Examen Matemáticas II Universidad Autónoma de Madrid

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE MADRID

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AOS Convocatoria 2014

MATERIA: MATEMTICAS II

MODELO

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIN

INSTRUCCIONES: Escoja entre una de las dos opciones A o B. Lea con atencin y detenimiento los enunciados de las cuestiones y responda de manera razonada a los puntos concretos que se preguntan en la opcin elegida. DURACIN DEL EJERCICIO: Una hora y treinta minutos. CALIFICACIN: Se indica en cada apartado

OPCIN A

EJERCICIO 1.

a) (1.5 Puntos) Analiza el siguiente sistema en funcin del parmetro a. En los casos en los que el sistema sea compatible, encuentra sus soluciones.

x + y + a z= - 1 , x + a2y z = 2a.

b) (1 Punto) Si a=1, dibuja la recta de R3 donde estn todas las soluciones del sistema lineal anterior (para a=1).

EJERCICIO 2. Dados los vectores u y v en el espacio eucldeo usual R3, denotaremos por u.v a su producto escalar y por u x v a su producto vectorial. El smbolo |u| denotar el mdulo del vector u.

a) (1 Punto) Considera los vectores de R3 de coordenadas

(1,1,-1) , (3,-1,2).

Calcula su producto escalar y su producto vectorial Son ortogonales?

b) (1.5 Puntos) Si u y v son dos vectores de R3 tales que |u|=4 y |v|=5 y su producto escalar u.v = 10, qu ngulos pueden formar entre los dos?

EJERCICIO 3. (1 Punto) Halla las ecuaciones paramtricas y la ecuacin continua de la recta de R3 que une los puntos A=(3,1,2) y B=(2,4,1) El punto C=(4,-2,3) est alineado con A y B?




MODELO

EJERCICIO 4.

a) (1 Punto) Calcula el dominio de la funcin f(x) = ln ( x2-4 ). b) (1 Punto) Calcula la derivada de f(x) y halla su dominio. c) (1 Punto) Calcula justificadamente los siguientes lmites

)('lim2x

xf

)('limx

xf

d) (1 Punto) Calcula razonadamente el nmero

.)4(6

3

2 dxx Es este nmero positivo? Da una justificacin geomtrica de tu respuesta.

OPCIN B

EJERCICIO 1. (2.5 Puntos) Halla la matriz X de tamao 2x2 que satisface la ecuacin matricial:

AB - 2X=C, donde:

,20

02

11

A ,

202

030

B .

41

12

C

EJERCICIO 2. Considera los planos del espacio eucldeo R3 de ecuaciones

1 : 3x+4y+z-5=0 , 2 : x-ay+z-3=0. a) (1 Punto) Para qu valor de a son 1 y 2 perpendiculares? b) (1.5 Puntos) Calcula las ecuaciones paramtricas de la recta de corte de 1 y 2 para a=1.

EJERCICIO 3. (1 Punto) Encuentra los valores del parmetro b para los que la matriz tiene rango estrictamente menor que 3.

1

1

211

11 2

bb

b

bB




MODELO

EJERCICIO 4. Considera la funcin

.41)( 2

2

xxxf

a) (1 Punto) Calcula el dominio de f(x). b) (1 Punto) Calcula los extremos de la funcin f(x). c) (1 Punto) Calcula todas las asntotas de f(x). d) (1 Punto) Calcula razonadamente el nmero:

.)(2/1

0 dxxf

Es este nmero positivo? Da una justificacin geomtrica de tu respuesta.




MODELO

CRITERIOS ESPECFICOS DE CORRECCIN

OPCIN A

EJERCICIO 1. Apartado a) Planteamiento: 1 punto; Resolucin: 0.5 puntos. Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos EJERCICIO 2. Apartado a) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 1 punto; Resolucin: 0.5 puntos EJERCICIO 3. Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos. EJERCICIO 4. Apartado a) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado d) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos

OPCIN B

EJERCICIO 1. Planteamiento: 1.5 puntos; Resolucin: 1 punto. EJERCICIO 2. Apartado a) Planteamiento: 1 punto; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos EJERCICIO 3. Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos. EJERCICIO 4. Apartado a) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos Apartado d) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolucin: 0.5 puntos




MODELO

SOLUCIONES

OPCIN A

N.1.

a) El sistema dado es equivalente al sistema:

x + y + a z= - 1 , (a2 -1) y (a+1)z = 2a+1.

Si el valor del parmetro es distinto de 1 o -1 podemos despejar la variable y en funcin de la variable z de la segunda ecuacin. Lo que da el conjunto de soluciones:

,11

122

2

2

taa

aaax

,

11

112

2 taaay ,tz

para t un nmero real arbitrario.

Por otro lado, si a=1 tenemos que resolver el sistema: x + y + z = - 1 , 2z = 3.

Lo que da el conjunto de soluciones:

x = -t+1/2 , y = t , z = -3/2 , para t un nmero real arbitrario.

Adems, si a=-1 tenemos que resolver el sistema: x + y - z= - 1 , 0z = 3.

Pero este sistema es incompatible, es decir, no tiene solucin.

b) La solucin del sistema para a=1 es la recta de ecuacin implcita

,2/1 xy ,2/3z Lo que da lugar a la siguiente representacin grfica de la misma:

en el plano de R3 de ecuacin .2/3z




MODELO

N.2

a) Su producto escalar es: (1,1,-1) . (3,-1,2) = 1.3-1.1-1.2 = 3-1-2=0.

Su producto vectorial es: (1,1,-1) x (3,-1,2) = (1,-5,-4).

Los vectores u y v son ortogonales porque su producto escalar vale 0.

b) Como u . v=|u|.|v|. cos(), donde es el ngulo que forman u y v, entonces, cos()=10/(4.5)=1/2. Luego el valor de es 60 o -60.

N.3

Un vector director de la recta pedida es el vector w que une los puntos A y B cuyas coordenadas son:

w = (2,4,1) (3,1,2) = (-1,3,-1).

Luego la ecuacin paramtrica de la recta es:

r: A +t w = (3,1,2)+t(-1,3,-1)=(3-t,1+3t,2-t), para t un parmetro real.

De la ecuacin anterior podemos deducir la ecuacin en forma continua para r:

.12

31

13

zyx

Si el punto C estuviera en esta recta el sistema (en la variable t) dado por :

C = (4,-2,3) = (3-t,1+3t,2-t),

sera compatible determinado, lo que es cierto (basta tomar t=-1). Luego C est alineado con A y B.

N.4

a) La funcin real logaritmo neperiano est bien definida para valores reales estrictamente positivos por lo tanto, el dominio de la funcin pedida ha de ser formado por los valores de x tales que x2 - 4 > 0. Luego para los nmeros reales tales que |x|>2. Es decir en el conjunto (-,-2) y tambin en (2,+).

b) Segn la regla de derivacin del logaritmo neperiano se tiene que:

.4

2)(' 2 xxxf

c) Para calcular los lmites pedido procederemos e la siguiente manera:

a. .)/4(

1lim2)('lim2x2x

xxxf




MODELO

b. .0

)/4(1lim2)('lim

xx xxxf

Tambin, para calcular los anteriores lmites, basta observar que los lmites pedidos son de una funcin que es cociente de dos polinomios, pongamos f=P/Q, con grado de P estrictamente menor que grado de Q.

d) Aplicando la regla de integracin:

.1

31

61

116

3

16

3

nnnxdxxnnn

n

Se tiene que

.51123

33

64)4(336

3

6

3

26

3

2 dxdxxdxx Este nmero es positivo pues la funcin integrando dada es positiva para x >2, y el nmero pedido es la medida del rea que queda entre la grfica de la curva y el eje horizontal desde el valor x=3 hasta el x=6.




MODELO

OPCIN B

N.1

Pongamos la matriz X como

.

ty

zx

X

Entonces, como

62

06

AB y tambin ,22

22

2

ty

zx

X

Se tiene que:

,222

22

62

06

41

12

XABty

zx

C

Lo que da el sistema de ecuaciones:

,262 x ,221 y ,21 z ,264 t

En consecuencia: .12/1

2/12

X

N.2

a) Unos vectores normales son respectivamente:

)1,4,3(1 n , vector normal a 1, y )1,,1(2 an , vector normal a 2. Su producto escalar es nulo si y slo si 1a , ya que la ecuacin:

),1(4143)1,,1).(1,4,3(.0 21 aaann tiene por nica solucin 1a .

b) Para 1a la recta de corte de los planos dados es la solucin del sistema de ecuaciones lineales: ,543 zyx 3 zyx




MODELO

Luego, resolviendo el sistema anterior obtenemos la ecuacin paramtrica pedida, es decir:

tx75

717 , ty

72

74 , tz .

N.3

Para que la matriz B tenga rango estrictamente menor que 3 es necesario y suficiente que su determinante sea nulo. Luego, basta calcular el determinante de B, )det(B , e igualarlo a 0. As:

)1)(1(1

21

001

11det)1(

12

1

001

11det)det(0 222

bbbbb

bb

bb

bb

bB .

En consecuencia para los valores

,1b ,2

51b ,2

51b

obtenemos que el rango de B es estrictamente menor que 3.

N.4

a) La funcin f(x) dada est bien definida para cada nmero real x tal que x2-4 se distinto de 0. Luego su dominio se compone de tres intervalos de la recta real, a saber: (-,-2), (-2,2) y (2,).

b) Calculamos en primer lugar la derivada de la funcin f(x) segn la regla de derivacin del cociente de dos funciones. As tenemos que:

2222

22

)4(6

)4()1(2)4(2

)('

x

xx

xxxxxf

Luego el nico extremo se alcanza para x=0, ya que es el nico valor real que anula la derivada. Adems, como

,08/3)0('' f se tiene que x=0 es un mximo local de la funcin f(x), cuyo valor mximo local es f(0)=1/4.

c) Para calcular las asntotas de f(x) procedemos segn el tipo de asntota que estemos buscando:

Asntotas verticales. Son las rectas x=2 y x=-2 ya que: o ,)(lim,)(lim

2x2x xfxf

o ,)(lim,)(lim2x2x

xfxf




MODELO

Asntotas horizontales. Es la recta y=1 puesto que

o ,1)(lim,1)(limxx

xfxf

Asntotas oblicuas. Buscaramos las rectas de ecuacin y= m x + n satisfaciendo las condiciones

o ,)(lim,)(limxx

mxxfm

xxf

o nmxxf )(limx

pero ya hemos visto que esta condicin se satisface para m=0 y n=1.

d) Descomponemos la fraccin que nos da la frmula de f(x) como suma de fracciones elementales:

24/3

24/31

431)( 2 xxxxf .

Entonces se tiene que

117.022ln

43

21

21

43

21

431)(

2/1

0

2/1

0

2/1

0

2/1

0

2/1

0

xxdxxdxxdxdxxf .

Este nmero es positivo pues la funcin f(x) dada es positiva para 0




MODELO

OBJETIVOS GENERALES Y CONTENIDOS:

De acuerdo con la Resolucin de 29 de mayo de 2012, de la Direccin General de Universidades e Investigacin, por la que se da publicidad al Acuerdo de la Comisin Organizadora, por el que se dictan las normas e instrucciones reguladoras de la prueba de acceso a la universidad para mayores de veinticinco aos en el mbito de la Comunidad de Madrid, publicado en el BOCM el 21 de junio de 2012 (BOCM n 147, pg. 37 y siguientes), el currculo de los ejercicios para la materia de Matemticas ser el establecido para la materia Matemticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus enseanzas mnimas. Especficamente, los contenidos correspondientes para la materia Matemticas II de segundo curso de Bachillerato, conforme a lo determinado en el Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre son: 1. lgebra lineal: Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Operaciones con matrices. Aplicacin de las operaciones y de sus propiedades en la resolucin de problemas extrados de contextos reales. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz. Discusin y resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. 2. Geometra: Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geomtrico. Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolucin de problemas de posiciones relativas. Resolucin de problemas mtricos relacionados con el clculo de ngulos, distancias, reas y volmenes. 3. Anlisis: Concepto de lmite de una funcin. Calculo de lmites. Continuidad de una funcin. Tipos de discontinuidad. Interpretacin geomtrica y fsica del concepto de derivada de una funcin en un punto. Funcin derivada. Clculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la funcin compuesta. Aplicacin de la derivada al estudio de las propiedades locales de una funcin. Problemas de optimizacin. Introduccin al concepto de integral definida a partir del clculo de reas encerradas bajo una curva. Tcnicas elementales para el clculo de primitivas. Aplicacin al clculo de reas de regiones planas. Segn el mismo Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre: Matemticas II requiere conocimientos de Matemticas I. En relacin con los bloques lgebra Lineal, Geometra y Anlisis correspondientes a los contenidos para la materia Matemticas II, los contenidos para la materia Matemticas I son: 1. Aritmtica y lgebra: Nmeros reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la recta real. Intervalos y entornos. Resolucin e interpretacin grfica de ecuaciones e inecuaciones. Utilizacin de las herramientas algebraicas en la resolucin de problemas. 2. Geometra: Medida de un ngulo en radianes. Razones trigonomtricas de un ngulo. Uso de frmulas y transformaciones trigonomtricas en la resolucin de tringulos y problemas geomtricos diversos. Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Mdulo de un vector. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ngulos. Resolucin de problemas. Idea de lugar geomtrico en el plano. Cnicas. 3. Anlisis: Funciones reales de variable real: clasificacin y caractersticas bsicas de las funciones polinmicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonomtricas, exponenciales y logartmicas. Dominio, recorrido y extremos de una funcin. Operaciones y composicin de funciones. Aproximacin al concepto de lmite de una funcin, tendencia y continuidad. Aproximacin al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo. Interpretacin y anlisis de funciones sencillas, expresadas de manera analtica o grfica, que describan situaciones reales.

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