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Exámen de Estadística II Facultad Politécnica UNA Abril de 2010 Prof. M. Emilio Ramón Ortiz Trepowski Total de puntos 10 puntos.

1. Sea B un evento y sean 1 2, ,..., nA A A n eventos mutuamente excluyentes. Defina

1 .niA A= ∪ También asuma que ( ) 0P A > y que ( )iP B A p= para todo .i Muestre

que ( )P B A es también igual a .p (Un diagrama de Venn podría ayudar.)

2. Demuestre el siguiente teorema ( ) ( ) ( ).P a X b F b F a< ≤ = − 3. Un grupo numeroso de personas será sometido a revisión para detectar dos síntomas

de cierta enfermedad. Se cree que 20% de la gente posee sólo el síntoma A, 30% manifiesta sólo el síntoma B, 10% presenta ambos y el resto no tiene ningún síntoma. Encuentre las siguientes probabilidades para una persona elegida aleatoriamente de entre el grupo.

a. La persona no tiene ningún síntoma. b. La persona tiene por lo menos un síntoma. c. La persona tiene ambos síntomas, dado que ya tiene el síntoma B.

4. Un hombre escribe cartas a n personas y prepara n sobres; otro hombre inserta una

carta en cada sobre aleatoriamente y luego envía los sobres al correo. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una carta esté en el sobre correcto?

5. El problema de Chevalier de Mére. ¿Qué es más probable: arrojar al menos un uno con cuatro dados o al menos un doble uno en 24 tiradas de un par de dados?

6. Sea la función de distribución de una variable aleatoria Y

( ) 2

0, 0

, 0 28

, 2 4 161, 4

yy y

F yy y

y

≤⎧⎪⎪ < <⎪= ⎨⎪ ≤ <⎪⎪ ≥⎩

a. Encuentre la función de densidad de .Y b. Calcule ( )1 3 .P Y≤ ≤

c. Encuentre ( )1.5 .P Y ≥

d. Calcule ( )1 3 .P Y Y≥ ≤ 7. El problema de la caja de fósforos de Banach. Cierto matemático lleva con él dos

cajas de fósforos. Cada vez que quiere usar un fósforo, él selecciona una de las cajas en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que cuando el matemático descubre que una caja está vacía la otra caja contiene r fósforos ( 0,1,2,..., ;r n= siendo n el número de fósforos inicialmente contenido en cada caja.)

8. Si Y posee una función de densidad

2

( ) ( )2 , 0 20, en cualquier otro punto.c y y

f y− ≤ ≤⎧⎪= ⎨

⎪⎩

a. Calcule .c b. Encuentre ( ).F y

c. Trace una gráfica de ( )f y y ( ).F y

d. Utilice ( )F y para calcular ( )1 2 .P Y≤ ≤

e. Emplee la figura geométrica de ( )f y para calcular ( )1 2 .P Y≤ ≤ 9. Suponga que Y tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

( )2 , 0 10, en cualquier otro punto.Y

y yf y

≤ ≤⎧= ⎨⎩

Encuentre la función de densidad de 4 3.U Y= − + 10. Una corriente eléctrica fluctuante I se considera una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo ( )9,11 . Si la corriente fluye por una resistencia eléctrica de 2 ohms, determine la función de densidad de probabilidad de la potencia

22 .P I=