TALLER – EXAMEN PARCIAL

2015 – 02

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS – FC

COLLEGE ALGEBRA - FIA

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

1. Las siguientes proposiciones son verdaderas. Redacte la justificación de cada una de ellas,

usando los conceptos estudiados en clase.

a) El vértice de la cónica de ecuación (2𝑥 −1

2)

2= 4(𝑦 + 2) tiene coordenadas (

1

4; −2).

b) Si φ(x) = √x2 − 2x4

, entonces 𝑑𝑜𝑚 𝜑 = [0; 2].

c) Podemos afirmar que 5 es el mínimo de 𝑔(𝑥) =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 3.

2. La figura representa gráfica de una función 𝑓:

a) Calcule 𝐸 = √𝑓(−1) − 9𝑓(2) + 8𝑓(−3)

.

b) Determine el dominio y rango de 𝑓 . c) Los intervalos de monotonía.

3. Complete los espacios en blanco, con la información de las gráficas.

a. Si ℎ una función impar,

entonces 𝑓(−3) = ______.

b. Si ℎ(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, entonces

𝑎 = ________. c. El número de valores de x tal que

𝑓(𝑥) = 1.5 es _____.

d. Los valores de x tal que 𝑓(𝑥) < 0 es

__________.

e. El dominio de 𝑔 es _____________ ,

el rango es ____________ y 𝑔(1)=____. f. Los intervalos de monotonía de g son

_______________________________.

1

𝒈

4. Determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones. Justifique sus respuestas.

a) El vértice de la parábola 𝑥2 + 4𝑥 − 4𝑦 = 0 tiene coordenadas (2,1).

b) Los focos de la elipse de ecuación 𝑥2

25+

𝑦2

9= 1 son 𝐹1(−4,0) y 𝐹2(4,0).

c) Las funciones pares tienen gráficas que son simétricas con respecto al origen.

d) La gráfica de 𝑦 = 𝑓(−𝑥) es la reflexión con respecto al eje 𝑦 de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥).

5. Considere la siguiente gráfica que corresponde a la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), y use la información de la

tabla para completar los espacios en blanco de modo que las proposiciones sean verdaderas.

La función 𝑓 es ……………………………….. en los intervalos ]−6; −2[ ; ]0; 2[ y ]4; 6[ y es

negativa en los intervalos……………………………………. El dominio de la función

es……………………………y su rango……………………………….

decreciente [−6; −4[ y ]−2; 2[ [−2; 6] − {3} [−6; 2] ∪ ]3; 6] [−2; 6] [−6; 6] creciente positiva

Tabla

6. Determine el valor de verdad (V) o (F), de cada una de las siguientes proposiciones. Justifique

cada una de sus respuestas

a) Toda función cuadrática tiene al menos un cero.

b) El rango de la función 𝑓(𝑥) = −2|𝑥 − 1| + 3, 𝑥 ∈] − 1; 2[ , es 𝑅𝑎𝑛(𝑓) =] − 1,1[

c) La función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 2) es positiva en el intervalo ] −2; +∞[

d) El dominio de la función racional 𝑓(𝑥) = 𝑘 +𝑎

𝑥−ℎ es ℝ.

7. Grafique una elipse con las siguientes características:

- Tiene su centro en el punto (−4; −3).

- Uno de sus vértices está en el punto de coordenadas (1; −3)

- La longitud de cada lado recto es 4 𝑐𝑚.

8. En el cuadernillo, indique el valor de verdad (V o F) para cada una de las siguientes proposiciones.

En cada caso justifique sus respuestas.

a) La función definida por 2( ) 2xf x e es decreciente en su dominio.

b) La función definida por ( ) 6 2 4f x x tiene como vértice el punto ( 3;4)

c) La función definida por 2 3

( )3 6

xf x

x

tiene como asíntota horizontal la recta 2y

d) La función definida por ( ) 3 3 2f x x tiene como vértice el punto ( 1; 2)

9. En el siguiente plano cartesiano se muestra parte de la gráfica de una función par.

De acuerdo a esto efectúe lo siguiente:

a) En un plano cartesiano muestre la gráfica de 𝑓.

b) Determine el dominio y rango de 𝑓.

c) Determine el conjunto solución de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0.

d) Determine el conjunto solución de la inecuación 𝑓(𝑥) < 0.

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

10. Se va a tender un cable desde una planta eléctrica ubicada a un lado de un río de 800 𝑚 de ancho

hasta una fábrica que se encuentra al otro lado, 2 000 𝑚 río arriba de la planta. El costo de tender

el cable por debajo del agua es 5 000 dólares por kilómetro y sobre tierra es de 3 000 dólares por

kilómetro. El cable seguirá la orilla del río a partir de la planta una distancia de 𝑥 kilómetros y luego

cruzará diagonalmente el río en línea recta directamente hasta la fábrica. Suponga que el río tiene

orillas paralelas.

a) Represente de manera gráfica la situación problemática descrita.

b) Modele la función de 𝑥 que permite determinar el costo total del tendido del cable. Indique

claramente el dominio de la función

c) Interprete el valor de la función si 𝑥 = 1400 metros.

11. Un granjero tiene 240 pies de cerca para construir dos corrales rectangulares idénticos, con un

lado en común y con la parte larga de la granja como un lado de los corrales (véase la figura).

a) Modele el área total 𝐴(𝑥) delimitada por ambos corrales como una función de 𝑥.

b) Determine el domino de la función 𝐴.

12. La empresa inmobiliaria ELMER SA, compra un edificio en $ 50 000 que se deprecia $ 2 00 por un

año durante un periodo de 25 años mediante una depreciación lineal.

a) Modele una función lineal que proporcione el valor del edificio en términos de los años 𝑡

posterior a la compra.

b) Determine el dominio de la función del ítem a)

c) Calcule en cuántos años el valor del edificio será de $ 24 500.

13. La siguiente gráfica representa una función racional de la forma 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+𝑏

𝑚𝑥+𝑛.

a) Determine su dominio y rango de 𝑓.

b) Modele la regla de correspondencia de la siguiente función racional.

14. Calcule el mínimo y máximo valor de las funciones definida por:

I. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 2.

II. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 12

III. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 4 𝑥 ∈ [−1; 1]. IV. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 + 5, 𝑥 ∈ [−2; 5].

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

15. Una piedra lanzada desde piso, hacia arriba con una velocidad inicial de 128 pies por segundo,

alcanza una altura de ℎ(𝑡) pies en 𝑡 segundos, donde: ℎ(𝑡) = 128𝑡 − 16𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8. Según esto

efectué lo siguiente:

a) Calcule el tiempo que debe transcurrir para que la piedra pueda golpear el piso.

b) Luego de bosquejar ℎ, calcule el valor de 𝑡 cuando la piedra alcanza la altura máxima.

16. Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo y el comportamiento está representado por la

expresión 𝑦 = 𝐴 𝑒−0.2𝑡 , en la que 𝑦 es la cantidad de sustancia después de 𝑡 años.

a) Si la cantidad inicial es 80 gramos, Calcule el valor de 𝐴.

b) ¿Qué cantidad quedará después de 3 años?

17. De la figura 𝑓 es una función cuadrática con dominio restringido en 𝑥 ∈] − ∞; 2[ y 𝑔 es un función

racional 𝑔(𝑥) = 𝑘 +𝑎

𝑥−ℎ con dominio restringido en 𝑥 ∈] 2; ∞ [. Calcule 𝑎 + ℎ + 𝑘.

18. La ganancia de una empresa puede representarse mediante la expresión:

𝑮(𝒑) = 𝟒𝟎𝟓𝟎 − 𝟐(𝒑 − 𝟗𝟎)𝟐 Soles, 𝑝 es la cantidad de horas de trabajo.

De acuerdo a esto:

a) Grafique la función ganancia.

b) Calcule la cantidad de horas se debe emplear para obtener la máxima ganancia.

c) Calcule la ganancia máxima.

19. Un investigador durante los primeros 10 minutos de un experimento destinado a estudiar el

crecimiento de bacterias, recolectó los siguientes datos:

Minutos 0 10

N° de bacterias 5000 8000

Suponiendo que el número de bacterias crece exponencialmente, calcule.

a) El número de bacterias que habrá después de 20 minutos

b) El número de bacterias que habrá después de 30 minutos

20. El número de estudiantes infectados con gripe en un centro educativo después de t días se modela

mediante la función

𝑃(𝑡) =800

1 + 49𝑒−0,2𝑡

a) Determine el número inicial de alumnos infectados.

b) Por medidas de seguridad, la escuela se cerrará cuando 300 de los 800 estudiantes estén

infectados. ¿Cuándo se cerrará el centro educativo?

21. Al lado de un rio, de riveras totalmente rectas y paralelas, se desea cercar un terreno tal como lo

indica la figura. Si se cuenta con 120 metros de cerca, se pide:

a) Modele una expresión en términos de 𝒙.para el área del terreno.

b) Grafique dicha expresión.

c) ¿Para qué valores de 𝒙 el área es máxima?.