EXCITACION DE MODOS NORMALES DE UN TENSOR DE

MOMENTO

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REPASO: FUNCIONES DE GREEN EN UN ESPACIO COMPLETO

• La meta de este clase es escribir la respuesta de un fuente puntual de tensor de momento, en la Tierra SNREI, con los modos normales. Esto hicieron con Víctor para una fuerza puntual en un espacio completo:

The Double-Couple Wavefield Solution

The representation of displacement ui due to body-force fi, fault

dislocation [ui] and discontinuity of tractions across ! (i.e. the fault) [Ti] within an unbounded medium reads

Displacement due to body-force may thus

be written

Gi1

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REPASO: RESPUESTA DE UN TENSOR DE MOMENTO

• Con Víctor tambien vieron la respuesta de un tensor de momento puntual en espacio.

The Double-Couple Wavefield Solution

The solution for the couple is:

By doing the same analysis for a couple with an orientation parallel to the

x2 axis, and if we offset F2 by "x1 in the negative x2 direction we would get an identical result.

The summation of displacement contributions due to both force couples

(i.e. a double-couple) shows that the P-wave far-field produced by a point dislocation is proportional to the moment rate time history (i.e. fault slip

rate):

Our initial representation theorem tell us that the complete displacement

field produced by a point dislocation is given by the following convolution

Nota que cuando cambiamos entre una fuerza sola (single force) a un doble par de fuerzas (double couple), tenemos Gnp,q la derivada de Gnp, al vez de Gnp. En notacion de vectores, esto sería ∇G (a tensor de tercer orden!)

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FUNCIONES DE GREEN

• En los clases pasados hemos derivado los eigenfunciones y eigenfrecuencias para una Tierra SNREI. ¿Pero por que usamos mucho tiempo para esto? ¿Por que son útiles?

• Para simplificar la notación vamos a escribir los eigenfunciónes de los modos como sk(x), donde el k denota la quadruplet {n,l,m,T o S} (T o S para modos Toroidales o Spheroidales). Defenimos la a normalización de los eigenfunciones con:

• Por la definición del tensor de Green, G(x,x’;t), la cantidad Gpq es el componente p de el displazamiento grabado en x, debido a una fuerza en dirección q, applicada en x’. Equivalente, G es la solución de:

• Con los condiciones de frontera:

•

H - todos los otros términos de ecuación de impulso

Dahlen&Tromp

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FUNCIONES DE GREEN

• Los modos forman un base completo, y por eso podemos escribir la función de Green como una suma sobre los modos:

Los condiciones de frontera son:

Multiplicando con sk‘ y usando la ecuación de normalización:

Ya tenemos la ecuación para la funcion de Green!

Dahlen&Tromp

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RESPUESTA DE UNA FUENTE IMPULSIVA

• A final podemos excribir la respuesta (el sismograma!) de una fuente impulsiva:

Usando la expresión para G:

Usando integración por partes, obtenemos:

Dahlen&Tromp

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LA PARTE ESTÁTICA• Despues del tiempo activo de la

fuente, podemos escribir :

como:

La parte estática!

La parte oscillatoria

La formulación de los modos normales también incluye la parte estática. En práctica puede ser difiícil obtener la parte éstática para temblores con poca profundidad, por que tenemos que sumar muchos modos para obtener convergencia.

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RESPUESTA DE UN TENSOR DE MOMENTO

• Para una fuente de tensor de momento puntual, podemos escribir la fuerza de cuerpo equivalente como:

Para obtener la formulación para el sismograma, s(x,t), tenemos que integrar por partes y usar la simetría de M (aqui falta unos pasos).

Recuerdan que para un espacio completo, cuando cambiamos entre una fuerza sola (single force) a un doble par de fuerzas (double couple), tenemos Gnp,q la derivada de Gnp, al vez de Gnp

Definicion de (:), para A,B tensores de orden 2: A:B = AijBij

εk(x) es la deformación de modo k en lugar x:

εk = 1/2[∇sk + ∇skT]

Dahlen&Tromp

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YA LISTOS!

• Para generar sismogramas sintéticas necesitamos:

1. Los eigenfrecuencias

2. El displacamiento de cada modo en el lugar de la estación sísmica (xr) (siempre en el superficie!), sk(xr) (r=receiver)

3. La deformación (strain) del modo en el lugar del fuente

4. El tensor de momento, M, y tiempo de la fuente, ts

5. El lugar del fuente y la estación.

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RELACIÓN CON TAREA

• Para generar sismogramas sintéticas necesitamos:

1. Los eigenfrecuencias (mineos_bran).

2. El displacamiento de cada modo en el lugar de la estación sísmica (xr) (siempre en el superficie!), sk(xr) (r=receiver).

3. La deformación (strain) del modo en en lugar de la fuente.

4. El tensor de momento, M, y tiempo de la fuente, ts.

5. El lugar del fuente y la estación.

mineos_bran calcula los eigenfunciones en toda la tierra (modos spheroidales) o en todo el manto (modos toroidales). Ahora podemos ver que solo necesitamos el desplacamiento de cada modo en el superficie y la deformación del modo en los profundidades donde hay temblores (0-700 km). Por eso eigcon solo guarda estos partes de los eigenfunciones.

El tensor de momento y el lugar y el tiempo de la fuente estan en el archivo cmt_event

La información de las estaciones está en dbname.site y dbname.sitechan

Para un temblor de duración finita, hacemos una convolución entre los sismogramas calculadas así y una funcion de la evolución temporal de la fuente (source time function).

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LA TIERRA NO ES SNREI

• La Tierra no es esférical, si rota, no es perfectamente elastica, ni isotropica. También tiene variaciones laterales en constantes materiales.

• Rotación y elipticidad afecta los eigenfrecuencias de los modos, nωlm, diferentamente para cada m. Esto se llama divición de los modos degenerados (mode splitting).

• Heterogeneidad afecta los eigenfrecuencias también.

• En ambos casos hacemos la aproximación que los eigienfunciones no cambian, pero los eigenfrecuencias si.

• En la precensia de asimetría, dos modos diferentes con eigenfrecuencias similares, pueden coplarse (mode coupling). Hay reglas de acoplamiento que describen cuales son los modos que se pueden acoplar. El acoplamiento causa que energía pasa a un modo a otro. Esto puedo manifestarse por ejemplo como energía en modos que no deben de ser excitados, o picos con frecencias de modos toroidales en los spectra para los componentes verticales y latitudinales.

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ANELASTICIDAD

• Definimos la eigenfrecuencia compleja:

• ν=ω+iγ

• Con esto podemos escribir :

• En realidad hay que tomar en cuenta que tambien las eigenfunciones cambian y estan complejos. Pero en práctica, normalmente usamos las eigenfunciones para una Tierra elástica.

• El parte real de eiνkt , e-γt , causa que la amplitud de los modos disminuyen con tiempo. El parte real del (iνk)-1 causa un desplazamiento de fase, similar a el efecto de dispersión física.

Dahlen&Tromp

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¿CUÁNDO USAMOS SINTÉTICOS DE MODOS NORMALES?

• Para periodos largos (¿por que?)

• Cuando efectos 3D no son muy importantes

• Computacionalmente “barato”

• Para “benchmarking”

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