FACTORIZACIÓN

PIMAS Captulo I: Factorizacin

Matemtica - 10 2

CAPITULO I: Factorizacin

El lgebra se puede ver como una generalizacin de la aritmtica, en particular, los polinomios tienen un

comportamiento muy similar al de los nmeros enteros, se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir.

Una de las aplicaciones que se trabaja ms constantemente con los nmeros enteros, es la factorizacin.

La factorizacin de nmeros enteros nos sirve, por ejemplo, para poder sumar fracciones, ya que para

encontrar el mnimo comn denominador es necesario factorizar los denominadores.

Recordemos algunas factorizaciones de nmeros enteros: 212 2 3= , 3 2360 2 3 5= .

Cuando estudiemos fracciones algebraicas, en el captulo II, tambin necesitaremos factorizar los

denominadores para encontrar un denominador comn. Quiz la aplicacin ms importante de la factorizacin est

en resolver ecuaciones, como lo veremos en el captulo III.

Para entender el concepto de factorizacin de polinomios, el estudiante debe familiarizarse con las

operaciones entre polinomios, una de las ms notables es la multiplicacin. Por ejemplo; ( ) 22 3 2 6x x x x+ = + .Si

nos planteamos la pregunta Cales polinomios multiplicados dan como resultado 4 215 12x x ?, en realidad estamos

buscando una factorizacin de ese polinomio.

En otras palabras, factorizar un polinomio significa:

Expresarlo como el producto indicado, es decir sin realizar, de dos o ms polinomios de menor grado que el

polinomio original.

Volviendo al ejemplo anterior, una factorizacin de 4 215 12x x es ( )2 23 5 4x x porque el resultado de esta

multiplicacin es 4 215 12x x .

Debemos tener cuidado porque algunas expresiones que parecen factorizadas no lo estn, sera un error

decir que la factorizacin de 2 4 4x x+ + es ( )4 4x x + + , porque si bien es cierto esa operacin da el resultado que

buscamos, no est expresada como un producto, sino como una suma de dos trminos. Veamos un ejemplo ms

simple, no tiene sentido decir que 12 se factoriza 12 5 2 2= + , ya que 12 se factoriza 212 2 3= .

Existen varios mtodos para factorizar un polinomio, los ms importantes los repasaremos a continuacin,

aclarando que en este texto limitaremos las factorizaciones a polinomios con coeficientes enteros.


Matemtica - 10 3

A. Factor comn

El factor comn es un monomio o polinomio que est presente en todos los trminos del polinomio que

queremos factorizar.

El factor comn de un polinomio est compuesto por:

a) El mximo comn divisor (MCD) de los coeficientes numricos de los trminos del polinomio.

b) Los factores literales que estn repetidos en todos los trminos, elevados al menor exponente con que aparece en

el polinomio.

Para factorizar un polinomio mediante factor comn:

1) Se identifican los factores repetidos, para encontrar el factor comn.

2) Se divide cada uno de los trminos del polinomio entre el factor comn.

3) Se escriben dentro de un parntesis, los trminos que se obtienen en el paso 2).

EJEMPLO 1. Factorice 3 2 2 2 2 375 60 90x yz x y z x y + + + +

PASO 1) El MCD de 75,60,90 es 15 y los factores literales repetidos son x , y .

PASO 2) Del factor x el menor exponente es 2 , del factor y el menor exponente es 1.

PASO 3) El factor comn es: 215x y .

PASO 4) Se efectan las divisiones:

3

2

755

15

x yzxz

x y= ,

2 2 22

2

604

15

x y zyz

x y

= ,

2 32

2

906

15

x yy

x y=

PASO 5) Se expresa el producto: ( )3 2 2 2 2 2 2 2 275 60 90 15 5 4 6x yz x y z x y x y xz yz y + = +

EJEMPLO 2. Factorice

3 25 35 25

12 18 6

x x y xy + + + +

PASO 1) Antes de sacar el factor comn es conveniente expresar el polinomio con un solo denominador:

3 2 3 25 35 25 15 70 150

12 18 6 36

x x y xy x x y xy + + =

PASO 2) Se encuentra el factor comn del numerador que es 5x pues de 15,70,35 el MCD es 5 y el nico

factor que est en todos los trminos es x con menor exponente 1.

PASO 3) Se hacen las divisiones:

3 2215 70 1503 , 14 , 30

5 5 5

x x y xyx xy y

x x x

= = =

PASO 4) Se expresa la factorizacin: ( ) ( )

23 22

5 3 14 3015 70 150 53 14 30

36 36 36

x x xy yx x y xy xx xy y

+ += = +


Matemtica - 10 4

Como veremos en el siguiente ejemplo, el factor comn puede ser un polinomio.

EJEMPLO 3. (((( )))) (((( ))))212 30x a b x m b a

PASO 1) Observe que ( )b a a b = y esto nos facilitar la factorizacin.

PASO 2) Para cambiar el signo del factor ( )b a debemos cambiar el signo del coeficiente que est antes del

trmino, as ( ) ( )2 230 30x b a x a b = + y obtenemos: ( ) ( )212 30x a b x m a b +

PASO 3) El factor comn es: ( )6x a b

PASO 4) Al hacer las divisiones: ( )12 x a b( )6 x a b

2= y 230x ( )m a b( )6 x a b

5mx=

PASO 5) Expresamos la factorizacin: ( )( )6 2 5x a b mx +

En ocasiones, es importante tomar el factor comn negativo para que el polinomio que queda dentro de los

parntesis tenga el coeficiente principal (el de mayor grado) positivo. Esto facilitar factorizaciones posteriores.

EJEMPLO 4. (((( )))) (((( ))))226 3 2 3x x x x + + + + + + + + + + + +

PASO 1) Observe que ( )3x + y ( )3 x+ son el mismo factor. ( ) ( )226 3 2 3x x x x + + +

PASO 2) El factor comn es ( )2 3x x + pero lo tomaremos negativo, es decir: ( )2 3x x +

PASO 3) Al hacer las divisiones tenemos:

26x ( )3x +2 x ( )3x +

23 ,x=

x ( ) 23 x+2 x ( )3x +

( )3 x= +

PASO 4) Expresamos la factorizacin: ( ) ( )2 3 3 3x x x x + +

PASO 5) Simplificando el segundo parntesis : ( )[ ] ( ) ( )2 3 3 3 2 3 2 3x x x x x x x + = +

Esta factorizacin tambin podra expresarse ( )( )2 3 3 2x x x+ . En la observacin que precede el ejemplo

explicamos porque se hizo de esa manera.

Lo ms importante es rescatar que si ( )a b es un factor de un polinomio, entonces ( )b a tambin lo es.

Cuando vamos a extraer el factor comn de un polinomio, podemos hacer uso de algunas propiedades de los

nmeros reales, como la siguiente:

Cuando se elevan a una potencia par, un nmero y su opuesto, ambos dan el mismo resultado, por ejemplo:

2 2 y ( )6 62 2 = . Algebraicamente, podemos establecer la igualdad ( )nnA A= donde A representa

cualquier polinomio y n es un nmero natural par.


Matemtica - 10 5

EJEMPLO 5. (((( )))) (((( ))))223 ,a ax x a x a x a++++ + + + +

PASO 1) Observe que ( ) ( )2 2a x x a = y la expresin es equivalente a: ( ) ( )223a ax x a x x a+ +

PASO 2) Los factores repetidos son x y ( )x a . El factor comn es: ( )ax x a .

PASO 3) Al hacer las divisiones tenemos: ( )ax x a

( )ax x a( ) 223

1,

ax x a+ =

( )ax x a( ) ( )2 23 3a ax x a x x a+ = = ,

donde utilizamos leyes de potencia en el segundo trmino.

PASO 4) La factorizacin queda: ( ) ( )21 3ax x a x x a +

PASO 5) Simplificando el segundo parntesis: ( )( )3 23 3 1ax x a x ax +

Sin embargo, cuando se elevan a una potencia impar, un nmero y su opuesto, un resultado es el opuesto del otro.

Por ejemplo: 2 2 y ( )7 72 2 = . Algebraicamente, podemos establecer la igualdad ( )n nA A = donde A

representa cualquier polinomio y n es un nmero natural impar.

EJEMPLO 6. (((( )))) (((( ))))4 33 4 36 3 3 3 , , 3a ax x a x a x a a + > + > + > + >

PASO 1) Observe que ( ) ( )3 33 3a x x a = , lo que indica que debemos cambiar el signo del coeficiente del

segundo trmino: ( ) ( )4 33 4 36 3 3 3a ax x a x x a

PASO 2) El factor comn es: ( )333 3ax x a

PASO 3) Haciendo las divisiones: 6

23ax ( ) 43x a

3 3ax ( )33x a( )

32 3 ,x a

=

( )34 3 3ax x a

3 ( )33 3ax x a4 3 3 3a a ax x = =

PASO 4) La factorizacin queda: ( ) ( )

( ) ( )

33 3

33 3

3 3 2 3

3 3 6 2

a a

a a

x x a x a x

x x a x a x

La utilizacin adecuada del factor comn nos permite expresar de manera ms sencilla expresiones exponenciales.

EJEMPLO 7. Simplifique la expresin 2 1 2 14 4 ,x x x+ ++ ++ ++ ++ + + +

PASO 1) Podemos ver que el trmino 2 14 x+ est repetido y podra salir a factor comn, y al hacer las divisiones

obtenemos:

2 1

2 1

41

4

x

x

+

+= ( )2 1 2 14 1 1 4 2x x+ ++ =

PASO 2) Utilizando leyes de potencia, simplificamos: ( ) ( )2 1 2 2 12 1 4 2 1 4 32 2 2 2 2 2x x x x+ + + + + = = =


Matemtica - 10 6

Ejercicio A.

I PARTE: Factorice, utilizando factor comn los siguientes polinomios. Exprese con un comn denominador, cuando

sea necesario.

1. 2a ab ac ad+ + +

2. 3 5x x x+ +

3. 3 5 22 5x x x +

4. 6 9 15a b+

5. 4 2 2 3 224 12 18x x y x y+

6.

3 2 4 52 3 44 6 2

5

b x b xb x y

+

7. 3 2 2 3 22814 42

3x y x y x y

8.

2 34 6

3 5

x y x

9. 7 5 4 3 3 510 30 35

3 7 2m a a m a m

10. ( ) ( )A x y B x y +

11. ( ) ( )A x y B y x +

12. ( ) ( )32 23 3x x x x x

13. ( ) ( )3 2 22 2y x y x+ +

14. ( ) ( )3 2 2 2b x y m y x

15. ( ) ( )33 32 2x x x x x +

16. ( ) ( )5 33 2 5 212 1 18 1x x x x

17. ( ) ( )

122102

105

y a by b a

+

18. ( ) ( )5 72 2x y y x

19. ( ) ( )3 22 3 2a b a b a

20. ( ) ( )3 43 3 3x x y y x y

21. ( ) ( )( )4 34 2 4a b a b b a + +

22. ( ) ( )27 7 ,a ap x y p y x a+ +

23. ( ) ( )2 321 1a ax x x + , a

24. ( ) ( )2

5 2 2 5 , , par.a a a

y y a a+

II PARTE: Simplifique las siguientes expresiones exponenciales.

Las variables que aparecen en los exponentes representan nmeros reales.

1. 2 2n n+

2. 5 4 5x x+

3. 4 2 4 210 7 3 7x x

4. 4 9 2 9 3 9x x x + +

5. 1 14 2 2 2x x+ +

6. 5 2 3 2x x +

7. 16 5 9 5x x +

8. 9 4 9 2 9x x x+

9.

3 31 1

23 3

x x+ + +

10. ( ) ( )4 1 4 3 12 4x xy y+ + +

11. ( ) ( )24 1 3 1 9x xy y y y+ +


Matemtica - 10 7

B. Trinomios cuadrticos perfectos

Los trinomios cuadrticos perfectos son de la forma 2 22a ab b + y se factorizan ( )2a b .

Los polinomios, ya ordenados, que se pueden factorizar mediante la I o II frmula notable tienen las siguientes

tres caractersticas que debemos reconocer al factorizar:

Tienen tres trminos y estos no tienen ningn factor comn.

El primer y el tercer trmino son cuadrados perfectos, de coeficientes positivos. Como 449x 6 129x y

CONDICION DEL SEGUNDO TRMINO: El resultado de multiplicar las races cuadradas del primer y el tercer

trmino por 2 es igual al segundo trmino.

Debemos tomar en cuenta que:

Para sacar la raz cuadrada de un monomio, se saca la raz cuadrada del coeficiente numrico, y se divide por dos

cada exponente del factor literal. Por ejemplo: 4 249 7x x= 6 4 3 29 3x y x y= .

Para factorizar trinomios cuadrticos perfectos

Se encuentran a y b . Estos deben ser las races cuadradas del primer y el tercer trmino.

Se verifica que cumplan la condicin del segundo trmino.

Por ltimo, se identifica si es la I o la II frmula notable, dependiendo del signo del segundo trmino y se escriben

los trminos en la frmula notable correspondiente: (((( ))))22 22

a b

a ab b a b + = + = + = + = .

EJEMPLO 8. Factorice 216 8 1x x+ ++ ++ ++ +

PASO 1) El polinomio ya est ordenado y no tiene factor comn.

PASO 2) Luego, se calculan a y b : 2

14

16 8 1x

x x+ +

PASO 3) Se verifica la condicin del segundo trmino: 2 4 1 8x x =

PASO 4) Es la I frmula notable: ( )24 1x +

EJEMPLO 9. Factorice 4 4 7 3 5108 81 36x y x y xy

PASO 1) El polinomio ya ordenado es: 7 3 4 4 581 108 36x y x y xy +

PASO 2) Sacando el factor comn es : ( )3 6 3 29 9 12 4xy x x y y +

PASO 3) Para el trinomio que queda, se calculan a y b : 3

6 3 2

3 2

9 12 4x y

x x y y +

PASO 4) Se verifica la condicin del segundo trmino: 3 32 3 2 12x y x y =

PASO 5) Es la II frmula notable: ( )23 39 3 2xy x y


Matemtica - 10 8


5 2 34 3 279

2

x y xx y

++++++++

PASO 1) El polinomio ya ordenado, expresado con un solo denominador es:

5 2 4 33 18 27

2

x y x y x+ +

PASO 2) Sacando el factor comn es: ( )3

2 23 6 92

xx y xy+ +

PASO 3) Para el trinomio que queda, se calculan a y b : 2 2

3

6 9

xy

x y xy+ +

PASO 4) Se verifica la condicin del segundo trmino: 2 3 6xy xy =

PASO 5) Es la I frmula notable: ( )3

233

2

xxy +

EJEMPLO 11. Factorice 3 23 39 108x x x + + + +

PASO 1) El polinomio ya est ordenado y al sacar el factor comn es: ( )23 13 36x x x + PASO 2) Para el trinomio que queda, se calculan a y b :

2

6

13 36x

x x +

PASO 3) Veamos que no se satisface la condicin del segundo trmino: 2 6 12 13x x x =

PASO 4) Este mtodo no funciona para este caso. ( )23 13 36x x x +

Recuerde siempre las tres caractersticas que debe tener un trinomio para ser cuadrtico perfecto, enunciadas en

la pgina anterior.

En la seccin D. veremos mtodos de factorizacin para trinomios que no son trinomios cuadrticos perfectos.

Ejercicio B. Factorice los trinomios cuadrticos perfectos. Recuerde primero sacar el factor comn y expresar con

slo un denominador. Si no es posible aplicar el mtodo selelo.

1. 2 22p pq q+ +

2. 2 10 25x x +

3. 3 2 1x x+ +

4. 24 12 9x x+ +

5. 2 2 4x x+ +

6. 2 29 30 25x xy y+ +

7. 2 2 6 9x y xy +

8.

293 1

4

xx +

9. 2 15 2

5x x +

10. 4 22 1x x

11. 22 18 12x x+

12. 3 2 2 33 18 27x y x y xy +

13. 4 216 8x x+

14. 22 12 72x x +

15. 4 3 214 49m m m +

16. 4 4 2 236 48 16x y x y +

17. 28 18 24m m+

18. ( )4 4x x + +

19. ( )3 3 9x x x

20. 2 22a a a ax x y y +

21. 3 2 218 4

9

xx x +

22. ( ) ( )22 4 2 4a x a x +

23. ( ) ( )2216 36 1 48 1x x x x + + +

24.

22

24

b bx x

a a +

25. ( ) ( )6 3 22 1 4 2 1 4x x x x + +

26. ( ) ( )4 8

242 1 3

2 13 2

x xx x


Matemtica - 10 9

C. Factorizacin por diferencia de cuadrados

Los binomios que son una diferencia de cuadrados son de la forma 2 2a b y se factorizan como el producto

( )( )a b a b + en virtud de la tercera frmula notable. Los polinomios, ya ordenados, que se pueden factorizar mediante la III frmula notable tienen las siguientes caractersticas:

Tienen dos trminos y estos no tienen ningn factor comn.

Ambos son cuadrados perfectos.

Los trminos son de diferente signo.

Para factorizar diferencias de cuadrados

Se extraen las races cuadradas de los trminos y se utiliza la frmula: (((( )))) (((( ))))2 2

a b

a b a b a b = + = + = + = +

EJEMPLO 12. Factorice x 24 1

PASO 1) El polinomio ya est ordenado y no tiene factor comn.

PASO 2) Luego, se calculan a y b : 2

12

4 1x

x

PASO 3) Se indica la diferencia multiplicada por la suma: ( ) ( )2 1 2 1 +x x

EJEMPLO 13. Factorice x y x2 8 6162 32

PASO 1) Sacando el factor comn es: ( )2 8 42 81 16x y x

PASO 2) Para el binomio que queda, se calculan a y b :

24

8 4

49

81 16xy

y x

PASO 3) Se indica la diferencia multiplicada por la suma: ( ) ( )4 2 4 29 4 9 4y x y x +

PASO 4) El primer factor, tambin es diferencia de cuadrados:

2

4 2

23

9 4x

y

y x

PASO 5) Se indica la diferencia por la suma: ( ) ( )2 23 2 3 2y x y x +

PASO 6) Se escribe la factorizacin completa: ( )( )( )2 2 2 4 22 3 2 3 2 9 4x y x y x y x + +

PASO 7) Ordenando respecto a x : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 42 2 3 2 3 4 9 + +x x y x y x y


Matemtica - 10 10

EJEMPLO 14. Factorice (((( ))))222 4 32x x + + + +

PASO 1) El polinomio ya est ordenado.

PASO 2) Sacando el factor comn, en este caso negativo: ( )222 4 16 x x

PASO 3) Para el binomio que queda, se calculan a y b : ( )( )

2

22

4

4

4 16

x x

x x

PASO 4) Se indica la diferencia por la suma: ( )( )2 22 4 4 4 4x x x x +

PASO 5) El segundo factor, es un trinomio cuadrtico perfecto: ( ) ( )22 4 4 2x x x + = PASO 6) Note que el factor

2 4 4x x no es un trinomio cuadrtico perfecto.

PASO 7) Se escribe la factorizacin completa: ( ) ( )222 4 4 2x x x

Al igual que en la seccin anterior hay que recordar que hay binomios que no son diferencias de cuadrados. En

esos casos no se puede aplicar el mtodo. Por ejemplo 2 4x + , o 3 9x .

Ejercicio C. Factorice completamente utilizando diferencia de cuadrados. Si no se puede aplicar el mtodo selelo.

1. 2 2x y

2. 2 121x

3. 6 2 9x y

4. 8 1x

5. 416 x

6. 4 816 81x y

7. 4 29n y

8. 46 96n

9. 4 81n

10. 4 16x x

11. 4 2a a +

12.

28

9

xx

13. 4 1

81x

14. 52 162x x +

15. 375 48x x

16. 16 9,ax a

17. 4 8 ,n nx y n

18. ( )22x a b

19. ( )2 316 2 4y b x y

20. ( ) ( )2 23 2 5 4x a x a+ +

21. ( ) ( )33 9 3a a+ +

22. ( )223 27x x +

23. ( ) ( )2 22a b b c

24. ( )22 16 3x x +

25. ( )229 3 2 1x x


Matemtica - 10 11

D. Trinomios cuadrticos imperfectos

La idea es ahora, factorizar los trinomios de la forma 2ax bx c+ + , donde { }, , 0a b c .

El discriminante de estos polinomios se calcula con la frmula 2 4b ac = y sirve para saber si el polinomio

se puede o no factorizar y cual es el mtodo ms eficiente.

EJEMPLO 15. Encuentre el discriminante del trinomio 2 3 1x x

PASO 1) Identificamos cada uno de los coeficientes del trinomio 1, 3, 1a b c= = =

PASO 2) Aplicamos la frmula: ( ) ( )22 4 3 4 1 1 9 4 13b ac = = = + = .

De acuerdo con el valor del discriminante, tenemos los siguientes casos:

0 > y 0 > > > > y

Si el discriminante es

negativo entonces el

trinomio no se puede

factorizar con

coeficientes reales.

Si el discriminante es cero,

el trinomio es cuadrtico

perfecto y la factorizacin

se puede hacer mediante la

primera o la segunda

frmula notable.

Si el discriminante es positivo y

su raz cuadrada es entera, el

trinomio se puede factorizar

por inspeccin o

amplificacin, mtodos que

veremos a continuacin.

Si el discriminante es

positivo y su raz cuadrada

no es entera entonces el

polinomio no se puede

factorizar con coeficientes

enteros.

D.1 Inspeccin (trinomios mnicos)

Cuando el trinomio es mnico (el coeficiente principal es 1) entonces aplicaremos el mtodo de inspeccin:

Llamamos inspeccin al caso de factorizacin de un trinomio cuadrtico: 2x bx c+ + .

Es decir que 1a = y necesitamos que su discriminante tiene raz cuadrada entera.

La idea de una factorizacin es siempre expresar como un producto de polinomios de menor grado, de donde si

una expresin de este tipo se puede factorizar ser como un producto de dos factores lineales.

Obviamente, esperamos que esos factores tambin sean mnicos como una condicin suficiente para que su

producto tambin lo sea. En tal caso, ( )( )2x bx c x x+ + = + + donde debemos encontrar y .

Desarrollando el producto a la derecha: ( )2 2 2 2x bx c x x x x bx c x x+ + = + + + + + = + + +

De donde podemos esperar que b + = y c = .


Matemtica - 10 12

Por lo general, para encontrar y es ms conveniente empezar por determinar sus signos, y para esto podemos

seguir las siguientes reglas:

El signo de es el signo de b y el signo de se obtiene al multiplicar el signo de b por el signo de c .

Los nmeros multiplicados dan c : c =

Los nmeros sumados dan b : b + =

En el primer parntesis colocamos y en el segundo colocamos .

La mejor manera de entender como factorizar por este mtodo es analizar los ejemplos, donde debe drsele

nfasis a que los signos determinan la manera en que se completan los parntesis.

El clculo del discriminante no es indispensable en las factorizaciones, lo hacemos slo para verificar que es

posible aplicar el mtodo de inspeccin.

EJEMPLO 16. Factorice 2 5 6x x+ ++ ++ ++ +

El discriminante es 25 4 1 6 25 24 1 = = = que tiene raz cuadrada entera.

PASO 1) Colocamos los signos, siguiendo las reglas: ( )( )2 5 6x x x x+ + = + + PASO 2) Como los signos obtenidos son iguales, hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 6 y sumados

dan 5 . Estos son 3 y 2 .

PASO 3) La factorizacin es: ( )( )2 5 6 3 2x x x x+ + = + +

EJEMPLO 17. Factorice 2 12x x+ + + +

El discriminante es ( )21 4 1 12 1 48 49 = = + = que tiene raz cuadrada entera.

PASO 1) Colocamos los signos, siguiendo las reglas: ( )( )2 12x x x x+ = + PASO 2) Los signos son diferentes, hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 12 y restados dan 1. Estos

son 4 y 3 .

PASO 3) La factorizacin es: ( )( )2 12 4 3x x x x+ = +


Matemtica - 10 13

EJEMPLO 18. Factorice 3 22 6 20x x x + + + + + + + +

Antes de empezar, se debe ordenar el polinomio y sacar el factor comn. ( )3 2 22 6 20 2 3 10x x x x x x + + = . Nos concentramos en el trinomio

2 3 10x x .

El discriminante es ( ) ( )23 4 1 10 9 40 49 = = + = que tiene raz cuadrada exacta.

PASO 1) Colocando los signos en la factorizacin: ( )( )2 3 10x x x x = + PASO 2) Hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 10 y restados 3 . Estos son 5 y 2 .

PASO 3) La factorizacin completa es : ( )( )3 22 6 20 2 5 2x x x x x x + + = +

Cuando el trinomio tiene dos variables, se asumer que una de ellas es constante y trabajar de la misma manera.

EJEMPLO 19. Factorice 2 29 14x xy y + + + +

El discriminante es ( )2 2 2 2 29 4 1 14 81 56 25y y y y y = = = que tiene raz cuadrada exacta.

PASO 1) Colocando los signos en la factorizacin: ( )( )2 29 14x xy y x y x y + = , PASO 2) donde se colocaron las y , por ser una factorizacin en dos variables.

PASO 3) Hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 14 y sumados dan 9 . Estos son 7 y 2

PASO 4) La factorizacin es : ( )( )2 29 14 7 2x xy y x y x y + =

Ejercicio D.1

I PARTE: Factorice, utilizando inspeccin. Si el trinomio no se puede factorizar por este mtodo calcule el

discriminante.

1. 2 3 10x x+

2. 2 26 40x xy y +

3. ( ) ( )23 3 3 4x x +

4. 22 2 112x x+

5. 3 23 3 18x x x + +

6. 4 315 8x x x+

7. 2 1x x +

8. 4 2 2 33 42 27x y x x y+ +

9. 2 3 4x x +

10. ( )2x a b x ab + +

11.

2

2 243

xx

12. 3 24 32 28x x x

II PARTE: Para factorizar la expresin el polinomio

8 411 80x x , se puede hacer la sustitucin 4y x= .

1. Muestre que el polinomio que se obtiene es 2 11 80y y

2. Factorice ese polinomio en la variable y

3. Muestre que al volver a la variable x se obtiene ( )( )4 416 5x x + 4. Factorice completamente el polinomio anterior.

5. Utilice una sustitucin apropiada para factorizar

4 22 14 16x x , y 6 310 24x x+

III PARTE: Considere ( ) 26 13 5p x x x= +

1. Muestre que ( ) ( ) ( )2

6 13 6 30

6

x xp x

+=

2. Realice la sustitucin 6y x=

3. Factorice el polinoimio en la variable y .

4. Factorice cada factor obtenido y simplifique.

5. Utilce la sustitucin 12y x= para factorizar 212 24 63x x


Matemtica - 10 14

D.2 Amplificacin (trinomios no mnicos)

Llamamos amplificacin al caso de factorizacin de un trinomio cuadrado, en el que 1a y que su

discriminante tiene raz cuadrada exacta.

La idea es seguir un mtodo basado en el de inspeccin, para lo cual se colocan los factores de la siguiente

manera:

( )( )2

ac ax axax bx c

a

+ + = donde los signos siguen las mismas reglas de inspeccin.

Igualmente los nmeros que completan la factorizacin sumados dan b , pero, multiplicados dan ac en vez

de c , lo cual se seala encima del ltimo coeficiente. Adems, se debe sacar los factores comunes de los parntesis

obtenidos para simplificar con el denominador que colocamos.

EJEMPLO 20. Factorice 22 3x x

El discriminante es ( ) ( )21 4 2 3 1 24 25 = = + = que tiene raz cuadrada exacta.

PASO 1) Amplificando y colocando los signos: ( )( )6

22 2

2 32

x xx x

+ =

PASO 2) Hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 6 y restados dan 1. Estos son 3 y 2 .

PASO 3) La factorizacin es de la forma: ( )( )2 3 2 2

2

x x +

PASO 4) El segundo factor tiene un factor comn y se cancela con el denominador:

( )2 3 2x ( )12

x +( ) ( )22 3 2 3 1x x x x = +

EJEMPLO 21. Factorice 212 23 5x x + + + +

El discriminante es ( )223 4 12 5 289 = = , como 289 17= se puede aplicar el mtodo.

PASO 1) Amplificando y colocando los signos: ( )( )60

212 12

12 23 512

x xx x

+ =

PASO 2) Hay que encontrar nmeros que multiplicados dan 60 y sumados dan 23 . Estos son 20 y 3 .

PASO 3) La factorizacin es de la forma: ( ) ( )12 20 12 3

12

x x

PASO 4) Sacando los factores comunes: ( ) ( )4 3 5 3 4 1 12

12

x x =

( )( )3 5 4 112

x x

PASO 5) La factorizacin queda: ( ) ( )212 23 5 3 5 4 1x x x x + =


Matemtica - 10 15

EJEMPLO 22. Factorice (((( )))) (((( ))))221 1 1 2x x+ + + + + + + + + + + + Este polinomio se factoriza igual que los anteriores solamente que la variable es ( )1x + y no x

PASO 1) Amplificando: ( ) ( ) ( ) ( )42

221 1 21 1

21 1 1 221

x xx x

+ + + + + + =

PASO 2) Los nmeros que completan los cuadros son 7 y 6 : ( ) ( )21 1 7 21 1 6

21

x x+ + +

PASO 3) Simplificando y sacando los factores comnes:

( ) ( ) ( )( )21 21 7 21 21 6 21 28 21 15 721 21

x x x x+ + + + += =

( )3 4 3x + ( )7 521

x +( )( )3 4 7 5x x= + +


3 2 23 16 42

3

x y x yxy

PASO 1) En comn denominador: ( )3 3 2 23 2 2 3 3 2 2

36 16 416 4 6 16 4

23 3 3

xy x y x yx y x y xy x y x yxy

+ = =

PASO 2) Ordenamos y sacando el factor comn: ( ) ( )2 2 2 22 23 8 2 8 2 33 3

xy xyy x xy x xy y

+ =

PASO 3) Para el trinomio que queda aplicamos amplificacin:

( )( )242 2

8 88 2 3

2

x y x yx xy y

+ =

PASO 4) Los nmeros que completan los cuadros son 6 y 4 : ( )( )8 6 8 4

2

x y x y +

PASO 5) Sacando el factor comn y simplificando: 2

=( )4 3 4x y ( )2

8

x y+( )( )4 3 2x y x y= +

PASO 6) La factorizacin completa queda: ( )( )2 4 3 2

3

xy x y x y +

Cuando un trinomio con coeficientes enteros, tiene discriminante negativo, o bien positivo pero su raz cuadrada no

es un nmero entero, entonces no se puede factorizar por este mtodo.

Ejercicio D.2

I PARTE: Factorice, utilizando amplificacin. Si el trinomio no se puede factorizar por este mtodo calcule el

discriminante.

1.

223 8

4

xxy y+ +

2. 3 26 5x x x +

3. 236 78 30x x

4. 26 2x x + +

5. 2 2 2 215 11 12a x ax x

6.

236 10

2

xx+ +

7. 22 11 12x x+ +

8. 2x 2 + 7x + 6

9. ( ) ( )26 2 1 7 2 1 3x x+ + +

10. 3 2515 52

x x x

11. 73 1

2x x

12. 212 14 6x x

II PARTE: Utilice sustituciones similares a las de la segunda parte del ejercicio D.1 para factorizar los polinomios

1.

4 215 2x x 2. 8 44 11 6x x + 3. 12 5 23 14x x x 4. 6 36 5 6x x


Matemtica - 10 16

E. Agrupacin

Cuando tenemos un polinomio con cuatro trminos, en ocasiones es posible hacer una agrupacin de manera

que haya factores comunes entre los grupos escogidos.

EJEMPLO 24. 2 3 4 6xy y x+ + + +

PASO 1) El polinomio no tiene factor comn para los cuatro trminos.

PASO 2) Agrupamos el primero con el segundo, y el tercero con el cuarto, siempre colocando un + entre los

grupos que formamos: ( ) ( )2 3 4 6xy y x+ +

PASO 3) Sacamos el factor comn de cada grupo: ( ) ( )22 3 2 3x xy + +

PASO 4) Sacamos el factor comn sealado: ( ) ( )2 3 2x y+

EJEMPLO 25. (((( ))))2 1 1x y y + + + +

PASO 1) El primer trmino ya est agrupado, agrupamos la segunda parte: ( ) ( )2 1 1x y y + +

PASO 2) Extraemos un 1 en el segundo grupo: ( ) ( )2 1 1y yx

PASO 3) Sacamos el factor comn sealado: ( ) ( )2 11y x PASO 4) El segundo factor es una diferencia de cuadrados: ( ) ( ) ( )1 1 1y x x +

Algunas veces agrupar en el mismo orden en que est el polinomio no produce ningn resultado, sino que es

necesario agrupar de una manera distinta.

Siempre se deben intentar agrupar las parejas que parezcan tener factor comn

EJEMPLO 26. 3 2 22 3 2 3x y xy x y + + + +

PASO 1) El polinomio no tiene factor comn para los cuatro trminos:

PASO 2) Agrupamos el primero con el tercero, y el segundo con el cuarto: ( ) ( )3 2 3 22 2 3 3x xy y x y+ +

PASO 3) Sacamos el factor comn de cada grupo: ( ) ( )2 2 2 22 3x y xy yx + +

PASO 4) Como ( ) ( )2 2 2 2x y y x+ = + , se puede sacar a factor comn: ( )( )2 2 2 3x y x y+

EJEMPLO 27. 2 49 7x xy y + + + +

PASO 1) Agrupando : ( )27

49 7x

x xy y

+ +

PASO 2) Factorizando cada trmino: ( )( ) ( )77 7xx yx +

PASO 3) Extrayendo el factor comn: ( )( ) ( )( )7 7 7 7x x y x x y + = +


Matemtica - 10 17

EJEMPLO 28. (((( ))))2 25 10 5 10x y xy y + + + +

PASO 1) El primer trmino ya est agrupado, agrupando la segunda parte: ( ) ( )2 25 10 5 10x y xy y + +

PASO 2) Sacando los factores comunes, donde el exponente afecta al 5 : ( ) ( )225 2 5 2x y yy x

PASO 3) Extraemos el factor comn: ( ) ( )5 2 25x y x y y

PASO 4) Simplificando el segundo factor: ( ) ( )5 2 5 10x y x y y

PASO 5) La factorizacin es: ( ) ( )5 2 5 11x y x y

El siguiente ejemplo es de suma importancia porque no es una agrupacin en parejas, sino ms bien una

agrupacin de tres trminos dejando uno por aparte.

Es conveniente notar que cualquier otra manera de agrupar no permite factorizar el polinomio.

EJEMPLO 29. 2 22 1x y x+ + + +

PASO 1) Ordenando: 2 2 2 1 y x x +

PASO 2) Agrupando: ( )2 2 2 1 y x x+ +

PASO 3) Sacando el 1 a factor comn: ( )2 2 2 1 y x x +

PASO 4) El segundo trmino es un trinomio cuadrado perfecto: ( )22 1y x

PASO 5) Por diferencia de cuadrados: ( )( ) ( )( )1 1y x y x +

PASO 6) Simplificando los parntesis: ( ) ( )1 1y x y x + +

Ejercicio E. Factorice utilizando agrupacin. Recuerde primero sacar el factor comn, expresar con slo un

denominador. Si es necesario utilice cualquier otro mtodo de factorizacin.

1. ax ay bx by+ + +

2. 3 2 33 12 12 3a b ab ab ab+

3. 3 2 28 4 8 4a a b a ab +

4. 3 2 2 36 10 30 2xy x y y x x y +

5. 3 2 2 2 33 6 3 6x x y y x xy +

6. 1 1 , ,a b b ax y xy x y a b+ + +

7. ( ) 23 2 2 4p m p mp p +

8. ( )2 22 2w x w wx +

9. 2 3 24 2 2 2x x xy x +

10. 7 7

5 5x xy y +

11.

2 222 3 2

5 3 5

x x y yy+

12. 5 4 272 48 9 6x x x x +

13. 2 22 1a ab b+ +

14. 2 2 2 2x y x y

15. 2 2 42x a ax a+

16. 2 24 9 18 9x y y +

17. 2 2 22 1b x bx b +


Matemtica - 10 18

F. Combinacin de mtodos

Para factorizar polinomios se deben tomar en cuenta siempre los siguientes pasos:

Ordenar el polinomio y sacar el comn denominador si es necesario.

Sacar el mximo factor comn, si el primer trmino es negativo conviene tomar el factor comn negativo para

facilitar factorizaciones posteriores.

Se clasifica con respecto al nmero de trminos.

Si hay dos trminos:

Diferencia de Cuadrados

( )( )

2 2a b

a b a b

=

+

Si hay tres trminos: 2ax bx c+ +

2 4b ac =

, se puede hacer inspeccin o amplificacin.

no se puede factorizar con coeficientes enteros.

0 = la factorizacin tendr dos factores iguales (I o II F.N.)

0 < , no se puede factorizar con coeficiente reales.

Si hay cuatro trminos

Agrupacin: (2 y 2)

aX bX aY bY+ + + ( ) ( )X a b Y a b+ + +

( )( )X Y a b+ +

Agrupacin Especial (1 y 3)

( )2 2 22a b bc c + + ( )22a b c +

( ) ( )a b c a b c + + + ( )( )a b c a b c + +

EJEMPLO 30. Factorice completamente (((( ))))226 1 54x

PASO 1) Sacando el factor comn: ( ) 2

22

3

1

6 1 9

x

x

PASO 2) Por diferencia de cuadrados: ( )( ) ( )( )2 26 1 3 1 3x x + PASO 3) Simplificando los parntesis: ( ) ( )2 26 1 3 1 3x x +

( )2 22

6 4 2x

x x

+

PASO 4) El primer factor tambin es diferencia de cuadrados: ( ) ( ) ( )26 2 2 2x x x + +

EJEMPLO 31. Factorice completamente (((( )))) (((( ))))2 23 1 2 1y x x PASO 1) En un principio hay dos trminos separados por una diferencia.

PASO 2) El segundo trmino se puede factorizar: ( ) ( ) ( )23 21 1 1x xy x +

PASO 3) Sacando el factor comn: ( ) ( ) ( )( )1 11 3 2yx x x +

PASO 4) Simplificando el segundo factor que no se puede factorizar ms: ( ) ( )1 3 3 2 2x yx y x


Matemtica - 10 19

EJEMPLO 32. Factorice completamente (((( ))))24 5 6x x PASO 1) El polinomio tiene dos trminos ya factorizados. ( )

( )2

24

5 6

5 6x

x

x x

PASO 2) Por diferencia de cuadrados: ( ) ( )2 25 6 5 6x x x x + PASO 3) Simplificando los parntesis: ( ) ( )2 25 6 5 6x x x x + +

PASO 4) Por inspeccin, se factorizan los factores obtenidos: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 6 1x x x x +

Ejercicio F.

I PARTE: En la siguiente tabla, seale cules son factores en la factorizacin del polinomio dado en la primer columna

Factorizacin 1x + 1x 3x + 2x 2 3x 2 3x + 3 1x x y+

2 1x

2 3 2x x +

24 6x x

22 3x x

26 7 3x x+

22 3 2 3x y xy x +

2 22 1x xy y+ +

( ) ( )2 22 1 6 3 1x x x x + +

II PARTE: Factorice completamente los siguientes polinomios utilizando cualquier mtodo de factorizacin. Recuerde

utilizar las prioridades vistas en esta seccin.

1. ( ) ( )2 2 24 1 1x x x

2. ( )225 5 80x

3. ( )22288 2 13x +

4. ( )24 5 6x x +

5. ( )249 13 10x x +

6. ( ) ( )2 43 9x x+

7. 2 29 4 4x y xy

8. ( )2 47 49x x+ +

9. 2 4 354 24 72x x x+

10. 948 3n n +

11. 3 2 218 12 18 12z y zy x z +

12. ( ) ( )3 24 3 4x y y y x

13. ( )3

42

2 6

b aa b a

+ +

14. 29 3 1

4x x +

15. ( ) ( )21 1 56x x +

16. ( )24 3x +

17. 3 22 6 4x x x +

18. 2 313 14 12x x x +

19. ( )1 16 3

x x

20. 272 31 5x x

21. 4 3 3 2 2x y x y x y

22. 2 11 62

x x +

23.

3210 225 11

3 3

x xx +

24. ( )2425 13 6x x

25. 3 2 2 32 4 2x y x y xy +

26. 3x y xy +

27. 4 32 8 16x x x +

28. ( )222 10 72x x x +

29. 3 2 2x x x+

30. ( ) ( )2 2x x y y

31. 2 15

25x xy y+

32. 3x x

33. ( )244 13 15x x +

34. 2 1 1

2 4x xy y+

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