FACULTAD DE CIENCIAS F · á un sistema de ejes cartesianos rectangulares, cuyo eje . z coincida con ,el eje óptico es ]1] . La superficie de velocidades normales, que es la pedaJ

FACULTAD DE CIENCIAS F

TESIS DOCTORAl

bull J

DE LAS

CONSTANTES o

DE LOS

CRISTALES BIRREFR

POR

e

) ~) ~ )iacutel

MADRID

IMPRENTl laquoLl ENSENtildelNZA I bull bull

CALLE DE IWIZ 28 BAJO

1914

A mi querido profesor

Dr D EstehanTerradas

PARTE PRIMERA

CAPiacuteTULO PRIMERO

CRISTALES UNIAacuteXICOS

El fenoacutemeno de la doble refraccioacuten enlos (Cristales UUlnA-~ nnIt

como es sabido en el desdoblamiento de un rayo incidente substancias en dos refractados de los cuales el uno sigue lasleye~ cartes mientras el otro se aparta de ellas no estandq en plano de incidencia ni se halla para la incidencia normal eri la cioacuten del rayo incidente

Estos hechos fueron satisfactoriamente explicados por l1TltTPnC

tierido que en dichos cristales la superficie de onda ~se com esfera y de un elipsoide de revoiacuteucioacuten tangente pOr StlS polos aacute iexcla eacuteSiferaacute en los extremos de un diaacutemetro paralelo al eje prlncipaacutel desi- ~1 _middotJ cristal De este modoal aplicar la construcciOacuten qe Huygensaacute laypfrJ~tiexcliiacuteUacute1 en una substancia birrefringente se~obtienen aosondas refractadastlj~IacuteP~0 pondiente la una aacute la hoja esfeacuterica de la superficie deoacutenda yla otrt hoja elipsoidal Para la primera (onda ordinaria) el rayo coacuteincidiniacute normal para la segunda no ocurriraacute esto es genera

Un cristal uniaacutexico (sistemas exagonal y tetragonal)quedaraacute~uC zado IJor el radio O de la esfera y el radio ecuatorial eacutedel el superficie de onda oacute sea por las dos velocidades de roacutesrayos 1LUlllIVlJ~ una direcCioacuten perpendicular al eje prIacutendpaacutel de si~etriaOacutetimliacutejeacuten

reciacuteprocas + w~ e que son los iacutendices de refraacuteccioacuteoacute rli

extraordinaria al suponer igual aacute la unidad la velocidad de vaciacute~ En la direccioacuten paralela al eje principal de simetriacutea (eje

ternaria) las dos velocidades y porIo tanto los dos iacuteQdiCeacute~ esta direccioacuten se denomina eje oacuteptico del cristal

Seguacuten esta hipoacutetesis la ecua~ioacuten de li superficiacuteedeacute

6

aacute un sistema de ejes cartesianos rectangulares cuyo eje z coincida con el eje oacuteptico es

]1]

La superficie de velocidades normales que es la pedaJ de la anterior se compondraacute de la misma esfera y de otra superficicde revolucioacuten que tenshydraacute comuacuten con el elipsoide de la superficie de onda los polos yel ecuashydor Para hallar la ecuacioacuten de esta segunda hoja de la superficie de veloshycidades normales hallaremos la de su curva meridJana del modo siguiente

La ecuacioacuten de la tangente en el punto x z aacute la interseccioacuten del elipshysoide de la superficie de onda con el plano x t es

+

La ecuacioacuten de la perpendicular trazada desde el origen es

z

y eliminando XfI Zu entre estas ecuaciones y la

resulta

+ z)

que es la ecuacioacuten de la curva meridiana buscada La de la sfiperficie de revolucioacuten correspondiente seraacute

(x~ + y2)e~ Z202 - (x2 + y +z)= o

que es un oVllloide de revolucioacuten Por fin la de la superficie- de velocidades normales podraacute escribirshy

se asiacute

[Xi + y2 + z1 0 2] [(x2 + yi) e2 + Z202 _ (Xi + y2 + Z2)2] = o [2]

Las ecuaciones en coordenadas polares de la superficie de ondaseraacuten

[1]

-7shy

donde Se y So son los radios vectores que forman ungtaacutenguio

oacuteptico Del mismo modo las ecuaciones Plares de 10 superficie

des normales seraacuten

donde qo y qe son los radios vectores que forman un aacutengUlo ~~

Un cristal se llama positivocuaacuteildo el elipsoidedela -fiiexclmiddot1 es alargado y negativo cuando dicho elipsoide es achatado caso elt o Oacutebien euro gt w en el segundo egt o elt wOela 1ftiIacutelIacutem

de Huygens se deduce que en los cristales positivoel estaacute entrj el ordinario y el eje Oacuteptico y que en los se~~ul1ldos estaacute entre el extraordinario y el eje

2 Elipsoide de Fresnel y eacutelipsoidede 10$ lndiCe~ -

Las dos superficies consideradasla de onda la de males pueden ser construidas por un procedimiento

I

Fresnel bull Seaen primer lugar el elipsoide llamado de Fresnel

-vale e y ~uyo radio ecuatorial vale o su ecuacioacuten ~eraacute

1 Hallemos los semiejes de la elipiexcle de interse~cioacuten (Uacutetljct9

con un plano diametral cuyanormal formaelaacuteng~lo~ cOtiel Estos semiejes estaraacuten situados el uno en el plano ecuatorial yvaldraacutep el otro en la seccioacuten principal (orientacioacuten del plano determinaaacuteiquestpo(eacutel eje oacuteptico y la normal al plano en cuestioacuten) valiendo

Se =

-- --~ -

y comparando con[1 ] se deduceinmediatamenfe que laquoIasuperfidf onda puede ser construida tomando sobre cada diteccioacuten qlJepa~aacute origen longitudes -iguales aacute los semiejes de la elipse de plano normal aacute dicha direccioacuten que iexclgtaacuteaacutea por ~lceh~ro Ydeleliu Fresneiexcl

8

Para la superficie de velocidades normales emplearemos el elipsoide

llamado de los iacutendices cuyo semieje polar vale ~ = e y el ecuato~ 1

rial = tu Su ecuacioacuten seraacute o

y un plano diametral cuya normal forma con el eje z el aacutengulof lo cortashyraacute seguacuten una elipse cuyos semiejes valdraacuten el perpendicular aacutela seccioacuten

principal 1 y elsituado en la misma

ne = V 02COS2tp i- e2sen2tp

y comparando con l2] resulta que Ia superfiCie de velocidades normales puede construirse tomando sobre cada recta que pasa ppr el centro longitudes reciacuteprocas aacute los semiejes de la elipse de interseccioacuten del elipsoide de iacutendice~ con un plano diametral perpend~cular aacute la recta en cuestioacutenraquo

Expenmentalmente se ha observado que el rayo ordinario vibra pershypendicularmente aacutelaseccioacutenprincipal y el ordinario paralelamente aacute ella y por lo tanto podremos decir que laquolos semiejes de la elipse que por su magnitud determinan las velocidades de propagaCioacuten de los rayos detershyminan por su direccioacutenJas normales aacute los planos de polarizacioacuten corresshypondientesraquo y anaacutelogamente teniendo en cuenta que las vibraciones se verifican en el plano de la onda podremos decir laquogtLos semiejes que por sus reciacuteprocas dan las velocidades normales de las ondas determinantamshybieacuten las direcciones de vibracioacuten correspondientesraquo

CAPiacuteTULO II

CRISTALES BiAxICOS

1 Superficie de vel~cidades normales shy

Los fenoacutemenos de la doble refraccioacuten en I~s cri~t~l~ biaacutexicos(sistetrla roacutembico monocliacutenico y tricliacutenico)fueron de$cubiertospor Bioty Btews ter creyendo Joung que podriacutean explicarse mediante miacutea generaliiaCiOacuteri de la hipoacutetesis de Huygens esto es admitiendo que enestoscdstales I~ s~perficie de onda se componiacutea de una esfera y de unelipsoJde W~1i~s eJesiexcl pero la experiencia demostroacute que ninguno de los rayosr~fract~tl~s

cumpliacutea las leyes ordinarias de la refraccioacuten Fn~snel fueacute quiendi6Iae~~n cacioacuten completa de estos fenoacutemenosgeneralizandopara 1913 cristalesbiaacute xicos las construcciones de la superficie de onda y de veloacutecidadMnorl16~ les que habiacutea encontrado para los ul1iaacutexlcos hipoacutetesls comprob~da~n todassus consecuencias yen particular de un modo~9rprelTderiteenr fenoacutemenos de la refraccioacuten coacutenica -lt

En los cristales biaacuteJicos existen desde el punto de vista oacuteptic6lreii ejes de simetriacutea binaria en el sistema roacutembico son independientes aeta h1z empleada de la presioacuten y de la temperatura en el monocliacutenico dos ejes y en el tricliacutenico los tres dependen de la longitud de onday del~s condiciones exteriores iexcl

Seguacuten lo dicho para construir la superficie de velo~idades norn bastaraacute tomar sobre cada direccioacuten longitudes recfprocasde de la elipse de interseccioacuten del elipsoide de los iacutendices con un l11etral normalaacute dicha direccioacuten Si ab c son las velocidades nOrmales principales la ecuacioacuten del elipsoide de los iacutendices es

a2x2 + b2yll + C2Z2 = 1

Propongaacutemonos determinar las dos velocidades normales qllqt una direccioacuten cuyos cosenos directores coacutenrespecto aacute )osejesdec ~ik

oacuteptica del cristal son lif I~ 3 La ecuacioacutefidel plano diametnl norrnlll

dicha direccioacuten es

[4]

10 - --11shy

y las citadas velocidades seraacuten los valores maacuteximo y miacutenimo del radio que nos da para cada sistema de valores YII 12 13 las velocid~g~s les q) y que es por lo tanto la ecuacioacuten polar de la sup~rficiede1 V vector q = x2 + yl -t zi donde x y z deben satisfacer aacute las ecuashydades notmales

ciones [3J y [4] La condicioacuten de maacutexiacutemooacute miacutenimo nos da Respecto aacute la polarizacioacuten de las ondas resulta anaacutelogam~l1teaacute1Q qUegtJ pasaba en los cristales uniaacutexicos que las direcciones deiexclbraci6nyi~l1~n~

xdx + ydy + zdz o dadas por los semiejes de la elipse que han servido paradeteiniilJiJrlas velocidades normales Por 10 tanto las ecmiciones[5J despueacutes de po~~r

Por otro lado diferenciando [3J y [4] resulta en ellas l~s valores de q dados por [6J nos daraacuten las coor4eriad~scleJp~~ extremos de los semieje~ de la referida elipseypor 10 tanttesuiacute~cOorq~~

a2xdx + b2ydy + c2zdz = o nadas seraacuten proporcionales aacute los cosenos directores de l~sdjtecci()Qeacutesectcle

vidx + v2dy + vsdz o vibracioacuten y como de dichas ecuaciones se deduce

ylmtre las ecuaciones anteriores y la x y z = -----=---

dichos cosenos directores que designaremos por rCw rCIacute(rC31 yrCiacute2~IacuteIacutetdebemos eliminar xy z dx dy dz Para ello emplearemos el meacutetodo de seraacuten bull Lagrange que da

x - Aa2x - ~Vt = o

y - Ab2y ~ AY2 10

Z-AC2Z - AV3 = o siendo

Multiplicando respectivamente por x y z sumando y teniendo en

cuenta las ecuaciOnes anteriores resulta

1 1 -A=O A=shyq2

2 Binormales y sustituyendo en el sistemaanteoor

Escribiendo las ecuaacuteciones de la superficie de velOacuteddaiies coordenadas cartesianas r~sulta

) = AV i )x (1- q2v1x~ q2_a2

(x2+ y2 + Z2)3 _ [x2 (ba +C2) y2 (C2+ a2)+ z2~a2 +b2)] (x2b2 y= ___ [5]y (1- q2v

2~A)=A2 q2 _ b2 + b2c2X2 + c2a2y2 + a2b2z2 == o

C2 y las secciones por lQS planos principales son Z ( 1 ) h~ z=

Plano xy (x2+ y2 c2) [(x2 + y2)2 - (b2x2 a2y1Iacute) Q -iexcl

multiplicando porv 12 vs

respectivamente suacutemando y teniendo en cuen~ bull raquoyz (y2 + Z2 _ a2) [(y2 + Z2)2 - (C2y2 b2z2)1~ p

ta [4J resulta por fin XZ (Z2 +X2 b2) [(x2+ z2)2(a2z2+ C2X~)] = o

~_2_ ~2_ __Lq2 _ a2 + q2 _ ba + q2 _ C2 o [6] Cada seccioacuten se compone de una circu~ferencia y mi 6vaacuteloacute

12 shy

Ademaacutes si a gtb gt e las dos curvas se deben cortar en el planoxz en cuatropuntos simeacutetricosdos aacute dos respecto al centro En las direccioshynes correspondientes aacute estos puntos las dos ondas se propagan con igual velocidad es decirexiste una sola onda refractada y corresponden evishydentemente aacute las normales de las secciones ciacuteclicas del-elipsoide de los iacutendices A estas direcciones se las lI~ma en general ejes oacutepticos pero como tambieacuten sIacutelelen darse esta denominacioacuten aacute las direcciones de igual

velocidad seguacuten el rayo es preferible llamarlas binormales de acuerdo con Fletcher En la direeacutecioacuten de las binormales el estado de vibracioacuten es indeterminado por no existir maacuteximo ni miacutenimomiddot del radio vector en la seccioacuten correspondiente del elipsoide de iacutendices

A Fresnel se debe tambieacuten un medio sen~iIIo para determinar los pIashynos de poJarizacioacuten de cada una de las ondas que se propagan en una

Figura La

direccioacuten dada ON Consideremos los planos quepasan por ON y por las binormales OA i y OAacute (fig 1a

) Las normales aacute estos planos tendraacuten dentro del elipSOide de los iacutendices igual longitud por estar en las seccioshynes ciacuteclicas y como ademaacutes estaacuten en la seccioacuten normal aacute ON los ejes de la eIlpse que se hallen en dicha seccioacuten deberaacuten ser bisectrices del aacutengushylo de dichas normales y por lo tanto los planos de polarizacioacuten de las ondas bisecaraacutene aacutengulo de los planos NOA i y NOA 2 bull bull Los planos de polarizaciOacuten de las ondas planas que se propagan en una cierta direccioacuten como normal son los bisectores del aacutengulo formado por los planos detershyminados por dicha direcCioacuten y las binormalesraquo

J

13

3 Superficie de onda Birradiales

La uperficie de onda puede construirse del mismo modoqu~pira lbs cristaleacutes uniaacutexiiquestos partiendo del elipsoide de Fresriet

X2 y2 Z2

-+-+ =1a2 b2

esto es tomando sobre cada direccioacuten longitudes iguales aacute los ~ elipse de interseccioacuten de dicho elipsoide con un plano mal aacute dicha direccioacuten Seguacuten esto para obtener laecua~i6n deacute)a ficie de ondabastaraacute cambiar en la de velocidades normales E

sus reciacuteprocos y por s que representaraacute ahora la v~lqeacuteidadd~prop~-middot gacioacuten seguacuten el rayo Resulta por lo tanto

O

donde Olgt 0 03 son los cosenos directores de iacutea direccioacuten consi~er~~a En coordenadas cartesianas dicha ecuacioacuten es

(x2 + y2 + Z2) (a2x2 + b2y2 +C2Z2) - a2 (bLi- cl) X2

b2 (c2 + a2)y2 - c2 (a2 +b2) Z2 + a2b2c2 = O

YUacuteIS secciones producidas por los planos coordenados seeacuteomponen~aacutedaacutemiddot unade una circunferencia y tina eliacutepse En el planoxz eacutes~scurvasgtse cortan en ctiatro puntos simeacutetricos dos aacute dos aacute Ios~uaJes ()-rrp~nrnrl direcciones en las que ambos rayos tienen igual velocidad y

naremos birradialeS Anaacutelogamenteacute aacute lo demostrado Rara hl pola~izacioacuten de las

ta ahora laquoque Jos planos de polarizacioacuten de los dos rayosgllese ptQpa~ gan eh una ciertadireccioacuten son los bisectores del aacutengulo formado por planos que determinan dicha direceacuteioacuten y las birradiales bull

4 Deduccioacuten de la ecuacioacuten de la superficie de onda middotH bullbullntlln

la de velocidades normales

Como indica su definicioacute1 es posible encontrar superficie de onda partiendo de la de velocidades normales) rp(lnr)

-shy 14 -

mente pues hi primera es la envolvente de os planos trazados en cada punto de la segunda perpendicularmente al radio vector

Una onda plana que en el tiempo o pasa por eIorigen de coordel)adas normalmente aacute la direccioacuten (VjI V2 v3) tieneacute por ecuacioacuten en el tiempo 1 (1)

[9]

~ t

dotide q es la velocidad seguacuten la normal en el medio considerado vinienshydo dada por

existiendoacute ademaacutes la relacioacuten

[11]

La envolyente de todas las ondaS (9) para los distintos valores de Vi V2 V~ Yq que satisfagan las anteriores rehiciones cpnstituye la superficie de onda Las coordenadas x y z del punt~ de contacto de la onda (9) deben satisfacer en virtud de la definicioacuten de superficie envolvente aacute las ecuaciones de todas las ondas que se obtengan dando incrementos indefishy

nidamente pequentildeos aacute los paraacutemetros Vil V~ S yq siempre que los nuevos valores incrementados satisfagan aacute condiciones apaacutelogas aacute las (10) y (ti) Por lo tanto tendremos

xdvi + ydy + zdy dq [12]

vtd + li dv2 + lsdv - deg [13]

2dv2 + vsdL gdq [14]q2_b2 q2 _c2 -8shy

sIendo

8=----~~------~------------

y ahora se trata deeliminar los paraacutemetros Vil ~IV V3bull q Ysus diferenciales con lo cuaLobtendremos una ecuacioacuten en x y z que seraacute la deacute la supershy

(1) Recordemos que tomamos como unidad la velocidad de la luz en el vaciacuteo y que por lo tanto la unidad de tiempo seraacute el tiempo empleado por la luz en recorrer un cenIacutelmetro en el vaclo

15 -

ficie de onda Para ello emplearemos el meacutetodo de losfadbiexcleacutesjndet~rmh nados de Lagrangeacute con 10 que se tiene

bull j

(x + AiVi A2q2 v ~2 ) dVI +(y + AV )2 q2~ b2 ) ~2

(z + AiexclV3 + A2 q2 ~ c2 )dvs shy (1 +A2 i2) dq o lt)

Como entre las diferenciales d~ dv2

dvrydq 110 existen maacutesquumleja~~ condiciones (13) y (14) podemos considerar dos como il1dependUumlesgt poacuter ejemplo dv y dv2 y disponiendo de ~I y A2 dehiodoqiteaacutenulenlosi coeficientes de dv y dq la ecuacioacuten resultante deacuteberaacute verificaacuter~e para ctl~l quier valor de dV

i ydviexcl Por 10 tanto r

con 10que tenemos un sistema que unido aacute las ecuaciones (9) permite resolver el problemaj pues tenemos siete eCIacutelaciones y

metros por eliminar esto es iI 2 31 q Av A2~ 1

Eliminemos Al y A2 bull Para tener Al basta multiplic~r [l6J [17j yV8l por Vil 2 YI~ respectiv~mente y sumar teniendo en cuerda [9J UOJy [il]~ con lo que resulta q

y de [19]

12 = _ 82

q

Y sustituyendo en [16] [17] y [lB] queda

I 82 bull ~ + 7t28 Y = qv~ + q2_ b2 =q-shy

q q

-- 17 shy-16 shy

con lo cual la ecuacioacuten [23Jse transforma en donde hemos introducido los valores que habiacuteamos obtenido para los cosenos directores de las direcciones de vibracioacuten

Elevando el cuadrado sumando y observando que debe ser

por verificarse las vibraciones en el plano de la onda resultamiddot

82 [21]

que es la ecuacioacuten de la superficie de onda y eliminando S entre [20J y [21] queda Las ecuaCiones [20] y [21] pon~n de manifiesto q~eel rayo~sia 1ip6~

tenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo del que un cateto esqyelotro~ riexcl

con los cosenos directores 11 12 13 yTtll 7lTt3 respectivamentejpor loJan to podemos enunciar el siguiente teorema bull

laquoLa normal aacute la ondael rayo y la direccioacuten de vibraacuteci6h eshin entiacutei1 mismo plano llamado plano de vibracioacuten~

Se~uacuten esto es faacutecil resolver el problema dedetermiflar19S dltlsraY9seacute introduciendo los cosenos directores OIJ 02 05 del radio vector que va al correspondientes aacute una direccioacuten dada como normaleacute inversamente d~teacute~~

pumo (x y Z)iexcl las uacuteltimas igualdadespueden escribirse como sigue minar las normales correspondierit~s aacute las dos ondas quesemiddotpr6pagan

08 Iq seguacuten una misma direccioacuten como rayo s2-a2 = q2~ En Jo sucesivo haremos con frecuencia uso de la superficie de ldicq~

028 Iq obtenida llevando desde el origen sobre cada ctirecdOacutetIacute 10ngitiacuteide~iny~Vshy[22]82 _ iexclji = q2 b2 samente proporcionales aacute laacutes velocidades normales Esta iexcluperficfeseiquestaacuteI~ 038 l3q polar reciproca de la de onda y la inversa de la de velocidades nOrinale~ -

82 _ c2 = q2 - c2shy teniendo como eacutesta cuatro puntos coacutenicos en la direcciOacuten delas HitiOr~- males La ecuacioacuten de la superficie de iacutendices deducida inmedlataacutelnei1t~ Multiplicando ahora estas igualdades por x OIS y ~ 08 Z = 058 de la de velocidades normales seraacute j

respectivamente y sumando resulta

Ahora bieniexcl haciendo la misma operacioacuten con las igualdades [20] resulta donde n representa el iacutendice y el radio vector en la direccioacuten

shy Siendo la superficie de iacutendices polar de la onaa su pedal 8S21 a 1 O 110bull I I + bull 2 + -q~ + (lIX + l2Y + l5z) qq2 _ a2 q2 _ b2 q2 - c2 de la misma de modo que si dada la normal aacute una onda Ultl~ltlIIIU

tangente aacute la superficie de iacutendiCes en el punto de intersecciOacuten y como seguacuten [9] ~IX + ~y + loZ - q y teniendo en cuenta [21] normal la perpendicular al citado plimo tangente nos da la aiexclreiexcliexclciexclori

rayo correspondiente y su magnitud es igual aacute la inversa deacute la seguacuten el rayo

CAPiacuteTULO lIT

REFLEXIOacuteN Y REFRACCIOacuteN

1 Refraacuteccioacuten de las normales aacute las ondas~

Cuando una eurolnda incide sobre la superfiCie de separacioacuten de dos me dios brrrefri~gentes nacen en general dos ondas reflejadas y dos refrac~ tadas que pueden constrtlirse medfante el principio de Huygens de cuya construcciOacuten se deduce que las normales aacutelas ondas reflejadas y refraacutecta~ das estaacuten en el plano de incidencia y que si represel1tamos por i o 0

ilos aacutengulos que forman la normal incidente las reflejadas y las refractadas con la normal aacute la superficie y por qO qiexclo q~O qi q2SUS velocidades correspondi~nteacutes se verificaraacute

sen i sen =en r2

q q [1]

de modo que para las normales aacute las ondas secumplen las leyes ordinashy

rias de la refraccioacuten perocon la circuhstancia de que nh shy h es funshy

cioacuten de la direccioacuten de propagacioacuten lo cual complica extraordinariamen~ te el problema

Por medio de la superficie de iacutendices se pueden construir las normales correspondientes aacute las ondas reflejadas y refractadas por un procedimien~ to muy sencillo debido aacute Hamilton

Sea(fig 2a) a a la traza de la superficie de separacioacuten de ambos me~ dios y supongamos que el plano del dibujo es el de incidencia Tracemos aacute partir de un punto O de la superficie de separacioacuten las intersecciones de la superficie de iacutendices de cada medio con el plano de incidencia que se compondraacuten cada una deacute dos curvas sin puntos comunes en general (aacute menos que el plano de incidencia pase por alguna binormal) Sea ca dicha interseccioacuten para el primer medio (el de arriba)yC para el segundo (el inferiQiacutelEn la direccioacuten deJa normal incidente tomemos una longitud ONdeg

igual aacutela inverSa de la velocidad de propagacioacuten estando por lo tanto el punto NO sobre la c~rva ca Desde este punto tracemos una perpendicushy

-19shy

5 1

Figura 2

Y ONso represeqtan las normales reflejadasiexcl las ON y PNiquest lareft~ctalt1aSi pues en efecto como los radios vectores de lasuperficie de

sentan los iacutendices en las direcciones respectivas resulta llamando los aacutengulos de las rectas ON o y ONh con la normal eacute i al aacutengUlo de denda

por consiguiente son satisfecaslas relaciories [1] La direccioacuten ONo representa evidentemente la gireccioacuten deOacutetrauacuteOpeacute

shy - i - - bullbullltbullbull-

mal incidente~ que dariacutea las mismas normales reflejadaacutesy r~f~a~t~as~~Q cuahto aacute las direcciones ON2 y ON4 representari las direc~iOacuten~s aeacutelaacutesn~m~i

-~ o - males reflejadas en la segunda cara del segundomedioiexcl cuanltloacuteeacutest~peIl~tgt la formacteuna laacutemina decaras paralelas conIacuteosecb11PiexcluebiexcliJaacute~i~menJeacute aplicando la construccioacuten anterior aacute partir de cuaIcJuieraacuted~ lasgjr~c~iltic ~es ONiexcl Y ON21 suponiendo que se reflejan en una s~perfi~ieparaacutelelaltmiddotaacute a a 1

En cuanto aacute los rayos sabemos que se oLiteacuten4raacutensinmaacute~9Uacuteettaacute~~r bull desde O las normales aacute los planos tangentes aacute lassitperfid~deacute iacutendic~sen los puntosiV Ng 0 Ny N2 bull Se comprende que no estaraacuten etl erpl~liobull incidencia aacute menos que eacuteste lo sea deacute simetriacutea de dichas superficie~

En lo sucesivo supondremos que el primer medioes isoacutetropoen caso la superficie cle iacutendice correspondiente seraacute unaesf~niSimiddotel dicho primer medio es suficientemente grande poacutedraacute oeacuteu7ri~

ciertas direcciones de la normal incidente la perpendicular NdegP deje de cortar aacute algunas de las hojas dela superfkie de iacutendices del segundo medio en cuyo caso faltaraacute la normal correspondiente y desapareceraacute una de las ondas refractadas para direcciones auacuten maacutes inclinadas sobreacute el plano de separacioacuten la perpendicular NP puede dejar de cortar aacute ambas hojas de

dicha superficie y en eacuteste caso faltaraacuten las do ondas refractadas Se dice que en estos casos existe reflexioacuten total para una oacute las dos ondas refrac tadas pues entonces toda la energiacutea luminosa es transportada por los rayos reflejados Si suponemos que la normal incidente forma aacutengulos deincishydencia crecientes la reflexioacuten total empieza para cada onda cuando la perpendicular NP es tingente aacute la hoja corresp6ndiente de la superficie de iacutendices

middot2 Paraacutemeiacuteros oacutepticos de los cristales

Hasta ahora hemos supuesto que todas las superficies empleadas se hallaban referidas aacute los ejeacutes de simetriacutea oacuteptica de los cristales En el sisteshyma roacutembico esto es imposible porque se conoce de antemano la direccioacuten

de los ejesiexclque es independiente del coIacutetr de laluz empleada y de las conshydiciohesexteriores de presioacuten y temperatura pero ~n el sistema monoclfshynico en el que es variable con las citadas circunstancias la direccioacuten de dos de los ejes y en el tricliacutenico en el que lo Son las tres esto no puede verificarse En el primer sistema quedan determinadas las propiepades oacutepticas de un cristal en cuanto se determinan las tres veloCidades princishypales a b e en la direccioacuten de los ejes Por el contrario en los otros dos es necesario conocer ademaacutes la direccioacuten de los ejesy por lo tanto hay que antildeadir aacute la determinacioacuten de las constantes a bc la de dos magnitushydes angulares en el sistema monocliacutenico y la de tres en el tricliacutenico En general son por lo tanto necesarios seis paraacutemetros oacutepticos para caracteshyrizar un cristal Estos seis paraacutemetros pueden elegirse del modo siguiente

Elijamos un sistema de coordenaacutedas rectangulares x y I z Ysupon~ gamos que su posicioacuten queda definida con respecto aacute los ejes de simetria oacuteptica x y zPor los cosenos directores representados esquemaacuteticamente en el siguientecuadro

X y Z

X OC I OCg OCi

y ~iexcl ~2 ~~ iexcl l y 1

(

- 21shy

Las relaciones entre las coordenadas x y Zy x yZ1

punto sedn

La ecuaciOacuten del elipsoide de iacuteridices que en el sistema (x lrz)~s

en el (x y r) seraacute

siendo

au x2 + a~~y2 + assz2 +2a23yZ +2asizx + 2a2xy i =Iacute ~

au a2iXt2+ b2~12 + e2yiexcl2 a22 = a2rtg2 + b2~22+ c2y~2

aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2

a2~Xi +b2~~3 +e2Y2Ys a2oc5rtiexcl +b2~~~I+C25riexclmiddot ~ a2rtlrt2+61i~t~2 + c2yy~

middotmiddotmiddotmiddotEstas seismagnitud~s aHa~i bull at2 son las q~etomaacutet~m6s~~din() paraacutemetro oacutepficos de un cristal Una vez que sean cOnoddaset s(stefuiexclmiddot aacutenteriorunidoaacute las seis condiciones ~ _

11 bull ~ 1 1 bull bull

11 11 _ bull

nos permite determinar las constantes a b e y los VltCln t1 tnt- CIiexcl laquot YI~

Si aacute la superficie de iacutendices aplicamos el mismo eambio de cQ6ttleacutena~ das su ecuacioacuten que en el sistema Xi y Z es

(xa + ya + Z2) (b~e2x9 +e2a2y2 +il2b2z2)

- [(ba + e2) X2 +(e2+a2) y2 + (a2 + b2)z21+ 1 = Oacute

se convertiraacute en

(xlt + y2 Z2)lx2(b2C2rtiexcl2 + e2~2~iexcl2 + a2b2112) +

+ 2yiacutez(b2c21X~ +e2a2~2~ +a2~YiI) ++ ~~I - X [(b2+ e2)ociexcl2 + (e2+ a2)~t2 + (a2 + b2)yiexcl2] shy -- bull

- 2yzl [(b2 + C2)rt2OtS+ (C2+ a2 ~~3 +(a2 +b2)Y215]

~ 22

eacute introduciendo los paraacutemetros aW middotaIl2 bullbull an resultaraacute

(X2 + y2 + z2)lx~(a22a33 - a2z2) + y2(a35aU aSt2) +

Z2 (aUa22 ~ aiexcl22) + 2yZI (~iexclaiexcl2 - ~3aacuteu) + 2zx (aI2~5 - aISa~2)[4b]

+ 2X (a2SaSiexcl - )- x 2(a22+ a3S) - y2(abullbull +aH) - z2(au + a~2)Y a2ta311

+ 2yz~3 + 2zxa5i + 2xyallIacute + 1 o

y en coordenadas polares esto es haciendo X = vt r y = 1 2 r Z y3 r

XI + y + z1= r1

I

Elig~mos como eje z la normal aacutela superficie de separacioacuten dirigida h~cia el segundo medio como eje xla traza del plano de incidencia sobre dicha superficie y como eje YJa perpeacutenUcular aacute ambas La ecuacioacuten de

la curva C(fig 2a) la obtendremos sin maacutes quehacer yl o con lo que obtendremos una ecuacioacuten de cuarto grado que seraacute satisfecha por las coordenadas de los puntos NIiexcl (h = 12) que son xiexcl = losen i z iexcl nOsen i col riexcl donde nO es el iacutendice del primer medio que suponeshymm)isoacutetropo y por lo tanto la coordenada xiexcl es conocida ysustituyenshydo en la ecuacioacuten de la curva G tendremos una ecuacioacuten de cuarto grado en colriexcl oacute tg riexcl cuyas raiacuteces nos daraacuten los aacutengulos ril rJ r5 r4bull

Esta ecuacioacuten es

[atl - 2aSI tg r + (a5J - K2) tg2r] [al2 + (a22 - K2) tg2r]

- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]

dondeK=~~~nOsen i Verificando la misma sustitucioacuten en la ecuacioacuten de la curva e que reshy

sulta de (4a] obtendremos una ecuacioacuten que ordenada respecto aacute las potencias de tg r es

- 23 -

donde los coefiCientes Ao bullbull A4 tienen los siguientes

AO = n04 sen4iacuteJb2c2Qtl2 + c2a2~t2 + a2b2Yt2]

-- n02 sen2i [(b2 + c2) riexcl + (c2 + a2) ~iexcl2 + (a2+ b2)

Al = 2lIacutedeg4 sen4J [b2c2aiexclCl + c2al~1~3 +a2bYtls] - 2n02sen2iacute [(b2 +c2)aiexcls + (c2+ a2) M3 + (al+ b2) Y(~r

A2- no sen [b2c2 (Qtiexcl2 + 0132) + ca2(~12 +~32) + a2b2 (iexcliexcl2 4-

n02sen21 [(b2+ c2) a32 +(c2 + a2Hiexcl2 + (a2 bl)y~2f

As 2 n04 senl [b2cI QtiexclOfS + c2a2~iexcl~3 +ab2YtY3]

3 Reflexioacuten lolal

Si las cuatro raiacuteces de [5] y [61 son reales existiacuteraacute~ dosoacutendas tadas y dos reflejadas en la segunda cara del cristiJi IVUI1tIUUU11Ii

dos maacutes pequentildeas aacute las primeras y las otras dos aacute las dos raicesson reales no existiraacute maacutes que una onda refractada jada en la segunda cara del prisma y si todas sonimagiIacute1arias~

verificaacutendose la reflexioacuten total de una oacute de las dosondasreispecti1atIl~l1teJ Por loacute tanto la condicioacuten analiacutetica para el lfmitedela que (tgr) = atenga dos de las raiacuteces iacuteguales Esto discriminante de la ecuacioacutenf(tg r) =0 sea l1uloyporiojaritQr

D =63 -6 6~ o

donde 6 = 2(AoAII - 4 AiexclAs +3 A22)

1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII

Si el plano de separacioacuten es fijo y seacute varia el plan~de dremos para cada posicioacuten de este plano en el primer dones eacuteorrespondientes aacute los rayos para los cuales emP)leZllilordf~r total de cada una dejas ondas los aacuterigulo~ qUe formaIacutel - denominan aacutengulos liacutemites Ellugar geomeacutetrico de compondraacute de dos superficies coacutenicas que middotnmiddot~n

la reflexioacuten iotal Como D= o seguacuten martifiestarllas da sen i para las diferentes posicioacutenesde lafrauacuterdel sobre el de separacioacuten (eje x) la ecuacioacuten D o eslIacuteldeloacutes tes de la reflexioacuterdotal

- 24shy

Estos conos pueden ~onstruirse como sectesprende de la construccioacuten de Hamilton trazando desde el origen de coordenadas rectas que se aposhyyan en la interseccioacuten de la esfera de radio nO (iacutendice del medio isoacutetropo) con el cilindro perpendicular aacute la superficie de separacioacuten y tangente aacute lashysuperficie de iacutendices

Al comenzar la reflexioacuten total la recta Ndeg P es tangente aacute la superficie de iacutendices del segundo medio y por lo tanto el plano tangente en el punshyto de contacto de aqueacutella es perpendicular al plano de separacioacuten y el rayo correspondiente estaraacute por consiguiente en dicho plano limite pero en general fuera del plano de incidencia (aacute menos que eacuteste 16 sea de simetriacutea de la superficie de iacutendices) Por (l contrario la nurmal estaacute como siempre en el plano de incidencia pero fuera del plano limite (excepto cuando eacuteste es plano de simetriacutea de la superficie de iacutendices)

Si se lleva la inversadela magnitud OP = nO -- seni correspondienshyte al comienzo de reflexioacuten total sobre el ejex para las diversas posicioshynes del plano de incidencia se obtiene una curva que es la pedal de la interseccioacuten de la sup~rficie de onda con el plano de sejJaracioacuten como

O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3

1 resulta de la figura (3a

) donde OS = OS representa el rayo rasante coshy

rrespondiente aacute un plano de incidencia paralelo aacute OP Sp la traza de la onda que seraacute perpendicular aacute OP (1) y tangente aacute la curva S de intersecshycioacuten del plano de separacioacuten con la superficie de onda verificaacutendose por

oS Op la ~emejanza de los triaacutengulos OSp y OsP que oP = Os y por lo tanshy

to OP X Op = OS X os = 1

(1) Cuando una recta es perpendicular aacute un plano la proyeccioacuten de la recta es perpendicular aacute la traza del plano

CAPiacuteTULO IV

DETERMINACIOacuteN DE LAS CONSTANTES OacutePTICAS DE ioacutes eRIst~LE$ POR PROCEDIMIENTOS FUNDADOS EN LA REFLEXIOacuteN TOTAL

Z Figura4

bull o iexcl_

sea ~ el aacutengulo del plano de incidencia conelx z oacute sea con -~

principal En este caso

CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)

y la ecuacioacuten [q] ~e transforma haciendo ademaacutes (l eb Cmiddot

(02 n~2 sel12i -1)tg2r +02 nOI ~en2 iexcl] [Co tg2 r +2~Itg~-tc~( - - -

- 26 shy

siendo

C = nO sen2 i [02 cos esen2 0+ e2 (sen2 C+ cos2 Ccos2 8] -1o

=nO sen2 i [e2 + (02 - e2) sen2 ocos2 C]-1

Cl = nO (02 - ell) senll iexcl cos Ccos iexcliexcl sen iexcliexcl

91 = nO (oacute2 cos2 8 +e2 sen2 8) sen2 i

La condicioacuten para que 1lt ecuacioacuten tenga dosraiacuteces iguales es

1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n

oacute bien COC 2-Cl ll = o

la primer~ deacute las cuales es la ecuacioacutendelcono liacutemite correspondiente al rayo ordinario y la segunda del extraordinario Esta uacuteltima se transforma pOl1iendoen vez de Co el y el sus valores en

[2J

Si el plano de incidencia es paralelo aacute la seccioacuten principal del plano de separacioacuten e= o y por tanto

donde Se representa seguacuten [1] paacutegina 6 la velocidad del rayo que se proshypaga seguacuten la recta de interSeccioacuten delplano deseparacioacute~ con el de iniquestiexcl~ dencia En este casoacute como resulta de [8] itl es el miacutenimo del aacutengulo

middotlbuacuteite Cuan40 el plano de incidencia sea perpendicular aacute la seccioacuten principal

del plaacuteno de separacioacuten C = qoO y entonces

bull qO E

senIl) =e no

En este casola medida dei aacutengulo ie que es el maacuteximo del aacutengul6 liacutemishyte proporciona s aun cuando ilo se conozca de antemano la posicioacuten del eje oacuteptiCOj desde luego w se determina seguacuten [1] para cJalquier inciden~ cia Ademaacutes el eje oacuteptico estaraacute situado perpendicularmente al plano de

- 27-

incidencia correspondiente aacute ie maacuteimo Si se miiexcljeademaacutes el YalUIllllUll

mo de ie que severifica en un plano perpendicitlaral

deduce

ishy

y por lo tantose ~onoce tambieacuten la posicioacuten del ejeoacutepUuml~obull

2 Cristales biaacutexlcos

Seguacuten hemos visto en el sect 4 pagina 24 la reacuteda1 del~ ntrfrMn

la $uperficie ue onda con la superficie iexclje seperacioacuten esunil su radio vector en una direccioacuten dada verifica la relacioacuten

~ r bull

1

nO seni = r

que pone de manifiesto que aacute los valores maacuteximos oacute ponden los miacutenimos Oacute maacuteximos de r Ademaacutes sielplailQ 110 pasa por ninguna birractial los planos de incictenCia lesi es maacuteximo oacute miacutenimoiexcl pasaraacuten por los radios VECtcrf

maacuteximos 6 miacutenimos pues en estas circunstancias dicular al radio vector

Ahora biel1 los maacuteximos oacute miacutenimoacutesder sanen mhnero ge efecto lamiddot ecuacioacuten de la superficie de onda en coordenadas

(i+ y2 +Zll) (a2X2 +b2 y2 + c2 Z2) - a2 (b2 +cll)X2shy- c2 (all +b2) Z2 a2b2 c ll = o

Sea la ecuacioacute~ de la superficie de separacioacuten

1x + m y +nz 0

El radio vector es

y la condicioacuten de maacuteximo oacute miacutenimo

x dx +y dy+ z dz o

- 28shy

y ahora se tratamiddot de obtener r de modo que queden satisfechas lasecuac shynes (4] [5J Yl7] Para ello diferenciemos [5] Y[4Jmiddot 10

1dx +m dy+ n dz = o [8]

[a2 r2 x _ afW +C2) x] dx +- [b2 r 2 y - b2 (c2 +a 2)y] dy

+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o

~e este moo dx d dz quedan determinados por [7] r8] y (9] hablendo uno mdependiente por ser las ecuaciones homogeacuterieas Multi

plcando [~] y [9] por Al y Aiexcl respectivamente sumando con [7] y d bull mendo de X y A d d ISpOshy

1 ~e mo o que ~~ulen los coeficientes de dx ydyresulta

x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o

y ~ Al m -12 y [b2 r2 -b2 (C2 + a)] =0 z - Al n 12z [c2r2 - c~(a2 + b2~1 = o

MultipJicand~ por x y z respectivamente y sumando se obtiene bull

r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo

~[l + al~c2 (a~I--a2(b2+c~raquo]All

Y[l +a~~c2 (b2r2_b2(c2+a2raquo J Alm

2~ [1 + a2 ~C2 (c2r -c2 (a2 +bl raquo] Aln

dedortde

m2

a2b c2+ al r4 - ai (b2 +c2) r2 + a2 b2 c + b2 r~ - b (C2 + a2iriexclshy

n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o

Ecuacioacute de octavo grado que por teiexcler sus teacuterminos de gr~do par ttene sus ralces Iguales dos aacute dos y de signos contrario Hadend~ middott I

resulta - T

J2b2 ca [a2 ca + t2 - (c2 +a2)t] [a2 ba + ta - (al + b 2) t] m2c2 a2 [b2 a2 + t2 - (a2 b2) t] [b2 c2 f2 - (b2 + ci

) t]

+ ~i iacuteJ2 h2 [c2 b2 +t2 _ (b+ c2) t] [lt2 a2 +t2 - (c2 + a2) il] + O

_ _igtj gt_ -

queeS uria eeacuteuacioacuten de cuarto grado en tque essatisfecha pota~btc~hl~ dependienteacuterriente de 1 m n ReSulta pues que los maacuteximos bullbull de r son cuatro siendo tres iguales aacute las tres velocidaacutedesprin~ipales~iexcl(iacute

Sabemos pues que tres de los cuatro maacuteximosoacutemiexclnil110SOacutebservado~ 1 I

de i nos dan por la foacutermula no sen i = -r r a bc las jr~s vetoacutedd~~ bullbullbull o

~es principales y ademaacutes los pl~nos de incidepciaenSlueacutesemiddot~~risWI1 dichos maacuteximos oacute miacutenimossori paralelos aacute las rectas deacuteit1terseeacutecioacute~deacutel bull plano de separacioacuten con los tres de simetriacutea pues dichoptanoacutecorfllr~aacute las circulos que forman parte de la intersecCiOacuten de lasuperfick de oonlos pianos principales en radios vectores queva1diaacutenaiexclbc tiacuteoacuten es ahora el saber cuaacuteles son los tres valores de i qUlJsi~ridolllaJlII~lultgt Oacute miacutenimos dan las tres velocidades de la luz en el cristaL D~sde mayor de los maacuteximos it da por la foacutermula nO senil el yel menor de los miacutenimos i3 da ynO sen i5~pues~oque radios maacuteximo y miacutenimo absolutos respectivanieritetlela o~fi- ondaj pero no sabemos cuaacuteL tiacuteos daraacute ~ si el menor deloscos middotula el mayor de los dos miacutenimos Esta ambiguumledadmiddot depende deacute demostroacute Brill tanto la superficie de onda como lade velOCIdades lesho quedan determinadas cuando se conoce luir secci~n delas middot~-amiddot sino q11e~xisteriacute dos superficies de onda oacutede velocidades pasan por una seccioacuten diametral dada Se resuelve esta do el estudio deacute la reflexioacuten total sobre otra cara deL Cristall COI1 obtendraacuten de nuevo (X yy yde los otros dos valores de nCosentI-_ ximoOacute miacutenimo se toma el que se haya repetido en amboscasOacuteSmiddotnriexcl~ceiexclmiddot

dimiento debido aacute Soret Una vez conocidos (x r podemos determinar la posici6nd~

de simetriacutea oacuteptica co~siderando que las inteneccionesmiddotde JlpsJ1ltmiddotlIv incidencia correspondientes aacute los aacutengulos ivi2 i quehanumiddot auvmiddot

el plano deseparaciori estaacuten contenidas en Ib~ planosAlmiddotbullbullbullr mos (fig 5a) en el plano de separacioacuten un triaacutengulo con lVmiddotla~VmiddotIJalmiddot aacute dichas rectas de interseccioacuten Y considereacutemoslo triedro de los ejes coacuten el plano de separacioacutenbullLa proyectada sobre elplano del dibujo seraacute perpen4lcuiara tanto si hacemos girar alrededor de ADel plarioque veacutertice del triedro eacuteste caeraacute sobre la circunferencUacutemiddot como diaacutemetro Trazando por el ortocentroO una peacute]rpend(~uacutela(middoti~r obtendremos el punto V que es donde se ha iexcliexclbatido el y por lo tanto podremos detenninar la direccioacutendeoloacutes

puede evitarse la repeticioacuten de las o bservadoacutenesde ur ftIleXIIQU

- 30

sobre otra cara delctistal aplicando el siguiente razoha~iento debido aacute Viola Para distinguir el aacutenguloi que siendo maacuteximooacute miacuteninlo no sirve para calcular los iacutendices nos fjaremos en la polarizacioacuten del rayo rasan

Figura 5

temente refractado 6 correspondiente aacute dicho aacutengulo de incidencia Como este rayo rasante seraacute un radio vector maacuteximo Oacute miacutenimo de la curva de interseccioacuten de la superficie de onda con la de separacioacuten estaraacute en el plano de incidencia ycomo la normal tambieacuten estaraacute endichoplano este rayoacute vibraraacute en el plano de incidencia mientras que los rayos rasantes que se propagan en las direcciones de las rectas de interseccioacuten del plano de separacioacuten con los de simetriacutea y qUe coinciden con las normales corresshypOlldientes estaacuten polarizados en estos planos de simetriacutea y por consishyguiente su plano de vibracioacuten seraacute en general oblicuo al de separacioacuten Por lo tanto interponiendo un analizadores posible distinguir el rayo t deacute los otros tres excepto en el caso en que el plano de separacioacuten esteacute muy proacuteximo aacute las birradiales pues entonces el rayo que sirve para determishynar~ tiene tambieacuten su planO deacute vibracioacuten perpendicular al de separacioacuten Para distinguir entonces el rayouacutedel queda ~ observaremos que el plano de vibracioacuten del primero oacutesea el de incidencia debe bisecar el aacutengulo formado por los planos determinados por dicho rayo y las birradiales y coacutemo estaacuten los tres en un mismo plano tesulta que el rayo t debe biseshycar al aacutengulo de las birradiales cosa que no ocurre para el rayo ~ porque estaacute en el mismo plano de las binormales La posicioacuten de las birradiales se observa aproximadamente en el anteojo por corresponder aacute las intersecshyciones de los conos liacutemites

cAPfrULoV

REFRACCIOacuteN DE LAS ONDAS PLANAS POR LOS ~RI~

l Ecuaciones gelerales

La d~sviacioacuten de las ondas luminosas por su paso aacute ttaveacutesdettn ma propoacuterciona importantes medios parala determitlaciOacutengeJ~s antes oacutepticas de los cristales Supondremos que las ondaSpl~n~~ paralelas aacute la arista del prismay que el medio exterior es~i~trORQ

En estas condiciones obtendremos la normal refracta4aV la ettlerlreacutetlteiexcl aplicando sucesiva~ente la construccioacutendeH~tPiltoacuterien prisma resultando que todas las normales la incidenteiquestla emergente estaacuten en la seccioacuten transversal delprisma La

Figura 6

de manifiesto esta construccioacuten en un puntodelaaristaiexclComo construye la superficie de iacutendices iexclo del medio isoacute~roiexcljdy 1a (para mayorsencillez soacutelose ha representadounaft6Jade ficie) si Oiexclva ~s la normal incidente ON es la refractada y gente Sea i el aacutenguloAe incidencia i el de emergencia(O Ips de la normal refractada con las normales aacuteaacutembas caras

del prisma IJiexcl el aacutengulo de la normal refractada con la y t el aacutengulo de desviacioacuten Si qe~ la velocidadde~la luz

- 32 ~

isoacutetropoy q la velo cidad normal en el cristal tendremos en virtud del principio de Huygens

sen 1deg = ~ sen rO sen l ~ senr [1] q q

y adeinaacutes de la figura

rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]

1= It rO_rl 1 ftl T f +-2-= +ro-T=T- r +

Estas relaciones pueden servirnos para una de dos cosas Si conocemos la superficie de iacutendices en el cristal es decir q en funcioacuten dep podemos calcular la marcha de la onda aacute traveacutes del prisma Oacutesi medimos tres de los aacutengulos 1 io iacutel Y podemos c~lcular los valores correspondientes deq

yp Obtengamos iexclas foacutermulas que nos dan q y p en funcioacuten de las magnishytudes obs~rvadas

De [1] se dedu~e 1

sen iO + se~I =~ (sen ~o + sen r)

deg sen iexclO _ sen j =~ (sen rO - sen r) q

oacutesea

i l iO _ jI qO rO r rO-rl cos=--middotsensen cos 2 q

10 _ j iexclO l o rO r rO + r_ =~sen cossen cos q 2 2

de donde eliminando q

jO i 1deg + l rmiddot 2

cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-

C2 sen 2 + Sl cosIacute

1 COS 2 (r+A)

C s

1

La ecuaacutecioacuten [3] puede ser escrita como sigue

C jI iexclO cot o = S tg ------=

y sirve por lo tanto para calcular pi q se calculamedianfe [4]~ EIii11inando iO -i entre [4] y [3] se obtiene

1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4

que nos da q en funcioacuten de h y por lo tanto se puede experimentalmente construir por lo menos parte de la curva deintersecciQI1 de la suacuteper~ ficieacute de iacutendices con la seccioacutentransversal del prisma

2 Prismas de cristales uuiaacutexicos

En los cristales uniaacutexicos se determina el iacutendice w deacutelrayoordinariexcloacute por el meacutetodo de la miacutenima desviacioacuten como para los prismas iexclsoacutetropos Como essabidQ en el caso de la miacutenima desviacioacuten la marchaderayo

71

es simeacutetrica respecto al prisma y pOI lo tanto 2 y la foacutermul~ (5l~ lt shy

sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen

donde nQ es el iacutendice del aire que aproximadamente es la unidad (Para medidas maacutes exactas debe tomarse para luziexcl presioacuten y temperatutamet dias 100029 y tener en cuenta ademaacutes que su exceso sobre Les propoacutershycional aacute la densidad del aire )

Para determinar el iacutendice extraordinario euro supongamos que la arista del prisma forma cbn el eje oacuteptico del cristal el lingulo eacutely queacutelabisec-

3

- 34 -

triz de la seccioacuten transversal del prisma forma con el plano determinado por el eje oacuteptico y la arista (seccioacuten principal de la arista) el aacutengulo p

La lipse de interseccioacuten de la hoja elipsoidal de la superficie de iacutendices con la seccioacuten transversal del prisma tiene por semiejes e y

v = 1 el primero de los cuales estaacute situado perpendi-J

VCOe~~o + sen2 1)shy

cularmente aacute la seccioacuten principal de la arista y el segundo paralelamente aacute ella Por lo tanto el radio vector correspondiente aacute un azimut ~ con resshypecto aacute dicha seccioacuten principal es

1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]

y teniendo en cuenta el valordey

+ ~COS2 ocos2 (p shy ~)+s~n2 (p shy ~)~ sen2 1) cos2 (p -~)002

Ahora bien siacute como se ha explicado en el sect 1 se determina para cada valor de i mediante la -mediacutecioacutende i 6 y fel valor de no y el de ~ la ecuacioacuten anterior serviraacute para calcular 8 Oeneralmente con esto eacutel pro~ bkma queda ya resuelto porque para los cristales uniaacutexicos la posicioacuten del eje oacutepti~o eSconocida de antemano por la forma cristalina pe~o si esto no ocurriera se repite el calculo de no y de ~ para otros dos aacutengulos de incidencia con lo que se tendraacuten tres ecuaciones como la anterior que

serviraacuten para determinar e Il y ~ sirviendo estos dos aacutengulos para fijar la posicioacuten del eje oacuteptico

Por este procedimiento es necesario para determinar los aacutengulos iO i que el anteojotenga una disposicioacuten especial como el ocular autocolimashydor deacuteOauss y para evitaL~sto veamos lo que ocurre cuando mediante

giro simultaacuteneo del prisma y del anteojo se_observa la miacutenima desviacioacuten

ddrayo extraordinario Obtendremos una relacioacuten entre 6 y ~ resanshydo [6] de [5J

1 1--u-+---wshy (iquesti - 1 ) cos2~- (++ 2 )

~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy

puesto que e y S son funciones de 6 Para obtener la coacutendicioacutenqe miacute 46 nimo derivaremos con respecto a ~ y haremos d4 - o

(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~

ecuacioacuten que nos da 6m mientras que [7] nos da el valor corresponclien7 te de ~

Eliminando entre [7] y [8] el aacutengulo ~ tendremos una relacioacuten entre la incoacutegnita 8 y el aacutengulo observado 6m

( 1 1 )2 ( sen 2

p + cos 2P _ cl 2 )- _ sen2 p cos2 p=

2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l

y poniendo en vez de v su valor

I 2 ~ + 1 1( 1 + sen 2 p + COS2 P ) 21) _ _ 1__ -l-i - cos ltJ -2shy -2-- C2 ~ -sen C2 S

t e 00

+ ~ J

ecuacioacuten bicuadraacutetlca que nos da el valor de 8 De las dos raIacuteeacutees de esta ecuacioacutenJdebemos tomar aquella que corresponda aacute un valor de ijlque_nQ difiera mucho de 90deg ya que la marcha de las normales se apr~~ima mu~ cho aacute ser simeacutetrica

El caacutelculo de e por este procedimiento es bastante complicaacutedoYes muy entajoso ei emplear prismas que por su orientacioacuteiexcliexcl espeeacuteial trang formen la ecuacioacuten [9] en otra anaacuteloga aacute la que se emplea para fosm)e~ios

bull J

is6tropos Esto ocurriraacute cuando p 0deg p = 90deg o v == el puesto que en eacutel primer casodicha ecuacioacuten se reduce aacute

( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)

y como elt y debe ser euro = S (jO ~----1~-- Ademaacutes la ecuashy senTf

cioacuten [81 da sen 2 ~ 0 1 Y como no puede ser 1jJ-~ odebe ser ~= 9Oacuteo lts

36 -

decir que la marcha es simeacutetrica En el caso segundo ocurre lo mismo con la diferencia de que entonces S = v y el valor de e se calcula medianshyte la foacutermula

1 sell (f + Ilm)

sen -rT

siendo tambieacuten la marcha simeacutetrica Por fin si y e para lo cual es preshyciso que la arista del prismasea paralela al eje oacuteptico la interseccioacuten de la superficie parla seccioacuten transversal del prisma se compone de dos cirshycunferencias deacute radios w y e y la ecuacioacuten [9] indica que e S= middotC

3 Prismas de cristales biaacutexicos

Con un prisma de orientacioacuten conocida se pueden determinar los tres iacutendices principales de refraccioacuten midiendo por el procedimiento explicashydo en el sect 1 tres valores de q y 1jI con lolque se conocen tres radios de la interseccioacuten de la superficie de iacutendices con la seccioacuten trailsversal del prisshyma y entonces se puede determinar a b y e por el siguiente procedimienshyto Refiramos la superficie de iacutendices aacute un sistema x y z tal que el eje x sea paralelo aacute la bisectriz interior de la seccioacuten transversal del pris~ ma el zparalelo aacute la arista y el y perpendicular aacute ambos con 10 que tenshydremos la ecuacioacuten [4aJ del sect 2 de

Para obtenerla ecuacioacuten de la citada curva haremos z = o con lo que resultaraacute despueacutes de pasar aacute coordenads polares

donde

q4_ q~(L cos 4+ L sen 4+ 2 L2 sen ljI cos 4) + M cos~ ljI + MI sen2 4+ 2 M 2 sen 4cos 4 o

L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t

M b2 C2 1iexcl + c2a~2 +a2 bmiddot 112

L(b2 +c2 (llmiddot + (c2 + a2) ~~2 + (a2+ b2) (2

r M = b2 c2 a~2 1 C2 a 2 ~iexcl2 + a2 b2 y2

L~ (amp2 + t2j aa2+ (C2 + a2) M + (a2 + b2)y(f

M -= b2 c2 (1(1 + c2 a2 PI~iexcl + a b2 1iacute2

[10]

- 37shy

Si se han determinado tres pares

ecuaciones de la forma

A b2 c2 + B cmiddot a2 + e a2 b2 +Da + E b2 +F c2 0= (j

que serviraacuten para determinar a by eEn la praacutectka esto es irrealizableJx es preciso conocer de antemano valores aproxiacutemados de dichas cantidad~es

para proceder por aproximaciones sucesivas Por esta causa es preferible proceder de tal modo que pueda aplicarse el meacutetodo de la miacute~nHlmiddot desviashy cioacuten el cual aunque en general tambieacuten requierecaacutelculbscomplicad~s~ pues hay que buscar partiendo de [5J y [lOJ una relacioacuten eacutentre D yljl e$laacute~middot blecer la condicioacuten de miacutenimo y eliminar ltji en algunos caacutesospordfxtiacuteculares como los que vamos aacute considerar resulta aplicable

Supongamos que la arista del prisma es un eje desimetriacutea6ptica d~l cristaliexcl en este caso la interseccioacuten de la seccioacuten fransversal del prismaS9~ la superficie de (ndices se compone de unacirclnferenciay una elipsey la medida de la miacutenima desviacioacuten del rayo correspondiente aacute la citcutife rencia(que es el polarizado normalmente aacute la arista) proporcionap0r-Iaacute

misma foacutermula que para los medios isoacutetropos uno de los iacutendjcesprincishypales (el 1 si la arista es paralela al eje x) Respecto al rayo corresponciien te aacute la elipse polarizaio paralelamente aacute la arista nos encontramosel)bull ~l mismo caso que para el rayo extraordinario en los cristales uiliaacutexicosy por lo tanto podemos aplicar inmediatamente la foacutermula [9] sinrnaacute3Ciexcl~~ reemplazar v por ~ (si el eje z era el paralelo aacute la seccioacuten pri~cipaacutel de la arista) e por y y p por el aacutengulo entre el plano zx y el bisecto interioF del prisma De este modo no se obtiene maacutes que una ecuacioacuteuacute~ para e caacutelculo de ~ y 1 Y es preciso determinar otro para valores de q yljlpara

una incidencia cualquiera y para la onda polarizada paralelamente aacute la arista con lo que se tiene una tercera ecuacioacuten anaacuteloga aacutela [6]

y para disminuir los errores consiguientes aacute la medida dencia y del de emergencia es conveniente repetir estas gran nuacutemero de veces y obtener los valores de ~ y ( por elmeacutetodode

miacutenimoscuadrados En el caso estudiado se verifica la machasimeacutetrica (ltji =

normal correspondiente aacute una de I~sondas (la polarizada mente aacute la arista) Investiguemos cuaacutendo ocurriraacute en generaJ miacutenima desviacioacuten la normal aacute una de las ondast~nga esta PJlt5plep

- 38 shy

Para que se verifique la miacutenima desviacioacuten es preciso que la derivada de A respecto aacute osea cero Considerando aacute A como funcioacuten de 4 y de qiexcl deberaacute verificarse para (4 = 90deg)

En esta foacutermula ~~ representa la variacioacuten de la desviacioacuten supuesshy

a q constante es decir para medios isoacutetropos y como en eacutestos para la marcha simeacutetrica es dicha variacioacuten nula dicha foacutermula se transforma

oA dq (lA dq en ~8Q diexcl- = o y como ~(r j O deberaacute ser -clltf = G para 4= 90deg

~La condicioacuten para que la normal aacute una de las ondas siga una marcha simeacutetrica en la miacutenima desviacioacuten y por lo tanto el aacutengulo de incidencia sea igual al de la emergencia es que el radio vector de la interseccioacuten de superficie de velocidades normales COI1 la seccioacuten transversal del prisma

tenga un maacuteximo oacute un miacutenimo en la direccioacuten perpendicular al plano bisector del prismagt Ahorabieniexcl toda sedfioacuten de la superficie de veloci- dadesnormales posee como los de onda cuatro maacuteximos y miacutenimos del radio vector tres de los cuales estaacuten situados en la interseccioacuten del plano de la seccioacuten con los planos de simetriacutea y son igualesaacute las velocidades principales por 10 tanto

La minima desviaCioacuten de una onda se verifica con mar~ha simeacutetrica si la bisectriz exterior del prisma es paralela aacute un plano de simetriacutea oacuteptica del cristal y entonces la observacioacuten del miacutenimo de desviacioacuten proporshyciona (como indica la foacutermula [5J al hacer 4= 90deg) por la foacutermula n = S uno de los tres ejes principales (el 11 si la bisectriz exterior es paralela al plano yzetc) shy

Tambieacuten se verificaraacute la marcha simeacutetrica de la normal en la miacutenima desviacioacuten cuando la bisectriz exterior del prisma sea paralela al cuarto radio vector maacuteximo oacute miacutenimo de la curva Qde interseccioacuten de la supershyficie de velocidades normales con la seccioacuten transversal del prisma Ahora bien esta curva por la definicioacuten de la ~uperficie de velocidades normales seraacute la pedal de la proyeccioacuten sobre el plano de la seccioacuten transversal del prisma de la curva formada en la superficie de o1]da por los extremos de los rayos correspondientes aacute las normaacuteles situadas en dicha seccioacuten transversal y como losmaacuteximos y miacutenimosdel radio vector de una eacuteurva

y los de su pedal son comunes resulta que la normal que se propaga en la dir~ccioacuten de un maacuteximo oacute miacutenimo de la curva Q oacute coincide con el rayo

-- 39 shy

rre enlos tres casos consideradO$ ateriorrIacuteien~iexcl correspondIente como ocu bre el lano de la seccioacuten tran~v~rsal te oacute esta proyeccIoacuten del mlsmohso mPlnamos Por lo tanto i la onda

1 so que a ora exa - del prisma que es e ca b en un plano perpendicular al

d t aacute ete uacuteltimo caso VI rara correspon len e iexcl 1 ~teaacute la arista del prisma De aqUlse de la seccioacuten transversal Y paa e ame h meacutetrica para la miacutenimaAes~

d maacutes de ocurrtr la marc a SI dedwe que a e t del prisma ocupe la posicioacuten menclo~gt

oacute uando la bisectriZ ex ellOr 1 VlaCl n c d 1 plano bisector exterior depnsl1)a nada tambIeacuten se produce cuan ~ el determinados por la bis~ctriz

biseque el aacutengulo formad~ por os p anos

exterior del prisma y las b1l10rmales 1 Supongamos que la bisectriz Consideremos algunos caso~ eSi~cI~ e~ntonces se verifica aacute la vez que

interior coincide con el eje de sl~eur~a lal1o de simetriacutea (el yz) y que elJ la bisectriz extenor es paralel~ PI lo de los planos determinashy

t ior (el yz) DIseca e angu plano bIsector ex er b les Por lo tanto ambas ondas dos por dicha bisectriz exterior Y las tnormiexcla verlflcan fa marcha simeacutetri-

oacute d ue sus norma es satisfacen aacute la condlCI n e q l t t 1 90deg1

La oncla d d ioacuten SIendo por o an o r

ca para el miacuten~mo e eSVlac aacutet st que es aquella para la gUe coinshypolarizada perpendicularmente a ~rt ~eguacuten [51 mediante la ~c_ ciden los rayos Y la normal proporCIOna - 1 cioacuten de la miacutenima desviacioacuten por la foacuterm~ta n -1 8 e ficie

f parte de la seccioacuten de a super radio del ciacuterculo que orma di mo de desviacioacuten de la onda

I I yz La observaclon e mtn ti )por e pano t la arista (que vibra paralelamente aacute e a polarizada perpendlcular~en e fa l 1 otro radio vector de la superfi-

a por la misma Oacutermu a e Elnos proporclon 1 d cioacuten de la bisectriz exterior cie de iacutendices el que se halla en a tlrecl do si oes el aacutengulo de la aristaacute

t do vector v es por o ro a )valor de es e ra I q 1 de la eacutelipse que forma parte

z como se deduce de a ecuaClon 1con e eje d el planoJI Z de la interseccioacuten de la superfiCie de tn Ices con

1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull

1 t condlcIon son los deacute crlstalesdeiSiste~ ue cump en es a Los pnsmas q bull f d y los del monocliacutenico

ma roacutembico cuyas caras pertenecen a un es enOl e lt t on respecto al ortoeJe

formados por caras slme ricas c - l 1 1 aacute un eje de slmetna a ele x

Si la bisectriz xterior es para e a h trka lis normales de ambas ondas verifican la marc aSlme

ejemp o a la foacutermula n=Slos la desviacioacuten mimma yproporclOnan por lotes de

ces ~y l Para detertlinar 11 ~s precISO obtener un par de va bull

- 40

pero los caacutelculos se simplifican mucho Asiacuteiexcl si Il es el aacutengulo z z se

- 41 -

nima desvhicioacuten de cada onda para las diferentes posiciones

del prisma y de la bisectriz interior

ARISTA DEL PRISMA Bisectriz -shy

interimiddotor X y 1

= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~

cuadro que se recuerda faacutecilmente observando q1e los iacutendices determinashybles directamente en cada caso corresponden aacute los radios vectores de lashysuperficie de iacutendices enla direccioacuten de la biSectriz interior y deJa-~fis~a_~ del prisma Dos prismas que tengan distintas orientaciones bastiexclm para

determinar directamente las constantes a b c bull EIaacutengulo del prisma pari observaciones en el aire no debepas~rde cshy

un cierto liacutemite para que pueda observarse la miacutenima desviacioacutenconma- cha simeacutetrica Este inconveniente se salva rodeando el prismade un medIO de mayor iacutendice El liacutemite del aacutengulo del prisma viene daduacuteen todo

caso por r nO

sen 2lt n

4 Determinaci6n de los iacutendices prlncJpales de un cristal mediante la determinaci6n de la miacutenima desviacioacuten de rayos que incidcll obl~~ cuament~

Entenderemos en este casopor miacutenima desviacioacuten la men0rdeJoaas las desviaciones correspondientes aacute direcciones dela normal refractadamiddot sit~adas en un mismo plano con la bisectriz interior Bajo esta hipoacutetesis se comprende que para medios iacutesoacutetropos la desviacioacutenmiacutenima para marcha simeacutetrieacutea de los rayoses decir siendo el aacutengulOde lllU1I

ciacutea igual al de emergencia Por lo tanto para medios anisoacutetro~os ma desviacioacuten para marcha simeacutetrica ocurriraacute cuanltlo la normal Qf~middotuacuteiexcl

tendraacute

ociexcl=o ~iexcl = -coso

oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil

y los valores de L M son

L =al +c2 cosZl + ~2 sen21l 2M = a (c2 cos1l +~2 sen21l)

y sustituyendo en [10]

los resultados correspondieacutentes i prismas cttya bisectriz interior oacute exterior

es paralela aacute los otros ejes se obtienen de los anteriores mediante permushy

tacioacuten ciacuteclica de las letras a b c oacute oc ~y

Poseen esta propiedad los prismas de cristales del sistema roacutembico

formados por caras de una piraacutemide que se cortan en un plano de simeshy

triacuteaacute y los del monocliacutenico formados por caras simeacutetricas del clinopinashycoide

La mayorsimplificaci6n se obtiene cuando ambas bisectrices son parashy

lelas aacute ejes oacutepticos por ejemplo la bisectrizmiddotexterior al eje x la interior ar eje y Para tener el resultado en este caso bastaraacute hacer en el uacuteltimamente

obtenido o-0 Resultaraacute pues que del miacutenimo de desviacioacuten de ambas

ondas se obtendraacuten los iacutendices ~y ( Y de la determinacioacuten de un par de

valores de q y ltJi para una incidencia cualquiera oc por la expresioacuten

11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2

Como este caso es el maacutes importlll1te pata la determinacioacuten de los tre~ iacutendices principales de un cristal mediante prismas daremos en el siguienshy

te esquema los dos iacutendices que se determinan mediante la medida de miacuteshy

- 42- - 43shy

da coincida con el rayo esto es cuando esteacute en unmiddot plano de simetriacutea y Seamiddot la que posea en este plano constante velocidad de propagacioacuten Ahora

bienmiddot como ei plano perpendicular aacute la bisectriz interior es cortado en general por los tres planos de simetriacutea en tres direcciones diferentes habraacute tres planos para los que la miacutenima desviacioacuten ocurriraacute con marcha sillJeacuteshytrica y la medida de esta miacutenima desviacioacuten nos proporcionaraacute losiacutendishyces (x ~y

En el caso en que la orientacioacuten de los ejes sea desconocida habraacute que proceder uel siguiente modo Se haraacute girarerprisma no alrededor de la arista sino de modo que la normal refractada ocupe direcciones de un plano f que pase por la bisectriz interior y se determinaraacute la miacutenima desshyviacioacuten correspondiente midiendo los aacutengulosde incidencia y emergencia Se repite esto para diferentes planos iexcl y por medio de una interpoiacion graacutefica se determinan las tres orientaciones de dicho planof para las que la miacutenima desviacioacuten ocurre con maacutercha simeacutetrica y la medida de las m[shynimas desviaciones correspondientes proporciona los tres iacutendices princishypalesde refraccioacuten del modo siguiente

Representemos en proyeccioacuten estereograacutefica sobre la seccioacuten transvershysal del prisma (fig 7) por G yG las n~rmales aacute las caras del pris

figura 7

ma p P Sean ademaacutesJ] y N las normales incidente emergente y iOrefractada entonces seraacute i = i JG= ]G r = NG =NG I 1= Ji

r= GO y por fin hagamos A lXv-- NO Y Y representemos por ~ la inclinacioacuten del plano J]X y porX la del NX con X respecto aacute la seccioacuten transversal

Entonces se deduce aplicando la ley de la refraccioacuten yalguacutenuumls teuacutere~ mas de trigonometriacutea

I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX

III cos i = -cos Asen +r + sen Acos - T cos~

IV sen Asen ~ = sen 1 sen v

tg 1 r V tg r --~shycos v

Si se mide 1 = 7t -2 A Y r podreacutemos calcular mediante llI IV YV) ilI Yr Y luego de (1) deduciremos el iacutendice correspondient~i daacutendonos 11 el aacutengulo Xque determina la posicioacuten de la onda refractada Oacute sealildi~ reccioacuten de la intersecdoacuten de uno de los planos de simetriacutea con transversal Es de notar que ademaacutes de estas tres direcciones viacutea otra situada en el plano yz que posee la propiedad deacute que que se propagan seguacuten esta direccioacuten como normal refractada vrri111~middot tan un miacutenimo de desviacioacuten

Esto ocurriraacute en efecto para aquella direcci6n Rsituada en el piacutea no yz tal que uno de los rayos correspondientes se halleJ~lInbieacuten en el planoacute yz pues en este caso paacutera las normales se verifica tam~ieacutenlaacute

marcha simeacutetrica al mismo tiempo que la miacutenima desviacioacutenEstandoacute la normal y el rayo en el plano yz pero en directiones difereUacuteesesteseraacute el plano de vibracioacuten que deberaacute bisecar al aacutengulo diedro determinado por R y las binormales (fig 7a)~ lt

Esta condicioacuten determina la posicioacuten de R y demuacuteestraque eacuteidste titiaacute y soacutelo una excepto en el caso en que coincida la bisectrizinterio( del prisma con un eje de simetriacutea pues entonces cualquier direcd6ndef pla-- no yz satisface esta condici6n Para distinguir ladireacutecci6n R de la quacutee d~ el iacutendice intermedio ~ puede recurrirse al estado deacute vibracioacuten de Ia onda en cuestioacuten lo cual tiene el inconveniente de que el planode vi6reacutel~ ci6n cambia al pasar al aire por lo cual es preferible verificar el mismiquest estudio en un segundo prisma y tomar como valores de los iacutendices los que apar~cen repetidos

PARTE SEGUNDA


RESUMEN DE LA TEORiacuteA ELECTROMAGNEacuteTICJ DE LALITiquest

1 Ecuaciones fundamentales

af oZ ay -01- = V - -ozshy

[1] _ Sg _ oX az

- ot- shy -oiacute - ox

6h OY oX~ ]t = -Si -0Y

8X oR oQ -1J-at =6y -8T

(lP oR [2] 8T- ox

4n f = KIt P + Kiexcl2 Q Kiexcl3 Rmiddot

[3] 4 It g =Kiexcl p + Kiexcliexcl2 Q + Kia R

4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R

donde Il-es la permeabilidad magneacutetica del medio la cualsut)ondn~tU(js constanteeacute igual 1 por lo cual nada de lo queacute sigue podraacute

(1) Veacutease por ejemplo BCuasse Blectroacuteptique eforrdeacutes hertzjientlesE

- 46 - 47shy

hierro Ademaacutes Ku K53 bullbullbull son constantes entre las que existen las relaciones (1)

Tomemos como vector luz oacute sea como representantes de las vibracioshynes de las moleacuteculas de eacuteter el vector corrimiento y JIamaremos vector polarizacioacuten al vector magneacutetico

Las ecuaciones entre derivadas parciales aacute que han de satisfacer las componentes del vector magneacutetico se obtienen derivando el grupo [2] resshy

8P BQ oR pecto al tiempo y sustituyendo los valores de 81 81 deducishy

dos de las ecuaciones

P = KII f + KI2 g + K3 h

[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h

que resultan de resolver el sistema [3] respecto aacute P Q R y luego susshy 01 og oh~

tituacuteyendo los valores de --W- ~ ~ dados por el grupo [1] De

este modo resulta

(JI X oZ BY ) o (OX-K ----- K -- -- ~)~- 12 (oy oz + ~2 oz oz ox

[5]

y otras dos anaacutelogas que pueden obtenerse de eacutestas permutando ciacuteclica- mente las letras X YZ y x y z Si muItipli~amos los segundos miembros de las ecuaacuteciones [3] por P Q R respectivamente y sumamos obtendremos una forma cuadraacuteshytica que adquiere la forma canoacutenica mediante una sustitucioacuten Hneal que equivale aacute tomar por ejes los de la superficie de segundo orden representashy

bull(1) Veacutease Drudes Optlk paacuteg 289

da por dicha forma igualada aacute cero Suponiendo verificado est~

ejes las relaciones r3J se transformaraacuten en

I

[6] 4 lt f = Kiexcl Pi 4 Te g = K2 Qiexcl 4 lt h K3 R

y las ecuaciones [1] y [2] se podraacuten escribir como sigue

oP oZ ay K1 =Tshy

aQ ax az K2 tiacute = - oxshy

~OR=_~~

2 Condiciones en los liacutemites

En el paso de la luz aacute traveacutes de la superficie de separacioacuten de dostrie- dios diferentes deben cumplirse las siguientes coacutendicio~es (1) ~

LI Existe continuidad para las componentes tangencialesde iexclfuerZaacute eleacutectrica

2a Existe continuidad para las componentes tangencialeSdelafll~fiaacuteiexcl 1_middot _

magnehca Si elegimos un sistema de coordenadas reeacutetangulares (xf jJi)~n el

que el eje z sea normal aacute la superficie de separacioacuten ydeacute~ignanJs cpn los subiacutendices aacute y b las componentes de los vectores eleacutectrico Kmagneacutetiacuteco

lmiddot

en dos puntos indefinidamente proacuteximos situados sobre la normal aacute lordf superficie de separacioacuten y aacute un lado y aacute otro de dicha superficie las expre sadas condidones se podraacuten esCribir

Pa Pbi Qa Qbi Xa = Xbi Za Zb

Comos619 hemos de considerar soluciones de las ecuaciones(1)Y(2) que sean funciones perioacutedicas resulta que debe tenerse

( oQ ) ( iQ) ( Qp) (ap) ax a = -ox b ay amiddot ay b

() Bouasse m sect 63

y de la tercera ecttacioacuten del grupo (2) se deduce por consiguiente

y por consiguiente ya que se trata de funciones perioacutedicas Za Zb pushydiendo esta condicioacuten suacutestituir aacute una de las dos primeras de (8)

Las condiciones en los liacutemites seraacuten pues

Xa=Ybi Ya=Ybi Za=Zbi Pa=Pb [9]

(Del mismo modo- demostrariacuteamos que las condiciones en los liacutemites pueden consistir en la continuidad del vector eleacutectricQ y de una de laacutes comshyponentes tangenciales del vector magneacutetico)

3 Integracioacuten de las ecuaciones diferenciales

No es posible como sabemos encontr~r una integral general del sisteshyma de ecuaciones [7] por tratarse ecuaciones entre derivadas parciales Pero se pueden encontrar solucionespartiJilares que correspondan aacute deshyterminadas condiciones Nosotros estudiaremos soluciones particulaacuteres que por definicioacuten diremos que correspondeacuten aacute una propagacioacuten por ondas planas Estasect soluCiones son de la forma

X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy

que se comprueba faacutecilmente que satisfacen aacute las ecuaCIacuteonesen cuestioacuten Desde luego P-t P-~ II-~ son los cosenos directores del vector polarizacioacuten y A la amplitud dermoyimiento vibratorio El plano

[ 11]

donde e es una constante arbitraria representa el lugar de los puntos que en un momento cualquiera estaacuten en el mismo estado de vibracioacuten El pIashyno paralelo al anterior trazado por el origen

49 shy

reCibe el nombee de plano de onda Los coseacutenos direch~resde siltlotJl1aJ son VI VI V Para obtener la velocidad de propagacioacuten seguacuten dicha nor maacutel buscaremos la distancia entre los planos de onda unoAelos cuales en el tiempot se encuentra en eacutel mismo estado de vibtacioacutenq~eeLotro en el tiempo t + 1 Si e y e son las longitudes respectivas de las noritiaacute les aacute dichos planos deberemos escribir seguacuten (10) y (11)

1- et- e t q q

de donde

e-c=q

luego q representa la velocidad de propagacioacuten seguacuten I~nonnal Por~ fln 6 representa el aacutengulo de fase oacute sea el argumento de p paraeltiCm~ po cero y para el plano de onda que pasa por el origen

4 Superficie de velocidades normales

ImagInemos ahora un medio cristalino definido por iexclaliexcl (onstfiexclnteacute~ K~ KZ5 (foacutermulas [3]) y supongamos que en el tiempo cero paslln p~r el origen ondas planas con todas las orientaciones posibles Jrat~mo~de determirlarsus velocidades de propagacioacuten seguacuten la normal (veI6cidaacutect~ normales) es decir de calcular qen funcioacuten de losccisenosdire~toacute~ res VII iI) iIlt Empecemos por especializar las coordenadasiexcl seguacutetiexplicaiquest rnuacutes en el sect 1 Entonces las ecuaciones [5] referidas aacute Jos nuevpsejeiexcliexcl Xi

J zse transforman tenie~do en cuenta que KM o en

bt ~ ( ~X -- 8Z) 8(8Y 8X)OZ oz ox ea -ayox -oy

habiendo hecho

K2=b2

P-t (q2 - b I~2 - e 22) +b2P-s2 Va + c2 P-2 1 V ~O

~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t

11-3 (q2 - a2 22 - b~Vi2) +atpiexcl1 v +~2 P- 5 -~o

- 50shy

Eliminando P-II P- P-S Y teniendo en cuenta que

resulta

que puede ponerse en la forma

Esta ecuacioacuten nos da la velocidad de propaacutegacioacuten q seguacuten la normal en funcioacuten de los cosenos directores de dicha normal y puede considerarshyse por lo tanto como la ecuacioacuten polar de la superficie de velocidades normales Como vemos es ideacutentica aacute la obtenida en la teoriacutea de fresnel Siguiendo un procedimiento ideacutentico arque seguiacuteamosallf sedecluciriacutea la ecuacioacuten de la superficie de onda

~ Posicioacuten relativa del vector corrimiento y del vectormagnctico

Con objeto de poner de manifiesto la identidad de los resuacuteltados aacuteque conduce la teoriacutea electromagneacutetica con los oQteqidos en la teoriacutea de fresshynel busquemos la posicioacuten de los vectores corrimiento y fuerza magneacutetishyca Multiplicando las ecuaciones (13) por 11 t lrespectivamente y sushymando resulta

que indicll que el vector magneacutetico estaacute situado en el plano de la onda Para determinar la posicioacuten del corrimiento (vector luz) empezaremos

por expresarlo en funcioacuten del vector magneacuteticovalieacutendonos de las foacutermu las [6] Y [7] con lo que resulta

By -Tz

bull ~ bull bullbullbullbullbull lo ~ - bullbull

- 51 shy

y sustituyendo los valores de V Z paraacute el caso particuiar de unaacutep~opaacutegashycioacuten por ondas planas eacute integrando con respecto al tiempo se tiene shy

4 7t f = P-s A 2 It ~ f sen iexcl2 (t ----------------0-T

P-g A2 ~ sen l~It (t ~ oacutesea

v 41tf=--Z- Y

q q

Si comparamos estas foacutermulas con las que dlm en Mecaacutenica el momett+ to de una fuerza con respecto aacute un punto deduciremos enseguacuteidaque~i vector luz que representaremos por B es perpendicular al planodeterijib nado por elvector magrieacutetico M y un vector dirigidoseguacutenlanodnalaacutela

onda y que vale-iexcl siendo ademaacutes B igual al producto de

tores por el seno del aacutengulo que forman vale 90deg Por lo tanto

~M q

oacutesea

M=41tqB

En resumen el vector corrimiento que suponemosquec~incide con la vibracioacuten y el vector magneacutetico (vector pOlarIacutezacioacuten) sehiexcl)Ulltlsituados en el plano de onda Las vibraciones son por 16 tanto ttansv~r~al~s La posicioacuten de estos vectores se halla como se ve de acuerdo pertectdcOn

lateoria de fresnel Resulta ademaacutes que en unapropagad6ridelt)Udaacutes planas seguacuten una direccioacuten dada como normaacutel el vector magiacute1eacuteticoe~ proporcional al vectorcorrimientoiexcl de aquiacute que el plano deonda~ que hemos definido C0l110 el lUgar de losmiddot puntos que se hallan en el ~stado de polarizacioacuten puede definirse(iexcldicietldo que es el luacutegar puntos que se hallan en el mismo estado de pr~c~~~ 0

- 52shy

dad es la que nos ha servido para realizar el estudio que precede partienshydQ del vector polarizacioacuten en vez del vector luz que es lo que sueleha~ cerse

6 Doble refracciOacuten Condiciones en los liacutemites

Una vez que hemos obtellido la ecuacioacuten de la superficie de onda estashymos en condiciones de resolver el problema de determinar no soacutelo las direcciones de propagacioacuten yadmutes de polarizacioacuten de las ondas refleshyjadas y refractadas sino de hal1ar sus amplitudes de polarizacioacuten (oacute las de vibracioacuten queacute les son proporcionales) y sus aacutengulos de fase cuestiones estas uacuteltimas que no permite resolver la teoriacutea de fresnel Desde luego aplicando el principio de Huyghens veremos que en general existen dos ondaacutes reflejadas y dos refractadas cuyas normales se encuentran en el

plano de incidencia

Supongamos una onda plana incidente y tomemos los ejes generashyles x yz de tal modo que el z coincida con la normal aacute la superficie de separacioacuten y el x con la interseccioacuten de la superficie de separacioacuten con el plano de incidencia Todas las ondas ser4n paralelas al eje y I y por lo tanto los vectores polarizacioacuten y luz deben ser independientes de y

De este modo la uacuteltima condicioacuten (9) que expresaba la continuidad de una componente tangencial del vector eleacutectrico podraacute escribirse despueacutes de derivar respecto aacute t Y teniendo en cuenta (4) y (1)

[9)

donde

Unfdaesta condicioacuten aacute las otras tres tenemos el sistema completo de condiciones en los liacutemites para el caso de ondas planas

7 Caacutelculo de las direcciones normales y de loacutes acimules de polashyrizacioacuten -

En lo sucesivo designaremos las magnitudes correspondientes aacute vectoshyres sitUados en el primer medi~ (incidentes y reflejadas) con el iacutendiceO antildeadiendo ademaacutes los iacutendices 1 y 2 paraacutedistinguir los vectores correspOllshy

- 53shy

dientes aacute cadauna de las ondas reflejadas Para las refract~das eriacute1ple~re- mos soacutelo los iacutendices 1 y 2

Con la precedente eleccioacuten de ejes x y z las ecuaciorIacutees l5]teferi~ das aacute la onda incidente se podraacuten esc~ibir como sigUe

donde

oyo iexcliexclXC o zo ~ =-riexcl =--1fZ - 87 ~ =

XO=P-iOAOCOS 2 It (t shy x sen i qO Z cos i) Aotmiddotmiddot T

yo= P-20 AO COS 2 (t- x sen i -1 Z coa i ) ~oli q )

se tendraacutenJres ecuaciones que s~rviraacuten para la determinacioacuten d~qO~yde los cosenos directores P-iO 2deg P-50 del vectorpolarizacioacutenEiirriinando estos 1Jltimos se obtiene para calcular qO

(qOiacute _ aG22) (q02_ aOcos2i - aO53 SIU sen2j + 2 aO sen jcoS ( deg o )2= a 25 sen 1 - a 12 cos 1

que no es maacutes que la seccioacuten producida en la superficie de velocidades - - - - -

normales por el plano de incidencia Para calcillar la direccioacuten de pQlarizacioacuten podemos hacef uso deacute una

t - - -- ~

cualquiera de las ecuaciones [6] por ejemplO la primera queacute en unioacutenM la ecuacioacuten de condicioacuten io sen i + p- cos i o da

- 54

Si designamos por 1 el acimut del plano de polarizacioacuten con resshypecto al plano de incidencia tendremos (fig la) p = - cos i cos 1 f20 = sen 1 f~o = sen i cos 4 y la ecuacioacuten precedente da

Lasecuaciories [l5Jy[16J permiten determina~ qOy 4 cual1do se conoshycen las constantes oacutepticas del ITedio y el angulo de incidencia Para las normales reflejadas y refractadas obtendriacuteamos ecuaciones anaacutelogas sustishytuyendo i por rconJos iacutendices convenientes en este caso el aacutenguiacuteo res desconocido y pata determinarlo hay que recurriraacute las condiciones en los liacutemites La que expresa la continuidad de la componente X del vector magshyneacutetico se escribiraacute para soluciones de la forma (10) en las que hay que hacerz = o

~IU Al) cos) 2T~ (t __ Xl~~n i ) ~ 1l0 + f01 AO cos iexcl~1t (t _ X ~~~tol )

-- aO +ftO2AO2cos iexcl 2 (t _~Sq~~ta) __ aO2iexclTt T

I Al I

2 It (t x senr1) A ti ~t cos --y- -- q I -

+1)(2 A2 cos J2 r (t __ x ~nrt ) ~ 112iexcl [17]

Y como debe verificarse para cualquier valor de x Y de t deben Ser iguashyles los coeficientes de x en todos los argumentos de los cosenos es decir

sen i --iexcliexcl-- = q --iexclv--

La ecuacioacuten [15Jy sus anaacutelogasse transforman seguacuten esto en

[a~ + (a22 -K2) tg2 r] [aH 2 ag tg r (a - K2) tg2 rJ ll3

= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]

que es ideacutentica aacute la que habiacuteamos obtenido en la teoriacutea de FresneJ Del mismo modo la ecua~ioacuten (16) d~ para las ondas reflejadas y re

fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22

[16](aiexcl~ -- a21 tg r)VI + tg2 r

--55 ~

8 Caacutelculos de las fases y amplitudes

En todo lo que precede la teoriacutea electromagneacutetica nonQShae~efi~~~ nadanuevoj las ecuaciones que dan lavelocidad depfopagaeioacutenYeLa~l

rtmt de polarizacioacuten de las ondas que se propagan seguacuten~nadireccioacute~ determinada pueden obtenerse lo mismo en la teoriacuteadeFresne~ SI

tratamos de obtener las amplitudes y las fases relativas de dichas teoriacutea claacutesica no nos sirve y hemos de recurrir aacute la e1trlt)mligl1leu7 ca que gracias aacute la aplicacioacuten de las condiciones en los Hmite~aacute ciones fundamentales permite resJlyer el problema

Desde luego la ecuacioacuten [17] que debe ser satisfecha para valor de x y de t nos dice que todas las b deben ser iguales Por todas las ondas reflejadas presentan el mismo aacutengulo de incidente De aquiacute se deduce que cuando el primer medio cuyo caso las dos ondas reflejadas coinciden la resultante eacutes rectiliacutenea bull Ademaacutes por una elecCioacuten conveniente del origen de los tiacuteelmpiexclqs de anular~e el aacutengulo de fase COrrtUacuteIi b Teniendo el1cuenta POIQelmQti

escribir las condiciones en los Hmites(9) en la fOrma siguiente

l1P-iexclOi NI = lh fthAh liexcl f20i AO = i h fiAh

liexcl P-301 AO lh ~h Ah

l1 -AO f~ol (au Ocos rO1 - a1senr01r) -al~oqOi bull

-- 1)deg1 sen rOll )I = lih A IP-2 (aH c~s rh -- aacute31 sen rh) -- ~t2 (P-thcosch2

q iexcl

fI0 =- COS 4deg1 cos rOlI I piexcl0i = sen 4deg11

f11Iacute - COS 4h cos rh f2h~ sen 4h bull

--------------- - shy

- 56shy

y entonceacutes las ecuaciones [18] se pueden escribir del modo siguiente

iexclNiexcl eos rOieos 401i ==h Ah eosrh eos ltl-h

i AOi sen 4deg1 h Ah sen 4h

i AOi sen rO1 eos 4deg1 = h Aliacute sen rh eos4h [19

iexclsen40iexcl (aH epi rO - a31 senyOi )+al2 eos 4degiexcl1

Una vez cactllados 10saacutengulQsry 4 estas cuatro ecuaciones permiten calcular las amplitudes AO t0l A t Al conocida que sea la amplitud AO de la onda incidente

En el caso en que elprimer medio es iexclsoacutetropo las foacutermulas se simplishyfican notablemente En este caso se tiene allfl -= a22o= a~50 =qOi G2iexcl0= a = au o = o y las dos normales reflejadas coinciden como se desprende de las ecuaciones [17] siendo 01 rO

l2 = i-~ Por lo tanto

sen r9I = sen rO2 = sen rO sen 1 eos~ = eos rO2 = - eos rO= - eos i

Para mayor claridad en la notacioacuten designaremos las ampIacuteitudes del vector polarizacioacuten incidente del reflejado y de tos dos refractados con

las letras E P AII Aj respectivamente y sus acimutes de polarizacioacuten con las letras E p5

1 Yaj

De este modo las ecuaciones (9) se transforman en

(EcosmiddotE-middot Peos p) cos 1= Acos f l COS 01 + Ag COS ri cos 09 = AacuteI l I + AI I

E sen e +P sen p= Al sen 01 + A sen 5~ --=A I mi -1- A m

(E COSE + P cos p) sen 1 = Alsen ricos 01 +Al sen P CO~ 0 Al ni + A2 n2

(E sen e - P sen p) sen i eos i = Al ~~~2L [(al eos rl - a31 sen r) sen 01q

+- al2 eos 0tl sen t 2 [( ) iexcliexcl + J + A

all COS t 2 - as sen rii sen 2 a12 cos 02 = Al PI + Al P --q-2shy

donde 1 m Pi se han introducido para abreviar la escritura

- 57shy

9 lcimules unirradiales

Se puede elegir el acimut de polarizacioacuten de la luz incideacutente modo que uno de los haces refractados desaparezca por anularse laampli- tud de polarizacioacuten correspondiente Estos acimutes se denominan uacutenir~a~ diales Las condiciones que geben satisfacer se obtienenhaciendoehlas ecuaciones anteriores Al = o A= o sucesivament~ No hay qtiec~)nft1Iacute1dir~ este fenoacutemeno con el de lareflexioacuten total pue~ en las refraccioriesunirra- diales la direccioacuten de ambas ondas refractadas queda perfectamente detershyminada soacutelo que una de ellas no transpoacutertaenergiacutea bull gt

Sean el e~ YPu Pi los acimutes de poacutelarizacioacuten de la boda bulliexclntildet~deIacuteltti Y de la reflejada en cada uno de los casos de refraccioacuten unirradiaJ ~t1eacute1iexcl1ri-~er caso cuando el seraacute Al = o y supongamoS A~~Iq~~itPi~ffiPii por E(l) y P(l) las amplitudes correspondientes de la$p~lariJ~~iQp~i~rfi~ dente y reflejada Detmismo mOdo para A Oacute s = sihagaWPsAIlx ~ sean E() y p(2) las amplitudes de las polarizacioIacute1es)Iacute1~ident~Yr~Jrae~f~~middotimiddotmiddotmiddot

Si designamos los componentes de cada amplitud perpynd~~ulaacutetesectaL bull gt

pl~riO de inCidencia con el subiacutendice S y las paralelas almIsmqlt~JJ~IF-subiacutendice p e decir si hacemos ltc

Ecose=Ep Pcos p=Pp

E sene=Es P seacuten p~Pr

l~s ecuaciones (10] nos indican que esfascomponenfe$somiddotiN~fi~rii~~ lineares de Al y Al es decir

Es = Al Al BI As Ps = A3A+all A2 Ep =As A~ +B2 As Pp Al AI+ii3~L~2

Es = Es(1) Al +Es(2JAiexcl

Ps = P s (1) A +Ps (2) Al

Con lo que tenemos cuatro ecuaciones que eJ11~zan las ~ de las amplitudes de las ondas incidenterefractada Y reflejada onda incidente polarizada en un cierto acimut con las component~sde amplitudes de dichas ondas cuando la onda incidente estaacute pOlarizada ~Iacute1 cada uno de los acimutes uacutenirradiales

CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES

tlplicacidn de las ecuaciones generales

En los medios absorbentes todo pasa como si pO$eyeran un iacutendice de n~fracci6n imaginario es decir que el hecho de que la intensidad lumitlo sa experimente una debilitacioacuteri aacute medida que aumenta el espesor atrave~ sadoseguacuten una ley exppnencial conduce aacute introducfre~ las foacutermulas geshynenlles valores complejos para las constantes (Veacuteaseiexcl por ejemplo Poin~ careacuteTheorie matkematlque delumteacutere paacuteg 371 80uasseElecJroptique Ondes Hertztiennes paacuteg 239) De eacuteste modo se hace extensiva la teoriacutea de la reflexioacuten y refracciOacuten en los cristales tr~nsparentes aacutelos absorbentesj los resultados obtenidos aparecen naturalmente en forma de magnitudes coacutemplejas que ya veremos coacutemo deben interpretarse Una vez generalizashydas las ecuaciones fundamentales puede demostrarse ltiue las condiciones ~n los liacutemifes son las mismas puesto que pueden deducirse de las ecuashyciones fundamentales observando que son aplicables aacute cuerpos oacuteo hOmoshygeacuteneos (Pockels paacuteg 175)

En lo sucesivo supondremos que el primer medio es el aire que es lo que ocurre generalmente De no ser asiacute bastariacutea multiplicar las constanshytes ahk obtenidas por el cuadrado del iacutendice de refraccioacuten del medio ex~ terior

Si en las ecuaCiones [15J y [18] sustitufmos los paraacutemetros ahk por magnitudes complejas ahk podremos determinaacuter las direcciones depropashygacioacuten y los acimutesde polarizacioacuten de las dos ondas refractadas en un mediQ absorbente Los valores de r y 4 tendraacuten la forma compleja y los designaremos por rmiddot y iexcl Oacute 8

Las sol uciones de las ecuaciones [6] son de la forma

X =-A cos Il cos rOlt e iacutet

Y= Asen Il e - it

Z = A cos iexcliexcl iexclert re - it

- 59shy

donde

2 ( x sen ro + z cos r) sen rt=~ t- q q

)( es lo que se denomina iacutendice de aacutebsorcioacuten De la forma de estassoluciones se deacuteduacuteceen primerluacutegariexcl quep~r

ser imaginario r la~amplitud es variaacuteble como deheocurrirenun medio absorbente Ademaacutes la com ponente de polari1acioacuten paralelaal plano )le incidencia viene por la parte real de la expresioacuten

A cos Q e i t

~

y la componente perpendicular por la parte real de

A sen Il e--It

componentes que pueden ponerse en la forma

(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t

Si la polarizacioacuten fuera rectiliacutenea como respectivamente

A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t

y debe~aacuten ser proporcionales para cualqui~r valor de t

A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B

y como A Bu ~ Bi A esla parte imaginaria ltgt

no es cero por ser imaginario (J resulta que la puede ser rectiliacutenea y por 10 tanto seraacute eliacuteptica

Las amplitudes Ao y Ah se deducen de las ecuaciones [19] proporcionan tambieacuten v~lores imaginarios

- 60 -shy

En el caso en que el primer medio sea isoacutetropo dichas ecuaciones se transforman en las [101 y mediante la introduceioacutende los acimutes unirrashydiales obtendremos las [201 en las que si la luz incidente estaacute polarizada rectiliacuteneamente seraacuten sus componentesEs y Ep reates pero las magnitudes que intervienen en los segundos miembros son imaginarios asiacute como Ps y Pp

2 Reflexioacuten metaacutelica~

Concretaacutendonos aacute las ondas reflejadas que son las maacutes importantes para el estudio de los medios fuertemente absorbentes observaremos que las componentes de la amplitud de polarizacioacuten de dichas ondas presenshytan una diferencia de fase 1 puesto que hemos visto que estaacuten polarizadas

_ eliacutepticamente Podemos escribir por lo tanto

Ps = tg p =fg q e -11

donde ~ es un aacutengulo real que representa al dcimut que tendriacutea el plano de polarizacioacuten en el caso de anularse 1

Sustituyendo los valores de Ps y Pp dados por [21] resulta

y eliminando 1iexcl y 1 por medio de las dos primeras ecuaciones [21] susshytituyendo luego Es y Eppor Ecos e y E sen E respectivamenteresulta

tg q (cos A + i sen x)

(P s (1) E s (2) P s (2) E s (1raquo - (P s (1) E P (2) - Ps2) E p (2raquo tg euro -~~P~p~(1~)~E~s~2~)~P~p~I~2)~E~s~(~1)~)--~P~p~(1)~E~p(~2)~_-rPp~(~~Eltp~~~~)Ttg~E--

Examinaremos el caso particular de un cristal en el que la superficie reflectora sea un plano de simetriacutea oacuteptica el X Y por ejemplo Hacienshydo que coincidan los ejes X YZ con los ejes de simetriacutea oacuteptica tenshydremos

- 61

va~ sen i oacute tg r = sea sen r iacute V~seacuten i - VI - a sen2 j 2 bull

vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl

y la ecuacioacuten [16] da para 8 los valores

y por lo tanto las ondas refractadasestaacutenlinealmente po)~riaacutedas resultan valores reales para sus acimutes de polarizacioacuten ~

Las foacutermulas [10] dan valores nulos para Ep(lgt P p (l) Es(9) para las otras magnituacutedes resultaacuten las expresiones al 1 =1

(Ep(2)~Pp(2raquoCOSiexcl coniexcl Vl-aacutegsen2I

(E p (ll) +P p (2raquo sen iexcl = sen riexcl = va~2sen r

E s (1) + P p (1raquo) = 1

(Es (ll- P s (lraquocot i=a~1 cot r~2

de las que se deduce

2 E (2) lii + VI -a2 sen2i P V 2 cos i

2E (1)=1 + a-iexcl- Vl-as ~en2i 2 P s(l)=I- iiVl~a3~~en~ i s V t COS l Vd cOS t

conlacualla expresioacuten [80] se transforma en

Ps P s (1) E p (2) t -iexcl- P P (Ji Es (1) g e

(Va cosl + V1-a1I sen2 iexcl) (cos i shy(la cos i VI ~ agsen~i) (cos i shy

- 62shy

Mediante ia observacioacuten se determinan los valores de tjI yll Y entonshy

ces mediante [79] se conoceraacute Si se repite el experimento para tres

valores de i- se tendraacuten tres ecuaciones que serviraacuten para calcular los paraacuteshymetros complejos a = al + i bu a = al =+ i bt a3 = a3+ i b3del crisshytalUna vez obtenidos estos paraacutemetrossi queremos determinar los iacutendishyces de refraacuteccioacuten y absorcioacuten recurrimos aacute las foacutermulas

ah=qh2= nh 2 (1-ilh)2

y separando partes reales eacute imagitiarias

l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2

quiexclsirven para calCular nh y Xh

Verificados los ejercicios correspondientesalltgrado demiddotLJv diacutea 30 de Junio de 1913 ante el siguiente

TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t

Barlolomeacute Fella y Peacuterez Ignacio OonzaacutelezMeirtl Bias Cabrera y Felipe Francisco de Cos y Mermerlaacute AntonIo Vela Herranz

A mi querido profesor

Dr D EstehanTerradas

PARTE PRIMERA


CRISTALES UNIAacuteXICOS

El fenoacutemeno de la doble refraccioacuten enlos (Cristales UUlnA-~ nnIt

como es sabido en el desdoblamiento de un rayo incidente substancias en dos refractados de los cuales el uno sigue lasleye~ cartes mientras el otro se aparta de ellas no estandq en plano de incidencia ni se halla para la incidencia normal eri la cioacuten del rayo incidente

Estos hechos fueron satisfactoriamente explicados por l1TltTPnC

tierido que en dichos cristales la superficie de onda ~se com esfera y de un elipsoide de revoiacuteucioacuten tangente pOr StlS polos aacute iexcla eacuteSiferaacute en los extremos de un diaacutemetro paralelo al eje prlncipaacutel desi- ~1 _middotJ cristal De este modoal aplicar la construcciOacuten qe Huygensaacute laypfrJ~tiexcliiacuteUacute1 en una substancia birrefringente se~obtienen aosondas refractadastlj~IacuteP~0 pondiente la una aacute la hoja esfeacuterica de la superficie deoacutenda yla otrt hoja elipsoidal Para la primera (onda ordinaria) el rayo coacuteincidiniacute normal para la segunda no ocurriraacute esto es genera

Un cristal uniaacutexico (sistemas exagonal y tetragonal)quedaraacute~uC zado IJor el radio O de la esfera y el radio ecuatorial eacutedel el superficie de onda oacute sea por las dos velocidades de roacutesrayos 1LUlllIVlJ~ una direcCioacuten perpendicular al eje prIacutendpaacutel de si~etriaOacutetimliacutejeacuten

reciacuteprocas + w~ e que son los iacutendices de refraacuteccioacuteoacute rli

extraordinaria al suponer igual aacute la unidad la velocidad de vaciacute~ En la direccioacuten paralela al eje principal de simetriacutea (eje

ternaria) las dos velocidades y porIo tanto los dos iacuteQdiCeacute~ esta direccioacuten se denomina eje oacuteptico del cristal

Seguacuten esta hipoacutetesis la ecua~ioacuten de li superficiacuteedeacute

6


]1]



+


z


resulta

+ z)


(x~ + y2)e~ Z202 - (x2 + y +z)= o


se asiacute

[Xi + y2 + z1 0 2] [(x2 + yi) e2 + Z202 _ (Xi + y2 + Z2)2] = o [2]


[1]

-7shy









I





Se =

-- --~ -


8









CAPiacuteTULO II

CRISTALES BiAxICOS






a2x2 + b2yll + C2Z2 = 1




[4]

10 - --11shy









x - Aa2x - ~Vt = o

y - Ab2y ~ AY2 10




1 1 -A=O A=shyq2



) = AV i )x (1- q2v1x~ q2_a2


2~A)=A2 q2 _ b2 + b2c2X2 + c2a2y2 + a2b2z2 == o







12 shy




Figura La



J

13



X2 y2 Z2

-+-+ =1a2 b2



O



b2 (c2 + a2)y2 - c2 (a2 +b2) Z2 + a2b2c2 = O







-shy 14 -



[9]

~ t



[11]






sIendo

8=----~~------~------------



15 -


bull j









y de [19]

12 = _ 82

q



q q

-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


6


]1]



+


z


resulta

+ z)


(x~ + y2)e~ Z202 - (x2 + y +z)= o


se asiacute

[Xi + y2 + z1 0 2] [(x2 + yi) e2 + Z202 _ (Xi + y2 + Z2)2] = o [2]


[1]

-7shy









I





Se =

-- --~ -


8









CAPiacuteTULO II

CRISTALES BiAxICOS






a2x2 + b2yll + C2Z2 = 1




[4]

10 - --11shy









x - Aa2x - ~Vt = o

y - Ab2y ~ AY2 10




1 1 -A=O A=shyq2



) = AV i )x (1- q2v1x~ q2_a2


2~A)=A2 q2 _ b2 + b2c2X2 + c2a2y2 + a2b2z2 == o







12 shy




Figura La



J

13



X2 y2 Z2

-+-+ =1a2 b2



O



b2 (c2 + a2)y2 - c2 (a2 +b2) Z2 + a2b2c2 = O







-shy 14 -



[9]

~ t



[11]






sIendo

8=----~~------~------------



15 -


bull j









y de [19]

12 = _ 82

q



q q

-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


8









CAPiacuteTULO II

CRISTALES BiAxICOS






a2x2 + b2yll + C2Z2 = 1




[4]

10 - --11shy









x - Aa2x - ~Vt = o

y - Ab2y ~ AY2 10




1 1 -A=O A=shyq2



) = AV i )x (1- q2v1x~ q2_a2


2~A)=A2 q2 _ b2 + b2c2X2 + c2a2y2 + a2b2z2 == o







12 shy




Figura La



J

13



X2 y2 Z2

-+-+ =1a2 b2



O



b2 (c2 + a2)y2 - c2 (a2 +b2) Z2 + a2b2c2 = O







-shy 14 -



[9]

~ t



[11]






sIendo

8=----~~------~------------



15 -


bull j









y de [19]

12 = _ 82

q



q q

-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


10 - --11shy









x - Aa2x - ~Vt = o

y - Ab2y ~ AY2 10




1 1 -A=O A=shyq2



) = AV i )x (1- q2v1x~ q2_a2


2~A)=A2 q2 _ b2 + b2c2X2 + c2a2y2 + a2b2z2 == o







12 shy




Figura La



J

13



X2 y2 Z2

-+-+ =1a2 b2



O



b2 (c2 + a2)y2 - c2 (a2 +b2) Z2 + a2b2c2 = O







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[9]

~ t



[11]






sIendo

8=----~~------~------------



15 -


bull j









y de [19]

12 = _ 82

q



q q

-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


12 shy




Figura La



J

13



X2 y2 Z2

-+-+ =1a2 b2



O



b2 (c2 + a2)y2 - c2 (a2 +b2) Z2 + a2b2c2 = O







-shy 14 -



[9]

~ t



[11]






sIendo

8=----~~------~------------



15 -


bull j









y de [19]

12 = _ 82

q



q q

-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

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n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


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( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

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t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



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~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

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habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


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- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




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M=41tqB



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plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



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- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


-shy 14 -



[9]

~ t



[11]






sIendo

8=----~~------~------------



15 -


bull j









y de [19]

12 = _ 82

q



q q

-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

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A B A B




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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

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Secretario

Dr D

t


-- 17 shy-16 shy




82 [21]















CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



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ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

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n2

J2

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resulta - T


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_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


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( 1 1 )2 ( sen 2


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( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

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donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





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X - oc P rt (

-----

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caso por r nO

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- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

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-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


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1- et- e t q q

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M=41tqB



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plano de incidencia



[9)

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- 53shy



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- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

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--55 ~











q iexcl



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- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


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(A+ i A) e - Pe

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A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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CAPiacuteTULO lIT





sen i sen =en r2

q q [1]







-19shy

5 1

Figura 2















X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



siendo



aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



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ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




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_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

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1 ( 1 1) 2middot~+~

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71


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- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

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[6]









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- 35shy


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bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



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1 sell (f + Ilm)

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donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





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X - oc P rt (

-----

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caso por r nO

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Y3= cosa

Lt = b2 +c2

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- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


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1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




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q q




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M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








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- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

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A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

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A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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X y Z

X OC I OCg OCi


(

- 21shy


punto sedn



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aS3 = a2oc311+ b2~32 + e2Ys2




11 11 _ bull









~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

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y sustituyendo




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resulta - T


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_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

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t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

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Z yoc ( ~




caso por r nO

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tendraacute


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11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

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M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

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--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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~ 22







XI + y + z1= r1

I





- (al -- a23 tgr)2 (1 tg2r) =0 [5]



- 23 -












D =63 -6 6~ o


1 Ao Aiexcl A2

6 = 6 I~iexcl A2 As

A2 As AII



- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

82 y2 1 )

-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 24shy




O ~-----t--+--~--ll~

Figura 3







CAPiacuteTULO IV


Z Figura4

bull o iexcl_



CXI = cos ~ cos 1)

CX = sen ~ cos 1)

CX3 = - seno

~iexcl = - sen ~

~2 = COS ~

~3=0 r~=cosl)



- 26 shy

siendo






1 w sen lo = ---0 =-0 [1]

on n



[2J





bull qO E

senIl) =e no


- 27-



deduce

ishy





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1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

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t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


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By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

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M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




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VI - a2 sen2iexcl






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TRIBUNAL

Presidente

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- 26 shy

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- 27-



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~ r bull

1

nO seni = r






1x + m y +nz 0

El radio vector es


x dx +y dy+ z dz o

- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

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2 al b2 c2

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- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


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( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

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36 -


1 sell (f + Ilm)

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donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

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-----

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Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


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11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


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1- et- e t q q

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~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


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- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

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oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

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- 53shy



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I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


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1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

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A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 28shy


1dx +m dy+ n dz = o [8]


+ [c2 r2 z ~ c2 (a2 +b2) z] dz = o




x Al 1 -- 12 xla2 rL a2 (b2 ci)] o



r2+A2a2b2c2=0

A = _ r2

2 al b2 c2

y sustituyendo




dedortde

m2


n2

J2

+ a2 b C2 + C2 r~ -- c2 (a2+ b~) r2 = o


resulta - T


) t]


_ _igtj gt_ -









- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


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( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

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t e 00

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bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

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oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



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- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

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A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

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A B A B




- 60 -shy












- 61


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






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ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 30


Figura 5


cAPfrULoV





Figura 6



- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

1




1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

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3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









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- 35shy


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( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

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1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

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donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

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- 38 shy










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1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





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X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

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tendraacute


oc = 1 ~~=o

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11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


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By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

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oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

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A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








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l-Xh 2

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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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- 32 ~




rO + r = riexcljO + j = l + ~ [2]




De [1] se dedu~e 1



oacutesea





cot 2 tg [3]

y eliminando rO r

1 ) iO ~ini = (-q

2-


1 COS 2 (r+A)

C s

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1 ( 1 1) 2middot~+~

+ 1 ( ~2 ~ ) cos2 4




71


sen +(r +I1n) w nO ______-__~_

sen



3

- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

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t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 34 -






1 ( 1 1)2~+~

( 11 )- -shy cos2(P-~)y2 82

[6]









~---) cos 2 (p -~)= o [7]2

- 35shy


(-bshy 1 )-82 sen 24 ( 1 1 ) - _- sen2(p--~)=o ~ ~



( 1 1 )2 ( sen 2


2 12 82 Vi

( COS2 P + sen2 p

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-~ [~l



t e 00

+ ~ J



bull J


( 1 1) ( 11 )---iexcl- -- C2 e 2 - S2 = o

1 1 sen 2 (f+6m)



36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


36 -


1 sell (f + Ilm)

sen -rT





donde


L = (b2 +C2)1iexcl2 + (c~ + a2) ~2 + (a2+ b2) 1t






[10]

- 37shy












- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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- 38 shy










-- 39 shy


















1 sen2 o ~ ~=~+ 12 bull







- 40


- 41 -





= ~

X - oc P rt (

-----

Y ~rt - ~ (

Z yoc ( ~




caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

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-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

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- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

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A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




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- 61


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

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- 40


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-----

Y ~rt - ~ (

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caso por r nO

sen 2lt n




tendraacute


oc = 1 ~~=o

oc=o ~l = senil















11 = sen O

Y2=0

Y3= cosa

Lt = b2 +c2

MI =b2 c2



- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

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habiendo hecho

K2=b2


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- 50shy


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By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

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oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



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t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


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B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


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VI - a2 sen2iexcl






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- 62shy






l-Xh 2

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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 42- - 43shy





figura 7




I n sen I n sen r 1

11 cos r cos r cosX








PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


PARTE SEGUNDA





[1] _ Sg _ oX az




(lP oR [2] 8T- ox



4 1t ti = K P + K2 tr +K33 R



- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



oP oZ ay K1 =Tshy


~OR=_~~







lmiddot













X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

siendo

-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


49 shy


1- et- e t q q

de donde

e-c=q






habiendo hecho

K2=b2


~ (q2 _ C2 v _ a2 52) + e2 PV3V + a2 P-s ~v~_i)t


- 50shy


resulta







By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

q q




~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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- 46 - 47shy







[4] Q K2 f +Kl2 g K2~ h 1

R = Kj3 f+ K25 g +K~ h



este modo resulta


[5]





I



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~OR=_~~







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X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

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By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

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~M q

oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

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A B A B




- 60 -shy












- 61


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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X I1-t Pi y p~ Pi Z = 11-5 p

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-2 [10]11- = A coa 1--f- (t shy


[ 11]


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1- et- e t q q

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K2=b2


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By -Tz


- 51 shy




v 41tf=--Z- Y

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M=41tqB



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plano de incidencia



[9)

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- 53shy



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t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


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1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


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A A iexclW --s-

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- 61


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E s (1) + P p (1raquo) = 1








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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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- 50shy


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v 41tf=--Z- Y

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oacutesea

M=41tqB



- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



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t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

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1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

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A A iexclW --s-

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A B A B




- 60 -shy












- 61


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

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TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

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- 52shy




plano de incidencia



[9)

donde




- 53shy



donde








t - - -- ~


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

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- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 54





I Al I







= (a12 - a23 tg r)2 (1 + tg2 r) [15]


fractadas

t~ 44 = (Ka -a~2) tg2 rmiddot -- a22


--55 ~











q iexcl



--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


A cos t -A sen ~

B cos t - S sen t


A A iexclW --s-

oacute sea que

A B A B




- 60 -shy












- 61


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


--------------- - shy

- 56shy












1 Yaj









- 57shy






Ecose=Ep Pcos p=Pp





Ps = P s (1) A +Ps (2) Al


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


(A+ i A) e - Pe

(B + iB) e 1t


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B cos t - S sen t


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






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ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


CAPiacuteTULO II

MEDIOS ABSORBENTES







Y= Asen Il e - it


- 59shy

donde




A cos Q e i t

~


A sen Il e--It


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VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






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ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 60 -shy












- 61


vaiexcl sen j tgr2=

VI - a2 sen2iexcl






E s (1) + P p (1raquo) = 1








- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


- 62shy






l-Xh 2

ah = nhQl+lh 2)2



TRIBUNAL

Presidente

Vocal

Secretario

Dr D

t


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FACULTAD DE CIENCIAS F · á un sistema de ejes cartesianos rectangulares, cuyo eje . z coincida con ,el eje óptico es ]1] . La superficie de velocidades normales, que es la pedaJ