ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Problemas de Mecánica de Medios

ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Problemas de Mecánica de Medios

Continuos

Problemas de Mecánica de Medios

Continuos TEMA 6TEMA 6

ELASTICIDAD LINEALELASTICIDAD LINEAL


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

El cilindro está sometido a una carga radial uniformementedistribuida de valor P ...

En la figura se presenta un cilindro de radio R y altura h y susección vertical

... y a un incremento de temperatura uniforme

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

h

RR

P PR

h


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Las propiedades del material del cilindro son las siguientes:

Planteamiento de problema

Límite elástico: e

Cohesión: CÁngulo de rozamiento interno: =30ºConstante térmica :

Para la resolución del problema se considerarán las siguienteshipótesis:

H1

H3

H2

Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelo es nulo. = .

Constantes de Lamé: y Densidad:


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uosSe pide :

Determinar el campo de desplazamientos, deformaciones ytensiones.


1)


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Obtener el correspondiente valor de para que, aplicandouna p*>0, los puntos de la cara superior del cilindro notengan desplazamiento vertical.

Se pide :


P* P*

Desplazamiento vertical final nuloEstado

inicial

2)


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Dadas las condiciones del Apartado 2, determinar el valor dep* para el cual el cilindro empieza a plastificar de acuerdo conlos criterios de Tresca, Von-Mises y Mohr-Coulomb, indicandocual de dichos criterios está más del lado de la seguridad.

Se pide :


Desplazamiento vertical nulo

P* P*

Inicio Plasticidad

3)


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Se pide determinar el campo de desplazamientos,deformaciones y tensiones en función de las constantes deintegración.

1)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Dada la geometría de la figura, se utilizará un sistema decoordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas.

x

z

y

êr

ê

êZ

r

z

zz

senθry

cosθrx

zθr ),,x(


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Resolución del problema

Resolución aplicando la Primera Primera Analogía Térmica:Analogía Térmica:

= +

EstadEstado Io IProblema original

Estado Estado IIIIIIProblema trivial

Estado Estado IIIIProblema análogo

b

*t

u*

b

t*

u*

b~

III σεu IIIIII σεu IIIIIIIII σεu


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Estado IEstado I

Tenemos:

Acciones:

Fuerzas másicas:

b 0

Tracciones prescritas en el contorno:

T,p, 00*t Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.

1

2

3

Incremento de temperatura uniforme:

4

Desplazamiento vertical nulo en la base.

0*t

0 *θ

*r tt

Aplicadas en la cara superior.

Aplicadas en la base inferior.

0*zu

p p

Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=

H1

H3

H2

Las hipótesis del problema son:


H1

H3

H2


b=0, las fuerzas

másicas son nulas


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

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ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Resolución del problemaResolución del problema

Estado 2Estado 2Fuerzas másicas corregidas:


βΔθρ

1bb

0

βΔθρ

1 0 Δθ Δθβρ

1

es constante

es uniforme

1

2 nt**t βΔθ

P+

P+

3

Variación de la temperatura nula.4

Desplazamiento vertical:

T,βΔθ,p 00*t Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.



TβΔθ, ,*t 00

0 *θ

*r tt

0*zu

Acciones:


H1

H3

H2


Aplicado en la base inferior, para z=0.

= 0


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Estado 3Estado 3Problema trivial en el que se conocen, sin necesidad de cálculos,las respuestas y utilizando al Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para materialtermoelástico lineal.

Campo de Campo de desplazamientodesplazamiento

s:s:

0uIII

Campo de Campo de deformaciones:deformaciones:

0εIII

Campo de Campo de tensiones:tensiones: 1ε1εσ III βΔθtr 2

x

z

yêr

ê

êZ

b~

0 0

βΔθ

βΔθ

βΔθ

00

00

00

Ecuación Constitu

tiva


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se puede comprobar que esta solución es la respuesta a lassiguientes acciones:

Fuerzas másicas corregidas:


1

2

3


n*t~

βΔθ

θβρ1

b~ 0 es constante y uniforme

4


T,βΔθ, 00*t~ Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.

TβΔθ,, 00*t~ Aplicadas en la cara superior.

Aplicadas en la base inferior.0 *t*t θr

~~

0*zu Aplicado en la base inferior, para z=0.


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Estado IIEstado II

Estado IIIEstado III

0

1

Δθ

θβ

θβρ

u*

nt**t

bb

II

II

II

σ

ε

uRespuesta

Acción

Δθ

βΔθ

θβρ1

0

*u

n*t~

b~

III

III

III

σ

ε

uRespuesta

Acción

Δθ

u*

t*

b

I

I

I

σ

ε

uAcció

nRespuesta

Estado Estado II

Así queda:

Estado I Estado I == Estado IIEstado II ++ Estado IIIEstado III


b

PP

*u

b~

P+

P+

*ub


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolución del ESTADO II:ESTADO II:

Hipótesis sobre el campo desplazamientos:Hipótesis sobre el campo desplazamientos:

Simetría cilíndrica.1

Cargas uniformes.2

zu

ru

r,zu

r,zu

z

r

z

r

00u

r,zu

r,zu

zr,θu

zr,θu

θ,zru

z

r

z

θ

r

0

,

,

,

ux

z

yêr

ê

êZ

P+

P+

b*u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolveremos las Ecuaciones de NavierEcuaciones de Navier, expresadas en coordenadascilíndricas, para obtener el campo de desplazamientos. Dichasecuaciones son:

2

2

2

2

2

2

22

2

221

2

22

2

t

ub

θr

rz

e

t

ub

rzrθ

e

r

t

ub

zzrr

e

zz

rθ

θθ

zr

rr

θz

Donde:

θ

u

rr

ru

r

r

u

z

u

z

u

θ

u

r

rθrθz

zrzrθ

θzθzr

11

2

1

2

1

1

2

1

z

u

θ

u

rru

rre zθ

r

11

00

00

0 0

0

00

0

0

0

0

00 0

0 0

0

0

Aplicando las Aplicando las hipótesis:hipótesis:

zu

ru

r,zu

r,zu

z

r

z

r

00u

Las fuerzas másicas son nulas.

0


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

01

2

rrurrr

022

2

z

uz

Integrando se obtiene el Campo de DesplazamientosCampo de Desplazamientos en función delas constantes de integración.

Campo de Campo de desplazamiendesplazamien

tostos::

DCz

rB

Ar

zu

ru

z

r

II 00u

Así queda:

0

rrurr

1

r

02

2

z

uz



X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se calcula a continuación el Campo de DeformacionesCampo de Deformaciones:

Así el Tensor de DeformacionesTensor de Deformaciones en función de las constantes deintegración es:

Tensor de Tensor de deformacionedeformacione

ss::

CrB

A

rB

A

II

00

00

00

2

2

ε

Campo de Campo de deformacionedeformacione

ss::

2rB

Arur

rrε

2rB

Arur

θθε

Czuz

zzε

0rθε

0rzε

0zθε


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se calcula a continuación el Campo de TensionesCampo de Tensiones.

Partimos de la Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para material elástico lineal:

ε1εσ 2 tr ε1εσ 2 tr

Operando queda:

CAσrBCAσ

rBCAσ

zz

θθ

rr

32

24

24

2

2

0 θzrzrθ σσσ

Tensor de Tensor de tensionestensiones::

CAλrBCAλ

rBCAλ

II

32 0 0

0 240

0 024

2

2

σ


H1

H3

H2



X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Obtenemos ahora el valor de las constantes de integraciónimponiendo las condiciones de contorno.

Condiciones de Condiciones de contorno:contorno:

00r

IIru

0 0zz0z

IIz uu *

Existe simetría de revolución:


1

2 Desplazamiento vertical nulo en la base:

Z=0

x

z

yêr

ê

êZ

P+

P+

b*u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

3

3.1 T,βΔθ,p 00*tAplicadas en el contorno lateral.


0

0

0

0

1 βΔθp

Rr

II

Rr

II σnσ

Aplicadas en la cara superior. TβΔθ, ,*t 003.2

βΔθhz

II

hz

II 0

0

1

0

0

σnσ


βΔθpσRr

IIrr

βΔθσhz

IIzz

Z=0

x

z

yêr

ê

êZ

P+

P+

b*u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Tenemos:

00

r

0r

IIr r

BAru 0B

00

z0z

IIz DCzu 0D

βΔθpCAλσRr

IIrr

4

βΔθCAλσhz

IIzz

32

λ

pθβC

10λ

θ2β3pA

5

;



X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

De esta manera obtenemos la solución del Estado 2Estado 2:


tostos::

zλ

pβΔθ

rλβΔθp

DCz

rB

Ar

zu

ru

z

r

II

5

0 10

23

0 0u

λpβΔθ

λβΔθp

λβΔθp

CrB

A

rB

A

II

500

010

230

0010

23

00

00

00

2

2

εCampo de Campo de deformacionedeformacione

ss::



X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos



βΔθ

βΔθp

βΔθp

CAλrBCAλ

rBCAλ

II

00

0 0

00

32 0 0

0 240

0 024

2

2

σ

ObsObs.: Nótese que el tensor de tensiones es uniforme, igual en todos los puntos. Por lotanto, los valores que toman las componentes del tensor en los contornos en los que seaplican las tracciones prescritas, son iguales en todos los puntos del cilindro.


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolución del ESTADO I:ESTADO I:

Obtendremos la solución como suma del Estado IIII y IIIIII.


tostos::


ss::

0

0

5λpβΔθ

00

010λ

βΔθ23p0

0010λ

βΔθ23p

z5λ

pβΔθ

0

r10λ

βΔθ23p

Iu IIu IIu I

IIε IIε IIIε


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Campo de Campo de tensionestensiones::


βΔθ

βΔθ -

βΔθ

0 0

0 0

0 0

βΔθ

βΔθp

βΔθp

00

0 0

00

000

00

00

p

p

Iσ IIσ IIIσ


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolución aplicando la Segunda Segunda Analogía Térmica:Analogía Térmica:

= +

EstadEstado Io IProblema original

Estado Estado IIIIII Problema trivial

Estado Estado IIIIProblema

análogo

b

t*

*u

b

t*

u*

*u~

III σεu IIIIII σεu IIIIIIIII σεu


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Estado IEstado I

Tenemos:

Acciones:

Fuerzas másicas:

b 0



1

2

3


4


0*t

0 *θ

*r tt



0*zu Aplicado en la base inferior, para z=0.


H1

H3

H2



H1

H3

H2


b=0, las fuerzas másicas son nulas

p p

u*


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Estado 2Estado 2

Fuerzas másicas:


b

1

2

3

Variación de la temperatura nula.4


00

z

IIIzz

IIIz

*z

*z u0uuu

Acciones:


0*t

0 *θ

*r tt



0



H1

H3

H2



H1

H3

H2


b=0, las fuerzas másicas son nulas

= 0

P P

*u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Fuerzas másicas:


1

2

3


0b~

4


0*zu~

Estado 3Estado 3


T,, 000*t~ Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.

0*t~

0 *θ

*r tt

~~



*u~


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Estado IIEstado II

Estado IIIEstado III

00

Δθz

IIIzuu**u

t**t

b

II

II

II

σ

ε

uRespuesta

Acción

Δθ

*u~0*t

~0b

~

III

III

III

σ

ε

uRespuesta

Acción

Δθ

u*

t*

b

I

I

I

σ

ε

uAcció

nRespuesta

Estado Estado II

Así queda:

Estado I Estado I == Estado IIEstado II ++ Estado IIIEstado III


b

PP

u*

P P

*ub

*u~


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolución del Estado 3 Estado 3Este estado se define con las condiciones mínimas quegaranticen que, al aplicar el , se pueda deformar libremente,sin generar tensiones. Por lo tanto conocemos que el Campo deCampo deTensionesTensiones es nulo.

Campo de Campo de deformaciones:deformaciones:

1σ1σεIII αΔθE

TrE

1

Campo de Campo de tensiones:tensiones:

0IIIσ

Obtenemos ahora el Campo de deformacionesCampo de deformaciones a partirde la Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para material termoelásticolineal y sabiendo que el campo de tensiones es nulo.

0 0

αΔθ

αΔθ

αΔθ

00

00

00

x

z

yêr

ê

êZ

*u~


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Hipótesis sobre el campo desplazamientos:Hipótesis sobre el campo desplazamientos:

Simetría cilíndrica.1

Cargas uniformes.2

zu

ru

r,zu

r,zu

z

r

z

r

00u

r,zu

r,zu

zr,θu

zr,θu

θ,zru

z

r

z

θ

r

0

,

,

,

u

Calculamos a continuación el Campo de DesplazamientosCampo de Desplazamientos:

x

z

yêr

ê

êZ

*u~


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Calculamos los desplazamientos integrando el campo dedeformaciones.

αΔθzuz

zzε 0zθε

αΔθrur

rrε

αΔθrur

θθε

0rθε

0rzεrαΔθur

CzαΔθuz


s:s:

CzαΔθ

rαΔθIII 0u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Aplicando la condición de contorno establecida, obtenemos elvalor de la constante de integración.

000

zz

IIIz uu *~ 0

0

CzαΔθu

z

IIIz 0C

Así queda:


s:s:

zαΔθ

rαΔθIII 0u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolución del ESTADO II:ESTADO II:De forma análoga a la 1ª analogía y bajo las mismas hipótesis,obtenemos el Campo de DesplazamientosCampo de Desplazamientos resolviendo las

Ecuaciones de NavierEcuaciones de Navier.


tostos::

DCz

rB

Ar

zu

ru

z

r

II 00u


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Integrando obtenemos el Campo de DeformacionesCampo de Deformaciones:


ss::

2r

rr r

BA

r

uε

2r

θθ r

BA

r

uε

Cz

uzzzε

0rθε

0rzε

0zθε

Así el Tensor de DeformacionesTensor de Deformaciones en función de las constantes deintegración es:

Tensor de Tensor de deformacionedeformacione

ss::

Cr

BA

r

BA

II

00

00

00

2

2

ε


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uosEl Campo de Tensiones, Campo de Tensiones, como en la 1ª analogía, se obtiene a

partir de la Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para material elástico lineal:

CAλσrBCAλσ

rBCAλσ

zz

θθ

rr

32

24

24

2

2

0 θzrzrθ σσσ


ε1εσ 2 tr ε1εσ 2 tr


3C2Aλ0 0

0r2BC4Aλ0

00r2BC4Aλ

2II

2

σ


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Obtenemos ahora el valor de las constantes de integraciónimponiendo las condiciones de contorno.

Condiciones de Condiciones de contorno:contorno:

00r

IIru

0 0zz0z

IIz uu *

Existe simetría de revolución:


1

2 Desplazamiento vertical nulo en la base:

Z=0

x

z

yêr

ê

êZ

p p

u*


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

3

3.1 T,p, 00*tAplicadas en el contorno lateral.


Aplicadas en la cara superior. T,, 000*t3.2


x

z

yêr

ê

êZ

Z=0

p p

0

0

0

0

1 p

Rr

II

Rr

II σnσ pσRr

IIrr

0

0

0

1

0

0

hz

II

hz

II σnσ 0hz

IIzzσ


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

Tenemos:

00

r

0r

IIr r

BAru 0B

00

z0z

IIz DCzu 0D

prBCAλσ

Rr

IIrr

224

032

CAλσhz

IIzz

λ

pC

10λ

3pA

5

;



X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

De esta manera obtenemos la solución del Estado 2Estado 2:


tostos::

z5λ

p

0

r10λ3p

DCz

rB

Ar

zu

ru

z

r

II 00u

λ

pλ

pλ

p

Cr

BA

r

BA

II

500

010

30

0010

3

00

00

00

2

2

εCampo de Campo de deformacionedeformacione

ss::



X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos



000

00

00

32 0 0

0 240

0 024

2

2

p

p

CAλrBCAλ

rBCAλ

IIσ

ObsObs.: Nótese que el tensor de tensiones es uniforme, igual en todos los puntos. Por lotanto, los valores que toman las componentes del tensor en los contornos en los que seaplican las tracciones prescritas, son iguales en todos los puntos del cilindro.


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Resolución del ESTADO I:ESTADO I:

Obtendremos la solución como suma del Estado IIII y IIIIII.


tostos::

z

5λ

p

r10λ

3p

0

αΔθ

αΔθ

0

αΔθz5λ

p

αΔθr10λ

3p

0Iu IIu IIu I


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos



ss::

Cr

BA

r

BA

00

00

00

2

2

αΔθλp

αΔθλp

αΔθλp

500

0103

0

00103

Campo de Campo de tensionestensiones::

000

00

00

p

p

0

Iε IIε IIIε

αΔθ

αΔθ

αΔθ

00

00

00

Iσ IIσ IIIσ


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se pide obtener el correspondiente valor de para que,aplicando una p*>0, los puntos de la cara superior delcilindro no tengan desplazamiento vertical.

0hzzu 0

5

hzhzz z

λ

pβΔθu

*

βp*

Δθ

Imponemos entonces que, dado p* eldesplazamiento vertical en z=h sea nulo y aislandoobtenemos el :

2)

p* p*

x

z

yêr

ê

êZ

Z=0


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


3) Se pide que, dadas las condiciones del Apartado 2, sedetermine el valor de p* para el cual el cilindro empieza aplastificar de acuerdo con los criterios de Tresca, Von-Mises yMohr-Coulomb, indicando cual de dichos criterios está más dellado de la seguridad.

Desplazamiento vertical nulo

P* P*

Inicio Plasticidad


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Criterio de Tresca:Criterio de Tresca:

031 eσσσF σ

En nuestro caso:

03

1

σ

pσ * 0 eσpF *σ

El material empieza a plastificar cuando:

eσp *

0 0 0

0 0

0 0

*

*

σ p

p


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Criterio de Von-Mises:Criterio de Von-Mises: 03 2 ee σJσσF 'σσ

En nuestro caso:


eσp *

0 0 0

0 0

0 0

*

*

σ p

p

*

*

*

1σσσ'

p

p

p

Tr

3

2 0 0

0 3

1 0

0 0 3

1

3

1

222 3

194

91

91

21

21

**σ':σ'' ppJ

*' pJσ 23

0 eσpF *σ


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Criterio de Mohr-Coulomb:Criterio de Mohr-Coulomb: 023131 φcφσσσσF cossinσ

En nuestro caso:


c3

32p *

21

23

03

1

φ

φ

σ

pσ

sin

cos

*

0323 cpF *σ


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Estudiemos ahora qué criterio está más del lado de la seguridad:

Para c3

32σe

***CoulombMohrMisesVonTresca ppp

El Criterio de Tresca y de Von-Mises estánmás del lado de la seguridad.

Para c3

32σe

***MisesVonTrescaCoulombMohr ppp

El Criterio de Mohr-Coulomb está más dellado de la seguridad.

El criterio que estará más del lado de la seguridad seráaquel que determine el inicio de la plastificación para elmenor valor de la presión.

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ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Problemas de Mecánica de Medios