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EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (ÁLGEBRA)
Apellidos: __________________________Nombre: _______________
Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO 2014-15
Opción A
1.- Considera la matriz
B =
111
2a2a
1aa
2
1 que depende de un parámetro.
a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [1,25 puntos] Para a = 0 halla la inversa de B.
2.- Se sabe que dc
ba = 5
a) [2 puntos] Calcula el valor de 2d6cd-3c
2b6ab-3a
b) [0,5 puntos] Enuncia las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado anterior. 3.- [2,5 puntos] Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m,
1mzmy4x
0z3y2x
02z4y5x
2
4.- Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a
6zay5x
2z3y2x
2z2yx
(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de a. (b) [1 punto] Resuélvelo para a = 8.
Opción B
1.- [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1
y su traspuesta At
coinciden. Dado un número real x, ¿Es ortogonal la matriz B siguiente?
B =
1-0
0cos(x)sen(x)-
sen(x)cos(x)
0
0
2.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P tal que AP = PB.
Prueba que las matrices A =
01
21 y B =
10
02 son semejantes.
3.- [2,5 puntos] Sea el sistema de ecuaciones
m1mzm)y(1x
0zmy
1yx
Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m.
4.- [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero
que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.
2
SOLUCIÓN DEL EXAMEN
Opción A
1.- Considera la matriz B =
111
2a2a
1aa
2
1 que depende de un parámetro.
a) [1,25 puntos] ¿Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [1,25 puntos] Para a = 0 halla la inversa de B.
Solución: (a) La matriz B tiene inversa cuando su determinante sea no nulo:
B =
111
21a2a
1aa
2
= a2(a+1)+2a+2a -(a+1+2a
2+2a
2) = a
3-3a
2+3a-1 = 0
Que se anula para a = 1. Es decir que tiene inversa para a -{1}. (b) Si a = 0 la matriz se convierte en:
B =
111
210
100
Con determinante B = -1.
Obtenemos la matriz de adjuntos:
Adj(B) =
001-
01-1
1-21-
La matriz traspuesta de los adjuntos será:
Adj(B)t =
001-
01-2
1-11-
Como B-1
= B)(AdjB
1 t se obtiene que la inversa de B es:
B-1
=
001
012-
11-1
2.- Se sabe que dc
ba = 5
(a) [2 puntos] Calcula el valor de 2d6cd-3c
2b6ab-3a
(b) [0,5 puntos] Enuncia las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado anterior.
Solución:
(a) Para calcular el valor del determinante D lo descomponemos en sumandos:
D = 2d6cd-3c
2b6ab-3a
=
2d6c3c
2b6a3a
+
2d6cd-
2b6ab-
=
= 6c3c
6a3a +
2d3c
2b3a +
6cd-
6ab- +
2dd-
2bb-
Como el producto de la fila o columna de un determinante por un número es igual al determinante por ese número, se puede sacar factor común a los elementos de las columnas de los determinantes obteniendo:
3
D = 18 cc
aa +6
dc
ba -6
cd
ab -2
dd
bb
Si dos filas o columnas son iguales se anula el determinante:
D = 6 dc
ba -6
cd
ab
Si intercambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo, luego:
D = 6 dc
ba + 6
dc
ba = 12
dc
ba = 12.5 = 60
(b) Una de las propiedades de los determinantes usadas en el apartado anterior es: “Si los elementos de una fila o columna se descomponen en sumandos, su determinante es igual a la suma de 2 determinantes que tiene todas las demás filas o columnas iguales y uno de los dos sumandos en la fila o columna en cuestión”.
3.- [2,5 puntos] Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro real m,
1mzmy4x
0z3y2x
02z4y5x
2
Solución:
La matriz del sistema y la matriz ampliada del sistema son:
A =
2m1-4
132
245
A* =
1mm1-4
0132
0245
2
El rg(A) es al menos 2 ya que el menor
32
45 0
Como el valor del determinante es A = 7m2-7 que será nulo para m = 1 ó m = -1
Tenemos los siguientes casos:
m 1 y m -1 rg(A) = rg(A*) = 3. Sistema compatible determinado.
m = -1
A =
11-4
132
245
A* =
211-4
0132
0245
rg(A) = 2 y rg(A*) = 3 ya que existe un menor de orden 3 no nulo:
2-1-4
032
045
= -14
El sistema es por lo tanto incompatible
m = 1
A =
11-4
132
245
A* =
011-4
0132
0245
rg(A) = rg(A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado.
4
4.- Considera el sistema de ecuaciones que depende de un parámetro real a
6zay5x
2z3y2x
2z2yx
(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de a. (b) [1 punto] Resuélvelo para a = 8. Solución:
(a) La matriz del sistema y la matriz ampliada son:
A =
1a5
132
1-21
A* =
61a5
2132
21-21
Como A = (3+10+2a)-(-15+a+4) = 24-3a se anulará cuando a = 8.
Si a 8 rg(A) = rg(A*) = 3. El sistema es compatible determinado, la intersección es un punto.
Si a = 8
A =
185
132
1-21
A* =
6185
2132
21-21
rg(A) = rg(A*) = 2. El sistema es compatible indeterminado. (2) Para a = 8, tal como dijimos, el sistema es compatible indeterminado, una de las ecuaciones es combinación
lineal de las otras dos y la despreciamos, tomando z = , queda el sistema:
2z3y2x
2z2yx
λ-23y2x
λ22yx
λ-23y2x
λ24-4y2x- - y = -2-3 y = 2+3
x = 2+-2y = 2+-4-6 = -2-5
Opción B
1.- [2,5 puntos] Se dice que una matriz cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa A-1
y su traspuesta At
coinciden. Dado un número real x, ¿Es ortogonal la matriz B siguiente?
B =
1-0
0cos(x)sen(x)-
sen(x)cos(x)
0
0
Solución: Para demostrar que B es ortogonal calculamos su inversa. Como el determinante es:
B =
1-0
0cos(x)sen(x)-
sen(x)cos(x)
0
0
= -1. cos(x)sen(x)-
sen(x)cos(x) = -(cos
2x+sen
2x) = -1 0
luego B tiene inversa. Hallamos su adjunta:
Adj(B) =
10
0cos(x)-sen(x)
sen(x)-cos(x)-
0
0
Calculamos su traspuesta:
Adj(B) t =
10
0cos(x)-sen(x)-
sen(x)cos(x)-
0
0
5
Calculamos su inversa:
B-1
= A
Adj(B)t
=
1-0
0cos(x)sen(x)
sen(x)-cos(x)
0
0
Calculamos su traspuesta
Bt =
1-0
0cos(x)sen(x)
sen(x)-cos(x)
0
0
Evidentemente Bt = B
-1, luego la matriz B si es ortogonal
2.- [2,5 puntos] Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible P tal que AP =
PB. Prueba que las matrices A =
01
21 y B =
10
02 son semejantes.
Solución: Si las matrices A y B son invertibles existirá una matriz invertible P:
P =
dc
ba
verificando:
01
21.
dc
ba=
dc
ba.
10
02
Realizando los productos:
ba
2db2ca=
d-2c
b-2a
Imponiendo la igualdad de matrices: a +2c = 2a b+2d = -b a = 2c b = -d Obtenemos: b = -d a = 2c Es decir:
P =
dc
d-2c
Cuyo determinante es:
dc
d-2c = 3cd
que es siempre distinto de cero salvo que sean c = 0 o d = 0.
3.- [2,5 puntos] Sea el sistema de ecuaciones
m1mzm)y(1x
0zmy
1yx
Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m.
Solución: Para estudiar su comportamiento según los valores del parámetro m, debemos escribir las matrices asociadas:
6
A =
mm11
1m0
011
A* =
m1mm11
01m0
1011
Calculamos el determinante de A para hallar su rango y poder aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
det(A) =
mm11
1m0
011
=
mm0
1m0
011
= mm
1m = m(m-1)
donde hemos restado a la 3ª fila la 1ª fila, y desarrollado el determinante por los adjuntos de la 1ª columna. Igualando a cero la expresión obtenemos:
det(A) = m (m-1) = 0 m = 0 ó m = 1
Si m 0 y m 1
Como det(A) 0, rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas y el sistema es compatible determinado.
Si m = 0, las matrices del sistema son:
A =
010
100
011
A* =
1011
0100
1011
rg(A) = 2 ya que el menor formado por elemento de la 2ª y 3ª columnas
10
01 0
rg(A*) = rg(A) = 2 pues la columna añadida de coeficientes es igual a la 2ª columna. El sistema es compatible indeterminado.
Si m = 1, las matrices del sistema son:
A =
121
110
011
A* =
2121
0110
1011
rg(A) = 2 ya que el menor
10
11 0
Calculemos rg(A*). Como el determinante
221
010
111
= 1. 21
11 = 1 0
rg(A) =2 rg(A*) = 3. El sistema es incompatible.
4.- [2,5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. Solución: Sea x el dinero de Álvaro Sea y el dinero de Marta Sea z el dinero de Guillermo
7
Que los tres juntan 84 euros, se traduce en: x + y + z = 84 [1] Que Álvaro diga a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad, Marta + 1/5 de Álvaro = Guillermo, se traduce en:
y + 5
1x = z [2]
Que Guillermo = Álvaro – 1/5 de Álvaro, se traduce en:
x - 5
1x = z z =
5
4x [3]
Resolviendo el sistema:
z
z
= x5
4
= x5
1y
84 = z + y + x
Si z = 5
4x, lo sustituimos en [2]:
y + 5
1x =
5
4x y =
5
4x -
5
1x =
5
3x
Sustituyendo en [1] obtenemos:
84 = x5
4x
5
3x 84 = x
5
12 x =
12
420 = 35
por lo tanto:
y = 35.5
3 = 21
z = 35.5
4 = 28
Es decir que El dinero de Álvaro es 35 euros El dinero de Marta es 21 euros El dinero de Guillermo es 28 euros
8
EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª ENSAYO (2)
Apellidos: _________________________ Nombre: _______________
Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO 2014-15
Instrucciones: a) Duración: 1 HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica).
Opción A
1.- Sean las matrices
A =
m-14
3m0
1-01
, B =
11-
23
01
, C =
22-2-
43-5
a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B
t = C para m = 0. (B
t es la matriz traspuesta de B).
2.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones
λ = z λ+ y- x
2 = z λy - 2x
2+ λ = z + y + λx
a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución?
b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para = −1.
3.- Sean las matrices A =
3α-
1αy B =
241-
131
a) [1,25 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es A12
1.
b) [1,25 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo A
t la traspuesta de A.
4.- Dadas las matrices A =
α1-1-
1-α1
1-1α
y B =
1
1
0
a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .
b) [0,75 puntos] Para = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B.
Opción B
1.- Sea la matriz
A =
1-44-
11-2
24-5
a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica 2A - A2 = I.
b) [1,25 puntos] Calcula A−1
. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).
2.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
m = z - my + x
1- = z + y - x-
1 = z - y - 2)x + (m
a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1. 3.- Sea la matriz
9
A = .
11
212
100
k
a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) [1'5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X +I) ·A = A
t, donde I denota la matriz identidad y A
t la matriz
traspuesta de A. 4.- Considera el sistema de ecuaciones
= z +1)y ( +3x
3 + 2 = 2z +3y
1 + = z +y +x
a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1.
b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.
c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución
2
1 0, ,
2
1?
SOLUCIÓN DE LA PRUEBA
Opción A
1.- Sean las matrices
A =
m-14
3m0
1-01
, B =
11-
23
01
, C =
22-2-
43-5
a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − B
t = C para m = 0. (B
t es la matriz traspuesta de B).
Solución:
a) A es invertible si su determinante es no nulo
|A| =
m-14
3m0
1-01
= (-m2+0+0)-(-4m+3+0) = -m
2+4m-3
Que igualando a cero nos da la ecuación:
-m2+4m-3 = 0 m
2-4m+3 = 0 m =
2
12164 =
2
24.
Con soluciones m1 = 1 y m2 = 3.
Luego para mR-{1,3} la matriz A es invertible. b) Para resolver la ecuación matricial XA-B
t = C multiplicamos por la derecha por A
-1para despejar X:
XAA-1
= (Bt + C)A
-1 X = (B
t + C)A
-1.
Para m = 0 la matriz A se convierte en:
A =
014
300
1-01
El valor de la inversa es: A-1
= )Adj(AA
1 t
En el apartado anterior habíamos calculado |A| obteniendo, para m = 0: |A| = -m2+4m-3 = - 3
Obtenemos la matriz traspuesta:
At =
031-
100
401
La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:
10
Adj(At) =
01-0
3-412
01-3-
Luego la inversa de A es:
A-1
=
01-0
3-412
01-3-
3
1-
Calculamos (Bt + C) =
120
1-31+
22-2-
43-5=
302-
306
X = (Bt + C)A
-1 =
302-
306
01-0
3-412
01-3-
3
1-=
0
3
12-
036
2.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones
λ = z λ+ y- x
2 = z λz - 2x
2+ λ = z + y + λx
a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución?
b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para = −1. Solución:
a) Para discutir las soluciones del sistema utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius. Siendo la matriz de coeficientes y ampliada:
A =
λ1-1
1λ-2
11λ
y A* =
λλ1-1
21λ-2
2λ11λ
Hallemos el valor del determinante de A:
|A| =
λ1-1
1λ-2
11λ
= (-3+1-2)-(-+2-) = -
3-1
Que será nulo si 3= -1 = -1
Si λ ≠ -1 rg(A) = rg(A*) = 3 = nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es
compatible y determinado y tiene solución única.
Si λ = -1 la matriz de coeficientes y ampliada son:
A =
1-1-1
112
111-
y A* =
1-1-1-1
2112
111- 1
Como existe un menor de orden 2 12
11- = -1-2 = -3 0, rg(A) = 2. Como en la matriz ampliada la 1ª y 3ª
filas son proporcionales rg(A*) = 2. Como rg(A)= rg(A
*)= 2 < nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-
Frobenius el sistema es compatible indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Por lo tanto el sistema siempre tiene solución b) Si λ = -1 en el apartado anterior hemos discutido que es un sistema compatible indeterminado con rg(A) rg(A
*)=
2, luego una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras 2. Despreciamos la tercera y tomamos
parametrizamos la incógnita z = :
2 = z y 2x
1 = z + y + x-
λ- 2 = y 2x
λ-1 = y + x-
Si restamos a la 2ª ecuación la 1ª obtenemos:
3x = 1 x = 3
1
11
Sustituyendo el valor de x en la 1ª ecuación:
λ-1 = y + 3
1- y = λ-
3
11 y = λ-
3
4
La solución del sistema es:
(x, y, z)=
λ λ,-
3
4 ,
3
1con λR.
3.- Sean las matrices
A =
3α-
1αy B =
241-
131
a) [1,25 puntos] Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es A12
1.
b) [1,25 puntos] Para = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo A
t la traspuesta de A.
Solución: a) Por el enunciado del problema sabemos que existe la matriz inversa de A:
A-1
= )Adj(AA
1 t
Con determinante A = 3+ = 4
Obtenemos la matriz traspuesta:
At =
31
α-α
La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:
Adj(At) =
αα
1-3
Luego la inversa de A es:
A-1
=
αα
1-3
4α
1=
4
1
4
14α
1-
4α
3
Como del enunciado del problema tenemos que:
A-1
= A12
1=
3α-
1α
12
1
=
12
3
12
α-12
1
12
α
Igualando valores de términos equivalentes obtenemos el sistema:
12
α
4α
3 36 = 4α
2 α
2 = 9 α = ± 3.
12
1
4α
-1 -12 = 4α
α = -3.
12
-α
4
1 12 = -4α
α = -3.
12
3
4
1 12 = 12
Luego α = - 3. b) Para resolver la ecuación matricial A
tX = B, multiplicamos por la izquierda por (A
t)
-1 y aplicando la propiedad de
que (At)
-1 = (A
-1)
t:
(At)
-1.A
tX = (A
t)
-1.B X = (A
t)
-1.B = (A
-1)
t.B
En el apartado anterior hemos averiguado que para α = -3:
A-1
= A12
1=
33
13-
12
1 (A
-1)
t=
31
33-
12
1
Luego:
12
X = (A-1
)t.B =
31
33-
12
1.
241-
131=
7152-
336-
12
1
4.- Dadas las matrices
A =
α1-1-
1-α1
1-1α
y B =
1
1
0
a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de .
b) [0,75 puntos] Para = 2, resuelve la ecuación matricial AX = B. Solución: Para estudiar el rango de A estudiamos su determinante:
|A| =
α1-1-
1-α1
1-1α
= (3+1+1)-(+ +) =
3-3+2
Que será nulo cuando 3-3+2 = 0, ecuación que resolvemos mediante la regla de Ruffini:
1 0 -3 2
1 1 1 -2
1 1 -2 0
1 1 2 2
1 2 0
-2 -2
1 0
Es decir que |A| = (-1)2(+2)
Si α ≠ 1 y α ≠ -2, tenemos |A| ≠ 0, por tanto rango(A) = 3.
Si α = 1 queda la matriz:
11-1-
1-11
1-11
Como la segunda y la tercera filas son proporcionales a la primera rg(A) = 1.
Si α = -2 queda la matriz:
2-1-1-
1-2-1
1-12-
Como el menor 2-1
12-= (4-1) = 3 0 rg(A) = 2.
b) Para α = 2, las matrices son A =
21-1-
1-21
1-12
y B =
1
1
0
En el apartado anterior hemos averiguado que A es invertible ya que su determinante es: |A| = 2
3-3.2+2 = 4
El valor de la inversa es:
A-1
= )Adj(AA
1 t
Obtenemos la matriz traspuesta:
13
At =
21-1-
1-21
1-12
Que coincide con la matriz, es por lo tanto una matriz simétrica. La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:
Adj(At) =
311
131-
11-3
Luego la inversa de A es:
A-1
=
311
131-
11-3
4
1
Por lo tanto multiplicando a la izquierda por la inversa de la ecuación matricial:
A-1
.AX = A-1
.B X = A-1
.B
X = A-1
.B X =
1
1
0
311
131-
11-3
4
1. =
4
4
0
4
1. =
1
1
0
Opción B
1.- Sea la matriz
A =
1-44-
11-2
24-5
a) [1,25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I.
b) [1,25 puntos] Calcula A−1
. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Solución:
a) Calculemos:
A2 =
1-44-
11-2
24-5
.
1-44-
11-2
24-5
=
2-88-
22-4
48-10
; 2.A =
2-88-
22-4
48-10
Veamos que 2A - A2 = I, siendo I la matriz identidad de orden 3.
2A- A2 =
2-88-
22-4
48-10
-
3-88-
23-4
48-9
=
100
010
001
como queríamos ver. b) Sabemos que una matriz cuadrada A tiene matriz inversa B si A.B = B.A = I. Utilizando la igualdad 2A - A
2 = I del apartado anterior, y sacando factor común la matriz A por la derecha
tenemos (2I – A).A = I, y por la definición de inversa tenemos que A-1
= 2I-A , es decir:
A-1
= 2I-A =
200
020
002
-
1-44-
11-2
24-5
=
34-4
1-32-
2-43-
Se puede comprobar que:
A.A-1
=
1-44-
11-2
24-5
.
34-4
1-32-
2-43-
=
100
010
001
= I.
14
2.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones
m = z - my + x
1- = z + y - x-
1 = z - y - 2)x + (m
a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m = 1. Solución:
a) Sea A =
1-m1
11-1-
1-1-2m
y A *
=
m1-m1
111-1-
11-1-2m
la matriz de coeficientes y la matriz ampliada
respectivamente. Para que el sistema tenga solución única, por el Teorema de Rouché-Frobenius, rg(A) = rg(A
* ) = 3 = nº de
incógnitas, por tanto el determinante de A tiene que ser distinto de cero.
|A| =
1-m1
11-1-
1-1-2m
= [(m+2)-1+m]-[1-1+m.(m+2)] = 2m+1-m2-2m = 1-m
2 = -(m-1)(m+1).
Si |A| = 0, tenemos -(m-1)(m+1) = 0, de donde m = 1 y m = -1.
Para m ≠ 1 y m ≠ - 1 el sistema es compatible y determinado, y tiene solución única.
Si m = 1
Sea A =
1-11
11-1-
1-1-3
la matriz de los coeficientes y A *
=
11-11
111-1-
11-1-3
la ampliada.
Vemos que rango(A) = 1, pues las tres filas son iguales.
En A como1-1-
1-3 = - 4 ≠ 0, tenemos rg(A) = 2.
En A* como
111
1-1-1-
11-3
= 0, por tener la fila 2ª y 3ª proporcionales tenemos rg(A*) = 2.
Como rango(A) = rango(A*) = 2 < nº de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es
compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Si m = - 1
Sea A =
1-1-1
11-1-
1-1-1
la matriz de coeficientes y A *
=
1-1-1-1
1-11-1-
11-1-1
la matriz ampliada.
En A como1-1-
1-1 = - 2 ≠ 0, tenemos rg(A) = 2.
En A *
como
1-1-1
1-1-1-
11-1
= (-2)(-2) = 4 ≠ 0, rg(A*) = 3.
Como rango(A) = 2 rango(A*) = 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible y no
tiene solución. b) Si m = 1 hemos visto en el apartado anterior que rg(A) = rg(A
*) = 2 < nº de incógnitas, y el sistema era
compatible e indeterminado, es decir con infinitas soluciones. Para resolverlo tomamos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Tomamos las dos primeras ecuaciones, que sabemos que son independientes, por lo calculado en el apartado
anterior. Tomamos z = como parámetro y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
15
1- = z + y - x-
1 = z - y - 3x
λ-1- = y - x-
λ1 =y - 3x
Restamos la 2ª ecuación de la 1ª obteniendo:
4x = 2 + 2 x = 2
λ
2
1
Sustituyendo el valor de x en la 2ª ecuación:
y = -x+1+ = λ12
λ-
2
1- =
2
λ
2
1
Por lo tanto la solución del sistema es:
(x, y, z) =
λ ,
2
λ1 ,
2
λ1
3.- Sea la matriz
A = .
1k1
212
100
a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) [1,5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X +I) ·A = A
t, donde I denota la matriz identidad y A
t la matriz
traspuesta de A. Solución:
a) Para hallar qué valores del parámetro k hacen no exista matriz inversa calculamos el determinante, |A| y obligamos a que sea nulo. Calculamos el determinante:
|A|=
1k1
212
100
= (0+0+2k) - (1+0+0) = 2k-1 [1]
Si |A| = 0 2k -1 = 0 k = 2
1. Luego la matriz A no tiene inversa si k =
2
1.
b) En el apartado anterior hemos averiguado que para k = 0 la matriz A tiene inversa, luego podemos multiplicar la ecuación por la derecha por la inversa de la matriz A y a continuación restar la matriz identidad en ambos miembros:
(X +I)·A.A -1
= At.A
-1 (X +I) = A
t.A
-1 X = A
t.A
-1-I
Sustituyendo k = 0 en la expresión [1] del apartado anterior hallamos la matriz:
101
212
100
Cuyo determinante es |A|= 2.0-1 = -1 Como es no nulo exista la matriz inversa, A
−1, que calculamos su inversa aplicando la fórmula:
A-1
= )Adj(AA
1 t
Obtenemos la matriz traspuesta:
At =
121
010
120
La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:
Adj(At) =
001
210
101
-
-
-
Luego la inversa de A es:
16
A-1
=
001
210
101
-
-
-
- =
001
210
101
-
-
Sustituimos en la ecuación anterior:
X = At.A
-1-I =
121
010
120
.
001
210
101
-
-
-
100
010
001
=
3-20
2-10
4-21
-
100
010
001
=
420
200
420
-
-
-
4.- Considera el sistema de ecuaciones
λ = z + 1)y(λ + 3x
3 + 2λ = 2z + 3y
1 + λ = z + y + x
a) [1 punto] Resuelve el sistema para = 1.
b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.
c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución
2
1 0, ,
2
1- ?
Solución:
b) Para halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución consideramos la matriz de los coeficientes del sistema y la matriz ampliada:
A =
11-λ3
230
111
A* =
λ11-λ3
32λ230
1λ111
Para que haya solución única según el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema ha de ser compatible y determinado, luego rango(A) = rango(A*) = 3 = nº de incógnitas. Para ello basta con que el determinante de la matriz del sistema sea no nulo, |A| ≠ 0.
|A| =
11-λ3
230
111
= (3+6-0)-(9+2λ-2+0) = -2λ+2
Luego el sistema tiene solución única si λ ≠ 1.
c) Para ver si existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución
2
1 0, ,
2
1- debemos sustituir dichos
valores en las ecuaciones del sistema y ver si es cierto. Sustituimos:
2
1 0
2
1- = λ+1 0 = λ+1 λ = -1
2
1 0
2
1- .20. = 2λ+3 1 = 2λ+3 2λ = -2 λ = -1
2
1 0
2
1-
.3 = λ -1 = λ
Luego el valor buscado es λ = -1 a) Hemos visto en el apartado (b) que si λ = 1, |A| = 0 luego rango(A) < 3. Sustituimos y obtenemos
A =
103
230
111
A* =
1103
230
111
5
2
30
11= 3 0, rango(A) = 2.
103
530
211
= (3+15+0) -(18+0+0) = 18-18 = 0, rango(A*) = 2
17
Como rango(A) = rango(A*) = 2 < nº incógnitas, por el teorema de Rouché el sistema es compatible e indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Como el rango es 2, una de ellas es combinación lineal de las otras dos,
sólo necesitamos 2 ecuaciones. Tomamos la 1ª y la 2ª siendo z = :
2λ -5 = 3y
λ -2 y + x
En la 2ª ecuación queda: y = 3
2λ-
3
5
Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 2--y = 2--3
2λ-
3
5=
3
λ-
3
1
La solución es: (x, y, z) =
λ
3
2λ-
3
5
3
λ-
3
1,, con R.