Exp Teoria de Control 4

Materia: Automatización

El Tigre, Enero de 2012

Instituto Universitario de Tecnología“José Antonio Anzoátegui”

Ingeniería MecánicaNúcleo: El Tigre

Sistemas de Control

ContenidoContenido

Gráficos de Flujo de Señal

Definiciones

Propiedades de los Gráficos de Flujo de Señal

Algebra de los G.F.S.

Fórmula de la Ganancia de Mason

Ejercicios

Gráficos de Flujo de Gráficos de Flujo de SeñalSeñal

Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectados por ramas con dirección y sentido.

Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama conectada entre dos nodos, actúa como un multiplicador de señal.

Diagrama de Flujo de Señal

Gráficos de Gráficos de Flujo de SeñalFlujo de Señal

La señal fluye en un solo sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama.Si se utiliza un gráfico de flujo de señal para representar un sistema de control, puede usarse una fórmula de ganancia de Mason, para obtener las relaciones entre las variables del sistema sin necesidad de efectuar la reducción del gráfico.


Un nodo es un punto que representa una variable o señal.

Definiciones:

Nodo:

Es una ganancia real o una ganancia compleja entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse en términos de la función de transferencia entre dos nodos.

Transmitancia:

Una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos. La ganancia de una rama es una transmitancia.

Rama:


Gráficos de Gráficos de Flujo de SeñalFlujo de Señal

1x 2x 3x 4x

a

a1x

2x

Es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente.

Nodo de Entrada o Fuente:

Es un nodo que sólo tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente.

Nodo de Salida o Sumidero:

Gráficos de Flujo de SeñalGráficos de Flujo de Señal

1x 2x 3xa

b

1x 2x 3xa

b

Nodo de entrada: x1

Nodo de salida: x3


Es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.

Nodo Mixto:

1x2xa

bNodo de mixto: x1 y x2

Camino o trayecto es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas. Si no se cruza ningún nodo más de una vez, el camino o trayecto es abierto.

Camino o Trayecto:


1x2xa

b

Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual partió, y no cruza ningún otro más de una vez, es un camino o trayecto cerrado.

1x 2x 3xa b

Trayecto Abierto

Trayecto Cerrado

Es el producto de las transmitancias de ramas de un lazo.

Ganancia de Lazo:


Es un camino o trayecto cerrado

Lazo:1x 2x 3x

a b

c

abcLazo de Ganancia

Son disjuntos los lazos que no tienen ningún nodo común.

Lazos Disjuntos:


1x 2x 3x 4xa c

b d

Son lazos disjuntos

1x 2x 3xa c

b dNo son lazos disjuntos

Ganancia de lazo disjunto = L1L2

P (L1L2) = (a.b).(c.d)

Ganancia de lazo no disjunto = L1L2

P (L1L2) = 0

1L 2L

1L2L

Gráficos de Flujo de Gráficos de Flujo de SeñalSeñal

Es el camino o trayecto de un nodo de entrada (fuente) a un nodo de salida (sumidero), sin cruzar ningún nodo más de una vez.

Trayecto o Camino Directo:

1x 2x 3x 4xa b 1

Trayecto Directo

La ganancia de trayecto directo es el producto de las transmitancias de rama de un camino o trayecto directo.

Ganancia de Trayecto Directo:


1x 2x 3x 4xa b c

abcDirecto Trayecto de Ganancia


1x 2x 3x

4x

3xa b 1c

d

Nodo Fuente

Nodo Mixto

Nodo MixtoNodo

Fuente

Propiedades de los Propiedades de los G.F.S.G.F.S.

1. Una rama indica la dependencia funcional de una señal respecto a otra. Una señal pasa sólo en la dirección indicada por la flecha de la rama.2. Un nodo, suma las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas las ramas de salida.

3. Un nodo mixto que tiene ramas tanto de entrada como de salida, puede considerarse como un nodo de salida (sumidero) añadiendo una rama de salida de transmitancia unitaria. Sin embargo, éste método no se puede utilizar para cambiar un nodo mixto por una fuente.

Propiedades de los Propiedades de los G.F.S.G.F.S.

4. Para un sistema dado, un G.F.S. no es único. Se pueden dibujar muchos gráficos de flujo de señal diferentes para un sistema dado, escribiendo las ecuaciones del sistema en forma diferente.

Algebra de los G.F.S.Algebra de los G.F.S.Se debe colocar los nodos de entradas

(fuentes) a la izquierda, y los nodos de salida (sumideros), respectivamente. Las variables independientes y dependientes de las ecuaciones, se convierten en nodos de entrada y nodos de salida.

Algebra de los G.F.S.Algebra de los G.F.S.

1. El valor de un nodo con una rama de entrada, es:

2. La transmitancia total de ramas en cascada es igual al producto de todas las transmitancias de las ramas. Así se pueden combinar ramas en cascada en una única rama multiplicando sus transmitancias.

12 axx 1x 2xa

1x 2x 3xa b 1x 3x

ab


3. Se puede combinar ramas en paralelo sumando sus transmitancias

1x 2x

c

d

1x 2xdc


4. Se puede eliminar un nodo mixto

1x

3x 4x2x

a

bc

1x

4x2x

ac

bc

bc1

ab


5. Se puede eliminar un lazo

1x 2xa b

c 3x

1x 2x3x

a bc

1x3x

13

13

133

313

313

31223

x)bc1(

abx

abx)bc1(x

abxbcxx

bcxabxx

)cxax(bx

:aquí de

cxaxx ;bxx

Fórmula de Ganancia Fórmula de Ganancia de Masonde Mason

En muchos casos prácticos se desea determinar la relación entre la variable de entrada y una variable de salida en el gráfico de flujo de señal.

La transmitancia entre un nodo de entrada y un nodo de salida es la ganancia total, o transmitancia total, entre esos dos nodos.

La fórmula de ganancia de Mason, que es aplicable a la ganancia total, está dada por:

k

kkP 1

P


De donde:

k

kkP 1

P

Pk = ganancia de trayectoria o transmitancia de la k_ésima trayectoria directa

= determinante del gráfico

= 1 – (suma de todos los lazos de ganancia individuales) + (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos) – (suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos) + … = 1 -

f,e,dfed

c,bcb

aa LLLLLL


a

aL

c,b

cbLL

= suma de todas las ganancias de lazos individuales

f,e,d

fed LLL

= suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos.

= suma de los productos de ganancia de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos.

k = cofactor del determinante de la k_ésima trayectoria directa k_ésima eliminados, es decir, el cofactor de k se obtiene a partir de , para quitar los lazos que tocan la trayectoria Pk.

Ejercicio de los G.F.S.Ejercicio de los G.F.S.

)(sR1 1 1G 2G

1H

3G

2H

1

1)(sy

Estudio de la Estudio de la Trayectoria DirectaTrayectoria Directa

)(sR1 1 1G 2G

1H

3G

2H

1

1)(sy

3213211 ..1....1.1 GGGGGGP

Estudio de los lazos Estudio de los lazos (L(L11))

)(sR1 1 3G

2H

1

1)(sy

1211 HGGL

1G 2G

1H


)(sR1 1 1G 2G

1H

3G

2H

1

1)(sy

2322 HGGL

1 1G 2G 3G


)(sR1

1H

2H

1

1)(sy

3213213 ..1....1 GGGGGGL


De donde:

k

kkP 1

P

= 1 - f,e,d

fedc,b

cba

a LLLLLL

3213211 ..1....1.1 GGGGGGP

321232121

321232121321 )()(

GGGHGGHGGL

GGGHGGHGGLLLL

aa

aa

Estudio de los lazos Estudio de los lazos dobles (Ldobles (L11LL22))

)(sR1 1 3G

2H

1

1)(sy1G 2G

1H

L1 y L2 no son lazos disjuntosL1L2 = 0

1G 2G


)(sR1 1 3G

2H

1

1)(sy

1H


2G


)(sR1 1 1G

1H

3G

2H

1

1)(sy



De donde:

k

kkP 1

P

= 1 - f,e,d

fedc,b

cba

a LLLLLL

3213211 ..1....1.1 GGGGGGP

0 0

)()(

,,,

321232121

321232121321

fedfed

cbcb

aa

aa

LLLLL

GGGHGGHGGL

GGGHGGHGGLLLL

No hay lazos disjuntos ni dobles, ni triples


321232121

321

321232121

32111

......1

..

)0()0()......(1

)1).(..(

GGGHGGHGG

GGG

GGGHGGHGG

GGGP


)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

Estudio de las Estudio de las Trayectorias DirectasTrayectorias Directas

)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H54321543211 ....1..... GGGGGGGGGGP

546154612 ...1.... GGGGGGGGP

7217213 ..1... GGGGGGP

Estudio de los LazosEstudio de los Lazos

)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H14141 .).( HGHGL

265425462 ...).(.. HGGGHGGGL

2722723 ..).(. HGGHGGL 25432254324 ....).(... HGGGGHGGGGL


De donde:

k

kkP 1

P

54321543211 ....1..... GGGGGGGGGGP

546154612 ...1.... GGGGGGGGP

7217213 ..1... GGGGGGP

14141 .).( HGHGL 265425462 ...).(.. HGGGHGGGL

2722723 ..).(. HGGHGGL 25432254324 ....).(... HGGGGHGGGGL

Trayectoria Directa:

Lazos:


)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

De donde:

3322113

1

1P

PPPP kk

Estudio de los Lazos Estudio de los Lazos Disjuntos (LDisjuntos (L11LL22))

)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H



)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

L1 y L3 son lazos disjuntos por lo tanto su ganancia es:

L1L3 = G4.(-H1).G2. G7. (-H2)=G2.G4.G7.H1.H2

4G 5G3G


)(sR 1G 2G 1)(sR

6G

1H

7G

2H



)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

L2 y L3 no son lazos disjuntosL2L3 =0


)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H



)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

L3 y L4 no son lazos disjuntosL3L4 =0

Estudio de los Lazos Estudio de los Lazos Disjuntos (LDisjuntos (L11LL22LL33))

)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

L1,L2 y L3 no son lazos disjuntosL1L2L3 = 0


)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H



)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H



)(sR 1G 2G 3G 4G 5G 1)(sR

6G

1H

7G

2H

L2, L3 y L4 no son lazos disjuntosL2L3L4=0


De donde:

k

kkP 1

P

= 1 - jihg

jihgfed

fedcb

cba

a LLLLLLLLLL,,,,,,

25432272265414

25432

272265414

4321

..........

)....(

)..()...().(

HGGGGHGGHGGGHGL

HGGGG

HGGHGGGHGL

LLLLL

aa

aa

aa


0LLLLLLLL

00000LLL

LLLLLLLLLLLLLLL

.H.H.G.GGLL

0000.H.H.G.GG0LL

LLLLLLLLLLLLLL

4321jj,i,h,g

ihg

f,e,dfed

432431421321f,e,d

fed

21742c,b

cb

21742c,b

cb

434232413121c,b

cb


2174225432

272265414

2174225432

272265414

H.H.G.G.GH.G.G.G.G

H.G.GH.G.G.GH.G1

00)H.H.G.G.G()H.G.G.G.G

H.G.GH.G.G.GH.G(1

1

1

)0()000(

)000000()0000(1


2

1

)0()000(

)000000()0000(1

3

1414 HG1)HG(1

)0()000(

)000000()0000(1


2174225432272265414

721546154321

2174225432272265414

14721546154321

332211

H.H.G.G.GH.G.GG.GH.G.GH.G.G.GH.G1

G.G.GG.G.G.GG.G.G.G.GP

H.H.G.G.GH.G.GG.GH.G.GH.G.G.GH.G1

)H.G1).(G.G.G()1).(G.G.G.G()1).(G.G.G.G.G(P

PPPP

GRACIAS POR SU GRACIAS POR SU ATENCION.ATENCION.

http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/unidad1y2.pdf

http://www.esi2.us.es/~guiller/CD%200506-tema%201.pdf

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