Extremosde funcoes reais de varias variaveis reais

Calculo II

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

2018-2019

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Extremos globais (ou absolutos)

Teorema de Weierstrass (generalizado)

Se f : D ⊂ Rn → R e contınua e D e um conjunto limitado e fechado,entao o contradomınio D ′ de f e um conjunto limitado e fechado pelo queexistem c, d ∈ D ′ que sao, respetivamente, o menor e o maior valor que fatinge.

Ou seja c e d sao, respetivamente, o mınimo valor e o maximo valor que fpode atingir, isto e, respetivamente, o mınimo absoluto (ou global) e omaximo absoluto (ou global) de f , tambem globalmente designados porextremos absolutos (ou globais) de f .

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Extremos globais (ou absolutos)

em X0 ∈ D acontece um mınimo absoluto ou global de f sef (X0) ≤ f (X ) para todo o X ∈ D

em X0 ∈ D acontece um maximo absoluto ou global de f sef (X0) ≥ f (X ) para todo o X ∈ D

os valores f (X0) sao os extremos absolutos:f (X0) ∈ D e o mınimo absoluto ou global de ff (X0) ∈ D e o maximo absoluto ou global de f

extremantes sao os pontos X0 onde f possui extremos (minimizantesou maximizantes)

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Extremos globais: exercıcios

Aplique o teorema de Weierstrass e, nos casos possıveis, determine osextremos absolutos.

1 f (x , y) = x2 + y2 em D = {(x , y) ∈ R2 : |x |+ |y | ≤ 1}

2 f (x , y) = −x2

3 f (x , y) = x2 + y2

4 f (x , y) = −√x2 + y2

5 f (x , y) = y em B = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} e emA = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

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Extremos relativos ou locais

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ D.

maximo relativo

Diz-se que f (X0) e um maximo relativo (ou maximo local) de f se for omaximo absoluto de f |D∩Br (X0) para algum r > 0.

Recorde: Br (X0) := {X ∈ Rn : ||X − X0|| < r} e a bola aberta de centro em X0 e raio r .

mınimo relativo

Diz-se que f (X0) e um mınimo relativo (ou mınimo local) de f se for omınimo absoluto de f |D∩Br (X0) para algum r > 0.

Os pontos X0 onde os extremos relativos sao atingidos dizem-seextremantes relativos (ou locais): minimizantes no caso de f (X0) sermınimo, maximizantes no caso de f (X0) ser maximo.

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Extremos locais: pontos crıticos

Teorema de Fermat (generalizado)

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ D. Se f (X0) for um extremo relativo de fe as derivadas parciais f ′x1

, . . . , f ′xn existirem em X0 entao as derivadasparciais sao nulas,

f ′x1(X0) = 0, . . . , f ′xn(X0) = 0,

ou seja∇f (X0) = (0, . . . , 0).

Os pontos X0 que anulam todas as derivadas parciais de primeira ordem def , mesmo nao sendo extremantes dessa funcao, dizem-se pontoscrıticos (ou de estacionaridade) de f .

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Pontos crıticos: exercıcios

Aplique o teorema de Fermat e, nos casos possıveis, determine os pontoscrıticos.

1 f (x , y) = 3xy2 + x3 − 3x

2 f (x , y) = x2y3(6− x − y)

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Pontos crıticos: pontos de sela

Ponto de sela

Sejam f : D ⊂ Rn → R, diferenciavel em X0 ∈ intD.Se X0 for um ponto crıtico de f mas nao for um seu extremante, diz-seque e um ponto de sela de f .

Por exemplo, (0, 0) e um ponto de sela da funcao f (x , y) := x3 − 3xy2.∇f (x , y) = (3x2 − 3y2,−6xy)

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Matriz Hessiana

Seja f : D ⊂ Rn → R diferenciavel e X0 ∈ intD. Se existirem as derivadasparciais de segunda ordem de f no ponto X0 define-se a (matriz)Hessiana de f em X0 como

Hf (X0) =

∂2f∂x1∂x1

(X0) ∂2f∂x1∂x2

(X0) · · · ∂2f∂x1∂xn

(X0)

∂2f∂x2∂x1

(X0) ∂2f∂x2∂x2

(X0) · · · ∂2f∂x2∂xn

(X0)

......

. . ....

∂2f∂xn∂x1

(X0) ∂2f∂xn∂x2

(X0) · · · ∂2f∂xn∂xn

(X0)

O determinante de Hf (X0) e o (determinante) Hessiano de f em X0.

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A matriz Hessiana e simetrica

as entradas da matriz Hessiana sao derivadas parciais de segunda ordem da funcao f

∂2f

∂x∂x=∂2f

∂x2=

∂

∂x

∂f

∂x= f ′′

x2

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

∂f

∂x= f ′′xy

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

∂f

∂y= f ′′yx

f ′′xy e f ′′yx dizem-se derivadas mistas

Criterio para a igualdade das derivadas mistas

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ intD. Sejam x e y duas das variaveis da funcao f . Se asderivadas parciais f ′x , f ′y , f ′′xy existem e sao finitas numa bola aberta centrada em X0 e se f ′′xy econtınua em X0, entao f ′′yx (X0) existe e

f ′′xy (X0) = f ′′yx (X0)

neste caso a matriz Hessiana e simetrica

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Calcula a matriz Hessiana da funcaof (x , y , z) = xy 2 + 2xz + y

x

∇f (x , y , z) = (y2 + 2z − yx2 , 2xy + 1

x , 2x)

Hf (x , y , z) =

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂z

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

∂2f∂y∂z

∂2f∂z∂x

∂2f∂z∂y

∂2f∂z2

=

f ′′x2 f ′′yx f ′′zx

f ′′xy f ′′y2 f ′′zy

f ′′xz f ′′yz f ′′z2

Hf (x , y , z) =

2yx3 2y − 1

x2 2

2y − 1x2 2x 0

2 0 0

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Menores principais

Os menores principais de uma matriz sao os determinantes das submatrizes“principais” da matriz

ao determinante det(Hf (X )) chamamos Hessiano de f e e o menor principal deordem n

Os menores principais da matriz

a b cd e fg h i

sao

a e o menor principal de ordem 1∣∣∣∣ a bd e

∣∣∣∣ e o menor principal de ordem 2∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ e menor principal de ordem 3

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Classificacao dos pontos crıticos

Teste dos menores principais da Hessiana

Sejam f : D ⊂ Rn → R e X0 ∈ intD, se as derivadas parciais de 2.a ordemde f existirem e forem contınuas numa bola aberta centrada em X0 e se odeterminante det(Hf (X0)), o Hessiano de f em X0, nao for nulo entao

se todos os menores principais de Hf (X0) forem positivos, entaof (X0) e um mınimo local estrito de f

se os menores principais de Hf (X0) forem alternadamente negativos epositivos, comecando o primeiro por ser negativo, entao f (X0) e ummaximo local estrito de f

se nenhuma das duas situacoes anteriores ocorrer, entao X0 e pontode sela de f

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Classificacao dos pontos crıticos

Teste para funcoes de duas variaveis

Sejam f : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) ∈ intD, se ∇f (x0, y0) = 0 e as derivadasparciais de 2.a ordem de f existirem e forem contınuas numa bola abertacentrada em X0 entao

se det(Hf (X0)) > 0 e f ′′xx(X0) > 0, entao f (X0) e um mınimo localestrito de f

se det(Hf (X0)) > 0 e f ′′xx(X0) < 0, entao f (X0) e um maximo localestrito de f

se det(Hf (X0)) < 0, entao X0 e um ponto sela de f

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Exemplo: classifica os pontos crıticos

1 f (x , y) = x3 − 3x2 + y2

2 f (x , y) = (−1 + xy)(x + y)

3 f (x , y) = xye−x−y

4 f (x , y) = −3x2y − y3 + 2x2 + 2y2 + 1

5 f (x , y) = x4 + x2 + y3

6 f (x , y , z) = x + (y − 1)(x − ln(z))− ln(x)

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Calculo de extremos absolutos

Para determinar os extremos absolutos de uma funcao contınua numsubconjunto limitado e fechado:

1 considerar o maior conjunto aberto que se conseguir;

2 obter os pontos crıticos da funcao nesse conjunto;

3 considerar os pontos do conjunto anterior onde pelo menos uma dasderivadas parciais da funcao nao esteja definida;

4 considerar os restantes pontos do domınio da funcao, ou apenasalguns deles caso se consiga reduzir, nem que seja parcialmente, estaparte do estudo ao problema da determinacao dos extremos parafuncoes de uma variavel;

5 calcular os valores da funcao em todos os pontos anteriores; o menorvalor sera o mınimo absoluto da funcao; o maior valor sera o maximoabsoluto da funcao.

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Calculo de extremos absolutos: exemplo 1

Determinar os extremos absolutos de f (x , y) = x2 − 2xy + 2y noretangulo D := {(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.

1 considerar o aberto A = {(x , y)R2 : 0 < x < 3, 0 < y < 2}2 obter os pontos crıticos ora fx(x , y) = 2x − 2y e fy (x , y) = −2x + 2,

portanto fx(x , y) = 0 e fy (x , y) = 0 para (1, 1), sendo este um ponto crıticode f neste conjunto

3 a funcao tem derivadas parciais em todos os pontos de A

4 analisar o que acontece na fronteira de D: f (x , y)|x=0 = 2y cuja derivada e2, a funcao e crescente, considerar os pontos (0, 0), (0, 2)

f (x , y)|x=3 = 9− 4y cuja derivada e −4, a funcao e decrescente, consideraros pontos (3, 0), (3, 2)

f (x , y)|y=0 = x2 cuja derivada e 2x logo (0, 0) e ponto crıtico

f (x , y)|y=2 = x2 − 4x + 4 cuja derivada e 2x − 4 logo (2, 2) e ponto crıtico

5 f (0, 0) = 0, f (0, 2) = 4, f (3, 0) = 9, f (3, 2) = 1, f (2, 2) = 0;

maximo e 9 em (3, 0) e mıninmo e 0 em (0, 0) e (2, 2)

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Calculo de extremos absolutos: exemplo 2

Determinar os extremos absolutos de f (x , y) = x2 + y2 − x − y + 1 nocırculo D := {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.

1 considerar o aberto A = {(x , y)R2 : x2 + y2 < 1}2 ora fx(x , y) = 2x − 1 e fy (x , y) = 2y − 1, portanto fx(x , y) = 0 e

fy (x , y) = 0 para ( 12 ,

12 ), sendo este um ponto crıtico de f em A

3 a funcao tem derivadas parciais em todos os pontos de A

4 analisar o que acontece na fronteira de D: para isso e util considerar aseguinte forma de descrever a circunferencia(x , y) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]pois assim a funcao f e escrita como funcao de uma unica variavel t:cos2 t + sin2 t − cos t − sin t + 1, t ∈ [0, 2π] cuja derivada e−2 cos t sin t + 2 sin t cos t + sin t − cos t = sin t − cos t

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Calculo de extremos absolutos: exemplo 2 (cont.)

5 ora sin t − cos t = 0 para t = kπ − π4 , k ∈ Z,

os pontos crıticos sao t = π4 e t = 5π

4

6 incluir os extremos do intervalo t = 0 e t = 2π que define a fronteira

7 para t = π4 temos (x , y) = (cos t, sin t) = (

√2

2 ,√

22 )

para t = 5π4 temos (x , y) = (cos t, sin t) = (−

√2

2 ,−√

22 )

para t = 0 temos (x , y) = (cos t, sin t) = (1, 0)para t = 2π temos (x , y) = (cos t, sin t) = (1, 0)

nestes pontos f (√

22 ,√

22 ) = 2−

√2, f (−

√2

2 ,−√

22 ) = 2 +

√2,

f ( 12 ,

12 ) = 1

2 , f (1, 0) = 1

o mınimo e 12 em ( 1

2 ,12 ) e o maximo e 2 +

√2 em (−

√2

2 ,−√

22 )

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Extremos condicionados

Pretendemos determinar os extremos de uma funcao f condicionada a umsubconjunto do seu domınio definido por uma curva de nıvel atraves dafuncao g .

Recorda que ∇g(x0, y0) e ∇f (x0, y0) sao ambos perpendiculares aosvetores tangentes a curva em (x0, y0)sao linearmente dependentes, logo (x0, y0) tera de ser tal que

∇f (x0, y0) = λ∇g((x0, y0)

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Extremos condicionados: multiplicadores deLagrange

Multiplicadores de Lagrange

Sejam U um conjunto aberto de Rn, f : D ⊂ Rn → R e g : D ⊂ Rn → Rfuncoes continuamente diferenciaveis (i.e. com derivadas parciaiscontınuas) em U.Seja S := {X ∈ U : g(X ) = c}, para uma constante real c dada. Se f |Stem um extremo local num ponto x0 ∈ S para o qual ∇g(X0) 6= 0, entaoexiste λ ∈ R tal que

∇f (X0) = λ∇g(X0).

A λ chamamos de multiplicador de Lagrange.

A proposicao anterior so permite descobrir os chamados pontos crıticospara o problema de extremos condicionados.

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Extremos condicionados: exemplo

f (x , y) := x2 + y2 − x − y + 1 em S = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}, facag(x , y) := x2 + y2

f e g sao funcoes continuamente diferenciaveis

∇f (x , y) = λ∇g(x , y)⇔{

2x − 1 = λ2x2y − 1 = λ2y

⇔{

x = 12(1−λ)

y = 12(1−λ)

substituindo estes valores de x e y em x2 + y2 = 1 podemos obterλ = 1± 1√

2

substituindo tambem λ, podemos obter (√

22 ,√

22 ) e (−

√2

2 ,−√

22 )

So podemos descobrir os chamados pontos crıticos para o problema deextremos condicionados. No entanto, como f |S e contınua e S e umconjunto limitado e fechado de Rn, o Teorema de Weierstrass garante queexistem o maximo e o mınimo absolutos.

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