2.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS SINUSOIDALESUna onda sinusoidal es aquella que usualmente se ve en los dispositivos electrónicos, por ejemplo un osciloscopio, esta señal o función es empleada para modelar el comportamiento de varios fenómenos físicos entre ellos la electricidad. Las características o propiedades de la función son descriptas a continuación.

2.1.1 AMPLITUDLos valores de la señal varían entre un valor máximo o Valor Pico y uno minimo -Valor Pico mientras la función seno varía entre 1 y -1 con respecto al tiempo, es así que para el tiempo en que la función seno es 1 su máxima amplitud es el valor alcanzado en el eje vertical de dicho tiempo y el mínimo valor será cuando el seno sea -1. Luego para determinar la amplitud de la señal se debe partir la señal en igualdad de partes.

Figura 1.1

2.1.2 FUNCIÓNLa función que da forma a la señal seno en el dominio del tiempo para una fuente de tensión es:

Ecuación 1.1

Donde• Vpico   es la amplitud máxima en voltios alcanzada por la función ( V ) • ω   es la velocidad angular 2π f rad/s • θ   es el ángulo de fase en grados o en radianes • B   es la tensión promedio de la señal o componente de tensión directa ( V )

2.1.3 VELOCIDAD ANGULAREsta propiedad hace mención a la velocidad de rotación en un giro cerrado de la función, esta rotación es el recorrido de los ángulos por unidad de tiempo, la velocidad angular está definida en radianes por segundo.

Ecuación 1.2

Observando la ecuación, f es la frecuencia de la función seno, es decir, los ciclos o giros realizados por segundo, por ejemplo dos giros en un segundo, diez giros por segundo, etc., la unidad de la frecuencia es el hercio y está definida como:

Ecuación 1.3

Debido a estos ciclos, se atribuye a la función seno la propiedad periódica por la evidente repetición de su forma de onda a medida que avanza o se evalúa con el tiempo, esto significa que el valor de la señal para un tiempo t es exactamente el mismo al haber transcurrido cierto tiempo después, consecuentemente el periodo T o el giro completo ocurre en el transcurso del tiempo, su unidad es el segundo.

Ecuación 1.4

2.1.4 ÁNGULO DE FASEEn conceptos gráficos, es un componente angular que atrasa o adelanta alcanzar la amplitud máxima de la señal si se compara con una onda de referencia de la misma frecuencia. Éste ángulo puede expresarse en grados o en radianes.

En la ecuación anterior, el ángulo de fase negativo agregado atrasa la señal seno que anteriormente comenzaba en el origen del plano cartesiano, la cual ahora nos sirve de referencia inicial para observar la variación procedente del ángulo.

Figura 1.2

Por otra parte, si el ángulo es positivo la onda se adelanta con respecto a la señal de referencia, como en la siguiente grafica.

Figura 1.3

Ahora bien, es el osciloscopio el instrumento con el cual se visualiza las señales sinusoidales en los circuitos, en el se observa la amplitud de la onda con respecto al tiempo unicamente, la figura 1.4 es un ejemplo.

En conclusión, si el ángulo es negativo la onda se atrasa y si es positivo se adelanta con respecto a la señal inicial de referencia, a lo cual se dice, funciones desfasadas; para el caso que el ángulo sea cero, las funciones están en fase.

Figura 1.4

Si se quiere determinar el ángulo de desfase de la figura anterior, se utiliza directamente la gráfica, convirtiendo la diferencia de tiempo entre las ondas en grados y este será el desfase entre ambas.

Determinado el desfase en 90° en atraso en relación con la función de referencia, la función es de la siguiente manera:

2.4. VECTOR GIRATORIO Y GENERACIÓN DE FUNCIONES SINUSOIDALES

Los elementos energizados a una fuente de voltaje sinusoidal en un circuito muestran una onda sinusoidal a causa de éste estimulo, la onda de corriente o de tensión en el dominio del tiempo puede visualizarse en un osciloscopio (parte derecha de la animación) pero no en el dominio de la frecuencia (parte izquierda, fasor).

Animación 4.1

2.4.1 ALGORITMO PARA PASAR DEL DOMINIO DEL TIEMPO AL DOMINIO DE LA FRECUENCIAPasar la onda del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, como en la animación anterior, se requiere aplicar la forma exponencial de Euler a la onda sinusoidal teniendo en cuenta las características resaltadas a continuación en colores.

Apartando la componente del tiempo para tenerla de referencia por estar inherente en el giro del vector al estar multiplicando la frecuencia con la cual el vector gira en el plano, queda el ángulo de fase.

La ecuación anterior es la representación en el dominio de la frecuencia de una onda sinusoidal, donde la máxima amplitud de color naranja y el ángulo de fase de la función color azul celeste en el dominio del tiempo serán la magnitud y el ángulo de fase del vector giratorio en el dominio de la frecuencia respectivamente.

2.4.1.1 CONCEPTO DE FASOREl comportamiento de una onda en el dominio del tiempo es un fasor o un vector giratorio en el dominio de la frecuencia, es plasmado en un plano complejo o diagrama fasorial, un eje real y uno imaginario, los fasores utilizados para el diagrama son vectores giratorios a una velocidad angular. Los componentes de un fasor son:

Magnitud, la cual hace referencia a la amplitud de la señalProyección, la cual se refiere al valor tomado en el eje Y en cada instante de tiempo.Velocidad angular, esta indica que tan rápido hace un giro de 360 grados.

Donde el valor de la magnitud es constante y equivalente a la amplitud de la señal en el dominio del tiempo, el ángulo hace referencia si entra en fase, adelantada o en atraso (ángulo positivo o ángulo negativo) con respecto a una onda de referencia u otras. La proyección del fasor a lo largo del eje Y es igual que en la función del tiempo.

2.4.1.2 ALGORITMO PARA PASAR DEL DOMINIO DE LA FRECUENCIA AL DOMINIO DEL TIEMPOEn éste caso, se parte identificando en un fasor su magnitud y su ángulo de fase los cuales pasaran iguales al dominio de la frecuencia:

Luego, se completa con la velocidad angular con la que gira el fasor en el diagrama junto con el tiempo de la señal:

La velocidad angular depende de la frecuencia trabajada en la red, por ejemplo en Colombia se maneja una frecuencia igual a 60 Hz quedando una onda así:

RELACIONES FASORIALES EN ELEMENTOS DE CIRCUITOS (R, L Y C)

Utilizando la representación de la onda sinusoidal en el dominio de la frecuencia, un fasor, se puede establecer las ondas producidas en los elementos del circuito a partir de una fuente.

El circuito en el dominio de la frecuencia cumple al igual que en el domino del tiempo con la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff, lo cual se verá más adelante.

2.5.1 IMPEDANCIAEste concepto es propio del dominio frecuencial para referirse a la oposición de los elementos eléctricos al paso de la corriente eléctrica, es equivalente a la resistencia en el análisis temporal.

Ecuación 5.1

La relación fasorial del voltaje empleado y corriente producida es la impedancia, medida en Ohmios y es a su vez, la oposición al paso de corriente en el elemento. No es un fasor, es una cantidad compleja que no depende del tiempo ni varia sinusoidalmente. Ahora, se determina que compone la impedancia:

Ecuación 5.2

Al descomponer la forma exponencial a rectangular, aparece el concepto de resistencia R y de reactancia X, la resistencia es parte real y la reactancia es la componente imaginaria del fasor o vector giratorio, la cual si es positiva es inductiva y si es negativa es capacitiva. No necesariamente la impedancia viene acompañada de la reactancia. Cuando la parte imaginaria es cero, la impedancia es puramente resistiva y cuando la componente real es cero puede ser puramente inductiva o capacitiva.

La impedancia para los tres dispositivos pasivos es diferente pero la relación de voltaje y corriente fasorial es igual. A continuación se detalla cada uno.

Resistencia – la impedancia se determina pasando la Ley de Ohm en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

Bobina – se obtiene la impedancia de la bobina suponiendo una corriente en su ecuación de voltaje vista en el capítulo del 1.1:

Por identidad de Euler se obtiene que:

Ecuación 5.4

Gráficamente, la bobina ocupa la reactancia de la impedancia, es decir, el eje imaginario, a si mismo es determinada multiplicando la inductancia por la frecuencia del circuito,

idealmente no tiene parte real.

Conceptualmente, los circuitos con frecuencias enormes la bobina es un corto circuito pero cuando la frecuencia es nula (corriente directa), la bobina es un circuito abierto.

Condensador – utilizando la ecuación de corriente del condensador vista en el capítulo 1.2 con un voltaje sinusoidal se obtiene su impedancia.

Ecuación 5.5

Gráficamente, el condensador ocupa el eje imaginario de la impedancia pues es multiplicado por el número complejo. Su reactancia es determinada multiplicando la capacitancia por la frecuencia del circuito. Idealmente no tiene parte real.

Conceptualmente, la reactancia capacitiva está multiplicada por la frecuencia y de depende de ella, por eso se comporta para enormes valores de frecuencia como un corto circuito y para valores nulos, corriente directa, como un circuito abierto.

2.5.1.1 IMPEDANCIA EQUIVALENTELa reducción de impedancias se desarrolla dependiendo de su conexión dispuesta, sea en serie cuando fluye la idéntica corriente y en paralelo cuando es igual la tensión aplicada a varios elementos, para posteriormente sumarlos y encontrar su equivalente. Se debe tener presente que la parte real, la resistencia no se suma con la parte imaginaria, la reactancia, pero si la reactancia inductiva con la capacitiva por estar ambas en el eje imaginario. La parte real y la parte compleja forman la impedancia.

CONEXIÓN EN SERIEConsiderando un circuito con impedancias adecuadas en serie alimentado con una fuente de voltaje fasorial se puede establecer que:

Ecuación 5.6

CONEXIÓN EN PARALELOEn el arreglo de impedancias en paralelo donde cada elemento comparte la misma tensión puede analizarse de la siguiente manera:

LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Al igual que en el análisis de circuitos en el dominio temporal la leyes de Kirchhoff eran validas, en el dominio frecuencial también lo son, así mismo la Ley de Ohm aporto la definición de impedancia. La utilización de LVK y LCK aporto a la equivalencia o reducción de las conexiones serie y paralelo de los elementos y también lo hará para el análisis de las variables.

Ecuación 6.1

Empleando la Ley de Voltajes de Kirchhoff LVK al lazo cerrado al circuito se obtiene las magnitudes de los fasores de voltaje y las diferentes fases asociadas con la corriente en cada uno de los elementos.

Ecuación 6.1

La ecuación anterior es la magnitud del fasor de corriente, la cual para un circuito en serie, tiene la misma amplitud y ángulo de fase, éste ultimo definido por la siguiente ecuación:

Ecuación 6.2

Del lazo cerrado inicial al circuito, el fasor de corriente está en fase con el voltaje, el voltaje inductivo está en atraso 90° y el voltaje capacitivo esta en adelanto 90°. Los tres fasores de voltaje están en su diagrama fasorial de la figura de abajo.

2.6.1 DIAGRAMAS FASORIALESLa representación grafica en el dominio de la frecuencia para el fasor de corriente, de voltaje, la impedancia y demás, se describe en un plano complejo; el eje X es la componente real y el eje Y es la componente imaginaria. En el plano, la magnitud del fasor gira en sentido contrario a las manecillas del reloj con velocidad angular ω. La figura 6.2 muestra el diagrama fasorial de corriente y voltaje para cada uno de los elementos el circuito RLC.

Figura 6.2

Animación 6.1

Analizando gráficamente la figura 6.2, la relación entre corriente y voltaje: en la resistencia el fasor de corriente y de voltaje están en fase, mismo ángulo; en la bobina el fasor de

corriente está en atraso 90° con respecto a su fasor de tensión inductivo; y para el condensador el fasor de corriente está en adelanto 90° con respecto a su fasor de voltaje capacitivo. Las respectivas posiciones relativas de los fasores giran con frecuencia angular predefinida por la fuente. El diagrama fasorial de tensiones se traza en la figura 6.3.

Figura 6.3

Ecuación 6.3

La expresión anterior es la magnitud de la fuente. Igualmente conduce a la magnitud del fasor de corriente en el circuito como en la ecuación 6.3. Por último, la impedancia equivalente para la conexión RLC serie es definida por la ecuación 5.7, la magnitud y el ángulo en la ecuación 5.6. La figura 6.4 ilustra el diagrama para la impedancia.

Animacion 6.4

Ecuación 6.4

Pasando a la conexión en paralelo, figura 6.4, se requiere la Ley de Corriente de Kirchhoff, LCK para un nodo, comenzando en el nodo de la resistencia, donde la corriente del circuito es igual a la suma de las tres corrientes.

Figura 6.5

Ecuación 6.5

El diagrama fasorial para las corrientes del circuito RLC en paralelo es representado en la figura 6.5. El diagrama asocia el voltaje sobre los tres elementos, el cual es el mismo. Sin embargo, las corrientes son todas diferentes. Para la resistencia en particular, el voltaje está en fase con la corriente.

Figura 6.6

La magnitud de la impedancia equivalente es definida por la ecuación 6.5.

Ecuación 6.6

El diagrama fasorial para la impedancia del circuito en paralelo RLC es dibujado en la figura 6.6. El diagrama asocia la resistencia y la reactancia inductiva y capacitiva del circuito definiendo así la impedancia en paralelo.

Figura 6.7