Solución Clásica de Rayleigh-Jeans (1900)

La Hipótesis: Los electrones de las paredes se agitan térmicamente y emiten radiación electromagnética dentro de la cavidad.

En la cavidad se establece y se mantiene un equilibrio térmico mediante la absorción y re-radiación de la energía por las paredes.

La radiación dentro de la caja de volumen V consta de ondas estacionarias con nodos en las paredes.

El número de ondas estacionarias para el intervalo de frecuencias yes

f dff +

dffcVdffN 22

8)( π=

La energía promedio por onda cuando el sistema esta en equilibrio es kTE =

donde T es la temperatura y k es la constante de Boltzman KJk ⋅= −2310*37,1

Así multiplicando el número de ondas por la energía promedio se obtiene la densidad de energía (acuérdese del grafico!)

kTdfc

dffT 3

28)( πνρ =

Al comparar esta ecuación con losresultados experimentales queda demanifiesto un error en la teoría clásica.

predice una energía infinita, lopredice una energía infinita, loque difiere del resultado que difiere del resultado

experimental.experimental.

Solución de Planck

Max PlanckExplica el mecanismo que hace que los

átomos radiantes produzcan la distribución de energía observada,

El Nacimiento de La Teoría CuánticaEl Nacimiento de La Teoría Cuántica

Planck sugirió:

La radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átomos de las paredes que se comportan como osciladores armónicos de frecuencia dada f . (i.e la energía) Promedio de las ondas estacionarias depende de la frecuencia

Cada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en una cantidad hf . (Energías Discretas)

Las suposiciones de Planck se pueden resumir en la igualdad: ,nhfEn =

Donde h es una constante. La famosa constante de Planck h=6,63*10-34Js, n es un NUMERO ENTERO y f es la frecuencia.En son los posibles valores de energía correspondiente del modo de frecuencia f, asLa energía promedio viene dada por

1/ −= kThfe

hfE

Con la fórmula de Planck la densidad de energía radiada toma la forma

dfehf

cfdff kthfT 1

8)( /2

2

−=

πρ

FORMULA DE PLACK PARA LA RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO

O bien en terminos de la longitud de onda, fc λ=

λλπλ

λρλλρ λ d

ecd

ddffd kThcTT 1

18)()( /5 −=

=

Antes de seguir examinemos el curioso supuesto de las energías discretas

Energía proporcional a la amplitud de la oscilación, todo valor Energía proporcional a la amplitud de la oscilación, todo valor esta permitido.esta permitido.Energía Clásica es ContinuaEnergía Clásica es Continua

Cuánticamente (la idea de Planck), no todas las amplitudes estan permitidas.Los posibles cambios en la energía NO pueden tener un

tamaño arbitrariamente pequeño

Periodo = 2 (s)f = 0.5 (ciclos/s)

Si calculamos el cambio en la energíausando la idea de Planck

JhfE 3410*3,3 −==∆

Por otro lado clásicamente la energía del péndulo JmgdE 2≈=

EE <<∆

La Ley del Desplazamiento de Wien

La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro y está dado por la ley de desplazamiento de Wien. Calculando la derivada primera de la función de la distribución de Planck expresada en términos de la longitud de onda o de la frecuencia

01

11/5 =

−kThcedd

λλλ

Obtenemos la ecuación trascendente ( ) 015 =−− xx xeecon 965.4==

kThcxmλ

Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la densidad de energía a distintas temperaturasT1, T2, T3, .., se produce a las longitudes de onda λ1, λ2, λ3 tales que

mKTTT 3332211 10*2898 −=== λλλ

Donde C es una constante 2,897 y

T es la temperatura del cuerpo en kelvin

5800 K0.5 µm

Espectro del Sol. El sol emite la mayor parte de su radiación en la banda de longitud de onda entre los 0.1 y 4.0 micrometros (µm).

288 K10 µm

Espectro de la Tierra. La tierra emite la mayor parte de su radiación en la banda de longitud de onda entre los 0.4 y 30.0 micrometros (µm).

La Ley de Stefan-Boltzmann

El flujo de energía emitida por un cuerpo negro esta relacionadocon la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo T

112

/5

2

−= kthce

hcddE

λλ

λπ

λ

La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo)por unidad de longitud de onda para la longitud de onda l , de un cuerpo negroa la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión

La intensidad total en W·m2, de la radiación emitida por un cuerpo negro, se obtiene integrando la expresión anterior para todas las longitudes de onda (o frecuencias).

∫∫∞∞

==00 fdEdEE λ

luego:

∫∞

−=

0 5

2

)1(2

hThc

e

dhcEλ

λ

λ

λπ

usamos el cambio de variableskThcxλ

= y obtenemos que λλ

dkThcdx 2−=

reemplazamos en la expresión anterior

∫∞

−=

0

3

23

4

1)(2 dxex

chkTW x

πλ

usamos el hecho BIEN SABIDO QUE:

∫∞

=−0

3

151πdx

exx

43

45

152 T

chkE π

λ =

o bienW=σT4, con σ =5.670·10-8 (Wm-2K-4)

Esta expresión se conoce como Ley de Esta expresión se conoce como Ley de StefanStefan--BoltzmannBoltzmann. . La energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidLa energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempoad de tiempoes proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absolutaes proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T.T.

Del mismo modo, integrando dEf/df para todas las frecuencias, podemos comprobar que la densidad de energía de la radiación contenida en una cavidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale σ ‘=4 σ /c.

Efecto Fotoeléctrico

Un metal como un contenedor de electrones

e

Luz IncidenteElectrón eyectado

ν frecuencia

IIntensidad

Heinrich Hertz (1889)Philipp Lenard (1899)

Dispositivo Experimental

En el circuito de la figura, conectamos el potenciómetro de manera que laparte negativa (cátodo) esté conectada a placa iluminada. De esta manera un aumento de potencial provoca que los electrones arrancados sean atraídos hacia la otra placa (ánodo).y lleguen a ellapor efectos del campo eléctrico.

Si aumentamos el potencial observamos que un mayor número deelectrones llega al ánodo

Variando el voltaje que nos suministra el potenciómetro y registrando la intensidad de corriente ( i ) para una intensidad de la radiación incidentefija ( I ) y para luz de una determinada frecuencia de radiación

0νν > 0νν <

Mayor Intensidad

Ahora invertimos la conexión del potenciómetro

El fotón consigue desprender electrones del receptor pero las fuerzas electrostáticas impiden su llegada a la otra placa, no se observa circulación de corriente. El potencial de corte está invertido y observa que lo que antes era un cátodo ahora es positivo.

03

02

01

32IIIIII

===

V0 Potencial de Frenado o Potencial de Corte

A mayor Intensidad conseguimos arrancar mas electrones, OJO no significa electronesMas rápidos.

Potencial de corte es el mismo en todos loscasos

03

02

01

IIIIII

===

Potencial de corte distinto en todos loscasos

Observaciones Experimentales

•Sólo algunos materiales emiten electrones con luz visible

•Cada metal requiere, para que se produzca la extracción, una radiación con una frecuencia mínima (νo). Cualquier otra radiación de menor frecuencia, no será capaz de arrancar electrones. Por debajo de la frecuencia mínima la intensidad de corriente -"i" (amperios)- será cero. No hay efecto fotoeléctrico.Existe una frecuencia umbral.

•La emisión es prácticamente instantánea y no depende de la Intensidad - I- ( watt/m2)de la luz incidente. El tiempo es del orden de 10 –9 s ( 1ns ).

•La intensidad de la corriente fotoeléctrica (i, amperes, reflejo del número de electrones liberados) que origina una radiación de una determinadalongitud de onda que incide sobre una superficie metálica, aumenta si aumentamos la intensidad de radiación "I" (watt/m2).

Teoría Electromagnética Clásica

La energía de los electrones debería depender de la intensidad, NONO de la frecuencia

Si la intensidad es baja, debería haber un tiempo de acumulación tiempo de acumulación hasta que unElectrón logre salir!!!!

Explicación de A. Explicación de A. EinsteinEinstein (PN 1921)(PN 1921)

1905

1.-La energía no se transmite repartida en toda la onda (como se suponía en la teoría clásica), sino agrupada en unos paquetes de energía que llamó CUANTOS DEENERGÍA (fotones ) (partícula sin masa en reposo, pero con una cantidad de movimiento y energía) que se mueven con la onda.

2.- El cuanto de energía es proporcional a la frecuencia

νγ hE =Cuando la luz llega a la superficie del metal la energía no se reparte equitativamente entre los átomos que componen las primeras capas en las que el haz puede penetrar, sino que por el contrario sólo algunos átomos son impactados por el fotón que lleva la energía y, si esa energía es suficiente para extraer los electrones de la atracción de los núcleos,los arranca del metal.

Función Trabajo de un Metal: mínima energía necesaria para sacar un electrón(Ф)

4.50Fierro

4.14Plomo

4.73Plata

4.7Cobre

4.08Aluminio

2.28Sodio

Función Trabajo(eV)

Metales

Así

Si el fotón tiene Φ> eEγ Los electrones salen de inmediato

Si el fotón tiene Φ< eEγ NO salen electrones

Transferencia de energía es 1 fotón a 1 electrón

La energía cinética de los electrones emitidos depende de la frecuencia de la radiación incidente y de la posición que ocupa ese electrón en el metal.

Φ−= ehK ν(La energía incidente menos el trabajo de extracción es igual a la energía cinética del electrón extraído)

Ecuación de Einstein.

Existe un potencial de corte (Vo) o potencial de frenado para el que i=0. Este potencial de corte es independiente de la intensidad de la radiación (I),pero depende de su frecuencia.

cνν → 0max →K Φ= eh cν

Volvamos al experimento con el Potencial Inverso

Logran llegar al cátodo solo losElectrones con K > e∆V

I=0 Kmáx = e∆V

Φ+∆= eVeh 0ν

Experimental

baV +=∆ ν0

a: Pendiente del gráficob: Intercepto del grafico

Teórico de la ecuación de Eisntein

Φ−=

=

beha

La energía emitida es discontinua, va en paquetes, tal como había enunciado Planck (que sin embargo creía que se propagaba repartida en la onda, como lo suponía la teoría clásica). El aporte original de Einstein es que la energía se transmite e impacta de manera discontinua o discreta, en paquetes.

Finalmente podemos afirmar que