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COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 4º E.S.O. CURSO 2 011 / 2 012

UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

B/ EVALUACIÓN INICIAL – CORRECCIÓN 1.- Reduce los siguientes polinomios, indica si son completos o incompletos, ordénalos e indica cuáles son sus términos cuadráticos, sus coeficientes lineales y sus términos independientes:

a) P(x) = −2x 3 + 2x 5 – 4x + 4 b) Q(x) = − 4 3 2 16 8 4 2

3x x x x

− + − +

Respuesta: a) P(x) = 2x 5 − 2x 3 – 4x + 4 (reducido) incompleto (no aparecen términos de grado 4 ni 2) término cuadrático: 0 coeficiente lineal: −4 término independiente: 4

b) Q(x) = 8x 4 − 4x 3 + 2x 2 − 6x − 1

3 (reducido)

completo término cuadrático: 2x 2 coeficiente lineal: −6

término independiente: −1

3

2.- Di cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, justificando la respuesta:

a) El opuesto de un polinomio es único. b) Si a un polinomio le sumamos el polinomio nulo, obtenemos su opuesto. c) El polinomio nulo es neutro para el producto de polinomios. d) El polinomio que es neutro para el producto no tiene grado.

e) 313 ++x

x es un polinomio de grado 3.

f) Si a un polinomio le sumamos su opuesto, obtenemos el polinomio nulo. g) 421

xxx ++ −− no es un polinomio. Respuesta:

a) Verdadera. El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando de signo cada término, es decir,

componiendo el polinomio que tiene todos los coeficientes opuestos a los del original. Dado que cada número tiene un único opuesto, aquel será único.

f) Verdadera. Dada la definición de polinomio opuesto manejada en el razonamiento anterior, y

teniendo en cuenta que al sumar dos polinomios se suman los términos semejantes, la suma de un polinomio y su opuesto cancela todos los términos, dando el polinomio nulo como resultado.

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g) Verdadera. Un polinomio es un conjunto de números y letras agrupados en términos que tienen

un coeficiente y una parte literal. Ésta está formada por letras (variables) y exponentes (grados) naturales. Al aparecer exponentes enteros (negativos), la expresión dada no es un polinomio. 3.- Dados los polinomios P(x) = 4x 2 – x + 2; Q(x) = x 3 + x – 1; R(x) = 2x – 1, calcula:

a) P(x) + Q(x) – R(x) b) Q(x)�R(x) c) P(x):R(x) d) P(−1)�P(−2) + [Q(−2)]2 e) El grado de [P(x)]4 f) El resto de la división de P(x) por x – 1.

Respuesta:

a) P(x) + Q(x) – R(x) = 4x 2 – x + 2 + x 3 + x – 1 – (2x – 1) = x 3 + 4x 2 – 2x + 2

b) Q(x)�R(x) = (x 3 + x – 1)�(2x – 1) = 2x 4 – x 3 + 2x 2 – x – 2x + 1 = = 2x 4 – x 3 + 2x 2 – 3x + 1

c) P(x):R(x) → 4x 2 – x + 2 2x – 1

−4x 2 + 2x 2x + 1

2

x + 2

−x + 1

2

5

2

C(x) = 2x + 1

2 ; R(x) =

5

2

d) P(−1)�P(−2) + [Q(−2)]2 = [4(−1)2 – (−1) + 2]�[ 4(−2)2 – (−2) + 2] + [(−2)3 + (−2) – 1]2 = = (4 + 1 + 2)�(16 + 2 + 2) + (8 – 2 – 1)2 = 7�20 + 25 = 115

e) ∂[P(x)]4 = 4�∂[P(x)] = 4�2 = 8

f) R(x) = P(1) = 4�12 – 1 + 2 = 5 (teorema del resto) 4.- Divide 2x 5 – 2x 3 – 4x + 4 entre 4x 2 – 8x + 4. Respuesta: 2x 5 – 2x 3 – 4x + 4 4x 2 – 8x + 4

−2x 5 + 4x 4 − 2x 3 1

2x

3 + x 2 + x + 1

4x 4 − 4x 3 – 4x + 4

−4x 4 + 8x 3 – 4x 2

4x 3 – 4x 2 – 4x + 4 −4x 3 + 8x 2 – 4x

4x 2 – 8x + 4 −4x 2 + 8x − 4

0

3

C(x) = 1

2x

3 + x 2 + x + 1 ; R(x) = 0

5.- Divide por el método de Ruffini los siguientes polinomios:

a) P(x) = 4

2 13

xx+ − ; Q(x) = x – 2

b) P(x) = x 7 + x 5 – x 3 – x ; Q(x) = x – 1 Respuesta:

a) 1

3 0 1 0 −1

2 2

3

4

3

14

3

28

3

1

3

2

3

7

3

14

3

25

3

C(x) = 1

3x

3 + 2

3x

2 + 7

3x +

14

3 ; R(x) =

25

3

b) 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 1 1 2 2 1 1 0

1 1 2 2 1 1 0 0 C(x) = x 6 + x 5 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 + x ; R(x) = 0 6.- Di si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a) P(x) = 2x 2 – x – 1 es divisible por Q(x) = x – 2. b) P(x) = x 4 – a 2

x 2 + x + a es divisible por Q(x) = x + a.

Respuesta: a) P(2) = 2�2 2 – 2 – 1 = 5 ≠ 0 NO (teorema del resto)

b) P(x) = (−a) 4 – a 2(−a) 2 + (−a) + a = a 4 – a 4 – a + a = 0 SÍ (teorema del resto)