ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 07 – 07 – 2012

Nº 01 - MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE. SEGMENTO DE RECTA

1. MÁXIMO NUMERO DE PUNTOS DE CORTE (M)

1.1. De “n” rectas secantes

2

)1(

nnM

1.2. De “c” circunferencias secantes

)1.( ccM

1.3. De “p” poligonos convexos de “L” ladoscada uno

)1.(. ppLM

1.4. De 2 poligonos de diferente número de lados

nM 2

n: número de lados del polígono del menor número delados

1.5. De “a” ángulos agudos

)1.(2 aaM

1.6. De “n” cuadriláteros cóncavos

)1.(8 nnM

2. FÓRMULA GENERAL DE COMBINACIÓN

El máximo número de puntos de corte por lacombinación de 2 grupos de figuras (iguales odiferentes) se calcula con la fórmula siguiente:

nmKM ..

Donde:K: máximo número de puntos de corte de sólo 2

figuras (1 de cada grupo)

M: nº de figuras del primer grupoN: nº de figuras del segundo grupo

Ejemplo:

Al interceptar m Rectas y n cuadriláterosconvexos tenernos:

nmM ..4pues k = 4:

3. SEGMENTOS DE RECTA

3.1. DEFINICION:

Es una parte de la recta comprendida entre dospuntos de dicha recta, a los cuales se lesdenomina extremos del segmento.

A B

a

Así, en el gráfico se tiene el segmento de extremos Ay B.

Notación:Segmento AB : AB

3.2. Longitud de un Segmento:

Expresa el tamaño o medida de un segmento yresulta que la comparación del segmento con otrotomado como unidad (metro); por ejemplo: si unsegmento contiene 3 veces la unidad (metro)entonces dicho segmento tiene una longitud de 3 m.

Nota:

AB: se lee “longitud del segmento AB”

3.3. Punto Medio de un Segmento:

Es aquel punto que pertenece al segmento y que lodivide en dos segmentos parciales de igual longitud.

A B

m

M

m

Si: M AB y AM = MB; entonces M es el puntomedio de AB .

3.4. Mediatriz de un segmento:

Es la parte perpendicular trazado por su puntomedio de un segmento.

A BM

L Mediatriz

3.5. Operaciones con las longitudes de Segmentos:

A CB

ba

En la figura los puntos A, B y C son colineales yconsecutivos, entonces, se establecen lassiguientes operaciones con las longitudes de lossegmentos.

a) Adición de segmentos:Del gráfico :

AC = AB + BC = a+b

b) Sustracción de segmentos:Del gráfico:

AB = AC - BC a = - b

3.6. TEOREMA SOBRE SEGMENTOS

TEOREMA 01:

2BC

MN

TEOREMA 02: (Descartes)

Si:CDAD

BCAB

< >º

º

º

º

34

21

AC2

AD1

AB1

A M N B C

?

A B C D

1º 2º 3º

4º

TEOREMA 03: (Newton)

Si:CDAD

BCAB

))(()( ODOBOC 2

9. TEOREMA:

Si:CDAD

BCAB

2AC)( = (AB)(AD) – (BC)(CD)

10. TEOREMA:

Si: (AB)(CD) = n(BC)(AD)

AC

1nAD1

ABn

Práctica de clase

1. ¿13 paralelas con cuántas rectas secantes se debende interceptar para que determinen un máximo de 58puntos de corte?a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

2. Si a un grupo de rectas secantes se le agrega 3, elmáximo número de puntos de corte quedaríaaumentado en 15. Halle el número de rectas secantesa)3 b)4 c)5 d)8 e) 9

3. ¿Cuántas circunferencias deben de interceptarse con4 triángulos para que el máximo número de puntosde corte sea 86?a)2 b)3 c)5 d)7 e) 10

4. Calcular el máximo número de corte que producendos polígonos convexos: uno de 2n+1 lados y otro de2n+2 lados (n > 1)a) 2n b) 2n+1 c) 2n+2

d) 2n+3 e) 2n+4

5. Halle el máximo número de puntos de corte de 10cuadriláteros convexos secantes y 20 circunferenciasconcéntricasa) 1280 b) 1600 c) 1620 d) 1900 e) 1960

6. Halle el máximo número de corte de 5 heptágonosconvexos, sabiendo que todos tiene un vértice encomún.a) 88 b) 99 c) 100 d) 105 e) 110

7. Si tenemos a un polígono convexo de 13 lados al cualse le trazan todas sus diagonales. ¿Cuántos puntos decorte se determinan como máximo?a) 330 b) 495 c) 615 d) 715 e) 840

8. Se tiene 15 rectas paralelas no coincidentes, y por unpunto exterior a éstas se trazan también 15 rectas

secantes diferentes. El número total de puntos deintersección que se pueden contar como máximo es:

[Excel – 11 – I]a) 226 b) 225 c) 224d) 223 e) 221

9. Los puntos M, N y P son colineales y consecutivos. Siel punto Q es el punto medio de NP, halle el valor de:

22

22

MPMN

NQMQE

a) 0,25 b) 0, 5 c) 0,75d) 1,25 e) 2

10. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que:

1BD

AD

BC

AC

ACxAD = 289Calcule “AB”a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

11. En una línea recta se consideran los puntosconsecutivosA, B y C. Si P, Q, R y S son puntos medios de AB,BC, AQ y PQ respectivamente además AC=80;entonces RSes:

[UNT – 10 – I]a) 14 b) 16 c) 18d) 19 e) 20

12. Sobre una línea recta se toman los puntosconsecutivos M, N, P, Q. Si NQ=8m y (MN -PQ)(MQ+NP)=36m2, la longitud de MP, en metros,es:

[UNT – 11 – I]a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7

13. Los puntos O, A, B y C son colineales y consecutivos.Si:

OCOBOA

111

Halle OA en términos de AB y ACa) ACBA . b) 2 ACBA . c)3 ACBA .

d) 4 ACBA . e)2

.ACBA

14. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A,B, C y D cumpliéndose que:

(AB)(AD) = 6.(BC)(CD), yCD

z

AC

y

AB

x

Halle “x”a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

A B C D

A B C D

15. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C , D, E y F; con la condición que:

1BF

DF

AE

AC

CalculeDF

BD

CE

AC

a) 0 b) 0,5 c) 1d) 2 e) – 1

16. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B , C, D de tal manera que se cumple:

AB.CD = BC. AD yAB

d

BD

c

CD

b

AC

a

Hallar a + b + c + d mínimoa) 4 b) 4,5 c) 5d) 6 e) 8

17. Sobre una línea recta se consideran los puntosconsecutivos: P0; P1; P2; P3; P4; … así

sucesivamente, si:

P0.P1=12

12

P1.P2=22

1

; P2.P3=

2

1 , … asi

indefinidamente . Calcule el límite de la suma de laslongitudes de los segmentos consecutivos asíformados

a) 2 b) 2 + 3 c) 2 + 1d) 2 2 e) 3 2 + 4

18. Sobre una recta se consideran los puntos

consecutivos U, N, C, P si UN es sección aurea deUC y los puntos forman una cuaterna armónica. Si

1232UC 5 cba y a, b, c son tres números

que verifican la igualdad (a –b + c)2 = 3(ac – ab –bc). Calcular CP.

a)2

15 b)15

2

c)

4

15

d)4

15 e) Faltan datos

TAREA DOMICILIARIA

1. Halle el máximo número de puntos de corte que

originan 2 polígonos convexos de 17 lados cada uno,

sabiendo que tienen un vértice en común

a) 14 b) 33 c) 31

d) 35 e) 34

2. ¿Cuál es el máximo número de puntos de corte al

interceptarse "n" polígonos convexos de "n" lados

cada uno, con (n+1) polígonos convexos de (n+1)

lados cada uno?

a) 2n3 + n2 +n b) 4n3 + 2n2 +n

c) 4n3 + 3n2 +2n d) 3n3 + 2n2 +n

e) 2n3 + 3n2 +n

3. Calcular el máximo número de puntos de corte que

producen "n" polígonos convexos de "n" lados cada

uno con un vértice común:

a) n(n+1)(n+2)/2 b) n(n-1)(2n-3)/2

c) n(n-1)/2 d) n(n+1)/2

e) n(n-1)(2n-1)/2

4. Halle el máximo número de puntos de corte de 30

circunferencias dispuestas tal como se muestra en la

figura, con 20 rectas paralelas

a) 1230 b) 1258 c) 1260 d) 1229 e) 1240

5. Halle el máximo número de cortes de 40

circunferencias concéntricas y 20 rectas concurrentes

a) 800 b) 1601 c) 1401 d)1600 e) 601

6. Calcule el máximo número de puntos de corte de 12

circunferencias secantes que tiene un punto en común

a) 65 b) 67 c) 68 d) 70 e)71

7. En una recta se ubican los puntos consecutivos y

colineales A, B, C y D. Si (AC)2 - (CD)2 = 8(BC) y

AB = BD, entonces la medida de AD es:

[Cepunt – 11 – I]

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

8. Sobre una línea recta, se consideran los puntos

consecutivos A, B, C, D y E con la condición:

AC=BD, DE = 3(BC). Hallar la longitud del

segmento AE , sabiendo que : 3(AB) + 2(DE) = 72

a) 24 b) 48 c) 32 d) 36 e) 50

9. Sobre una línea recta, se consideran los puntos

consecutivos S, I, G, M, A; cumpliéndose que SM =

MA, SI = IM. Si SG + IM + GA + SA = 72 y

además 1 2 1

IG SA. Calcular la longitud del segmento

IG

a) 1 b)

1,06 c) 1,8 d) 1,5 e)2

10. Sobre una línea recta se consideran ls puntos

consecutivos A, B, C y D, con la siguiente condición

AB CD 1AC BD

. Calcule x si 3BC BC x n 0

AC BD n

a) 3 2 b) 3 n c) 3 2n

d) 3 3n e) n

11. Sobre una línea recta se consideran los puntos

consecutivos A, B, C, D, E, F,….. tal que: AB= 1/2;

BC = 1/3; CD= 1/4; DE = 1/9; EF = 1/8; FG =

1/27…., y así sucesivamente. Calcular el límite de la

suma de las longitudes de todos los segmentos así

determinados.

a) 5 b) 2,5 c) 1,5

d) 2 e) 4,5

12. Sobre una línea recta se consideran los puntos

consecutivos A, B, C, y D.Si(2x– 1). AB.CD=BC.AD

y

z 2 3x 8 yAC AB AD

. Hallar: 2 2 2x y z

a) 25 b) 50 c) 10

d) 15 e) 35

Adicionales

1.- Hallar una fórmula para calcular el máximo número

de puntos de corte entre “n” figuras de la forma:

a)2

)1(7 nn b)2

)1(3 nn c)2

15n

d) 5n(n- 1) e)2

)1(9 nn

2.- El MNPI entre 10 rectas y 5 circunferencias es:

a) 65 b) 120 c) 145 d) 165 e) N.A.

3.-El MNPI entre 40 rectas secantes y 22 triángulos es:

a) 780 b)1234 c) 3926 d) 4568 e) N.A.

4.- Hallar el máximo número de puntos de intersección

(MNPI) entre 25 rectas secantes y 10 pentadecágonos.

a) 535 b) 1024 c) 1568 d) 2150 e) N.A.

5.- Hallar el MNPI entre 40 circunferencias y 12

triángulos.

a) 4 836 b) 45 760 c) 3345 d) 4345 e) N.A.

6.- Hallar el MNPI entre 60 circunferencias y 18

triángulos.

a) 14277 b) 13056 c) 10938 d)15980 e) N.A.

7.- Hallar el MNPI entre 6 rectas secantes, 12

circunferencias y 7 cuadriláteros.

a) 1215 b) 1430 c) 1410 d) 2431 e) N.A.

8.- Si a un grupo de “n” triángulos se le quita uno, el

máximo número de puntos de corte disminuye en 18.

Hallar “n”.

a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e)9

9.- Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas

secantes y 6 triángulos, al intersecarse todas estas figuras

entre sí.

a) 360 b) 340 c) 350 d) 370 e) 330

10.- Calcular el MNPI entre 15 rectas secantes, 13

paralelas y 45 circunferencias secantes.

a) 4800 puntos b) 4500 puntos c) 300 puntos d)

3420 puntos e) 2330 puntos

11.- Si a un grupo de rectas de un plano, se le agrega

una, el máximo número de puntos de corte se duplicaría.

Hallar el número de rectas original.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12.- Hallar el MNPI entre 10 circunferencias, 12

triángulos y 4 rectas secantes.

a) 1009 b) 1230 c) 1 108 d) 1018 e) N.A.

13.- Si aun grupo de “n” rectas secantes se agrega una

recta, el máximo número de puntos de corte aumentaría

en 12. hallar el valor de “n”.

a) 12 b) 11 c) 13 d) 6 e) 24

14.- Si a un grupo de elipses secantes se le aumenta

cuatro, el número de puntos de intersección se incrementa

en 184. Calcular cuántas elipses conforman dicho grupo.

a) 12 b) 10 c) 16 d) 15 e) 11

15.- Si a un grupo de “n” rectas secantes se agregan dos

rectas, el máximo número de puntos de corte aumentaría

en 15. Hallar “n”.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A.

16.- Hallar el MNPI entre 4 circunferencias, 7 rectas

secantes y 6 pentágonos.

a) 453 b) 563 c) 345 d) 576 e) 476

17.- Al duplicarse el número de rectas secantes, el

máximo número de puntos de corte se quintuplicaría.

Hallar el número inicial de rectas.

a) 3 b) 6 c) 15 d) 10 e) N.A

18.- Hallar el máximo número de puntos de intersección

de 10 cuadriláteros no convexos.

a) 540 b) 720 c) 820 d) 400 e) 360

19.- Si al máximo número de puntos de intersección

entre “m” rectas secantes se le aumenta 16 puntos, el

resultado equivale al número de rectas elevado al

cuadrado y aumentado en uno. Determinar el máximo

número de puntos de intersección de “m” hexágonos

secantes:

a)100 b) 150 c) 132 d) 140 e) 120

20.- Encontrar el número máximo de puntos de corte

que hay entre “F” decágonos convexos y “F”

cuadriláteros convexos.

a) 7F(F – 1) b) 7F(2F – 3) c) 4F(3F – 2) d)2F(11F – 7)

e) 3F(15F – 8)

21.- Deducir una fórmula para encontrar el número total

de puntos en que se cortan “n” circunferencias dispuestas

como se indica:

a) n(n – 1) b) 2(n – 1) c) 3n(n – 1)

d) (n – 1) e) 4n(n – 1)

22.- Si a un conjunto de n rectas secantes se le quita 4

rectas, su máximo número de puntos de intersección

disminuirá en 90, pero si se le agrega 4 rectas al conjunto

el máximo número de puntos de intersección aumentaría

en:

a) 105 b) 110 c) 106 d) 112 e) 120

23.- Hallar el número de puntos de intersección entre 10

circunferencias concéntricas y 20 rectas que pasan por el

centro común.

a) 432 b) 401 c) 124 d) 280 e) 324

24.- En un plano el máximo número de puntos de

intersección incluyendo los vértices entre 2k polígonos

convexos de k lados y k polígonos convexos de 2k lados

es 360k. Calcular el máximo número de puntos de

intersección entre k/2 polígonos convexos de 2k/3 lados.

a) 20 puntos b) 12 puntos c) 28 puntos d) 24

puntos e) 51 puntos

25.- En un mismo plano, un número igual de rectas

secantes y circunferencias secantes se intersectan

determinando un N.P.I. máximo igual a 117. Calcular el

número de figuras geométricas que se intersectan.

a) 12 b) 4 c) 18 d) 6 e) 9

26.- Hallar el MNPC entre “n” circunferencias, “2n”

rectas secantes y “n” triángulos, al cortarse todas entre sí.

a) 5n(4n – 1) b) 4n(5n – 1) c) 5n(4n + 1)

d) 4n(5n + 1) e) N.A.

27.- Se muestran “n” circunferencias concéntricas y otras

“n” circunferencias menores formando una argolla. El

máximo número de puntos de corte, es:

a) 2n2 b) 4n2 c) 4n

d) 2n(n – 1) e) 2n(n + 1)

28.- En un plano se dibujan “n” rectas, si de este grupo

de rectas 5 fuesen paralelas y el resto rectas secantes entre

sí, el máximo número de puntos de intersección sería 45.

Hallar “n”.

a) 12 b) 11 c) 15 d) 10 e) 14

29.- Se dan “m” rectas coplanares de las cuales “n” son

paralelas. Calcular NPImáx que pueden producir al

intersectarse estas rectas.

a)2

)1)(( nmnm

b)2

)1)(( nmnm

c)2

)1)(( nmnm

d)2

)1)(( nmnm

e)2

)1)(( nmnm

30.- En la figura mostrada se tiene n flechas y n rectas

paralelas tal como indica la figura, si el número total de

puntos de intersección es 2(8n + 21). Calcular n.

a) 6 b) 9 c) 8 d) 10 e) 12

ITEMES

13. Un conjunto de rectas secantes determinan en unplano igual cantidad de puntos de corte que detriángulos. ¿Cuántas recta secantes son?. Se sabe queno hay tres rectas o más que pasen por un mismopuntoa) 5 b)6 c) 8 d)9 e)10

14. Si 8 elipses secantes tiene un punto en común,¿cuántos puntos de corte más determinan comomáximo?a) 56 b) 72 c) 84 d) 96 e) 108

15. Se tiene un grupo de circunferencias secantes; si seduplican dicha cantidad, el máximo número depuntos de corte aumentaría en 290. ¿Cuántascircunferencias son?a) 8 b)9 c) 10 d)11 e)12