單元 3 數與形 Numbers/lecture_unit_3_figurate_numbers 22...除了研究上述的三角形數和四邊形數外，古希臘人更嘗試將其研究推展至四邊以上的多邊形數。以下是幾個常見的正多邊形數：

第三課 – 數與形數的認識 (Understanding Number)

頁 15 之 1

單元 3 數與形

3.1 形數: 正方形數、矩形數、長方形數和三角形數

形數 (Figurate numbers)源於 600 B.C.的畢達哥拉斯 (Pythagoras，c. 580 –

300 B.C.)所創立的畢達哥拉斯學派，畢達哥拉斯學派對數有特別的看法，

他們喜歡將不同數目的小石子排成不同形狀，從而把所有自然數都賦以形

狀，故有「形數」 (figurate numbers)之稱。對畢氏學派來說，數與形是關

係密切的：萬有都是自然數，每個自然數都有「形」。其中三個最常見的

形數是正方形數 (square numbers)、矩形數 (rectangular numbers)和三角形

數(triangular numbers)。例如，4 粒、6 粒和 8 粒小石子可以分別排成正

方形、矩形和三角形︰

所以，4、6 和 8 分別是一個正方形數、矩形數和三角形數。

正方形數的定義，比較簡單，也幾乎沒有分歧：

定義 3.1.1

設 n∈ N，n2 稱為「正方形數」(square numbers) (或︰設 a、n∈ N。若 n

可表達為 n = a a，則 n 為正方形數)。並以 Sn (= n2 )表第 n 個正方形數。 ×


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例 3.1.1︰

• • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • •

1 4 9 16 25

上述正方形數，由左至右，分別為 S1、S2、S3、S4、S5。

例 3.1.2︰

第 14 個平方數是 S14 = 142 = 196。

961 是一個平方數，因為 961 = 312。

300 不是一個平方數，因為沒有一個自然數 n 使得 n2 = 300。

從歐幾里得 (Euclid，c. 330 – 275 B.C.)幾何的角度來看，矩形 (rectangles)

可包括正方形 (squares) 和長闊不同的長方形 (oblongs or proper

rectangles)。換句話說，正方形不是長方形，但正方形卻必定是矩形。可

是，古希臘人對數形的分類，則與幾何圖形的分類略有不同。最初，柏

拉圖 (Plato，c. 427 – 347 B.C.)將自然數只分成平方數 (square numbers)及

矩形數 (rectangular numbers)兩類，其中平方數就是上面定義 3.11 所述，

而矩形數就是非平方數。根據這個界定，1、4、9、16 … 是平方數，而其

餘的自然數：2、3、5、6 … 則是矩形數。

後來，歐幾里得的繼承者 (如 Nicomachus、Theon、Iamblichus)將矩形數

區分得更仔細，他們把矩形數進一步分成 )1( +nn 及 )( knn + (其中 n、k 是


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自然數)兩類。問題是，他們為何如此細分呢？有一說法是，他們喜歡研

究形數之間的關係，其中奇數的和 (例如： 531 ++ 、 7531 +++ )可得到

正方形數 ( 、），而偶數的和 (例如：、

），則得出形如

23531 =++ 247531 =+++ 642 ++

108642 ++++ )1( +nn 的數 ( 、

)。因此，把形如

43642 ×=++

65108642 ×=++++ )1( +nn 的數賦與一個特別的名稱，

也是一件很合理的事！而這個特別的名稱就是「長方形數」 (oblong

numbers or pronic numbers)了。

定義 3.1.2

設 n∈ N，若 n = a b，其中 a、b× ∈ N及 ba ≠ ，則稱 n 為「矩形數」

(rectangular numbers)。

例 3.1.3︰

28 是一矩形數，因為它可以表成一個矩形：

• • • • • • •

• • • • • • •

• • • • • • •

• • • • • • •

思考題 3.1.1

在講解質數及合成數的概念時，有些老師喜歡透過形數的概念來把質數及

合成數「具體化」。例如，他們會把能化作諸如下列矩形的數，叫做「矩


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形數」，

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

8 9 10 35

至於只能化作一點或一條直線的，例如下列的 1、3、7，則不算作矩形數：

• • • • • • • • • • •1 3 7

而那些能化作矩形的數的，便是合成數了。至於那些不能化作矩形的數，

如果又不是 1 的話，它便是質數了。

這個定義跟上述定義 3.1.2 有些什麼異同？這個定義能與幾何圖形的分類

完全吻合嗎？你對這個引入質數和合成數的方法，有些什麼意見？

思考題 3.1.2

試用數學符號 (如定義 3.11 或 3.11)表達思考題 3.1.1 中提到的定義。

定義 3.1.3

設 n∈ N，稱為「長方形數」 (oblong numbers or pronic numbers) )1( +nn


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(或：若 n = ，其中 a)1( +× aa ∈ N，則稱 n 為「長方形數」)。並以 Rn

( )表第 n 個長方形數。 )1( += nn

例 3.1.4︰

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •

• • • • • • 2 6 12 20 30

上述長方形數，由左至右，分別分別為 R1、R2、R3、R4、R5

思考題 3.1.3

試判斷以下語句的真假︰

a) 1 是矩形數。

b) 設 a、b、n∈ N，n = a × b，且 a 或 b 中恰好只有一個等於 1，則

n 必是質數。

c) 所有長方形數都是矩形數。

思考題 3.1.4

按照思考題 3.1.1 中提到的定義，所有長方形數都是矩形數嗎？


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網上或電腦資源

有關歐幾里得幾何中矩形的定義，可參考以下網頁︰

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI22.html

而有關歐幾里得及其他古希臘數學家的個人資料，可瀏覽：

http://www.dyu.edu.tw/~mfht206/history/7/greece.htm

http://www.edp.ust.hk/math/history/3/3_82.htm

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.html

關於古希臘人對矩形數的分類，可參閱：

http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol2no5b.htm

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/page4.html

http://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/pythnum.htm

有關教統局建議通過將自然數分為矩形數和非矩形數，引入合成數和質數，可

參考：

http://etv.emb.gov.hk/resource/132.doc

把矩形數等同合成數的看法，可參閱：

http://www.counton.org/explorer/primes/primes2.shtml

除了以上的形數，古希臘人也會把石子砌成三角形，以表示一些特殊的自

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI22.htmlhttp://www.dyu.edu.tw/~mfht206/history/7/greece.htmhttp://www.edp.ust.hk/math/history/3/3_82.htmhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.htmlhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol2no5b.htmhttp://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/page4.htmlhttp://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/pythnum.htmhttp://tw.rd.yahoo.com/referurl/search/b/1/5/K=%af%78%a7%ce%bc%c6/H=/*http:/etv.emb.gov.hk/resource/132.dochttp://www.counton.org/explorer/primes/primes2.shtml


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然數，如 1、3、6、10…。而這些自然數則被畢達哥拉斯學派稱為「三角

形數」 (triangular numbers)，並以 Tn 表第 n 個三角形數。

例 3.1.5︰

1 3 6 10 15

上述三角形數，由左至右，分別為 T1、T2、T3、T4、T5。

從上圖中，我們很易看出：

T1 = 1

T2 = 1 + 2

T3 = 1 + 2 + 3

T4 = 1 + 2 + 3 + 4

T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

…

Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

∴ Tn = 2

)1( +nn

故有以下三角形數的定義：


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定義 3.1.4

設 n∈ N，2

)1( +nn稱為「三角形數」 (triangular numbers) (或：若 n =

2)1+(aa，其中 a∈ N，則稱 n 為「三角形數」)。並以 Tn (

2)1( +×

=nn )表

第 n 個三角形數。

習作 3.1.1

a) 證明 T2n = Sn + Rn。

b) 證明 Rn – Sn = n。

思考題 3.1.5

試判斷以下語句的真假，並作解釋 (除了代數證明外，大家也可以嘗試從

幾何的角度解釋)︰

a) 當 n > 1，Sn = Tn - 1 + Tn。

b) Rn = 2Tn。


有關三角形數的其他性質，可參考以下網頁︰

http://www.mathematische-basteleien.de/triangularnumber.htm

http://www.ping.be/~ping6758/triangle.htm

http://www.mathematische-basteleien.de/triangularnumber.htmhttp://www.ping.be/~ping6758/triangle.htm


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3.2 多邊形數 (polygonal numbers)

除了研究上述的三角形數和四邊形數外，古希臘人更嘗試將其研究推展至

四邊以上的多邊形數。以下是幾個常見的正多邊形數：

例 3.2.1︰

上圖由左至右，分別為三角形數、正方形數、五邊形數、六邊形數

顧名思義，五邊形數和六邊形數是分別把數字排列為五邊形及六邊形。我

們用 Pn 及 Hn 分別表示第 n 個五邊形數和第 n 個六邊形數。至於其他多邊

形數則暫時不作討論。

例 3.2.2︰

1 5 12 22 35

上述五邊形數，由左至右，分別為 P1、P2、P3、P4、P5。


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例 3.2.3︰

1 6 15 28 45

上述六邊形數，由左至右，分別為 H1、H2、H3、H4、H5。

思考題 3.2.1

試根據例 3.2.2 和 3.2.3 中的圖，寫出五邊形數和六邊形數的表式。

習作 3.2.1

a) 證明 Pn = Sn + Tn – 1，其中 n > 1。

b) 證明 Pn = n + 3Tn – 1。

c) 證明 Hn = 2Sn - n。

d) 試寫出首 4 個七邊形數，及它的一般項。


有關形數的更深入的探討，可參閱︰

http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/polygon.htm

http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html

http://home.pchome.com.tw/cool/coollee/polygon.htmhttp://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html


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以下網頁描述了有關其他多邊形數，而且附加計算多邊形數點數的工具︰




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3.3 斐波那契數

斐波那契 (Leonardo Pisano Fibonacci，c.1170 – 1250) 是十三世紀意大利享

負盛名的數學家。他早年週遊列國，曾確認印度人發明的阿拉伯數碼及其

記數法在實用上最為優越，在他回到家鄉後寫成《算盤書》 (Liber Abaci，

1202)中，他談到一個有趣的「兔子問題」，以下就是這個問題的一個「修

訂版」：

斐波飼養了一隻剛出生的小兔子娜娜，娜娜所屬的品種十分特別。牠們出

生後第二個星期，便會開此單性繁殖，以後每一個星期生小兔子一隻。假

設一年內，都沒有兔子死去或遺失，而除了娜娜所生的兔子外，斐波也再

沒有飼養其他新的兔子。問娜娜出生第 12 個星期，斐波共有兔子多少隻？

第一個星期：只有一隻小兔子娜娜；

第二個星期：小兔子娜娜還未開始生殖，仍只有一隻兔子；

第三個星期：娜娜生了一隻小兔子，這時共有兩隻兔子；

第四個星期：娜娜又生了一隻小兔子，而上個月出生的小兔子還未開始生

殖，這時共有三隻兔子；

第五個星期：連娜娜在內，這時已有兩隻兔子可以生育，於是新出生的兔

子有兩隻，即共有五隻兔子；

餘此類推，詳情見下表：

月份數 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

兔子總數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233


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從上表，可得知娜娜出生第 12 個星期，斐波共有兔子 233 隻。

如個兔子可以永生，兔子的總數便會繼續增大：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，….

後來的數學家就把這數列稱為「斐波那契數列」 (Fibonacci sequence)。並

以 Fn 表示這個數列的第 n 項。

思考題 3.3.1

試證明 / 解釋：Fn 滿足下式：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+===

−− 3, 1 1

21

2

1

nFFFFF

nnn

思考題 3.3.2

設 Gn 為某數列的第 n 項，已知對任意正整數 n， 12 ++ += nnn GGG ，你能求

出 G10 嗎？

思考題 3.3.3

設 Fn 為某斐波那契數數列的第 n 項，當 n 越來越大時，連續兩項的比n

n

FF 1+

的變化會有甚麼規律？


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思考題 3.3.4

以下是「兔子問題」的一些版本：

(A) 假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生後兩個月

就有生殖能力，問從一對大兔子開始，一年後能繁殖成多少對兔子？

(B) 「假設每一對新生的小兔子，一個月後便長大，且每一個月都生一對

小兔子。已知每次新生的一對小兔子都是一雄一雌，而所有兔子都沒有死

去，且隔代的兔子不會互相交配。若現有一對小兔子，問一年後共有兔子

多少對？」。

大家認為這些版本真能推出斐波那契數列嗎？

習作 3.3.1

a) 證明(F1)2 + (F2)2 + … + (Fn)2 = Fn Fn + 1。

b) 證明 Fm + n = FmFn - 1 + Fm + 1Fn，其中 m，n∈ N。


欲知斐波那契的生平，可瀏覽以下網頁：

http://www.nhltc.edu.tw/~chchang/homework/90/social2/7-1.htm

http://math.ntnu.edu.tw/~horng/history/vol4no1a.htm

http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no4c.htm

http://www.nhltc.edu.tw/~chchang/homework/90/social2/7-1.htmhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/history/vol4no1a.htmhttp://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no4c.htm


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有關斐波那契數的性質，可參閱︰

http://www.math.ied.edu.hk/math_module/it/software/PowerPoint/fibonacci/fibonacci.ppt

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

以下網頁提供了專門計算斐波那契數的程式︰

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibCalcX.html
http://www.math.ied.edu.hk/math_module/it/software/PowerPoint/fibonacci/fibonacci.ppthttp://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.htmlhttp://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibCalcX.html

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單元 3 數與形 Numbers/lecture_unit_3_figurate_numbers 22...除了研究上述的三角形數和四邊形數外，古希臘人更嘗試將其研究推展至 四邊以上的多邊形數。以下是幾個常見的正多邊形數：

單元 3 數與形 Numbers/lecture_unit_3_figurate_numbers 22...除了研究上述的三角形數和四邊形數外，古希臘人更嘗試將其研究推展至四邊以上的多邊形數。以下是幾個常見的正多邊形數：