Evaluacion de Recursos y Reservas

8/15/2019 Evaluacion de Recursos y Reservas

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CursoMINERÍA

Profesor: Dr. Julián M. Ortiz


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04 – Desarrollo Minero


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Evaluación de recursos y reservas


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Generalidades

• La determinación de los recursos es una etapa crítica en los proyectosmineros

– Se requiere una cuantificación de la cantidad y calidad de los recursos– Se requiere una cuantificación del error– Se deben definir los recursos bancables para buscar el financiamiento del proyecto

– Existen estándares internacionales para el reporte de recursos y reservas


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Generalidades

• La exploración avanzada genera una base de datos provenientede una campaña de sondajes en una grilla seudo-regular

• ¿Cómo cuantificamos los recursos?


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Generalidades

• Procedimiento típico:– Interpretación del depósito modelo geológico

– Análisis de datos representatividad / chance (valores erráticos outliers)

– Análisis de continuidad espacial:• Mineralización

• Leyes– Estimación– Error asociado a la estimación / categorización– Validación de modelos


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Interpretación geológica

• Análisis utilizando plantas y secciones Isoleyes /Mineralización / Alteración / Litología / Estructuras


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• Visualización en 3-D interpretación


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• Se deben definir volúmenes en los que la variable en estudiotenga un comportamiento “homogéneo”

– Geológicamente– Estadísticamente

• Dentro de cada unidad de estimación, las muestras son“ ”

¿Cuál es la ley en este punto?


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Generalidades

• La estadística se ocupa de los métodos científicos pararecolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos así

como obtener conclusiones válidas y tomar decisionesrazonables sobre la base de dicho análisis.• La geoestadística es una rama de la estadística aplicada que

pone énfasis en: – ,

– La relación espacial entre los datos, y– Datos medidos con un soporte volumétrico y precisión diferentes.

• La geoestadística es útil para:– Cuantificar aspectos geológicos.

– Estimación / Simulación.– Cuantificación de la incertidumbre.– Diseño de muestra.– Análisis de riesgo.


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Primeras aplicaciones

• Regresión Lognormal: Mina Harmony (Sudáfrica).

6,79

1102

1 7 46,33

688

4 36 68 14 2

5,87

427

3 52 120 60 5

5,41

262

e l n ( z

2 + β ββ β

) d e

l a c a

t e g o r í a

y r e a

l d e

b l o q u e s

( c m

* g / t )

• Sesgo Condicional: subestimación de leyes bajas ysobreestimación de leyes altas.

4,95158

4 5 12 1

4,49

92

51 92 158 262 427 688 1102 1758

4,49 4,95 5,41 5,87 6,33 6,79 7,25

Valor medio de ln(z1+ββββ ) de la categoría

V a

l o r m e

d i o

V a r i a

b l e

z 2

: L

Variable z1: Ley estimada de bloques (cm*g/t)


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Paso de la regresión a promedios

ponderados• Ecuación de la recta de

regresión:

es un promedio ponderado dela ley de los valores periféricos y

⋅−⋅+

⋅⋅=1

2

1

2

Z

Z

Z

Z

12s

sr1m

s

srzẑ

de la media del sector.• Origen del kriging


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Modelos geológicos

• Combinación de características geológicas– Litologías

– Alteraciones– Mineralización


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Modelos geológicos

• Modelos complejos:– Usualmente, se definen varias “poblaciones” litológicas, de

alteración, de mineralización…– Unidades geológicas se definen en base a estas características


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Definición de unidades geológicas

• Para estimación de leyes (modelo derecursos/reservas):– Combinación de poblaciones litológicas, de alteración y

mineralización– Se deben agrupar de modo de combinar datos con:

• Características geológicas relevantes (depende del uso que sele dará al modelo)• Número de datos razonable para inferencia de parámetros

estadísticos de la población

• Dificultades:– Se desconoce la extensión de las unidades– Tipo de límites presentes: duros, blandos, transicionales


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Más ejemplos

Alteración Mineralizacióneconómica


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Más ejemplos


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Análisis de datos

• En esta etapa, se busca:– Caracterizar las poblaciones a partir de las muestras

• Representatividad• Valores aberrantes

– Definir un soporte adecuado de trabajo (compositación), de modode tener compósitos igualmente representativos (las muestras

pueden ser de distintos largos

no “pesan” todas lo mismo)– Definir qué combinaciones de unidades geológicas son válidas parala estimación

– Definir el tipo de contacto entre las unidades: límite duro/blando


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Derivas CuT

Eje Y

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0

Coordenada Y

C u

T

Muestras 1002 v/s 1001

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-150 -100 -50 0 50 100 150

Distancia al contacto


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El problema de la estimación

• Asumimos que estamos trabajando dentro de una unidadgeológica consistente…

• ¿De qué manera combinamos la información de las muestras?


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Estimación

• Dado que el muestreo es parcial y sólo nos indica lo que sucedeen las posiciones de los datos, es necesario estimar el valor de la

ley en puntos sin muestra.• Además, estamos interesados en saber el valor de la ley de unbloque de dimensiones diferentes a las de la muestra cambiode so orte

• Definiremos estimadores con ciertas características:– LinealLinealLinealLineal: el valor estimado es una combinación lineal de los datos

disponibles (usualmente en una vecindad del punto a estimar)– InsesgadoInsesgadoInsesgadoInsesgado: en promedio, el estimador entrega el valor correcto, sin

sesgo sistemático (pero con cierta imprecisión)– ÓptimoÓptimoÓptimoÓptimo: el estimador será tal que minimice la varianza del error de

estimación (será por lo tanto el más preciso).


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• La idea básica es estimar el valor de un atributo (digamos, la ley de Au)en una posición donde no conocemos el valor verdadero

donde u se refiere a la posición, Z*(u) es una estimación en la posición

)()(1

0*

i

n

i

i u Z u Z ⋅+= ∑=λ λ

Estimadores lineales ponderados

, i , ,..., , i

ponderadores.

• ¿Qué factores podrían considerarse en la asignación de losponderadores?– cercanía a la posición que está siendo estimada– redundancia entre los valores de datos– continuidad anisótropa (dirección preferencial)– magnitud de la continuidad / variabilidad


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• Asignar todos los ponderadores a los datos más cercanos(estimador tipo poligonal)

• Asignar los ponderadores inversamente proporcional a ladistancia de la posición que se está estimando (esquemas deinverso de la distancia)

w

1

donde di es la distancia entre el dato i y la posición que se estáestimando, c es una constante pequeña, y ω es una potencia(usualmente entre 1 y 3).

∑∑∑∑ ==== ++++====λλλλ n

1i w

i

i

i

dc

1


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• Polígonos: el valor del puntocorresponde al de la muestramás cercana

• Inverso de la distancia

∑==

)(

)(

1

1

)(

)(x

x x

xn

n

pd

z

z α α

α

D

z(xα)

dα

=1α α


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Ejemplo Simple - Datos


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Ejemplo Simple – Vecino más cercano


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Ejemplo Simple – Inverso de la distancia


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• KrigingKrigingKrigingKriging es “una colección de técnicas generalizadas deregresión lineal para minimizar una varianza de estimacióndefinida de un modelo a priori de covarianza” (R. Olea, 1991).

• Kriging es el mejor estimador lineal insesgado.


• “El mejor” solamente en el sentido del error de mínimoscuadrados para un modelo dado de covarianza / varianza


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Kriging

• Considere los valores de residuos respecto a la media: Y(ui)= Z(ui) - m(ui), i=1,…,n

donde m(u) podría ser constante, variable localmente oconsiderada constante pero desconocida.

• El variograma se define como: 2 γ (h) = E{[Y(u}) - (u + h)] }

• La covarianza se define como:C(h) = E{Y(u) Y(u + h)}

• Relación entre el variograma y la covarianza:

C(h) = C(0) - γ (h)C(0) = meseta

γ (h)

C(h)


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Kriging Simple

• Considere un estimador lineal:

donde Y(ui) son los residuos e Y*(u) es el valor estimado (la mediadebe agregarse posteriormente)

• La varianza del error se define como

)u(Y)u(Yi

n

1ii

* ⋅⋅⋅⋅λλλλ==== ∑∑∑∑====

})]()({[ 2*

uY uY E −

A2-2ab+b2})]({[ 2* uY E )}()({2 *

uY uY E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−− })]({[ 2uY E ++++

)}()({1 1

j i j

n

i

n

j i uY uY E ⋅⋅⋅⋅∑∑∑∑ ∑∑∑∑==== ==== λ λλ λ λ λλ λ )}()({2 1∑∑∑∑==== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

n

i i i uY uY E λ λλ λ )0(C ++++

),(1 1 j i j

n

i

n

j i uuC λ λλ λ λ λλ λ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑==== ==== ∑∑∑∑====⋅⋅⋅⋅−−−−

n

i i i uuC 1 ),(2 λ λλ λ )0(C ++++


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Kriging Simple

• Los ponderadores óptimos (que minimizan la varianza del error)λi, i=1,…,n pueden determinarse tomando derivadas parcialescon respecto a los ponderadores

∑∑∑∑====

====⋅⋅⋅⋅−−−−λλλλ⋅⋅⋅⋅====λλλλ∂∂∂∂

∂∂∂∂ n

1 ji ji j

i

n,...,1i,)u,u(C2)u,u(C2][

e igualándola a cero

• Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores desconocidoses el sistema de kriging simplesistema de kriging simplesistema de kriging simplesistema de kriging simple (KS)

∑∑∑∑====

========λλλλn

1 ji ji j

n,...,1i,)u,u(C)u,u(C


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Kriging Simple

• El kriging minimiza esta varianza de estimación para obtener losponderadores. Derivando e igualando a cero, se obtiene el

sistema de kriging simple:

−

=

−− )()()( 011111 xxxxxx n C C C L λ

• Y por lo tanto: − −− )()()( 01 xxxxxx nnnnn C C C L λ

∑=

−−=n

KS C C 1

00

2 )()()(α

α α λ σ xx0x

( ) m Z Z

nn

⋅−+⋅= ∑∑ == 110

*

1)()( α α α α α λ λ xx


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Kriging Simple

• Algunas propiedades:– Existe una solución única al sistema de ecuaciones si la matriz de

covarianza es definida positiva

esta es la razón para modelar elvariograma con modelos lícitos– El estimador de kriging es insesgado (por construcción)– Es el mejor estimados (minimiza la varianza de estimación)

– Es un interpolador exacto• En resumen:– Kriging simple asume la media constante y conocida– Como veremos más adelante, es la base de los métodos de

simulación– Puede calcularse también para estimar el valor sobre un bloque– No se usa en la práctica para estimar


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Ejemplo Simple - Datos


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Ejemplo Simple - Kriging

Máximo suavizamiento:

todos los valores son iguales

No hay suavizamiento:controlado por la presencia de muestras


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Propiedades del Kriging Simple

• La varianza de kriging puede calcularse antes de tener lainformación (sólo se requiere conocer el variograma)

Definición de grillas óptimas de exploración Grillas para categorización de recursos

• Kriging considera: –

– Distancia de la información:– Configuración de los datos:– Continuidad estructural de la variable considerada:

• El efecto suavizador de kriging puede predecirse


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Kriging Ordinario

• En la mayoría de los casos la media es desconocida• Kriging Ordinario: estimador lineal que no considera la

media conocida

∑=

⋅=n

u Z u Z 1

0 )()(*α

α α λ

• Los ponderadores se encuentran planteando:

( )1

)]([)]([)]()([

1

0

1

00

*

−=

−=−

∑

∑

=

=

n

m

n

m

m

u Z E u Z E u Z u Z E

α

α

α

α α

λ

λ 4342143421

1n

1

=λ∑=α

α

[ ]

1..

)(2)()()()(*min

1

1 11

00

=

−⋅−+−⋅⋅=−

∑

∑ ∑∑

=

= ==

n

n nn

a s

uuC C uuC u Z u Z Var

α α

α α β α α

β β α β α

λ

λ λ λ 0


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Kriging Ordinario

• En este caso se minimiza la varianza sujeto a que lasuma de los ponderadores sea igual a 1.

• El sistema de kriging ordinario queda:

−

−− )(1)()( 011111 xxxxxx n C C C L λ

y

−=

−

−−

1

)(

011

1)()( 01 xxxxxx nnnnn C C C

L

L

µ

λ

µ λ σ σ α

α α +−−= ∑=

n

KO C 1

0

2

0

2 )()( xxx

∑= ⋅=n

Z Z 1

0 )()(*α

α α λ xx


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Kriging Ordinario

• O en términos de variograma:

−

−

=

−−

−−

)(

)(

1)()(

1)()(

0

011

1

111

xx

xx

xxxx

xxxx

nnnnn

n

γ

γ

λ

λ

γ γ

γ γ MM

L

MMML

y

1011 µ L

∑=

⋅=n

Z Z

1

0 )()(*

α

α α λ xx

µ γ λ σ α

α α +−= ∑=

n

KO

1

00

2 )()( xxx


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Efecto de Distancia

• Caso base y efecto del aumento en la distancia sobrelos ponderadores ( )

Caso base Efecto de distancia

σ2

K = 0,1888 σ2

K = 0,2162

)100(8,02,0)( Sphh ⋅+=

50

50

0,25

0,25

0,250,25 50

50

0,265

0,129

0,3030,303


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Efecto Pantalla y Anisotropia

• Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1)sobre los ponderadores ( ))100(8,02,0)( Sphh ⋅+=

Efecto pantalla

σ2

K = 0,1668

Efecto de la anisotropía

σ2

K = 0,2248

50

50

0,247

0,174

0,2330,233

0,033

0,080

50

50

0,074

0,074

0,4260,426


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Efecto de Declusterizacion y Distancia

• Efecto de declusterización y declus. + distancia sobrelos ponderadores ( ))100(8,02,0)( Sphh ⋅+=

Efecto de declusterización Efecto de decl. + distancia

σ2

K = 0,1668 σ2

K = 0,2107

50

50

0,215

0,215

0,1060,242 50

50

0,3437

0,3437

0,0130,26740,111

0,111

100 150

0,016

0,016


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Cambio en efecto pepita

• Efecto sobre los ponderadores de un cambio en elefecto pepita del modelo variográfico

Caso base Cambio en el efecto pepita

σ2

K = 0,0827 σ2

K = 0,1206

γ (h) = 0,2 + 0,8 Sph(100) γ (h) = 0,7 + 0,3 Sph(100)

50

50

0,208

0,042

50

50

0,1044

0,1456

50


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Validaciones Cruzadas

• Parámetros de kriging.• Criterios:

– Media compósitos = Media puntos estimados (sesgo global)– Medias condicionales (sesgo condicional)– -

– Distribución de errores estandarizados (debe estar centradaen 0)

• Elección del mejor plan de kriging


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Plan de Kriging

• ¿Cuáles son los datos a utilizar en la estimación?

• Vecindad móvil: se usa sólo los datos cercanos al sitio (bloque) aestimar– En general, se toma una vecindad en forma de elipse (2D) o

,

variograma– Se suele dividir la vecindad en octantes en 3D y buscar datos encada sector

– Los radios del elipse (elipsoide) no necesariamente corresponden a

los alcances del variograma, sino que se definen de manera depoder encontrar suficientes datos para hacer la estimación


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Plan de Kriging

Ejemplo de vecindad móvil

V lid ió d l k i i


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Validación del kriging

• Para validar los parámetros del kriging (modelo de variograma,vecindad elegida), se puede usar los siguientes métodos:

– Validación cruzada: se estima sucesivamente cada datoconsiderando solamente los datos restantes– Jack-knife: se divide la muestra inicial en dos partes (por ejemplo,

cuando hay dos campañas de sondajes), y se estima una parte apartir de la otra

• Luego, se hace un estudio estadístico de los errores cometidospara saber si el kriging fue “satisfactorio” (buena precisión, poco

sesgo condicional…)

V lid ió d l k i i


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• Criterios de validación:– medias de los errores y de los errores estandarizados: deben ser

cercanas a cero → estimador sin sesgo– varianza de los errores: debe ser la más baja posible → estimador

preciso– varianza de los errores estandarizados: debe ser cercana a 1 → el

variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre– nube de dispersión entre valores reales y estimados: la regresión

debe acercarse a la diagonal → insesgo condicional

V lid ió d l k i i


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Ejemplo: jack-knife entre dos campañas de sondaje de exploración,usando kriging ordinario. Se busca poner a prueba distintasvecindades de kriging.

• Plan 1Plan 1Plan 1Plan 1: estimar con los 2 datos más cercanos

• Plan 2Plan 2Plan 2Plan 2: estimar con los 24 datos más cercanos (3 por octante)

• Plan 3Plan 3Plan 3Plan 3: estimar con los 48 datos más cercanos (6 por octante)

V lid ió d l k i i


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Histogramas de los errores cometidosHistogramas de los errores cometidosHistogramas de los errores cometidosHistogramas de los errores cometidos

Las medias de los errores son casi nulas → insesgoLa mayor precisión se alcanza en los planes 2 y 3



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Nubes de correlación entre leyes reales y estimadasNubes de correlación entre leyes reales y estimadasNubes de correlación entre leyes reales y estimadasNubes de correlación entre leyes reales y estimadas

El sesgo condicional y la dispersión de la nube son mínimos en losplanes 2 y 3

Kriging y la geoestadística minera


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g g y g

convencional• En el modelamiento de recursos mineros, convencionalmente se utilizala estimación se obtiene un sólo mapa (suave)

• Kriging: mejor estimador lineal insesgado

• Construcción de modelos de bloques

)()(1

*

i

n

i

i Z a Z uu ⋅λ+= ∑=

Modelo de Bloques Recursos

Diseño MineroReservas

Planificación

Minera

Modelo de bloques e inventario


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Modelo de bloques e inventario

• El resultado de la estimación es:– Un modelo de bloques

– Una curva tonelaje ley (categorización)

Categorización


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Categorización

• Recurso Mineral:Recurso Mineral:Recurso Mineral:Recurso Mineral:

Concentración u ocurrencia de material de interés económico intrínsecoen o sobre la corteza de la Tierra en forma y cantidad en que hayaprobabilidades razonables de una eventual extracción económica.

La ubicación, cantidad, ley, características geológicas y continuidad deun Recurso Mineral son conocidas, estimadas o interpretadas a partir deevidencia y conocimientos específicos geológicos.

Los Recursos Minerales se subdividen, en orden de confianza geológica

ascendente, en categorías de Inferidos, Indicados y Medidos.

Categorización


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Categorización

• Reserva Minera:Reserva Minera:Reserva Minera:Reserva Minera:

Es la parte económicamente explotable de un Recurso Mineral Medido

o Indicado. Incluye dilución de materiales y tolerancias por pérdidasque se puedan producir cuando se extraiga el material. Se hanrealizado las evaluaciones apropiadas, que pueden incluir estudios defactibilidad y contemplan la consideración de y modificación porfactores razonablemente asumidos de extracción metalúr icoseconómicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y

gubernamentales. Estas evaluaciones demuestran en la fecha en que sereporta que podría justificarse razonablemente la extracciónpodría justificarse razonablemente la extracciónpodría justificarse razonablemente la extracciónpodría justificarse razonablemente la extracción.

Las Reservas Mineras se subdividen, en orden creciente de confianza,en Reservas Probables y Reservas Probadas. Nótese que la definición de

Reservas Posibles ha caído en desuso, debido a que los códigos noautorizan declarar reservas que provienen de recursos geológicosinferidos.

Geoestadística moderna


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• Existe un error asociado quedebe ser tomado en cuenta

• Geoestadística modernasimulación condicional

• Se generan varios modelosnuméricos válidos (o plausibles);cada uno con la variabilidad

correcta.• Un mapa de valores estimados

puede obtenerse a partir de lasrealizaciones.



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Evaluación de incertidumbre


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Evaluación de incertidumbre

• Los modelos simulados permiten incorporar funciones derecuperación metalúrgica y determinar la incertidumbre en elfino (metal) :

Incertidumbre local Incertidumbre global

Nuevas problemáticas


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Nuevas problemáticas

• Modelamiento geo-minero-metalúrgico:– Incorporar variables geo.metalúrgicas al modelamiento– Mejorar la toma de decisiones

• Consumo de energía• Consumo de ácido• Presencia de minerales que perjudican el proceso o aumentan costos • Combinación de elementos que pueden afectar el proceso

• Modelamiento multivariable con restricciones:– CuT vs CuS– Análisis composicional

• Optimización para diseño considerando escenarios simulados– Intensivo numéricamente– Difícil de incorporar el factor temporal

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