Segundo examen liga de matematicas

October 12, 2015

Problema 1. Sea n un entero positivo. Una familia F de intervalos distin-tos [i, j] con 0 ≤ i < j ≤ n enteros es considerado feliz si, para cualesquieraI1 = [i1, j1] ∈ F , e I2 = [i2, j2] ∈ F tales que I1 ⊂ I2, se tiene que i1 = i2o j1 = j2. Determine el maximo numero de intervalos que puede tener unafamilia feliz en terminos de n.

Problema 2. Sean A y B matrices de nxn con entradas reales, tales queA + B = AB. Demuestre que AB = BA.

Problema 3. Sea a0, a1, ...., am, .... una sucesion arbitraria infinita de realespositivos. Demuestre que existen una infinidad de n ∈ N tales que 1 + an >an−1

n√

2.

Problema 4. Para cualquier n entero positivo, un entero bonito es de laforma 3n, 4n, 5n o 6n. Demuestre que todo natural m > 2 se puede escribircomo suma de enteros bonitos distintos. (Nota: un solo entero bonito esconsiderado como suma de un solo entero bonito, por ejemplo 3 es la sumade un solo entero bonito el cual es 31).

Problema 5. Sea [a1, ....., a10] una permutacion de [1, 2, ....., 10]. Deter-

mine el maximo valor que puede obtener10∑n=1

(n(an)2 − n2an).

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