7/25/2019 Ex Junio Energetica 14

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Matematicas II-Grado de Ingeniera Energetica.Examen Ordinario de junio (2-07-2014)

Cuestiones teoricas

1. Justificar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a) [0.25 puntos]SeanA y B matrices de orden m x n, entonces elrg(5A7B) 5rg(A)7rg(B).

b) [1 puntos] 1) Si f : R3 R5 es aplicacion lineal, entonces no puede ser sobreyectiva. 2) Si

f :R3 R2 es aplicacion lineal, entonces el Ker(f) = 0. 3) Si f :Rm Rn es aplicacion lineal

inyectiva, entonces m = n y f es isomorfismo.

c) [0.25 puntos]Si existe un vector no nulo que se aplica por fen s mismo, entonces 1 es un valor

propio.

Problemas

2. [1.5 puntos]Discutir y resolver, en los casos que sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones seg un

los valores del parametro p R.

4x + 2py+ 2z=2p 4px 2py+ 3z=0

2x + 8y z=2p 4

3. [2 puntos]Se consideran los subespacios de R3,

U={(x, y, z) R3, x y 6z= 0}, V ={(x, y, z) R3, 8x + 9y = 0, 3x 5y+ z = 0}.

a) Hallar una base, dimension, ecuaciones parametricas e implcitas de U V y U+ V

b) Calcular las ecuaciones implcitas de Urespecto de la baseB ={(0, 1,1), (2,1, 0), (3, 0, 4)}.

4. [2.5 puntos]En R3 se consideran los endomorfismos dados por las matrices

A=

0 1 01 0 1

1 1 1

B =

1 0 10 1 0

1 1 1

a) Calcular autovalores y autovectores asociados a ambas matrices.

b) Calcular la forma canonica de Jordan y la matriz de paso de ambas.

c) Son las matrices A y B semejantes?. En caso afirmativo, determinar una matriz P tal que

P AP1 =B

Problema complementarioEl ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza

el viaje n-esimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten

del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer

piso, solo el 25 por ciento de las veces finaliza en el segundo. Por ultimo, si un trayecto comienza en el

segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transicion

de la cadena b) Dibujar el grafico asociado. c) Cual es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor

se encuentre en cada uno de los tres pisos?