GRADO ECONOMIA CALCULO FEBRERO2010 (1 ' Semana)

CUESTIONES

l_3frn3l) a) Obtener: lim nfT7n

I _ 3 n2-3 .1Sorución:'¡*E: ;is E: lrrg +#+: l'r* "' -11'#-z -7n 7¡T

,3n3n23'-

-:J -'-

= -J

,313L---T- # - n,: limn+@

n5 'n5 n5 _r.

----

- ttlll

n4 n3-----; -r ----=n> n)

i?'jü I Inn2

b) Desarrolle el concepto de discontinuidad evitable y poner un ejemplo ilustrativo.

2) a) Formule la expresión de la fórmula de Taylor y explicar brevemente el concepto de términinocomplementaúo T,(x) .

b) Obtener el valor del área comprendida entre las siguientes funciones: y : t " r: x a lo largo

del eje X.

Solución: x22

:x-x:0,x:2

o: I:Q- +)a.:l+ - +)',- 2- + : ?

PROBLEMAS

f 3xe-3, si x < o1) Dada la función: f(ü : 1 3* = si x > 0t I +3x2a) ¿Es derivable en x : 0?.

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento y la concavidad/convexidad en el entorno de x : l.c) Calcular los extremos relativos y puntos de inflexión.

Solución:

(1 + 1)3

Máximoenr : !, y,1r¡ : t!*', 1!i : 0=> 54x(x2- t) : 0- x : Q, ;s : +l\ / (l +3x2;-Puntos de Inflexión en.r : 0 vx : +1

2) Obtener los extremos relativos de: z:3x2-xy+3y2, sujeta a la restricción x+y:16,utilizando para ello el método de los multiplicadores de Lagrange.

Solución: L(*,y;A) : 3x2 - xy + 3y2 + L(16 - x - y)

l: _1

: _1

a),fi(o-): f,g tu-+tu : l#r# : Hs 4 : t,

-rt(o.): L,+ rua+N:

l,g +: fE TlfF :3 fes derivabre enx : 0.

b)f (x) : i}$f ,.fi(r) : # < 0 fes decreciente enx : 1

ft(x) - -18x(l+3x2)2 -2(l+3t)'6x(3-gxz) : 54x3 -5,!{ ,-fit(r):0, punto de Inflexión(l + 3x2)a (l +:x- ¡enx: 1

f tr-t,rL - 3x) si x < oc),f("):l 3-9x2= si x>0 3e-3,(l-3x):0=+x:

t (t + 3x2)'É (-m,0)

. I -54. Ir; t;VJ J Ji#: o- 3-ex2: o- . : t,r,(t) :

IaJ

IJ

54.<0

+:6x-v-1:odx

4-:-x+6v-1:ooy

x+Y: 16

44:u-lox- I agI -=-

4:6 L oxav' ( asa2L,l6rtdxoy )

)":6x-y: -x+6y=x:y:8

0-1-1-1 6-l-1-1 6

¡(8,8) : < 0 Mínimo en (8,8)

cRADo EcoNoMin cÁLculo FEBRERo2010 (2^ Semana)

CUESTIONES

1) a) Obtener:

Solución:

m4+;

b) Desanolle el concepto de límite lateral (derecha e izquierda).

2) a) Obtener la fórmula de Maclaurin a partir de la de Taylor.

b) Desarrolle el concepto de función homogénea y poner un ejemplo.

PROBLEMASl) Estudiar la continuidad y derivabilidad en los puntos ro : 0 y xl : I de la función:

( zrnn* six<ot-/(x):{ xe, si 0<x<l

| ,u' six>l\

Solución: f(0) : 0 : lipZsera : jitttu- / es continus onx : 0.,

f(1):2e:ligÍ_2e* + !i1¡lxe": e f noescontinuaenr: 1, portantonoesderivable.

( 2cosx six<oI

"fl(x):1 e'(l+x) si 0 <¡< I "ltp-):2+.ltpt):l f noesderivableenx:0.I

t 2e' si x>l

2) Obtenerlosextremosrelativos de'.2: x2 +2y2,sujetaalarestricción x2 -2x+y2: l,utilizandopaar ello el método de los multiplicadores de Lagrange.

Solución: L(x,Y;h) : x'+2Y2 + L(\ -x2 +2x-Y2)

-0-Y:0,)':2

,¡s49: 11¡B "oln) : o

primera obtenemos: 2x-4x+4:0 =+x:2, y:ll P1(2,1)

jx:ltJ' P¡(l +JT,O) L:r*+, r+(t-J7,0)J2

I

2y(2 - L)

la

0

* :2x -2)x+ Z,t : O I# :4y-2Ly: o tx2-2xly2:l )

1) Si 1 : 2, sustituyendo en

,P2(2,-l)2) Si !:0, x2 -2x - I :

L:l-!JZ

6^'4 : 2 -2hox'a='+ : 4-2Loy'

o'L :noxfu

% : -?:c +2ox

%=-.2,oy

0 z-bc -2y2-2x 2-2L 0

-2y 0 4 -21

IJu=

-2-20

-2-20

H12,r¡:

H72,-t¡:

H(r + J7,o) :

> 0 Máximoen P1(2,1)

> 0 Máximo en Pz(2,-l)

-2JZ_2

JZ

0 2-

zJT O

< 0 Mínimo en P3(l + 8,0)

< 0 Mínimo en P4 (t - J2,O)

0

-2-2

0

-22

-20

0

2

0

0

0

-¡ li

0

0

0

aLE

-H(r - JT,o) : zJzfr o

0 ,*t

t,

GRADO ECONOMIA CALCULOSEPTIEMBRE 2O1O

CUESTIONES

l) a) Calcular el siguiente límite: y+É#, aplicando la regla de L'Hopital.

sorución: y+ry: I'T ax{ | : 5

b) Enunciar el concepto de discontinuidad evitable de primera y segunda especie.

2) a) Exponer brevemente el método de obtención de las "Ecuaciones Normales" en el ajuste

Mínimo Cuadrático de una función.

b) Calcular la integral: I ffi

sorución: Iffi: I#*: ln(lnr)+c

PROBLEMAS

-n(0) : r#re+Kr : lg + l,!s,,n' : r,1T # n

\ Oz,L'HoPtal)

Q) r:+ /esderivableenx:0.

2) Obtener los extremos relativos de; z = x3 + xy2,sujeta a la restricción xy - a2 : 0, siendo

auna cosntante, utilizando para ello el método de los multiplicadores de Lagrange.

Solución: L(x,y;A) : *t + xy2 + )'(a2 - xy)

1) Estudiar la continuidad y derivabilidad para los distintos valores de a en xo : 0 de la(

";n'six+osiguiente función: JV) : {I a si x:0

Solución: ;(0): a, lim r-ttx2 - 0: a,/escontinuaenr:0, si a:0

+:3x2+v2-,tv:o )oxl* =2xy-Lrc:0 I *Qy-I):0-.r = 0nopuedeser,yaque0: a2 h =2yoyl

x!: a2 )Sustituyendoenlaprimeraobtenemos: 3x2 +y2 -2y, :0- 3x2 : y2 y: tJTxxy - x. JTx = JTx2 - a2 - x: fr,!: lTa, p(ft,{Td,rr({,_{To)

}rL : "_^aOx'

gL:2v-Loxoy

Mínimo en P(ft.,{Ta)

F=-, 1 H(2F:-* t '-ft'{Ta)=dy

-)

0 -!Ta - 4:/7

a

-4/3a -oa- o+lt

-a n 2atlz tlT

Pz(ft.'- {T a)

<0

¡iltfr,- {T a) :o -!To

-{Ta 6a.lt-+o!3

> 0 M¿áximo en

atlT'0

2alT

tt

GRADO ECONOMIA CALCULOSEPTTEMBRE 2010 (RESERVA)

CUESTIONES

l) a) Deducir de forma breve y concisa el teorema de Cauchy.

b) Hallar la elasticidad de la función ! : e3n donde v es una función de x.

Solución: Ey : *. f : 3e3'.v/(x). fr : 31s.vt(x)

2) a) Desanollar brevemente el teorema de Euler para funciones homogéneas.

b) Calcular la integral ! xsen2x dx

! *,,n * * : I.. (l-:@)a. : t I.* - + 1,. cos(2x)dx :Solución:

: ++ - !!sen12r) * + t sen(2x)dx : I*' - lxsen(2x) - + gfL * c

u:x du=dx(l ) sen(2x\dv: cos(2x)dx v: T

PROBLEMAS

l) Dada la función: ! : x2e-*

a) ¿Es fix) derivable en el origen?.

b) Estudiar los intervalos de crecimiento.c) Analizar la concavidad y convexidad

Sorución: a)-fi(o): I'lf re-TM:

l'$ tr# :

f;!th"-' : 0, f es derivable en

x: 0..

b)1@) : 2xe-" - x2e-* : xe-'(2- x) : 0 - ¡ : 0, x : 2

x (-*,0) (0,2) (2,+co)

.f (x) <0 >0 <0

-f(x) Decreciente Creciente Decreciente

x (-*,2 - JZ) (z- J7,z+,t/) (z + ,[1,+*)

.f t(x) >0 <0 >0

.f(x) Convexa Cóncava Convexa

c)-fl'(x) : 2e-' - Zxe-' - 2xe-' + x2e-* - s-x7)c2 - 4x + 2) : 0 - x : 2 t J,

2)Hallarlos máximos y mínimos de. z : x 1- !sujeta a: x2 - y2 : 25

Solución: L(",y;L): x+y+ )"(25 -x2 +y2)

O=L ::-D.x:0 -l

oxl+: l+D,y:0 | l': +: -+ = y: -x, sustituyendoenlaterceraobtenemos: 0:25oyl-^L)

x2-Y1:25 )Absurdo, por tanto el problema no tiene solución.

tt

GRADO ECONOMIA CALCULOSEPTTEMBRE 2010 (RESERVA)

CUESTIONES

l) a) Deducir de forma breve y concisa el teorema de Cauchy.

b) Hallar la elasticidad de la función ! : e3u donde v es una función de x.

Solución: Ey: #. f :3e3n.vt(x). ft:3v-vt(x)

2) a) Desarrollar brevemente el teorema de Euler para funciones homogéneas.

b) Calcular la integral !xsen2x dx

sorución: !rr"n'**: l*. (f-+@))a.: t I.*- + I-.cos(2x)dx::

+ + - ! fsenlzx) + | t sen(2x)dx : t*' - !xsen(2x) - +e:f) * c

u: x du: dx(l )

dv:cos(2x)d,x r:XP

PROBLEMAS

l) Dada la función: y : ¡2t-xa) ¿Es flx) derivable en el origen?.

b) Estudiar los intervalos de crecimiento.

c) Analizar la concavidad y convexidad

Solución: a)f Q): lt$ : ftg

trf : li^hr-' : 0, f es derivable en

x:0..b)f(x) : 2xe-' -x2e-' : xe-'(2 - x) : 0 - x : 0, x : 2

x (-*,0) (0,2) (2,+a)

"f (x) <0 >0 <0

f(x) Decreciente Creciente Decreciente

x (-*,2 - Jr) (z- Ji,z+ JT) (z + J7,+*)f t(x) >0 <0 >0

f(x) Convexa Cóncava Convexa

c)l'(x) : 2e-' - 2xe-* - 2xe-' + x2e-' : e-"(x2 - 4x + 2) : 0 - x : 2 t JZ

2)Hallarlos máximos y mínimos de. z : x * lsujeta a: x2 - y2 : 25

Solución: L(*,y;L): *+y+ )'(25 -x2 +y2)

+:t-z^x:o-ldxl+: l+2Ly:0 | l': +: -+ - y: -x, sustituyendoenlaterceraobtenemos: 0:25dyIL^L!

x2-Y2:25 )Absurdo, por tanto el problema no tiene solución.

GRADO ECONOMIA CALCULO FEBRERO2011 (1 " SEMANA)

CUESTIONES

l) a) Concepto de concavidad y convexidad de una función y : f(x), ¿Cuándo es cóncava? , ¿Yconvexa?.

b) ¿Qué condición o condiciones se debnn de cumplir para que la función y : f(x) sea continua enx : xo?.

2) a) Dada la función .f(x) : * -ú, obtener la función inversa .l't(x). ¿Cómo son las gráficas de

f(x) y f'(x).

Sotución: y : :+ - xy-2y : x-l - . : 7=t -.f-t(*) : ++Las gráficas defix) y ft (x) son simétricas con respecto del origen.

b) Dada una función de producción de Cob-Douglas X : AKo Lf, explicar brevemente los conceptosde productividades marginales de capital y trabajo.

PROBLEMAS

f ++ (x,v) + (o,o)l) a) Estudiar la continuidad de la función: ¡f*,y) : 1

2x¿ + 3y¿ \ 'J ' \ /

t 0 (*,y):(0,0)b) ¿Es derivable?.

sorución: m(tm ##) = t . l,g3(t{il ffi) : -t / no es continua en (0,

tanto no es derivable.

2)Hallar losmáximosymínimosde z: x-!, sujeto a x2 +y2 :9

Solución: L(x,y;1) : x-y+ L(9 -x2 -y2)

*:t-2Lx:o l#:-t-D"y:o l-

x2 +y2 :9 )

n(t,-il^:+

L:

' Pr(

I _ I _..E_ T''..\

-J J I,}

J'' JZ

: -x;. 2x2 :9 - x: t-LJZ

JZ-6

-2y0

-2L

> 0 Máximo en Pr

0 -2x

-2x -21

-2v o

qL:-2r -l

ox' I 4f_--r-lo=r*:_21 i a1 - I,L:, I E:_,Y Jaxoy )

6t-1lL

0

JZ

-6tc

_J'J

-66

0

aJ

0

6ñaJ

0

H(x,y):

(t-t)0

-6J'6

,T'

0

6tl

-6J'

"(t,-t):

"(É,il: < o Mínim oenPz(t i)

,t

GRADO ECONOMIA CALGULOSEPTIEMBRE 2011

CUESTIONES

1) Aplicando la definición de derivada en un punto, calcular la derivada de la siguiente función en elpunto xo : l, f(x) : -2x2 + 7

sorución: fy):t^:+f@4e:lg :l'g#: I\?zn - 4) : -4

2)¿Paraquépuntosdelacurvareallafuncióng(x)noescontinua2,g(x)__-+

Solución: g es discintinua en los puntos x:0,x: I,x: -2 y x:2, ya que en esos puntos

función, no está definida.

3) Derivar la siguiente tunción: f(x) : t" ( #t )

sorución f(x) : h(#r) : r-r"e(Eólr) : r+ log(cosx),

=.fl(x):l-ffi:r-:p¡nx

Determinar y esbozar el dominio de definición de la fiinció: h( s',x,!): ffir_2' +l

Solución: Dom(f): {(*,y) e R2/ x+y-2 r 0>

PROBLEMAS

( *:2t+4l) Calcular la diferenci al #de la función compuest a: w : #-, aonO.

I , : srt

t z:e'

,/x\Sorución: w+ y ---.+t #:*.#.#.ff*ff.#:

\z\- 4yz(x2 +y - z) -2{. 4xyz . " *

4xz(x2 +y - z) --4xyz . l5t2 - 4xy(x2 +y - z) +-4xyz . et :(x2+y-z)' (xz+y-z)' (xz+y-z¡"

_ -4x2yz+4y22-_4y22 .2¡ 4x3z-4x22_ .15t2* 4x3y+4xy2_ .et:(x2+y-z)2 (x2+y-z)2 (x2+y-z)2

_ 8l-(2t+4)2.5t2 +(5t2)2e'-5t2e2'f * 60t21(2t+4)te, -(2t+4)e2tf *- - 1_rr*t**¡ -

+e'lQt + q3 st2 + (2t + 4)(5t2)2 f(-t'+16+l6t)2

2)Dadala siguiente ecuación: ln(x2y) + z - sen2(z) + 5y * x : 4

a) Expresar la ecuación de la forma F(x,y,z) : 0, luego verificar si F(xo,yo,zo : 0 se satisface parael punto P6(-1,1,0)b) Calcular las derivadas parciales Ft,,Fty,Fl" y evaluar si son continuas en Ps.

c) Calcular, si es posible, las derivadas parciales de z : "f(x,y) en el punto P6.

Solución: a) F(x,y,z) : ln(x2y) + z - sen2(z) + 5y + x - 4, F(-1,1,0) : 0, se cumple.

b)Fr,: !*l,Ftx(-1,1,0): -2+l: -l , Fty: l*t ,Fty(-1,1,0): I +5:6,Ft" : | -2sen(z)cos(z), Ft"(-1,1,0) : 1, son continuas enP6.

c) Derivamos con respecto de x y dey + . K - 2sen(z)cos(z)'

a@ *l : 0 I

+ . & -2sen(z)cos(z) . & .5 : o J -

-z*f,r-1,1,0)+r : o I *r-t,r,o¡ : 1

>J

t+$¡t,l,o)+5:o I {r-t,l,o):-6oy' ) oy

tt

GRADO ECONOMIA CALCULOSEPTTEMBRE 2011 (RESERVA)

CUESTIONESl) Resolver el siguiente límite: ,l]g,x(ln(l + x) - lnx)

solución: ,llgr,x(ln(l +r) - lnx) : ,r!g,xrn($¿) : ,lig, h(+-¿)' :: ln lim ( l+: )': ln": I

x+oJ\ i )

2) Derivar: g(x) : 4x3-senx+2

gl(x) : 4x3-senx+2 . (3x2 - cos.r) . log4

3) Derivar: h(x): hf -li'=

)"'\ sec.r /

Solución f(x) : t"($-) : r- t"e("*l;) : "+ log(cosx),

+1@)-l-ffi:L-tanx

4) Determinar y esbozar las curvas de nivel paru z: -l,z:0,2: l,z:2 de la superficie:z: x2 +y2

Solución: Las curvas de nivel, son circunferencias de centro (0,0) y radio J7, con z ) 0, porno existe curva de nivel para z : -1. Para z : 0, tenemos que la curva de nivel es el punto (0,0).

PROBLEMAS

e)

P(

v

1) Hallar

Solución

^7o-z_:

^)o-zdú

2)Hallar

Solución

y clasificar los extremos relativos de la función: z : x2 + xy + yz + 5x

Oz.-)Ar*:2x+y+5:0 I U+v:_S I, ;;_-., !== -l-p(7,6:x+Zy-tt:0 )

x+2Y:tt )')- uz¿:á7

, lzt I

: t óz t(-7'9):l 1 2l to =' Mínimoenelpunto

tt

los extremos condicionados de la función: f(x,y) : 4*y, sujeto a x +

y - 6 - x - f(x) : 4x(6-x) : 24x - 4x2, ¡t7x¡ : 24 - 8x

lly + 47

-7,9)

:6

0-x:3f t(x) : -8 < 0 = Máximo condicionado en el punto P(3,3).