ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 07 – 07 – 2012

Nº 04 - CUADRILÁTEROS

01. DEFINICIÓN (CUADRILÁTERO):Es la figura geométrica plana determinada por la uniónde cuatro puntos no colineales mediante segmentos derecta de modo que estos segmentos no se intersecan.

Cuadrilátero Convexo Cuadrilátero noConvexo

+ + + = 360º

02. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROSCONVEXOSLos cuadriláteros convexos se clasifican de acuerdo alparalelismo de sus lados en:

2.1. Trapezoides:Es aquel cuadrilátero convexo que no tiene ladosopuestos paralelos; estos pueden ser trapezoidesasimétricos y trapezoides simétricos o bisósceles.

2.1.1. Trapezoide Asimétrico

A

B

C

D

Si: ADBC y CDAB

2.1.2. Trapezoide Simétrico

A

B

C

D

a

b

b

a

m

m

Si: CDAB y ADBCAdemás: BD mediatriz de AC

2.2.2. Trapecio:Es aquel cuadrilátero convexo que presenta dos ladosopuestos paralelos, los trapecios pueden ser escalenos oisósceles.

A

B

M

H

C

D

N

m

m

n

n

Si: BC // AD ABCD: trapecio

BC y AD: Bases AB y CD: lados laterales

BH: altura MN: base media

A) Trapecio Escaleno

B) Trapecio Isósceles

C) Trapecio Rectángulo

2.2. Paralelogramos:Es aquel cuadrilátero convexo que presenta sus lados

opuestos respectivamente paralelos. Los paralelogramospueden ser: romboides, rombos, rectángulos y cuadrados.

Escaleno

Isósceles

Rectángulo

2.2.1. Romboide: Es un paralelogramo donde suslados consecutivos no son congruentes.

2.2.2. Rectángulo: Es un paralelogramo cuyosángulos son todos rectos.

2.2.3. Rombo: Es un paralelogramo cuyos ladosson todos congruentes entre sí. Sus diagonales sonperpendiculares y son bisectrices de los ángulos delos vértices que unen.

2.2.4. Cuadrado: Es un paralelogramo equilátero yquiángulo. Es más el cuadrado es a un tiemporectángulo y rombo.

03. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS:

BASE MEDIA RELACION

A

B C

D

M N

SiAD//BC//MN

2

ADBCMN

a

b

x

2

bax

SEGMENTO QUE UNE LOSPUNTOS MEDIOS DE LAS

DIAGONALESRELACION

a

x

b

2

abx

b

a

x

2

abx

ADICIONALES

x X = 90°

x X = 90°

EN PARALELOGRAMOS

A

B C

DE

AB = AE

x 90x

x 90x

a

b

c

d

a +d = b+c

a

b c

b = a + c

a

b

c

d

b – d = a + c

b

c

d

b – d = c

B C

DA

A C

B

D

B C

A D

B C

A D

45º45º

45º45º 45º

45º

45º

45º

Práctica de clase

Cuadrado – rectángulo

01. En el cuadrilátero ABCD, AB = BC y el ángulo

ABC mide 90º, además CD = 3 2 y la medida del

ángulo CDA es 45º. Si se traza la altura BH relativa

a AD (H en AD) y AH = 2, el valor de AD , es:

[UNT – 09 - I]

a) 5 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

02. En un cuadrilátero ABCD, A= C = 90º y

D=60º. Por el punto medio M de AB se traza MH,

perpendicular a CD. Si CH = 4 3 y HD = 8 3 , la

medida de MH, es:

[UNT – 11 – II]

a)3

38b) 8 c)

3

34

d) 3 e) 1

03. Hallar la m BEA, si: ABCD es un cuadrado y

BF=3(AF)

a) 30° b) 37° c) 53°

d) 45° e) 60°

04. En la figura EFGH es un cuadrado hallar el valor de x

a) 60° b) 30° c) 50°

d) 20° e) 45°

05. Del gráfico, calcular “x”

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º e) 60º

06. En la figura ABCD es un cuadrado de lado igual a

12 cm, siendo M y N puntos medios. Halle OD

a) 7 b) 8 c) 10

d) 9 e) 12

07. Del gráfico, calcular “x” si ABCD es un rectángulo.

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º e) 60º

08. En el cuadrado ABCD. Hallar “x” si DF = 3FC.

a) 45º b) 60º c) 37º

d) 53º e) 30º

09. Tenemos ABCD y EFGH congruentes, BE = EC; HP

= 3; EP toma su valor entero impar mínimo; halle

“x”,

a) 18º b) 22,5º c) 26,5º

d) 27º e) 30º

Trapecio

10. Los lados no paralelos de un trapecio miden 5 y 7. Si

las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la

base menor se cortan en un punto de la base mayor,

la medida de la base mayor es:

[UNT – 10 – I]a) 7 b) 9 c) 10

d) 12 e) 15

11. El plano de un colegio tiene la forma de un trapecio

donde sus bases miden 16km y 20km; los lados no

paralelos miden 6km y 9km. Si exteriormente al

colegio hay un jardín formado por las prolongaciones

de los lados no paralelos del colegio, entonces el

perímetro de dicho jardín en km es:

[UNT – 10 – II]

a) 55 b) 66 c) 76

d) 80 e) 90

12. En el siguiente trapecio se tiene que 3 CD5AB y que

PBAP = 30 m.

Hallar: PDCP .

[UNT – EXCEL – 95]a) 19b) 18c) 17d) 16e) 15

13. Si CD=6, BC=3 hallar la longitud del segmento que

une los puntos medios de las diagonales, si ABCD es

un trapecio.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

14. Siendo ABCD un trapecio (BC//AD).

Hallar m ADC

a) 37°

b) 53°

c) 90°

d) 30°

e) 60°

15. Si ABCD es un trapecio isósceles y CDE un triángulo

isósceles, hallar “x”.

a) 50º b) 60º c) 45º

d) 55º e) 47º

16. En la figura: ADBC // , BC = 5 y AD = 9.

Hallar BH.

a) 1 b) 2 c) 4

d) 7 e) 5

17. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AEBF es

un trapecio isósceles )AF//EB( . Calcule “x”.

a) 50° b) 55° c) 65°

d) 60° e) 63°30’

18. Sea ABCD trapecio, AC = 6 y BD = 8, halle “x”

a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2 e) 2,5

Rombo – romboide

19. En un romboide ABCD se traza BH perpendicular

a AC tal que: mABH = 2mDHC

Si BH=8m y HC=2AH, la longitud de DH , en

metros es:

[UNT – 11 – I]a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 18

20.ABCD: Paralelogramo. Calcula “x”

a) 50º

b) 30º

c) 20º

d) 10º

e) 40º

21. Si: ABCD es un romboide, hallar BF, sabiendoque: BC = 7 y CD = 5.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 2,5

22. Si ABCD es un rombo , hallar “x”

a) 2 b) 4 c) 3d) 2,5 e) 1

23. Si: ABCD es un romboide, calcular “x”.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

24. Sea ABCD un romboide, PQ = 12, EF = 17. Halle

EL.

a) 3,5 b) 4 c) 5d) 6 e) 6,5

25. En un paralelogramo ABCD y los triángulos ABF y

BEC son equiláteros. Halle la medida del ángulo FDE

a) 30 b) 45 c) 60d) 72 e) 80

26. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo;

AM=MN, BH=4 y AQ=9. Calcule MH.

a) 4 b) 2 5 c) 6

d) 3 2 e) 8

27. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo;

2(AB)=3(PC)=12. Calcule AC

a) 6 b) 9 c) 12

d) 13 e) 2 6

TAREA DOMICILIARIA

01. En un triángulo ABC, el ángulo C mide 45º y AC =

12 u. sobre el lado AB se construye exteriormente el

cuadrado ABDE. Halle la distancia del centro del

cuadrado al lado AC

a) 8 u b) 6 u c) 5 u

d) 4 u e) 3 u

02. En un romboide ABCD se traza la bisectriz exterior en

C que intersecta a la prolongación de AD en E. Halle

la longitud del segmento que une los puntos medios

de AC y BE, si AB = 6 m

a) 8 u b) 6 u c) 5 u

d) 4 u e) 3 u

03. En un cuadrilátero ABCD, A = 90º; B = C = 60º.

Si AB = 5, BC = 7 , halle CD

a) 2,5 b) 3 c) 3,5

d) 4 e) 4,5

04. En un cuadrilátero ABCD, los lados AB , BC y CD

miden 14 u, 12 u y 5 u respectivamente . Si el

ángulo A mide 60º y el ángulo C mide 90º, la

longitud del lado AD es:

[CEPUNT – 2008]

a) 1 + 22 b) 7 + 22 c) 7 22

d) 3 22 e) 9 + 22

05. Si en un cuadrilátero ABCD se cumple que mABC

= mBCD = 120 y AD = BC + CD, entonces la

medida del ángulo ADC es:

[CEPUNT – 09 – I]

a) 30° b) 60° c) 45°

d) 75° e) 90°

06. La mediana del trapecio mostrado mide 10. Calcular

AB.

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

07. En la figura ABCD es un rectángulo: calcular la

medida del ángulo ABH, si la medida del ángulo

BOC = 130.

a) 20 b) 25 c) 30

d) 35 e) 4

08. Calcular la mediana del trapecio ABCD, si: BC =4u

a) 8 u b) 6 u c) 5 ud) 4 u e) 3 u

09. El dibujo muestra un rectángulo. Si BP = 10 cm.

Hallar la longitud del segmento que une los puntos

medios de PDyAC

a) 2,5 cm b) 5 cm c) 5,5 cm

d) 6cm e) 12 cm

10. Del gráfico, calcular “x” Si: LOMA y PASE soncuadrados.

a) 53º b) 90º c) 75ºd) 60º e) 120º

11. Del gráfico, calcular m DAB, si: AI = IC

a) 108º b) 120º c) 108ºd) 115º e) 135º

12. Si AD = 6 cm y CH = 2 cm, halle α

a) 27º b) 30º c) 45ºd) 53º e) 60º

13. El dibujo muestra un rectángulo. Si BP = 10 cm.

Hallar la longitud del segmento que une los puntos

medios de PDyAC

B

A D

CP

a) 2,5 cm b) 5,0 cm c) 5,5 cm

d) 10 cm e) 12 cm

14. Calcular la mediana del trapecio ABCD, si: BC =4u

a) 7 u b) 6u c) 5 ud) 4,5 u e) 4u

15. En la figura: Calcular “x” si ABCD: cuadrado y CDE:

triángulo equilátero.

a) 100° b) 120° c) 125°

d) 130° e) 135°

16. En un cuadrilátero convexo ABCD; AB = BC = CD;halle la medida del menor ángulo que determinan lamediatriz y el lado AD

a) 40 b) 60 c) 65d) 75 e) 80

17. Del gráfico mostrado, calcule , si:

AC = AD, mACB = 30º y además:

347BACmDACmADBm

a) 37º b) 42º c) 52ºd) 30º e) 53º

18. En la figura, RS es la mediana, el área de la región

triangular CTS es 223 cm2 y el área de la región

triangular AR es 29 cm2. Determine el área deltrapecio ABCD.

a) 84 2 b) 42 2 c) 21 2

d) 42 2 e) 21

19. En el gráfico, PBCD es un paralelogramo de centroO. Si AQ = 5 y QD = 3, calcule AB.

a) 3 b) 4 c) 4,5d) 5 e) 6

20. Según el gráfico, MNADBC //// , CN = ND,

QD + BC = 10, AQ = 8 y ABMQ // . Calcule

MN.

a) 1,8 b) 1 c) 2,5d) 1,5 e) 3

B C

A D