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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
SECRETARÍA GENERAL
COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS
COPADI
FORMULARIO C O P A D I
¡MÁS DE 400 FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS!
ING. ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME
P R Ó L O G O Las asignaturas de matemáticas en la Facultad de Ingeniería, que fundamentalmente se imparten en su División de Ciencias Básicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un auténtico lenguaje- para la comprensión y aplicación de las asignaturas físicas y también para aquellas propias de las carreras de ingeniería. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestrías y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formación sólida en Ciencias Básicas y que tengan buenas posibilidades de éxito en su devenir académico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemáticas que deben estudiar como son el Álgebra, la Geometría Analítica, El Álgebra Lineal, el Cálculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemáticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniería estos formularios, que con sus más de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer más eficiente el estudio y aprendizaje de las matemáticas primero y después constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea académico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo académico de alumnos y profesores de ingeniería que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniería es unión entre los seres humanos y la naturaleza, y que uno de los principales objetivos de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su práctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana María Vieyra Ávila y al pasante de ingeniería Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboración en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicación.
Ing. Érik Castañeda de Isla Puga Ing. Pablo García y Colomé
Í N D I C E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 2 RECTA Y CIRCUNFERENCIA 3 LAS CÓNICAS: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO 7 CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 10 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA 11 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 13 SERIES INFINITAS 15 SERIES DE POTENCIAS 18 ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS 20 FUNCIONES HIPERBÓLICAS. IDENTIDADES, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN 22 MÁXIMOS Y MÍNIMOS. UNA O MÁS VARIABLES 24 GEOMETRÍA DIFERENCIAL. FÓRMULAS DE FRENET-SERRET. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA. 27 LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES. LONGITUD DE ARCO, ÁREA BAJO LA CURVA, ÁREA ENTRE DOS CURVAS, ÁREA DE SUPERFICIES, VOLÚMENES 29 MASA, MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y CENTROIDE 31 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN EXPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL 33 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA EN FUNCIONES DE UNA Y MÁS VARIABLES 35 COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 37 OPERADORES VECTORIALES GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO 41 EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS 42 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 44 SERIES DE FOURIER 45
C O P A D I 1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENUSA = hipo
catad
catoptan
hipo
catad
hipo
catop ;cos;sen
IDENTIDADES
sen
coscot;
cos
sen;
cos
1sec;
sen
1csc tan
tantan
tan
;coscos;sensen
1cotcsc;1sec;1cossen 222222
tantan
tantantan
tantan
tantantan
1;
1
sensencoscoscos;sensencoscoscos
sencoscossensen;sencoscossensen
2
2222
tan1
tan22tan;1cos221cos2cos;cos22
sensensensen
cos1
sen
sen
cos1
2;
2
cos1
2cos;
2
cos1
2sen
tan
2cos2
1
2
1cos;2cos
2
1
2
1sen 22
sensen2
1sencos
sensen2
1cossen
coscos2
1coscos
coscos2
1sensen
C O P A D I 2
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN ÁNGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL ÁNGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMÁS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN ESTUDIO.
C O P A D I 3
RECTA Y CIRCUNFERENCIA
LA LÍNEA RECTA
PENDIENTE DE LA RECTA: 2121
21 ; xxxx
yym
ECUACIÓN DE LA RECTA “PUNTO PENDIENTE”: 11 xxmyy
ECUACIÓN DE LA RECTA “PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN”: bxmy m PENDIENTE DE LA RECTA b ORDENDA AL ORIGEN
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 222111 ,, yxPyyxP
1121121
211 ; xxmyyxxxx
xx
yyyy
ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA: 1b
y
a
x
a ABSCISA AL ORIGEN b ORDENADA AL ORIGEN
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
0 CyBxA
FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA 0cos psenyx
p LONGITUD DE LA NORMAL QUE VA DEL ORIGEN A LA RECTA 00 360 MEDIDO DESDE LA PARTE POSITIVA DEL EJE "" x A LA NORMAL
DISTANCIA DE UNA RECTA 0 CyBxA A UN PUNTO 11 , yx
22
11
BA
CyBxAd
CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD CON LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS
SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:
21 y SON PARALELAS 21 mm SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:
21 y SON PERPENDICULARES2
1
1
mm
4 LA CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO "" r : 222 ryx
ECUACIÓN CON CENTRO EN EL PUNTO kh , Y RADIO "" r : 222 rkyhx
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
022 FyExDyx
LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI 0422 FED Y
ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON
2,
2
ED Y EL RADIO ES FED 4
2
1 22
ECUACIÓN MEDIANTE UN DETERMINANTE
LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS 333222111 ,,,, yxPyyxPyxP NO COLINEALES, ESTÁ DADA POR EL DETERMINANTE
2 2
2 21 1 1 12 22 2 2 22 23 3 3 3
1
10
1
1
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS khO ,' Y SEAN RESPECTIVAMENTE ',', yxyyx
LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUÉS DE LA TRASLACIÓN. ENTONCES, LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON:
kyyyhxx ''
ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS
SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN ÁNGULO EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE
ROTACIÓN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE, ''., yxyx , ANTES Y DESPUÉS DE LA ROTACIÓN, ENTONES LAS ECUACIONES DE
TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON. cos'''cos' ysenxyysenyxx
C O P A D I 5
L A S C Ó N I C A S: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA
P A R Á B O L A
p DISTANCIA DEL VÉRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VÉRTICE A LA DIRECTRIZ FOCO SOBRE EL EJE
VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x
xpy 42 DIRECTRIZ: px ; FOCO 0,p
VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y
ypx 42 DIRECTRIZ. py ; FOCO p,0
VÉRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x
hxpky 42
VÉRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y
kyphx 42
LONGITUD DEL LADO RECTO = p4 ; EXCENTRICIDAD: 1e
ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 022 FyExDyCxA ; CON 00 CóA
E L I P S E
a2 LONGITUD DEL EJE MAYOR ; b2 LONGITUD DEL EJE MENOR c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS
222 bac FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x
12
2
2
2
b
y
a
x
FOCOS: 0,0, cyc
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y
12
2
2
2
a
y
b
x
FOCOS: cyc ,0,0
6 CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y
1
2
2
2
2
a
ky
b
hx
LONGITUD DEL LADO RECTO = a
b 22 ; EXCENTRICIDAD: 1
a
ce
ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DEL MISMO SIGNO
H I P É R B O L A
a2 LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO ; b2 LONGITUD DEL EJE CONJUGADO c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS
222 bac FOCOS SOBRE EL EJE TRANSVERSO
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x
12
2
2
2
b
y
a
x
FOCOS: 0,0, cyc
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y
12
2
2
2
b
x
a
y
FOCOS: cyc ,0,0
CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky
LONGITUD DEL LADO RECTO = a
b 22 ; EXCENTRICIDAD: 1
a
ce
ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DE SIGNO DISTINTO
C O P A D I 7
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
VECTORES
MÓDULO DE UN VECTOR: 23
22
21 aaaa
PRODUCTO ESCALAR: 332211321321 ,,;,, bababababbbbaaaa
00 1800;cos baba
ORTOGONALIDAD: bya SON ORTOGONALES 0
0 ;0
aa b
b
COMP VECTb
b
b
baa
b
; COMP ESC
b
baa
b
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES: ba
baang
cos
ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES
a
aang
a
aang
a
aang 321 cos;cos;cos
1coscoscos 222
PRODUCTO VECTORIAL: 321
321321321 ,,;,,
bbb
aaa
kji
babbbbaaaa
00 1800; senbaba
PARALELISMO: bya SON PARALELOS 0
0 ;0
aa b
b
ÁREA DEL PARALELOGRAMO = ba
PRODUCTO MIXTO: cbacbacba
8 VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO = cba
LOS PUNTOS , ,A B C y D SON COPLANARES
SI EL PRODUCTO MIXTO AB AC AD
ES NULO
DOBLE PRODUCTO VECTORIAL
acbbcacba
cbabcacba
LA RECTA EN EL ESPACIO
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
vtPP 0 DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DE LA RECTA Y cbav ,, ES UN VECTOR PARALELO A ELLA
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
tczz
tbyy
taxx
0
0
0
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMÉTRICA: c
zz
b
yy
a
xx 000
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
v
vPQd
0
; DONDE Q ES EL PUNTO
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS: 21
21cos
vv
vvang
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: 021 vv
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: 021 vv
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:
21
211020
vv
vvPPd
9 EL PLANO EN EL ESPACIO
ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO
srvsvrPP ,;210
DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DEL PLANO Y 1 21 1 1 2 2 2, , , , v a b c y v a b c SON DOS
VECTORES DE DIRECCIÓN DEL PLANO NO PARALELOS
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO:
210
210
210
scrczz
sbrbyy
saraxx
ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO QUE CONTIENE AL PUNTO 0P y CUYO VECTOR NORMAL ES N
00 NPP
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO: 0 DzCyBxA ,
DONDE SU VECTOR NORMAL ESTÁ DADO POR: CBAN ,,
DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UN PLANO:
N
NPQd
0
ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS: 21
21cos
NN
NNang
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD: 021 NN
CONDICIÓN DE PARALELISMO: 021 NN
LA DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS SE CALCULA COMO LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE UN PLANO Y EL OTRO PLANO
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: vN
vNangsen
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: 0 vN
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: vkN
C O P A D I 10
CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS
CON CENTRO: NzMyLxK 222
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON LOS PLANOS COORDENADOS.
SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON LOS EJES COORDENADOS.
SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL CONO ELÍPTICO.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS.
SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.
SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ELIPSOIDE.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO.
SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS.
SIN CENTRO: 022 PzPyLxK
SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL PLANO yx .
SI K Ó L ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN CILINDRO PARABÓLICO.
SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE ELÍPTICO.
SI K Y L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.
C O P A D I 11
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA
dx
duc
dx
dycxfucuy ;;
0; dx
dyccy
1dx
dyxy
u
dx
du
dx
dyxfuuy
2;
dx
duun
dx
dynxfuuy nn 1;;
dx
dv
dx
du
dx
dy
xgv
xfuvuy
;
;u f x dy dv du
y uv u vv g x dx dx dx
2
;v
dx
dvu
dx
duv
dx
dy
xgv
xfu
v
uy
dx
du
u
u
dx
dyxfuuy ;
udx
du
dx
dyxfuuy ;ln
eudx
du
dx
dybxfuuy bb log;;log
dx
due
dx
dyxfuey uu ;
12
dx
duaa
dx
dyaxfuay uu ln;;
dx
dvuu
dx
duuv
dx
dy
xgv
xfuuy vvv ln; 1
dx
duu
dx
dyxfuuseny cos;
dx
duusen
dx
dyxfuuy ;cos
dx
duu
dx
dyxfuuy 2sec;tan
dx
duu
dx
dyxfuuy 2csc;cot
dx
duuu
dx
dyxfuuy tansec;sec
dx
duuu
dx
dyxfuuy cotcsc;csc
21
;u
dx
du
dx
dyxfuuangseny
21
;cosu
dx
du
dx
dyxfuuangy
21
;tanu
dx
du
dx
dyxfuuangy
21
;cotu
dx
du
dx
dyxfuuangy
1
;sec2
uu
dx
du
dx
dyxfuuangy
1
;csc2
uu
dx
du
dx
dyxfuuangy
C O P A D I 13
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
k f u d u k f u d u
f u g u du f u du g u du
Cudu
1;
1
1
nCn
uduu
nn
Cuu
duln
Cedue uu
C
a
adua
uu ln
Cuduusen cos
Cusenduu cos
CuCuduu seclncoslntan
Cusenduu lncot
Cuuduu tanseclnsec
14
Cuuduu cotcsclncsc
Cuduu tansec 2
Cuduu cotcsc 2
Cuduuu sectansec
Cuduuu csccotcsc
C
a
uangsen
ua
du
22
Ca
uang
aau
dutan
122
Ca
uang
aauu
du
sec
122
Cau
au
aau
duln
2
122
C
ua
ua
aua
du
ln
2
122
Cauu
au
du
22
22ln
Cauu
au
du
22
22ln
C O P A D I 15
S E R I E S I N F I N I T A S
SERIE TELESCÓPICA
1;1
1
1
Snnn
SERIE GEOMÉTRICA
;0
n
nra CONVERGE SI 1r ; r
aS
1
DIVERGE SI 1r
SERIE ARMÓNICA
1
1
n n ; DIVERGENTE
SERIE ARMÓNICA "" p
1
1
npn
; 0 1p DIVERGE
1p CONVERGE
1
;1
nnnp
SSRSn
ESTÁ ACOTADO POR: 1
10
1 pn
Rpn
CONVERGENCIA O DIVERGENCIA
divergeSlim
convergeSSlima
nn
nn
nn
1
DONDE nS ES LA SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
16
lim 0
lim 0
n nn
n nn
a es convergente a
a a es divergente
;
n n
n n n n
n
a b converge
a y b convergen a b converge
c a converge c
;n n
n n n n
a diverge c a diverge c
a converge y b diverge a b diverge
PRUEBA DE LA INTEGRAL
SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA 1x ENTONCES LA SERIE ...)(...)2()1( nfff
1
1
)()
)()
divergenteesdxxfsidivergeii
econvergentesdxxfsiconvergei
PRUEBA DE LA COMPARACIÓN
SEAN nn bya SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:
)
)
n n n n
n n n n
i si b converge y a b entonces a converge
ii si b diverge y a b entonces a diverge
PRUEBA DEL LÍMITE DEL COCIENTE
SEAN nn bya SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:
lim 0n
nn
las dos convergena
k ob
las dos divergen
PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA
17
1 10
( 1)lim 0k k n
nnn
a aa es convergente
a
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL
n n
n n
nn
n
a es absolutamente convergente si a es convergente
a es absolutamente convergente a es convergente
a convergea es condicionalmente convergente si
a diverge
PRUEBA DE LA RAZÓN
SEA na UNA SERIE CON TÉRMINOS NO NULOS. ENTONCES:
1
1
1
) lim 1
) lim 1
) lim 1
nnn
n
nnn
n
n
nn
ai L a es absolutamente convergente
a
aii L ó a es divergente
a
aiii el criterio no decide
a
PRUEBA DE LA RAÍZ
SEA na UNA SERIE INFINITA. ENTONCES:
) lim 1
) lim 1
) lim 1
nn n
n
nn n
n
nnn
i a L a es absolutamente convergente
ii a L ó a es divergente
iii a el criterio no decide
C O P A D I 18
SERIES DE POTENCIAS
UNA SERIE DE LA FORMA
0
2210
n
nn
nn xaxaxaaxa
ES CONOCIDA COMO “SERIE DE POTENCIAS EN x ”
TEOREMA
SI nn xa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:
- LA SERIE CONVERGE SÓLO SI 0x .
- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NÚMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE
CONVERGENTE SI rx Y DIVERGENTE SI rx
SI c ES UN NÚMERO REAL, UNA SERIE DE LA FORMA
0
2210
n
nn
nn cxacxacxaacxa
ES CONOCIDA COMO “SERIE DE POTENCIAS EN cx “
TEOREMA
SI nn cxa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:
- LA SERIE CONVERGE SÓLO SI 0 cx , ESTO ES, SI cx .
- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NÚMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE
CONVERGENTE SI rcx Y DIVERGENTE SI rcx .
TEOREMA
SEA UNA SERIE DE POTENCIAS nn xa CON UN RADIO DE CONVERGENCIA NO NULO r
Y CONSIDÉRESE LA FUNCIÓN f DEFINIDA POR:
0
2210
n
nn
nn xaxaxaaxaxf
PARA TODA x EN EL INTERVALO DE CONVERGENCIA. SI rxr , ENTONCES:
0
12321
1
1 32'1n
nn
n
nn
nnx xanxaxaaxanxaDxf
0
0
132
210
0
1
0 1
1
3
1
2
1
12
n
x nn
n
nnnn
xxa
nxaxaxax
n
adttadttf
NOTA. ES POSIBLE PROBAR QUE ESTAS DOS SERIES DE POTENCIAS TIENEN EL MISMO
RADIO DE CONVERGENCIA QUE LA SERIE ORIGINAL nn xa .
19 TEOREMA. SERIE DE TAYLOR
SI f ES UNA FUNCIÓN TAL QUE
0n
nn cxaxf
PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c , ENTONCES
nn
cxn
cfcx
cfcxcfcfxf
!!2
''' 2
SE CONOCE COMO “SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c “
TEOREMA. SERIE DE MACLAURIN
SI 0c EN LA SERIE DE TAYLOR, SE CONSIDERA ENTONCES A LA FUNCIÓN f TAL QUE
0n
nn xaxf
PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO rr, , Y ENTONCES
n
n
xn
fx
fxffxf
!
0
!2
0''0'0 2
SE CONOCE COMO “SERIE DE MACLAURIN PARA xf “
POR LA FÓRMULA DE TAYLOR, SE TIENE QUE SU POLINOMIO DE GRADO ENÉSIMO EQUIVALE
A LA FUNCIÓN MENOS EL RESIDUO, ES DECIR, QUE
xRxfxP nn DONDE
11
1 !
nn
n
f zR x x c
n
PARA ALGÚN VALOR DE z ENTRE xyc . EN EL SIGUIENTE TEOREMA SE UTILIZA EL RESIDUO xRn PARA
ESPECIFICAR LAS CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS REPRESENTATIVA DE LA FUNCIÓN xf .
TEOREMA
SEA UNA FUNCIÓN f CON DERIVADAS DE TODOS LOS ÓRDENES
A TRAVÉS DEL INTERVALO QUE CONTIENE A c . ENTONCES, SI
0lim
xR nn
PARA TODA x EN EL INTERVALO, ENTONCES LA FUNCIÓN xf ES REPRESENTADA
POR LA SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c .
C O P A D I 20
ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS
nn xxxxxx
11111111 432
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 2,0
nxxxxxxx
543211
1
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
CONOCIDA POR ALGUNOS COMO “SERIE GEOMÉTRICA”
nn xxxxxxx
111
1 5432
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
nn xxxxx
2642
211
1
1
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
3 5 7 2 1
13! 5! 7! 2 1 !
nnx x x x
senx xn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
2 4 6 2
cos 1 12! 4! 6! 2 !
nnx x x x
xn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
3 5 7 2 1
2 2 4 6 8 2 22 2 2 2 21
2! 4! 6! 8! 2 2 !
nn nsen x x x x x x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
3 5 2 1
2 2 4 6 22 2 2 2cos 1 1
2! 4! 6! 2 !
nn nx x x x x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
NOTA. EL TÉRMINO ENÉSIMO CONSIDERA A PARTIR DEL SEGUNDO TÉRMINO CON 1n
2 2 16 10 14
2 2 13! 5! 7! 2 1 !
nnx x x x
sen x xn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
21
4 8 12 4
2cos 1 12! 4! 6! 2 !
nnx x x x
xn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
3 5 7 2 1
3! 5! 7! 2 1 !
nx x x xsenhx x
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
2 4 6 2
cosh 12! 4! 6! 2 !
nx x x xx
n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
2 13 5 7
2
2 !1 3 1 3 5
2 3 2 4 5 2 4 6 7 2 ! 2 1
n
n
n xx x xangsenx x
n n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
121
753tan
12753
n
xxxxxxang
nn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
!!3!2
132
n
xxxxe
nx
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
!!4!3!2
12864
22
n
xxxxxe
nx
INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,
n
xxxxxx
nn 11
4
1
3
1
2
11ln
1432
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 2,0
11
4321ln
1432
n
xxxxxx
nn
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1
!4
321
!3
21
!2
111
432 xkkkkxkkkxkkkxx k
INTERVALO DE CONVERGENCIA: *1,1
* LA CONVERGENCIA EN 1x DEPENDE DEL VALOR DE "" k
C O P A D I 22
FUNCIONES HIPERBÓLICAS: IDENTIDADES, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
xsenhxx
xsenhxxsenh
xx
xxsenh
xhx
xhx
xsenhx
senhxsenhyyxyx
senhxsenhyyxyx
xsenhyysenhxyxsenh
xsenhyysenhxyxsenh
22
21
212
21
212
22
22
22
cosh2cosh
cosh22
2coshcosh
2cosh
1csccoth
1sectanh
1cosh
coshcoshcosh
coshcoshcosh
coshcosh
coshcosh
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1;1
'';coth
1;1
'';tanh
1;1
'';cosh
1
'';
'cothcsc';csc
'tanhsec';sec
'csc';coth
'sec';tanh
'';cosh
'cosh';
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
uu
uyxfuuy
uu
uyxfuuy
uu
uyxfuuy
u
uyxfuusenhy
uuhuyxfuhuy
uuhuyxfuhuy
uuhyxfuuy
uuhyxfuuy
usenhuyxfuuy
uuyxfusenhuy
23
0;1
'';csc
10;1
'';sec
2
1
2
1
uuu
uyxfuuhy
uuu
uyxfuuhy
INTEGRACIÓN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
;lncosh
ln
csccothcsc
sectanhsec
cothcsc
tanhsec
tanhlncsc
tanhsec
lncoth
coshlntanh
cosh
cosh
221
22
221
22
2
2
2
1
CauuCa
u
au
du
CauuCa
usenh
au
du
Chuduuhu
Chuduuhu
Cuduuh
Cuduuh
Cduhu
Csenhuduhu
Cusenhduu
Cuduu
Csenhuduu
Cudusenhu
u
ésta, donde u > a > 0
1
2 21
1 1tanh ln ;
2
1 1coth ln ;
2
u a uC C u a
a a a a udu
a u u u aC C u a
a a a u a
ésta en forma compacta es:
auCua
ua
aua
du
;ln
2
122
auCu
a
aC
a
uh
auau
du
uCu
asenh
aC
a
uh
auau
du
0;cosh1
sec1
0;1
csc1
11
22
11
22
C O P A D I 24
MÁXIMOS Y MÍNIMOS. UNA O MÁS VARIABLES
FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE ESCALAR xfy
PUNTOS CRÍTICOS
SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN ES NULA O NO EXISTE, ES DECIR, DONDE
' 0dy dy
f x o no existedx dx
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRÍTICO
0'0' xfaxf MÁXIMO RELATIVO 0'0' xfaxf MÍNIMO RELATIVO
SI NO HAY CAMBIO DE SIGNO NO HAY EXTREMO RELATIVO
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRÍTICO 0'' xf MÍNIMO RELATIVO 0'' xf MÁXIMO RELATIVO
SI 0'' xf NO SE PUEDE APLICAR ESTE CRITERIO
PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD
SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA SEGUNDA DERIVADA ES NULA O NO EXISTE Y DONDE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA CAMBIA
UNA CURVA ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA CUANDO SUS TANGENTES ESTÁN POR DEBAJO DE ELLA
Y CÓNCAVA HACIA ABAJO CUANDO SUS TANGENTES ESTÁN POR ENCIMA DE ELLA 0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIÓN 0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIÓN
FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL
yxfz ,
PUNTOS CRÍTICOS O ESTACIONARIOS SON AQUELLOS EN LOS CUALES z ES CONTINUA
Y LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES y
zy
x
z
SE ANULAN O NO EXISTEN
25 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
HESSIANO
22
2
2
2
2
,
xy
z
y
z
x
zyxg
0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MÁXIMO RELATIVO
0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MÍNIMO RELATIVO
0, 00 yxg PUNTO SILLA
0, 00 yxg EL CRITERIO NO DECIDE
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (FORMA MATRICIAL)
PARA CADA PUNTO CRÍTICO SE CALCULA LA MATRIZ HESSIANA
yyyx
xyxx
ff
ffH
SE CALCULA E IGUALA A CERO EL DETERMINANTE 0det IH
LOS SIGNOS DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS 21 y DETERMINAN LA NATURALEZA DEL PUNTO CRÍTICO:
00 21 y MÍNIMO RELATIVO 00 21 y MÁXIMO RELATIVO
0
0
0
0
2
1
2
1
o PUNTO SILLA
SI POR LO MENOS UN VALOR CARACTERÍSTICO ES CERO, EL CRITERIO NO DECIDE
GENERALIZACIÓN
SEAN: LA FUNCIÓN nf : CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS;
nxxxfrf ,,, 21 EN UNA REGIÓN D DEL ESPACIO n-DIMENSIONAL; Dr 0 UN
PUNTO CRÍTICO TAL QUE 00 rfix Y H LA MATRIZ HESSIANA DEFINIDA POR:
ijjiji
ji
nnnn
n
n
ffxx
ff
fff
fff
fff
H
;;2
21
22221
11211
ENTONCES: 0) rfi ES UN MÁXIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ
HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS NEGATIVOS. 0) rfii ES UN MÍNIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ
HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS POSITIVOS. 0) rfiii ES UN PUNTO SILLA (MINIMÁXIMO) SI EXISTEN VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA
MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r CON SIGNOS DIFERENTES. )iv EL CRITERIO NO DECIDE SI UNO POR LO MENOS DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE
LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r VALE CERO.
26 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
SEA nxxxfrfz ,,, 21 UNA FUNCIÓN ESCALAR CONTINUA Y DIFERENCIABLE
EN UNA REGIÓN CERRADA nD DONDE f ESTÁ SUJETA A LAS CONDICIONES:
00,,,
00,,,
00,,,
21
212
211
oxxxg
oxxxg
oxxxg
nm
n
n
nm
Y SEA EL PROBLEMA: OPTIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO: rfz
SUJETA A LAS RESTRICCIONES: nmiorgi ,...,2,1;00
SI EXISTE UN EXTREMO RELATIVO DE f EN 0r , ENTONCES 0L , ES DECIR,
nix
L
i
,,2,10
Y ADEMÁS nmkrgk ,,2,10
ESTAS DOS EXPRESIONES FORMAN UN SISTEMA DE nm ECUACIONES,
0
0
11
11 111
nnn xmmxx
xmmxx
ggf
ggf
0,,,
0,,,
21
211
mm
n
xxxg
xxxg
DONDE m ,,, 21 SE CONOCEN COMO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
A PARTIR DE ESTE SISTEMA PUEDEN SER DETERMINADAS LAS INCÓGNITAS mnxxx ,,,,,,, 2121 .
AQUÍ, LOS VALORES DE nxxx ,,, 21 SON LAS COORDENADAS
DEL PUNTO EN EL QUE PUEDE HABER UN EXTREMO CONDICIONADO.
PARA EL CASO DE UNA FUNCIÓN yxfz , Y UNA RESTRICCIÓN 0,, zyxg , EL SISTEMA A RESOLVER SERÍA EL SIGUIENTE:
0,,;0;0;0 zyxggfgfgf zzyyxx
Y PARA EL CASO DE LA MISMA FUNCIÓN yxfz , PERO CON DOS RESTRICCIONES,
EL SISTEMA SERÍA: 0,,;0,,;;; 21221122112211 zyxgzyxgggfggfggf zzzyyyxxx
C O P A D I 27
GEOMETRÍA DIFERENCIAL. FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
tr ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3
s PARÁMETRO “LONGITUD DE ARCO”
VECTOR TANGENTE UNITARIO: ds
rd
dt
rddt
rd
T YA QUE dt
rd
dt
ds
VECTOR NORMAL UNITARIO:
ds
Tdds
Td
N ; CURVATURA: ds
Tdk ; RADIO DE CURVATURA:
k
1
VECTOR BINORMAL UNITARIO: NTB
NyT FORMAN EL PLANO OSCULADOR
ByT FORMAN EL PLANO RECTIFICADOR
ByN FORMAN EL PLANO NORMAL
TORSIÓN = ;ds
Bd RADIO DE TORSIÓN:
1
FÓRMULAS DE FRENET-SERRET
Nds
Bd
BTkds
Nd
Nkds
Td
tr ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3
t PARÁMETRO CUALQUIERA
VECTOR TANGENTE UNITARIO : '
'
r
rT
28
VECTOR NORMAL UNITARIO: ''''
''''
rrr
rrrN
VECTOR BINORMAL UNITARIO: '''
'''
rr
rrB
CURVATURA: 3
'
'''
r
rrk
; RADIO DE CURVATURA:
k
1
TORSIÓN : 2
'''
''''''
rr
rrr
; RADIO DE TORSIÓN:
1
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
SEA
ktzjtyitxtr EL VECTOR DE POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Y SEA "" t UN PARÁMETRO.
VELOCIDAD: dt
rdv ; RAPIDEZ: vv ; ACELERACIÓN:
2
2
dt
rd
dt
vda
EL VECTOR VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA SIEMPRE ES TANGENTE
A LA CURVA Y TIENE LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO.
COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN
22 vay
dt
dvaN
vT
dt
dva NT
Ta (ACELERACIÓN TANGENCIAL) Y Na (ACELERACIÓN NORMAL)
LA ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA ES UN VECTOR SITUADO EN EL PLANO DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA CURVA (PLANO OSCULADOR) CON COMPONENTES TANGENCIAL
Y NORMAL DADAS POR dt
dv Y
2v RESPECTIVAMENTE.
LA ACELERACIÓN ES ÚNICAMENTE TANGENCIAL CUANDO EL MOVIMIENTO ES RECTILÍNEO ( )
Y ES ÚNICAMENTE NORMAL CUANDO LA RAPIDEZ ES CONSTANTE ( 0dt
dv).
COPADI 29
LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES: LONGITUD DE ARCO, ÀREA BAJO LA CURVA, ÀREA ENTRE DOS CURVAS, ÁREAS DE SUPERFICIES,VOLÚMENES
LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA
SEA f UNA FUNCIÓN CUYA GRÁFICA ES UNA CURVA SUAVE C , CONTINUA EN EL INTERVALO ba, . LA LONGITUD DE ARCO DE LA GRÁFICA DE f , DEL PUNTO afaA , AL PUNTO bfbB , ESTÁ DADA
POR:
b
adxxfL 21
NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EXPRESADA EN FORMA PARAMÉTRICA
SEA UNA FUNCIÓN CUYA GRÁFICA ES UNA CURVA SUAVE (CONTINUA) C DADA PARAMÉTRICAMENTE POR LAS ECUACIONES btatgyytfx ; ; SI C NO SE CORTA A SÍ MISMA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN btyat , ENTONCES LA LONGITUD L DE LA CURVA C ESTÁ DADA POR:
b
a
b
adt
dt
dy
dt
dxdttgtfL
2222
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES
SI UNA CURVA SUAVE C ES LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUYA ECUACIÓN POLAR ES fr DE A ES POSIBLE CALCULAR SU LONGITUD L MEDIANTE LA EXPRESIÓN:
d
d
drrL
22
ÁREA BAJO LA CURVA
SI f ES UNA FUNCIÓN INTEGRABLE Y 0xf PARA TODA bax , , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LA GRÁFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS
Y LAS RECTAS bxyax , SE OBTIENE A TRAVÉS DE:
b
adxxfA
NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
SI f Y g SON DOS FUNCIONES CONTINUAS Y xgxf PARA TODA bax , , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LAS GRÁFICAS DE f Y g
Y LAS RECTAS bxyax , ESTÁ DADA POR:
b
adxxgxfA
30 ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES
SI LA FUNCIÓN f (EN COORDENADAS POLARES) ES CONTINUA Y 0f EN EL INTERVALO , , DONDE 20 , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LAS GRÁFICAS
DE , ,r f y SE CALCULA POR MEDIO DE LA EXPRESIÓN.
drdfA 22
2
1
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN SI f ES UNA CURVA SUAVE Y 0xf EN EL INTERVALO ba, , ENTONCES EL ÁREA DE LA SUPERFICIE
GENERADA AL GIRAR LA GRÁFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE DE LAS ABSCISAS, SE DETERMINA CON:
b
adxxfxfS 2'12
NOTA. SI LA FUNCIÓN ES NEGATIVA EN PARTE DEL INTERVALO, ENTONCES SE PODRÍA UTILIZAR LA MISMA EXPRESIÓN CON EL VALOR ABSOLUTO DE xf .
NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
ÁREA DE UNA SUPERFICIE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL 0, yxf DEFINIDA EN UNA REGIÓN R EN EL
PLANO yx DONDE f TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES EN LA REGIÓN. ENTONCES EL ÁREA DE LA SUPERFICIE (GRÁFICA DE f ) SE CALCULA MEDIANTE:
R
dAy
yxf
x
yxfA
22,,
1
NOTA. ESTA FÓRMULA TAMBIÉN PUEDE UTILIZARSE CUANDO LA FUNCIÓN ES NEGATIVA.
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN SEA UNA FUNCIÓN f (EN EL PLANO yx ) CONTINUA EN EL INTERVALO ba, , Y SEA R LA REGIÓN
LIMITADA POR LA GRÁFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS bxyax . EL VOLUMEN DEL SÓLIDO DE GENERACIÓN GENERADO AL GIRAR LA REGIÓN R ALREDEDOR DEL EJE x ES.
dxxfVb
a 2
NOTA. TAMBIÉN SE PUEDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE "" y .
VOLUMEN DE UN SÓLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL DOBLE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL EN 3 TAL QUE 0, yxf PARA TODO yx,
EN UNA REGIÓN R DEL PLANO yx . EL VOLUMEN DEL SÓLIDO BAJO LA GRÁFICA DE yxfz , Y SOBRE LA REGIÓN R ES:
dAyxfVR ,
VOLUMEN DE UN SÓLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL TRIPLE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f EN 4 TAL QUE 1,, zyxf A TRAVÉS DE
UNA REGIÓN VOLUMÉTRICA Q . ENTONCES, EL VOLUMEN DE ESTA REGIÓN Q ESTÁ DADO POR LA INTEGRAL TRIPLE:
Q
dVV
C O P A D I 31
MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE
MOMENTO DE UN SISTEMA EN 1
EL MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN DE UN SISTEMA DE MASAS nmmm ,...,, 21 , LOCALIZADAS
EN LOS PUNTOS nxxx ,...,, 21 DEL EJE DE LAS ABSCISAS, ESTÁ DADO POR
nn xmxmxmM ...22110
SI LA MASA TOTAL DEL SISTEMA ES nmmmm ...21 , SU CENTRO DE MASA ESTÁ DADO POR
m
Mx 0
MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN 2
SI SE TIENE UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES nmmm ,...,, 21 LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS
nn yxyxyx ,,,,,, 2211 EN UN PLANO COORDENADO Y SEA
n
kkmm
1
LA MASA TOTAL DEL SISTEMA, ENTONCES:
A) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE x ESTÁ DADO POR:
n
kkkx ymM
1
B) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE y ESTÁ DADO POR:
n
kkky xmM
1
C) LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DEL SISTEMA SON:
m
Myy
m
Mx xy
MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UNA LÁMINA
CONSIDÉRESE UNA LÁMINA, UNA PLACA PLANA O BIEN, UNA DISTRIBUCIÓN PLANA DE MASA QUE TIENE LA FORMA DETERMINADA
POR UNA CIERTA REGIÓN R EN EL PLANO xy . SI ESTA PLACA PLANA TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA DADA
POR yx, , FUNCIÓN CONTINUA EN R , Y SU MASA ESTÁ DADA POR R
dAyxm , , ENTONCES:
A) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE x ES:
R
x dAyxyM ,
B) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE y ES:
R
y dAyxxM ,
C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:
R
Rx
R
Ry
dAyx
dAyxy
m
Myy
dAyx
dAyxx
m
Mx
,
,
,
,
32 D) SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE SE DICE QUE ÉSTA ES HOMOGÉNEA Y LAS COORDENADAS
DE SU CENTRO DE MASA, QUE SE CONOCE COMO CENTROIDE, ESTÁN DADAS POR LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:
R
Rx
R
Ry
dA
dAy
m
Myy
dA
dAx
m
Mx
DE LAS CUALES SE OBTIENE QUE:
RAydAyyRAxdAxRR
DONDE R
dARA ES EL ÁREA DE LA REGIÓN, ES DECIR, DE LA PLACA.
E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES yyx , ASÍ COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO ÉSTE ÚLTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTÁN DADOS, RESPECTIVAMENTE
POR:
yxO
R
y
R
x IIdAyxIdAyxxIdAyxyI 2222 ;,;,
MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UN CUERPO
SI UN SÓLIDO TIENE LA FORMA DE UNA REGIÓN Q TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, VOLUMÉTRICA,
Y SU DENSIDAD ES zyx ,, , FUNCIÓN CONTINUA EN Q , ENTONCES: A) SU MASA ESTÁ DADA POR:
Q
dVzyxM ,,
B) SUS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS yzyxzxy , SON:
Q Q
yz
Q
xzxy dVzyxxMdVzyxyMdVzyxzM ,,;,,;,,
C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:
m
Mz
m
My
m
Mx xyxzyz ;;
D) SI Q ES HOMOGÉNEA, ENTONCES LA DENSIDAD ES CONSTANTE Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA O CENTROIDE SON:
Q
Q
Q
Q
Q
Q
dV
dVz
zdV
dVy
ydV
dVx
x ;;
DE DONDE: Q Q
QVzdVzQVydVyQVxdVx ;;
DONDE Q
dVQV ES EL VOLUMEN DE LA REGIÓN, ES DECIR, DEL SÓLIDO.
E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES zyyx , , ASÍ COMO CON
RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO ÉSTE ÚLTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTÁN DADOS, RESPECTIVAMENTE POR:
Q
z
Q Q
yx dVzyxyxIdVzyxzxIdVzyxzyI ,,;,,;,, 222222
Q
O dVzyxI 222
C O P A D I 33
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN EXPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL
SEA yxfz , ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
y
zy
x
z
Y LA DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR:
dyy
zdx
x
zdz
SEA uyxfz ,, ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
u
zy
y
z
x
z
,
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR:
duu
zdy
y
zdx
x
zdz
SEA yxfz , DONDE tgytfx ;
SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
x
zy
x
z
SU DERIVADA TOTAL ESTÁ DADA POR:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Y LA DIFERENCIAL TOTAL ES:
dyy
zdx
x
zdz
DONDE dttgdyydttfdx ''
SEA uyxfz ,, DONDE tkuthytgx ;;
SUS DERIVADAS PARCIALES SON:
u
zy
y
z
x
z
,
SU DERIVADA TOTAL ESTÁ DADA POR:
dt
du
u
z
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ES:
duu
zdy
y
zdx
x
zdz
DONDE dttkduydtthdydttgdx '';'
34 SEA tsgxyxfz ,
ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A tys SON:
t
x
dx
dz
t
zy
s
x
dx
dz
s
z
Y SU DIFERENCIAL ESTÁ DADA POR: dxxfdz '
DONDE dtt
xds
s
xdx
SEA yxfz , DONDE vuhyyvugx ,,
ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A vuyx ,,, SON:
y
z
x
z
;
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
;
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR:
dyy
zdx
x
zdz
DONDE
dvv
ydu
u
ydyydv
v
xdu
u
xdx
SEA uyxfz ,, DONDE srkusrhysrgx ,;,;,
ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A sruyx ,,,, SON:
u
z
y
z
x
z
;;
s
u
u
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
r
u
u
z
r
y
y
z
r
x
x
z
r
z
;
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR:
duu
zdy
y
zdx
x
zdz
DONDE
dss
udr
r
uduyds
s
ydr
r
ydyds
s
xdr
r
xdx
;
C O P A D I 35
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE Y DE VARIABLE VECTORIAL
UNA ECUACIÓN CON DOS VARIABLES
0, yxF
x
y
y
x
F
F
dy
dx
F
F
dx
dy ;
UNA ECUACIÓN CON TRES VARIABLES
0,, zyxF
z
y
z
x
F
F
y
zy
F
F
x
zyxfz
,
x
z
x
y
F
F
z
xy
F
F
y
xzyfx
,
y
z
y
x
F
F
z
yy
F
F
x
yzxfy
,
DOS ECUACIONES CON TRES VARIABLES
0,,;0,, zyxGzyxF
zy
GFJ
xy
GFJ
dx
dzy
GG
FF
GG
FF
zy
GFJ
zx
GFJ
dx
dy
zy
zy
zx
zx
,
,
,
,
,
,
,
,
yx
GFJ
zx
GFJ
dz
dyy
yx
GFJ
yz
GFJ
dz
dx
,
,
,
,
,
,
,
,
zx
GFJ
yx
GFJ
dy
dzy
zx
GFJ
zy
GFJ
dy
dx
,
,
,
,
,
,
,
,
NOTA. COMO SE OBSERVA, SE UTILIZAN DETERMINANTES JACOBIANOS, FORMADOS POR
LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES, CON RESPECTO A LAS VARIABLES DE LAS CUALES DEPENDEN.
36 DOS ECUACIONES CON CUATRO VARIABLES
0,,,;0,,, vuyxGvuyxF
yx
GFJ
vx
GFJ
v
yy
yx
GFJ
ux
GFJ
u
y
yx
GFJ
yv
GFJ
v
xy
yx
GFJ
yu
GFJ
u
x
vugy
vufx
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
vu
GFJ
yu
GFJ
y
vy
vu
GFJ
xu
GFJ
x
v
vu
GFJ
vy
GFJ
y
uy
vu
GFJ
vx
GFJ
x
u
yxgv
yxfu
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
NOTA. SE PROCEDERÍA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE DOS VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.
TRES ECUACIONES CON CINCO VARIABLES
0,,,,;0,,,,;0,,,, vuzyxHvuzyxGvuzyxF
zyx
HGFJ
vyx
HGFJ
v
zy
zyx
HGFJ
uyx
HGFJ
u
z
zyx
HGFJ
zvx
HGFJ
v
yy
zyx
HGFJ
zux
HGFJ
u
y
zyx
HGFJ
zyv
HGFJ
v
xy
zyx
HGFJ
zyu
HGFJ
u
x
vuhz
vugy
vufx
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,
,
,
NOTA. SE PROCEDERÍA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE TRES VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.
C O P A D I 37
COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
COORDENADAS POLARES
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
LAS COORDENADAS CARTESIANAS yx, Y LAS COORDENADAS POLARES ,r SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
senryrx ;cos 222;tan yxr
x
yang
ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES
pr cos
DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO A UN PUNTO ,rP DE LA RECTA Y p ES LA DISTANCIA
DEL POLO AL PUNTO ,pN DE LA RECTA, MEDIDA SOBRE LA PERPENDICULAR A ELLA.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES
222 cos2 acrcr
DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ,rP DE LA CIRCUNFERENCIA, c ES LA DISTANCIA DEL POLO A SU CENTRO EN EL PUNTO ,cC Y a ES SU RADIO.
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
1 cos 1
e d e dr o r
e e sen
DONDE e ES LA EXCENTRICIDAD DE LA CÓNICA Y d ES LA DISTANCIA DEL POLO A LA RECTA DIRECTRIZ. REPRESENTA A UNA CÓNICA, LA CUAL SERÁ PARÁBOLA SI 1e , ELIPSE SI 10 e E HIPÉRBOLA SI
1e
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
LA PENDIENTE m DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIÓN fr EN EL PUNTO ,rP ESTÁ DADA POR
sencos
cossen
rd
dr
rd
dr
m
38 COORDENADAS CILÍNDRICAS
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS z,,
SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
zzx
yangtanyx
zzyx
;;
;sen;cos
222
DONDE CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE CILINDROS CUYO EJE DE SIMETRÍA ES EL EJE z , CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z Y z CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE PLANOS HORIZONTALES PARALELOS AL PLANO xy .
NOTA. SE TRATA DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL.
DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO
22222 dzddds NOTA. SI 0z , SE TIENE EL SISTEMA ORTOGONAL PLANO DENOMINADO
SISTEMA COORDENADO POLAR.
DIFERENCIAL DE ÁREA
dddA (SISTEMA COORDENADO POLAR)
DIFERENCIAL DE VOLUMEN
dzdddV
GRADIENTE
zez
ee
1
DIVERGENCIA
321
1f
zffF
ROTACIONAL
321
1
fffz
eee
F
z
39 LAPLACIANO
zz
112
NOTA. zefefefFyz 321,,
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
Q
z
z
z
z
z
zdzddzfdVzf
2
1
2
1
2
1
,
,,,,,
DONDE ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
COORDENADAS ESFÉRICAS
ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS ESFÉRICAS ,,r
SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
x
yang
zyx
zangzyxr
rzsenrsenysenrx
tan;cos;
cos;;cos
222
2222
DONDE r CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE ESFERAS CON CENTRO EN EL ORIGEN,
CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMICONOS CON EL EJE z COMO EJE DE SIMETRÍA Y CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z .
DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO
2222222 dsenrdrdrds
DIFERENCIAL DE VOLUMEN
dddrsenrdV 2
GRADIENTE
ersen
er
er
r
11
40 DIVERGENCIA
3212
2
1rfsenrfsenfr
rsenrF
ROTACIONAL
senrsenrfrff
r
ersenere
F
r
2
321
1
LAPLACIANO
sensen
rsenr
rsenr
11 2
2
2
NOTA. efefefFyr r 321,,
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFÉRICAS
2
1
2
1
2
1
,
,
2,,,,
r
rQ
dddrsenrrfdVrf
DONDE sen2r ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
C O P A D I 41
OPERADORES VECTORIALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO, EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
TEOREMA. GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
SEAN wvu ,, UNA FUNCIÓN ESCALAR DIFERENCIABLE Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,.,,,
LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. ENTONCES EL GRADIENTE DE EN ESTE SISTEMA ESTÁ DADO POR:
w
w
v
v
u
u
ewh
evh
euh
111
TEOREMA. DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIÓN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA
CURVILÍNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES LA DIVERGENCIA DE ESTE SISTEMA ES:
321
1 vuwuwvwvu
hhw
hhv
hhuhhh
TEOREMA. ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIÓN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA
CURVILÍNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES EL ROTACIONAL EN ESTE SISTEMA ES:
wuvvu
vwuwu
uvwwv
ehv
huhh
ehu
hwhh
ehw
hvhh
123123
111
TEOREMA. LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
SEA wvu ,, UNA FUNCIÓN ESCALAR DIFERENCIABLE DOS VECES Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,,,,,
LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. ENTONCES, EL LAPLACIANO DE EN ESTE SISTEMA ESTÁ DADO POR:
wh
hh
wvh
hh
vuh
hh
uhhh w
vu
v
wu
u
wv
wvu
12
NOTA. EN ESTAS EXPRESIONES, w
rh
v
rh
u
rh wvu
;; SON LOS “FACTORES DE ESCALA”.
C O P A D I 42
TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS
TEOREMA DE GREEN
SEA R UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C. SI
x
N
y
MyxNyxM
,,,,, SON FUNCIONES CONTINUAS SOBRE R,
ENTONCES SE CUMPLE QUE:
C R
dAy
M
x
NdyNdxM
FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN
CR
CR
dAFdivNF
dAkFrotrdF
INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN
SI R ES UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C,
ENTONCES EL ÁREA DE R ESTÁ DADA POR:
C
dyxdxyA2
1
TEOREMA DE STOKES
SEA S UNA SUPERFICIE TAL QUE SU PROYECCIÓN SOBRE LOS PLANOS , ,XY XZ YZ SON REGIONES LIMITADAS POR CURVAS SIMPLES CERRADAS. SEA TAMBIÉN zyxFF ,, UN
CAMPO VECTORIAL CONTINUO Y DIFERENCIABLE DOS VECES. Y SUPÓNGASE QUE C ES UNA CURVA SIMPLE CERRADA QUE LIMITA A LA SUPERFICIE S. ENTONCES SE CUMPLE QUE.
CSS
rdFdSNFdSNFrot
DONDE N ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S
Y dS ES EL DIFERENCIAL DE ÁREA DE S.
43 Y, SI
kjinykzyxOjzyxNizyxMF coscoscos,,,,,,
ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
dSMNOMNOdzOdyNdxMS
yxxzzyC coscoscos
TEOREMA DE GAUSS
SI LA FUNCIÓN VECTORIAL
kzyxfjzyxfizyxfzyxF ,,,,,,,, 321 TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN UNA REGIÓN R DEL ESPACIO 3 , LIMITADA POR UNA SUPERFICIE REGULAR S, ENTONCES LA INTEGRAL DE VOLUMEN DE LA DIVERGENCIA DE F DENTRO DE S
ES IGUAL A LA INTEGRAL DE SUPERFICIE EXTERNA DE F SOBRE S, ES DECIR:
RS
dVFdivdSNF
Y, SI
kjiN coscoscos
ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S, ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
RS
dVz
f
y
f
x
fdSfff 321
321 coscoscos
C O P A D I 44
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
0; ttf
0dtetfsF st RESTRICCIONES
EN "" s
t (FUNCIÓN DELTA DE DIRAC) 1
1 s
1 0s
ate as
1 as
positivoenterontn ,; 1
!ns
n 0s
positivoenteronet atn ,; 1
! nas
n as
t
1 s
0s
atsen 22 as
a
0s
atcos 22 as
s
0s
atsenh 22 as
a
as
atcosh 22 as
s
as
atsent 222
2
as
sa
0s
att cos 222
22
as
as
0s
atsent 2 322
2232
as
asa
0s
att cos2 322
22 32
as
ass
0s
btseneat 22 bas
b
as
bteat cos 22 bas
as
as
btsenheat 22 bas
b
abs
bteat cosh 22 bas
as
abs
C O P A D I 45
SERIES DE FOURIER
DEFINICIÓN LA SERIE DE FOURIER CORRESPONDIENTE A LA FUNCIÓN f , LA CUAL SE SUPONE DEFINIDA EN EL
INTERVALO Lcxc 2 , DONDE 0Lyc SON CONSTANTES, SE DEFINE COMO:
1
0 cos2 n
nn L
xnsenb
L
xna
a DONDE
Lc
cn
Lc
cn
dxL
xnsenxf
Lb
dxL
xnxf
La
2
2
1
cos1
SI f y 'f SON CONTINUAS EN Lcc 2, SALVO EN UN CONJUNTO FINITO DE PUNTOS, EN LOS QUE
EXISTEN SUS LÍMITES LATERALES, Y SI xf ESTÁ PERIODICAMENTE DEFINIDA CON UN PERIODO DE L2 , O SEA, QUE xfLxf 2 , ENTONCES LA SERIE CONVERGE HACIA xf SI x ES UN PUNTO DE
CONTINUIDAD, Y HACIA 002
1 xfxf SI x ES UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD.
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER
SI SE SUPONE QUE LAS SERIES ANTERIORES CONVERGEN HACIA xf , SE TIENE QUE:
n
Lxinn ecxf / DONDE
0
2
1
02
1
02
1
1
0
/2
na
niba
niba
dxexfL
c nn
nn
LxinLc
cn
IDENTIDAD DE PARSEVAL
1
222
02 2
2
1
nnn
Lc
cba
adxxf
L
FORMA GENERAL DE LA IDENTIDAD DE PARSEVAL
1
002
2
1
nnnnn
Lc
cdbca
cadxxgxf
L
DONDE nnnn dcyba ,, SON LOS COEFICIENTES DE FOURIER QUE CORRESPONDEN
A xgyxf RESPECTIVAMENTE.
46 SERIES DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DE USO FRECUENTE
...5
5
3
3
1
4
01
01 xsenxsensenx
x
xxf
...5
5cos
3
3cos
1
cos4
20
0222
xxx
xx
xxxxf
...
3
3
2
2
1220;
xsenxsensenxxxxf
...
75
6cos
53
4cos
31
2cos42;
xxxxsenxxf
20
0
x
xsenxxf
...
75
6cos
53
4cos
31
2cos2
2
11 xxxsenx
...75
63
53
42
31
28
0cos
0cos xsenxsenxsen
xx
xxxf
...
3
3cos
2
2cos
1
cos4
3;
222
22 xxx
xxxf
...
3
6cos
2
4cos
1
2cos
60;
222
2 xxxxxxxf
...
3
3
2
2
112;
333
xsenxsensenxxxxxxf
...3
3cos3
2
2cos2
1
cos2
20
1
00xsenxsenxsen
x
x
x
xf
47
...5
5
3
3
1
8
0;
0;333
xsenxsensenx
xxx
xxxxf
...
3
33
2
22
1
2;;
222222 xsenxsensenxsen
enteroxxsenxf
...
3
3cos
2
2cos
1
cos
2
12;;cos
2222222 xxxsen
enteroxxxf
122
cos1
2
12;
n
nx
n
nxnsennxxsenhxexf
...
3
33
2
22
1
2;
222222 xsenxsensenxsenh
xxsenhxf
...
3
3cos
2
2cos
1
cos
2
12;cosh
2222222 xxxsenh
xxxf
...
3
3cos
2
2cos
1
cos2ln0;
2
1ln
xxxxxsenxf
...
3
3cos
2
2cos
1
cos2ln;
2
1cosln
xxxxxxf