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Resolucion de Ecuaciones Parabolicas

Bidimensionales Mediante la Descomposicion

del Operador Diferencial

Alvaro M. Naupay Gusukuma.

Universidad Nacional de Ingenierıa, Facultad de Ciencias, Escuela de

Matematica

January 3, 2013


Resumen

1 Ejemplo 1

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4 Comentarios

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Resumen

1 Ejemplo 1

2 Ejemplo 2

3 Resultados

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Ecuacion de calor bidimensional

EDP ut = uxx + uyy 0 < x , y < π t > 0

u(0, y , t) = u(π, y , t) = 0 CC.

u(x , 0, t) = u(x , π, t) = 0

u(x , y , 0) = senxseny CI.

De manera natural tenemos

Lt(·) =∂(·)

∂t, Lx(·) =

∂2(·)

∂x2, Ly (·) =

∂2(·)

∂y2. (1)

L−1t (·) =

∫

t

0

(·) dt , (2)

L−1x (·) =

∫

x

0

∫

x

0

(·) dxdx L−1y (·) =

∫

y

0

∫

y

0

(·) dydy . (3)


El operador diferencial :

Lu = Ltu − Lxu − Lyu

(1) y (2) implican que

L−1t Ltu(x , y , t) =

∫

t

0

ut dt = u(x , y , t)− u(x , y , 0) . (4)

Aplicando L−1t en la EDP

L−1t Ltu = L−1

t (Lxu + Lyu) (5)


Igualando (4) y (5)

u(x , y , t)− u(x , y , 0) = L−1t (Lxu + Lyu)

aplicando CC. y despejano u(x , y , t)

u = senxseny + L−1t (Lxu + Lyu) (6)

En este punto el metodo define la solucion como

u =

∞∑

n=0

un (7)


Reepmplazando (7) en (6)

∞∑

n=0

un = senxseny + L−1t

(

Lx

(

∞∑

n=0

un

)

+ Ly

(

∞∑

n=0

un

))

.

Por la linealidad de los operadores

∞∑

n=0

un = senxseny +∞∑

n=0

L−1t (Lx (un) + Ly (un)) .

es decir

u0 + u1 + u2 + . . . = senxseny + L−1t (Lxu0 + Lyu0) (8)

+ L−1t (Lxu1 + Lyu1) + L−1

t (Lxu2 + Lyu2) + . . .


En (8) el metodo sugiere que

u0 = senxseny

un+1 = L−1t (Lxun + Lyun) n ≥ 0

(9)

luego

u1(x , y , t) =

∫

t

0

(

∂2u0

∂x2+

∂2u0

∂y2

)

dt

=

∫

t

0

(−senxseny − senxseny) dt = −2tsenxseny .

(10)


de manera analoga para

u2 =

∫

t

0

(

∂2u1

∂x2+

∂2u1

∂y2

)

dt

=

∫

t

0

(2tsenxseny + 2tsenxseny) dt

=t2

24senxseny =

(2t)2

2!senxseny .

u3 =

∫

t

0

(

−(2t)2

2!senxseny −

(2t)2

2!senxseny

)

dt

= −(2t)3

3!senxseny .

(11)


u4 =

∫

t

0

(

(2t)3

3!senxseny +

(2t)3

3!senxseny

)

dt

=(2t)4

4!senxseny .

. . . = . . .

(12)

De (9), (10), (11) y (12) tenemos

u = senxseny − 2tsenxseny +(2t)2

2!senxseny

−(2t)3

3!senxseny +

(2t)4

4!senxseny − · · ·


factorizando senxseny

u = senxseny

(

1− 2t +(2t)2

2!−

(2t)3

3!+

(2t)4

4!− · · ·

)

Por Taylor, tenemos finalmente

u(x , y , t) = e−2tsenxseny .

�


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Ecuacion de calor bidimensional(No homogenea)

EDP ut = uxx + uyy + seny 0 < x , y < π t > 0

u(0, y , t) = u(π, y , t) = seny CC.

u(x , 0, t) = u(x , π, t) = 0

u(x , y , 0) = senxseny + seny CI.

De manera natural tenemos

Lt(·) =∂(·)

∂t, Lx(·) =

∂2(·)

∂x2, Ly (·) =

∂2(·)

∂y2.

L−1t (·) =

∫

t

0

(·) dt ,

L−1x (·) =

∫

x

0

∫

x

0

(·) dxdx L−1y (·) =

∫

y

0

∫

y

0

(·) dydy .


Los operadores implican

L−1t Ltu(x , y , t) =

∫

t

0

ut dt = u(x , y , t)− u(x , y , 0)

= u(x , y , t)− senxseny − seny .

(1)

Aplicando L−1t en la EDP

L−1t Ltu = L−1

t (Lxu + Lyu + seny)

= tseny + L−1t (Lxu + Lyu) .

(2)


Luego de (1) y (2) tenemos

u(x , y , t) = senxseny + seny + tseny +L−1t (Lxu+Lyu) (3)

El metodo define la solucion como

u =∞∑

n=0

un (4)

Entonces reemplazando (4) en (3) tenemos

∞∑

n=0

un = senxseny + seny + tseny +

∞∑

n=0

L−1t (Lxun + Lyun)

(5)


El metodo sugiere de (5) formar lo siguiente

u0(x , y , t) = senxseny + seny + tseny

un+1 = L−1t (Lxun + Lyun) n ≥ 0 .

(6)

Entonces

u0 = senxseny + seny + tseny

u1 = L−1t (Lxu0 + Lyu0) = −2tsenxseny − tseny −

t2

2!seny

u2 = L−1t (Lxu1 + Lyu1) =

(2t)2

2!senxseny +

t2

2!seny +

t3

3!seny

u3 = L−1t (Lxu2 + Lyu2) = −

(2t)3

3!senxseny −

t3

3!seny −

t4

4!seny

u4 = L−1t (Lxu3 + Lyu3) =

(2t)4

4!senxseny +

t4

4!seny +

t5

5!seny

... =...

......

(7)


Finalmente

u(x , y , t) = seny+senxseny

(

1− 2t +(2t)2

2!−

(2t)3

3!+

(2t)4

4!− . . .

)

es deciru(x , y , t) = seny + e−2t

senxseny

�


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Ecuacion de Calor Bidimensional

EDP ut = k(uxx + uyy) ,0 < x , y < π , t > 0 ,

CI. u(x , y , 0) = f (x , y).(1)

Con f (x , y) C∞ y k es una constante arbitraria diferente decero.Reescribiendo la EDP

Ltu = k(Lxu + Lyu) (2)


Definiendo los operadores

Lt(·) =∂(·)

∂t, Lx(·) =

∂2(·)

∂x2, Ly (·) =

∂2(·)

∂y2.

Los operadores seudo inversos asociados son

L−1t (·) =

∫

t

0

(·) dt ,

L−1x (·) =

∫

x

0

∫

x

0

(·) dxdx , L−1y (·) =

∫

y

0

∫

y

0

(·) dydy .


Luego esto implica que

L−1t Ltu(x , y , t) =

∫

t

0

ut dt = u(x , y , t)− u(x , y , 0) . (3)

Por otra parte, aplicando L−1t en (2) tenemos

L−1t Ltu(x , y , t) = kL−1

t (Lxu + Lyu) (4)

igualando (3), (4), despejando u y reemplazando lacondicion inicial tenemos

u(x , y , t) = f (x , y) + kL−1t (Lxu + Lyu) (5)


El metodo define la solucion de (1) en forma de serie

u(x , y , t) =

∞∑

n=0

un(x , y , t) .

Reemplazando esto en (5) y teniendo presente la linearidadde los operadores tenemos

un(x , y , t) = f (x , y) + k

∞∑

n=0

L−1t (Lxun + Lyun) (6)


De (6) definimos de manera recursiva la serie de la siguienteforma

u0 = f (x , y)

un+1 = kL−1t (Lxun + Lyun) n ≥ 0

(7)

Finalmente a partir de esto reconstruimos la solucion

u =

∞∑

n=0

un

�


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Comentarios

Una desventaja es que las condiciones de contornoestan pre determinadas por la condicion inicial.

Una ventaja es la simpleza del metodo

Este metodo se puede aplicar tanto para EDP’s comopara EDO’s, lineales y no lineales, en el caso no lineal esnecesario el uso de los llamados polinomios de

Adomia, gracias a estos es posible resolver las ED nolineales.

En la actualidad este metodo es conocido como elmetodo de descomposicion de Adomian(AdomianDecomposition Method, ADM), quien fue el creador amediados de 1980.


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5 Bibliografıa


Y. Cherruault, convergence of Adomian’s Method,Kybernetes, 18(2): 31-38, 1989.

K. Abbaoui, and Y. Cherruault, Convergence ofAdomians method applied to differential equations,Comp. Math. Appl., 28 103-9 (1994a).

K. Abbaoui, and Y. Cherruault, Convergence ofAdomians method applied to nonlinear equations,Mathematical and Computer Modelling., 20 69-73(1994b).

George Adomian, Solving frontier Problems ofPhysics: The Decomposition Methods, Kluwer Academis

Publishers, 1994.

Abdul-Majid Wazwaz, Partial differential Equationand Solitary Wave, Springer-Verlag, 2009.


GRACIAS

“Cuanto mas simple hagamos los conocimientos, significaque hemos avanzado en su comprension”.Blog : www.mat-alvaro.blogspot.com

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