Upload
miguel-berardi-alfonso
View
3.783
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Desarrollo de variados ejercicios presentados en un exámen parcial de Algebra I en la Universidad Nacional de San Luis. De cualquier lugar del mundo podes enviarme tu ejercicio a "[email protected]" y con gusto publicaré a la brevedad su respuesta en el Blog: http://www.primi-genio.blogspot.com/
Citation preview
1) Demostrar por Inducción:
Verificamos para n=1
Se verificó para n=1
Planteamos la hipótesis de inducción, suponemos que se verifica para n=k:
Intentaremos demostrar la tesis de inducción, o sea, que se verifica para n=k+1:
Demostración:
Prop. Σ Hipótesis y Prop. (!) Factor Común Prop. R
Con lo que queda demostrado Prop. (!)
2) Desarrollar y encontrar la mínima expresión de:
Por el desarrollo del binomio de Newton, tenemos que:
Por lo que nuestro desarrollo sería:
Desarrollamos el triángulo de Pascal hasta n=5 para obtener los coeficientes de nuestro desarrollo:
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
Por lo que tenemos:
La mínima expresión es:
3) Negar:
Su negación es:
4) a) Obtener las soluciones complejas y graficar:
A partir de la fórmula de De Moivre, podemos deducir otra para la obtención de raíces de números complejos. Si n es un entero positivo y z es cualquier número complejo, entonces la raíz n-ésima de z se define como cualquier número complejo w que satisface la ecuación: De donde resulta:
Desarrollo:
Sea entonces, , tenemos que y
Con n=3 se deduce que:
Para k=0
Para k=1
Para k=2
Como observamos, las tres raíces complejas son equidistantes, ya que están separadas por una distancia de ⅔π radianes (120°) sobre la circunferencia de radio aproximado de 1,122462048 (módulo de las sol. complejas) con centro en el origen.
b) Demostrar que: C Dem: Sea
Por otro lado:
Ambos desarrollos culminan igual, por lo que la ecuación inicial se verifica para todo número complejo w.
5) Demostrar por inducción sobre n:
(La expresión derecha es múltiplo de 2)
Verificamos para n=1:
Efectivamente 4 es múltiplo de 2.
Hipótesis de inducción:
Asumimos que al verificarse para k, el polinomio se puede expresar como múltiplo de 2.
Tesis de inducción:
Demostración:
(por Hip.) (múltiplo de 2)
6) Sean y
a)
b) Determinar si son ortogonales:
Visitame en: www.primi-genio.blogspot.com