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ROBABILIDADES (ITEL-30205)
Tema 1. Fundamentos de Estadstica Descriptiva
Distribucin de frecuencias y medidas de localizacin
Objetivos a lograr:
Definir experimento aleatorio, su propsito y sus tipos e
ilustrar con ejemplos prcticos Definir espacio muestral y sus tipos
e ilustrar con ejemplos prcticos Definir eventos y dar ejemplos de
ciertos eventos caractersticos Destacar el uso de Diagramas de Venn
para la comprensin del uso de eventos Definir probabilidad Discutir
los dos enfoques hasta ahora conocidos para ilustrar el concepto de
probabilidad
1.2. Clasificacin:
a. Simple.
Ejemplos: Lanzamiento de una moneda
Lanzamiento de un dado
Escogencia al azar de una pelota de una caja que contiene n
pelotas negras y v pelotas
verdes
Escogencia al azar de una persona
Inspeccin de calidad de un producto fabricado
Anotacin del sexo de un recin nacido
Anotacin de la duracin de una llamada telefnica
Medicin de la temperatura interna de un tanque que contiene un
fluido
Medicin del nmero de personas que ingresan a una entidad
bancaria en una hora
Medicin del tiempo entre llegadas de los usuarios de un
aeropuerto
Elegir al azar una placa de un automvil compuesta por tres
letras y tres nmeros
Elegir al azar un grupo de 5 personas de un universo de 17
personas
Elegir al azar un nmero de tres cifras entre 100 y 999
Elegir al azar una forma de colocar 12 libros en una
estantera
Elegir al azar un cdigo de rea de cinco dgitos del 1 al 5 sin
repeticiones
b. Compuesto. Implica la realizacin de varios experimentos
simples de forma simultnea o de forma sucesiva.
Ejemplos:
Lanzamiento de una moneda n veces
Lanzamiento de n monedas de forma simultnea
ELEMENTOS DE ESTADSTICA (0260) Tema 1. Introduccin a la
Probabilidad
Semana 01 Clase 01 Jueves 11/04/13 11:00 a 1:00 pm
1. EXPERIMENTO ALEATORIO
1.1. Definicin. Experimento en el cual no se puede predecir el
resultado antes de realizarlo. Para que un experimento sea
aleatorio debe tener al menos dos resultados posibles.
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Lanzamiento de un dado n veces
Lanzamiento de n dados de forma simultnea
Lanzamiento de un dado y dos monedas
Anotacin de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de
una caja que
contiene n pelotas negras y v pelotas verdes donde cada vez que
se escoge y se anota
una pelota, sta es devuelta a la caja
Anotacin de las n pelotas escogidas al azar
de forma sucesiva de una caja que contiene
n pelotas negras y v pelotas verdes donde
cada vez que se escoge y se anota una
pelota, sta no es devuelta a la caja
Anotacin de las n pelotas escogidas al azar
de forma simultnea de una caja que
contiene n pelotas negras y v pelotas verdes
Inspeccin de calidad de varios productos fabricados
b.1. Compuesto con independencia. Un mismo experimento simple es
repetido varias veces bajo las mismas condiciones sin alterar en
cada ejecucin el nmero de
resultados posibles
Ejemplos: Lanzamiento de una moneda n veces
Lanzamiento de n monedas de forma
simultnea
Lanzamiento de un dado n veces
Lanzamiento de n dados de forma
simultnea
Lanzamiento de tres dados y dos
monedas
Anotacin de las n pelotas escogidas al azar de forma sucesiva de
una caja que
contiene N pelotas negras y V pelotas verdes donde cada vez que
se escoge y se
anota una pelota, sta es devuelta a la caja
Inspeccin de varios productos fabricados
b.2. Compuesto sin independencia. Un mismo experimento simple es
repetido varias
veces alterando en algunas o en todas las ejecuciones el nmero
de resultados
posibles
Ejemplos:
Anotacin de las n pelotas escogidas al
azar de forma sucesiva de una caja que
contiene n pelotas negras y v pelotas
verdes donde cada vez que se escoge y
se anota una pelota, sta no es
devuelta a la caja
Anotacin de las n pelotas escogidas al
azar de forma simultnea de una caja
que contiene n pelotas negras y v
pelotas verdes
Observacin 1. Un mismo
experimento simple puede ser
ejecutado varias veces. El nmero de
resultados de este experimento
simple pudiera no ser el mismo cada
vez que se realiza. Esta observacin
da origen a una clasificacin de un
experimento compuesto.
Observacin 2. Un caso particular de un experimento compuesto
con
independencia ocurre cuando se
realiza un MUESTREO ALEATORIO CON REPOSICIN (MCR). Esta
situacin es ilustrada en el ejemplo
de las pelotas negras y verdes.
Observacin 3. Un caso particular
de un experimento compuesto con
independencia ocurre cuando se
realiza un MUESTREO ALEATORIO
SIN REPOSICIN (MSR). Esta situacin es ilustrada en el
ejemplo
de las pelotas negras y verdes.
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1.3. Experimento de Bernoulli. Es un experimento aleatorio que
posee solo dos resultados
posibles.
1.4. Experimento Binomial. Es un experimento aleatorio que
consiste en la repeticin sucesiva
de n veces el Experimento de Bernoulli bajo las mismas
condiciones.
1.5. Experimento Geomtrico. Es un experimento
aleatorio que consiste en la repeticin sucesiva de
del Experimento de Bernoulli bajo las mismas
condiciones hasta que se determina la ocurrencia
de una situacin previamente definida por primera
vez.
Ejemplo. Se lanza un dado normal tantas veces
como sea necesario hasta que se obtenga seis por
primera vez. Luego de ocurrido lo anterior se
detiene el proceso.
1.6. Experimento Binomial Negativo de orden r. Es
un experimento aleatorio que consiste en la
repeticin sucesiva del Experimento de Bernoulli
bajo las mismas condiciones hasta que se
determina la ocurrencia de una situacin
previamente definida por r-sima vez. El
Experimento Geomtrico es considerado un
Experimento Binomial Negativo de orden 1.
Ejemplo. Se lanza un dado normal tantas veces como sea necesaria
hasta que salga seis por
tercera vez. Luego de ocurrido lo anterior se
detiene el proceso.
1.7. Propsito de un Experimento Aleatorio. Define lo que se
persigue observar despus de
ejecutado el experimento aleatorio. Ejemplos:
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado normal con dos
caras blancas y
cuatro caras negras sobre una mesa circular. Algunos propsitos
que pudieran ser definidos sobre este experimento:
Propsito 1. Determinar el nmero obtenido en la cara superior del
dado
Propsito 2. Determinar el color de la cara superior del dado
Propsito 3. Determinar la distancia entre el centro de la mesa y el
punto central de la
cara inferior del dado
Experimento aleatorio: Escogencia al azar de un estudiante de
Ingeniera de una universidad especfica. Algunos propsitos que
pudieran ser definidos sobre este
experimento:
Propsito 1. Determinar la edad de la persona Propsito 2.
Determinar el tipo de Ingeniera que estudia
Propsito 3. Determinar el ltimo dgito de su cdula
Observacin 4. Si se asume el Experimento de Bernoulli como
un
experimento aleatorio simple,
entonces los Experimentos Binomial,
Geomtrico y Binomial Negativo
pueden ser considerados como
experimentos compuestos con
independencia.
Observacin 5. En el Experimento Binomial se sabe de antemano
la
cantidad de veces que se repetir el
Experimento de Bernoulli mientras
que en los Experimentos Geomtrico
y Binomial Negativo de orden r esto
no se sabe a priori ya que la
ocurrencia de la situacin
previamente definida es considerada
aleatoria o fortuita.
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2.2. Clasificacin:
a. Discreto y finito. El nmero total de resultados de ese
experimento es un nmero finito.
Ejemplos: En el experimento aleatorio de lanzar una
moneda con el propsito de determinar lo
que ocurri en la cara superior, los posibles
resultados son cara y sello. Luego el espacio
muestral puede escribirse como
{ }S cara,sello= . Este espacio muestral tiene dos posibles
resultados (Experimento de
Bernoulli).
En el experimento aleatorio de lanzar un
dado con el propsito de determinar el
nmero obtenido en la cara superior del
dado, los posibles resultados son cada una
de las seis caras del dado. Este espacio
muestral puede escribirse como
{ }S 1,2,3,4,5,6= con seis resultados. En el experimento
aleatorio de lanzar un
dado normal con dos caras blancas y cuatro
caras negras con el propsito de determinar
el color de la cara superior del dado, los
posibles resultados son blanco y negro. El
espacio muestral se escribe como
{ }S blanco,negro= . Este espacio muestral tiene dos posibles
resultados (Experimento
de Bernoulli).
b. Discreto e infinito numerable. El nmero total de resultados
de ese experimento es un nmero infinito pero se pueden ordenar en
una sucesin.
Ejemplos:
En el experimento aleatorio de observar el nmero de personas que
entran a un banco
durante un perodo de una hora, el espacio muestral puede
escribirse como
{ }S 0,1,2,...= Este espacio muestral tiene infinitos
resultados. En el experimento aleatorio de lanzar un dado tantas
veces como sea necesaria hasta
que salga seis por primera vez con el propsito de determinar el
lanzamiento donde
ocurre esto por primera vez, el espacio muestral puede
escribirse como { }S 1,2,...= Este espacio muestral tiene infinitos
resultados (Experimento Geomtrico).
2. ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO d
2.1. Definicin. Es el conjunto de todos los posibles resultados
de ese experimento. Se denotar con la letra S.
Observacin 6. Cada vez que se
utilice la matemtica con el objeto
de estudiar fenmenos observables,
es indispensable empezar por
construir un modelo matemtico
para estos fenmenos. Es necesario
que este modelo simplifique las
cosas y permita la omisin de ciertos
detalles. El xito del modelo depende
de si los detalles que se omitieron
tienen o no importancia en el
desarrollo de los fenmenos
estudiados. Corrientemente, es
bastante difcil afirmar con certeza si
un modelo matemtico es adecuado
o no, antes de obtener algunos datos
mediante la observacin. Para
verificar la validez del modelo, se
debe deducir un cierto nmero de
consecuencias del mismo y luego
comparar con las observaciones esos
resultados predichos.
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c. Continuo. El nmero total de resultados de ese experimento es
un nmero infinito que
no se puede ordenar en una sucesin. Aqu el conjunto de
resultados viene dado por
intervalos.
Ejemplos:
En el experimento aleatorio de medir el voltaje entre un cierto
punto y tierra en el
circuito de un receptor de radio, el espacio muestral puede
escribirse como
{ }MAXS v :0 v v= . Este espacio muestral tiene infinitos
resultados. En el experimento aleatorio de escoger un nmero
aleatorio entre cero y uno en un
computador, el espacio muestral puede escribirse como { }S r : 0
r 1= . Este espacio muestral tiene infinitos resultados.
En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal sobre una
mesa circular con el
propsito de determinar la distancia entre el centro de la mesa y
el punto central de la
cara inferior del dado, el espacio muestral puede escribirse
como { }S r : 0 r R= , donde R representa el radio de la mesa. Este
espacio muestral tiene infinitos
resultados.
2.3. Cardinalidad de un conjunto C. Es el nmero de elementos que
posee el conjunto C. Se
denotar por CN .
2.4. Cardinalidad del espacio muestral. Ejemplos:
En el experimento aleatorio de lanzar una moneda con el propsito
de determinar lo que
ocurri en la cara superior, el espacio muestral { }S cara,sello=
tiene cardinalidad 2, es decir SN 2= .
En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propsito de
determinar el nmero
obtenido en la cara superior del dado, el espacio muestral { }S
1,2,3,4,5,6= tiene cardinalidad 6, es decir SN 6= .
En el experimento aleatorio de lanzar un dado normal con dos
caras blancas y cuatro
caras negras con el propsito de determinar el color de la cara
superior del dado, el
espacio muestral { }S blanco,negro= tiene cardinalidad 6, es
decir SN 6= . En este ejemplo se puede afirmar que blancoN 2= y
negroN 4= .
En el experimento aleatorio de lanzar dos dados con el propsito
de observar el nmero
obtenido en la cara superior del primer dado y el nmero obtenido
en la cara superior del
segundo dado, el espacio muestral { }S (i, j) / i, j
1,2,3,4,5,6= = tiene cardinalidad 36, es decir SN 36= .
3. EVENTOS O SUCESOS
3.1. Definicin. Es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Se denotan con las letras
maysculas, por ejemplo, A,B,C.
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3.2. Algunos eventos de intres:
a. Evento complemento de A. Subconjunto del espacio muestral que
contiene los resultados
que no estn en el evento A.
b. Evento elemental. Evento que contiene solo un resultado del
experimento aleatorio.
c. Evento compuesto. Evento que contiene ms
de un resultado del experimento aleatorio.
d. Evento seguro. Evento que contiene todos los
resultados del experimento aleatorio.
e. Evento imposible. Evento que no contiene ningn resultado del
experimento aleatorio.
f. Eventos mutuamente excluyentes (o
disjuntos). Eventos de interseccin vaca, es decir, que no poseen
elementos comunes.
g. k eventos colectivamente exhaustivos. Son los eventos 1A , 2A
, , kA del espacio muestral
S tales que 1 2 kA A ... A S = .
Ejemplos:
En el experimento aleatorio de lanzar un dado
con el propsito de determinar el nmero
obtenido en la cara superior del dado, algunos
eventos compuestos que se pueden definir son:
{ } { } A cara i / i par 2,4,6= = , { } { } B cara i / i primo
2,3,5= =
En el experimento aleatorio de lanzar un dado con el propsito de
determinar el nmero
obtenido en la cara superior del dado, el evento complemento de
A viene dado por
{ } { } cA cara i / i impar 1,3,5= =
3.3. Diagramas de Venn. Son ilustraciones donde se representa
cada conjunto con un crculo o
un valo. La figura 1 muestra Diagramas de Venn para ilustrar
cuatro situaciones que
involucran eventos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos.
Figura 1. Cuatro situaciones ilustradas usando Diagramas de
Venn
Observaciones de inters:
Las notaciones ms comunes para
el evento complemento de A son
A, cA y A
El evento seguro es el espacio
muestral S
El evento imposible es el conjunto
vacio Todos los eventos elementales
son mutuamente excluyentes
Todos los resultados posibles de
un espacio muestral son
mutuamente excluyentes
Los eventos A y cA son
mutuamente excluyentes o
disjuntos
Los eventos A y cA son
colectivamente exhaustivos
Todo evento elemental tiene
cardinalidad uno
El evento imposible tiene
cardinalidad cero
El evento complemento de A tiene
cardinalidad igual a S AN N
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4.2. Probabilidad del evento A (Versin de frecuencias
relativas). Sea un experimento aleatorio que se va a repetir n
veces y sea An el
nmero de esas veces que ocurre el evento A,
entonces se conocer como probabilidad del evento
A al lmite cuando n tiende a infinito de la
frecuencia relativa de A.
La probabilidad del evento A se define mediante la ecuacin
AA
n n
nP(A) lm f lm
n = = .
La ecuacin anterior no es prctica para calcular la probabilidad
de A. En su defecto, se usa
la ecuacin
AnP(A)n
, cuando n es grande.
Este enfoque para calcular la probabilidad del evento A se le
conoce como probabilidad a posteriori.
4.3. Ejemplo 1. Se lanza una moneda 2000 veces y se calcula la
frecuencia relativa del evento A definido como sale cara. La
sucesin de resultados del experimento se refleja en la figura 2
Figura 2. Experimento de la moneda usando la versin de
frecuencias relativas
4. PROBABILIDAD
4.1. Definiciones
Es una manera de cuantificar la incertidumbre que existe en un
experimento aleatorio
Medida numrica del chance de ocurrencia de un evento
Es una relacin matemtica que asigna a cada resultado del
experimento aleatorio un
nmero real que se encuentra en el intervalo [0,1]
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.4
0.6
0.8
1
Intentos
Prob
abilid
ad de
qu
e sa
lga ca
ra
LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 1 SIMULACIN
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Intentos
Prob
abilid
ad de
qu
e sa
lga ca
ra
LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: SELLO=0,CARA=1 - 4 SIMULACIONES
Observaciones de inters: La probabilidad de un evento A se
denotar P(A)
Posibilidad Probabilidad
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Ejemplo 2. Se lanza un dado 2000 veces y se calcula la
frecuencia relativa del evento A
definido como sale tres. La sucesin de resultados del
experimento se refleja en la figura 3
Figura 3. Experimento del dado usando la versin de frecuencias
relativas
4.4. Probabilidad del evento A (Versin clsica Espacio muestral
discreto y finito). Sea un experimento aleatorio cuyo espacio
muestral es discreto y finito de cardinalidad SN y sea
un evento A con cardinalidad AN , entonces se conocer como
probabilidad del evento A a la
relacin entre AN y SN dada por
A
S
NP(A)
N= .
4.5. Probabilidad del evento A (Versin clsica Espacio muestral
continuo). Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es
continuo, sea SL la longitud del espacio
muestral y sea AL la longitud del evento A, entonces se conocer
como probabilidad del
evento A a la relacin entre AL y SL dada por
A
S
LP(A)
L= .
4.6. Observaciones de inters:
Para establecer la definicin clsica no es necesario realizar el
experimento, slo analizar
los posibles resultados
Si A es un evento elemental, entonces SP(A) 1 / N= . En
consecuencia, los eventos
elementales son equiprobables
La longitud del espacio muestral continuo debe ser finita
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.1
0.2
0.3
0.4
Intentos
Prob
abilid
ad de
qu
e sa
lga tre
s
LANZAMIENTO DE UN DADO - 1 SIMULACIN
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Intentos
Prob
abilid
ad de
qu
e sa
lga tre
s
LANZAMIENTO DE UN DADO - 4 SIMULACIONES
