1

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES

1. Para A =

20

22, calcula a matriz X que verifica A·X = A–1·B, sendo B =

410

014.

2. a) Define menor complementario e adxunto dun elemento nunha matriz cadrada.

b) Dada a matriz A =

111

111

111

:

i. Calcula o rango, segundo os valores de λ, de A − λI, sendo I a matriz unidade de orde 3. ii. Calcula a matriz X que verifica XA – 2A = 3X.

3. a) Estuda, segundo os valores de m, o rango da matriz A =

3m1

2m1

31m

.

b) Coincide A coa súa inversa para algún valor de m?

c) Determina unha matriz simétrica X de orde 2 tal que X·

1

1 =

5

3 e o determinante

da matriz 3X sexa –9. 4. a) Define menor complementario e adxunto dun elemento nunha matriz cadrada.

b) Sexan I a matriz identidade de orde 3 e A =

102

011

201

, determina os valores de λ

para os que A + λI non ten inversa. c) Calcula a matriz X que verifica AX – A = 2X, sendo A a matriz dada no apartado b).

5. Dadas as matrices A =

0

1

1

, B =

1

1

1

, sexan Bt a matriz trasposta de B e I a matriz

identidade de orde 3. a) Estuda, segundo os valores do parámetro λ, o rango de ABt + λI. b) Calcula a matriz X que verifica: ABtX – X = 2B.

6. Determina todas as matrices B da forma

xy

yx que verifiquen B2 = 4B. Se algunha

é inversible, calcula a súa inversa.

7. Dada a matriz A =

m01

010

10m

:

a) Calcula, segundo os valores de m, o rango de A. b) Coincide A coa súa inversa para algún valor de m? Para m = 0, calcula A60.

2

8. Dada a matriz A =

111

mm1

mmm22

2

, estuda, segundo os valores de m, o seu rango.

9. Calcula, segundo os valores de a, o rango de A =

1a1a0

0a1a

a0a

. Para a = 1,

calcula o determinante da matriz 2At·A–1. 10. Sexan C1, C2, C3 as columnas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz cadrada M de orde 3 con det(M) = 4. Calcula, enunciando as propiedades de determinantes que utilices, o determinante da matriz cuxas columnas primeira, segunda e terceira son, respectivamente, –C2, 2C1 – C3, C2 + C3. 11. a) Se A é unha matriz tal que A3 + I = 0, sendo I a matriz identidade e O a matriz nula de orde 3, cal é o rango de A? Calcula o determinante de A30. Calcula A no caso de que sexa unha matriz diagonal verificando a igualdade anterior.

b) Dada a matriz B = 2

1

02

12, calcula unha matriz X tal que BXB – B = B–1.

12. Dada a matriz A =

110

010

011

:

a) Se I é a matriz identidade de orde 3, calcula os valores de λ para os que A + λI non ten inversa. Calcula, se existe, a matriz inversa de A – 2I. b) Calcula a matriz X tal que XA + At = 2X, sendo At a matriz trasposta de A. 13. a) Pon un exemplo de matriz simétrica de orde 3 e outro de matriz antisimétrica de orde 3. b) Sexa M unha matriz simétrica de orde 3, con det(M) = –1. Calcula, razoando a resposta, o determinante de M + Mt, sendo M a matriz trasposta de M.

c) Calcula unha matriz X simétrica e de rango 1 que verifique: X·

22

11 =

00

22.

14. a) Dada a matriz A =

a01

01a, calcula os rangos de AAt e de AtA, sendo At a

matriz trasposta de A. Para o valor a = 1, resolve a ecuación matricial AAtX = B, sendo

B =

3

0.

b) Sexa M unha matriz cadrada de orde 3 con det(M) = –1 e que ademais verifica M3 + M + I = 0, sendo I a matriz unidade de orde 3. Calcula os determinantes das matrices: M + I e 3M + 3I.

15. a) Estuda, segundo os valores de m o rango da matriz M =

128m

2mm2

321

.

3

b) Resolve a ecuación matricial A2X = B, sendo A =

12

10, B =

0

1.

16. Dada a matriz A =

011

m00

0m2

:

a) Calcula os valores de m para os que A ten inversa. b) Para m = 1, calcula a matriz X que verifica: X·A + X – 2A = 0.

17. a) Estuda, segundo os valores de m, o rango da matriz M =

mm2

001

m01

.

b) Para o valor m = 1, resolve a ecuación matricial MX = 3At, sendo A = 101 e

At = matriz trasposta de A. Para este valor de m, canto valerá o determinante da matriz 2M21? 18. Sexan F1, F2, F3 as filas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz cadrada M de orde 3, con det(M) = –2. Calcula o valor do determinante da matriz que ten por filas F1 – F2, 2F1, F2 + F3.

19. Dada M =

11

01, calcula a matriz Y que verifica M·Y + M–1·Y = I, sendo M–1 a

matriz inversa de M e I a matriz unidade de orde 2. 20. Acha todas as matrices A = (aij), cadradas de orde tres, tales que a21 = a32 = 0 e A + At = 4I, sendo I a matriz identidade de orde tres e At a matriz trasposta de A, das que ademais sábese que o seu determinante vale 10.

4

EXERCICIOS DE REFORZO: DETERMINANTES

(SOLUCIONARIO)

1. Para A =

20

22, calcula a matriz X que verifica A·X = A–1·B, sendo B =

410

014.

A = 4 ≠ 0 ⟹ existe A–1

A·X = A–1·B ⇔ X = (A–1)2·B

A–1 = 4

1t

22

02

=

4

1

20

22 =

2

10

2

1

2

1

(A–1)2 =

2

10

2

1

2

1

·

2

10

2

1

2

1

=

4

10

2

1

4

1

X = (A–1)2·B =

4

10

2

1

4

1

·

410

014 =

14

10

24

11

Polo tanto: X =

14

10

24

11

.

2. a) Define menor complementario e adxunto dun elemento nunha matriz cadrada.

b) Dada a matriz A =

111

111

111

:

i. Calcula o rango, segundo os valores de λ, de A − λI, sendo I a matriz unidade de orde 3. ii. Calcula a matriz X que verifica XA – 2A = 3X. a) Dado un elemento aij dunha matriz cadrada n x n, ao suprimir a súa fila e a súa columna, obtense unha submatriz (n – 1) x (n – 1) e o seu determinante é un menor de orde n – 1, que se chama menor complementario do elemento aij e represéntase por Mij. Chámase adxunto de aij ao número Aij = (–1)i+j·Mij, é dicir, é o menor complementario co seu signo ou co signo contrario, segundo i + j sexa par ou impar.

b)

i. IA =

111

111

111

= (1 – λ)3 + 1 – 1 – (1 – λ) – (1 – λ) + (1 – λ) =

= (1 – λ)[1 – 2λ + λ2 – 1] = (1 – λ)(– 2λ + λ2) = λ(1 – λ)(λ – 2)

5

Se λ = 0: 11

11 = 2 ≠ 0

Se λ = 1: 01

10 = 1 ≠ 0

Se λ = 2: 11

11

= 2 ≠ 0

Polo tanto: Para λ ≠ 0, λ ≠ 1, λ ≠ 2, rango(A – λI) = 3. Para λ = 0, rango(A – λI) = 2. Para λ = 1, rango(A – λI) = 2. Para λ = 2, rango(A – λI) = 2.

ii. XA – 2A = 3X ⇔ X(A – 3I) = 2A ⇔ X = 2A(A – 3I)–1

I3A =

211

121

112

= –6

(A – 3I)–1 = –6

1

t

531

131

333

= –6

1

513

333

113

X = –3

1

111

111

111

·

513

333

113

= –3

1

939

939

333

Polo tanto: X =

313

313

111

.

3. a) Estuda, segundo os valores de m, o rango da matriz A =

3m1

2m1

31m

.

b) Coincide A coa súa inversa para algún valor de m?

c) Determina unha matriz simétrica X de orde 2 tal que X·

1

1 =

5

3 e o determinante

da matriz 3X sexa –9.

a) 31

21 = 1≠ 0 ⟹ rango(A) ≥ 2

3m1

2m1

31m

= 3m2 + 3m + 2 – 3m – 2m2 – 3 = m2 – 1

Polo apartado i., sábese que existe (A – 3I)–1

6

Polo tanto: Se m = 1 ou m = –1, entón rango(A) ≥ 2. Se m ≠ ±1, entón rango(A) = 3.

b) A·= A–1·⇔ A2·= I

A2·=

3m1

2m1

31m

·

3m1

2m1

31m

=

12m21m3m3m2

9m21m2m2m2

11m3m54m

2

2

2

Como m2 + 4 ≠ 1, para todo m, pódese afirmar: A2·≠ I, para todo m.

c) Por ser unha matriz simétrica de orde 2: X =

cb

ba.

Facendo o produto das matrices:

cb

ba·

1

1 =

5

3 ⟹

5cb

3ba

E a condición sobre o determinante:

–9 = det(3X) = 9·det(X) ⟹ det(X) = –1 ⟹ ac – b2 = –1 Tense así un sistema de tres ecuacións con tres incógnitas:

1bac

5cb

3ba

2

⟹

3c

2b1a1a3a2a

a2a35b5c

a3b

2

Polo tanto: X =

32

21.

4. a) Define menor complementario e adxunto dun elemento nunha matriz cadrada.

b) Sexan I a matriz identidade de orde 3 e A =

102

011

201

, determina os valores de λ

para os que A + λI non ten inversa. c) Calcula a matriz X que verifica AX – A = 2X, sendo A a matriz dada no apartado b). a) Dado un elemento aij dunha matriz cadrada n x n, ao suprimir a súa fila e a súa columna, obtense unha submatriz (n – 1) x (n – 1) e o seu determinante é un menor de orde n – 1, que se chama menor complementario do elemento aij e represéntase por Mij. Chámase adxunto de aij ao número Aij = (–1)i+j·Mij, é dicir, é o menor complementario co seu signo ou co signo contrario, segundo i + j sexa par ou impar.

b) A + λI non ten inversa ⇔ IA = 0

IA =

102

011

201

= (1 + λ)3 – 4(1 + λ) = (1 + λ)[(1 + λ)2 – 4] =

= (1 + λ)(λ2 + 2λ – 3) = (1 + λ)(λ – 1)(λ + 3)

7

Polo tanto:

A + λI non ten inversa ⇔

1

1

3

c) AX – A = 2X ⇔ (A – 2I)X = A ⇔ X = (A – 2I)–1·A

I2A =

102

011

201

= –1 + 4 = 3

(A – 2I)–1 = 3

1

t

122

030

211

= 3

1

102

231

201

=

3

10

3

23

21

3

13

20

3

1

X =

3

10

3

23

21

3

13

20

3

1

·

102

011

201

=

3

50

3

43

41

3

23

40

3

5

Polo tanto: X =

3

50

3

43

41

3

23

40

3

5

.

5. Dadas as matrices A =

0

1

1

, B =

1

1

1

, sexan Bt a matriz trasposta de B e I a matriz

identidade de orde 3. a) Estuda, segundo os valores do parámetro λ, o rango de ABt + λI. b) Calcula a matriz X que verifica: ABtX – X = 2B.

a) ABt + λI =

0

1

1

· 111 + λ

100

010

001

=

00

111

111

det(ABt + λI) = λ(λ + 1)(λ – 1) + λ = λ(λ2 – 1) + λ = λ3 Polo tanto, det(ABt + λI) = 0 ⇔ λ = 0

Se λ = 0, entón ABt + λI =

000

111

111

Polo apartado b), sábese que existe (A – 2I)–1

Filas proporcionais

Fila de ceros

8

Tense así que: rango(ABt + λI) = 3 se λ ≠ 0 rango(ABt + λI) = 1 se λ = 0

b) ABtX – X = 2B ⇔ (ABt – I)X = 2B ⇔ X = 2(ABt – I)–1B

Calcúlase (ABt – I)–1:

ABt – I =

0

1

1

· 111 –

100

010

001

=

100

121

110

det(ABt – I) = –1

(ABt – I)–1 = –

t

111

001

012

=

100

101

112

Polo tanto: X = 2

100

101

112

·

1

1

1

=

2

4

8

6. Determina todas as matrices B da forma

xy

yx que verifiquen B2 = 4B. Se algunha

é inversible, calcula a súa inversa.

xy

yx·

xy

yx = 4

xy

yx ⇔

22

22

yxxy2

xy2yx =

x4y4

y4x4

y4xy2

x4yx 22

⟹ y(2x – 4) = 0 ⟹ y = 0 ou x = 2

Se y = 0: x2 = 4x ⟹ x = 0 ou x = 4

Se x = 2: y2 = 4 ⟹ y = ±2 Polo tanto, as matrices que cumpren as propiedades do exercicio son:

00

00,

40

04,

22

22,

22

22

Destas matrices, a única que ten determinante distinto de cero, e polo tanto inversa, é

a matriz

40

04. A súa inversa é a matriz

4

10

04

1

.

Existe (ABt – I)–1 pois para λ = –1, rango(ABt – I) = 3

9

7. Dada a matriz A =

m01

010

10m

:

a) Calcula, segundo os valores de m, o rango de A. b) Coincide A coa súa inversa para algún valor de m? Para m = 0, calcula A60.

a) 01

10 = 1≠ 0 ⟹ rango(A) ≥ 2

m01

010

10m

= –m2 + 1; –m2 + 1 = 0 ⇔ m = ±1

Polo tanto: Se m = ±1, entón rango(A) = 2. Se m ≠ ±1, entón rango(A) = 3.

b) A = A–1 ⇔ A2·= I

A2 =

m01

010

10m

·

m01

010

10m

=

1m0m2

010

m201m

2

2

Polo tanto: A = A–1 ⇔ m = 0

Se m = 0, acábase de obter que A2 = I, entón A60 = (A2)30 = I30 = I.

8. Dada a matriz A =

111

mm1

mmm22

2

, estuda, segundo os valores de m, o seu rango.

A =

111

mm1

mmm22

2

= m3 + m2 + m3 – m4 – m3 – m = – m4 + m3 + m2 – m =

= –m(m3 – m2 – m + 1) Calcúlase, por Ruffini, as raíces de m3 – m2 – m + 1 = 0:

1 –1 –1 1 1 1 0 –1

1 0 –1 0

m2 – 1= 0·⇔ m = ±1

Polo tanto: A = 0 ⇔

)dobreraíz(1m

1m

0m

Se m = 0: 11

01 = 1 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2

10

Se m = –1: 11

11 = –2 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2

Se m = –1: 11

11 = –2 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2

Se m = 1 ⟹ rango(A) = 1 (as tres filas son iguais e hai un elemento non nulo).

Resumindo: rango(A) = 3, se m ≠ –1, 0, 1. rango(A) = 2, se m = 0 ou m = –1. rango(A) = 1, se m = 1.

9. Calcula, segundo os valores de a, o rango de A =

1a1a0

0a1a

a0a

. Para a = 1,

calcula o determinante da matriz 2At·A–1.

A =

1a1a0

0a1a

a0a

= a2(a + 1) + a(a + 1)2 = a(a + 1)(2a + 1)

Polo tanto: A = 0 ⇔

2

1a

1a

0a

Se a = 0: 10

01 = 1 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2

Se a = –1: 10

01

= 1 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2

Se a = –2

1:

2

1

2

1

02

1

=

4

1 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 2

Resumindo:

rango(A) = 3, se a ≠ 0, –1, –2

1.

rango(A) = 2, se a = 0 ou a = –1 ou a = –2

1.

Se a = 1: A =

220

012

101

a = 1 ⟹ det(A) = 6, e posto que det(A) = det(At), det(A–1) = )Adet(

1 e ademais que o

determinante dun produto de matrices é igual ao produto dos determinantes desas

11

matrices e que para unha matriz M de orde 3, se verifica que det(λM) = λ3det(M), tense

det(2At·A–1) = 23·6·6

1 = 8.

10. Sexan C1, C2, C3 as columnas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz cadrada M de orde 3 con det(M) = 4. Calcula, enunciando as propiedades de determinantes que utilices, o determinante da matriz cuxas columnas primeira, segunda e terceira son, respectivamente, –C2, 2C1 – C3, C2 + C3. Se se lle chama N á matriz da que se quere calcular o determinante: det(N) = det(–C2, 2C1 – C3, C2 + C3) = det(–C2, 2C1 – C3, C3) = det(–C2, 2C1, C3) = = –2det(–C2, C1, C3) = 2det(C1, C2, C3) = 8

Propiedades utilizadas: (*) Se a unha columna se lle suma outra columna multiplicada por un número, o determinante non varía. (**) Se se multiplica cada elemento dunha columna por un número, o determinante desa matriz queda multiplicado por ese número. (***) Se se permutan dúas columnas dunha matriz, o determinante cambia de signo. 11. a) Se A é unha matriz tal que A3 + I = 0, sendo I a matriz identidade e O a matriz nula de orde 3, cal é o rango de A? Calcula o determinante de A30. Calcula A no caso de que sexa unha matriz diagonal verificando a igualdade anterior.

b) Dada a matriz B = 2

1

02

12, calcula unha matriz X tal que BXB – B = B–1.

a) A3 + I = 0 ⇔ A3 = –I ⇔ [det(A)]3 = –1 ⟹ det(A) = –1 ≠ 0 ⟹ rango(A) = 3

A30 = (A3)10 = (–I)10 = I ⟹ det(A30) = 1

Se A é ademais unha matriz diagonal:

A =

c00

0b0

00a

⟹ A3 =

3

3

3

c00

0b0

00a

= –I ⟹

1c

1b

1a

3

3

3

⟹ A = –I

b) det(B) = –2

1 ≠ 0 ⟹ existe B–1

BXB – B = B–1 ⇔ X = B–1(B + B–1) B–1 = B–1 + (B–1)3

B–1 = –2

t

12

110

=

22

10

(B–1)2 =

22

10·

22

10 =

64

22

(B–1)3 =

22

10·

64

22 =

1612

64

X = B–1 + (B–1)3 =

22

10 +

1612

64 =

1814

74

* * ** ***

12

12. Dada a matriz A =

110

010

011

:

a) Se I é a matriz identidade de orde 3, calcula os valores de λ para os que A + λI non ten inversa. Calcula, se existe, a matriz inversa de A – 2I. b) Calcula a matriz X tal que XA + At = 2X, sendo At a matriz trasposta de A.

a) A + λI =

110

010

011

⟹ IA = (λ – 1)2·(λ + 1)

Polo tanto, A + λI non ten inversa ⇔

1

1

A – 2I =

310

010

013

⟹ I2A = (–3)2·(–1) = –9 ≠ 0

(A – 2I)–1 = –9

1

t

300

393

003

=

3

1

3

10

010

03

1

3

1

b) XA + At = 2X ⇔ X(A – 2I) = –At. E, polo apartado anterior, sábese que A – 2I ten inversa. Polo tanto: X = –At(A – 2I)–1.

X =

100

111

001

·

3

1

3

10

010

03

1

3

1

=

3

1

3

10

3

1

3

5

3

1

03

1

3

1

13. a) Pon un exemplo de matriz simétrica de orde 3 e outro de matriz antisimétrica de orde 3. b) Sexa M unha matriz simétrica de orde 3, con det(M) = –1. Calcula, razoando a resposta, o determinante de M + Mt, sendo M a matriz trasposta de M.

c) Calcula unha matriz X simétrica e de rango 1 que verifique: X·

22

11 =

00

22.

a) Exemplo de matriz simétrica de orde 3:

401

031

112

.

Exemplo de matriz antisimétrica de orde 3:

032

301

210

.

b) M simétrica ⇔ (aij = aji) ⇔ M = Mt ⇔ M + Mt = 2M. Entón, tendo en conta que M é de orde 3: det(M + Mt) = det(2M) = 23det(M) = –8.

13

c) X cadrada e de orde 2 e simétrica ⟹ X =

cb

ba

rango(X) = 1 ⟹ ac – b2 = 0, e non todos nulos

cb

ba·

22

11 =

00

22 ⟹

c2bc2b

b2ab2a =

00

22

Tense así:

0bac

0c2b

2b2a

2

⟹

0c

0b

2a

⟹ X =

00

02

14. a) Dada a matriz A =

a01

01a, calcula os rangos de AAt e de AtA, sendo At a

matriz trasposta de A. Para o valor a = 1, resolve a ecuación matricial AAtX = B, sendo

B =

3

0.

b) Sexa M unha matriz cadrada de orde 3 con det(M) = –1 e que ademais verifica M3 + M + I = 0, sendo I a matriz unidade de orde 3. Calcula os determinantes das matrices: M + I e 3M + 3I.

a) AAt =

a01

01a·

a0

01

1a

=

2

2

a1a

aa1 ⟹ tAA = (1 + a2)2 – a2 =

= 1 + a4 + a2 > 0, para todo a número real ⟹ rango(AAt) = 2

0aa)a1(aAA

011a

aa1

4222t

2

⟹ rango(AtA) = 2

a = 1

AAt =

21

12 ⟹ tAA = 3 ≠ 0 ⟹ existe (AAt )–1

(AAt)–1 = 3

1t

21

12

=

3

2

3

13

1

3

2

AAtX = B ⇔ (AAt)–1·(AAt)·X = (AAt)–1·B ⇔ X = (AAt)–1·B =

3

2

3

13

1

3

2

·

3

0 =

2

1

b) M3 + M + I = 0 ⟹ M + I = – M3 det(M + I) = det(–M3) = (–1)3·(–1)3 = 1At. E, polo apartado anterior, sábese que A – 2I det(3M + 3I) = det(3(M + I)) = 33·det(M + I) = 33·1 = 27

14

15. a) Estuda, segundo os valores de m o rango da matriz M =

128m

2mm2

321

.

b) Resolve a ecuación matricial A2X = B, sendo A =

12

10, B =

0

1.

a) M =

128m

2mm2

321

= –m2 + 8m – 16

M = 0 ⇔ m = 4

Polo tanto:

m ≠ 4 ⟹ rango(M) = 3 m = 4 ⟹ rango(M) = 1 (2ªF = 2·1ªF e 3ªF = 4·1ªF)

b) A2 =

12

10·

12

10 =

12

12

Como 2A = 4 ≠ 0, existe a matriz inversa de A2 e tense: A2X = B ⇔ X = (A2)–1·B

(A2)–1 = 4

1t

21

21

=

2

1

2

14

1

4

1

X =

2

1

2

14

1

4

1

·

0

1 =

2

14

1

16. Dada a matriz A =

011

m00

0m2

:

a) Calcula os valores de m para os que A ten inversa. b) Para m = 1, calcula a matriz X que verifica: X·A + X – 2A = 0.

a) A =

011

m00

0m2

= m2 – 2m = m(m – 2)

A = 0 ⇔ m = 0 ou m = 2

Así, A ten inversa para os valores de m distintos de 0 e 2.

b) m = 1; XA + X – 2A = 0 ⇔ XA + X = 2A ⇔ X(A + I) = 2A Para poder despexar X estúdase se a matriz A + I ten inversa:

IA =

111

110

011

= –1 + 1 – 1 = –1 ≠ 0 ⟹ existe (A + I)–1

Entón, X = 2A(A + I)–1.

15

Calcúlase (A + I)–1:

(A + I)–1 = 1

1

t

111

011

112

= –

101

111

112

=

101

111

112

E así: X =

022

200

024

·

101

111

112

=

002

202

226

17. a) Estuda, segundo os valores de m, o rango da matriz M =

mm2

001

m01

.

b) Para o valor m = 1, resolve a ecuación matricial MX = 3At, sendo A = 101 e

At = matriz trasposta de A. Para este valor de m, canto valerá o determinante da matriz 2M21?

a) M =

mm2

001

m01

= –m2

M = 0 ⇔ m = 0

Polo tanto:

m ≠ 0 ⟹ rango(M) = 3 m = 0 ⟹ rango(M) = 1 (2ªC e 3ªC son de ceros)

b) m = 1

1x3ordedecolumnamatrizA

3ordedecadradamatrizM

t ⟹ X é unha matriz columna de orde 3 x 1

112

001

101

·

z

y

x

=

3

0

3

⟹

3zyx2

0x

3zx

⟹ X =

3

6

0

m = 1 ⟹ det(M) = –1 det(M21) = (–1)21 = –1 ⟹ det(2M21) = 23·(–1) = –8 18. Sexan F1, F2, F3 as filas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz cadrada M de orde 3, con det(M) = –2. Calcula o valor do determinante da matriz que ten por filas F1 – F2, 2F1, F2 + F3.

Sábese que

3

2

1

F

F

F

= –2. Entón, polas propiedades dos determinantes, tense que

32

1

21

FF

F2

FF

=

3

1

2

F

F2

F

=

3

2

1

F

F

F2

= 2

3

2

1

F

F

F

= –4

16

19. Dada M =

11

01, calcula a matriz Y que verifica M·Y + M–1·Y = I, sendo M–1 a

matriz inversa de M e I a matriz unidade de orde 2.

M = 1

M–1 = 1

t

10

11

=

11

01

M·Y + M–1·Y = I ⇔ Y = (M + M–1)–1 e con M + M–1 =

20

02, obtense que

Y = 4

1t

20

02

=

4

1

20

02 =

2

10

02

1

20. Acha todas as matrices A = (aij), cadradas de orde tres, tales que a21 = a32 = 0 e A + At = 4I, sendo I a matriz identidade de orde tres e At a matriz trasposta de A, das que ademais sábese que o seu determinante vale 10.

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

⟹ At =

332313

322212

312111

aaa

aaa

aaa

A + At = 4I ⟹

3331

2322

131211

a0a

aa0

aaa

+

332313

2212

3111

aaa

0aa

a0a

=

400

040

004

⟹

⟹

33231331

232212

31131211

a2aaa

aa2a

aaaa2

=

400

040

004

⟹

0aa

0aa

2aaa

3113

2312

332211

⟹

⟹ A =

20a

020

a02

31

13

⟹ det(A) = 8 – 2a13a31 = 10 ⟹ a13a31 = –1

1a1a1aa

1aaa0aa

312313113

1331133113

Entón: A =

201

020

102

ou A =

201

020

102

.