Leonhard Euler
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Leonhard EulerLeonhard Euler
Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Brucker
Nacimiento 15 de abril de 1707 Basilea (Suiza) Fallecimiento 18 de
septiembre de 1783 San Petersburgo (Rusia) Prusia, Rusia y Suiza
Suiza matemticas y fsica Academia de las ciencias de Rusia Academia
Prusiana de las Ciencias Universidad de Basilea Johann Bernoulli
Johann Friedrich Hennert Joseph-Louis de Lagrange Nmero e Identidad
de Euler Caracterstica de Euler Firma
Residencia Nacionalidad Campo Instituciones
Alma mter Supervisordoctoral Estudiantes destacados
Conocidopor
Leonhard Paul Euler /oile'h/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de
1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido
como Leonhard Euler, fue un matemtico y fsico suizo. Se trata del
principal matemtico del siglo XVIII y uno de los ms grandes de
todos los tiempos. Vivi en Rusia y Alemania la mayor parte de su
vida y realiz importantes descubrimientos en reas tan diversas como
el clculo o la teora de grafos. Tambin introdujo gran parte de la
moderna terminologa y notacin matemtica, particularmente para el
rea del anlisis matemtico, como por ejemplo la nocin de funcin
matemtica.[1] Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos
de la mecnica, ptica y astronoma. Euler ha sido uno de los
matemticos ms prolficos, y se calcula que sus obras completas
reunidas podran ocupar entre 60 y 80 volmenes.[2] Una afirmacin
atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en
los matemticos posteriores: Lean a Euler, lean a Euler, l es el
maestro de todos nosotros.[3] En conmemoracin suya, Euler ha
aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos,
as como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y
rusos. El asteroide (2002) Euler recibi ese nombre en su honor.
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BiografaPrimeros aosEuler naci en Basilea (Suiza), hijo de Paul
Euler, un pastor calvinista, y de Marguerite Brucker, hija de otro
pastor. Tuvo dos hermanas pequeas llamadas Anna Maria y Maria
Magdalena. Poco despus de su nacimiento, su familia se traslad de
Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pas su infancia. Por
su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa
familia de matemticos entre los que Antiguo billete de 10 francos
suizos con el retrato de Euler. destacaba Johann Bernoulli, que en
ese momento era ya considerado el principal matemtico europeo, y
que ejercera una gran influencia sobre el joven Leonhard. La
educacin formal de Euler comenz en la ciudad de Basilea, donde le
enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de 13 aos se
matricul en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibira el ttulo
de maestro de Filosofa tras una disertacin comparativa de las
filosofas de Ren Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler
reciba lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sbados
por la tarde, quien descubri rpidamente el increble talento de su
nuevo pupilo para las matemticas.[4] En aquella poca Euler se
dedicaba a estudiar teologa, griego y hebreo siguiendo los deseos
de su padre, y con la vista puesta en llegar a ser tambin pastor.
Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que
Leonhard estaba destinado a ser un gran matemtico. En 1726 Euler
finaliz su Doctorado con una tesis sobre la propagacin del sonido
bajo el ttulo De Sono[5] y en 1727 particip en el concurso
promovido por la Academia de las Ciencias francesa por el cual se
solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma
posible de ubicar el mstil en un buque. Gan el segundo puesto,
detrs de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la
arquitectura naval. Ms adelante Euler conseguira ganar ese premio
hasta en doce ocasiones.[6]
San PetersburgoPor aquella poca, los dos hijos de Johann
Bernoulli, Daniel y Nicols, se encontraban trabajando en la
Academia de las ciencias de Rusia en San Petersburgo. En julio de
1726, Nicols muri de apendicitis tras haber vivido un ao en Rusia
y, cuando Daniel asumi el cargo de su hermano en el departamento de
matemticas y fsica, recomend que el puesto que haba dejado vacante
en fisiologa fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese
mismo ao Euler acept la oferta, aunque retras su salida hacia San
Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin xito, un puesto de
profesor de fsica en la Universidad de Basilea.[7]
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Euler lleg a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue
ascendido desde su puesto en el departamento mdico de la Academia a
un puesto en el departamento de matemticas, en el que trabaj con
Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboracin. Euler aprendi
el ruso y se estableci finalmente en San Petersburgo a vivir. Lleg
incluso a tomar un trabajo adicional como mdico de la Armada de
Rusia.[8] La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I de
Rusia, tena el objetivo de Sello del ao 1957 de la antigua Unin
Sovitica conmemorando el 250 aniversario mejorar el nivel educativo
en Rusia y de del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 aos desde
el nacimiento del gran reducir la diferencia cientfica existente
matemtico y acadmico Leonhard Euler. entre ese pas y la Europa
Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas
para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia posea
amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extrada
directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la
nobleza. La Academia admita a un nmero muy reducido de estudiantes
para facilitar la labor de enseanza, a la vez que se enfatizaba la
labor de investigacin y se ofreca a la facultad tanto el tiempo
como la libertad para resolver cuestiones cientficas.[9] Sin
embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz
Catalina I de Rusia, que haba continuado con las polticas
progresistas de su marido, muri el mismo da de la llegada de Euler
a Rusia. Su muerte increment el poder de la nobleza, puesto que el
nuevo emperador pas a ser Pedro II de Rusia, por entonces un nio de
tan slo 12 aos de edad. La nobleza sospechaba de los cientficos
extranjeros de la Academia, por lo que cort la cuanta de recursos
dedicados a la misma y provoc otra serie de dificultades para Euler
y sus colegas. Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte
de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarqua de
la Academia, convirtindose en profesor de fsica en 1731. Dos aos ms
tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le
planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en
San Petersburgo, dej la ciudad y volvi a Basilea. Euler le sucedi
como director del departamento de matemticas.[10] El 7 de enero de
1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un
pintor de la Academia. La joven pareja compr una casa al lado del
ro Neva y lleg a concebir hasta trece hijos, si bien slo cinco
sobrevivieron hasta la edad adulta.[11]
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BerlnPreocupado por los acontecimientos polticos que estaban
teniendo lugar en Rusia, Euler parti de San Petersburgo el 19 de
junio de 1741 para aceptar un cargo en la Academia de Berln, cargo
que le haba sido ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia.
Vivi veinticinco aos en Berln, en donde escribi ms de 380 artculos.
Tambin public aqu dos de sus principales obras: la Introductio in
analysin infinitorum, un texto sobre las funciones matemticas
publicado en 1748, y la Institutiones calculi differentialis,[12]
publicada en 1755 y que versaba sobre el clculo
diferencial.[13]
Sello de la antigua Repblica Democrtica Alemana en honor a Euler
en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su frmula
polidrica para el grafo planar.
Adems, se le ofreci a Euler un puesto como tutor de la princesa
de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribi ms de 200
cartas dirigidas a la princesa que ms tarde seran recopiladas en un
volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofa
Natural dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba
la exposicin de Euler sobre varios temas de fsicas y matemticas, as
como una visin de su personalidad y de sus creencias religiosas. El
libro se convirti en el ms ledo de todas sus obras, y fue publicado
a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos.
La popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de
testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar cuestiones
cientficas a una audiencia menos cualificada.[13] Sin embargo, y a
pesar de la inmensa contribucin de Euler al prestigio de la
Academia, fue obligado finalmente a dejar Berln. El motivo de esto
fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemtico y el
propio Federico, que lleg a ver a Euler como una persona muy poco
sofisticada, y especialmente en comparacin con el crculo de
filsofos que el rey alemn haba logrado congregar en la Academia.
Voltaire, en particular, era uno de esos filsofos, y gozaba de una
posicin preeminente en el crculo social del rey. Euler, como un
simple hombre de carcter religioso y trabajador, era muy
convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en
cierta forma lo contrario que Voltaire. Euler tena conocimientos
limitados de retrica, y sola debatir cuestiones sobre las que tena
pocos conocimientos, lo cual le haca un objetivo frecuente de los
ataques del filsofo.[13] Por ejemplo, Euler protagoniz varias
discusiones metafsicas con Voltaire, de las que sola retirarse
enfurecido por su incapacidad en la retrica y la metafsica.
Federico tambin mostr su descontento con las habilidades prcticas
de ingeniera de Euler: Quera tener una bomba de agua en mi jardn:
Euler calcul la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el agua
a una reserva, desde la que caera despus a travs de canalizaciones
para finalmente manar en el palacio de Sanssouci. Mi molino fue
construido de forma geomtrica y no poda elevar una bocanada de agua
hasta ms all de cinco pasos hacia la reserva. Vanidad de las
vanidades! Vanidad de la geometra! Federico II el Grande[14]
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Deterioro de la visinLa vista de Euler fue empeorando a lo largo
de su vida. En el ao 1735 Euler sufri una fiebre casi fatal, y tres
aos despus de dicho acontecimiento qued casi ciego de su ojo
derecho. Euler, sin embargo, prefera acusar de este hecho al
trabajo de cartografa que realizaba para la Academia de San
Petersburgo. La vista de ese ojo empeor a lo largo de su estancia
en Alemania, hasta el punto de que Federico haca referencia a l
como el Cclope. Euler ms tarde sufri cataratas en su ojo sano, el
izquierdo, lo que le dej prcticamente ciego pocas semanas despus de
su diagnstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visin
no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compens
con su gran capacidad de clculo mental y su memoria fotogrfica. Por
ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el
comienzo hasta el final y sin dudar en ningn momento, y en cada
pgina de la edicin era capaz de indicar qu lnea era la primera y
cul era la ltima.[2] Tambin se saba de memoria las frmulas de
trigonometra y las primeras 6 potencias de los primeros 100 nmeros
primos.[16] Pas los ltimos aos de su vida ciego, pero sigui
trabajando. Muchos trabajos se los dict a su hijo mayor.
Retrato de Euler del ao 1753 dibujado por Emanuel Handmann. El
retrato sugiere problemas en el ojo derecho, as como un posible
estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien [15] ms tarde
Euler tuvo problemas de cataratas.
Retorno a RusiaLa situacin en Rusia haba mejorado enormemente
tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler
acept una invitacin para volver a la Academia de San Petersburgo
para pasar ah el resto de su vida. Su segunda poca en Rusia, sin
embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San
Petersburgo en 1771 le cost su casa y casi su vida, y en 1773 perdi
a su esposa, que por entonces tena 40 aos de edad. Euler se volvi a
casar tres aos ms tarde. El 18 de septiembre de 1783 Euler falleci
en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un accidente
cerebrovascular, y fue enterrado junto con su esposa en el
Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Sus restos
fueron trasladados por los soviticos al Monasterio de Alejandro
Nevski.Tumba de Euler, ubicada en Monasterio de Alejandro
Nevski.
El matemtico y filsofo francs Nicolas de Condorcet escribi su
elogio funeral para la Academia francesa. il cessa de calculer et
de vivre dej de calcular y de vivir.[17] Por su parte, Nikolaus von
Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San
Petersburgo, escribi un relato de su vida junto con un listado de
sus obras.
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Contribucin a las matemticas y a otras reas cientficasEuler
trabaj prcticamente en todas las reas de las matemticas: geometra,
clculo, trigonometra, lgebra, teora de nmeros, adems de fsica
continua, teora lunar y otras reas de la fsica. Adicionalmente,
aport de manera relevante a la lgica matemtica con su diagrama de
conjuntos. Ha sido uno de los matemticos ms prolficos de la
historia. Su actividad de publicacin fue incesante (un promedio de
800 pginas de artculos al ao en su poca de mayor produccin, entre
1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa est sin
publicar. La labor de recopilacin y publicacin completa de sus
trabajos, llamados Opera Omnia,[18] comenz en 1911 y hasta la fecha
ha llegado a publicar 76 volmenes. El proyecto inicial planeaba el
trabajo sobre 887 ttulos en 72 volmenes. Se le considera el ser
humano con mayor nmero de trabajos y artculos en cualquier campo
del saber, slo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus
trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental,
ocuparan entre 60 y 80 volmenes.[2] Adems, y segn el matemtico
Hanspeter Kraft, presidente de la Comisin Euler de la Universidad
de Basilea, no se ha estudiado ms de un 10% de sus escritos.[19]
Por todo ello, el nombre de Euler est asociado a un gran nmero de
cuestiones matemticas. Se cree que fue el que dio origen al
pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el clculo de
probabilidades.[20]
Notacin matemticaEuler introdujo y populariz varias convenciones
referentes a la notacin en los escritos matemticos en sus numerosos
y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo ms notable fue la
introduccin del concepto de funcin matemtica,[1] siendo el primero
en escribir f(x) para hacer referencia a la funcin f aplicada sobre
el argumento x. Esta nueva forma de notacin ofreca ms comodidad
frente a los rudimentarios mtodos del clculo infinitesimal
existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero
desarrollados basndose en las matemticas del ltimo. Tambin
introdujo la notacin moderna de las funciones trigonomtricas, la
letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el nmero e es
conocido tambin como el nmero de Euler), la letra griega como
smbolo de los sumatorios y la letra para hacer referencia a la
unidad imaginaria.[21] El uso de la letra griega para hacer
referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la
longitud de su dimetro tambin fue popularizado por Euler, aunque l
no fue el primero en usar ese smbolo.[22]
AnlisisEl desarrollo del clculo era una de las cuestiones
principales de la investigacin matemtica del siglo XVIII, y la
familia Bernoulli haba sido responsable de gran parte del progreso
realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del
clculo se convirti en uno de los principales objetos del trabajo de
Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemticas no son
aceptables bajo los estndares modernos de rigor matemtico,[23] es
cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.
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El nmero Euler defini la constante matemtica conocida como nmero
como aquel nmero real tal que el valor de su derivada (la x
pendiente de su lnea tangente) en la funcin en el punto es
exactamente 1. La funcinx
es tambin
llamada funcin exponencial y su funcin inversa es el logaritmo
neperiano, tambin llamado logaritmo natural o logaritmo en base .
El nmero puede ser representado como un nmero real en varias
formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fraccin
continua o como el lmite de una sucesin. La principal de estas
representaciones, particularmente en los cursos bsicos de clculo,
es como el lmite:
y tambin como la serie:
es el nico nmero real para el valor a para el cual se cumple que
el valor de derivada de la funcin f (x) = ax (curva azul) en el
punto x=0 es exactamente 1. En comparacin se muestran las funciones
2x (lnea punteada) y 4x (lnea discontinua), que no son tangentes a
la lnea de pendiente 1 (en rojo).
Adems, Euler es muy conocido por su anlisis y su frecuente
utilizacin de la serie de potencias, es decir, la expresin de
funciones como una suma infinita de trminos como la siguiente:
Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la
expansin de series de potencias de la funcin arcotangente. Su
atrevido aunque, segn los estndares modernos, tcnicamente
incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver
el famoso problema de Basilea en 1735,[23] por el cual quedaba
demostrado que:
Euler introdujo el uso de la funcin exponencial y de los
logaritmos en las demostraciones analticas. Descubri formas para
expresar varias funciones logartmicas utilizando series de
potencias, y defini con xito logaritmos para nmeros negativos y
complejos, expandiendo enormemente el mbito de la aplicacin
matemtica de los logaritmos.[24] Tambin defini la funcin
exponencial para nmeros complejos, y descubri su relacin con las
funciones trigonomtricas. Para cualquier nmero real , la frmula de
Euler establece que la funcin exponencial compleja puede
establecerse mediante la siguiente frmula:Interpretacin geomtrica
de la frmula de Euler.
Siendo un caso especial de la frmula lo que se conoce como la
identidad de Euler:
Esta frmula fue calificada por Richard Feynman como la frmula ms
reseable en matemticas, porque relaciona las principales
operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, , y
.[25] En 1988, los
Leonhard Euler lectores de la revista especializada Mathematical
Intelligencer votaron la frmula como la ms bella frmula matemtica
de la historia.[26] En total, Euler fue el responsable del
descubrimiento de tres de las cinco primeras frmulas del resultado
de la encuesta.[26] Adems de eso, Euler elabor la teora de las
funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones
algebraicas) mediante la introduccin de la funcin gamma, e
introdujo un nuevo mtodo para resolver ecuaciones de cuarto grado.
Tambin descubri una forma para calcular integrales con lmites
complejos, en lo que sera en adelante del moderno anlisis complejo,
e invent el clculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a
las que seran llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange. Euler
tambin fue pionero en el uso de mtodos analticos para resolver
problemas tericos de carcter numrico. Con ello, Euler uni dos ramas
separadas de las matemticas para crear un nuevo campo de estudio,
la teora analtica de nmeros. Para ello, Euler cre la teora de las
series hipergeomtricas, las series q, las funciones hiperblicas
trigonomtricas y la teora analtica de fracciones continuas. Por
ejemplo, demostr que la cantidad de nmeros primos es infinita
utilizando la divergencia de series armnicas, y utiliz mtodos
analticos para conseguir una mayor informacin sobre cmo los nmeros
primos se distribuyen dentro de la sucesin de nmeros naturales. El
trabajo de Euler en esta rea llevara al desarrollo del teorema de
los nmeros primos.[27]
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Teora de nmerosEl inters de Euler en la teora de nmeros procede
de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su
estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los
primeros trabajos de Euler en teora de nmeros se basan en los
trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarroll algunas de las ideas
de este matemtico francs pero descart tambin algunas de sus
conjeturas. Euler uni la naturaleza de la distribucin de los nmeros
primos con sus ideas del anlisis matemtico. Demostr la divergencia
de la suma de los inversos de los nmeros primos y, al hacerlo,
descubri la conexin entre la funcin zeta de Riemann y los nmeros
primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la funcin
zeta de Riemann. Euler tambin demostr las identidades de Newton, el
pequeo teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos
cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los
cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. Tambin defini la
funcin de Euler que, para todo nmero entero positivo, cuantifica el
nmero de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n.
Ms tarde, utilizando las propiedades de esta funcin, generaliz el
pequeo teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de
Euler. Contribuy de manera significativa al entendimiento de los
nmeros perfectos, tema que fascin a los matemticos desde los
tiempos de Euclides, y avanz en la investigacin de lo que ms tarde
se concretara en el teorema de los nmeros primos. Los dos conceptos
se consideran teoremas fundamentales de la teora de nmeros, y sus
ideas pavimentaron el camino del matemtico Carl Friedrich
Gauss.[28] En el ao 1772, Euler demostr que 231 - 1 = 2.147.483.647
es un nmero primo de Mersenne. Esta cifra permaneci como el nmero
primo ms grande conocido hasta el ao 1867.[29]
Leonhard Euler
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Teora de grafos y geometraEn 1736, Euler resolvi el problema
conocido como problema de los puentes de Knigsberg.[30] La ciudad
de Knigsberg, en Prusia Oriental (actualmente Kaliningrado, en
Rusia), estaba localizada en el ro Pregel, e inclua dos grandes
islas que estaban conectadas entre ellas y con las dos riberas del
ro mediante siete puentes. El problema consista en decidir si era
posible seguir un camino que cruzase todos los puentes una sola vez
y que finalizase llegando al punto de partida. No lo hay, y Euler
logr probarlo matemticamente demostrando que no exista un ciclo
euleriano debido a que el nmero de puentes en ms de dos bloques era
impar.
A esta solucin se la considera el primer teorema de teora de
grafos y de grafos planares.[30] Euler tambin introdujo el concepto
conocido como caracterstica de Euler del espacio, y una frmula que
relacionaba el nmero de lados, vrtices y caras de un polgono
convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que
bsicamente consiste en buscar una relacin entre nmero de caras,
aristas y vrtices en los poliedros. Utiliz esta idea para demostrar
que no existan ms poliedros regulares que los slidos platnicos
conocidos hasta entonces. El estudio y la generalizacin de esta
frmula, especialmente por Cauchy[31] y L'Huillier,[32] supuso el
origen de la topologa.[33][34] Dentro del campo de la geometra
analtica descubri adems que tres de los puntos notables de un
tringulo baricentro, ortocentro y circuncentro podan obedecer a una
misma ecuacin, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene
el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina Recta de
Euler en su honor.
Mapa de la ciudad de Knigsberg, en tiempos de Euler, que muestra
resaltado en verde el lugar en dnde se encontraban ubicados los
siete puentes.
Matemticas aplicadasAlgunos de los mayores xitos de Euler fueron
en la resolucin de problemas del mundo real a travs del anlisis
matemtico, en lo que se conoce como matemtica aplicada, y en la
descripcin de numerosas aplicaciones de los nmeros de Bernoulli,
las series de Fourier, los diagramas de Venn, el nmero de Euler,
las constantes e y , las fracciones continuas y las integrales.
Integr el clculo diferencial de Leibniz con el Mtodo de Fluxin de
Newton, y desarroll herramientas que hacan ms fcil la aplicacin del
clculo a los problemas fsicos. Euler ya empleaba las series de
Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las
ecuaciones de Lagrange del clculo variacional, las ecuaciones de
Euler-Lagrange. Hizo grandes avances en la mejora de las
aproximaciones numricas para resolver integrales, inventando lo que
se conoce como las aproximaciones de Euler. Las ms notables de
estas aproximaciones son el mtodo de Euler para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias, y la frmula de Euler-Maclaurin. Este
mtodo consiste en ir incrementando paso a paso la variable
independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
Tambin facilit el uso de ecuaciones diferenciales, en particular
mediante la introduccin de la constante de Euler-Mascheroni:
Por otro lado, uno de los intereses ms llamativos de Euler fue
la aplicacin de las ideas matemticas sobre la msica. En 1739
escribi su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello
poder incorporar el uso de las matemticas a la teora musical. Esta
parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atencin del
pblico, y lleg a ser descrita como demasiado matemtica para los
msicos y demasiado musical para los matemticos.[35]
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Fsica y astronomaEuler ayud a desarrollar la ecuacin de la Curva
elstica, que se convirti en el pilar de la ingeniera. Aparte de
aplicar con xito sus herramientas analticas a los problemas de
mecnica clsica, Euler tambin las aplic sobre los problemas de los
movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronoma fue
reconocido mediante varios Premios de la Academia de Francia a lo
largo de su carrera, y sus aportes en ese campo incluyen cuestiones
como la determinacin con gran exactitud de las rbitas de los
cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el entendimiento
de la naturaleza de los primeros, o el clculo del paralaje solar.
Formula siete leyes o principios fundamentales sobre la estructura
y dinmica del Sistema Solar y afirma que los distintos cuerpos
celestes y planetarios rotan alrededor del Sol siguiendo una orbita
de forma elptica. Sus clculos tambin contribuyeron al desarrollo de
tablas de longitud ms exactas para la navegacin.[36] Tambin public
trabajos sobre el movimiento de la luna. Adems, Euler llev a cabo
importantes contribuciones en el rea de la ptica. No estaba de
acuerdo con las teoras de Newton sobre la luz, desarrolladas en su
obra Opticks, y que eran la teora prevalente en aquel momento. Sus
trabajos sobre ptica desarrollados en la dcada de 1740 ayudaron a
que la nueva corriente que propona una teora de la luz en forma de
onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teora
hegemnica. La nueva teora mantendra ese estatus hasta el desarrollo
de la teora cuntica de la luz.[37] En el campo de la mecnica Euler,
en su tratado de 1739, introdujo explcitamente los conceptos de
partcula y de masa puntual y la notacin vectorial para representar
la velocidad y la aceleracin, lo que sentara las bases de todo el
estudio de la mecnica hasta Lagrange. En el campo de la mecnica del
slido rgido defini los llamados tres ngulos de Euler para describir
la posicin y public el teorema principal del movimiento, segn el
cual siempre existe un eje de rotacin instantneo, y la solucin del
movimiento libre (consigui despejar los ngulos en funcin del
tiempo). En hidrodinmica estudi el flujo de un fluido ideal
incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la
hidrodinmica. Adelantndose ms de cien aos a Maxwell previ el
fenmeno de la presin de radiacin, fundamental en la teora unificada
del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se
encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente
avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia
de su poca.
LgicaEn el campo de la lgica, se atribuye a Euler el uso de
curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogstico (1768).
Las representaciones de este tipo reciben el nombre de diagramas de
Euler.[38]
Arquitectura e ingenieraEn este campo, Euler desarroll la ley
que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y gener
una nueva rama de ingeniera con sus trabajos sobre la carga crtica
de las columnas.
Creencias religiosas y filosficasEuler y su amigo Daniel
Bernoulli se oponan al monismo de Leibniz y a la corriente
filosfica representada por Christian Wolff. Euler insista en que el
conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes
cuantitativas precisas, algo que el monismo y las teoras filosficas
de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones religiosas
tambin pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de
doctrinas, hasta el punto de que lleg a catalogar las ideas de
Wolff como paganas y ateas.[39] Gran parte del conocimiento que
tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra
Cartas a una Princesa Alemana, as como de un trabajo anterior
llamado Rettung der Gttlichen Offenbahrung Gegen die Einwrfe der
Freygeister (en espaol, Defensa de la revelacin Divina frente a las
objeciones de los
Leonhard Euler Librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler
como un cristiano convencido que defenda la interpretacin literal
de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una
discusin en defensa de la inspiracin divina de las
escrituras).[40]
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ObraEuler cuenta con una extenssima bibliografa, en esta seccin
se puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras ms
conocidas o importantes. Mechanica, sive motus scientia analytica
exposita[41] (1736) Tentamen novae theoriae musicae (1739) Solutio
problematis ad geometriam situs pertinentis (1741) Methodus
inveniendi lneas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive
solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
Introductio in Analysis Infinitorum (1748) Institutiones Calculi
Differentialis (1765) Theoria motus corporum solidorum seu
rigidorum (1765) Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)
Vollstndige Anleitung zur Algebra[42] (1770) Lettres une Princesse
d'Allemagne (Cartas a una Princesa Alemana)[43] (17681772). En
1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenz la Portada de la
obra de Euler titulada Methodus publicacin de una coleccin
definitiva de los trabajos de Euler inveniendi lneas curvas.
titulada Opera Omnia.[18] Existe un plan para la ampliacin de la
obra a la publicacin de la correspondencia (en el ao 2008 se han
publicado ya tres volmenes de correspondencia) y los manuscritos de
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