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EXAMENDESELECTIVIDADJUNIO2017.

MATEMÁTICASAPLICADASALASCIENCIASSOCIALESII

OPCIÓNBProblema1..DeterminalasmatricesXeYquesatisfacenlas

relacionessiguientes:

X + 2Y =AT +BX −Y = AB

⎧⎨⎩

dondeATrepresentalamatriztraspuestadeAylasmatricesAyBson

A =−1 −2 42 3 01 0 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ y B=

4 −2 01 2 13 1 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

X + 2Y =AT +BX −Y = A ⋅B

⎧⎨⎩

ahora restamos las ecuaciones y queda

2Y − (−Y ) = AT +B − A ⋅B → 3Y = AT +B − A ⋅B

Y =13⋅ AT +B − A ⋅B( )

y a partir de la segunda ecuación tenemos

X=A ⋅B+Y

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ConWIRIS

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Problema2.UnanalistapronosticaqueelbeneficioB(x)enmilesdeeurosdeciertofondodeinversión,dondexrepresentalacantidadinvertidaenmilesdeeuros,vienedadoporlasiguienteexpresión:

B X( ) =−0,01x 2 +0,09x +0,1 0<x ≤ 8

1,26 xx 2 −1

+0,02 x>8

⎧

⎨⎪

⎩⎪

a)EstudialacontinuidaddeB(x)

En−0,01x 2 +0,09x +0,1 0<x ≤ 8 lafunciónescontinuaentodoslosRealesporserunafunciónpolinómica.

En1,26 xx 2 −1

+0,02 x>8 lafunciónescontinuaentodoslosRealesexcepto

dondeseanulaeldenominador.

x 2 −1= 0x 2 =1

x = ± 1= ±1

Perocomoestosvaloresnoestánincluidosenelintervalodeestudio,lafunciónescontinuaentodoelintervalodeestudio.

Ahoranosquedaestudiarlacontinuidadenlospuntosdondecambiadeforma,esdecirenx=8.

1)Existef(8)à f 8( ) = −0,01⋅82 +0,09 ⋅8+0,1=

2)Existe limx→8B (x )

paraellosvamosaestudiarelvalordeloslimiteslaterales.

limx→8+

1,26 xx 2 −1

+0,02 = 0,18

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limx→8+

−0,01x 2 +0,09x +0,1= 0,18

yportantoexiste limx→8B (x ) = 0,18

3)Asípueslafunciónescontinuaenx=8,yaque f (8)= limx→8B (x ) = 0,18

Solución:Lafunciónescontinuaentodoslosrealesenlosintervalosaestudio.

b)Calculalosintervalosdecrecimientoydecrecimiento.

Enestecaso,debemosdecalcularlafunciónderivadadeB(X)eigualara0.

B ' X( ) =−0,02x +0,09 0<x ≤ 8

1,26x 2 −1,26x 4 − 2x 2 +1

x>8

⎧

⎨⎪

⎩⎪

B ' X( ) = 0−0,02x +0,09 = 0→ x = 4,5−1,26x 2 −1,26x 4 − 2x 2 +1

= 0→ x 2 = −1→ x ∉ ℜ

yportanto,elúnicopuntoaestudioesx=4,5.

04,58∞B(X)

B(X)’ B(3)’>0 B(5)’<0 B(9)’<0

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Solución:

AsípueselIntervalodecrecimientoes(0,8)yelintervalodedecrecimiento(4,5;∞)

c) ¿Qué capital, en euros, conviene invertir en este fondo para maximizar el beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio máximo? El máximo lo alcanza es x=4,5. Y por tanto el B(4,5) = 0,3025 Solución: Debe de invertir 4500 euros para maximizar el beneficio, que será de 302,5 euros.

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d) Si se invierte un capital muy elevado, ¿cuál sería como mínimo subeneficio?¿Porqué?Anteestasituación,debemosdecalcularellímitecuandoxtienea∞

limx→∞

1,26x 2 −1,26x 4 − 2x 2 +1

= 0,02

Solcución: El beneficio mínimo será 20 euros, puesto que la función esdecrecienteytienelímite.

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P3.Una compañía de transporte interurbano cubre el desplazamiento a tresmunicipios distintos. El 35% de los recorridos diarios realizados por losautobusesdeestacompañíacorrespondenaldestino1,el20%aldestino2yel45% al destino 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, unrecorridodeautobússufraunretrasoesdel2%,5%y3%paracadaunodelosdestinos1,2y3,respectivamente.a) ¿Qué porcentaje de los recorridos diarios de esta compañía llegan conpuntualidadasudestino?D1=destino1D2=destino2D3=destino3R=llegaconretrasoP=llegapuntualPrimeroconstruiremosundiagramadeárbol:

P P( ) = 0,35 ⋅0,98+0,20 ⋅0,95+0,45 ⋅0,97 = 0.9695 P R( ) =1−0.9695 = 0.0305

Autobuses

P(D1)=0,35P(R)=0,02

P(P)=0,98

P(D2)=0,20P(R)=0,05

P(R)=0,95

P(D3)=0,45P(R)=0,03

P(R)=0,97

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que un recorrido seleccionado al azarcorrespondaaldestino2yhayaexperimentadounretraso?P D2∩R( ) = 0,20 ⋅0,05 =0,10 c)Siseleccionamosunrecorridoalazaryresultaquesufrióunretraso,¿cuáleraeldestinomásprobablededichorecorrido?

P D1/R( ) =P D1∩R( )P R( )

=0,35 ⋅0,020,0305

=0,0070,0305

= 0,2295

P D2 /R( ) =P D2∩R( )P R( )

=0,20 ⋅0,050,0305

=0,010,0305

= 0,3279

P D3 /R( ) =P D3∩R( )P R( )

=0,45 ⋅0,030,0305

=0,01350,0305

= 0,4426

Asípues,elrecorridomásprobableseráeltercero.

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OPCIÓNBProblema1..Unaempresaproducedostiposdecervezaartesanal,A y B. La demanda mínima de cerveza tipo A es de 200 litros diarios. Laproducción de cerveza tipo B es al menos el doble que la de tipo A. Lainfraestructurade laempresanopermiteproduciren totalmásde900 litrosdiarios de cerveza. Los beneficios queobtienepor litrodeA yB son2 y 2,5euros,respectivamente.¿Cuántoslitrosdiariossehandeproducirdecadatipoparamaximizarelbeneficio?¿Cuálesdichobeneficiomáximo?X=demandadecervezaartesanalAY=demandadecervezaartesanalBMaxB(X,Y)=2X+3,5Ys.aX>200(1)Y≥2X(2)X+Y≤900(3)X≥0,Y≥0Representamoslasrestriccionesynosquedaesto:

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dondeAeselpuntodecortede(1)y(2)

Beselpuntodecortede(1)y(3)

Ceselpuntodecortede(2)y(3)

Ahoranosquedasustituirestospuntosenlafunciónbeneficio.

YpodemosobservarqueelpuntoquemaximizalosbeneficioseselpuntoB.Solución:Asípuesdebendeproducir200litrosdecervezaartesanalAy700litrosdecervezaartesanalB.Elbeneficiomáximoseráde2150euros.

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Problema2.Dadalafunción f x( ) = x 3 − 2x 2 + x ,sepide:a) SudominioypuntosdecorteconlosejescoordenadosDom(f(x))=R(yaquesetratadeunafunciónpolinómica.PuntodecorteconelejeX(f(x)=0)0 = x 3 − 2x 2 + x

0 = x x 2 − 2x +1( )→x1 = 0

x 2 − 2x +1→x 2 =1x3 =1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎧

⎨⎪

⎩⎪

puntoscorteconelejeXà (0,0)(1,0)PuntodecorteconelejeY(x=0)f 0( ) = 03 − 2 ⋅02 +0 = 0 puntoscorteconelejeYà (0,0)b) Intervalosdecrecimientoydecrecimiento.Derivamoseigualamoslaprimeraderivadaa0.f ' x( ) = 3x 2 − 4x +1= 0

x = 4± 16−126

=4± 26

x1 =1x 2 =1/ 3

⎧⎨⎪

⎩⎪

-∞1/31∞f(x)

f’(x) f’(0)>0 f’(2/3)<0 f(2)’>0máximomínimoAsípues,elintervalodecrecimientoes −∞,1/ 3⎤⎦ ⎡⎣∪ 1,+∞⎤⎦ ⎡⎣

Yelintervalodecrecimientoes 1/ 3,1⎤⎦ ⎡⎣

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c) Máximosymínimoslocales.Delestudiodelamonotoníadelafunciónsedesprendequeenx=1/3hayunmáximoyenx=1hayunmínimo.Cuandox=1/3à f 1/ 3( ) = (1/ 3)3 − 2 ⋅ (1/ 3)2 +1/ 3 = 4 / En(1/3,4/27)hayunmínimoCuandox=1à f 1/ 3( ) = (1)3 − 2 ⋅ (1)2 +1= 0 En(1,0)hayunmáximo.d) Representacióngráfica

e) Apartirdelosresultadosobtenidosenlosapartadosanteriores,razonaen

quépuntoslafuncióng x( ) = x − 2( )3− 2 x − 2( )

2+ x − 2

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lacoordenadaxsedesplazadosunidadeshacíaladerecha,asípueselmínimoestaráenx=7/3comosepuedeapreciarenlagráfica.Yelmáximoenx=3.Asípues,en(7/3,4/27)estáelmínimoy(3,0)estáelmáximo.

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Problema3.Imaginacincosillasalineadas1,2,3,4,5yqueunindividuoestásentadoinicialmenteenlasillacentral(número3).Selanzaunamonedaalairey,siel resultadoescara,sedesplazaa lasillasituadaasuderecha,mientrasquesielresultadoescruz,sedesplazaalasituadaasuizquierda.Serealizansucesivos lanzamientos(y loscambiosdesillaconsecutivoscorrespondientes)teniendoencuentaquesitrasalgunodeellosllegaasentarseenalgunadelassillasdelosextremos(1o5),permanecerásentadoenellaconindependenciadelosresultadosdeloslanzamientosposteriores.Sepide:a)Dibujareldiagramadeárbolparacuatrolanzamientosdemoneda.

b)Laprobabilidaddequetraslostresprimeroslanzamientosestésentadodenuevoenlasillacentral.

P(sentadoenlasilla3)=0

c)Laprobabilidaddequetraslostresprimeroslanzamientosestésentadoenalgunadelassillasdelosextremos.

P(sentadoen1oen5tras3lanzamientos)=4/8=1/2

3

4

5

55

5

55

5

3

45

3

23

1

2

3

45

3

23

1

1

11

1

11

1

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d)Laprobabilidaddequetrasloscuatroprimeroslanzamientosestésentadoenalgunadelassillasdelosextremos.

P(sentadoen1oen5trascuatrolanzamientos)=12/16=3/4

o