Examen Ecuaciones Diferencia.les

VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SUBSISTEMA DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CONVOCATORIA NACIONAL II – 2013

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES CÓDIGO: 100412

TEMA A

AUTOR: Andrés Heredia, Claudia Castro y Red de tutores

NODO: ZCBC CEAD JAG

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CUADERNILLO DE ÍTEMS

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. 1) Dentro del curso actual que se imparte en la UNAD se ha indicado que la función que se debe hallar para transformar una Ecuación en Diferencial Exacta se denomina: A. Factor Integrante B. Familia de curvas ortogonales C. Función con solución trivial y singular D. Funciones Homogéneas 2 Según las leyes de Kirchhoff, la F.E.M. suministrada E es igual a la caída de

voltaje a través del inductor

mas la caída de voltaje a través de la

resistencia. De esta manera

Si un generador con una F.E.M. de 85 voltios se conecta en serie con una resistencia de 15 Ω y un inductor de 5 Henrios, la ecuación diferencial para la corriente en el tiempo t si el interruptor k se cierra en el tiempo t=0 es:

A.

B.

C.

D.




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3) La solución

A. =0

B. + =0

C. =0

D. =0 4) Una ecuación diferencial que se puede escribir de la forma:

)().( yfxgdx

dy

Se conoce como: A. Ecuación diferencial constante B. Ecuación diferencial de variable separable C. Ecuación diferencial nula D. Ecuación diferencial oscilante 5) una serie de potencias representa a una función f(X) en un intervalo de: A. Decrecimiento. B. Crecimiento. C. Divergencia. D. Convergencia.




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6) El problema de valor inicial es aquel en el que se requiere hallar la solución

de una ecuación diferencial sujeta a una condición ; a esta condición se le llama inicial. De acuerdo al contexto anterior la ecuación diferencial:

. Admite una sola curva debido al

problema de valor inicial. El ítem que permite confirmar y resolver el problema es:

A.

B. C. D. 7) Un estudiante pide un crédito de $ 100,000 a una tasa de interés anual de 9%. Él hará los pagos a una tasa mensual de de 800((1+t)/120), donde t representa el número de meses transcurridos desde que se le hizo el préstamo. El estudiante identifica el modelo y encuentra la ecuación

.

La ecuación diferencial que le permitirá al estudiante saber ¿Cuándo saldará la deuda? Es: A. Una ecuación lineal de primer grado, y puede resolverse mediante la técnica del factor integrante. B. Una ecuación lineal de primer orden, y puede resolverse mediante la técnica del factor integrante. C. Una ecuación lineal de segundo orden y puede resolverse mediante la técnica de la solución general como combinación lineal de soluciones independiente. D. Una ecuación de segundo orden y puede resolverse mediante la técnica de la ecuación característica.




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8) La forma general de una ecuación es: 0)()()( tcytybtya Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:

02 cba . De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, uno de estos casos no es válido:

A. Caso 2 4 0a b raíces complejas

B. Caso 2 4 0a b , raíces reales iguales

C. Caso 2 4 0a b , raíces complejas repetidas

D. Caso 2 4 0a b , raíces reales y diferentes.

9) La solución general de la ecuación diferencial es:

A.

B.

C.

D.

10) El reconocer y distinguir las características de una ecuación diferencial, es muy importante en la solución de una ecuación diferencial, permitiendo encontrar la solución general y sus soluciones particulares.

La ecuación diferencial

presenta una solución particular

cuando (√ )

A.

√

B.

√

C.

√

D.

√




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PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas. 11) Son ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden:

1. 02 xwx

2.

0

3

y

dt

dy

m

p

dt

dy

3.

02

2

y

dt

dy

m

p

dt

yd

4.

12) El operador diferencial es un polinomio en términos de derivadas donde n determina la n–esima derivada del polinomio. Por tanto el operador diferencial se emplea para encontrar un anulador de una función. Para la

función Identifica los 2 operadores anuladores de la función. 1. 2.

3.

4. 13) Para la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas existen métodos adecuados como lo son: el método de coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Las 2 etapas que no cumplen con el proceso de estos dos métodos en la etapa inicial son: 1. Encontrar el factor integrante. 2. Determinar el grado de homogeneidad. 3. Determinar una función complementaria. 4. Encontrar cualquier solución particular de la ecuación diferencial dada.




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14) Uno de los propósitos del curso de ecuaciones diferenciales, es brindar herramientas para el estudiante reconozca las ecuaciones diferenciales y las pueda clasificar según las características.

La ecuación diferencial: se puede clasificar como: 1. Una ecuación diferencial homogénea de primer orden. 2. Una ecuación transformable a homogénea de primer orden. 3. Una ecuación diferencial homogénea de primer grado. 4. Una ecuación diferencial reducible a ecuación diferencial de variables separables. 15) Es importante reconocer las características de una ecuación diferencial, lo cual facilita al estudiante la forma en que va a encontrar solución de la misma.

Teniendo en cuenta la siguiente ecuación: esta no cumple lo siguiente:

1. Su solución es: U(x,y) = x (y-x) 2. Es una ecuación diferencial exacta. 3. Es una ecuación en variables separables.. 4. Su solución es: x (y-x) = k 16) El método de separación de variables recibe este nombre por el hecho que su lado derecho se puede separar como una función en la variable y el otro lado como función de la variable x. Se debe tener cuidado con este método porque los divisores variables podrían

ser cero en algún punto. Por ejemplo en la ecuación diferencial

hay una pérdida de una solución y en consecuencia la solución ( es un cero de la función) es una solución singular. En resumen la solución . 1. No aparece en la familia de soluciones después de integrar y simplificar. 2. No aparece en la familia de soluciones después de separar variables. 3. No aparece en la familia de soluciones después de reemplazar y simplificar. 4. No aparece en la familia de soluciones después de dividir y simplificar.




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17) El método del operador diferencial es otro método para resolver ecuaciones diferenciales lineales y además al operador se le puede aplicar las operaciones algebraicas. El operador diferencial que anula una función no es único.

Con ayuda del operador D la ecuación diferencial

se

puede escribir así:

1. 2. 3.

4. 18) No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por medio de los métodos tradicionales, por tanto es necesario recurrir a las series de potencias. Identifica en la ecuación diferencial que encontramos a continuación

los factores que deben tender a infinito (∞) cuando tienda a cero y así

poder resolver la ecuación por medio de series de potencia alrededor de cero.

y=0.

1.

2.

3.

4.

19) Una ecuación diferencial de la forma es exacta, si la derivada parcial de M con respecto a coinciden con la derivada parcial de

N con respecto a . De las siguientes opciones seleccione dos ecuaciones que no son exactas:

1.

2.

3.

4.




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ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 20) Un múltiplo constante de una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución PORQUE Una ecuación

diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución trivial .

21) La ecuación diferencial 31tan .

cos

dyx y y

dx x se le llama ecuación

de Bernoulli de grado 3. PORQUE la ecuación diferencial

31tan .

cos

dyx y y

dx x es de orden 1

22) El método de variación de parámetros se utiliza para encontrar la solución particular de la ecuación lineal homogénea de n-esimo orden PORQUE el método de variación de parámetros no solo es aplicado a las ecuaciones con coeficientes constantes y a una clase limitada de funciones, siendo un complemento inmediato del método de coeficientes indeterminados. 23) Una ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial no lineal y de acuerdo al exponente de la variable dependiente se determina el grado de la ecuación de Bernoulli PORQUE siempre la Ecuación de Bernoulli es de la

forma ( ) ( )y P x y Q x y




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24) La ecuación característica de la ecuación diferencial 12 5 2 0y y y

genera una ecuación auxiliar con sus raíces reales y diferentes PORQUE la

ecuación auxiliar de la ecuación diferencial dada es 212 5 2 0m m y las

soluciones son 5 11

24x

25) Para formular el modelo matemático de un sistema se debe identificar las constantes relacionadas entre sí. Luego se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema de acuerdo a leyes aplicables PORQUE las hipótesis implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen en el sistema.

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