EXAMEN OPTATIVO

PREGUNTA 1

Escribir las ecuaciones correspondientes a todos estos procesos.

Funciones de Series Temporales

a) Primera Diferencia:

b) N-simo orden de diferencia:

.

c) N-simo orden con una diferencia estacional en s:

d) Primera Diferencia del Logaritmo Natural

e) N-simo orden de diferencia del Logaritmo

f) N-esimo orden con una diferencia estacional logartmica en s:

g) N-simo periodo retardado de medias moviles(n-period backward moving average)

h) N-esimo periodo suma de tres retardos (n-period backward moving sum)

i) Un periodo en porcentaje de igual cambio (en porcentaje)

j) Un periodo cambiado a porcentaje (en decimales)

k) Un periodo cambiado a porcentaje-anualizado (en porcentaje)

l) Un periodo cambiado a porcentaje-anualizado (en decimales)

Donde el retardo esta asociado a un ao ( n=4) para datos trimestrales, etc.

m) Un periodo cambiado a porcentaje (en porcentaje)

n) Un periodo cambiado a porcentaje (en decimales)

Donde el retardo esta asociado a un ao ( n=12) para datos anuales, etc.

PREGUNTA 2

Escriba la solucin total, haciendo nfasis en el desarrollo terico de la siguiente ecuacin endiferencia estocstica de grado 1:

Solucin:

Si: . (1)

. (2)Reemplazando (1) en (2), se tiene:

. (3)

. (4)Reemplazando (3) en (4)

, simplificando la expresin

. (5)

Para:

.. (6)Reemplazando (6) en (5)

(7)Iterando (7) hacia atrs M periodos

Supuestos Talque:

Por tanto:

Sin embargo, este mtodo no siempre resulta ser el ms conveniente, y es aplicable a pocos casos.

Solucin Analtica

Una segunda opcin corresponde a encontrar la solucin general de la ecuacin, que denominaremos . La solucin general est definida como la suma de la solucin homognea y de la solucin particular .

La solucin homognea no es nica, pero la solucin particular s.

Solucin Homognea:Supongamos el caso ms sencillo de todos, una ecuacin genrica de primer orden del tipo:

El sistema homogneo es en este caso el siguiente:

Aplicando el operador de rezagos:

La solucin homognea se define como la funcin suma de las races del polinomio caracterstico elevadas a t; en este caso es:

Siendo A una constante ().

Solucin Particular:

Caso 1:

Esta solucin representa precisamente el valor de convergencia de para infinitas observaciones, siempre y cuando estemos hablando de un proceso estacionario.

Analizando los casos en que: , , se llega a concluir que la solucin general es:

PREGUNTA 3

Escriba la solucin total, haciendo nfasis en el desarrollo terico de la siguiente ecuacin endiferencia estocstica de grado 2:

Solucin:

El sistema ser entonces:

Si se realiza la transformacin la ecuacin de segundo orden queda:

Las races caractersticas sern por tanto las que corresponden a cualquier solucin de una ecuacin cuadrtica, es decir:

Cualquiera de las dos races permite obtener una solucin para de la forma . Resulta adems inmediato comprobar que, dadas las dos soluciones representadas por las races caractersticas y , cualquier combinacin lineal de las mismas ser tambin una solucin para.

Solucion

Solucion combinacin +

Solucion

La demostracin es sencilla:

+-(+)-(+)

[--]+[--]

0+00

Mostrando una forma generalizada para un orden superior p. entonces la ecuacin homognea quedara como una combinacin lineal de soluciones individuales de forma:

Se puede ver que la solucin homognea solo resuelve el sistema homogneo de la ecuacin en diferencias. Para obtener la solucin general es necesario incorporar la solucin particular que es la misma que en el anterior ejercicio.

Y la solucin particular quedara como:

=

PREGUNTA 4

Escriba grficamente la dinmica de una ecuacin en diferencias de 2do orden.

Escribir todas las funciones inmersas en Hamilton con el mayor desarrollo terico posible, considerando absolutamente todos los pasos. Fundamenta paso a paso la construccin de la grfica.

Solucin:

Un proceso autorregresivo ser estacionario (convergente en trminos de su solucin analtica) si sus races caen dentro del circulo unitario, o si las races de su polinomio de retardos caen fuera del mismo.Efectivamente, un proceso autorregresivo de orden 2, la solucin homognea tiene la forma general:

Donde y , son las constantes arbitrarias habituales que dependen de las condiciones de borde (inciales en nuestro caso), y son las races caractersticas.

El parmetro r es lo que se denomina modulo o valor absoluto del numero complejo, y w representa lo que se denomina frecuencia angular y define el numero de ciclos por unidad de tiempo, es decir, la inversa del periodo. La frecuencia mide en radianes e indica el numero de ciclos que hay por unidad de tiempo.Para poder explicar un proceso AR(2)En este caso, la representacin es la siguiente:

Media:

Varianza:

Autocorrelacin:

En general, se tendr que Utilizando el operador de retardo L, podemos establecer de otro modo la condicin de estacionariedad:

Para que el proceso AR(2) sea estacionario la raz del operador polinomial debe caer fuera del circulo unitario, es decir:

Sea y . Si y entonces y adems .

Las races sern iguales solo si , en este caso, . Luego si , dado que , el modelo resultante es estacionario puesto con .

Por otro lado, las races sern reales y diferentes si , entonces , puede demostrarse que si y , entonces:

Grficamente, se tiene:

PREGUNTA 5

Resolver la siguiente ecuacin considerando todos los pasos inmersos en Hamilton.

Solucin:

Para:

Se tiene:

Por tanto:

En tanto:

Entonces:

En cuanto a: