Profesor: ¿y a ustedes (E1)?
E.1: 6
Dos equipos contestaron bien la pregunta, uno estuvo aproximado y el otro sólo sabía cómo
hacerlo pero no contestó la pregunta, suponemos que le faltó tiempo para contestar ya que
la dejó en blanco.
223
6.2.2.2 Elementos del modelo puesto en juego
Práctica de referencia: Evidentemente nos encontramos ante la práctica de la recta
tangente variacional, de esto podemos dar evidencia puesto que precisamente se llega a
obtener la recta tangente. Su carácter variacional lo podemos ver cuando los estudiantes
tenían que ir acercando a dos puntos de una curva hacia un tercer punto fijo, el punto A.
Los estudiantes lo reconocen así “necesitamos que la curva se comporte como una recta,
tomando dos puntos de esta infinitesimalmente cercanos…”, y en otros momento reconocen
que la recta tangente está cambiando, además todo esto se da en un ambiente geométrico,
ya que se habla de la curva, recta, triángulos semejantes. Entonces hay un conjunto de
actividades organizadas intencionalmente, en una situación por el profesor-investigador,
aunque en el caso de la tercera parte de la actividad, son los estudiantes quienes organizan
datos y la forma de obtener la respuesta; todo lo anterior haciendo uso de conocimientos
previos.
Resignificación: Existen elementos que nos permiten identificar a la resignificación,
cuando los estudiantes hacen uso de ideas construidas con anterioridad cuando reconocen
que la curva bajo ciertas condiciones se llega a comportar como una recta, pero se le añade
un nuevo atributo. Este consiste en reconocer que en la pequeña región en donde la curva se
comporta como una recta, esa pequeña recta es una parte “de un lado de un triángulo”,
como lo mencionó un equipo, o inclusive cuando el mismo equipo dijo con respecto a
cómo serían los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente
próximos al punto A, “serán infinitamente pequeños conservando sus ángulos y
convirtiéndose en triángulos semejantes”. Siguiendo con este equipo, menciona con
respecto a los arcos y la línea Ac (que es la tangente), que esta “siempre va a pasar por dos
vértices de cada triángulo” los cuales por la forma de la figura se refieren a aquellos que se
sitúan en la hipotenusa de los triángulos semejantes.
Funcionalidad: Vamos a dar evidencia de la funcionalidad ya que las ideas construidas les
sirven a los alumnos para resolver un problema en otro contexto, en el caso que planteamos
en la tercera parte de la secuencia es la velocidad instantánea. Los estudiantes reconocen
que si se usara la fórmula de la pendiente con diferentes puntos de la curva se tendrían
diferentes velocidades. Sin embargo se puede calcular la pendiente de la curva entre dos
224
puntos, siempre y cuando se tengan dos puntos de la curva que se encuentran muy cercanos
entre sí.
6.2.2.3 Análisis de los datos
Las respuestas están en torno a las tendencias que ellos ven en las tablas, es decir con base
a las actividades de calcular, aproximar e inferir, se emiten conclusiones, haciendo uso de
un lenguaje de cambio y variación, por ejemplo se dicen frases como “conforme la curva va
disminuyendo se va comportando más como una recta”.
Una idea presente en la secuencia anterior es que la curva se llega a comportar como una
línea recta bajo ciertas condiciones. Esta idea es enunciada por el equipo, sin embargo,
además se asocia a un elemento más de tipo geométrico y que se refiere a que esa recta
forma parte de un triángulo. Aquí también encontramos presente la resignificación ya que
un conocimiento anterior se enriquece añadiéndole un nuevo atributo o característica a lo
ya conocido.
Una característica de la práctica es “que es una acción que enlaza ideas previas con la
construcción de una o más ideas (conocimientos)”. En la tercera parte de la secuencia en
que se pide a los equipos que encuentren la velocidad instantánea, tres equipos de cuatro
organizan los elementos que tienen, es decir calculan dos puntos muy cercanos de una
curva, para 𝑥 = 1 y un punto muy cercano a él, haciendo uso de la fórmula de la pendiente.
Aunque ya saben que esta fórmula se puede utilizar sólo en el caso de una línea recta la
usan en base al argumento de que una curva se comporta como recta, siempre y cuando se
haga con dos puntos que se encuentren muy cercanos entre sí, de tal forma que aquí se da
evidencia de tres elementos: organizar ideas con la intención de resolver un problema
(práctica), se enlazan ideas anteriores con un nuevo problema (resignificación) y se hace
uso de saberes para resolver un problema en un nuevo contexto, que en este caso es la
velocidad (funcionalidad).
225
6.3 Secuencia didáctica 3
6.3.1 Uso-Herramienta-Actividad
En cuanto el uso del conocimiento se emplea en la secuencia lo expuesto por L´Hospital, la
cual dice:
Se requiere que una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una
infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas: o (lo cual es lo
mismo) como una poligonal de un número infinito de lados, cada uno de ellos
infinitamente pequeños,…
Si se prolonga una de los pequeños lados Mm de la poligonal que compone una línea
curva, este pequeño lado así prolongado será llamado la tangente de la curva en el
punto M o m.
(L´Hospital, 1696)
Esta idea fue un saber (conocimiento puesto en uso) propio de una forma de pensar de una
época y que se encuentra presente en toda la secuencia. El uso de esta idea se hace
mediante herramientas matemáticas como son: la fórmula de la pendiente y la gráfica de
una función. Estas permiten llevar a cabo actividades como son: Calcular, aproximar,
inferir y comparar, las cuales nos dan cuenta de qué es lo que se pretende que hagan los
estudiantes. El cómo pretendemos que se lleven a cabo las actividades es a partir de
observar tanto los signos como los valores de la pendiente de la recta tangente a la curva,
antes durante y después del punto crítico, verificando lo que ocurre con las posiciones de la
recta tangente, es decir verificar los valores del ángulo de inclinación de la recta tangente,
pero también observar que ocurre con los valores de pendiente de la recta tangente a la
curva en los mismos puntos.
226
El funcionamiento de la gráfica contesta a la pregunta de, ¿para qué de la gráfica?, lo cual
se va a llevar a cabo a partir de la relación dialéctica herramienta-actividad y que llevará a
la construcción de significados como son: el carácter variacional de la recta tangente a una
curva, caracterizar una función cuadrática, así como su asociación existente con un
fenómeno físico (que en este caso es el de tiro vertical). Todo esto permitirá introducir a la
derivada desde un punto de vista gráfico.
Las ideas que se manejan en base al uso del conocimiento son:
a) Una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una infinidad de
líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas.
b) Implícitamente se maneja la idea de que un punto es un pequeño segmento
infinitesimal.
c) Cuando una de las pequeñas líneas rectas (pertenecientes a la curva) se puede
extender en ambos sentidos, este pequeño lado así prolongado será la tangente de la
curva en el punto.
6.3.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad
Se dará evidencia empírica del uso del conocimiento cuando se utilice la idea expuesta por
L´Hospital acerca de la recta tangente, con sus respectivas actividades llevadas a cabo por
herramientas matemáticas. En la 2da parte de la secuencia se plantea:
Actividad 2
Si el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial de 𝑣𝑖 = 30 𝑚𝑠 y la fórmula para calcular
la distancia está dada por la expresión matemática: 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2, se desea calcular
la velocidad en el instante t=3 seg. Para lo cual se puede utilizar la fórmula de:
𝑚 = 𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)
𝑡2−𝑡1
Sin embargo para utilizar la fórmula anterior se necesita tener en cuenta:
227
Se requiere conocer las coordenadas de dos puntos: 𝑃1�𝑡1, 𝑠(𝑡1)� y 𝑃2�𝑡2, 𝑠(𝑡2)� La fórmula anterior se usa para calcular la pendiente una recta.
En nuestro caso la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2 no representa a una recta sino a una
curva, parecida a la mostrada en la figura 1 de la actividad 1, sin embargo a pesar de que
la fórmula (2) de la velocidad, representa la pendiente de una recta, como hemos dicho
bajo circunstancias especiales una curva se comporta como una recta.
Tomando en cuenta lo anterior:
i) Calcular la velocidad en el instante (velocidad instantánea o razón de cambio
instantánea) en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.?
ii) Utilizando lo dicho por el L´Hospital: “Si se prolonga uno de los pequeños lados
Mm de la poligonal que compone una línea curva, este pequeño lado así
prolongado será llamado la tangente de la curva en el punto M o m.” A partir de
esto traza una recta tangente en el punto 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.
iii) La tangente trazada ¿tiene la misma pendiente (razón de cambio) que la del
pequeño segmento infinitesimal en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta:
Con respecto al inciso i) se utiliza la herramienta de la pendiente: 𝑚 = 𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)
𝑡2−𝑡1
Para llevar a cabo la actividad de calcular, se utiliza un conocimiento de antaño que es la
consideración de que un punto es un pequeño segmento infinitesimal de acuerdo a lo dicho
por L´Hospital. Veamos lo que el E.4 reporta al respecto:
228
Fig. 6.18
En donde verificamos el uso de la herramienta matemática de la pendiente de una recta para
ejecutar la actividad de calcular, haciendo un uso de lo expuesto por L´Hospital, ya que de
otra forma no se podría calcular la pendiente (velocidad) puesto que la función tratada es
cuadrática. Digamos que se hace un uso del conocimiento para conocer la velocidad en un
instante del tiempo (en nuestro caso 2 segundos.), lo cual gráficamente se podría ver
representado por la inclinación que tiene el pequeño segmento infinitesimal en el punto
analizado.
Posteriormente el mismo equipo E.4 lleva a cabo la actividad de aproximar mediante el uso
de la gráfica, la cual sirve como herramienta para llevarla a cabo. También se observa que
se emplea el uso del conocimiento mencionado por L´Hospital, se reporta con respecto a el
inciso ii):
229
Fig. 6.19
El E.4 traza la recta tangente respetando la dirección de la curva y tocando en el punto cuyo
𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. Aquí hay un uso del conocimiento manifestado en el trazo de la recta tangente.
Lo que los estudiantes hicieron fue trazar rectas tangentes y el como lo hicieron fue
considerando la dirección que lleva la curva en cada instante en que se pide trazar la recta
tangente. En este momento se hace uso de un conocimiento de antaño, el expuesto por
L´Hospital el cual dice que se requiere que una curva pueda ser considerada como el
ensamblaje de una infinidad de líneas rectas.
Con respecto al inciso iii) el E.1 reporta:
Fig. 6.20
230
Se lleva a cabo la actividad de inferir usando la gráfica como una herramienta y utilizando
lo expuesto por L´Hospital ya que el equipo menciona que la tangente es la prolongación
del punto.
Ahora veamos al inciso xi), en donde se tiene la intención de que se lleve a cabo la
actividad de comparar:
xi) ¿cuál es el signo de la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y cuál el signo en el
instante 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔.? Que explicaciones puedes dar al respecto.
En el caso del E.1 contesta lo siguiente:
Fig. 6.21
El equipo justifica su respuesta en base a que ya ha observado que antes del punto máximo
la función es creciente y después del mismo decreciente. Dos equipos más contestan en el
mismo sentido y uno de ellos sólo menciona cómo son los signos para los puntos referidos.
Podemos observar que la gráfica se usa para determinar el comportamiento de la curva
(creciente o decreciente) dependiendo del punto máximo.
Ahora vamos a contrastar con los datos obtenidos mediante el video.
Para el inciso i) tenemos:
Profesor, refiriéndose al E.4: ¿Cuánto vale la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠?
231
E.4, Jessica: 10.4
Profesor: ¿Cómo le hicieron para calcular esa velocidad?... ¿utilizaron dos puntos?
E.4, Jessica: Ajá.
Profesor: ¿Cuál y cuál?
E.4, Jessica: Fue el 2 y como estamos diciendo que para utilizar nuestra fórmula se
necesita un valor muy cercano al 2, por lo tanto utilizamos el 2.00001 ya con eso
tenemos 𝑠(𝑡1) y 𝑠(𝑡2) ya con eso pudimos calcular la velocidad.
Profesor, refiriéndose E.3: ¿A ustedes cuanto les quedó?
E.3: 10
Profesor, dirigiéndose E.2: ¿y a ustedes?
E.2: 9.91
Profesor, refiriéndose E.1: ¿y por acá?
E.1: 6
Profesor: Esta raro, ¿no?, cada quien tuvo valores diferentes, ok. Tenemos que
revisar.
Ahora con respecto a el inciso ii)
Profesor, refiriéndose al E.1: ¿Cómo le hicieron para trazar la recta tangente en
𝑡 = 2?, ¿qué fue lo que hicieron?
E.1, Andrea: Con los puntos que ya habíamos encontrado, ya después con esos
trazamos la recta tangente.
La gráfica correspondiente a la que hace alusión el E.1 es la siguiente:
232
Fig. 6.22
Se observa en su gráfica en papel cuadriculado que corrigieron lo dicho en el video ya que
obtuvieron una pendiente aproximadamente 𝑚 = 10, lo cual se puede observar ya que por
cada unidad de cambio en el eje horizontal, asignan 10 de aumento en el eje vertical.
En el caso del E2, dice que lo obtuvo de manera similar, y los otros dos equipos utilizaron
un método similar.
Ahora con respecto al inciso iii) se dice:
Profesor, refiriéndose al E.1: ¿Qué opinan?
E.1, Andrea: Qué sí, estamos hablando de un segmento infinitesimalmente pequeño
y la curva se convierte en una recta y esa sería parte de la recta tangente.
Profesor: Es parte de la recta tangente, de hecho la recta tangente y la curva en ese
punto comparten el mismo segmento infinitesimal, digamos, ¿no?
Equipos: Asienten (con la cabeza)
Profesor: Son uno mismo en esa parte.
Vayamos al inciso xi), en donde la intención es que los estudiantes con todo lo
anteriormente visto y haciendo uso de la gráfica hagan una comparación de lo que va
ocurriendo con los valores de la pendiente de la recta tangente.
233
Lo que Joan dice al respecto:
E.2, Joan: La recta tangente va cambiando de posición, un ejemplo sería en 𝑡 = 2 la
recta tangente es positiva, en el punto más alto la recta tangente cambia de posición
a horizontal, convirtiéndose así en una constante, y en 𝑡 = 5 es con una tangente
negativa y cambia su posición.
(Nota: Faltaría aclarar por Joan que en el punto más alto la ecuación de la recta tangente es
de la forma 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒, por otro lado habla de tangentes positiva o negativa cuando en
realidad le hace falta decir que se está refiriendo a la pendiente de la recta tangente.)
Profesor: Pero si por ejemplo tuviéramos 𝑡 = 1, ¿cómo será el signo?
Equipos en general: Positivo
Profesor:... de la pendiente de la recta tangente, ¿positivo?
Equipos: Sí.
Profesor, dirigiéndose al E.3: ¿Sería la misma posición que en 𝑡 = 2?
E.3, Andrea: No, sería una posición diferente, va cambiando de posición.
6.3.1.2 Elementos del modelo puesto en juego.
La Herramienta matemática: Las herramientas matemáticas utilizadas por los estudiantes
fueron la fórmula de la pendiente, de la cual se pudo hacer uso gracias a lo expuesto por
L´Hospital utilizando las coordenadas de puntos muy cercanos entre sí. Otra de las
herramientas utilizadas para llevar a cabo las actividades propuestas fue la gráfica en la cual
la forma fue la de una parábola que abre hacia abajo. Los estudiantes la usaron trazando
tangentes a una curva en un punto con la misma dirección que la que tiene la curva en ese
punto. También sirvió para que los alumnos pudieran explicar que la curva y la tangente
comparten el mismo segmento infinitesimal, en el punto de contacto.
234
Las Actividades: Las actividades que se llevaron a cabo y que fueron ejecutadas con el uso
de herramientas matemáticas son:
a) La de calcular, cuando se calculó la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔
b) La de aproximar, cuando se pidió trazar la recta tangente en un punto especifico.
c) La de inferir, cuando se pidió contestar si la recta tangente en un punto tiene la
misma pendiente que la del segmento infinitesimal que se tiene en ese mismo punto.
d) La de comparar cuando se solicitó que se dieran explicaciones acerca de los signos
de las pendientes para un punto que se encontraba antes del máximo y otro que se
encontraba después.
El uso del conocimiento: La ejecución de todas las actividades llevadas a cabo con el uso
de herramientas matemáticas se logró gracias a un saber de antaño que fue el expuesto por
L´Hospital, ya que éste hizo posible dar respuesta a los requerimientos solicitados.
Actividades como la de calcular (en donde hay que saber cuáles son los puntos a sustituir),
así como las actividades de aproximar, inferir y comparar dan cuenta de qué es lo que se
hace con la gráfica y se pueden contestar a través del uso de conocimiento de antaño.
6.3.1.3 Análisis de los datos
Se observó que los estudiantes calcularon la pendiente de la recta tangente en un punto de
la misma para lo cual se hizo uso de la idea expuesta por L´Hospital. Aunque ellos ya
venían trabajando con la idea de que una curva se comporta como una recta en la región de
la misma donde hay dos puntos infinitesimalmente cercanos entre sí, en esta secuencia los
alumnos se percataron que dicha pendiente está cambiando en cada punto de la curva, ya
que al considerar un punto como un pequeño segmento infinitesimal (de a cuerdo a
L´Hospital) este segmento infinitesimal va cambiando en cada punto de la curva. Por otro
lado también se pudo verificar con base a sus respuestas que identificaron que la curva y la
recta tangente comparten un mismo segmento infinitesimal, por lo que los alumnos
pudieron concluir que la recta tangente está cambiando tal y como lo pudimos verificar en
base a sus respuestas y sus gráficas trazadas, lo que también nos está mostrando como
usaron la gráfica. Es a partir del uso de conocimiento que se pudo construir el significado
de que la recta tangente está cambiando en cada punto de la curva esto gracias a la relación
235
dialéctica herramienta-actividad, lo cual tiene sentido en un contexto de cambio y
variación.
A partir de la idea planteada por L´Hospital y haciendo uso de herramientas matemáticas
como la de la pendiente se pudo verificar que esta es diferente para cada punto de la curva,
tal y como fue expresado por los estudiantes. Por ejemplo Joan mencionó que la recta
tangente va cambiando de posición antes del punto más alto, en el mismo tiene posición
horizontal y después de él es negativa. Por otro lado también se puede verificar con el uso
de la gráfica como herramienta matemática que se llevó a cabo la actividad de aproximar al
dibujar la recta tangente en 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑔. y cuando se solicita a los alumnos que hagan la
descripción de cómo va cambiando la recta tangente, consideramos a la gráfica como una
herramienta que también auxilia al respecto. Con su uso se puede argumentar cuándo la
pendiente de la recta es positiva, negativa o vale cero e inclusive a partir de la gráfica
también se puede observar que aunque se tengan dos rectas con pendientes del mismo signo
en diferentes posiciones (diferentes valores del tiempo) tendrán diferentes valores de
pendiente.
6.3.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
El concebir que una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una infinidad
de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas, tiene sentido en un contexto de
cambio y variación, ya que la curva puede ser la representación gráfica de una función de
dos variables y cada línea infinitamente pequeña representaría la hipotenusa de un pequeño
triángulo rectángulo, lo cual nos permite pensar en una razón de cambio instantánea que
además es cambiante ya que en cada punto de la curva adquiere un valor diferente. Hacer
uso de estas ideas en un contexto escolar permite que los estudiantes pueden enlazar los
conocimientos de las secuencias anteriores.
La idea expuesta por L´Hospital es utilizada en la secuencia y es la que permite construir
nuevos significados (tomando como base lo anteriormente visto) en la construcción de la
recta tangente variacional. Esto da evidencia de la resignificación.
236
Resolver un problema o contestar a cuestionamientos haciendo uso de un conocimiento de
antaño en un contexto de cambio y variación el cual no es exclusivamente matemático da
evidencia de la funcionalidad de la práctica de la recta tangente variacional.
Se tiene la intención de que los alumnos construyan:
a) La idea de que la recta tangente a una curva en un punto comparten un pequeño
segmento infinitesimal, de tal forma que con esta idea la curva y la recta tangente
tienen la misma dirección en el punto de contacto y por lo tanto la recta tangente va
cambiando de posición en cada instante.
b) Utilicen argumentos de cambio y variación para solucionar lo que se pide en la
actividad.
c) Organicen ideas vistas anteriormente con la intención de resolver un problema o los
cuestionamientos planteados, así como también resolver un problema de tiro
vertical.
6.3.2.1 Evidencia empírica. Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
En la secuencia didáctica 3 en la 2da parte en el inciso vii) se pide a los estudiantes utilizar
el mismo método empleado en el inciso i) para encontrar la velocidad en el punto más alto.
Pretendemos que los estudiantes usen argumentos de cambio y variación, lo cual se refiere
al comportamiento que tiene una curva cuando es analizada en dos puntos muy cercanos de
la misma, y haciendo uso de ese conocimiento producto de sus experiencias anteriores (dos
secuencias didácticas anteriores y la misma secuencia didáctica 3), utilizarlo para resolver
lo que se pide. En la secuencia se plantea:
vii) Una vez encontrado las coordenadas del punto más alto, utilizando el mismo método
que en el punto i) calcula la velocidad utilizando el tiempo que encontraste para llegar al
punto más alto. ¿Cuál es la velocidad en el punto más alto?
237
A lo cual el E.4 responde:
Fig. 6.23
Para lo cual lleva a cabo los siguientes desarrollos.
Fig. 6.24
Otro equipo obtiene un valor similar, el otro dice que vale cero y otro equipo más aunque
hace el cálculo en base a tomar dos puntos muy cercanos su valor es de 𝑣 = −3.1 𝑚𝑠 .
El profesor comenta que el valor debería de ser cero y pregunta:
238
Profesor: ¿Por qué es lógico pensar que la velocidad en el punto más alto deba ser
cero?
E.2, Joan: Porque la pendiente…la tangente es constante
Aquí muy probablemente se refirió a que la ecuación de la recta tangente es de la forma:
𝑦 = 𝑐𝑡𝑒
Profesor: ¿Cómo quedaría la recta tangente ahí?
E.2, Joan: Horizontal
Profesor: ¿La puedes dibujar?
El alumno Joan pasa a dibujar una línea recta tangente horizontal en el punto más alto de la
curva:
Fig. 6.25
Profesor: ¿Cuánto vale su pendiente de esa recta tangente?
Joan: Cero
Profesor: ¿Estamos de acuerdo los demás?
Equipos: Si. (En coro)
239
Profesor: Eso es geométricamente, pero si pensáramos en un cuerpo que es lanzado
hacia arriba, que va disminuyendo su velocidad, ¿cómo sería su velocidad en el
punto más alto?
Los equipos discuten brevemente.
E.1, Andrea: Igual a cero.
Un elemento importante en la resignificación es retomar elementos construidos en las dos
secuencias anteriores agregándole nuevos significados de forma explícita; de esto se
pretende dar evidencia cuando los alumnos construyan significados con respecto al carácter
variacional de la recta tangente a una curva. Ahora veamos una parte de la secuencia en
donde se pretende que haciendo uso de lo dicho por L´Hospital se pueda explicar cómo es
la razón de cambio (pendiente de la tangente) antes, durante y después del punto más alto.
La secuencia en la parte 1 haciendo alusión a la figura 1(donde se muestra la gráfica
distancia contra tiempo de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba), dice:
a) En el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón
de cambio es positiva o negativa? argumenta tus respuestas:
b) En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la
razón de cambio es positiva o negativa?, argumenta tus respuestas:
A lo cual el E.2 contesta:
t
s
tm tf
∆𝑠
∆𝑡
240
Fig. 6.26
Aquí los estudiantes usan la gráfica como un referente visual, ya que de sólo ver la
representación gráfica pueden decir que la razón de cambio es variable.
Para el inciso b) el E.2 se contesta lo siguiente:
Fig. 6.27
A lo cual se argumenta lo siguiente:
Con respecto a el inciso a)
Profesor: ¿La razón de cambio es constante o variable?
E.2, Joan: Es variable.
Profesor: La razón de cambio es variable, eh… ¿por qué piensas que es variable?
241
E.2, Joan: Porque lo representa como una curva, entonces la razón de cambio y la
pendiente va a ir cambiando de forma, luego pregunta, ¿la razón de cambio es
positiva o negativa?, y del punto 0 al punto 𝑡𝑚es positiva porque va ascendiendo, va
creciendo.
Profesor: Va ascendiendo, ok., ¿todos están de acuerdo que es una razón de cambio
variable?
Equipos: Si (en coro).
Profesor: ¿En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 , la razón de cambio es constante o variable?,
¿la razón de cambio es positiva o negativa?
E.4, Pilar: Es variable porque para los mismos cambios de la variable
independiente no hay los mismos cambios de la variable dependiente y es negativa
porque para los mismos cambios de la variable independiente no hay las mismas
disminuciones de la variable dependiente.
Profesor: Mmmm, a ver, ¿qué piensan los demás, están de acuerdo?
E.1, Juan Carlos: Es una razón de cambio variable, y negativa porque del valor de
𝑡𝑚 a 𝑡𝑓 va en forma descendente, eso quiere decir que de 0 a 𝑡𝑚va en forma
ascendente, llega a un punto donde se mantiene constante, después de ese punto va
en forma descendente y es negativa y sus variaciones son diferentes.
Profesor: Por eso es variable.
Ahora vamos a revisar la segunda parte de la secuencia en los incisos xiii al xviii. Esta parte
de la secuencia se encuentra después de que los alumnos ya han revisado y analizado como
son los signos de la pendiente de la recta tangente antes, durante y después del punto más
alto.
xiii) ¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y
después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del
desplazamiento con respecto del tiempo?
242
xiv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes antes del punto más
alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la
curva antes del punto más alto?
xv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del punto
más alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes
a la curva después del punto más alto?
xvi) ¿Cuál es la posición de la recta tangente en el punto más alto?
xvii) ¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus
pendientes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?
Las respuestas son las siguientes:
Del E.1:
Fig. 6.28
Del E.3:
243
Fig. 6.29
Ahora con respecto a los incisos xiv) al inciso xvii) el E4 contesta:
Fig. 6.30
Ahora veamos qué es lo que argumentan:
244
Profesor: ¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas
antes y después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la
gráfica del desplazamiento con respecto del tiempo?
E.3, Alejandra: Nosotros le pusimos que sí ya que conforme a los signos de las
velocidades son los signos de las tangentes.
Profesor: Bien, entonces ¿cómo son los signos antes del punto más alto?
E.3, Reyna: Positivos
Profesor: ¿y después del punto más alto?
E.3: Negativos (en coro)
Profesor: ¿Alguien más quiere decir algo al respecto?
Equipos: No (en coro)
Veamos lo que ocurre con los siguientes incisos del xiv) al xvii)
Profesor: Continuamos, ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas
tangentes antes del punto más alto?, esa ya la contestamos, ¿cómo es el ángulo de
inclinación para cada una de las rectas tangentes a la curva antes del punto más
alto?
E.1, Juan Carlos: Son ángulos menores de 90°
Profesor: Son ángulos menores de 90°, ¿cómo les llamamos a esos?
E.1: Agudos (en coro)
Profesor: ¿Y después del punto más alto?
E.1: Obtusos (en coro)
Profesor: ¿En el punto más alto?
E.2: No tiene ángulo
245
Profesor: No se intercepta
Profesor: ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del
punto más alto?, ya la contestaron, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada
una de las rectas tangentes a la curva después del punto más alto?
Equipos: Ángulos obtusos (en coro)
Profesor: Siguiente, ¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas
tangentes y sus pendientes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que
termia?, ¿Quién lo puede ir describiendo desde que inicia el movimiento hasta que
termina?
E.2, Joan: Nosotros le pusimos que cambia su ángulo de inclinación y como
consecuencia el signo de la pendiente así como lo maneja la tangente como se
puede ver que es una parábola.
En el mismo momento que está hablando de la tangente Joan describe una parábola con su
mano.
Fig. 6.31
246
La gráfica se usa como un referente visual por medio del cual se puede determinar las
posiciones de la recta tangente a la curva, lo cual tiene que ver tanto con los signos de las
pendientes como con los ángulos de inclinación de las mismas.
Sigue comentando Joan.
E.2, Joan: Así es como se va a definir lo que es la tangente, si es positiva antes del
punto más alto o si es negativa
Profesor: Después del…
E.2, Joan: Después del punto más alto.
Profesor: ¿Y siempre antes del punto más alto, cómo ira a ser el signo de la
pendiente de la recta tangente?
E.2, Joan: Positiva
Profesor: ¿Todos están de acuerdo con eso?
Equipos: Si (en coro)
Profesor: ¿Y cómo será el signo de la pendiente de la recta tangente después del
punto más alto?
Equipos: Negativa (en coro)
Profesor: Okey, estamos viendo que ese punto más alto va a separar los signos
positivos de las pendientes de las rectas tangentes después de ese punto más alto
ahora son…
Equipos: Negativos (en coro)
Revisemos que es lo que contestaron algunos equipos en el último inciso de la 2da
actividad, en el se dice:
xviii) Traza las rectas tangentes a la curva en los puntos señalados en la siguiente
gráfica:
247
A lo cual el E1, respondió:
Fig. 6.32
De los cuatro equipos, tres contestaron de forma similar, pero uno contestó incorrectamente
ya que las rectas tangentes que trazó no llevaban la misma dirección que la curva.
248
6.3.2.2 Elementos del modelo puesto en juego
Práctica de referencia: Al pedir calcular la velocidad en el punto más alto alcanzado por
un cuerpo que ha sido lanzado verticalmente hacia arriba, los estudiantes deben (aunque sea
de forma sencilla) organizar sus datos para reproducir conocimiento matemático. En este
caso primero tenían que encontrar las coordenadas del punto más alto, esto lo hicieron en
base a sus experiencias previas. Posteriormente al encontrar el valor de la abscisa para el
punto más alto utilizaron la función 𝑠(𝑡) con dos puntos muy cercanos de “t” lo cual los
llevó a obtener datos que utilizaron en la fórmula de la pendiente (velocidad), pero además
resaltamos que hicieron uso de la fórmula en base al argumento de que los puntos eran
muy cercanos. Cabe hacer notar que los alumnos evidenciaron que antes del máximo los
valores de las pendientes de las rectas tangentes eran positivos, pero también distinguieron
que estos valores eran cambiantes así como las posiciones de las rectas tangentes con
ángulos de inclinación agudos; de manera similar llegaron a la conclusión de que los
valores de las pendientes de las rectas tangentes después del máximo eran negativos e iban
cambiando, así como las posiciones de las rectas tangentes los cuales tenían ángulos de
inclinación obtusos.
Resignificación: Al llevar a cabo esta secuencia los alumnos sabían que una curva se
comporta como una recta en aquella región de la misma donde hay dos puntos muy
cercanos entre sí. Sin embargo la evidencia de que ese significado ha sido construido es por
la aplicación del mismo (al calcular la pendiente en un punto) enlazado con la idea de que
un punto puede ser considerado un segmento infinitesimal (y formar parte del ensamblaje
de una infinidad de segmentos infinitesimales), ya que al preguntárseles por la velocidad en
diferentes instantes pudieron contestar si los valores eran diferentes o no lo eran, así como
también los signos de las velocidades antes y después del máximo.
Se puede dar evidencia de la resignificación cuando los alumnos efectivamente demuestran
que un punto de la curva (pequeño segmento infinitesimal) se puede extender en ambos
sentidos formándose así la recta tangente. Como diría una de las alumnas ante la pregunta,
“¿la tangente trazada en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. tiene la misma pendiente que la del pequeño segmento
infinitesimal en el mismo punto?” a lo cual respondió: “Sí, porque el pequeño infinitesimal
viene siendo parte de la tangente”. Cuando se pidió a los alumnos que trazaran rectas
249
tangentes en diferentes puntos de la curva, 3 equipos de 4 pudieron hacer la aproximación
correctamente trazando la recta tangente tocando a un punto de la curva y siguiendo la
misma dirección que la de la curva, construyéndose de esta forma nuevos significados en
base a lo que ya sabían.
Funcionalidad: El conocimiento puesto en uso adquiere significación en un contexto
diferente al exclusivamente matemático, así como en el contexto matemático, pero
resolviendo nuevos planteamientos. En el caso de la secuencia didáctica se pide a los
alumnos obtener valores de velocidad en diferentes instantes del tiempo, por ejemplo antes
del punto más alto, en el punto más alto y después del mismo. El que los estudiantes
puedan describir qué va ocurriendo con las rectas tangentes y sus pendientes desde que
inicia el movimiento hasta que termina muestra un saber funcional, pero también se da
evidencia al pedir trazar rectas tangentes a una función diferente a la resuelta en el
problema de la secuencia puesto que se trataba de una parábola que abre hacia arriba donde
el 75% de los equipos respondieron satisfactoriamente. Constatamos por lo tanto que el
funcionamiento de la gráfica se nota cuando los estudiantes pueden verificar el carácter
variacional de la recta tangente a la curva asociando su pendiente con la velocidad
instantánea como también se pudo verificar con la evidencia empírica mostrada.
6.3.2.3 Análisis de los datos
En base a los datos obtenidos se puede concluir que los alumnos han sabido calcular la
velocidad instantánea en un punto de la curva. Además cuando se les preguntó por valores
diferentes del tiempo antes del punto máximo contestaron que se tendría valores diferentes
de velocidad positiva. De manera similar ocurriría con valores del tiempo después del punto
mínimo pero ahora con valores diferentes de velocidad negativa y aclarando que la
velocidad en el punto máximo tenía un valor de cero. Por otro lado reconocieron que la
recta tangente y la curva comparten un mismo punto y llevan la misma dirección de lo cual
se da evidencia cuando en sus respuestas acerca de los valores de los ángulos de inclinación
antes y después del punto máximo, así como en la gráfica de una parábola que abre hacia
arriba en donde sin dárseles valores de “x” se pidió que trazaran las rectas tangentes a la
curva en diferentes puntos, la mayoría de los alumnos pudo contestar correctamente. Por
250
otro lado han hecho descripciones detalladas de cómo van cambiando las posiciones de las
rectas tangentes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que termina, precisando
cómo es la posición en el punto máximo y cuál es el valor de la pendiente de la recta
tangente en este punto. Todo esto da muestra de un conocimiento funcional, ya que además
ha servido para utilizarlo en un contexto diferente al estrictamente matemático como es el
caso del tiro vertical. La idea de L´Hospital fue un argumento muy importante usado a lo
largo de toda la secuencia pero tuvo sentido por los significados que ya habían construido
los estudiantes de sus secuencias anteriores, es decir pudieron vincular los significados
anteriormente construidos con lo nuevo y de esta forma se ha calculado la velocidad
instantánea reconociendo que su valor es cambiante para cada punto de la curva y
asociando este valor con el de la pendiente (razón de cambio) de la recta tangente.
6.4 Secuencia didáctica 4
6.4.1 Uso-Herramienta-Actividad
En esta secuencia se va ha hacer uso de una figura que fue utilizada por algunos
matemáticos en los cuales se veía manifestada la práctica de la tangente variacional en los
siglos XVII y XVIII con Euler. La figura usada muestra dos triángulos semejantes, uno de
ellos formado con la recta tangente a un punto de la curva y el otro de dimensiones
infinitesimales cuya hipotenusa es una parte de la curva. Como se toma sólo una
pequeñísima parte de esta, la pequeña parte de la curva se comporta como una recta. La
figura es la siguiente:
Fig. 6.33
251
De acuerdo a Serna (2007) Euler es un matemático que comienza a hacer análisis en base a
desarrollos algebraicos. El hacer un análisis del cambio al dejar “fluir” del punto M al
punto 𝜇 y hacer un análisis del polinomio encontrado le lleva a un método parecido al que
actualmente se le conoce como método de los cuatro pasos; Euler comienza a hacer un
abandono (aunque no total) de las explicaciones haciendo uso de las graficas.
En el caso propuesto se emplean ideas de tipo geométrico como son la semejanza de
triángulos apoyados visualmente del uso de una gráfica con una figura que representa un
conocimiento de antaño puesto en uso en donde las ideas de cambio y variación se ven
expresadas. Se hace uso de diferentes herramientas matemáticas para llevar a cabo
actividades las cuales llevan a la construcción de nuevos significados.
Lo que se pretende es que los estudiantes puedan experimentar con un método que les
permita ver que se puede encontrar una expresión algebraica para determinar la pendiente
de la recta tangente en un punto 𝑝(𝑥,𝑦) de la curva.
6.4.1.1 Evidencia empírica. Uso-Herramienta-Actividad
El uso de la figura mostrada anteriormente se lleva a cabo en toda la secuencia didáctica,
así como los argumentos de cambio y variación.
La gráfica se usa con la intención de que los estudiantes verifiquen que hay dos triángulos
rectángulos semejantes. Para ello se hace uso de la herramienta matemática que dice “dos
triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes” junto con la
actividad de comparar y haciendo uso de la gráfica que tiene que ver con un conocimiento
de antaño. En la secuencia se muestra una figura parecida a la planteada por Euler, pero con
una nomenclatura usada actualmente:
252
Fig. 6.34
Posteriormente se dice:
Requerimos una expresión que nos permita obtener la razón de cambio instantánea.
Vamos a considerar que ∆𝑡 es infinitamente pequeño de tal forma que la pequeña porción
de curva 𝑃1𝑃2� se puede comportar como una recta ya que los puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 se
encuentran infinitamente próximos entre sí, de hecho están tan cercanos que podrían ser
considerados un solo punto, recordemos que dé a cuerdo a lo reportado por L´Hospital un
punto es un pequeño segmento infinitesimal (una pequeñísima parte de una curva) De tal
forma que el pequeño segmento infinitesimal tiene como pendiente la misma que la de la
recta tangente en el punto 𝑃1 .
Como puedes ver de la figura se observa la existencia de dos triángulos semejantes:
¿Cuáles son los vértices de estos triángulos?
En el caso que estamos tratando establece la proporcionalidad entre los lados homólogos:
Y también se puede establecer la relación entre los catetos de los triángulos semejantes:
𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏))
𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕, 𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))
∆𝒔 ∆𝒕 q
T P
253
Con respecto a la primer pregunta los cuatro equipos la contestaron correctamente, veamos
las respuestas con respecto a los siguientes dos puntos que se les solicita a los estudiantes:
Por ejemplo el E.1 contesta:
Fi. 6.35
Observamos que el equipo sabe que 𝑝2𝑞����� = ∆𝑠 y que 𝑝1𝑞����� = ∆𝑡 tal y como se muestra en la
figura de apoyo que utilizan en su respuesta.
La gráfica le sirve para que a partir de ella se puedan establecer relaciones de semejanza de
triángulos, así como las relaciones de proporcionalidad correspondientes.
Con respecto al E.2, contesta:
Fig. 6.36
254
Haciendo uso de una nomenclatura como las que aprendieron en Geometría escriben sus
resultados, sin embargo les queda claro quién es ∆𝑡 𝑦 ∆𝑠 ya que podemos ver un apoyo
visual que usaron en una figura anterior, es la siguiente:
Fig. 6.37
Observamos uso de la gráfica verificando las representaciones que hace este equipo en la
gráfica, lo cual nos da cuenta de cómo actúan los estudiantes con la gráfica y que por medio
de ella hacen representaciones geométricas lo cual posteriormente servirá como argumento
para obtener la expresión algebraica que representa la razón instantánea de cambio.
Vemos que efectivamente identifican correctamente a quien corresponde ∆𝑠 𝑦 ∆𝑡.
Los otros dos equipos contestaron correctamente sin hacer alusión a ∆𝑡 𝑦 ∆𝑠, pero
consideramos que saben a qué se refiere ya que ponen lo vértices correctamente.
Ahora veamos otros fragmentos de la secuencia en donde llevando a cabo desarrollos
algebraicos se quiere llevar a cabo la actividad de generalizar para lo cual se hace uso de la
herramienta matemática de:
a) Resta: Para obtener el cambio
255
b) División: Para obtener la razón de cambio
En la secuencia se plantea:
Utiliza los resultados obtenidos en los incisos c) y d) anteriores para obtener el valor de
∆𝑠,
∆𝑠 =
Y posteriormente se pide:
Divide la expresión encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, ¿cuál es la expresión encontrada en el
caso que estamos tratando?
A lo cual el E.3 responde:
Fig. 6.38
256
Fig. 6.39
Dos equipos más contestaron correctamente y el otro equipo tuvo problemas al llevar a
cabo sus desarrollos algebraicos con el signo negativo, por lo que el profesor intervino.
Posteriormente en la misma secuencia se aclara que los términos ∆𝑡,∆𝑡2,∆𝑡3, …∆𝑡𝑛 se
consideran despreciables.
Finalmente se les solicita:
Con respecto a la expresión que has encontrado y al suprimir todos aquellos términos que
contienen a ∆𝑡 ¿cuál es la expresión finalmente encontrada?
A lo cual el E.3, responde:
Fig. 6.40
Los demás equipos contestan correctamente
257
6.4.1.2 Elementos del modelo puesto en juego
Uso: El uso de conocimiento es el de la gráfica mostrada en la figura 6.25 en donde se
encuentran dos triángulos rectángulos, uno formado por la recta tangente a la curva en un
punto 𝑝(𝑥,𝑦) y otro de dimensiones infinitesimales cuya hipotenusa es el mismo punto de
contacto (haciendo la consideración de a cuerdo a L´Hospital que un punto es un segmento
infinitesimal). El uso de la gráfica por parte de los estudiantes permite verificar que la
emplearon por medio de representaciones geométricas de semejanza de triángulos, como
argumento para poder determinar la expresión algebraica solicitada.
Actividad: Las actividades llevadas a cabo son la de comparar al verificar la existencia de
dos triángulos rectángulos en la gráfica e inferir, de acuerdo a las condiciones establecidas
y haciendo uso de la herramienta matemática de proporcionalidad entre dos triángulos
semejantes, que efectivamente los dos triángulos son semejantes. Otra actividad llevada a
cabo es la de generalizar para lo cual se hizo uso de dos herramientas que son la resta (para
obtener el cambio) y la división (para obtener la razón de cambio instantánea).
Herramienta: Las herramientas utilizadas fueron la de proporcionalidad entre dos
triángulos semejantes que dice: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes. Se usaron las herramientas matemáticas de resta y división
para poder generalizar.
6.4.1.3 Análisis de los datos
El desarrollo de la secuencia permitió que los estudiantes pudieran generalizar para un caso
específico, es decir obtener una expresión algebraica que represente a la pendiente de la
recta tangente a un punto 𝑝(𝑥, 𝑦) de la curva. Para tal efecto emplearon una gráfica con
características de las usadas en el siglo XVII y parte del XVIII. Nos referimos a una gráfica
empleada por varios matemáticos de la época y que consistía en representar a dos triángulos
semejantes, uno de dimensiones finitas y otro de dimensiones infinitesimales. En este
último su hipotenusa es un segmento infinitesimal que también es el punto de contacto de la
recta tangente que forma parte de la hipotenusa del triángulo mayor. También se utilizó por
258
parte de los estudiantes herramientas matemáticas para obtener una expresión que permite
cuantificar el cambio y otra para obtener la razón de cambio, todo ello con el fin de
generalizar. La implementación de un conocimiento de antaño permitió que los estudiantes
pudieran enlazar sus conocimientos previos de geometría, así como algunas ideas que
habían venido construyendo desde la primera secuencia de tal forma que resultó natural
llevar a cabo la operación de: ∆𝑠∆𝑡 efectuando desarrollos algebraicos y posteriormente
suprimir todos aquellos términos que contenían a ∆𝑡 ya que se consideran despreciables.
6.4.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
Hacer uso de una gráfica en donde se muestran dos triángulos semejantes, uno de ellos de
dimensiones infinitesimales cobra sentido en un contexto de cambio y variación ya que es
la forma en la que para cada punto p de una curva se podría obtener su razón de cambio
instantánea. Para usar estas ideas es necesario retomar lo anteriormente visto y que se
refiere a considerar que una curva se comporta como una recta (segmento infinitesimal) en
la región de la misma donde hay dos puntos infinitamente cercanos entre sí, en donde este
segmento infinitesimal tiene una pendiente e inclinación asociadas.
Se tiene la intención que haciendo uso de sus conocimientos anteriores de geometría así
como los obtenidos en las secuencias anteriores se pueda reproducir y comunicar
conocimiento matemático.
Se pretende verificar que el conocimiento puesto en uso se ha resignificado ya que se
retoma lo anteriormente visto enriqueciéndolo con nuevas ideas y obtener otro significado,
lo cual lo convierte en un saber funcional.
6.4.2.1 Evidencia empírica Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
Vamos a mostrar algunos fragmentos de la secuencia didáctica que ya hemos mencionado
anteriormente solo que ahora daremos énfasis en otro aspecto. En la secuencia se plantea:
259
En el caso que estamos tratando establece la proporcionalidad entre los lados homólogos:
Y también se puede establecer la relación entre los catetos de los triángulos semejantes:
Donde el E.1, plantea:
Fig. 6.41
El volvió a hacer una figura aparte, organizando sus datos que en este caso son los vértices
de los triángulos mostrando dos triángulos por separado uno de dimensiones finitas y otro
de dimensiones infinitesimales, pero además corroboraron que son semejantes ya que
escribieron la proporcionalidad entre los lados homólogos.
El E.2 muestra lo siguiente:
Fig. 6.42
260
Vemos que el equipo asigna literales a cada uno de los segmentos de los triángulos
semejantes en la figura que se les presentó en la secuencia. Además se muestra el uso de
proporcionalidad entre lados homólogos de semejanza de triángulos, por lo que se ve
también organización de la información para responder a los cuestionamientos planteados y
con esto reproducir y comunicar conocimiento matemático.
En el siguiente fragmento se muestra la respuesta del E.2:
Fig. 6.43
Muestran la correspondencia con respecto a los lados homólogos tomando en cuenta los
catetos del triángulo infinitesimal.
Otra forma de dar evidencia de la práctica es en base a la respuesta de la pregunta:
Para encontrar la tangente de la curva en el punto 𝑃1, Euler dividía la expresión
encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que representa a
la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de la recta tangente a
la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:
Por ejemplo el E.2, contesta:
Fig. 6.44
261
Al planteárseles sobre el resultado de la división de ∆𝑠∆𝑡 que se muestra como una expresión
algebraica se da evidencia de que para responder se usan los conocimientos adquiridos en
las secuencias anteriores.
Como lo enuncia más claramente el E.3 que dice:
Fig. 6.45
Lo cual da evidencia que para ellos el resultado que está expuesto como una expresión
algebraica representa la razón de cambio de la recta tangente.
Nuestra intención ante las preguntas que se muestran a continuación es que los estudiantes
construyeran un significado en cuanto al carácter variacional de la recta tangente pero en
función de la expresión algebraica que representa a la pendiente de la recta tangente a la
curva:
Esta expresión representa a la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal, al
extender esta hipotenusa en ambos sentidos se encuentra la recta tangente a la curva en
un punto, ¿esta recta tangente tendrá siempre la misma posición? Argumenta tu
respuesta:
La expresión también nos puede ayudar a conocer la razón de cambio instantánea, es
decir saber cuánto se desplaza el cuerpo por cada segundo en un instante del tiempo “t”.
Para el caso que estamos tratando ¿la velocidad instantánea es siempre la misma?,
argumenta tu respuesta:
262
Las respuestas fueron similares. Exponemos las del E.1 con respecto a la pregunta, ¿esta
recta tangente tendrá siempre la misma posición?
Fig. 6.46
Con respecto a la pregunta, ¿la velocidad instantánea es siempre la misma?, el mismo
equipo responde:
Fig. 6.47
La mayoría de las respuestas fueron correctas sólo una del E.2 de la primera pregunta fue
incorrecta. EL lenguaje de los estudiantes incluyen elementos relativos al cambio y
variación, por ejemplo, el hecho de citar que la posición de la recta tangente depende del
punto donde se encuentre la recta tangente o decir también que la velocidad instantánea es
variable. Sin embargo consideramos que las respuestas están hechas conforme a lo que ya
conocían de las secuencias anteriores no haciendo alusión a la expresión algebraica.
6.4.2.2 Elementos del modelo puesto en juego.
Práctica de referencia: Se puede dar evidencia de la práctica, cuando haciendo uso de la
gráfica tomada, similar a la planteada por Euler, los alumnos con base a sus experiencias
previas, organizan actividades con la intención de responder sobre la semejanza de dos
triángulos semejantes, uno de ellos de dimensiones infinitesimales. Al hacer uso de esas
ideas de antaño se puede contestar a lo planteado. También se puede dar evidencia de la
práctica cuando se contesta sobre la interpretación de ∆𝑠∆𝑡 relacionándola con la tangente del
triángulo infinitesimal con la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1. Las
263
respuestas dan evidencia de un contexto de cambio y variación en donde hacen uso de sus
experiencias previas de las secuencias anteriores para responder a lo planteado por la
secuencia.
Resignificación: Podemos ver la resignificación cuando se hace uso de la expresión:
𝑚 = ∆𝑠∆𝑡 pero ahora haciendo uso de expresiones algebraicas con la intención de generalizar.
Los conocimientos que tienen los estudiantes sobre semejanza de triángulos son empleados,
pero para ello se tiene que usar la gráfica haciendo ciertas consideraciones, por ejemplo que
el pequeño arco formado se va a llegar a convertir en la hipotenusa del pequeño triángulo
infinitesimal y por lo tanto de a cuerdo a L´Hospital es un punto de la curva (el cual es un
segmento infinitesimal). Con todos estos significados construidos y además tomando en
cuenta que la recta tangente a un punto de la curva también forma parte de la hipotenusa del
triángulo más grande se usan la resta para establecer el cambio, así como el cociente entre
los cambios que permite que los estudiantes puedan establecer una relación entre la razón
de cambio instantánea con una expresión algebraica.
Funcionalidad: Las ideas anteriormente planteadas en un contexto geométrico y aritmético
se pueden usar ahora en nuevo contexto que es el algebraico dando cuenta de la
funcionalidad del saber. El funcionamiento de la gráfica es que a partir de conocimientos
como son la semejanza de triángulos y vinculando con la idea de cambio y razón de cambio
instantánea se pueda obtener una expresión algebraica.
6.4.2.3 Análisis de los datos
Se ha observado que los equipos organizan sus actividades en donde se hace uso de sus
experiencias previas para contestar lo solicitado, reproduciendo y comunicando
conocimiento matemático. Lo anterior da una muestra de la práctica de la tangente
variacional, con los elementos de geometría (triángulos semejantes), el punto (como un
segmento infinitesimal de a cuerdo a L´Hospital) la gráfica misma que permite obtener una
expresión general de la razón de cambio instantánea, todo ello en un contexto de cambio y
variación. Observamos cómo los conocimientos ya adquiridos se pueden seguir
enriqueciendo para aportar nuevos, en este caso se puede obtener una expresión general la
cual permitirá conocer el valor de la pendiente de la recta tangente para cualquier punto
264
𝑝(𝑥, 𝑦); lo anterior también da evidencia de un conocimiento funcional ya que por ejemplo
la razón de cambio que se había venido obteniendo de manera concreta para valores
específicos con la fórmula de la pendiente en las secuencias anteriores, ahora se muestra en
otro contexto diferente al aritmético que es el algebraico donde también se manifiesta que
son funcionales las ideas de cambio y variación que se han venido trabajando. Se esperaba
que los alumnos en cuanto a las dos últimas preguntas planteadas pudieran responder algo
así como: “Se observa que la pendiente de la recta tangente es cambiante ya que al sustituir
diferentes valores de t se obtienen diferentes valores de la razón de cambio instantánea”, sin
embargo no lo hicieron, sólo un equipo hizo alusión al doble obtenido de la expresión
finalmente encontrada (que representaba a la derivada), pero no lo hizo del todo
correctamente; pensamos por lo tanto que en posteriores puestas en escena se pueden
replantear las preguntas.
6.5 Secuencia didáctica 5
6.5.1 Uso-Herramienta-Actividad
Se pretende emplear elementos de los utilizados en las secuencias didácticas anteriores, es
decir a partir de los usos de conocimiento de antaño expuestos en las secuencias anteriores
se logró construir significados propios de la recta tangente variacional, los cuales
permitieron constatar que si en una curva (función diferente a la de forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 +𝑏 𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒) para diferentes valores de la variable independiente van a existir diferentes
rectas tangentes, por consecuencia tienen diferentes posiciones y pendientes (razón de
cambio). A lo largo de las secuencias se ha trabajado con la velocidad instantánea, llevando
esta idea a la generalización, es decir la razón instantánea de cambio, la cual tiene un valor
para cada punto de la curva. De aquí se desprende la idea de función derivada como 𝑓´(𝑥) a
la cual pretendemos arribar de manera introductoria (desde un punto de vista gráfico) con
esta secuencia didáctica.
El uso que se le va a dar a la gráfica es el construido en la secuencia didáctica 3 por los
alumnos. Este tiene que ver con identificar cuándo una función es creciente o decreciente y
cómo cambia antes y después del punto máximo y qué valor tiene la pendiente de la recta
tangente en el punto máximo. Las herramientas usadas son: las gráficas y la recta tangente
265
variacional, por medio de las cuales se van a llevar actividades como comparar, inferir y
graficar.
6.5.1.1 Evidencia empírica. Uso-Herramienta-Actividad
Se les planta a los alumnos la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 y se les pide que determinen la
función derivada, la cual ya habían encontrado en la secuencia anterior, esta es:
𝑓´(𝑥) = −2𝑥 + 6. A partir de esta expresión se les solicita hacer su gráfica y compararla
con 𝑓(𝑥), en la secuencia se les pregunta:
¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es creciente la función f(x) con respecto a
el intervalo donde es positiva la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:
¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva con respecto al
intervalo donde es creciente la función f(x)?
¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es decreciente la función f(x) con respecto
a el intervalo donde es negativa la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:
¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva donde la función f(x)
es decreciente?
Mostramos primero la gráfica obtenida por el E.1 para 𝑓´(𝑥):
Fig. 6.48
266
El E.1 responde a las preguntas:
Fig. 6.49
La gráfica es usada para comparar el comportamiento de la función 𝑓(𝑥) es decir dónde es
creciente, decreciente, dónde está el máximo y cómo tiene que ver todo esto con los signos
y para qué valor de 𝑥 la 𝑓´(𝑥) = 0. Las respuestas anteriores de los estudiantes nos dan
muestra de cómo es usada la gráfica por los estudiantes, lo cual tiene que ver con la forma
de la misma.
Lo que hacen los estudiantes es llevar a cabo actividades de comparar e inferir mediante la
herramienta matemática de la gráfica y haciendo uso de las ideas ya construidas con
anterioridad con respecto a la recta tangente. Mostramos lo anterior con algunos diálogos
tomados del video con producciones llevadas a cabo con el E.1:
Con respecto a la pregunta, ¿en qué intervalo es creciente la función?, el E.1 responde:
267
Profesor: Itzel, ¿en qué intervalo es creciente la función?
E.1, Itzel: Es de cero a tres.
Profesor: ¿Para “x” mayor que cero y… menor o igual a tres o menor que tres?
E.1: Menor que tres (en coro).
Profesor: ¿No menor o igual?
E.1: No (en coro)
Profesor: ¿Por qué?
E.2, Joan (adelantándose a responder): Porque el menor o igual involucra el
número.
E.1, Andrea: Ajá.
Profesor: ¿Y por qué no queremos que lo involucre?
E.1, Andrea: Porque en tres es igual a cero.
Profesor: Después pregunta, ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a
la curva en 𝑥 = 3?
E.1, Mónica: Cero.
Profesor: ¿Por qué sabemos que,… ahí es igual a cero?,…Mónica
E.1, Mónica: Porque es el punto máximo.
Profesor: Ajá.
E.1, Mónica: Al realizar la función, primero nos da el resultado que es cero.
Suponemos que se refiere a la función 𝑓´(𝑥)
E.1, Mónica: De igual manera al hacer la gráfica nos muestra que en el punto tres…
y ya su punto máximo y hacemos lo que es la recta tangente, tiene un máximo,…
268
En el momento en que está hablando del máximo hace una seña con la mano, haciendo un
trazo como el de una recta horizontal.
Fig. 6.50
Sigue comentando:
E.1, Mónica:…y tiene lo que es la paralela al eje de las “x” y está estable y vale
cero.
Profesor: Ajá, ¿qué significa eso de que está estable?
E.2, Joan (adelantándose a responder): Que no es creciente ni decreciente.
Profesor: Un momentito,… ¿cuánto vale la velocidad en ese instante?
E.1: Cero (en coro)
Profesor: ¿Y por lo tanto la pendiente de la recta tangente a la curva vale…?
E.1: Cero (en coro)
Observamos un lenguaje corporal o gesticulación que tiene que ver con el uso de la gráfica
y que es cuando se tiene un máximo de la función donde la pendiente de la recta tangente
vale cero, así como el valor de la velocidad en el punto más alto.
269
Posteriormente en otro momento se le pide al E.3 que relacione la gráfica de la función
derivada con la función original.
Profesor:…me dijiste que la velocidad ahí vale cero (en un instante anterior Reyna
mencionó que en el punto máximo la velocidad vale cero).
E.3, Reyna: Es en el tiempo 3, por lo tanto (señalando la gráfica de la función
derivada) nuestra gráfica va a estar sobre este punto (señalando punto de
intersección de la recta (función derivada) con el eje x.
Profesor: Ahora, antes de ese punto, ¿cómo son las velocidades?
E.3, Reyna: Positivas.
Profesor: Positivas.
Reyna, al dar la respuesta hace un trazo sobre el pizarrón, parecido al de una recta tangente
sobre una parte de la región creciente de la curva.
Fig. 6. 51
Se termina de dar la explicación. Posteriormente con respecto al siguiente planteamiento
hecho por la secuencia:
270
Sigue comparando ambas gráficas de f(x) y de f´(x), observa detenidamente lo que pasa
antes y después del punto máximo, observa lo que ocurre con las posiciones de las rectas
tangentes (y sus ángulos de inclinación) antes del punto máximo, después del punto
máximo y durante el punto máximo, observa los cambios y compara con la gráfica de
f´(x), ¿a qué conclusiones puedes llegar?
El E.1 contesta lo siguiente:
Fig. 6.52
El uso de la gráfica le permite a este equipo establecer una correspondencia entre cuando la
función es creciente decreciente y cuando la pendiente de su recta tangente vale cero y todo
esto hacerlo corresponder con la gráfica de la función derivada. La gráfica también sirve
para establecer una correspondencia con lo que pasa antes y después del máximo de la
función y relacionar esto con la gráfica de la función derivada.
Observamos que se ha hecho uso de lo construido anteriormente. En la secuencia didáctica
3, se han llevado a cabo las actividades de comparar e inferir, así como la de graficar con
las herramientas matemáticas de la gráfica, la recta tangente variacional. La construcción de
ésta en secuencias anteriores les ha permitido a los estudiantes construir el significado
271
como son los signos de las pendientes de las rectas tangentes antes y después del punto
máximo, así como saber cuánto vale la pendiente de la recta tangente en un máximo.
Esto lo podemos constatar con la actividad 1 en donde se pide trazar rectas tangentes a la
curva. Por ejemplo el E.3 contesta de la siguiente forma:
Fig. 6.53
También ya en la actividad 2 mostramos un pasaje en donde se da evidencia de que los
alumnos saben que los puntos de la gráfica de la función derivada corresponde con las
pendientes de las rectas tangentes de la gráfica (función) original:
Jessica comienza dando una explicación con respecto a la gráfica mostrada en la secuencia
en donde a diferencia de la trabajada anteriormente ahora existe un mínimo:
272
E.4, Jessica: Bueno, nosotros al ver la gráfica nos dimos cuenta que su función era
negativa
Profesor: ¿A ver a que te refieres con eso?
E.4, Jessica: Pues a que la posición en la que esta la parábola.
Profesor: Mmmm, bueno esa es una parábola que abre hacia arriba.
E.4, Jessica: Ajá.
Profesor: Su término cuadrático es positivo, a ver vamos a poner la expresión,… a
no les puse expresión, ¿verdad?
Equipos: No (en coro)
Profesor: Bueno cuando una parábola abre hacia arriba su término cuadrático es
positivo.
E.4, Jessica: Entonces como podemos ver eso, su recta tangente va en decreciente.
Profesor (señalando a la gráfica de la función donde hay un mínimo): ¿Esta es la
recta tangente?
E.4, Jessica: Bueno no, se supone que esta es la que representa la pendiente de la
recta tangente.
Señala la siguiente gráfica 4 hecha por el E.4:
273
Fig. 6.54
Jessica tuvo un error al no expresar correctamente, confundió y el profesor aclaró, sin
embargo podemos ver que sí le queda claro cuál es la gráfica que representa a la función
derivada.
6.5.1.2 Elementos del modelo puesto en juego
Uso: Lo que hacen los estudiantes es determinar dónde la función es creciente, decreciente,
dónde hay un máximo e identificar lo que ocurre antes y después de este con respecto a el
comportamiento de la función. También contrastan estos comportamientos con la gráfica de
la función derivada y explican la relación existente entre creciente con función derivada
positiva, decreciente con función derivada negativa y punto máximo con función derivada
igual a cero; el cómo lo hacen es a partir de los significados construidos con respecto a
cómo es la función si es creciente o decreciente y el punto crítico y cómo se relaciona esto
con la función derivada. Pudimos constatar que estos significados también se pudieron
aplicar en una función con la cual no se había trabajado hasta el momento en donde hay un
mínimo.
Todo lo anterior se hace para que los estudiantes pudieran evidenciar cómo se relaciona la
gráfica de una función cuadrática en donde existía en una un máximo y en la otra un
274
mínimo y a partir de estas funciones hacer una representación gráfica de su función
derivada.
Herramienta: La herramienta matemática usada fue la gráfica, ya que ella sirvió para
explicar sobre signos de las pendientes de las rectas tangentes, así como las posiciones de
las mismas. También con el uso de la gráfica se dieron explicaciones sobre los signos de la
función, es decir si los valores de la función eran positivos o negativos o dónde el valor de
la función era cero. También se vio el uso de la gráfica cuando se mencionaba donde la
gráfica era creciente o decreciente. Observamos que la recta tangente variacional se usa
también como una herramienta ya que las explicaciones hechas por los estudiantes tanto
escritas como argumentadas oralmente así lo muestran, por ejemplo cuando el profesor
pregunta sobre el intervalo donde es creciente la función, los estudiantes aclaran que la
función es creciente antes del punto máximo ya que en el punto máximo vale cero
recurriendo a la recta tangente para explicar.
Actividad: Las actividades llevadas a cabo fueron la de comparar e inferir ejecutadas con
el uso de herramientas matemáticas. Un ejemplo es cuando se pide explicar cómo se obtuvo
la función derivada en términos de la función original. Las explicaciones son hechas
comparando las gráficas de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓´(𝑥) e infiriendo cómo va a ser la función derivada,
donde vale cero, cuando es positiva y/o negativa.
6.5.1.3 Análisis de los datos
En esta secuencia vemos cómo se usan los conocimientos construidos en las anteriores para
dar explicaciones de cómo es la gráfica de la función derivada, relacionándola con la
gráfica de la función original a partir de la cual fue obtenida. Para tal efecto usan
herramientas matemáticas como son: la gráfica y la recta tangente variacional. Estas
permiten llevar a cabo actividades como son la de comparar e inferir, como es visto con el
E.1 cuando se les pide explicar acerca del intervalo donde es creciente la función. Da
correcta su explicación indicando que en el punto máximo la pendiente de la recta tangente
a la curva vale cero. Aquí observamos dos cosas, primero saben que antes del punto
máximo la función es creciente y la pendiente de sus rectas tangente son positivas y dos la
pendiente de la recta tangente en el máximo tiene posición horizontal y por lo tanto su
275
pendiente vale cero, estas ideas fueron construidas con anterioridad haciendo uso de la recta
tangente variacional. El uso del conocimiento construido en la secuencia didáctica 3 sobre
la recta tangente variacional les permite a los alumnos llevar a cabo actividades en un
contexto de cambio y variación y a su vez el empleo de estos conocimientos servirán de
base para llevar a cabo otras actividades con diferentes curvas a las planteadas hasta este
momento como son una parábola que abre hacia abajo y una función cúbica como lo vamos
a ver en la siguiente sección.
6.5.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
El contexto de cambio y variación es propio de la práctica de la tangente variacional. Este
se encuentra implícitamente en las situaciones planteadas las cuales consienten en graficar
la función derivada de dos funciones una curva que abre hacia arriba y otra que tiene la
apariencia de una parte de la función seno (en el diseño el profesor-investigador usó una
parábola que abre hacia arriba y una función cúbica). A los estudiantes no se les
proporcionó ninguna expresión matemática de las curvas en cuestión.
Se pretende que los estudiantes usen los argumentos vistos con anterioridad, los cuales les
pueden ayudar a organizar actividades para que en base a sus experiencias de las secuencias
anteriores puedan resolver los problemas planteados. El resolver los problemas solicitados
también da cuenta de la funcionalidad del conocimiento ya construido, ya que este es usado
en situaciones nuevas.
6.5.2.1 Evidencia empírica. Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad
La función cuadrática presentada a los estudiantes gráficamente se muestra a continuación:
276
Si ahora tuviéramos la gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a
continuación:
Utilizando los argumentos y conclusiones de la actividad 1, haz una gráfica de f´(x):
Presentamos a continuación la respuesta del E.1 que es:
Fig. 6.55
−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
277
Los integrantes del equipo del equipo contestan correctamente haciendo alusión a los
intervalos donde 𝑓(𝑥) es creciente, decreciente y donde hay un mínimo, así como la
relación que guarda todo esto con el mínimo de la función y relacionando con la 𝑓´(𝑥).
Ahora contrastando con el video, Juan Carlos del E.1 explica la relación existente entre
𝑓(𝑥) y la gráfica de su derivada:
E.1, Juan Carlos: En este intervalo (señalando a 𝑓(𝑥) ) que es de -1 hasta 2 es
decreciente, lo que estamos marcando aquí (señala la gráfica de 𝑓´(𝑥) en el
intervalo donde es negativa), el punto mínimo, aquí es un punto mínimo (lo señala)
porque primeramente la función es negativa…
Profesor: La función es decreciente y después se convierte en…
E.1, Juan Carlos: Creciente, marcando un punto mínimo que aquí es señalado
(ahora señala el punto de intersección de 𝑓´(𝑥) con el eje de las “x” después la
función se vuelve creciente en el intervalo de 2 a 5.
El E.2 hace la observación de que si se prolongara los brazos de la parábola también se
tendría que extender la recta.
Con respecto a la gráfica de la función cúbica en la secuencia didáctica se plantea lo
siguiente:
Si ahora tuviéramos una gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a
continuación:
278
Elabora una gráfica de cómo considerarías que queda f´(x) :
A continuación mostramos la respuesta de la función cúbica de la cual se pide la gráfica de
la derivada.
La respuesta del E.4 es:
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
279
Fig. 6.56
Otros dos equipos más hacen la gráfica de manera similar. El E.3 también da una
explicación en términos de dos parábolas unidas y el E.2 sólo pone una gráfica similar a la
anterior sin dar explicación.
Los tres equipos saben distinguir las partes donde la función es creciente y decreciente y
relacionar esto con los máximos y mínimos.
El E.1 hace una gráfica correcta su respuesta es:
280
Fig. 6.57
El E.1 contesta correcto, su respuesta de cómo lo hace está en función de cuando la función
es creciente, decreciente y cómo se relaciona esto con los puntos críticos de la función. El
equipo señala que en el máximo y mínimo la gráfica de la función derivada se intercepta
con el eje “x”. Veamos cuales fueron los argumentos utilizados por el E.1 para dar su
respuesta correcta.
E.1, Andrea: Para comenzar hacer la gráfica tomamos en cuenta el máximo y el
mínimo, entonces a partir de eso hicimos la gráfica
Señala los puntos de intersección de la gráfica de la derivada con el eje “x” y sigue
comentando:
E.1, Andrea: Entonces a partir de eso vimos que es lo que pasaba con nuestra
gráfica, si decrecía o crecía, entonces antes del máximo está creciendo y esa es la
parte en la que es positiva (señala la gráfica de la derivada).
281
Fig. 6.58
E.1, Andrea: Entonces después del máximo comienza a decrecer, hasta llegar al
mínimo, que es esta parte de aquí, que es negativa.
Señala la parte donde es negativa la función derivada
Fig. 6.59
282
E.1, Andrea: Porque estamos viendo que es desde -1 a 1, que es toda esta parte de
aquí.
Vuelve a señalar la parte negativa de la gráfica de la función derivada, recorriéndola con su
dedo. Podemos identificar sus argumentos que tienen que ver donde la función es creciente,
donde es decreciente con los signos de la función derivada.
E.1, Andrea: Después del mínimo comienza a crecer nuevamente, entonces aquí
nuevamente vuelve a ser positiva.
Ahora señala la parte positiva de la función derivada correspondiente al segundo punto de
intersección de la gráfica de la derivada en adelante. También interviene Mónica del mismo
equipo.
E.1, Mónica: Bueno nosotros tomamos lo que es otra parábola.
Señala la gráfica de la función derivada.
E.1, Mónica: Es porque en la gráfica anterior, hacíamos lo que es una velocidad
constante, en este caso no es constante, es que se están formando como dos
parábolas y entonces eso quiere decir que la velocidad no es constante sino que es
variable, por eso nos queda así.
Al argumentar así comprendemos que se refiere a la razón de cambio de la velocidad que
en el ejemplo anterior a este era constante y ahora es variable. Nuevamente interviene
Andrea.
E.1, Andrea: Bueno así como dice ella, el ejemplo anterior estaba esto así,…
Hace la gráfica de la velocidad del caso anteriormente expuesto.
283
Fig. 6.60
E.1, Andrea: Por datos de “x” hay datos de “y”
Andrea dibuja puntos sobre la recta con espacios entre ellos más o menos iguales, como
para confirmar la razón de cambio constante (refiriéndose al caso anteriormente tratado),
aunque le faltaría precisar que para los mismos cambios de “x” hay los mismos cambios de
“y”. Sigue con su explicación, ahora refiriéndose al caso que en ese momento se estaba
tratando.
E.1, Andrea: Aquí ya no ocurre lo mismo.
Profesor: Mmmm, ese es un crecimiento constante de la velocidad, más bien.
E.1, Andrea: Ajá, y pues aquí como tenemos un decrecimiento y un crecimiento,
pues ya no puede ser constante.
Señala la parte de la gráfica de la función derivada donde hay decrecimiento y crecimiento.
Lo que han aprendido sobre comportamiento gráfico les permite argumentar y obtener una
respuesta correcta.
6.5.2.2 Elementos del modelo puesto en juego
Práctica de referencia: Se puede dar evidencia de la práctica cuando los estudiantes están
organizando actividades, como son las actividades de comparar, inferir y graficar con la
intención de resolver el problema planteado que en este caso es determinar cuál es la
284
gráfica de la función derivada de una parábola que abre hacia arriba y una función cúbica,
todo esto empleando argumentos de cambio y variación.
Resignificación: Cuando se les solicita a los estudiantes que hagan la gráfica de la función
derivada de una función cúbica y emplean lo visto anteriormente pero, digamos en una
situación diferente ya que la gráfica es distinta a las usadas anteriormente, se puede
observar la resignificación. Nos referimos específicamente a el argumento usado por los
estudiantes, “cuando una función pasa de ser creciente a decreciente la forma de su gráfica
(de acuerdo a lo visto en los ejemplo planteados anteriormente a los estudiantes) es la de
una parábola”. Este significado construido se usa pero ahora se resignifica ya que se emplea
en una situación nueva (en la gráfica de la función derivada) construyéndose un nuevo
significado que es: la gráfica de la derivada de la función cúbica es una parábola.
Funcionalidad: Los conocimientos adquiridos son funcionales en situaciones distintas por
ejemplo cuando se les solicita a los estudiantes hacer la gráfica de la derivada de una
parábola que abre hacia arriba y de una función cúbica, los saberes adquiridos adquieren
uso y significación ya que los argumentos de cambio y variación usados con anterioridad se
emplean y funcionan para dar respuesta a lo planteado. Inclusive el equipo usa argumentos
construidos con anterioridad: la razón de cambio de la velocidad no es constante ya que
pasa de ser creciente a decreciente y por lo tanto deducen (aunque no lo hacen implícito en
su discurso) que no se trata de dos rectas con velocidades constantes unidas en un punto.
Podemos verificar entonces que el uso de la gráfica da elementos para argumentar y poder
construir nuevos significados.
6.5.2.3 Análisis de los datos
Los equipos utilizan argumentos de cambio y variación para dar sus respuestas. Estos
argumentos fueron construidos en las secuencias anteriores y ahora ya sólo los utilizan,
todo esto tiene que ver con las inclinaciones y pendientes de las rectas tangentes antes y
después del máximo de una función, así como el valor de ella en el punto máximo. Tres
equipos tuvieron una buena aproximación a la gráfica de la derivada con explicaciones
correctas, sin embargo tuvieron un error al no poner la gráfica de la función derivada como
una parábola, pero un equipo contestó correctamente usando argumentos vistos en la misma
285
secuencia. En el caso del equipo que contestó correctamente detectamos que usan un
argumento que no fue explicitado anteriormente en el desarrollo de las secuencias
anteriores esto tiene que ver con el razonamiento que hicieron en el caso de un máximo.
Consideramos que la forma de razonar que usaron con respecto al máximo de una función
consiste en que para los mismos cambios del tiempo no hay los mismos cambios de
desplazamiento, es decir la razón de cambio no es constante. Suponemos ya que no
indagamos más al respecto que así como se dieron cuenta de que cuando una razón de
cambio pasa de positiva (en donde la función es creciente) a negativa (en donde la función
es decreciente) pasando por cero, entonces tiene la forma de una parábola. Este
razonamiento de que cuando una función pasa de creciente a decreciente, implica que la
razón de cambio no es constante y además que la forma de su gráfica es la de una parábola.
Al trasladar esta idea con la gráfica de la función derivada, el equipo probablemente
observó que había ahora una parte de la función decreciente que pasaba a ser creciente y de
ahí su inferencia de que la gráfica de la función debería de ser la de una parábola tal y como
ellos lo dijeron, “como tenemos un decrecimiento y un crecimiento, ya no puede ser
constante”. Aquí se usan argumentos de cambio y variación en un contexto gráfico, en
donde el uso de la gráfica permite argumentar. Todo esto nos proporciona ideas para
mejorar las secuencias en trabajos futuros.
Los equipos resolvieron el problema planteado y para ello usaron sus experiencias previas
organizando actividades; se hizo uso de lo anteriormente visto pero ahora para responder se
construyó un nuevo significado en los estudiantes que tuvo que ver con determinar que la
gráfica de una función cúbica era la gráfica de una parábola. Los argumentos para dar esta
respuesta fueron hechos a partir de lo construido en las secuencias, tal y como lo podemos
constatar por el lenguaje que ocuparon al responder.
La secuencia se puede mejorar ya que consideramos que la herramienta matemática de la
tangente podría ser usada también al trazar rectas tangentes antes y después del punto de
inflexión. Las rectas tangentes después del máximo y antes del punto de inflexión tienen
pendientes negativas y conforme se van acercando al punto de inflexión el valor de sus
pendientes van disminuyendo (se van haciendo más verticales pero con pendientes
negativas) después de pasar el punto de inflexión el valor de las pendientes (que siguen
286
siendo negativas) van ahora en aumento ya que la inclinación ahora se va haciendo más
horizontal, en el punto de inflexión corresponde al valor mínimo con respecto a la función
derivada y posteriormente la función derivada es creciente. Si observamos en este proceso
las pendientes de las rectas tangentes no cambian con una razón de cambio constante. De
hecho las pendientes de las rectas tangentes primero van disminuyendo hasta llegar a un
punto más pequeño para después comienzan a crecer y este comportamiento gráfico es el de
una parábola, el cual es un razonamiento parecido al establecido por el equipo pero ellos
hablaron en términos de velocidades.
6.6 La Práctica Social
6.6.1 La predicción
Poner atención en la manera de variar de la variable es propio de la predicción, como lo
enuncia Cantoral (2000),
Necesitamos saber entonces el valor que tomará B antes de que transcurra el
tiempo, antes de que P transite del estado uno al estado dos. Pero a causa de
nuestra imposibilidad de adelantar el tiempo a voluntad, debemos predecir. En
tal caso, no disponemos de razones para creer que en este caso, el verdadero
valor de B esté distante de las expectativas que nos generen los valores de B y P
en un momento dado, de la forma en la que P y B cambian, de la forma en la
que cambian sus cambios, y así sucesivamente.
(p. 196)
Nos damos cuenta en lo anterior que revisar la forma en la que cambian las variables es un
aspecto fundamental en la predicción. Hacer un análisis del cambio tanto cuantitativo como
cualitativo, es decir cuánto cambia y como cambia son elementos a considerar en la
predicción. La práctica de la recta tangente variacional es normada por la práctica social de
la predicción, esto no se podría sólo ver para un momento específico de la historia, se
tendría que hacer un recorrido por diferentes etapas de la práctica e ir observando cómo se
van construyendo significados y estos se van resignificando. El análisis del conjunto de los
momentos nos da elementos para inferir que se trata de la predicción.
287
Iniciamos con un primer momento que es donde Copérnico quería conocer las posiciones
de los cuerpos celestes. Para esto hizo uso de la geometría y un primer elemento fue
demostrar que una curva se comporta como una línea recta en aquella región en donde dos
puntos se encuentren lo suficientemente cercanos, esta idea se logró construir al ir haciendo
cada vez más y más pequeños dos arcos que parten de un punto común y este es un primer
significado a construir que servirá como base en la práctica de la tangente variacional.
Veamos como lo enuncia el E.1 en la secuencia didáctica uno:
Fig. 6.61
Al recurrir a otro momento histórico observamos que el significado anterior se retoma, pero
se enriquece agregándole nuevos significados como que ese pequeño segmento podría ser
la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal y por lo tanto tiene una inclinación y
pendiente. Por otro lado ese pequeño segmento infinitesimal al extenderse en ambos
sentidos se formará la recta tangente a la curva en un punto.
En la secuencia didáctica dos el E.3
Fig. 6.62
Hay evidencia de los significados de la práctica de la tangente variacional los cuales son
construidos en un contexto de cambio y variación y que vemos cuando el equipo menciona
que la curva se llegará a comportar como una línea recta que forma parte de un lado del
triángulo. El triángulo mencionado es un pequeño triángulo infinitesimal y el lado al que se
288
refiere es la hipotenusa del mismo. Las respuestas construidas se dan en el mismo contexto
en que es presentada la secuencia es decir gráficamente y empleando elementos de tipo
geométrico pero que se pueden usar en un contexto de física en donde se les pide a los
estudiantes que calculen la velocidad instantánea de un objeto que es lanzado verticalmente
hacia arriba en un instante del tiempo solicitado.
Una vez construidos estos significados, pasamos a otro momento en donde L´Hospital que
también presenta sus argumentos en un escenario gráfico empleando elementos de
geometría enuncia una idea que dice que una curva puede ser considerada como el
ensamblaje de una infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas, y si
se prolonga una de esta líneas infinitamente pequeñas en ambos sentidos a la línea recta así
formada se le llama la tangente a la curva en el punto M o m.
Y muestra la figura:
Fig. 6.63
Esta figura enriquece lo ya construido hasta el momento y de la definición, así como de la
figura se puede considerar que un punto es un segmento infinitamente pequeño.
Ahora con todos estos elementos ya se puede construir la noción de recta tangente
variacional, como se puede ver en las respuestas de los estudiantes:
Una forma de dar evidencia de esto es a partir de la gráfica en donde se muestra la recta
tangente en diferentes puntos de la curva, tal como lo plantea el E.1, en la fig. 6.64
289
Fig. 6.64
En donde se pueden ver todos los elementos construidos con anterioridad, pero además ya
con la idea de que la recta tangente es cambiante, dependiendo de cada punto de la curva.
También el E.4, da evidencia en base argumentos de cambio y variación en donde son
importantes los cambios y la forma en que cambian esos cambios para cada momento de la
curva:
Fig. 6.65
En la secuencia didáctica 4 se emplean las ideas de razón instantánea de cambio pero
generalizando en una expresión algebraica y en la secuencia didáctica cinco se hace uso de
290
todo lo construido con anterioridad. La recta tangente funciona como una herramienta que
de alguna forma permite predecir ya que al conocer su posición se podría conocer como
sería la razón de cambio un instante después, lo cual pone en evidencia que se trata de la
predicción.
En la figura 6.57 mostrada anteriormente se muestra la gráfica de la función derivada de
una función cúbica en donde sin darles la expresión matemática de la función cúbica se
solicitó la gráfica de la función derivada. En la figura podemos ver el tipo de argumentos
que utilizaron los alumnos, los cuales son de cambio y variación y son los que se han
venido manifestando a lo largo de toda la práctica de la tangente variacional. Esta sirve
como herramienta para la construcción de la gráfica de la derivada de una función
cuadrática y una función cúbica.
El uso que se hizo de las gráficas a lo largo de las secuencias ha proporcionado formas de
argumentar para contestar lo que se les solicitaba a los estudiantes e ir construyendo nuevos
significados.
La predicción es la práctica social que va a normar la práctica de la recta tangente
variacional y se va a ver manifestada a lo largo de los años desde el siglo XVI con
Copérnico hasta el siglo XVIII con Euler en donde el análisis de los cambios como un
elemento clave de la predicción se ha manifestado desde unos primeros significados
iniciales que se fueron robusteciendo con el paso del tiempo hasta llegar a constituirse en la
solución del problema de las tangentes lo cual dio paso a la noción de derivada. En nuestro
caso la recta tangente variacional sirvió como una herramienta para la introducción a la
construcción de la noción de derivada desde un punto de vista gráfico, la cual de acuerdo a
(Cantoral, 2000) es usada en la serie de Taylor, y esta a su vez se constituye en una
herramienta matemática que permite predecir el estado posterior dado que se conoce las
condiciones del estado de inicio. Para poder conocer la razón instantánea de cambio de una
curva en cada instante se requiere asignarle varios atributos los cuales se fueron
construyendo en un contexto de cambio y variación en donde el uso de las gráficas fue
relevante y sirvió para argumentar en cada una de las secuencias (que representan
diferentes momentos en la historia). Todos estos momentos en su conjunto están
interrelacionados y denotan la historicidad de la práctica social, lo cual permite inferir que
291
se trata de la predicción. Una evidencia de esto está en los resultados obtenidos en la última
secuencia por ejemplo en donde ya se usan los significados construidos con anterioridad y
en base a la gráfica los estudiantes podían dar argumentos de en qué momentos una
velocidad podría ser cero, cuando era negativa y/o positiva. Es decir al conocer las
condiciones en algún punto de la gráfica se podrían conocer atributos de la misma, por
ejemplo si la velocidad en ese instante era positiva, negativa o si era cero, también los
intervalos en que sería positiva y negativa e inclusive como un equipo lo planteó la forma
de la gráfica de la función derivada de una función cúbica usando los significados
construidos en las secuencias anteriores.
6.7 A manera de cierre
El ejercicio de la práctica de la tangente variacional que es normada por la práctica social
de la predicción y cuyo modelo teórico de construcción social del conocimiento se presentó
en el marco teórico de nuestra investigación sirvió como base para el diseño de cinco
secuencias didácticas cuya intención ha sido que los alumnos construyeran la noción de
recta tangente desde un punto de vista variacional. El modelo articula diferentes constructos
como son la práctica social, uso, práctica, herramienta, actividad, resignificación y
funcionalidad. En donde la práctica social es la base de la construcción social del
conocimiento matemático. Para lo anterior se llevó a cabo un estudio de corte
socioepistemológico para lo cual se recurrió a la historia, en donde la historicidad como una
característica de la práctica social fue importante para ubicarnos en diferentes momentos de
la historia.
Reconocer a la historicidad como una de las características de la práctica social ha servido
para identificar diferentes momentos en la historia en donde se encontraba presente la
práctica de la tangente variacional. Esto nos permitió ver a la resignificación como aquellas
ideas que se van robusteciendo cada vez más y más, lo cual es producto de la interacción
entre actividades-herramientas matemáticas para llevarlas a cabo. Todo esto bajo un
contexto de cambio y variación y dando cuenta de la funcionalidad, ya que los significados
construidos sirvieron para resolver problemas en otros contextos y poder de esta manera
hacer un análisis de la realidad. El empleo de estas ideas se vio cristalizado con el diseño de
292
las secuencias didácticas, en donde los datos obtenidos por los estudiantes nos han
mostrado la viabilidad del modelo empleado.
Aunque no se logró en todos los casos que los estudiantes construyeran todos y cada uno de
los significados, consideramos que se obtuvieron buenos resultados. Al final, todos los
equipos argumentaban haciendo un análisis de los cambios y la forma en que cambiaban los
cambios lo cual nos dio muestra de cómo después de construir la tangente desde un punto
de vista variacional esta se convirtiera en una herramienta que auxilió como una
introducción en la construcción de la derivada. De esto también se pudieron obtener datos
en la última secuencia que así lo reflejaron.
293
Capítulo VII
Conclusiones finales
7.1 Con respecto a las preguntas de investigación
Se formuló una pregunta de investigación principal la cual fue elaborada desde nuestra
postura teórica, la pregunta es: ¿Cuáles fueron los usos de herramientas matemáticas para
llevar a cabo actividades pertenecientes a una práctica de referencia, normada por una
práctica social, los cuales permitieron la construcción de la recta tangente desde un punto
de variacional y como puede ser empleado ese conocimiento en una didáctica actual?
Para responder a la pregunta principal de investigación se diseñaron preguntas secundarias
cuyas respuestas permitían ir contestando la pregunta principal.
Las preguntas secundarias son: ¿Cuáles fueron los usos antiguos del conocimiento y
cómo favorecieron estos a la construcción de la tangente variacional?, Contestar a la
pregunta tuvo que ver con reconocer que el contexto sociocultural de la época fue decisivo
en la forma de abordar los problemas planteados por las necesidades que se encontraban
presentes en ella. El análisis de los usos del conocimiento, primero nos llevó a plantearnos
momentos clave en la historia, aquellos en donde se pudieron captar las primeras ideas
iniciales, de la construcción de la tangente variacional y posteriormente ir retomando otros
momentos históricos en donde se manifestaba un enriquecimiento de las ideas iniciales.
Algunos problemas existentes en los siglos XVI, XVII y XVIII fueron aquellos
concernientes a los fenómenos de cambio y variación. Las matemáticas fueron herramientas
que permitieron abordarlos, de tal forma que al investigar cuáles fueron los usos que
estuvieron presentes en la construcción de la tangente variacional, buscamos aquellos en
donde estuviera presente una práctica de referencia, la cual tenía que ver con una “forma
294
de mirar” y de afrontar las problemáticas de fenómenos relativos al cambio y variación.
Esto marca una diferencia con respecto a otras perspectivas teóricas, como aquellas por
ejemplo que tienen como principal paradigma que su objeto de estudio sea el objeto
matemático en sí mismo. Bajo esos enfoques lo que se tendría que hacer es investigar a la
recta tangente; sin embargo, en nuestro caso pudimos constatar que los usos del
conocimiento son algo llevado a cabo por comunidades que comparten paradigmas, que
tienen una forma de tratar y enfrentar problemas es decir hay una racionalidad
contextualizada (Espinoza, 2009).
Al ser los usos un producto de la actividad humana la cual no es estática sino más bien
dinámica, estos no siempre son los mismos ya que van cambiando de acuerdo a las nuevas
necesidades que se van presentando, esto favorece el enriquecimiento de sus significados.
Lo anterior se ha observado ya que la humanidad tiende siempre a querer encontrar
métodos más generales para resolver problemas, que sean más funcionales, lo cual se ve
reflejado en los usos del conocimiento, por lo que los caracterizamos como dinámicos y
presentes a lo largo de la historia, con “una vida”. Esto nos da pauta a reconocer que con
respecto a los significados correspondientes a herramientas a matemáticas que permiten
llevar a cabo actividades con la intencionalidad específica de resolver problemas, se tienen
algunos primeros constructos los cuales se van robusteciendo, enriqueciéndose así
progresivamente las ideas de inicio.
El reconocimiento de los usos como algo dinámico nos llevó a plantearnos posteriormente
otra pregunta que fue, ¿cuáles fueron los primeros usos del conocimiento que propiciaron la
construcción de la tangente?. Contestarla también presuponía que era evidente que había un
proceso y por lo tanto diferentes momentos en la humanidad que favorecieron su
construcción. La guía que nos permitió reconocer una ruta a seguir para identificar estos
momentos en la historia fue por un lado identificar en nuestro estado del arte, el hecho de
que los infinitesimales fueron aquellos constructos que permitieron hacer un análisis del
cambio y variación. Su representación gráfica permitió dar explicaciones acerca del
comportamiento y caracterización de las curvas por lo que fueron un punto clave en la
resolución del problema de las tangentes; por otro lado, fijarnos en qué fue lo que
acompañó y/o propició la construcción de la recta tangente producto de una época, en
295
donde había una forma de mirar y de proceder, fue el empleo de argumentos de cambio y
variación los cuales existieron y estuvieron presentes en una comunidad de matemáticos. El
reconocimiento de estos elementos nos permitió utilizarlos de manera intencional en la
creación de secuencias didácticas.
Para cada momento histórico se necesitó reconocer las actividades llevadas a cabo con el
uso de herramientas matemáticas y cuáles fueron los significados construidos en cada
momento. Es decir reconocer lo que rodeó, estuvo presente y dio significado a los usos del
conocimiento requirió no solamente determinar la herramienta matemática utilizada para
llevar a cabo actividades sino ubicar a la herramienta-actividad dentro de un contexto, el
cual les daba sentido. Por ejemplo en la secuencia didáctica 1, se llegó a la conclusión de
que en el caso de Copérnico al querer conocer las posiciones de los cuerpos celestes lo
llevó a usar una herramienta matemática por medio de la cual llevó a cabo actividades
como calcular, comparar e inferir, las cuales tuvieron sentido en un contexto geométrico en
donde el uso de la gráfica fue importante para que pudiera dar sus explicaciones. En ese
contexto tenía sentido lo que se estaba haciendo. Al hacer la consideración de todos estos
elementos juntos se pudo determinar la construcción de significados a partir de la
interacción herramienta-actividad.
La otra pregunta de investigación fue: ¿Cuál fue la práctica social que le dio origen y
como normó ésta su construcción? En nuestro marco teórico se reconoce a la PS como la
normativa de las acciones de los individuos, en nuestro caso particular se manifiesta a partir
de la construcción de argumentos que están relacionados con una forma de mirar y tratar a
fenómenos físicos con herramientas matemáticas, como son el estudio del cambio y
variación de los fenómenos de flujo continuo. La PS va a normar las actividades de las
personas a través de la práctica de referencia, en nuestro caso la práctica de la tangente
variacional, y que se va a manifestar a través de generaciones como un conjunto de
actividades organizadas intencionalmente con la intención de resolver un problema el cual
tiene razón y sentido en el contexto sociocultural en donde se encuentra presente.
Ubicamos a la predicción como la PS que normó la construcción de la práctica de la
tangente variacional, una de las ideas básicas de la predicción es reconocer el todo sólo con
296
mirar la parte y esto se puede hacer a partir del análisis del elemento puntual, para lo cual
se puede usar la diferencia fundamental:
𝑝(𝑥 + 𝑑𝑥)− 𝑝(𝑥)
Esta nos permite determinar el cambio de un estado a otro, el equilibrio o desequilibrio, en
fenómenos físicos de la naturaleza. El uso de elementos concernientes a la variación
infinitesimal como son los infinitesimales es lo que a la postre consolidó un método general
de resolución del problema de las tangentes. Nuestra postura teórica nos llevó a observar no
solamente a la recta tangente como un objeto de estudio en sí mismo, sino a los elementos
asociados a su práctica, es decir aquellos que se encontró y estuvieron presentes en su
construcción como producto de un contexto sociocultural propio de una práctica de
matemáticos eruditos de una época normada por la PS de la predicción. En consecuencia
revisar sus constructos asociados nos permitió rastrear elementos pertenecientes a la
práctica de la tangente variacional como son:
a) Una curva se comporta como un segmento siempre y cuando se tengan dos puntos
de la misma infinitamente cercanos.
b) Se puede considerar que un punto es un segmento infinitesimal.
c) Un segmento infinitesimal (como parte de una curva) tiene una inclinación, es decir
una pendiente la cual nos da información acerca de la razón instantánea de cambio.
d) Al extenderse un pequeño segmento infinitesimal en ambos sentidos se tiene la recta
tangente en un punto de la curva que comparte con ella el segmento infinitesimal,
por lo tanto conocer la pendiente de la recta tangente implica conocer la pendiente
del segmento infinitesimal con lo cual se conocerá la razón instantánea de cambio.
e) La recta tangente y consecuentemente el segmento infinitesimal con el cual es
común con la curva es variable.
f) La curva puede ser la representación gráfica de un fenómeno físico, de tal forma
que se pueden conocer elementos como el máximo, mínimo, la razón instantánea de
cambio a partir del análisis del uso de la gráfica.
g) La recta tangente se puede usar como una herramienta matemática gráfica que
permite caracterizar a una curva.
297
Los elementos anteriores no surgen espontáneamente, hubo algunas primeras ideas y sobre
esa base se fueron enriqueciendo las mismas, es decir hubo una resignificación progresiva
de las ideas conceptuales. Al reconocer la historicidad como una característica de la PS nos
llevó a hacer un seguimiento histórico, en donde se pudo detectar estos momentos donde se
reconocieron significados iniciales los cuales se fueron resignificando y siendo cada vez
más funcionales.
En nuestra revisión del estado del arte de productos de investigación en donde se
encontraban presentes el pensamiento y lenguaje variacional tratando temas concernientes
al cálculo diferencial, nos percatamos que había una idea que se encontraba de manera
recurrente. La idea de dejar fluir medir el cambio y hacer un análisis del mismo, lo que
lleva a usar herramientas matemáticas que permitan dichos análisis en donde no se está
analizando a la matemática per se, sino al efecto que tiene sobre ésta en base a los
fenómenos físicos que se están estudiando y que son productos de un contexto (Cantoral,
2001).
El uso de los infinitesimales y la manera en cómo fueron representados gráficamente nos
habla sobre la matematización de los fenómenos de cambio, así como la manera en que los
matemáticos de la época trataron la matemática del cambio. Esto posibilita el análisis del
elemento puntual, el cual de acuerdo a L´Hospital es un pequeño segmento infinitesimal
(que puede ser representado gráficamente) cuyo análisis podrá llevar a predecir el todo solo
con mirar la parte (Cantoral, 2001).
Queremos retomar algunos ejemplos que dan una muestra de lo que hemos estado
discutiendo.
En la investigación llevada a cabo por Castañeda (2004) se presenta la idea de medir la
segunda diferencia, utilizando ideas como son el análisis de las diferencias a partir de los
infinitesimales. Veamos a continuación una figura presentada en sus análisis:
298
Fig. 7.1
Aparentemente podría parecer que sólo se quiere conocer la segunda diferencia. Sin
embargo al mirar con mayor profundidad el lector se puede dar cuenta que también se
quiere medir el cambio del cambio. Para ello se hace uso de elementos característicos de
una época como el uso de los infinitesimales los cuales son representados geométricamente
por pequeños segmentos en una gráfica en donde el análisis de los fenómenos de cambio y
variación a partir de herramientas matemáticas como son las diferencias y las gráficas.
El estudio de los fenómenos de cambio a partir de su representación gráfica refleja una
forma de mirar de una comunidad de matemáticos. Por ejemplo en el caso que estamos
tratando si la gráfica representa un fenómeno de cambio y variación, entonces el saber
cómo cambia el cambio puede permitir predecir un estado ulterior.
La forma de abordar los fenómenos de cambio y variación haciendo uso de herramientas
matemáticas fue un paradigma existente. Inferimos que la caracterización de las curvas a
partir del uso de los infinitesimales no fue algo casual, ya que si asumimos a las
matemáticas como herramientas que permite resolver problemas entonces tiene sentido
pensar en la matemática de la variación, tal y como ya lo hemos mencionamos en nuestro
estado del arte, pues el movimiento como propiedad esencial de la materia es incorporado a
la matemática en forma de variables trascendiéndose así concepciones estáticas acerca de la
naturaleza y del universo. Este viraje en el desarrollo de la matemática posibilitó soluciones
más generales al problema de las tangentes.
299
En el estudio llevado a cabo por Serna (2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009)
también vemos presentes estas ideas en el análisis que se hace de Euler y la forma en cómo
le da tratamiento a la tangente a una curva. Él utiliza argumentos geométricos, pero también
emplea desarrollos algebraicos con la intención de hacer un análisis del cambio. Utiliza una
figura en donde hay elementos de geometría que fue empleada por los matemáticos de la
época por varios años:
Fig. 7.2
Euler representa el cambio por medio de un polinomio y hace un análisis del mismo
tomando en cuenta los cambios en el eje vertical y en el eje horizontal. Se hace la
consideración de dos triángulos semejantes uno de dimensiones finitas y otro de
dimensiones infinitesimales, la hipotenusa del triángulo más grande representa la recta
tangente a la curva en el punto M cuya pendiente es la misma que la del triángulo de
dimensiones infinitesimales, con la cual se puede representar en términos actuales como la
razón instantánea de cambio. Esta va a tomar valores diferentes para cada punto de la
curva. Euler reconoce explícitamente el carácter variacional de la recta tangente (Serna,
2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009).
Con lo anterior hemos querido ejemplificar que las ideas de cambio y variación se
encontraron presentes en una comunidad de matemáticos eruditos. Estas ideas provenían de
una clase de fenómenos físicos que fueron tratados con herramientas matemáticas, pero
había una forma de afrontar estos problemas notando en todo ellos elementos comunes. Por
ejemplo el análisis del cambio y variación a través de los infinitesimales en un contexto
geométrico donde la diferencia entre dos puntos muy cercanos de una curva era una
herramienta matemática esencial en el análisis de la misma. Todas estas ideas estaban
siendo normadas por la PS de la predicción en donde el llevar a cabo un análisis del
300
elemento puntual es importante ya que se dice que posee herencia y por lo tanto permite
conocer el estado ulterior si se conoce el estado de facto (Cantoral, 2001; Marcolini y
Perales, 2005).
Con base a lo anteriormente expuesto inferimos que los constructos asociados a la práctica
de la tangente variacional (que fueron expuestos en párrafos anteriores) fueron construidos
sobre la base de la PS de la predicción.
Con respecto a la pregunta: ¿se puede construir la tangente variacional a partir de
identificar su origen y diferentes etapas de desarrollo como producto de la
construcción social del conocimiento y cómo se puede emplear esto para llevar a cabo
una intervención en el aula?
La PS como aquello que norma la construcción de conocimiento matemático es algo que no
nace espontáneamente, “tiene una vida” y se presenta a través de generaciones. Las
herramientas matemáticas que sirven para resolver problemas se van enriqueciendo y
modifican al hombre así como a su vez este sigue modificando las herramientas para
hacerlas más funcionales.
Como enuncia Cantoral (2001), sobre el análisis de la diferencia fundamental entre dos
estados:
…mide el desequilibrio en la naturaleza, su reconocimiento permite anunciar la
presencia de flujos, así como también da cuenta de los procesos de acumulación
de lo que fluye; en fin, con ese significado asociado, resulta obligado su análisis
en los mecanismos de predicción propios de las ciencias físicas.
(p. 348)
El estudio de los fenómenos físicos que se refieren al movimiento de los cuerpos en el
espacio induce a la creación de herramientas matemáticas para su estudio, esto se fue
dando en diferentes etapas de la historia y se refleja en la PS. Esta va a orientar la
construcción de conocimiento matemático y se va a ver manifestado en diferentes
prácticas. En nuestro caso particular la práctica de la tangente variacional, se vio reflejada
301
en la forma en que un colectivo de científicos matemáticos trató un problema que algunos
libros de historia de la ciencia llamaron el problema de las tangentes.
¿Qué elementos socioculturales presentes en la historia de la práctica de la tangente
variacional se pueden utilizar para una intervención el aula?
El hecho de hacer una revisión en el estado del arte y considerando nuestra investigación en
(Serna, 2007) nos dio una muestra que hubo momentos de la historia entre el siglo XVI y
XVIII, en dónde estuvo presente una práctica de referencia. El identificarla en nuestra
investigación nos permitió reconocer diferentes elementos que se encontraron presentes en
la construcción de la tangente variacional. No fuimos solamente a un momento de la
historia a observar el objeto matemático recta tangente y a partir de ahí obtener ideas que
permitieran su construcción en una didáctica actual, más bien de acuerdo a nuestra postura
teórica identificamos los elementos provenientes del contexto que hicieron posible su
construcción para fines educativos.
Plantear que el conocimiento matemático es producto de la actividad humana, hace
asequible la idea de que los saberes (conocimiento puesto en uso) tienen una “vida” esta se
ve manifestada en diferentes momentos de la historia, es decir un saber no surge de forma
instantánea y “muere” también instantáneamente, es algo que va surgiendo en base a
problemáticas de una comunidad y va teniendo cambios ya que cada vez se va a resolver
mejor dichas problemáticas; cuando identificamos esto vemos que efectivamente un saber
tiene una historicidad, reconocerla implica buscar también estos primeros elementos con
los que se construyó el conocimiento puesto en uso, sus significados y esto nos permite
también ver que hay una forma más natural de secuenciar las ideas y emplear esto en el
discurso matemático escolar, ya que así fue como la sociedad fue construyendo sus
conocimientos, a diferencia de las secuencias de objetivos planteados en los currículos
escolares actuales que tienen una secuenciación parecida a la del análisis matemático.
Reconocer la historicidad de un saber nos permitió ver los primeros elementos con los que
se fue construyendo la recta tangente variacional y a partir de ahí ir a otro momento en
donde se enriquecía el primer elemento encontrado con nuevos significados haciéndose de
esta manera más robustos los significados, más funcionales, resolviendo cada vez mejor los
302
problemas. La historicidad nos hizo recurrir a diferentes momentos de la historia y en base
a ello diseñar secuencias didácticas en donde el saber que se iría construyendo tendría estas
características de historicidad. En cada momento histórico empleado se identificaron cuáles
fueron los significados construidos y esto se empleó en el diseño de las secuencias por
medio de las tareas que los estudiantes tenían que llevar a cabo.
Desde el punto de vista de la construcción social del conocimiento, se planteó la pregunta:
¿cuáles son los elementos asociados a su construcción y cómo se pueden emplear estos
para una intervención didáctica? Nuestra investigación nos llevó a identificar elementos
por medio de los cuales se puede construir conocimiento. A manera de cierre decimos que
los elementos encontrados son constructos teóricos que se articularon por medio de un
modelo de construcción social del conocimiento matemático que dio explicaciones que
fueron utilizadas en el diseño de las secuencias didácticas, las cuales tuvieron la intención
de que esos significados identificados en la historia fueran construidos por los estudiantes y
que conforme iban solucionado las diferentes tareas planteadas en las secuencias fueran
construyendo la tangente variacional, como una herramienta matemática la cual tenía en sí
misma asociados diferentes significados que se fueron construyendo desde la primera
secuencia didáctica.
Otra intencionalidad que se tenía es que a partir de la construcción de la tangente
variacional, esta sirviera como una herramienta que permitiera ser un elemento
introductorio para la construcción de la derivada desde un punto de vista gráfico. Recurrir a
la historia reconociendo a la actividad humana como fundamental en la construcción de los
saberes, nos permitió reconocer significados asociados a la naturaleza del conocimiento
matemático que no se encuentran presentes en el discurso matemático escolar actual, como
son los elementos asociados a la práctica de la tangente variacional mencionados
anteriormente. Por lo que nuestra propuesta sugiere un rediseño de tal discurso, por uno que
no tiene que ver necesariamente con secuenciaciones lógicas de los contenidos
matemáticos, sino más bien por uno que tiene como base a la actividad humana.
Nuestro modelo propuesto que tomó como base el propuesto por Montiel (2005, 2011) es el
siguiente:
303
Modelo de Construcción Social del Conocimiento
Fig. 7.3
En el podemos observar:
El uso de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades para resolver un
problema producto de un contexto sociocultural, en donde hay una forma de mirar y
abordar las problemáticas existentes en una comunidad que construyen conocimiento con
base en significados compartidos provenientes de una práctica. Con base a la interacción
herramienta-actividad surgen nuevos significados a partir de los ya existentes, los cuales
tienen sentido en el contexto donde se están usando.
La práctica como una acción o conjunto de acciones que enlaza ideas previas adquiridas a
través del cúmulo de experiencias con la construcción de una o más ideas. Esto se hace a
partir de la organización de actividades cuya intención específica es la de resolver un
problema situado en un contexto sociocultural, las ideas construidas se pueden convertir en
nuevas herramientas por lo que les vamos a llamar saberes. La Resignificación es el
Práctica Social
Práctica de referencia
Usos
Herramienta Actividad
Resignificación
Significado
Funcionalidad
304
conocimiento puesto en uso (saberes) en donde hay significados y sobre la base de los
mismos se va construyendo nuevos significados más enriquecedores volviéndose más
robustos, es decir hay un enriquecimiento progresivo. Los conocimientos que tienen uso y
significación en el contexto en donde se están empleando y que sirven para hacer un
análisis de la realidad se puede decir que son funcionales, es decir hay una funcionalidad, la
cual permite que no se resuelvan problemas exclusivamente matemáticos sino de diversas
índoles ya que como se ha dicho con anterioridad las matemáticas son una herramienta al
servicio de otras áreas.
7.1.2 Con respecto al método utilizado
7.1.2.1 El diseño de las secuencias
Los elementos del diseño se llevaron a cabo tomando como base al modelo propuesto de
construcción social del conocimiento matemático planteado en nuestro marco teórico. Con
base en la investigación efectuada en (Serna, 2007) identificamos en textos originales el uso
de conocimiento en donde se encontró y estuvo presente la práctica de la tangente
variacional. Para llevar a cabo los diseños se tuvo que detectar los usos de herramientas
matemáticas por medio de las cuales se podían ejecutar actividades en un contexto de
cambio y variación propios de la práctica de la tangente variacional los cuales fueron
normados por la PS de la predicción. Considerar la historicidad de la práctica de la
tangente variacional nos llevó a establecer un orden de las secuencias con base en los
primeros constructos de la práctica de referencia y posteriormente ir a otros momentos
históricos en donde las ideas de inicio se ven enriquecidas por otras más funcionales,
resignificándose así los significados compartidos en comunidad.
El análisis de los usos del conocimiento permitió determinar los significados construidos en
los colectivos de matemáticos y de manera intencional se plasmaron en las secuencias
construidas. Esto se llevó a cabo retomando problemas expuestos en textos originales
antiguos, pero adecuando el lenguaje matemático a un lenguaje usado en el sistema escolar
actual. Los usos de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades son
determinados por una forma de mirar y/o tratar el conocimientos matemáticos lo cual tiene
que ver con los significados construidos en comunidad. En el caso de la práctica de la
305
tangente variacional se encontraba ubicada en un contexto sociocultural en donde los
problemas de cambio y variación influyeron orientando el desarrollo mismo de las
matemáticas, por lo tanto la socioepistemología nos conduce a cambiar la orientación en
nuestros diseños al no centrarnos exclusivamente en el objeto matemático recta tangente
(de a cuerdo al sistema escolar actual) sino reconocer elementos propios de la práctica por
ejemplo el poner la atención en la manera de variar conlleva a que los estudiantes puedan
usar a las matemáticas como una herramienta con la cual se ejecutan actividades y se
construyan significados.
Al reconocer que la PS se encuentra en la base de la construcción del conocimiento
matemático normando las actividades a llevar a cabo por una comunidad, pudimos observar
que el análisis del elemento puntual era un elemento fundamental en la predicción. Se podía
ver claramente su intervención en la obra de L´Hospital con los infinitesimales y en otros
matemáticos contemporáneos aunque no necesariamente los llamaban así. Dicho análisis no
se precisaba tan claramente en matemáticos anteriores, sin embargo, reconociendo la
historicidad de la práctica tendríamos que “rastrear” algunas primeras ideas que aunque no
fueran declaradas propiamente como infinitesimales si tenían inherente su esencia, la cual
consistía en acercar dos puntos de una curva cada vez más y más, observando el
comportamiento de la misma.
La idea anterior la encontramos en la obra de Copérnico, ésta se fue enriqueciendo
agregándosele nuevos significados con Newton donde ahora esa pequeña curva que se
comporta como recta entre dos puntos muy cercanos de la misma tiene una inclinación y si
se extiende en ambos sentidos se forma la recta tangente, con L´Hospital quien representa
gráficamente a una curva como un conjunto de segmentos infinitesimales ensamblados
entre sí y en donde cada uno de ello representa a un punto de la curva, por lo que se puede
intuir a partir de esta representación el carácter variacional de la recta tangente a la curva y
Euler quien retomando los elementos anteriores hace uso del álgebra para representar la
pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.
De tal forma que las secuencias se ordenaron de acuerdo a los diferentes momentos
históricos que se fueron reconociendo de la práctica de la tangente variacional, la cual
consideramos es una forma más natural de secuenciar los contenidos y no necesariamente
306
como marcan los programas tradicionales los cuales están basados en el análisis
matemático.
El diseño de cada una de las secuencias tomó en cuenta los conocimientos construidos en la
anterior (a excepción de la primera que sólo consideraba sus conocimientos previos), así
como los conocimientos que ya tenían con anterioridad los estudiantes. Había que
considerar las actividades (en el sentido de nuestro modelo de construcción social de
conocimiento) que se tendrían que llevar a cabo mediante el uso de herramientas
matemáticas, así como los significados que de acuerdo a nuestro análisis de los usos
tendrían que construir los estudiantes con esa interacción entre herramienta-actividad
ubicada en un contexto de cambio y variación en donde los elementos geométricos juegan
un papel también importante. El uso de las gráficas como aquello que soporta el desarrollo
de la argumentación (Buendía, 2011) fue usada en la historia así como implementada en las
secuencias didácticas diseñadas.
Con los elementos plasmados anteriormente en las secuencias didácticas se tenía como
objetivo que los estudiantes construyeran la recta tangente desde un punto de vista
variacional. Esto se diseñó para que se fuera haciendo por pasos, es decir en cada secuencia
se fueron construyendo los diferentes elementos que tomaban como base a los anteriores, lo
cual da cuenta de la resignificación. Las respuestas a los planteamientos hechos a los
estudiantes en las secuencias constituyeron nuestros datos de investigación, estos
planteamientos tenían que ver con que los estudiantes llevaran a cabo actividades como
calcular, comparar, inferir, aproximar y generalizar; todo ello en un contexto de cambio y
variación. Otra forma de guiar a los estudiantes para que fueran construyendo significados
propios de la práctica de la tangente variacional fue a través de las respuestas que tendrían
que dar a preguntas realizadas, para lo cual se les solicitaba debatieran entre ellos con el fin
de llevar a cabo un análisis y reflexión y con base en argumentos pudieran llegar a
conclusiones; dichas preguntas fueron categorizadas en el capítulo V del presente trabajo de
investigación.
Las respuestas dadas por los estudiantes en donde se diera cuenta de la construcción de los
diferentes elementos constitutivos de la práctica de la tangente variacional y que hemos
mencionado en párrafos anteriores, así como todos aquellos que nos mostraran evidencias
307
de los elementos de nuestro modelo de construcción social del conocimiento serían las
unidades de información que vendrían a ser nuestros datos. Por lo que en las secuencias
didácticas se puede observar nuestro método para obtener datos y las cuales son un reflejo
también de nuestro marco teórico.
7.2 La puesta en escena
La puesta en escena de las diferentes secuencias nos da evidencia empírica de que los
supuestos hechos por la teoría se cumplen, para lo cual se hace también necesario reconocer
que el método para obtener nuestros datos fue a partir de las secuencias didácticas en donde
se adecuaron los usos de los conocimientos pertenecientes a una práctica, a el sistema
escolar actual. Aunque no en todos los casos se logró que los equipos construyeran los
significados cuya intención tenía el investigador, consideramos que en la mayoría de los
casos se logró lo que se esperaba. El detalle de esta información se muestra en el capítulo
VI de esta investigación.
Las producciones de los estudiantes se vieron plasmadas en sus respuestas escritas y
verbales en donde se dio evidencia de la existencia de los diferentes componentes del
modelo de construcción social del conocimiento. Se pudo dar cuenta que en el ejercicio de
la práctica de la tangente variacional había usos de conocimiento que se manifestaban a
partir de las actividades llevadas a cabo por los estudiantes por medio de herramientas
matemáticas todo esto en un contexto de cambio y variación en donde los elementos de
tipo geométrico se representaban en una gráfica. La gráfica empleada, dependiendo de su
forma servía para que los estudiantes argumentaran, pero además tenía también un rol en la
construcción de significados lo cual habla de su funcionamiento. Todo lo mencionado tiene
que ver con elementos del contexto de la práctica de referencia, es decir aquello que
acompaño y estuvo presente en el desarrollo de la práctica y por lo tanto en la construcción
de significados.
Para la construcción de los significados se tuvieron que tomar en cuenta, los conocimientos
previos de los estudiantes, en caso de que se requiriera fue necesario dar explicaciones
previas antes de implementar alguna de las secuencias didácticas, por ejemplo en la
secuencia didáctica II se requería que se conociera una forma de establecer la semejanza
308
entre dos triángulos tal y como lo planteó Newton en la parte de su libro Principios
Matemáticos que usamos como base para la secuencia. Esta forma de establecer la
semejanza no se ve en los programas actuales de geometría y trigonometría en el nivel
medio superior en el programa del Estado de México, por lo tanto fue necesario que el
profesor-investigador explicará en qué consistía dicha propiedad. En otros casos había
ciertas deficiencias en el buen manejo algebraico, esto se observó en el desarrollo de la
secuencia didáctica IV, con un equipo y fue necesaria la intervención del profesor-
investigador ya que era indispensable que la expresión fuera correcta puesto que se usaría
posteriormente. En las dos primeras secuencias se requería conocimientos de aritmética y
geometría, con el uso de estos conocimientos era suficiente para construir los significados
requeridos. En la secuencia didáctica III se requería además de geometría y trigonometría,
que los estudiantes supieran como evaluar una función en un punto, para usar esto en la
fórmula de la pendiente la cual de acuerdo a nuestra postura teórica adquiere el estatus de
herramienta matemática.
Se pudo constatar que los estudiantes al dar sus explicaciones y en sus producciones
escritas manejaban argumentos de cambio y variación, por ejemplo al decir lo que ocurría
con dos puntos muy cercanos de una curva, o cuando se les preguntaba qué pasaba con la
velocidad (la cual era representada gráficamente) para dos instantes diferentes de tiempo,
para lo cual se pudo observar que los estudiantes hacían descripciones de los signos de las
pendientes de las rectas tangente a una curva antes y después de un máximo (o un mínimo).
Finalmente los argumentos construidos se emplearon cuando se les pidió que hicieran la
gráfica de la función derivada de una función cúbica, podemos decir que se obtuvieron
buenos resultados por parte de los equipos ya que tres de ellos mostraron una buena
aproximación gráfica de la derivada y un cuarto equipo, hizo una gráfica de la función
derivada con la forma de una parábola, lo cual respondió a nuestra expectativas; algo muy
interesante fue que usó argumentos que fueron construidos durante el desarrollo mismos de
las secuencias.
Con respecto al método consideramos requiere algunos ajustes. En cuanto a las preguntas
que se les hace a los estudiantes, éstas son muy importantes ya que hacen focalizar su
atención en situaciones que los llevan a construir significados que serán usados
309
posteriormente, por lo que consideramos que hay ciertas adecuaciones que podrían mejorar
las respuestas por parte de los estudiantes.
En el transcurso de la investigación nos hemos podido dar cuenta que hay significados que
inician con ciertas ideas, éstas tienen que ver con el contexto sociocultural en donde se
presentan. En nuestro caso no nos fijamos exclusivamente en el objeto matemático recta
tangente, sino también aquello que acompañó y estuvo presente en la práctica de la
tangente variacional. Esto se evidencia ya que al poner atención en la manera de variar
como algo característico de la práctica de referencia da cuenta de ser un elemento con el
que se construye la noción de recta tangente como su característica de ir cambiando en cada
punto de una curva. Tomar en cuenta la manera de variar es por lo tanto un elemento
esencial en la construcción de significados, por lo que se consideró en el diseño de las
secuencias didácticas.
Por otro lado el diseño de las secuencias didácticas requirió de hacer un “rastreo histórico”
esto debido a la historicidad que hemos podido dar cuenta existe en la práctica de
referencia. Por lo tanto una forma de llevar a cabo diseños didácticos se puede hacer
considerando la historicidad de la práctica en donde existen elementos conceptuales que
tienen una “vida” ya que nacen y se van desarrollando durante un cierto período histórico
de la humanidad. Por otro lado se hace necesario también tomar en cuenta aquellos
elementos constitutivos de la práctica de referencia, aunque estos no necesariamente sean
del ámbito exclusivamente matemático desde el punto de vista de la matemática formal.
Finalmente podemos decir que los elementos mostrados en nuestro modelo de construcción
social del conocimiento, nos ha servido para:
1) Identificar aquello que se encuentra presente en la construcción de significados, por
ejemplo los usos, herramientas y actividades, así como la práctica de referencia,
resignificación y funcionalidad e inferir a partir de un análisis la práctica social que
se encuentra presente normando la construcción del conocimiento.
2) Hacer diseños de secuencias didácticas que tomen como base el modelo.
3) Como unidad de análisis de los datos obtenidos después de implementar el diseño
didáctico elaborado.
310
Por lo que podemos decir que esta forma de abordar la historia, para analizarla y elaborar
diseños didácticos nos ha resultado benéfica puesto que nos ha mostrado resultados
satisfactorios.
En un futuro próximo consideramos que esta metodología se puede utilizar en
investigaciones sobre fenómenos didácticos, tomando en cuenta que la construcción de las
nociones matemáticas debe incluir a la actividad humana como un componente esencial.
Pensar en los humanos haciendo matemáticas nos lleva a poner la atención no en un
producto final a elaborar por los estudiantes, sino por el contrario en aquellas partes que
forman parte del proceso de construcción del conocimiento y que posibilitan que las
personas puedan discutir, analizar y reflexionar para llegar a sus conclusiones; las ideas
matemáticas así construidas al pensar en las nociones matemáticas como herramientas
serán funcionales, la connotación misma de herramienta toma en cuenta que fueron usadas
y por lo tanto se han apropiado de ellas, además de que el uso de las misma permite un
enriquecimiento progresivo de los significados. De esta manera contribuimos a formar
estudiantes críticos que no resuelvan de manera mecánica, sino más bien que usen las
herramientas matemáticas para describir su realidad y… ¿por qué no?, también para
transformarla.
311
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Secuencia didáctica 1
Nicolás Copérnico descubrió que la tierra no era el centro del sistema solar, para ello se valió de las matemáticas en general y de la geometría en lo particular, él decía:
Pues es propio del astrónomo calcular la historia de los movimientos celestes con una labor diligente y diestra. Y además concebir y configurar las causas de estos movimientos, o sus hipótesis, cuando por medio de ningún proceso racional, puede averiguar las verdaderas causas de ellos. Y con tales supuestos pueden calcularse correctamente dichos movimientos a partir de la geometría, tanto mirando hacia el futuro como hacia el pasado.
(Copérnico, 1543, p. 17)
Es a partir de la astronomía y en su afán de predecir los movimientos de los cuerpos celestes, que se van desarrollando ideas matemáticas. En el caso que estamos revisando podremos observar cómo se pueden elaborar conjeturas a partir del contexto en donde se encontraba trabajando Copérnico.
En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la razón entre la mayor y la menos de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp. 48-49), y se presenta la siguiente figura:
Figura 1
Para lo cual se dice lo siguiente:
“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-49).
Expresado matemáticamente quedaría:
𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
A
C B
319
𝜽
r r
C 𝑪𝟐
A partir de de lo enunciado anteriormente, probemos su teorema, para hacerlo vamos a considerar como lo hizo Copérnico que el arco mostrado en la figura pertenece a un círculo cuyo diámetro es de 200,000 unidades.
Nota:
Copérnico encontró que para un arco de 𝜽 = 𝟑° la cuerda subtendida es de 5235 unidades, y para un arco de 𝜽 = 𝟏.𝟓° la cuerda subtendida es de 2618 unidades, haciendo la consideración de que el diámetro de la circunferencia es de 200 000 unidades.
Primera actividad
¿Cuál es la expresión matemática que nos permite calcular el valor de la subtensa (cuerda), considerando que tenemos como dato el ángulo central en grados?
Considera la siguiente figura:
Sugerencia: Considerar que se tiene un triángulo isósceles cuyo lado desigual es la cuerda a calcular, de tal forma que podemos considerar que los dos lados iguales tienen lado igual al radio de la circunferencia y el vértice de estos dos lados se encuentra en el centro de la misma, a partir
de este vértice se traza la altura que divide al ángulo 𝜃 en dos partes iguales ( 𝜃2 )y también C
(cuerda)queda divida en dos partes iguales, 𝐶2 .
𝐷 = 2𝑟 (1)
Donde:
D es el diámetro
320
r es el radio
Por otro lado se sabe que:
𝐺360 = 𝜃
2𝜋 (2)
Expresión que nos permite hacer conversión de Grados a Radianes o Radianes a Grados.
En donde:
G es el ángulo en grados
𝜃 es el ángulo en radianes
Pretendemos encontrar una fórmula que relacione a la Cuerda “C” con el ángulo medido en grados.
Con el triangulo rectángulo formado, cuya hipotenusa es igual a “r” y cuyo cateto opuesto al
ángulo 𝜃2 es igual a 𝐶2 , ¿cuál será la expresión seno en donde se relacionan los elementos
planteados?, a la expresión así formada vamos a decir que es la (3)
De la ecuación obtenida despejar el valor de C y vamos a decir que es la expresión (4)
De la expresión (2) obtener 𝜃2 =? sustituir la expresión así obtenida, como también sustituir el
valor del Diámetro (1) en la expresión (4) para obtener una nueva expresión a la cual vamos a llamar expresión (5), la expresión será:
En la expresión encontrada hacer la consideración de que 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠, por lo tanto ya podremos encontrar la expresión de la cuerda en función del diámetro (D) y el ángulo en grados (G), por lo tanto nuestra expresión final es:
Una vez determinada la expresión comprobar los valores que obtuvo Copérnico que son:
321
a) Para un ángulo de 3° la subtensa tiene un valor aproximado de 5235 unidades Utilizando la fórmula obtenida: C=?
b) Para un ángulo de 1.5° la subtensa tiene un valor aproximado de 2618 unidades, utilizando la fórmula obtenida: C=?
Para lo anterior redondear los valores obtenidos a 3 cifras después del punto decimal.
Segunda actividad
A partir de la expresión obtenida en la 1ra actividad llenar las siguientes tablas (redondear a tres cifras después del punto decimal):
Ángulo central (Grados) Valor de la Subtensa
(Cuerda)
48
24
12
6
3
1.5
Tabla 1
Arco 𝐴𝐵� Arco 𝐴𝐶� Subtensa 𝐴𝐵���� Subtensa 𝐴𝐶���� Razón 𝐴𝐵��𝐴𝐶� = Razón 𝐴𝐵
��������𝐴𝐶���� =
48 24
24 12
12 6
6 3
3 1.5
Tabla 2
322
¿Qué ocurre con la relación 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararla con respecto a 𝐴𝐵
����𝐴𝐶����?
¿Qué puedes concluir que ocurre con el resultado del cociente 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararlo con el resultado
del cociente 𝐴𝐵����𝐴𝐶���� conforme los puntos B y se encuentran muy cercanos entre sí y además muy
próximos a el punto A?
¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí con respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?
Tercera actividad
Utilizando nuevamente la expresión obtenida en la actividad 1, llenar la tabla 3.
Nota: Redondear a 3 cifras después del punto decimal en los resultados obtenidos.
Arco 𝐴𝐵� Arco 𝐴𝐶� Subtensa 𝐴𝐵���� Subtensa 𝐴𝐶���� Razón 𝐴𝐵��𝐴𝐶� = Razón 𝐴𝐵
��������𝐴𝐶���� =
1.5 0.75
0.75 0.375
.375 .1875
Tabla 3
A partir de los resultados obtenidos:
¿Qué ocurre con respecto al teorema sexto de Copérnico?
323
¿Qué podemos concluir?
¿Cómo se comporta una curva conforme dos puntos de ella se encuentran muy cercanos?
¿Habrá alguna relación entre la curva y una recta en una vecindad muy cercana (infinitesimal)?
A partir de los resultados obtenidos para dos puntos de una curva muy cercanos entre sí, Copérnico pudo llegar a ciertas conclusiones que le permitieron hacer una tabla de subtensas con respecto a los arcos correspondientes y utilizar esa tabla junto con algunos otros elementos para sus cálculos astronómicos.
324
Secuencia Didáctica 2
La forma de escribir matemáticas en el siglo VII era utilizando argumentos de tipo geométrico, esto lo podemos ver en la obra de Newton “Principios Matemáticos”, la forma de abordar fenómenos de la naturaleza era a partir de relacionar a la geometría con fenómenos del mundo real, revisemos el siguiente lema IX enunciado por Newton:
Si una línea recta AE y una curva ABC, ambas con una posición dada, se cortan en un ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se
aplican ordenadamente BD y CE interceptando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran en el punto A, afirmo que las
áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente en última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.
Figura 1
Actividad 1
¿Son semejantes los triángulos ∆𝐴𝐵𝐷 y ∆𝐴𝐶𝐸?, argumenta tu respuesta:
325
Vamos a demostrar el lema IX de Newton, de la siguiente manera:
Consideremos que el punto A se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas A(0,0), lo cual nos dará una gráfica como la mostrada en la figura 2.
Figura 2
326
Vamos a considerar que podemos representar a la curva ABC mediante la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥, la cual está representada gráficamente en la figura 3, sin embargo debemos de tomar sólo el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, es decir sólo una parte de la curva:
Figura 3
Al tomar un pequeño intervalo de la gráfica anterior por ejemplo 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 la porción de la curva tomada es parecida a la curva ABC, tal y como es mostrado en la figura 4:
Figura 4
327
Llenemos la tabla 1 que a continuación se nos presenta:
Vamos a ir haciendo que los puntos B y C sean cada vez más próximos al punto A, lo cual implicará también que los segmentos 𝐷𝐵���� y 𝐸𝐶���� cada vez serán más pequeños, el punto A en nuestro caso se encuentra situado en el origen, el ∆𝐴𝐶𝐸 siempre es mayor a él ∆𝐴𝐵𝐷 y observemos la
relación que hay entre la razón (Cociente) de sus áreas Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los lados al cuadrado 𝐴𝐸����2 y 𝐴𝐷����2, es decir 𝐴𝐸
����2𝐴𝐷����2,
recordemos que 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 .
𝐷𝐵���� = 𝑥1
𝐸𝐶 = 𝑥2����������� 𝐴𝐷���� = 𝑓(𝑥1) 𝐴𝐸���� = 𝑓(𝑥2)
𝐴= (𝐷𝐵����)(𝐴𝐷����)
2
𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥1)2
Área del ∆𝐴𝐵𝐷
𝐴 = (𝐸𝐶����)(𝐴𝐸����)2
𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥2)2
Área del ∆𝐴𝐶𝐸 Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐸����2𝐴𝐷����2
2 3 𝑓(2)= −22 + 8(2)
𝑓(2) = 12
𝑓(3)= −32 + 8(3)
𝑓(3) = 15
𝐴 = (2)(12)2
= 12
𝐴 = (3)(15)2
= 22.5
22.512 = 1.875
152122 = 1.5625
1 1.5 𝑓(1) = 𝑓(1.5) =
0.6 0.9 𝑓(0.6) = 𝑓(0.9) =
0.4 0.6 𝑓(0.4) = 𝑓(0.6) =
0.2 0.3 𝑓(0.2) = 𝑓(0.3) =
0.1 0.15 𝑓(0.1) = 𝑓(0.15) =
328
Tabla 1
Conforme los puntos B y C son cada vez más próximos al punto A también los segmentos 𝐷𝐵���� 𝑦 𝐸𝐶���� se hacen cada vez más y más pequeños, podemos ir viendo lo que va ocurriendo al comparar la razón entre las áreas de los triángulos Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados 𝐴𝐸����2 𝑦 𝐴𝐷����2. ¿Qué nos puedes decir al respecto?
¿Se cumple el lema IX enunciado por Newton?
Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa explica porque sí se cumple el lema IX de Newton, en caso de que tu respuesta sea que no se cumple el lema mencionado, ¿Qué se podría hacer para que se cumpla el lema IX de Newton?
329
Actividad 2
Ahora hagamos que los puntos B y C se aproximen todavía más a el punto A y por lo tanto también va a haber más proximidad entre ellos (Siempre siendo ∆𝐴𝐶𝐸 > ∆𝐴𝐵𝐷), tal como lo dice el lema IX enunciado por Newton, para llevar a cabo esto vamos a continuar con la tabla 2, haciendo que los puntos B y C se aproximen tanto al punto A, que se puede decir que están infinitamente cercanos a el punto A, de tal forma que casi se encuentran en el punto A. Para lo cual nuevamente vamos a comparar los valores de las columnas 7 y 8.
Tabla 2
𝐷𝐵���� = 𝑥1
𝐸𝐶 = 𝑥2����������� 𝐴𝐷���� = 𝑓(𝑥1) 𝐴𝐸���� = 𝑓(𝑥2)
𝐴 = (𝐷𝐵����)(𝐴𝐷����)2
𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥1)2
Área del ∆𝐴𝐵𝐷
𝐴 = (𝐸𝐶����)(𝐴𝐸����)2
𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥2)2
Área del ∆𝐴𝐶𝐸 Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷
𝐴𝐸����2𝐴𝐷����2
0.02 0.03 𝑓(0.02) =
𝑓(0.03) =
0.01 0.015 𝑓(0.01) =
𝑓(0.015) =
0.005 0.0075 𝑓(0.005) =
𝑓(0.0075) =
0.0001 0.00015 𝑓(0.0001) =
𝑓(0.00015) =
330
Una forma de poder sacar conclusiones de lo que ocurre conforme los puntos B y C se acercan cada vez más y más al punto A (siendo el valor de 𝐸𝐶���� > 𝐷𝐵����), es observar lo que está pasando con los valores de la tabla 2 en sus columnas 7 y 8,… algo está ocurriendo con las figuras que se encuentran ahí, ¿qué conclusiones podrías dar de lo que va ocurriendo con las figuras (triángulos, líneas) conforme los puntos B y C se aproximan más y más a el punto A?
A partir de los resultados de la tabla se pueden establecer conjeturas geométricas:
¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente próximos al punto A?
Observa que la línea AC que es uno de los lados del ∆𝐴𝐶𝐸 al prolongarse se forma la línea Ac, imagina como va a ir cambiando esta línea Ac (toma en cuenta que Ac es la prolongación del segmento 𝐴𝐶���� de el triángulo ∆𝐴𝐶𝐸 )conforme los puntos B y C se van aproximando más y más a el punto A, ¿cuál será su posición límite de esta línea Ac?
Si los puntos B y C están infinitamente próximos a el punto A, tendremos también unos triángulos infinitamente pequeños, vamos a imaginar lo que va a ir ocurriendo conforme los puntos B y C van cambiando de posición acercándose cada vez más y más a el punto A con los pequeños arcos 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y la línea Ac que se está moviendo, ¿crees que haya alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?
331
Conforme los puntos B y C se aproximan cada vez más al punto A, digamos que se encuentran infinitamente cercanos, en esa pequeña región ¿cómo será el comportamiento de la curva?
Actividad 3
En el libro de Newton “Principios Matemáticos” se sigue explicando acerca del lema IX enunciado anteriormente, se dice lo siguiente:
Pues mientras los puntos B y C se aproximan hacia el punto A, supongamos siempre que AD es prolongada hasta los puntos remotos d y
e, de manera que Ad y Ae pueden ser proporcionales a AD y AE; y que las ordenadas db y ec se trazan paralelas a las ordenadas DB y EC,
intersectando AB y AC en b y c. Siendo semejante la curva Abc a la curva ABC, trácese la recta Ag que toca ambas curvas en A y corta
las ordenadas DB, EC, db y ec en F, G, f y g. Entonces, suponiendo que la longitud Ae permanece idéntica, hágase que los puntos B y C se
encuentren en el punto A. Al desaparecer el ángulo cAg, las áreas curvilíneas Abd y Ace coincidirán con las áreas rectilíneas Afd y Age, y
por tanto (según el lema IX) guardarán entre sí la razón de los lados Ad y Ae al cuadrado. Pero las áreas ABD y ACE son siempre
proporcionales a esas áreas, tal como lo son los lados AD y AE a esos lados. Y, en consecuencia, las áreas ABD y ACE serán
respectivamente en última instancia como los cuadrados de los lados AD y AE. Q.E.D.
332
(Newton, 1713, pp. 66 – 67)
Si nos ubicamos en el contexto en el que trabajaba Newton, algunas de las cosas que quería llevar a cabo en su programa de investigación era predecir las posiciones de los cuerpos celestes, esto se podía hacer a partir de figuras geométrica que son semejantes entre sí y establecer relaciones de proporcionalidad, tal y como lo establecía en su lema IX del primer libro de “Principios Matemáticos”
Todos los lados homólogos de figuras semejantes, curvilíneas o rectilíneas, son proporcionales; y las áreas son como los cuadrados de los
lados homólogos.
(Newton, 1713, p. 64)
Vamos a tratar de encontrar alguna aplicación práctica a lo anterior.
Supongamos que deseamos encontrar la velocidad a la que se mueve un móvil cuyos puntos se encuentran situados de acuerdo a la siguiente tabla3 y figura 3:
Tabla 3 Figura 3
t (seg.) s (t) en mts. 0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
333
Es importante resaltar que se puede establecer una relación entre un fenómeno físico (velocidad el móvil) y las matemáticas a partir de una tabla, una gráfica o una expresión matemática (función).
Para calcular la velocidad lo podríamos hacer encontrando la pendiente con la ya conocida fórmula, la cual expresa la razón de cambio.
¿Cómo es la razón de cambio, en el caso anterior, constante o variable?
Argumenta tu respuesta:
De la situación anteriormente planteada, Encuentra una fórmula para relacionar “s” en función de “t”:
Podemos escribir la siguiente expresión en el lenguaje de funciones:
𝑚 = 𝑣 = 𝑠2 − 𝑠1𝑡2 − 𝑡1
= 𝑠(𝑡2)− 𝑠(𝑡1)𝑡2 − 𝑡1
Por ejemplo si de la tabla decimos que:
334
𝑃1(1,2) ∴ 𝑡1 = 1, 𝑠(𝑡1) = 2
𝑃2(3,6) ∴ 𝑡2 = 3, 𝑠(𝑡2) = 6
Al calcular la pendiente podemos decir que V=2
Llena la siguiente tabla 4 calculando los valores que se te piden:
𝑡1 𝑠(𝑡1)= 2
𝑡2 = 𝑠(𝑡2) = 𝑚 = 𝑣 = 𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)𝑡2 − 𝑡1
1 2 2 4 2
1 2 2.5
1 2 2.1
1 2 2.01
Tabla 4
¿Cómo es el valor de la velocidad para cada valor calculado en la tabla? Y que explicaciones puedes dar al respecto:
Ahora tenemos un móvil que se mueve de acuerdo a 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 y queremos encontrar la velocidad en el instante t=1 seg.
Para calcular la velocidad en el caso anterior nos podíamos valer de la pendiente y como se trata de un movimiento con razón de cambio constante siempre valía lo mismo independientemente de los puntos utilizados para ello, ¿se podrá hacer lo mismo en este caso?, argumenta tu respuesta:
335
Utiliza las conclusiones de la actividad 2 para encontrar la velocidad en el instante donde t=1seg.
336
Secuencia Didáctica 3
Breve resumen de las dos secuencias anteriores.
Secuencia Copérnico:
En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp. 48-49), y se presenta la siguiente figura:
Figura 1
Para lo cual se dice lo siguiente:
“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-49).
Expresado matemáticamente quedaría:
𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵����
𝐴𝐶����
Sin embargo conforme los puntos C y B se fueron acercando cada vez más y más a el punto A se vio que la desigualdad anterior se convertía en una igualdad, a lo cual Copérnico expreso: “Luego, como vemos hemos llegado a un punto, en el que la diferencia
entre recta y la curva que la envuelve escapa a los sentidos, como convertidos en una sola
línea” (Copérnico, 1543, pp. 49 – 50).
Que fue también a la conclusión a la que se llego en clase.
Posteriormente se trabajó con la secuencia de Newton, en donde se veía lo siguiente:
A
C B
337
Si una línea recta AE y una curva ABC, ambas con una posición dada, se cortan en un
ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se aplican ordenadamente BD y
CE intersectando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran en el
punto A, afirmo que las áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente en
última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.
(Newton, 1713, pp. 66 – 67)
Cuando en la clase se revisó la relación que existía con la razón de las áreas de los triángulos ACE y ABD con respecto a la razón entre los lados de los triángulos elevados al
cuadrado se observo que: ∆𝐴𝐶𝐸∆𝐴𝐵𝐷 ≠𝐴𝐸����2𝐴𝐷����2 por lo que se podía ver que dichos triángulos no
son semejantes sin embargo conforme los puntos B y C se acercaban más y más a el punto “A” la expresión anterior se iba convirtiendo en una igualdad.
De tal forma que en una vecindad infinitesimal entre los puntos A, B y C se podían ver:
a) La recta ABc se iba moviendo de posición hasta llegar a la posición AFg b) La curva 𝐴𝐵𝐶� se iba a dejar de comportar como curva para tener el
comportamiento de una recta y eso se podía constatar también al ir observando que la razón entre las áreas cada vez se parecía más a la razón entre los catetos elevados al cuadrado, de tal forma que había un momento en que dichos triángulos se comportaban como triángulos semejantes.
c) La región de la curva compartida por ambos triángulos ahora se comportaba como la hipotenusa tanto del ∆𝐴𝐵𝐷 como del ∆𝐴𝐶𝐸.
d) La curva y la recta son una misma en una región infinitesimal.
Vamos a reforzar lo anteriormente expuesto con lo siguiente:
Se requiere que una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una
infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas: o (lo cual es lo
338
mismo) como una poligonal de un número infinito de lados, cada uno de ellos
infinitamente pequeños,…
Si se prolonga una de los pequeños lados Mm de la poligonal que compone una línea
curva, este pequeño lado así prolongado será llamado la tangente de la curva en el
punto M o m.
(L´Hospital, 1696)
Es decir un punto es un segmento infinitamente pequeño
Como la curva y la recta tangente “son una misma” (parafraseando a Copérnico) en una vecindad infinitesimal, esto nos permite calcular la razón de cambio de una curva en un punto (pequeño segmento infinitesimal). Tomando dos puntos muy cercanos se puede utilizar la ya conocida fórmula:
𝑚 = ∆𝑦∆𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Fórmula 1
Donde 𝑃2(𝑥2,𝑦2) y 𝑃1(𝑥1,𝑦1) se encuentra infinitamente cercanos, para efectos prácticos consideremos que la distancia de separación es del orden de las milésimas. La pendiente así calculada (razón de cambio) es también la pendiente de la recta tangente.
A continuación presentamos una situación en donde podemos aplicar los conocimientos obtenidos:
Actividad 1
Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba.
La gráfica de la velocidad con respecto del tiempo se muestra a continuación, en donde se pone un ejemplo para un punto 𝑃1 y un punto 𝑃2 , sin embargo estos puntos podrían estar ubicados en algún otro lugar de la curva.
339
Figura 1
Para este caso la razón de cambio está dada por:
𝒎 = ∆𝒔∆𝒕 = 𝒔(𝒕𝟐)−𝒔(𝒕𝟏)
𝒕𝟐−𝒕𝟏
Fórmula 2
c) En el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de cambio es positiva o negativa? argumenta tus respuestas:
d) En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de cambio es positiva o negativa?, argumenta tus respuestas:
e) ¿Cómo es la razón de cambio en 𝑡 = 𝑡𝑚?..., argumenta tu respuesta:
t
s
tm tf
∆𝑠
∆𝑡
340
Actividad 2
Si el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial de 𝑣𝑖 = 30 𝑚𝑠 y la fórmula para calcular la
distancia está dada por la expresión matemática: 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2, se desea calcular la velocidad en el instante t=2 seg. Para lo cual se puede utilizar la fórmula de:
𝑚 = 𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)
𝑡2−𝑡1
Fórmula 2
Sin embargo para utilizar la fórmula anterior se necesita tener en cuenta:
a) Se requiere conocer las coordenadas de dos puntos: 𝑃1�𝑡1, 𝑠(𝑡1)� y 𝑃2�𝑡2, 𝑠(𝑡2)� b) La fórmula anterior se usa para calcular la pendiente una recta. c) En nuestro caso la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2 no representa a una recta sino a
una curva, parecida a la mostrada en la figura 1 de la actividad 1, sin embargo a pesar de que la fórmula (2) de la velocidad, representa la pendiente de una recta, como hemos dicho bajo circunstancias especiales una curva se comporta como una recta.
Tomando en cuenta lo anterior:
i) Calcular la velocidad en el instante (velocidad instantánea o razón de cambio instantánea) en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.?
ii) Utilizando lo dicho por el L´Hospital: “Si se prolonga una de los pequeños lados Mm de la poligonal que compone una línea curva, este pequeño lado así prolongado será llamado la tangente de la curva en el punto M o m.” A partir de esto traza una recta tangente en el punto 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.
iii) La tangente trazada ¿tiene la misma pendiente (razón de cambio) que la del
pequeño segmento infinitesimal en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta:
341
iv) Elabora la gráfica en papel cuadriculado y anéxalo.
v) ¿Si trazáramos la recta tangente en el punto 𝑡 = 2.1 𝑠𝑒𝑔. tendría la misma posición y la misma razón de cambio que en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta.
vi) A partir de una tabulación y de una gráfica representa la curva de 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 −4.9𝑡2, investiga cuales son las coordenadas del punto más alto alcanzado por el cuerpo, con estas coordenadas puedes conocer el tiempo en alcanzar el punto más alto y la distancia del punto más alto, utiliza para los valores de t hasta el orden de las centésimas y los resultados de 𝑠(𝑡) redondéalos hasta el orden de las diezmilésimas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto más alto?
vii) Una vez encontrado las coordenadas del punto más alto, utilizando el mismo método que en el punto i) calcula la velocidad utilizando el tiempo que encontraste para llegar al punto más alto. ¿Cuál es la velocidad en el punto más alto?
viii) Traza la recta tangente en el punto más alto. Utiliza papel cuadriculado y anéxalo a la actividad.
ix) Ahora calcula la velocidad en el tiempo 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔.?
x) Traza la recta tangente en el tiempo 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔. Utiliza papel cuadriculado y anéxalo a la actividad.
xi) ¿cuál es el signo de la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y cuál el signo en el instante 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔.? Que explicaciones puedes dar al respecto.
342
xii) ¿Qué va ocurriendo con las rectas tangentes?
xiii) ¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta.
xiv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes antes del punto más alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la curva antes del punto más alto?
xv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del punto más alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la curva después del punto más alto?
xvi) ¿Cuál es la posición de la recta tangente en el punto más alto?
xvii) ¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus pendientes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?
344
Secuencia didáctica 4
El método utilizado en la actividad 3 nos permitía encontrar el valor de la velocidad en un instante, a la velocidad así encontrada le vamos a llamar velocidad instantánea o de manera más general razón de cambio instantánea, para usar tal método había que sustituir en la expresión:
𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)
𝑡2−𝑡1
Se tenía que sustituir los valores de las coordenadas de dos puntos infinitamente cercanos en la expresión anterior y calcular la velocidad instantánea, el método puede resultar largo dependiendo del grado de precisión que se deseé. Nos convendría tener una expresión algebraica por medio de la cual se pudiera calcular la razón de cambio instantánea. Para lo anterior vamos a recurrir a otro gran matemático que fue Léonard Euler (1707-1783).
Actividad 1
a) Dada la expresión 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡 , determinar la grafica.
b) Si graficáramos sólo una parte de la curva nos podría quedar algo como lo que se muestra a continuación:
Figura 1
La anterior figura es muy parecida a la que fue utilizada por Euler, en nuestro caso retomamos la figura pero haciendo algunos pequeños cambios, para usar una nomenclatura como la que actualmente estamos acostumbrados:
345
Figura 2
Cuando 𝑃2 esta infinitamente cercano a 𝑃1entonces la pequeña porción de la curva entre estos puntos se comporta como la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal cuyos vértices son: 𝑃1, 𝑃2 y 𝑞, obtendremos una figura como la que a continuación se muestra:
Figura 3
La curva de la figura 3 representa una porción de la función 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡.
Requerimos una expresión que nos permita obtener la razón de cambio instantánea.
𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏))
𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕,𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))
∆𝒔 ∆𝒕 q
T P
346
Vamos a considerar que ∆𝑡 es infinitamente pequeño de tal forma que la pequeña porción de curva 𝑃1𝑃2� se puede comportar como una recta ya que los puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 se encuentran infinitamente próximos entre sí, de hecho están tan cercanos que podrían ser considerados un solo punto, recordemos que dé a cuerdo a lo reportado por L´Hospital un punto es un pequeño segmento infinitesimal (una pequeñísima parte de una curva) De tal forma que el pequeño segmento infinitesimal tiene como pendiente la misma que la de la recta tangente en el punto 𝑃1 .
Como puedes ver de la figura se observa la existencia de dos triángulos semejantes:
b) ¿Cuáles son los vértices de estos triángulos?
c) Se puede establecer la relación de proporción entre los lados homólogos. Recuerda:
Proporcionalidad entre los lados homólogos:
𝑐𝑧 = 𝑎
𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐𝑡𝑒. Pero también se puede establecer la siguiente relación entre los catetos
de los triángulos rectángulos semejantes: 𝑏𝑎 = 𝑦𝑥
En el caso que estamos tratando establece la proporcionalidad entre los lados homólogos:
Y también se puede establecer la relación entre los catetos de los triángulos semejantes:
Para encontrar la expresión buscada, Euler llevo a cabo un análisis de que es lo que pasa con la curva cuando 𝑡1 se incrementa un ∆𝑡 y pasa a ser 𝑡2, donde:
a
b c
x
y z
347
𝑡2 = 𝑡1 + ∆𝑡
Euler se propone encontrar una polinomio en términos de ∆𝑡. Vamos a tratar de hacer algo parecido a lo que llevó a cabo Euler.
Actividad 2
Sabemos que 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡 por lo tanto 𝑠(1) = −12 + 6(1) por citar un caso, determinar de manera parecida:
j) 𝑠(2) = k) 𝑠(𝑎) = l) 𝑠(𝑡1) = m) 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) =
Para determinar cambios si es que tenemos un valor inicial y un valor final, basta con hacer una resta del valor final menos el valor inicial, por ejemplo si un joven de 13 años en el año 2009 media 155 cm y a los 14 años en el año 2010 mide 165 cm, ¿cuánto ha cambiado su estatura en un año? La respuesta es muy sencilla, sin embargo queremos que se haga la siguiente reflexión:
Tiempo inicial 𝑡𝑖 = 2009
Tiempo final 𝑡𝑓 = 2010
Cambio de tiempo ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 = 2010− 2009 = 1 año
Estatura inicial 𝐸𝑖 = 155𝑐𝑚
Estatura final 𝐸𝑓 = 165𝑐𝑚
Cambio de Estatura ∆𝐸 = 𝐸𝑓 − 𝐸1 = 165𝑐𝑚 − 155𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚
Si pensamos que el joven sigue creciendo durante dos años más al mismo ritmo,
¿Cuál es la razón de cambio de crecimiento del joven durante esos tres años?
En el caso de Euler, él quiso determinar el cambio al cual nosotros le hemos llamado ∆𝑠, el cambio se determina restándole al valor final el valor inicial, lo cual estará dado por la expresión:
∆𝑠 = 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡1)
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Utiliza los resultados obtenidos en los incisos c) y d) anteriores para obtener el valor de ∆𝑠,
∆𝑠 =
El ∆𝑠 encontrado representa el cambio de desplazamiento entre el punto 𝑃1 y el punto 𝑃2 y también representa el pequeño segmento del triángulo infinitesimal formado en la figura 3.
Para encontrar la tangente de la curva en el punto 𝑃1, Euler dividía la expresión
encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que representa
a la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:
Divide la expresión encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, ¿cuál es la expresión encontrada en el caso que estamos tratando?
A la expresión así encontrada y si contenía términos de ∆𝑡,∆𝑡2,∆𝑡3, …∆𝑡𝑛 Euler los suprimía de la expresión ya que eran considerados infinitamente pequeños, es decir despreciables.
Con respecto a la expresión que has encontrado y al suprimir todos aquellos términos que contienen a ∆𝑡 ¿cuál es la expresión finalmente encontrada?
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Esta expresión representa a la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal, al extender esta hipotenusa en ambos sentidos se encuentra la recta tangente a la curva en un punto, ¿esta recta tangente tendrá siempre la misma posición? Argumenta tu respuesta:
La expresión también nos puede ayudar a conocer la razón de cambio instantánea, es decir saber cuánto se desplaza el cuerpo por cada segundo en un instante del tiempo “t”. Para el caso que estamos tratando ¿la velocidad instantánea es siempre la misma?, argumenta tu respuesta:
350
Secuencia didáctica 5
Lo variacional de la recta tangente.
Si tenemos un cuerpo que se mueve de acuerdo a la expresión 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡en donde “t” representa el tiempo y “s” el desplazamiento, sin embargo podemos escribir la misma expresión utilizando otras literales por ejemplo 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 en donde “x” es nuestra variable independiente en el caso anterior representaría a el tiempo y “f” la variable dependiente, en el caso anterior sería el desplazamiento.
Actividad 1
En la secuencia anterior vimos que la gráfica de la función anterior es:
¿Cuál es el valor de la derivada? Es decir f´(x)=
Si consideráramos que el intervalo de variación de la función es 0 ≤ 𝑥 ≤ 6, es decir la función sólo toma valores para ese rango de variación ¿En qué intervalo es creciente la función?
¿En qué intervalo es decreciente la función?
¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en 𝑥 = 3?
En la gráfica anterior traza las rectas tangentes a la curva en:
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
351
𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 𝑥 = 4
¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva antes del punto máximo?
¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva después del punto máximo?
¿Cómo es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva exactamente en el punto máximo?
Contesta la siguiente tabla:
x F(x) F´(x)
0
1
2
3
4
5
6
Con los valores obtenidos para f´(x) queremos que elabores una nueva gráfica en donde los valores de la variable independiente están representados por “x” y los de la variable dependiente por f´(x), recuerda que f´(x) representa a la pendiente de la recta tangente en cada punto de la curva y en el caso de la velocidad instantánea representaría a la velocidad en cada instante del tiempo, para efectos prácticos solo se tabulan valores de
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números enteros, pero también podría haber otros valores para la variable independiente, por ejemplo 𝑥 = 1.6 o 𝑥 = 4.6 por citar sólo algunos casos.
Termina de llenar la siguiente tabla
x f´(x)
0 6
1
2
3
4
5
6
Utiliza los valores obtenidos para graficar, de la tabla anterior el primer punto quedaría (0,6) de la misma forma y con los demás valores de la tabla completada haz una gráfica, ¿cómo quedaría tu nueva gráfica?, pon tu gráfica en el plano puesto abajo:
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Ahora los valores de nuestra variable dependiente están dados por f´(x), contesta las siguientes preguntas:
¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f´(x) es positiva?
¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f´(x) es negativa?
¿Cuáles son las coordenadas del cero de la función es decir donde la variable dependiente f´(x) = 0?
Ahora compara las gráficas de f(x) y de f´(x) y contesta lo siguiente:
¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es creciente la función f(x) con respecto a el intervalo donde es positiva la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:
¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva con respecto al intervalo donde es creciente la función f(x)?
¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es decreciente la función f(x) con respecto a el intervalo donde es negativa la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:
¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva donde la función f(x) es decreciente?
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Sigue comparando ambas gráficas de f(x) y de f´(x), observa detenidamente lo que pasa antes y después del punto máximo, observa lo que ocurre con las posiciones de las rectas tangentes (y sus ángulos de inclinación) antes del punto máximo, después del punto máximo y durante el punto máximo, observa los cambios y compara con la gráfica de f´(x), ¿a qué conclusiones puedes llegar?
Actividad 2
Si ahora tuviéramos la gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a continuación:
Utilizando los argumentos y conclusiones de la actividad 1, haz una gráfica de f´(x):
−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0