ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 21 – 07 – 2012

Nº 03 – TRIÁNGULOS

I. TRIANGULOS:Se denomina triángulo a una región del plano limitada portres rectas que se cortan dos a dos.

B

CAB1

B2

B3

1

2

3

En general el triángulo se denota como: ABC.

II. ELEMENTOSLos elementos de un triángulo son:

Vértices: Son los extremos comunes A, B, C de lossegmentos rectilíneos que forman el triángulo ABC.

Lados: Son los segmentos ACyBC,AB limitados por los

vértices A, B y C. Angulos interiores: (1, 2, 3) son los ángulos formados por

dos lados y el vértice común. Angulos exteriores: Son los ángulos que se forman mediante

un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente(1, 2, 3).

III. PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN ELTRIANGULO, ANGULOS FORMADOS PORLINEAS NOTABLES.

1. Suma de los ángulos interiores:

A

B

C

180

2. Medida de un ángulo exterior:

A

B

C

x°

z°

y°

zyx

2.1. COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo.

x°

x

3. Desigualdad de longitudes de sus lados.

A

B

Cb

c a

abcabcabcacbaab

4. Relación de Lado - Angulo

A

B

Cb

c a

cab:si

5. “P” un punto interior cualquiera:

A

B

Cb

c ax

y z

)p2(zyxp:si

donde: (2p) : perímetrop : semiperímetro

01. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSUn triángulo es congruente con otro, si y sólo sí,existe una correspondencia entre sus vértices demodo que sus lados y ángulos sean respectivamentecongruentes con los lados y ángulos del otro. Segúnesto se tiene:

yDFACEFBCDEAB

DEFABC

FCEBDA

La notación: ∆ABC ∆DEF, se lee: triángulo ABC escongruente con el triángulo DEF.

OBSERVACIONES:

En el lenguaje corriente se dice que dos figuras son

congruentes si tienen exactamente la misma forma e

igual tamaño.

Al nombrar triángulos congruentes asegure hacerlo en

el orden correcto, lo que permitirá identificar lados

correspondientes y ángulos correspondientes sin

necesidad de mirar las figuras. Por ejemplo, cuando

escribimos: ∆ABC ∆DEF, queremos decir que:

DEAB EFBC DFAC

A D A D A D

02. CRITERIOS DE CONGRUENCIA

Son las condiciones mínimas para que dos triángulos sean

congruentes.

Primer Caso- LAL (Lado- ángulo- lado)

Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes dos

lados y el ángulo comprendido, entonces dichos triángulos

son congruentes

Segundo Caso – ALA (ángulo – lado- ángulo)Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes un

lado y los ángulos adyacentes a este lado, entonces dichos

triángulos son congruentes.

Tercer Caso LLL (Lado- Lado – Lado)

Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes sus tres

lados, entonces dichos triángulos son congruentes

Cuarto Caso ALL (Ángulo - Lado- Lado)

Si dos triángulos tienen respectivamente congruentes

dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es

respectivamente congruente, entonces dichos

triángulos son congruentes.

OBSERVACION:

Si dos triángulos son congruentes se cumplirá que a loslados iguales se oponen ángulos iguales, a la vez que aángulos iguales se opondrán lados iguales.

ABCDEF

ABCDEF

ABCDEF

Práctica de clase

Existencia y unicidad

01. Sean dos triángulos obtusángulos ABC y ADC, con susángulos obtusos en A y C. Si AD + BC = 10u y AC= 2u. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la suma de las

longitudes de AB y CD ?

a) sólo un valor b) 2 valoresc) 3 valores d) más de 3 valorese) ningún valor entero

02. En un triángulo ABC, si m A 4m C . Calcular elmayor valor entero de BC, si AB = 2u.

a) 3u b) 4u c) 5ud) 7u e) 9u

03. Si en un triángulo PQR, PQ+QR=30 cm y PR=20 cm,

entonces el menor valor entero que puede tomar la ceviana

QM , en cm, es:

[UNT – 11 – I]a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

04. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Si desde

el punto A se traza la bisectriz interior que divide al cateto

opuesto en segmentos de 3 y 5 unidades respectivamente,

entonces el valor de su hipotenusa, es:

[Excel – 11 – II]

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

05. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, recto

en B, se construye exteriormente el triángulo equilátero

BCD. Si P, Q y R son puntos medios de AD, BD y BC

respectivamente, la medida del ángulo PQR, en grados

sexagesimal, es:

[Excel – 11 – II]

a) 20º b) 30º c) 37º

d) 45º e) 60º

06. En un terreno triangular sus vértices son señalados por A, B

y C. Las medidas de sus lados son AB=24m; BC=16m y

AC=20m. Si desde el vértice B se trazan la bisectriz interior

BM y la bisectriz exterior BE, (E en la prolongación de AC),

entonces la distancia de M a E, es:

[Excel – 11 – II]

a) 52 m. b) 51 m. c) 50 m.

d) 49 m. e) 48 m.

07. Hallar el mayor valor entero de “x”, en la figura adjunta.

a) 19 b) 21 c) 25d) 27 e) 29

08. En la figura mostrada, si: BD = 4 y BC = 6, hallar AD.

a) 10 b) 9 c) 12d) 13 e) 8

09. En la figura, halle el menor valor entero de AD

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. En el triángulo ABC, AB = 8, se traza la bisectriz BD , A

= 2.B, la medida de AD , cuando BC toma su valor

máximo es:

[UNT – 10 – II]a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

11. Del gráfico obtener “x” si KH toma su mínimo valor entero.

a) 65º b) 66º c) 67ºd) 68º e) 72º

Ángulo12. El ángulo BID es congruente con:

a)BAC b) ICE c) EICd) DIE e) IBC

Isósceles

13. Halle “x” en la figura siguiente:

a) 12º b) 15º c) 16ºd) 18º e) 20º

Ángulos notables

14. En la figura siguiente, halle ”x”

a) 10º b) 15º c) 18ºd) 20º e) 30º

15. En la figura, halle “x”

a) 7,5º b) 15º c) 22,5

d) 30º e) 36º

16. En la figura siguiente, halle ”x”

a) 20º b) 24º c) 30º

d) 36º e) 40º

Congruencia

17. Del gráfico hallar “x”

a) 15º b) 18º c) 22º 30’

d) 30º e) 10º

18. Calcular “x”

a) 10º b) 12º c) 15ºd) 18º e) 22º30’

19. En el gráfico, AC = 2 (BP), calcule mBCP.

a) 30º b) 40º c) 18ºd) 45º e) 37º

20. Si MN = NP, halle “x”

a) 72º b) 75º c) 80º

d) 84º e) 90º

21. En la figura, halle la mC

a) 60º b) 72º c) 84ºd) 90º e) 100º

22. Halle “x” en:

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

23. Calcular “x”

a) 9º b) 10º c) 12º

d) 15º e) 18º

24. En el gráfico, AB = PC. Calcular “ACB”

a) 20º b) 24º c) 25º d) 30º e) 37º

25. En el gráfico, halle “x”

a) 72º b) 75º c) 80ºd) 84º e) 90º

26. En el gráfico, halle “x”

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

27. Halle el valor de “x” en:

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

28. Si M es punto medio de BC, halle el valor de “x” en:

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

29. Halle el valor de “x” en:

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

30. Halle el valor de “x”

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

TAREA DOMICILIARIA

01. En un triángulo ABC, m A 2m C ; AB = 2.Calcular BC, si se sabe que es entero.

a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

02. Los lado AB y BC de un triángulo ABC miden 4cm y 6cm

respectivamente. Sobre el lado AC se construye eltriángulo equilátero AFC, exterior al triángulo ABC, hallar elmayor valor entero del perímetro del triángulo AFC.

a) 21u b) 24u c) 27ud) 29u e) 30u

03. En un triángulo ABC. Si BC = 7.AB y AC = 48. Hallar elvalor entero de AB.

a) 5u b) 6u c) 9ud) 8u e) 7u

04. Las longitudes de los lados de un triángulo están enprogresión aritmética de razón 5. Hallar el mínimo valorentero que puede asumir el perímetro de dicho triángulo.

a) 30u b) 31u c) 29ud) 33u e) 32u

05. Se tiene un triángulo tal que dos de sus lados miden 9 y 18.Un posible valor del perímetro del triángulo es:

a) 45u b) 36u c) 18ud) 32u e) dos respuestas

06. En la figura, si AC = 5u,, BD = 7u y AB = 16u.Hallar el mayor valor entero de CD.

A

CB

D

a) 26u b) 5u c) 6ud) 27u e) 30u

07. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, si AC= 10 y BC = 2. Hallar AB, si su valor es entero.

a) 8u b) 9u c) 10ud) 11u e) 12u

08. En un triángulo ABC, m A 60º ;m C 10º , sean los punto M AC y Q BC de

modo que AB = BQ = AM.Calcule m QMC .

a) 30º b) 35º c) 45ºd) 55º e) 70º

09. En la figura: AD = AB + BC y BC = CDHalle x.

70ºA

B

C

D

x

60º

a) 100º b) 120º c) 130ºd) 135º e) 140º

10. En un triángulo ABC, m ACB 30º ;

m ABC 105º , sea M punto medio de BC . Calculem MAC .

a) 15º b) 20º c) 30ºd) 45º/2 e) 18º

11. En un triángulo ABC, en AB y AC se ubicanE y D respectivamente. Si m EAD 20º ; m AED 40º yED = DC = BC, calcule m B

a) 20º b) 40º c) 60ºd) 80º e) 100º

12. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza labisectriz interior AD , la mediatriz de CD interseca a AC ya la prolongación de AD en P y Q respectivamente. Si BD= PC, calcule m AQP .

a) 452

b) 30 c) 25

d) 37 e) 53

13. Exteriormente y relativo al cateto BC deltriángulo rectángulo ABC, se ubica D, tal que:m ADC m ABC 90 Si m CAD 15 y

m BCD 15 . Calcule la razón entre AB y la distancia deD hacia

AB .

a) 3 b) 2 c) 2 3d) 2 e) 3

14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, enAB y AC se ubican los puntos N y M respectivamente, talque m NMA 90 y los triángulos NMA y NBC soncongruentes, calcule m NCM .

a) 36 b) 30 c) 37d) 45 e) 50

15. En el triángulo ABC, la mediatriz de BCinterseca a AC en Q, tal que:

AB = 2(QC) y m ACB 45 . Calcule m BAC

a) 20 b) 25 c) 37d) 30 e) 36

16. En el triángulo ABC, obtuso en B se cumple m BAC 8 y AB 5 BC . Calcule m BCA .

a) 45 b) 53 c) 37d) 30 e) 36

17. En la figura AC = BD, halle el valor de

a) 32º b) 38º c) 40ºd) 42º e) 48º

18. En la figura AD = BC, halle el valor de

a) 42º b) 48º c) 50ºd) 52º e) 60º

19. Calcular “x”

a) 15º b) 22º c) 25ºd) 30º e) 45º

20. Calcular “x”

a) 9º b) 10º c) 12º

d) 15º e) 18º

21. L es mediatriz de BC, luego el valor de “x” es:

a) 10º b) 15º c) 18º

d) 20º e) 30º

22. Halle el valor de “x” en:

a) 10º b) 12º c) 18º

d) 20º e) 30º